8686904-MATEMATICAS-1-fasciculo5

El esquema geométrico, realizado por Leonardo da Vinci, de un hombre inscrito en un cuadrado y en el que escribió“Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hastaque los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza, verás que el centro de los miembros extendidosse halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero”. La concepción de Leonardose inspira en el canon de Vitruvio (arquitecto romano, s. I a.C., quien hizo uso práctico de la matemática) en susDiez libros de Arquitectura. En el Libro III analizó las dimensiones humanas y escribió las proporciones ideales quedebería tener un hombre “La cabeza es de la estatura, la cara es y el pie es . La mano es igual a unacara y el codo (antebrazo más mano) es igual a dos cabezas, o sea de la estatura. En fin, la brazada representala altura del hombre”. Leonardo da Vinci

Italia 1452-1519

Sir William Thomson-Lord Kelvin- (1824-1907)Físico británico. Su nombre está asociadocon la unidad de temperatura absoluta.

“Si uno logra medir lo que está diciendoy lo puede expresar en números, esque sabe lo que dice; pero si no lopuede expresar con números es queel conocimiento que tiene de ello esescaso e insatisfactorio.”

Medir viene de mensura (metiri). Protágoras deAbdera, filósofo griego (s. V a.C.) escribió un

tratado, Sobre el ser, en que afirma que “elhombre es la medida de todas las

cosas” (el homo mensura).Medir como proceso es

determinar el valor demagnitudes mediante la

comparación con unamagnitud de la

misma especie,tomada como

pa t rón ounidad.

18

110

161

4

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

El mundo de las medidasFascículo

Medidas I

Descubriendo las medidas

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1

Las respuestas a estas preguntas involucran un proceso de medición

¡A ver! ... ¡A ver!

¿Qué es medir?

Medir es determinar unamagnitud comparándola con una

unidad prefijada llamada unidad patrón ofundamental.

El número de calzado que usas, tu estatura,tu peso, tu edad. Todos estos

números son medidas.


¿Quécosas podemos

medir?

Muchas cosas podemos medir, porejemplo, el área de un piso.

Por medición entendemos el procesomediante el cual asignamos un número

a una magnitud.

También podemos medir el aguaque sale por un grifo abierto, el

peso que levanta unamáquina, la longitud de

una carretera.

¡CUIDADO!No todas las cosas son

susceptibles de ser medidas.

Por ejemplo, ¿qué número podemos asignarle a la belleza deuna flor? Tampoco todo número proviene de la medida de algunamagnitud, por ejemplo: el número de un jugador de béisbol no

refleja ningún rasgo particular de su persona.Igual ocurre con los números de las cédulas

de identidad o con la placa de un carro.

RETOConociendo la longitud de un paso tuyo ¿podrías

estimar la longitud que recorrerías si das unmillón de pasos? ¿Será tan grande como la

distancia que hay de Barcelona a Barquisimeto?

El primer intento de unificación de las medidas lo constituyó el uso de medidasbasadas en el cuerpo humano. Por ejemplo, el “codo” era la distancia desdeel codo humano hasta el extremo del dedo medio.Estas medidas distaban de ser exactas, porque no todos los seres humanostenemos las mismas dimensiones.En la Biblia se dice respecto de las proporciones que debía tener el Arca deNoé: “La fabricarás de esta manera: trescientos codos será la longitud delarca, cincuenta codos su anchura, y treinta codos su altura”. (Génesis: 6,15)



¿Pero, cómomedimos?

Ayer me midieron en la escuela y mi estatura

es 1,60 m. ¿Pero, cómo mediremos la

distancia de la Tierra a la Luna?

¿Cuál será mi peso?

A lo largo de la historia el hombre havenido empleando diversos tipos desistemas de unidades. Éstos estáníntimamente relacionados con lacondición histórica de los pueblosque las crearon, las adoptaron o lasimpusieron a otras culturas.

La yarda fue establecida para toda Inglaterra como la distancia existente desdela nariz hasta el pulgar del rey Enrique I.

En Inglaterra, el parlamento fijó ciertas medidas de peso y longitud en términosde granos de trigo y de cebada. Así, 35 granos de trigo formaban un “escrúpulo”

y 3 granos de cebada puestos en fila, constituían una “pulgada”.


Los romanos terminaron por adoptar un sistema de

unidades para todo el imperio. Hicieron un peso que

llamaron “libra” y una barra de bronce que llamaron

“pie”, para medir pesos y longitudes respectivamente.

Por primera vez, el mundo tenía una sola manera de

pesar y medir.

A la caída del Imperio Romano (476 d.C.) volvió la

desorganización en las medidas que se usaban en

diversos países. Así, en un lugar una libra podía ser

unas 13 onzas, mientras que en otro eran 20 onzas;

o un pie podía representar en un país una medida y

en otro ser el doble de esa medida.

La “milla” era una medida romana cuyo nombre significaba mil pasos, mille

passuum, aunque se trataba en realidad de dos mil pasos, porque cada uno

de ellos era un avance que consistía en el movimiento que se realiza desde

una posición hasta que se vuelve a colocar el mismo pie en el suelo.

Pas

suum

Cod

o

Mano

PiePaso



En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la encargada por la AsambleaNacional Francesa, a propuesta de Talleyrand y Prieur, de establecer unsistema unificado de medidas, de aplicación sencilla, lo que culminó el 19de marzo de 1791 con la definición del Sistema Métrico Decimal a partirde las propuestas de dos comisiones.La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima partedel cuadrante de meridiano terrestre.Delambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridianoterrestre que pasa por París, comprendido entre Dunkerque y el castillo deMonjuich en Barcelona.A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otrasunidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad.Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masade un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a latemperatura de 4 °C.

Academia Francesa de Ciencias

Charles Maurice de TalleyrandPolítico francés, 1754-1838

En Venezuela, por ley del Congreso de fecha 13 de febrero de 1857, se adoptó elSistema Métrico Decimal, poniéndole el ejecútese el entonces Presidente de laRepública, general José Tadeo Monagas. Nuestro país figura en el quinto lugar entrelos primeros que adoptaron este sistema. Antes lo habían adoptado Holanda yBélgica en 1821; Grecia en 1836 e Italia en 1853. La obligatoriedad de uso quedóestablecida el 18 de mayo de 1912, por decreto firmado por el general Juan VicenteGómez.

¿Qué es el metro?

José Tadeo Monagas (1784-1868)Presidente de la República de Venezueladesde 1847 hasta el año 1851 y luego desde1855 hasta 1858.

El Sistema Internacional (SI) es un sistema de unidades demedidas que utiliza siete magnitudes fundamentales: longitud,masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura

absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia,cuyas unidades fundamentales son: el metro, el kilogramo,

el segundo, el amperio, el kelvin, la candela y el mol. A partirde esas siete unidades, se definen las derivadas (coulomb,

joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), y otras suplementariasde las últimas.

RETOConociendo que el diámetro máximo de la Tierra es12 756,76 kilómetros. ¿Podrías estimar cuántas personasse necesitan para que, con los brazos extendidos, abracenla Tierra por el Ecuador?


Es un sistema porque es un conjunto de medidasrelacionadas; es métrico porque su unidadfundamental es el metro; y es decimal porque susmedidas aumentan y disminuyen en potencias de 10.

Sistema métrico decimal101

23

4

5 6

78

9

El Sistema Internacional de Medidas fue establecido en la XI ConferenciaGeneral de Pesas y Medidas celebrada en 1960 y fue adoptado porVenezuela en la Gaceta Oficial Nº 27.919 del 25 de diciembre de 1964,durante el gobierno de Raúl Leoni. Las unidades de medida de este sistemafueron publicadas en la Gaceta Oficial Nº 2.823 Extraordinario del 14 de juliode 1981.

Raúl Leoni (1905-1972)Presidente de la República de Venezueladesde 1964 hasta el año 1969

A continuación se muestra una tabla que indica algunosmúltiplos y submúltiplos para medir longitudes, así comoalgunas equivalencias entre ellos.Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: decipara diez; centi para cien; mili para mil y así sucesivamente.Mientras, que para los múltiplos se estableció el uso deprefijos griegos: deca para diez, hecto para cien, kilo paramil, etc.

Símbolo Algunas equivalenciaskilómetro km 1 km =1 000 m = 100 dam = 10 hmhectómetro hm 1hm = 0,1 km = 10 dam = 100 mdecámetro dam 1 dam = 10 m = 100 dm = 0,1 hmmetro mdecímetro dm 1 dm = 0,1 m =centímetro cm 1 cm =milímetro mm 1 mm =

Trata de completar los espacios vacíos de la tablaUna manera de ver la relación entre el metro, sus múltiplos y sus submúltlipos, es la siguiente:

km hm dam m dm cm mm

1 0 2 6 1 0 7

1,026107 km = 10,26107 hm = 1 026,107 m = 10 261,07 dm

Imagínate que vas desplazando la coma en el cuadro superior. Así se obtienen las medidasexpresadas en la línea que está debajo del cuadro.

, , , , , , ,,

¿Qué justifica la presencia de los múltiplos y submúltiplos del metro? Si deseamosreparar una mesa a la cual se le ha roto una pata y deseamos sustituirla, para medirla longitud de la pata nos basta que esta longitud esté expresada en centímetros,no son adecuados, por ejemplo, los kilómetros. Mientras que si deseamos viajar deCaracas a Valencia lo conveniente es expresar en kilómetros la distancia que separaambas ciudades.

OficinaInternacionalde Pesos yMedidas. Donde seconservan lospatrones del metroy el kilogramo delsistema métricodecimal.Sèvres, Francia.

Par

ah

acer

med

icio

nes de una determinada magnitud

sen

ecesita

Si disponemos de fórmulas quepermiten calcular medidas, ¿cómose obtienen y cómo se utilizan?

Por ejemplo:

área =

Longitud de una circunferencia= 2πR

Volumen de una esfera =

(donde R es el radio y π ≈ 3,14)3

2


¿Cómo se mide ?

Ecuador

A B

C D

¿Cómocalculamos el

volumen de esta pelota?¿Cómo calculamos el radio de

la circunferencia ecuatorial si nopodemos medirlo directamente?

¿Cómo calculamos la longitud de estarama?

¿Cómo calculamos el área de laestrella?

¿Cuál de estas tres líneas tienemayor longitud?; y de los

segmentos AB y CD, ¿cuáles el más largo?

Disponer de un sistema de

medida para esa magnitud

Utilizar instrumentos de

medida o fórmulas

Si no disponemos defórmulas o no lasconocemos, ¿quépodemos hacer paracalcular los volúmeneso las capacidades detodos estos recipientes?

(base x altura)

4πR3

INTERESANTE¿Cómo medir el diámetro de una esfera? Una forma práctica de construirun instrumento de tipo casero con el que realizamos tal medida consisteen tomar dos partes planas de cartón grueso o de madera, de la mismaforma (por ejemplo cuadrada o rectangular), con cuatro tornillos largosde igual longitud y tuercas móviles (tipo mariposa), pasando por agujeroshechos previamente en las esquinas. Se coloca la esfera entre esasdos partes planas y luego con una regla graduada u otro instrumentose mide la distancia interior entre los dos cartones. Esta medida da unaaproximación del diámetro de la esfera.El instrumento de medida así construido se denomina esferómetro. Loshay construidos industrialmente. Con él puedes realizar otras mediciones.


Kepler estudió el problema de determinar el volumende diversos toneles de vino, buscando calcular lasdimensiones más adecuadas, con el fin de emplearun mínimo de material para obtener igual capacidad.Ese estudio lo llevó a cabo en una de sus obrasfamosas titulada Nova stereometría doliorumvinariorum, un año que hubo una cosecha abundantede uva (1615). Sin embargo, Kepler es más conocidopor sus tres célebres leyes acerca del movimientode los planetas. Las dos primeras de estas leyeslas anunció en 1609 en su obra Astronomia nova(publicada después de seis años de investigaciones);la segunda, ley de las áreas, reza así: el segmentode recta que une el centro del Sol con el centro deun planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Planeta

Sol

AB

C D

Las partes sombreadastienen la misma área siel planeta tarda el mismotiempo para ir desde Ahasta B y desde C hastaD.

Johannes KeplerAstrónomo y matemático alemán

(1571-1630)

Regla graduada paramedir longitudes.

Vernier (calibrador o piede rey) para medir

longitudes apreciandomilímetros y décimas de

milímetro.

Reloj para medir eltiempo.

Termómetro paramedir temperaturas.

Peso para medirmasa.

En el proceso de medir magnitudes intervienen los instrumentos (aparatos) de medida. Algunos de estosinstrumentos son los mostrados a continuación:

Vasos graduados paramedir capacidades.

Para ciertas mediciones existen hoy en día

instrumentos de precisión utilizados en la

industria y laboratorios para estudios científicos.

Por ejemplo: balanza electrónica, osciloscopio,

cronómetro, contador de vueltas, entre otros.

Osciloscopio Cronómetro

El mundo de las medidas

FascículoM a t e m á t i c a p a r a t o d o s

1


Fórmulas y propiedades que permiten determinar medidasPara calcular el área de regiones planas como la de un rectángulo, un triángulo, uncírculo, etc. y el volumen de ciertos sólidos del espacio como un cubo, un cilindro,una esfera, un cono, etc., se utilizan fórmulas. Esas áreas y volúmenes no se calculandirectamente puesto que previamente se deben medir ciertas magnitudes de esasregiones planas o de esos sólidos.

a

b

Rectángulo Área= a x b

base

altu

ra

Triángulo Área =base x altura

2

R

CircunferenciaLongitud= 2πR

CírculoÁrea = πR2

R

H

CilindroVolumen= πR2H

Esfera sólidaVolumen = 4πR3

3

2En una poligonal ABCDE, su longitud es la suma de las longitudes de lossegmentos AB, BC, CD y DE. En este caso estamos aplicando una propiedad(un teorema) matemática. En el dibujo esas longitudes son respectivamente, 2cm; 1,5 cm; 2,4 cm y 3 cm, por lo que la poligonal mide: 2 cm + 1,5 cm + 2,4 cm+ 3 cm = 8,9 cm D

E

A B

C

3Tales, el primero de los Siete Sabios de Grecia, calculó la alturade la gran pirámide de Keops sin medirla directamente y paraello se valió de un teorema que lleva su nombre. En la historiade la matemática se indica que Tales procedió como sigue: seaH la altura de la pirámide que se quiere calcular; se coloca unbastón verticalmente en la extremidad de la sombra arrojada porla pirámide. Las distancias S y d son respectivamente laslongitudes de las sombras de la pirámide y de la estaca. Medianteel teorema de Tales se puede demostrar la siguiente igualdadH= , siendo D = + S. Esa igualdad permite calcular Hconociendo la base de la pirámide cuadrangular, la sombra S dela pirámide, la altura h del bastón y la sombra del bastón. En sutiempo, la gran pirámide medía 227 m de lado y 146,5 m dealtura.

Tales (s. VI a.C.)Matemático y filósofo, nacido en Mileto, Grecia

R

hd

S

H

base

D x hd

base2

Torre inclinada de PisaItalia


En la medición de características o atributos de los objetos pueden ejecutarse unoo más procesos básicos y acciones como los especificados a continuación, entreotros:

CompararCuando establecemos unamedida lo que hacemos escomparar con un patrónelegido como unidad.

Unidad deárea

15 unidades de áreaUnidad devolumen 16 unidades de volumen

Juntar o agregarCalculamos medidas de objetosjuntando (reuniendo) otros objetosque se solapen. y

=100 cm3 100 cm3 200 cm3

SepararCalculamos medidas de objetos quesólo se solapen, separándolos enotros objetos.

AA1 A2

A3

ClasificarSe agrupan objetos con igualmedida en clases y subclases,para lo que se utilizan frases:“tan largo como”, “tan pesadocomo”, “con volúmenesiguales”, etc.

4 m 4 m10 m 10 m

5 m

2 m

10 m

5 m

2 m

4 m

iguales de largo la misma estatura Volúmenes o capacidades iguales

Galileo GalileiFísico, matemático y astrónomo italiano(1564-1642)

Para la misma época de Kepler, 1609, Galileo Galilei indagaba

acerca del universo e inventó el anteojo astronómico que

revolucionó la observación de los cuerpos celestes.

Área A = área A1 + área A2 + área A3

+

H

3H

R R

Explorar el Universo, lo “infinitamente grande” (distancia de la Tierra a Marte) y lo“infinitamente pequeño” (masa del electrón), ocupa a muchos científicos en el mundoque trabajan de manera mancomunada. Estas exploraciones se hacen en laboratorios,entre los que se destaca el Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN(Ginebra, Suiza).Si nos preguntamos por qué se estudian las partículas, la respuesta es: porque estamosconstituidos por ellas al igual que todo el Universo. Algunas de estas partículas, loselectrones, los protones, los quarks, tienen masa, energía, ejercen fuerzas entre ellas,etc. Así que su estudio permite descifrar los secretos de la materia. Para tener idea delo extraordinariamente pequeñas que son estas partículasmencionaremos que el electrón tiene una masadel orden de 10-31 kg (30 ceros después dela coma decimal:0,0000000000000000000000000000001kg) y aún más pequeños son losquarks.En este esfuerzo conjunto deinvestigación se creó el CERN(1954), en el que actualmentetrabajan más de 1.000 físicos,ingenieros y científicos, y susinstalaciones son utilizadas porcerca de 6.500 científicos de unas500 universidades.Los trabajos científicos que allí serealizan son útiles en la industria,la medicina, la investigación y paraello se valen del mayor aceleradorde partículas que existe, construidoen la frontera Franco-Suiza, el cualmide 27 km de circunferencia,enterrado en un túnel profundo,algunas de cuyas instalacionesestán a casi 100 m de profundidad.Allí se colisionan y detectanpartículas, y se miden diversasmagnitudes con instrumentos de granprecisión, por ejemplo, calorímetrosque miden la energía.Sus investigadores buscan responderpreguntas fundamentales de lanaturaleza: ¿Qué es la materia? ¿Cuáles su origen? ¿Cómo permanece unidaformando objetos tan complicados comolas estrellas, los planetas o los seres humanos? Esos investigadores intentan comprenderla evolución del Universo desde hace 15 000 millones de años hasta nuestros días.

Medida, ciencia y tecnología


Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN.El mayor acelerador de partículas está enterrado en un gran anillo profundo en lafrontera franco-suiza.

¿Por qué losaceleradores departículas son tangrandes y circulares?

Magnetos fuerzan alas partículas a darun movimiento circular

Túnel de aceleración

1.000.000 V

Poniendo varios magnetosen un círculo, las partículasvuelven al inicio, donde seles da un nuevo impulso,por lo que tomanvelocidadesimpresionantes.

u d

ud

u du d

u d

ud

u d

u d

u d

u d

u d

Los átomos están constituidos de electrones

girando alrededor de un núcleo

que está formado por protones

y neutrones

los cuales a su vez están formados de quarks, quarks haciaarriba y quarks hacia abajo, que son el límite de nuestroconocimiento actual.

u d

u d

ud

u du d

u d

ud

u d

ud

ud

El campo magnéticocambia la dirección departículas cargadas.


Tengo que pensarloEl hombre más alto en los anales de lamedicina fue Robert Wadlow (EE.UU.).Cuando se comprobó su estatura en juniode 1940, poco antes de su muerte, medía2,72 m. El mayor peso que llegó a registrarfue de 222,71 kg al cumplir los 21 añosy cuando murió pesaba 199 kg. Susmanos medían 47 cm desde la muñecaa la punta del dedo medio y del extremode un brazo al del otro medía 2,88 m.

¿Cuántos hombres de la estatura del Sr. Wadlow se necesitarían para alcanzar la altura del saltode agua más alto del mundo, el Salto Ángel ubicado en Venezuela, que tiene 979 m?

Es posible pesar cualquier objeto que pese entre 1 y255 unidades (sólo valen cantidades enteras) usandopesas que valen 1, 2, 4, 8, 16, ....., 128 ¿Cómo loharías?

Se tienen 9 monedas de idéntico aspecto, y sabemos que una de ellases falsa, y que por ello pesa menos que cualquiera de las auténticas.Para identificar cuál de ellas es falsa bastan dos pesadas. ¿Cómo loharías? ¿Qué ocurre si en lugar de 9 monedas, tenemos originalmente13 monedas?

Con muchas pesas

La moneda falsa

El timbre más pequeño que se conoce mide 8 mm x 9,5 mm. Estetimbre fue editado en Colombia en el año 1963 y lleva impreso el rostrode Simón Bolívar. Podrías estimar ¿cuántos timbres harían falta paracubrir la cuarta parte de la superficie de un sobre de tamaño 20 cm x10 cm?

El timbre postal

Se dispone de tres botellas de agua, que contienen 8, 5 y 3 litros, respectivamente.La de 8 litros está llena y las otras están vacías. ¿Cómo se pueden compartirlos 8 litros de agua en dos partes iguales utilizando solamente estas tres botellas?

Los botellones

5 3


La enseñanza y el aprendizaje de la medición no pueden reducirse a la mera asignaciónnumérica de una magnitud con instrumentos sofisticados. El desarrollo de contenidosrelacionados con sistemas de medidas debe ser orientado para favorecer en los niñosla comprensión y el desarrollo de procesos y conceptos presentes en la medición.

La construcción del concepto de magnitud se refiere, entre otros aspectos, a abstraer en el objeto o en un fenómeno lamagnitud concreta susceptible de medir. Por ejemplo, es recomendable desarrollar actividades que conduzcan al niño apasar del reconocimiento en un objeto de atributos como el largo, ancho, alto, profundidad, espesor, etc., al reconocimientode la magnitud abstracta que la envuelve y relaciona a todas ellas, que en este caso corresponde a la longitud.

El proceso de medir magnitudes está presente en muchas situaciones de la vida cotidiana. El niño mide desde muy tempranaedad y de manera muy intuitiva. Posteriormente, en el ámbito formal de la escuela, es necesario propiciar la comprensiónde la medición y explorar las implicaciones de ésta en la actividad científica, tecnológica y manufacturera. Es importante,además, concientizar a los estudiantes acerca de los procedimientos implicados en la construcción del concepto de medida,tales como: observación, estimación, comparación, clasificación, comunicación, entre otros.

En este sentido, es recomendable que los maestros comiencen por explorar las ideas que tienen los estudiantes acercade medir. Así resultaría interesante presentar situaciones concretas, por ejemplo, que los alumnos estimen y determinenla longitud del ancho y largo de una mesa, en las cuales tengan que medir sin utilizar instrumentos convencionales demedida (una regla o una cinta métrica) y que registren los resultados de sus mediciones en una tabla que esté a la vistade todos. Es probable que en esta experiencia se utilicen algunos patrones como: "una cuarta", "un pie", "una brazada".

Luego, el docente propiciará una discusión en la cual los estudiantes, además de confrontar sus resultados, expresen susconcepciones acerca de los conceptos involucrados en el estudio del tema. Esta discusión puede ser orientada mediantepreguntas como las siguientes: ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos resultados? ¿Por qué?

Con el fin de evidenciar la necesidad de unificar los resultados de las mediciones realizadas y desarrollar la noción delproceso de medición a continuación conviene desarrollar actividades en las cuales los estudiantes inventen patrones demedida. Para ello, se puede construir una cinta de papel que mida aproximadamente 3 cm de ancho y 90 cm de largo.Solicite a los estudiantes que doblen la cinta, justamente por la mitad y luego la vuelvan a doblar sobre ella misma en partesiguales.

Con un lápiz se marcan las tres líneas que dividen la cinta en cuatro partes iguales y ésta se vuelve a doblar dos vecesmás para que quede dividida en dieciséis partes iguales; se marcan además las doce líneas que dividen nuevamente lacinta.

A continuación se indica a los estudiantes que consideren y den nombre a tres patrones: la cinta, de cinta y de cinta.Algunos nombres pueden ser: 1 cinta = 1 tac, cinta = 1 tec y cinta = 1 tic.

Seguidamente, el docente los invita a medir nuevamente la longitud del ancho y largo de la mesa en la actividad anterior,con el instrumento construido y finalmente con uno convencional (cinta métrica, por ejemplo).

Para cerrar, se puede, a partir de las actividades anteriores, plantear una discusión que permita analizar los resultadosobtenidos. En la discusión debe quedar clara la necesidad que ha tenido el ser humano de medir y unificar patrones demedida y la importancia que tiene el error en el proceso de medición.

Finalmente, se pueden resolver algunos problemas de medición relacionados con la vida cotidiana, lo cual permitirá laaplicación de los contenidos involucrados con el tema estudiado. Por ejemplo, medir la distancia que separa las puertasdel salón de clase y la salida. También resultaría interesante pasar por la experiencia de medir la cantidad de agua queutilizan para bañarse.

1

4

1

16

1

41

16

1 tec 2 tec 3 tec1 tic 2 tic 3 tic

Aprender a medir

Ventana didácticaEstrategias sugeridas al docente


MaterialSobre una cartulina, dibuje y recorte tantas tarjetas comopersonas van a jugar.En cada tarjeta (salvo la primera y la última) se escribe unapregunta y la respuesta a la pregunta de la tarjeta anterior.En la primera tarjeta se escribe “Yo comienzo” y una pregunta.En la última tarjeta sólo se escribe la respuesta a la preguntade la tarjeta anterior.

Ponte Pilas

¡A jugar!

¿Cómo se juega?1. Se reparten las tarjetas entre los participantes.2. Comienza el que tenga la tarjeta que dice “Yo comienzo” y realiza la pregunta que aparece en su tarjeta.3. Alguien tiene la tarjeta con la respuesta a esa pregunta y debe estar atento, pues es el segundo en jugar. Continúa así

el juego hasta llegar a la última tarjeta.4. Si alguien está descuidado o se equivoca al responder, se le grita “PONTE PILAS”.

YO COMIENZO

En los juegos de lotería portelevisión oigo que las bolitascon cifras que se usan han sido

certificadas por el ServicioNacional de Metrología.

¿Qué es el Servicio Nacionalde Metrología?

Es una dependencia delMinisterio de Producción y

Comercio que se encarga detodo lo relacionado con pesas

y medidas.

¿Qué se mide?

Volumen, capacidad, etc... Semiden magnitudes como

longitud, peso, área...

Cuando nos referimos a unadistancia, al largo, al ancho,

a la profundidad ¿nosreferimos a la misma

magnitud?

En todos esos casos lamagnitud es longitud.

¿Cómo se determinacuantitativamente una

longitud?

Para determinarcuantitativamente una

longitud se mide.

¿Qué es medir?

Medir es comparar con unaunidad patrón.

¿Qué es una unidadpatrón?

Unidad patrón es una ciertacantidad que se toma como

medida común de todas las desu misma especie. Por ejemploen el SI, la unidad patrón de

longitud es el metro.

¿Qué es el SI?

El SI es el SistemaInternacional de Medidas.

Pero, ¿existió otro sistemade unidades de medidas?

Antes se utilizó el SistemaMétrico Decimal.

¿Cuáles fueron lasmagnitudes básicas en elSistema Métrico Decimal?

Longitud, masa y tiempo.

¿Cuáles son susunidades patrón?

Para la longitud: el metro;para la masa: el kilogramo;y para el tiempo: el segundo.

¿Cómo se simbolizan estasunidades?

Se simbolizan:Metro - mKilogramo - kgSegundo - sPor ser símbolos y noabreviaturas no llevanpunto.

Resultados Se necesitarían 360 personas del alto de Robert Wadlow para alcanzar la cima del Salto Ángel y sobrepasarlapor 20 cm.

En la primera pesada colocamos 3 monedas en cada lado de la balanza, si tienen el mismo peso entoncestenemos definido que la falsa moneda está en el último lote. En caso de que un lado pese más que el otro,tenemos determinado que la moneda se encuentra en este trío. Del trío más pesado colocamos una monedaen cada lado de la balanza, si una pesa más que la otra tenemos definida la falsa, si pesan igual, estodetermina que la tercera (no usada) es la falsa. Con 13 monedas necesitamos una pesada más.

Se necesitan 66 estampillas para cubrir un cuarto del sobre.

Llamaremos la botella de 8 litros A, la de 5 litros B y la de 3 litros C; Llenamos la botella B (5 litros) y conésta llenamos la C, por lo que las tres botellas quedan con la siguiente cantidad de litros: A=3, B=2 y C=3.El contenido de la C (3 litros) lo devolvemos a la A y el resto de la B (2 litros) lo echamos en la C. Nos quedaahora A=6, B=0 y C=2. Con A llenamos la B (5 litros) y nos queda A=1, B=5 y C=2.Con B completamos C y nos queda A=1, B=4 y C=3. Nos queda solamente echar el contenido del C en Ay obtener las cantidades deseadas en las botellas A y B.

Carlos A. Di PriscoLa matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*

Nació en Caracas en 1949. Cursóestudios de Matemáticas en la

Universidad Central de Venezuela, de1966 a 1970 y obtuvo su título de PhD

en el Instituto de Tecnología deMassachusetts (MIT), en 1976. El doctorDi Prisco es un reconocido especialista

en lógica matemática y teoría deconjuntos. Es miembro de la Academia

de Ciencias Físicas, Matemáticas yNaturales. Ha sido director asociado de

la revista Interciencia. Es investigadortitular del IVIC, donde ha sido decano deestudios de postgrado y jefe del Centro

de Matemáticas; es además profesortitular de la Universidad Central de

Venezuela y miembro del Sistema dePromoción al Investigador, Nivel IV. En laactualidad su tema de interés es el estudiode ciertas propiedades de los números,en particular el estudio del Teorema de

Ramsey y sus consecuencias. Obtuvo elPremio “Lorenzo Mendoza Fleury” de

Fundación Polar en el año 1983.

Fotografía: Archivo Fundación Polar

Según sus propias palabras: "La colección de los números naturales, siendo aún una delas estructuras más básicas de las matemáticas, es de una complejidad asombrosa.Algunas de las preguntas que los matemáticos se han planteado sobre estos númeroshan resultado sumamente difíciles de responder, a tal punto que una cierta cantidad deellas han resistido el ataque de los matemáticos durante los siglos y siguen aún sinrespuesta; otras, han dado lugar al desarrollo de teorías matemáticas de gran complejidad”.

En 1930, F. P. Ramsey (matemático y economista inglés perteneciente al círculo deKeynes), publicó un teorema que ha servido de punto de partida para la creación de unateoría matemática muy rica, cuyas ramificaciones trascienden el ámbito de los númerosnaturales. Una versión de este resultado está estrechamente relacionada con el siguientejuego: se juega con dos personas y se necesita una hoja de papel en la cual se hanmarcado seis puntos y dos lápices de colores diferentes, uno rojo y el otro azul, porejemplo. En la hoja de papel se marcan seis puntos de tal manera que no hay tres deellos en una misma línea recta. Cada jugador, en su turno, une dos puntos de los seis,dibujando un segmento entre ellos. Cada dos puntos se unen una sola vez. El primerjugador que complete un triángulo que tenga el mismo color de su lápiz, pierde. El teoremade Ramsey permite demostrar que siempre habrá un ganador en este juego, no importacómo se proceda. Por ello algunas veces se enuncia este teorema diciendo que: esimposible obtener un completo desorden.

La versión del teorema de Ramsey para conjuntos con infinitos elementos la podemosexplicar como sigue: supongamos que tenemos todos los pares de números naturales,por ejemplo, (1,2), (7,2003), (5,3), etc. Dividamos esta colección en dos clases, no importacómo, lo significativo es que cada par de números naturales en el que usted piense, estéen una de las dos clases. El teorema de Ramsey afirma que siempre es posible encontrarun conjunto infinito de números naturales tal que todos los pares de elementos de eseconjunto estén en la misma clase.

Este importante Teorema tiene extensiones que se relacionan con ideas matemáticassorprendentes para alguien que no sea matemático, pues están relacionadas con laexistencia de diferentes magnitudes infinitas, algo que los especialistas llaman númerostransfinitos. El estudio del infinito en matemáticas ha servido de base para el desarrollode algoritmos que han permitido a su vez avances extraordinarios en las ciencias de lacomputación.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

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