Movimiento de un automóvilPara ir desde Petare (Caracas) hasta Caucaguahay que recorrer, aproximadamente, 60 kmdurante 50 minutos, y desde Petare hastaBoca de Uchire, 180 km durante 2 horas y 45minutos.

La velocidad v con que se viaja y el espaciorecorrido x dependen del tiempo t, esto esv = f(t), x= g(t), t en minutos o en horas medidoa partir de t=0 cuando se comienza el viaje enPetare.

Petar

e

Cauca

gua

El Clav

o

Boca

de

Uchire

t=0 min t=50 min t=120 min t=165 min60 km

180 km

RETOS:

1- Si y = F(x) y consideramos el intervalo de x1 a x2, x1 < x2 ¿Qué significado tienenlos signos de y y de y/ x? ¿Qué significado tiene el hecho de considerardistintos intervalos en el eje Ox con igual amplitud x y que resulten intervalosverticales y de igual amplitud? Observa esta situación en las rectas de ecuacionesy = 2x + 1, y = -3x + 4 y sus representaciones gráficas.

2- Al inflar un globo, que adquiere forma esférica, el radio varía en función delvolumen V. Calcula la tasa media de cambio del radio en relación al volumen enlos intervalos 0,1≤V≤0,5; 0,5≤V≤1; 1≤V≤2. ¿Qué observas?

Tasas de variación o de cambio

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 1074

De los datos de la página anterior obtenemos las siguientesconclusiones:

• De Caucagua hasta Boca de Uchire se recorren 120 km:g(165)-g(50) = 180 - 60 = 120 (km)

• La velocidad promedio o velocidad media entre Petare yCaucagua fue:

g(50) - g(0)50 - 0

= 1,2 (km/min) = 72 (km/h)60 - 050 - 0

y la velocidad media desde Petare hasta Boca de Uchire fue:

g(165) - g(0)165 - 0

≈ 1,09091 (km/min) ≈ 65,45 (km/h).180 - 0165 - 0

Con solamente esos datos no podemos obtener cierto tipo de resultados. Por ejemplo: ¿Cuál fue lavelocidad v = f(120) cuando pasamos por El Clavo? Esto se refiere a una velocidad instantánea.

EN CONCLUSIÓN:

Dada una función y = f(x) y un intervalo cerrado [x1, x2], x1 < x2, el incremento x2 - x1 de la variableindependiente se denota x ( x = x2 - x1) y se lee “delta de x”. Un estudio del cambio o variación de lafunción en ese intervalo se realiza mediante las tasas de cambio o de variación.

La variación total o absoluta de la función en eseintervalo es f(x2) - f(x1), denotada y (se lee “delta de y”).Así, y = f(x2) - f(x1).

La tasa media de variación de la función en ese intervaloes:

La tasa media de variación relativa de la función, enese intervalo es:

la cual se expresa en porcentaje multiplicándola por 100. x2

f(x2)

f(x1)

x1

yy

x

x

f(x2) - f(x1)

x2 - x1

y

x

f(x2) - f(x1)

f(x1) · (x2 - x1)

y

f(x1) · x

y

0 x

y = f(x)

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 10 75

Rectángulo rosa y línea sobre planoLuis CarrunchoArtista español (1929- )

La tabla de valores y el gráfico presentados a continuación, corresponden a laexpresión del largo L de un rectángulo de área igual 10 m2 en función del anchoa del mismo.

Es decir L = siendo a > 010a

a L

0,5 20

0,7 14,3

1 10

2,5 4

3 3,3

5 2

10 1

20 0,5

10

5

5 10 15 20

Otras situaciones de cálculo de tasas de cambio

En el gráfico se han señalado especialmente puntos (en color blanco) cuyas coordenadas están en latabla y se ha dibujado una curva (hipérbola) que pasa por esos puntos. El examen, tanto del gráfico comode la tabla, hace ver de inmediato que al crecer el ancho a decrece el largo L, pero la razón es variable.

Para ahondar en lo observado, examinemos la tabla presentada allado, en la que, en referencia a cuatro puntos de la curva, se calculancocientes de diferencias de ordenadas divididas por diferencias deabscisas. Como era de esperar, según lo dicho inicialmente, la diferenciade ordenadas es negativa, pues L es una función decreciente. Además,los cocientes son decrecientes en valor absoluto. Estas razones sonlas tasas medias de variación de la función L= f(a) en los intervalos1 ≤ a ≤ 3 ; 3 ≤ a ≤ 10 y 10 ≤ a ≤ 20.

Abscisa Ordenadaa L Cociente

1 10 3,3-103 3,3 3-1

3 3,3 1-3,310 1 10-3

10 1 0,5-120 0,5 20-10

=-3,35

=-0,33

=-0,05

Se podría considerar una función que asocie esas tasas medias de variación(pendientes de las rectas secantes dibujadas en azul) a los extremos inferioresde los intervalos anteriores, como se indica en la tabla presentada al lado, uotra función que asocie dichas tasas a los extremos superiores de los mismosintervalos.

Valor dea Pendiente

1 -3,35

3 -0,33

10 -0,05

Lo antes expuesto acerca de la relación entre el ancho y ellargo de un rectángulo de área constante, expresada porL = , no es sino un caso particular de la funcióny = f(x) = , k es constante.

Las tasas medias de variación serían los cocientes y/ x,siendo y la diferencia entre las ordenadas de los dos puntosconsecutivos considerados, y x la diferencia de abscisas(xi+1 - xi ). En el cuadro se expresa nuevamente el contenidodel cuadro precedente utilizando esas notaciones.

RETO: Es posible considerar más puntos de la curva y, en consecuencia, más rectas secantes y sus respectivaspendientes. Te proponemos que consideres más puntos de la curva y que elabores la tabla de una funciónque asocie pendientes a valores de a, según una de las maneras indicadas anteriormente.

0 1

1

a (m)

L

10a

kx

La

L

a

L LL

a

a

a

decrecimiento de Lcrecimiento de a

Analizando cambios a partir de gráficos y tablas

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 1076

Mediante el uso de tablas y gráficos se puede hacer análisis siguiendo procedimientoscomo los antes mostrados. El significado del análisis lo proporciona el contextoteórico-empírico del campo del conocimiento (físico, químico, económico u otro) delcual se trate.

25,14

3er trimestre 4to trimestre 1er trimestre 2do trimestre 3er trimestre

2002 2003

A

M

B

N

24,04

26,38

24,55

25,85

X=0 X=1 X=2 X=3 X=4

La tasa media de aumento trimestral del precio del tercertrimestre del 2002 al tercer trimestre del 2003 es

Se puede describir aceptablemente el comportamientode la variación del precio mediante la funcióny = 24,43 + 0,355x, representada en el gráfico (en colorazul) y deducida a partir de la ecuación de la recta quepasa por los puntos A y B.

25,85 - 24,434

= 0,355 (US$/trimestre).

Obsérvese que a los valores x = 1, x = 2 y x = 3 la funciónasocia, respectivamente, los valores de y anotados acontinuación:

y = 24,43 + 0,355 = 24,785

y = 24,43 + 0,355 • 2 = 25,14

y = 24,43 + 0,355 • 3 = 25,495

Las diferencias con los precios originales son,respectivamente,

24,04 - 24,785 = -0,745

26,38 - 25,14 = 1,24

24,55 - 25,495 = -0,945

Esos números, en valor absoluto, dan el error absolutoentre los valores reales y los valores estimados. Porejemplo, 1,24 es la longitud del segmento MN y el errorporcentual cometido al tomar el valor aproximado 25,14es:

100 • 1,2426,38

≈ 4,70%

En el gráfico que se presenta a continuación, los puntosordenados en el tiempo corresponden a los totalesmensuales de producción petrolera de Irak desdeagosto de 2003 hasta enero de 2004.

Podría intentarse la descripción del comportamientode la producción mediante una función “lineal” (afín)y = mt + b, como se hizo en el caso del precio delpetróleo venezolano; pero al considerar las posiblesdiferencias d entre los valores observados yi y loscorrespondientes valores calculados Yi, es de pensarla conveniencia de la descripción mediante una funciónde otro tipo, dado que es deseable la mayoraproximación entre lo calculado y lo observado.

Se plantea la interrogante de si la suma de lasdiferencias di= yi- Yi permite obtener, en su conjunto,una apreciación de cuán próximos son los valorescalculados a los correspondientes valores observados.Seguramente se nota la inefectividad, pues esta sumapodría ser pequeña, incluso nula, aún cuando fuesengrandes las diferencias en valor absoluto |yi - Yi|. Poresto se descartado la posibilidad de valerse de ∑|di|para el referido objetivo y se ha optado por usar ∑di

2.En el gráfico, además de mostrar los puntos querepresentan la serie cronológica, aparece un arco quecorresponde a una función cuadrática f(t) = a+bt+ct2

(parábola) que podría ser preferible que en este caso,parece describir mejor el comportamiento de laproducción en el lapso de tiempo considerado.

En el caso del gráfico mostrado a continuación, quecorresponde a una serie cronológica (trimestral) del precioen dólares de un barril petrolero venezolano, se puedeadoptar una descripción consensual acerca de la variaciónde precios.

24,43

t

US$

Millonesde Barriles

Agosto 2003 Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero 2004

t

1,5

2,0

1,4

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 10 77

Frecuencia y gráficosEn un liceo se conceden diariamente 10 citas de entrevistas a los alumnos para quepresenten quejas, soliciten asistencia especial, hagan sugerencias o alguna otragestión.Se ha notado que entre los asuntos de los que usualmente se trata en lasentrevistas hay algunos que hacen aconsejable que el alumno y quien lo atiende seandel mismo sexo.

¿Cuántas personas del sexo femenino convendría designar para tal atención?

Para responder a esta pregunta se ha propuesto considerar que el número x de alumnos del sexo femenino queson entrevistados en un día puede tomar los valores 0, 1, 2, .... 8, 9, 10. Y se hace notar que a tales valores puedenasignarse probabilidades dependientes del número n = 10 (x puede tomar n + 1 valores distintos) y del númerop = 0,55 ya que el 55% del alumnado del liceo es del sexo femenino.

Otra persona consultada al respecto advierte que las probabilidades no dependen exclusivamente del porcentajedel alumnado que sea del sexo femenino. En consecuencia, se decidió hacer observaciones de la asistencia a lasentrevistas. Durante 50 días se ha llevado cuenta del número de alumnas entrevistadas cada día, y se ha obtenidouna distribución de frecuencia la cual es presentada a continuación en una tabla y en un gráfico.

x Frec0 11 12 13 14 45 86 97 98 79 6

10 31

5

10

0 5 10

Frecuencia

X

1

5

10

0 5 10

Frecuencia

X

1 2 3 4 6 7 8 9

“El pensamiento estadístico será un díatan necesario para la ciudadanía eficientecomo la habilidad de leer o escribir”.

Herbert George WellsEscritor inglés (1866-1946)

RETOS:

Elabora los gráficos para estas dos tablas defrecuencia.

x Frec0 31 62 73 94 95 86 47 18 19 1

10 1

x Frec0 01 22 33 44 55 66 77 108 69 5

10 2

De la experiencia obtenemos una media y = 6,38 > 5,5, esto hace pensar que la probabilidades mayor de lo que se creía necesario. Por ello es recomendable que se utilicen más de6 asistentes femeninas en caso de tener 10 entrevistas diarias.

media y = = 6,3831950

· x · Frec = 319

Desde lasfichas y tablillas de arcilla

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 1078

Inicialmente, varios milenios atrás, se utilizaron fichasy tablillas de arcilla con el propósito de calcular.Entre éstas mostramos una tablilla impresa paracontar granos (Susa, Irán, ca. 3100 a.C.).

Luego llegó el reinado de los ábacos, palabraproveniente de la semita abq o polvo y posteriormentedel vocablo latino abacum. Los pueblos semitas seinstalaron en Asia, entre ellos: los acadios, losarameos, los fenicios, los hebreos.

De las tablillas de arcilla de los babilonios, entre lasque había tablas de división, de cuadrados (de losnúmeros 1 al 60), de cubos (de los números 1 al32), de raíces cuadradas y de progresionesgeométricas, que permitían resolver algunasecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, se pasóa los ábacos que tuvieron vigencia durante variossiglos.

Ábaco, en el sentido moderno, es un cuadro demadera con cuerdas o alambres por los que sedeslizan unas bolas con el fin de efectuar cálculos.

Los ábacos han sido utilizados en distintas culturas:la romana, la árabe, la china, la japonesa...

Por el lado americano es de mencionar los quipusde los Incas, que si bien no son ábacos, son cuerdasanudadas para registrar y recordar números.

Los ábacos se utilizaron en Europa hasta despuésdel s. XVII.

A partir de ese siglo se produjo un avance en cuantoa los instrumentos para calcular, puesto quecomenzaron las “máquinas modernas” de calcular,iniciándose por las varillas del escosés John Napier(1550-1617) en 1617 y utilizadas en Escocia durantemás de un siglo para efectuar multiplicaciones. Luegotenemos la máquina mecánica de calcular Pascalina,inventada por Blas Pascal (francés, 1623-1662) en1642, a la edad de 19 años, con el fin de facilitar lasoperaciones contables de las que estaba encargadosu padre.

Un grabado de madera “Margarita Philosophica” (1503) realizado por GregorReisch.La aritmética instruye al algorítmico y al abacista, representados demanera imprecisa por Boecio y Pitágoras. Es la transición del uso del ábacoa las cifras arabigas.

La Pascalina fue, posiblemente, la primera calculadora mecánica. La máquinasuma al girar las ruedas con cierto orden.

Los “Rodillos de Neper”, inicialmenteconstruidos en marfil o madera. Esteaparato permite efectuar unamultiplicación “larga” por intermedio deuna sucesión de sumas sencillas.

Tablilla de Susa (3100 a.C.)

Ayer

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 10 79

hasta las computadoras

Máquina de Babbage.Museo de Ciencias de Londres, Inglaterra.

Un suan pan moderno.

Un avance importante en relación con los mediosde cálculo, fue la “máquina de diferencias” de CharlesBabbage (inglés, 1791-1871) en 1820, predecesorade las computadoras actuales.

Hasta hace pocos años, en China era una prácticacorriente utilizar los ábacos (los suan-pan) en bancos,tiendas, etc.

Igualmente, todos los que estudiaban asignaturasde matemática, tanto en lo correspon-diente al ciclodiversificado como en la universidad, utilizabantablas con el objeto de calcular raíces cuadradas,potencias, valores de funciones trigonométricas, delogaritmos y exponenciales. Inclusive, cuando habíancálculos numéricos con muchas operaciones demultiplicación, división, potenciación, entre otras, sepasaba primero a transformarlas con logaritmos,luego utilizar las tablas y, por último, buscar elantilogaritmo (la exponencial).Esto se basa en la propiedad de la función logaritmode transformar productos y divisiones en sumas yrestas, respectivamente. Por ejemplo, las tablas deAllen muy utilizadas en Venezuela hasta los años70.

Durante la Segunda Guerra Mundial se comenzarona desarrollar las computadoras que cada año sefueron perfeccionando. Así, se construyeron la MarkI y la ENIAC (integrador y calculador numéricoelectrónico) de J. Presper Eckert y John W. Mauchlyde la Universidad de Pensilvania (Estados Unidos).Los británicos también tenían, para esa época, unacomputadora en funciones de la guerra.

Hoy en día, las calculadoras y las computadoras hansustituido las reglas de cálculo y las tablas.

Todo esto ha tenido un cambio sustancial con eladvenimiento de los medios electrónicos de cálculo,que permiten efectuar muchas operaciones con granprecisión en un tiempo medido en nanosegundos. Reemplazando un bulbo en la ENIAC, la cual era tan compleja que para localizar el

dañado existían más de 19 000 posibilidades de encontrarlo.

Hoy

Desde lasfichas y tablillas de arcilla hasta las computadoras

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 1080

A partir de la década de los años setenta se hanpopularizado, además de las computadoras, lascalculadoras científicas y las graficadoras quesustituyeron a las tablas antes mencionadas. Algunasde ellas permiten dibujar gráficas de funciones, deestadísticas, de sucesiones, etc., así como realizargran parte de los cálculos que se estudian en losprimeros años universitarios en las materias comocálculo diferencial, integral y otras asignaturas.

Algunos años antes, en 1620, Edmund Gunter diseñóla “línea de números” logarítmica, conocida comoescala de Gunter y fue en 1622 que William Oughtred(inglés, 1574-1660) inventó la primera “regla decálculo”, la cual permitía hacer multiplicaciones ydivisiones utilizando sumas y restas. Hasta hacepocos años, fines de la década de 1970, era usualver a los estudiantes de ciencias, ingeniería yarquitectura, cargando su regla de cálculo.

Ayer Hoy

Los primeros vehículos espaciales norteamericanos ysoviéticos, hasta aquellos que conquistaron a la Luna,fueron diseñados con el uso de la regla de cálculo. ElApolo 11, que llevó por primera vez al hombre sobrela Luna en Julio de 1969, tenía reglas de cálculo abordo.

De la ENIAC, que era capaz de realizar 5 000 sumaspor segundo, se pasó a las supercomputadorasactuales que pueden efectuar millones deoperaciones por segundo.