LA LGICA

LA LGICA

LENGUAJE NATURAL Y LENGUAJES ARTIFICIALESDentro de las distintas clasificaciones que se pueden hacer de los lenguajes humanos, a nosotros nos interesa ahora la distincin entre lenguaje natural y artificial.

EL LENGUAJE NATURAL Es el que se habla dentro de una comunidad en la que se ha gestado y desarrollado. Los miembros de ese pueblo lo aprenden espontneamente en los primeros aos de su vida. En definitiva, el lenguaje natural es la lengua materna, que se aprende en la infancia en toda su extensin y riqueza.

El lenguaje natural es el vehculo de comunicacin por excelencia, tiene por ello una gran riqueza expresiva, pueden expresarse las ideas de muchas formas diferentes y darles infinitos matices, pero esta que es su gran ventaja es tambin su principal inconveniente para ser utilizado como vehculo del conocimiento cientfico. La ciencia ha de expresar sus conocimientos de forma rigurosa, y el lenguaje natural encierra, debido a su riqueza y expresividad, diferentes tipos de errores.ERRORES: POLISEMIA: El problema se halla en el propio mensaje que presenta diferentes significados: Equivocidad: Trminos con igual grafa y pronunciacin pero con distintos significados:

Ej: cuco, lagarta, cabo, cuenta Anfibologa: La frase misma tiene una doble interpretacin

Ej: El libro es de Borges,Cmo quieres que vaya de noche a verte,si el perro de tu padre sale a morderme, Me choqu con la cerda de tu taCome el pollo deprisa, Vino la madre de Julio que tiene 14 aos IMPRECISIN: Error en la interpretacin del mensaje. Por ejemplo: Algunos alumnos irn a Madrid o Si tomas natillas sers grande, los jugadores de baloncesto son grandes, ya sabes lo que han tomado INFERENCIAS FALSAS: Al recibir un mensaje se aade al significado del mismo, informacin que el mensaje no proporciona de forma directa y objetiva. El receptor aade informacin que no se da, hace suposiciones, inferencias. RUMORES: Al pasar el mensaje de un receptor a otro, se distorsiona la informacin hasta quedar irreconocible en relacin al mensaje original.

LENGUAJE ARTIFICIALPara expresar de modo riguroso las teoras cientficas se siente la necesidad de crear lenguajes con menor riqueza, pero con mayor precisin y rigor. Para ello se elaboran lenguajes artificiales, con uso de trminos con significado nico y preciso. Y para facilitar su rigor, relacionar precisamente los conceptos e, incluso, hacer posible el clculo, se recurre al uso de variables y a la formalizacin de sus enunciados.

Un lenguaje artificial es el producto de diseo consciente por parte de una comunidad de especialistas, basndose en acuerdos arbitrarios sobre los signos y reglas que van a formar ese lenguaje. Su aprendizaje es deliberado y requiere una enseanza explcita.

Existen distintos tipos de lenguajes artificiales, de los cuales vamos a hablar del lenguaje formal, sistema formal o clculo y lenguaje formalizado: Lenguaje formal: Se compone de los siguientes elementos: Vocabulario primitivo: los smbolos elementales que van a formar parte del lenguaje Reglas de formacin de frmulas bien formadas (FBF): establecen las relaciones posibles entre signos

Sistema formal o clculo: A los dos elementos del lenguaje formal hay que aadir un tercero: las reglas de transformacin de unas frmulas en otras. Un sistema formal no es propiamente lenguaje porque es una estructura puramente sintctica, no tiene semntica, sus signos y expresiones formadas por sus reglas carecen de significado. Un clculo al que se le da significado es un lenguaje formalizado Lenguaje formalizado: Es la interpretacin de un clculo. Para ello hay que adjudicar significado a los signos de este lenguaje y a sus expresiones bien formadas. Cada interpretacin del clculo se llama MODELO.

La lgica y las matemticas pueden considerarse como clculos o sistemas formales, pero tambin pueden considerarse como lenguajes formalizados o clculos interpretados donde los signos son interpretados lgica o matemticamente.

LA LGICA

QU ES?

Es la ciencia que estudia los principios (leyes y reglas) de la validez formal de la inferencia.

INFERENCIA (argumento o razonamiento): Es el paso de unas premisas a una conclusin. Inferencia inductiva: paso de premisas particulares a una conclusin general. Este paso no es lgicamente necesario y la lgica clsica no se ocupa de tales inferencias.

Inferencia deductiva o deduccin: La conclusin se sigue necesariamente de las premisas por la forma de stas. El paso de las premisas a la conclusin es necesario. La lgica clsica se ocupa de las inferencias deductivas, es decir, de la deduccin.Una inferencia o argumento se compone de enunciados. Un enunciado o proposicin es una frase que declara algo y puede, por tanto, ser verdadera o falsa. Los enunciados pueden ser simples o compuestos. La verdad de los enunciados compuestos depende de los enunciados simples. Los razonamientos no son verdaderos o falsos, son VLIDOS O NO VLIDOS, CORRECTOS O INCORRECTOS.

LA VALIDEZ FORMAL

La lgica estudia la validez de los argumentos, y esta es una validez formal, es decir, se centra en si el paso de las premisas a la conclusin es correcto: si aceptadas unas premisas, la conclusin se sigue de ellas necesariamente.La Lgica no se ocupa de la verdad o falsedad de las premisas o conclusin, sino de si la conclusin se extrae de las premisas de forma necesaria por la relacin que las premisas tienen entre s.Todo razonamiento tiene una forma y una materia o contenido. La forma es la estructura del argumento, el modo en que se relacionan las premisas, el contenido o materia es de lo que se habla, del tema a que se hace referencia. La lgica estudia la validez de la forma, no la verdad material que posean las premisas, no se ocupa del contenido. Es la forma la que es vlida o no, correcta o incorrecta. Por eso podemos prescindir del contenido, y quedarnos con la estructura, con la forma para analizar si es correcta.Y cundo una forma de razonamiento es vlida? Cuando al llenarla de contenido, si sus premisas son verdaderas, su conclusin ha de ser necesariamente verdadera. Pero a la lgica hay que insistir en ello- no le interesa si de hecho las premisas son verdaderas, simplemente garantiza que aceptando que lo sean, un razonamiento vlido nos llevar necesariamente a una conclusin verdadera.La verdad de las premisas es independiente de la validez de la inferencia. Existen argumentos no vlidos con premisas y conclusin verdaderas y argumentos vlidos con premisas y conclusin falsas. Pero si un argumento es vlido, si las premisas son verdaderas la conclusin lo ser necesariamente, puesto que se ha razonado de forma correcta a partir de enunciados verdaderos.

Todos los espaoles son australianosEl rey de Marruecos es australiano__________________________________El rey de Marruecos es espaol P: F R: No-VlTodas las chicas de esta clase hablan espaolSusana es una chica que habla espaol________________________________________Susana es una chica de esta clase P: V R: N-Val

Si las esmeraldas son verdes entonces la luna es lenta.Pero la luna no es lentaPor tanto, las esmeraldas no son verdes Pr: F y concl: F Raz: ValSi estudias entonces apruebasY no apruebasPor tanto, no estudias

Pr y Concl:V Raz vlido

PRINCIPIOS

Puesto que hay formas vlidas de razonar, la lgica pretende sistematizar un conjunto de leyes y reglas (principios) que establezcan estas formas del razonar correcto. Es decir, unos esquemas vlidos de inferencia.

CIENCIALa lgica es una ciencia formal, es la ciencia que se ocupa de estudiar la forma correcta de deducir. Su objeto de estudio es la deduccin, y para llegar a establecer cmo se llevan a cabo de manera vlida las deducciones, ha de deducir de manera vlida. Esto es, ha de regirse por los mismos principios que estudia: estudia la deduccin deduciendo, es la ciencia deductiva de la deduccin.

LGICA DE ENUNCIADOS O LGICA PROPOSICIONAL

Cuando definamos los lenguajes artificiales hablbamos de la lgica como un sistema formal o clculo. En realidad, sera un conjunto de clculos que se contienen unos a otros. El clculo ms elemental, el ms simple, de la lgica es la lgica proposicional. Se pretende en l matematizar o formalizar los razonamientos analizndolos en sus enunciados y las relaciones que stos mantienen entre s, tomando los enunciados como un todo, sin entrar a diseccionarlos en sus trminos componentes. Los enunciados son el contenido de los argumentos, la forma son las relaciones que vienen dada por los nexos o conectivas.

Argumento o Razonamiento: Contenido Enunciados y es variable Forma conectivas, operadores, juntores, functores son constantes

Se va a matematizar o formalizar tanto el contenido como la forma de los argumentos para poder calcular.

FORMALIZACIN DEL CONTENIDOa) LAS VARIABLES DE ENUNCIADO O VARIABLES PROPOSICIONALESEl contenido es lo variable de los argumentos, sus enunciados, que varan aunque permanezca la forma. Los enunciados se van a sustituir por variables proposicionales. Y los smbolos que se utilizarn sern las letras minsculas a partir de la p: p, q , r , s ..b) VALORES DE VERDADTodo enunciado puede ser verdadero o falso.Si es verdadero tiene un valor de verdad positivo y se simboliza bien con una V o con un 1. (Nosotros utilizaremos el 1 en la mayora de las ocasiones)Si el enunciado es falso, tiene un valor de verdad negativo y se simboliza con una F o con un 0. (Nosotros utilizaremos normalmente el 0)

c) PRINICIPIO DE BIVALENCIA

La lgica clsica acepta el principio de bivalencia que dice que una proposicin puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez o ninguna de las dos. De modo que si un enunciado no es falso, entonces es necesariamente verdadero.

Si un enunciado es simple puede tener dos valores de verdad: 1 o 0

Si es compuesto, su valor de verdad depender de las distintas combinaciones de los valores de verdad de sus enunciados simples, y habr que calcular todas estas posibilidades. Puesto que cada enunciado tiene 2 valores de verdad, el nmero de posibles combinaciones son 2n siendo n el nmero de proposiciones distintas que se relacionan en el enunciado complejo.

p : 1, 0

pq

11

10

01

00

Etc

FORMALIZACIN DE LA FORMA

Se formalizan los operadores o nexos que relacionan los enunciados entre s. Existen operadores mondicos, que afectan a una sola proposicin, sea sta simple o compleja. Y operaores didicos, que relacionan dos proposiciones.

NEGACIN O NEGADOR, OPERADOR MONDICO ( No)

: P ( Se lee no p) Cambia el valor de verdad de la proposicin a la que afecta.

pp

10

01

OPERADORES DIDICOS:

CONJUNCIN O CONJUNTOR: ^ ( Y )

p ^ q ( p y q ) : El valor de la verdad de la conjuncin ser verdadero cuando los sean las dos proposiciones y ser falso en todos los dems casos.

pqp^q

11 1

10 0

01 0

00 0

DISYUNCIN, DISYUNTOR O ALTERNATIVA: V ( O INCLUSIVA)

p V q ( p o q ) : La disyuncin ser verdadera cuando lo sea al menos uno de sus miembros, falsa cuando sean falsos los dos.

pqpVq

11 1

10 1

01 1

00 0

CONDICIONAL o IMPLICADOR: ( Si entonces )p q ( Si p entonces q) p es el antecedente, q el consecuente. Slo ser falso si el antecedente es V y el consecuente falso, es decir, si cumplindose la condicin no se cumple lo condicionado a ella. El antecedente es condicin suficiente pero no necesaria del consecuente: basta con que ocurra p para que se d q, pero no es necesario que p sea verdadero para que lo sea el condicional.

pqp q

11 1

10 0

01 1

00 1

BICONDICIONAL (Si y slo si entonces o nicamente si. entonces)

p q ( si y slo si p, entonces q) Es un doble condicional, y como tal ambos son condiciones necesarias y suficientes de ambos. Si se da p se da q y viceversa. Si no se da p, no se da q.

pqpq

11 1

10 0

01 0

00 1

EJERCICIOS DE FORMALIZACIN (PG DE EJERCICIOS)

TAUTOLOGAS, CONTRADICCIONES Y FRMULAS MERAMENTE CONSISTENTES

TAUTOLOGA: Frmula o expresin que es siempre verdadera en virtud de su forma lgica. Son las leyes lgicas CONTRADICCIN: Frmula que es siempre falsa en virtud de su forma lgica. FRMULA MERAMENTE CONSISTENTE: expresin cuya forma lgica no es suficiente para establecer su verdad o falsedad, en unos casos es verdadera, en otros falsa, en funcin del contenido.

UN MTODO DE DECISIN: LAS TABLAS DE VERDAD

Es un mtodo proporcionado por el filsofo del lenguaje Ludwig Wittgenstein, para averiguar si una FBF es V o F en virtud de su forma lgica o si esta no es suficiente para determinar su verdad, en cuyo caso ser meramente consistente. Se conjugan todos los valores de verdad posibles de una frmula, partiendo de los enunciados simples que la componen, y hallando los valores de los enunciados que van formando segn el modo de relacionarse con los operadores, hasta llegar a la frmula final. Si el resultado final es que todos los casos son verdaderos, estaremos en una tautologa, si todos son falsos, ser una contradiccin, si hay valores verdaderos y falsos, una frmula meramente consistente.

EJEMPLO

[(p q) ^ p ] q

pq(p q)[(p q) ^ p ][(p q) ^ p ] q

11 1 1 1

10 0 0 1

01 1 0 1

00 1 0 1

Es una tautologa

EJERCICIOS DE FORMALIZACIN DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE LGICO:

El alma de las flores divaga entre la niebla

Cuando t me mirabas, su gracia en m tus ojos imprima

No es suficiente no ser ciego para ver los rboles y las flores

Algo es tringulo si y slo si tiene tres ngulos

Si el alma habla, entonces ests vivo

La primavera ha venido, nadie sabe cmo ha sido

Cuando alguien escribe como Borges, puede disculprsele todo

Hace fro, luego no es verano

No habr ni sueo ni olvido

Vi el fondo del misterio con los ojos o con el pensamiento

Tengo estos huesos hechos a las penas y a las cavilaciones estas sienes

Ni contigo, ni sin ti.

No es cierto que no te escuche

No es cierto que cantaran y bailaran

O estudias o sers un desgraciado

Si buscas palabras de amor en la tierra, mata tus palabras y oye tu alma vieja

Ni puedo prohibirlo, ni puedo tolerarloEL CLCULO DE LA DEDUCCIN NATURAL

Se puede entender la Lgica como un conjunto de clculos de los cuales el ms sencillo es el clculo de la deduccin natural en la lgica proposicional.Deducir es obtener unas FBF a partir de otras dadas en virtud de las relaciones lgicas que existen entre ellas, a las expresiones lgicas de las que se parte se le llaman premisas, la que se obtienen es la conclusin La deduccin ser correcta cuando se base en esquemas vlidos de razonamiento, esto es, en reglas lgicas correctas, en ese caso se puede asegurar que la conclusin se sigue de las premisas.La lgica va a sistematizar reglas bsicas y otras que se derivan de ellas, que son las reglas del razonar correcto.Qu es una regla?Una regla es una instruccin para pasar de forma correcta o vlida de unas frmulas bien formadas que son las premisas a otra que es la conclusin. No son propiamente expresiones lgicas, sino que hablan de las expresiones lgicas, son, por tanto, un metalenguaje Se diferencian de las tautologas o leyes lgicas en que stas s estn expresadas en lenguaje lgico Aunque cada ley puede en una regla y viceversa, si se pasan al formato adecuado.

QU ES UNA DEDUCCIN?Paso de unas premisas a una conclusin, que se sigue necesariamente de ellasDEDUCCIN DIRECTA: Aquellas en las que las premisas llevan de un modo directo a la conclusin al aplicar correctamente las reglas de inferencia vlida.DEDUCCIN INDIRECTA o REDUCCIN AL ABSURDO: Se parte de la negacin de la conclusin, y al intentar derivar de las premisas dicha frmula se llega a una contradiccin por lo que se niega el punto de partida y se afirma lo contrario de lo que se parti, es decir, la conclusin, de modo que queda probado que la conclusin se sigue de las premisas.INFERENCIA INMEDIATA: Se obtiene una frmula a partir de otras aplicando una sola regla de inferencia.DEDUCCIN NATURAL O FORMAL (Tambin llamada DERIVACIN)Es una secuencia finita de frmulas tales que cada una de ellas es: Un supuesto inicial o premisa Un supuesto subsidiario o provisional que se utiliza como apoyo de la deduccin pero despus se elimina O una frmula que se obtiene por inferencia inmediata, es decir, por la aplicacin de una sola regla de inferencia de otras.

REGLAS LGICAS

MODUS PONENS M.P.

A B A _______ B

Si se tienen como premisas un condicional y la afirmacin de su antecedente, se puede obtener como conclusin, la afirmacin de su consecuente

1.- p q, q r, p l- r

2.- si los lobos allan a la luna llena, las noches son escalofriantes y los elefantes caminan sin cesar.Si las noches son escalofriantes y los elefantes caminan sin cesar, los nios lloran de terrorY los lobos allan a la luna llenaPor tantoLos nios lloran de terror

3.- p q, q r V s, r V s u V w, p l- u V w

4.- (p ^q) r , r s , s t, p ^q l- t

5.- Manuela est preocupada, aydala en sus dudas:Si sale diariamente con sus amigos, entonces baila alocadamenteSi baila alocadamente no puede estudiar todas las horas que necesitaSi no estudia todas esas horas no aprobar lgicaSi no aprueba lgica, no podr dedicarse a descansar plcidamente en vacacionesY Manuela sale diariamente con sus amigosCul es la conclusin?

6.- p q , q r, r s, s u, u t, p l- t

MODUS TOLLENS M.T.

A B B _______ A

Si se tienen como premisas un condicional y la negacin de su consecuente, se puede obtener como conclusin, la negacin de su antecedente.

1.- p q, q r, r s , s l- p

2.- Si fueras un mandarn de la China, viviras con lujo y no tendras que trabajarSi vivieras de esa manera, te distraeras haciendo viajes alrededor del mundo o alimentando faisanes en tu majestuoso palacioComo no es este el casoDeduzcoQue no eres un mandarn de la China

3.- p (q ^ r), (q ^ r) (s V t ) , (s V t ) l- p

4.- w (r ^s ), ( u h), t (m V n), (r ^ s) (u h), (m V n) w, ( p V q) t l- (p V q)

5.-( Sandra quiere meterse a detective y probar con la prctica su lgica aplastante, pero no se le presenta ningn caso a resolver, parece que la gente an no confa en ella Esto acabar el da que tenga su primer caso, por eso ella no se queda de brazos cruzados esperando, sino que llama a toda puerta que le parece sospechosa cuando le abren la puerta larga el siguiente razonamiento:)Si se hubiese cometido un crimen en esta casa, ustedes habran necesitado los servicios de un detectiveSi los hubiesen necesitado, lo habran llamado por telfono. Si as lo hubieran hecho, habran buscado el nmero de telfono en internet y habran marcado el nmero Si hubiesen buscado y marcado el nmero, habran estado perdiendo el tiempo Pero ustedes niegan haber perdido el tiempo de ese modo As que concluyo que en esta casa no se ha cometido crimen alguno

6.- p (q ^r( , p, s (q ^r) , s t l- t7 .- ( P ^q) ( r V s) , (r V s) t , q t, q l- (p ^q )

DOBLE NEGACIN

A ______ A Si se tiene una frmula doblemente negada, se puede obtener como conclusin su afirmacin

1.- p q, q, (r ^s) p, (r ^ s) (t V u) l- (t V u)

SILOGISMO DISYUNTIVO S.D.

A V B A V B B A_______ SD _______ SD A B Si se parte de una disyuncin, y se tiene la negacin de uno de sus miembros, se puede concluir la afirmacin del otro miembro de la disyuncin

1.- p v q , q V r , r l- p

PRODUCTO Prod

A B _______ A ^ B Si se tienen como premisas cualesquiera dos frmulas bien formadas, que se aceptan como verdaderas, se puede concluir la conjuncin o producto de ambas frmulas, pues ste tambin ser necesariamente verdadero.

SIMPLIFICACIN Simpl

A ^ B A ^ B______ ______ A B Si se acepta como premisa una conjuncin, puede concluirse cualquiera de sus miembros.

1.- p q, p, r ^ s, q ^ s t l- t (producto y simplificacin)

DE MORGAN DM

(A ^ B) (A v B) _______ DM ________ DM A V B A ^ B DM 1: La negacin del producto equivale a la disyuncin de las negacionesDM 2: La negacin de una disyuncin equivale al producto de las negaciones

1.- q, p ^r q, p ^ s, r u l- u

2.- p V q, p, q(r V s) l- r

PRUEBA POR CASOS

A v B A . . C B . . C _____________ C Si partimos de una disyuncin y se sigue una determinada frmula al suponer por separado la verdad de cada uno de sus miembros, se puede afirmar como conclusin la frmula que se sigue de ellos.

1.- pV q, p r ^ s, s t, q r V w, w t l- t

TEOREMA DE LA DEDUCCIN

A . . B__________________ A BSi se supone una frmula como verdadera y de ella, se sigue otra, se puede concluir que la primera es una condicin de la segunda, es decir, se puede obtener como conclusin, el condicional que tiene como antecedente la primera frmula y como consecuente la derivada de ella

1.- p t, t V m, m s l- p m^s

2.- p V w r, r s, t s, t V q l- q w

REDUCCIN AL ABSURDO

A . . X ^ X__________________ ASi se supone una frmula como verdadera, y esto lleva a contradicciones, se niega la frmula que ha sido el punto de partida

1.- p q, r q l- (p ^r )

2.- p ^q r, r s, q ^ s l- p

SILOGISMO HIPOTTICO

A B B C ___________ A C Si partimos de dos condicionales en los cuales, el consecuente del primero es el antecedente del segundo, se puede concluir con un condicional formado por el antecedente del primero y el consecuente del segundo.

1.- p q ^r, q s, s t l- t ^r

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