8.Fuerzas Inter en Vigas y Porticos

Contenido

8. Fuerzas internas en vigas y prticos:::

1. El anlisis de los esfuerzos se puede resumir en cuatro pasos:

Computar las reacciones.1.Escribir las reaccciones de fuerza o esfuerzo.2.Dibujar los diagramas de fuerzas internas.3.Localizar los esfuerzos mximos4.

2. Los esfuerzos actuando en una seccin transversal son generalmente estudiadosusando un diagrama de cuerpo libre que es aplicado a:

La viga entera.1.Un segmento de la viga.2.Un elemento diferencial de la viga.3.

La interpretacin algebraica de la variacin de las fuerzas internas es llamada ecuacin deequilibrio. Esta variacin es gobernada por el cambio abrupto en una porcin o varias porciones dela viga y puede, as mismo, ser representada por varias ecuaciones cada una correspondiendo adeterminada porcin de la viga.

Estas ecuaciones son usualmente escritas en trminos de la posicin de la coordenada x, medida a

lo largo del eje de la viga desde el extremo izquierdo, o en trminos de x' , medida a lo largo deleje pero desde el extremo derecho en la direccin contraria.

Un segmento del cuerpo libre es obtenido con dos secciones imaginarias que cortan la viga en unadistancia determinada.

Este segmento es aislado y deben tener en cuenta todas las fuerzas que sobre el mismo actan.

Seccin izquierda Seccin derecha

Nj = - Nk - Px - Wx * dx Nk = - Nj - Px - Wx

* dx

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Vj = - Vk - Py - Wy * dx Vk = - V j - Py - Wy

* dx

Mj = - Mk - Vk *L - M + Py

*a + Wy *X* dx Mk = - Mj + Vj

*L - M - Py*a' - Wy

*X' * dx

las fuerzas se equilibran de la siguiente manera:

Seccin izquierda Seccin derecha

Nj = - Nk - Px - Wx * dx Nk = - Nj - Px - Wx

* dx

Vj = - Vk - Py - Wy * dx Vk = - V j - Py - Wy

* dx

Mj = - Mk - Vk *L - M + Py

*a + Wy *X* dx Mk = - Mj + Vj

*L - M - Py*a' - Wy

*X' * dx

Donde:

Px , Py , Wx , Wy son las componentes de las cargas1.

a, b, c, x son las coordenadas de posicin medicas desde el extremo I2.

a,, b,, c,, x, son las coordenadas de posicin medidas desde el extremo D3.

La representacin grfica de las fuerzas internas es conocida como el diagrama de fuerzasinternas , en el cual la ordenada representa el valor de la fuerza y la coordenada horizontal indicala posicin de la seccin transversal. El rea del diagrama est encerrado por la lnea de cerofuerza con la lnea de los valores variables del resultado de la fuerza en cada punto, hasta laseccin transversal considerada.


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Cuando en un elemento dx limitado por dos secciones normales adyacentes de una barracualquiera se establecen las condiciones de equilibrio en cada extremo del elemento diferencial,las cargas N, V y M actan en la seccin izquierda mientras que en la cara derecha actuan N + dN,V+ dV y M + dM . El equilibrio del elemento diferencial es:

Carga distribuida: dN/dx = - Wx , dV/dx = - Wy , dM/dx = V

Cargas concetradas: N = - Px , V = - Py , M = 0

Moneto aplicado: N = 0 , V = 0 , M = - Q

Cargas Distribuidas :

La pendiente del diagrama de fuerzas normales en cualquier direccin a lo largo de la barraes la negativa de wx en ese punto.

1.

La pendiente del diagrama de fuerzas cortantes en cualquier direccin a lo largo de la barraes la negativa de wy en ese punto.

2.

La pendiente del diagrama de momentos en cualquier direccin a lo largo de la barra esigual al valor de la cortante en ese punto.

3.

Cargas Concentradas :

El cambio repentino de valor en el diagrama de normales en la barra es el negativo de lacarga aplicada Px en ese punto.

1.

El cambio repentino de valor en el diagrama de cortantes en la barra es el negativo de lacarga aplicada Py en ese punto.

2.

Ningn cambio de valor repentino en el diagrama de momentos se hace efectivo para labarra en el punto de aplicacin de P .

3.

Momento Aplicado :

No hay cambio repentino en los diagramas de fuerza normal y cortante de la barra en elpunto de aplicacin del momento externo Q .

1.

El cambio repentino del diagrama de momentos en la barra es igual al valor negativo delmomento Q en el punto de aplicacin de este.

2.

Cuando se integran las ecuaciones diferenciales entre los limites j y k (entre dos secciones de labarra), incluyendo el efecto de las cargas singulares en este tramo se obtienen las siguientesecuaciones:

N(j) - N(k) = Wx* dx -

k

Pxj


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V(j) - V (k) = Wy* dx -

k

Pyj

M(j) - M (k) = Wy*X*dx -

k

Mzj

k

Px ;k

Px ;k

Mzj j j

donde,

Son sumas algebraicas de las componentes normales, tangenciales y de momento de las cargasconcentradas que actan entre las dos secciones.

Los valores extremos de N, V, M ocurren en las secciones donde las pendientes de estos son cero,es decir:

dN/dx = -Wx = 01.

dN/dx = -Wy = 02.

dM/dx = V = 03.

Valores Mximos:

El valor mximo de la fuerza normal ocurre en la seccin donde Wx = 01.

El valor mximo de la fuerza cortante ocurre en la seccin donde Wy = 02.

El valor mximo del momento flector ocurre en la seccin donde V = 03.

Una vez calculadas las reacciones en los apoyos se determinan los tramos en los que se vana plantear las ecuaciones de fuerzas internas, de acuerdo a una variacin continua de lascargas externas.Se efectan cortes en cada tramo determinado y se calculan las resultantes de las fuerzasinternas en cada corte, partiendo de derecha a izquierda desde el inicio de la viga.Se verifica que las cargas externas hasta el corte y las resultantes puntuales halladas encada corte estn en equilibrio esttico.Se construyen los diagramas de momentos, cortantes y normales considerando posicionespositivas de acuerdo a la siguiente convencin: todos los momentos son positivos cuandogiran en sentido contrario al horario, las cortantes son positivas si van orientadas de abajohacia arriba y las normales son positivas cuando van orientadas de izquierda a derecha.


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Construccin de diagrama de momento

Anexo al contenido: Ver animacin

*La carga distribuida solo est en el tramo III

Tramo I

V(x)I R1YM(X)I = R1y*X

Tramo II

V(x)II = R1y - P

M(x)II = R1y*X - P * (X - a)

Tramo III

M(x)III = R1y - P - W* (X - 2.25* a)

M(x)III = R1y *X - P* (X - a) -

Tramo IV

V(X)IV = R1y - P - W* (1.5*a)

V(X)IV =R1y* X - P* (x -a) - W* (1.5* a) * (x - 3*a)

Tramo V

V(X)V = R1y - P - W* (1.5 *a) - 2* P

V(X)V = R1y *X - P (X - a) - W* (1.5*a) *(X -3 *a) - 2* P* (X - 5 * a) - M


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Ver animacin

Construccin de diagramas de cortante y momentos

Considerar para la viga que la carga distribuida es W = P/a y el momento est

definido como M = 2P*a. Hallar diagrama de cortante y momentos

Chequea!

TramoI: La variable X entre o y a

V(X)I = R1y =

M(X)I = R1y *X =

Tramo II: Valor de X entre a y 2.25* a

V(X)II = R1y - P =

M(X)II = R1y *X - P* (X - a) =


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Tramo III: Valor de X entre 2.25* a y 3.75* a

V(X)III = R1y - p -W* (X - 2.25*a) =

M(X)III = R1y *X - P* (X - a) -

Tramo IV: Valor de X entre 3.75* a y 5.0* a

V(X)IV = R1y - P - W* (1.5*a) =

M(X)IV = R1y *X - P* (X - a) - W* (1.5* a) * (X - 3* a) =

Tramo V : Valor de X entre 5* a y 6*a

V(X)V = R1y - P - W* (1.5*a) - 2* P =

V(X)V = R1y *X - P* (X - a) - W*(1.5*a) * (X - 3* a) - 2* P*(X - 5*a) - M =

TramoX

EcuacinV (x)

EcuacinM (x)

ValorV (x)

ValorM (x)

02.25* P 2.25* P* X

2.25P 0

a 2.25P 2.25a

a1.25* P 1.25* P* X + P* a

1.25P 2.25a

2.25*a 1.25P 3.81a

2.25*a3.5* P - P * x/a

1.25* P*X + P*a

-(0.5* P/a)*(X - 2.25* a)21.25P 3.81a

3.75*a -0.25P 4.56a

3.75*a- 0.25* P 0.25* P* X + 5.5* P* a

-0.25P 4.56a

5*a -0.25P 4.25a

5*a - 2.25* P -2.25* P* x + 13.5* P* a -2.25P 2.25a


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Ver animacin

6*a -2.25P 0.0

Por tramos: Chequeo delos primeros tres tramos transladando cortantes ymomentos al final de cada tramo y estabelciendo el equilibrio a partir del iniciodel tramo.

Resolver la viga simplemente apoyada

M1 = 0 - 2*2*1 - 10* 4 - 12 - 20*8 - 25*(4/5)*10 + R2y

*12 = 0

M2 = 0 2*2*11 + 10* 8 - 12 + 20*4 + 25*(4/5)*2 - R1y

*12= 0

Fy = 0 R1X + 25* (3/5)* 2 = 0

Tamo I: La variable X entre 0m y 2m


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M(X)I = R1y *X - 0.5*2*(x)2=

Tramo II: La variable X entre 2m y 4m

M(X)II = R1y* X - 4* (X - 1) =

Tramo III: Valor de X entre 4m y 6m

M(x)III = 15.33* X + 4 - 10* (X - 4) =

Tramo IV: Valor de x entre 6m y 8m

M(X)IV = 5.33* X + 44 + 12 =

Tramo V:Valor de X entre 8m y 10m

M(X)V = 5.33*X + 56 - 20*(X - 8) =

Tamo VI: Valor de X entre 10m y 12m

MVI = -14.67* X + 216 - 25* (4/5)*(X - 10) =

Se considera cada tramo de la viga y se evalan las cortantes y momentos enlos extremos de cada tramo identificado. Cada ecuacin de momento se formade aquella con la que se finaliza el tramo anterior y se le suman los momentos,en funcin de la variable x, del siguiente tramo.

Tramo X EcuacinV(X)Ecuacin

M(X)ValorV(X)

ValorM(X)

I0

19.33 - 2* X 19.33* X - 0.5*X219.33 0

2m 15.33 34.67

II2m

19.33 -4 = 15.33 15.33*X + 415.33 34.67

4m 15.33 65.32

III4m

15.33 - 10 = 5.33 15.33*X + 4415.33 65.32

6m 5.33 76.0

IV6m

5.33 5.33* X + 565.33 88.0

8m 5.33 98.64

V8m

5.33 - 20.0 = - 14.67 - 14.67*X + 2165.33 98.64

10m -14.67 69.3

VI10m

-14.67 - 20.0 = - 34.67 - 34.67*X + 416-14.67 69.3

12m -34.67 0.0

Diagrama de momentos y cortante. Equilibrio de cuatro tramos


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Momentos y cortantes en un voladizo


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Ver animacin

Ver animacin

R1X = 9.0 ton

R1y = 12 + 2(3) = 18 ton

M1 = + 12(3) = 45 ton

M2= 18* 3 - 45 - = 0.0

Viga con voladizo y carga variable

M1 = 0 R2y* 2.5 + R3y

* 9.0 - 13.5* 5.5 = 0.0

R2y* 2.5 + R3y

* 9.0 = 74.25

M4 = 0 - R2y* 9.0 - R3y

* 2.5 + 13.5* 6.0 + 6.5* 11.5 = 0.0


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R2y* 9.0 + R3y

* 2.5 = 155.75

;

Solucion por tramos:

Tramo I: La variable X entre o y 2.5m

V(X)I = 6.5

M(X)I = - 6.5* X

Tramo II: Valor de X entre 0 y 6.5m

V(X)II = - 6.5 + R2y *X = 9.77 -

M(X)II = - 16.25 + 9.77* X - (W)* *X

M(X)II = - 16.25 + 9.77* X - (1.5 - X/18)* X2

Tramo III: Valor de X entre 0 y 2.5m

V(X)III = 1.042 = 1.042 *X

M(X)III = - 0.87 + 1.042* X - (W)*

M(X)III = - 0.87 + 1.042* X - (0.4167 - X/18)* (X)2


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Ver animacin

Viga compuestas.Clculo de diagramas de cortante y momento

Separadamente:

Viga 1 - 2:

M2= - R1y *9 + 2*11*5.5 + 3* 6+ 6*3 = 0

My= -R1y + R2y -2*11 - 3 - 6 = 0


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Viga 5 - 6:

M5 = 0

M5 = 0

Viga 2 - 5:

M2 = 0

M5 = 0

Conjuntamente:

Fy = R1y + R3y + R4y R6y -2* 11.0 - 3.0- 6.0 -4*

12.0 - 4.0 = 0

F2 = R1y *9.0 + 2.0 * 11 * 5.5 + 3.0 + 6 + 6*3 = 0

F5 = R6y *6.0 - 2.0*6.0*3.0 - 4.0* 3 = 0

F3 = R1y *11 + R4y *8 + R6y*162*11* (5.5 + 2) +

3* 8 + 6*5 - 4*12*4 - 4-*13 - 2*6*13 = 0

Valores de momento tramo I: hasta punto 2

Tramo Ecuacin M(x) Valor de x Valor M(x)

x 2m Mx = -x2 x= 2 m - 4.0

x 5m Mx= -x2 17.44*(x - 2) x= 5 m +47.32

x 8m Mx = -x2 + 17.44* (x - 2) - 3*(x - 5) x= 8 m +31.64

x 11mMx = -x

2 + 17.44* (x - ") - 3* (x - 5) -

6* (x - 8)x= 11m 0.0

Valores de momento tramo II: hasta punto 2 a 5

Distanciax Ecuacin M(x) Valor de x Valor M(x)

x 2 m Mx = -13.56*x - 2*x2 x= 2 m -35.12

x 6.35 m Mx = -13.56*x - 2*x2 + 38.95*(x - 29) x= 6.35 m +2.68

x 10 mMx = - 13.56 *x - 2* X2 + 38.95* (x - 2) + 30.61* (x - 10)

x= 10 m -24.0


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Ver animacin

x 12 mMx = -13.56*x - 2* x2 + 38.95* (x -2) + 30.61* (x -10)

x= 12m 0.0

Los momentos son cero en los puntos 2 y 5, donde estn ubicadas lasarticulaciones.

1.

Las cortantes en estos mismos puntos corresponden a las reaaccionesR2y y R5y.

2.

Por accin y reaccin las cortantes en los puntos 2 y 5 son continuas y,efectivamente, corresponden a un mismo valor.

3.

Los diagramas de cortantes y momento pueden ser representados demanera continua uniendo los tres tramos.

4.

Viga compuestas con tramos sucesivos


15 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

Viga 1 - 2:

Viga 2 -4:

Viga 4 - 5:

Diagramas de momento y cortante del ejemplo propuesto:


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Ver animacin

Clculo de cortantes y momentos en un prtico con voladizos

Se encuentras las reacciones de la estructuras:1.


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Los sentidos encontrados para las reacciones son los los defnitivos1.

Nudo 4

Tramo 1 -4: R1x = 1.875 Tn , R1y = 7.05Tn

Fx = 0 - R1x + 6.5 R4x = 0 R4x = - 4.625 Tn

Fy = 0 - R1y + R4x = 0 R4y = - 7.05 Tn

Fz = 0 - R1x *6 + 6.5*3 + m4 = 0 M4 = - 8.25 Tn - m

Tramo 4 -5:

Fx = 0 R4x + R 4x + R4x = 0 R 4x = 4.625 Tn

Fy = 0 R4y + R 4y + R4y = 0 R 4y = 5.55 Tn

Mz = 0 M4 + M 4 + M 4 = 0 M 4 = 9.0 Tn - m

Tramo 3 - 4:

Fx = 0 R4x = 0


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Fx = 0 - 1.5*1 +R4y = 0 R4y1.5 Tn

Fz = 0 - 1.5* 1.0* 0.5 + M4 = 0 M 4 = - 0.75 Tn - m

Nudo 6:

Tramo 2 - 6: R2x = 4.625 Tn , R2y = 10.95 Tn

Fx = 0 - R2x + R6x = 0 R6x = - 4.625 Tn

Fy = 0 - R2y + R6x = 0 R4y = - 10.95 Tn

Fz = 0 - R2x *6 + M 6 = 0 M6 = 27.75 Tn - m

Tramo 6 - 7:

Fx= 0 R6x = 0

Fy= 0 -1.5*1 + R6y = 0 R6y = 0 R6y = 1.5 Tn

Fz= 0 1.5*1.0*0.5 + M6 = 0 M6 = 0.75 tn - m

Tramo 6 - 5:

Fx = 0 - R6x + R6x+ R6x = 0 R4x = - 4.625 Tn

Fy = 0 - R6y + R6y+ R6y = 0 R4y = 9.45 Tn

Mz = 0 - M 6 + M 6+ M 6 = 0 M 6 = - 28.5 Tn


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Ver animacin

Portico triarticuladoEncontrar los diagramas de momento y cortante


20 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

MB = 0

- 6m* RAy - 3TN* 6+ 3* (4.5 +1.5)+ 2* 4.243* (4.5 + 1.5) = 0

RAy = 8.49Tn

RBy = 6 + 2* 2* 4.243 - RAy = 14.48 Tn

MC(izqu) = 0

- 9m* Rax + 8.49* 3+ 3*3 + 3* 1.5 + 2* 4.243* 1.5 = 0

RAx = 0.084Tn

RBx = 2.916Tn

Nota:

La carga axial distribuida a lo largo de los elementos D - C y D - E produce unacarga cuyo valor equivalente es (2 Tn/m)*(4.243 m)


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Equilibrio y diagramas en tramos verticales

Nuedo D:

Tramo A - D: RAx = 0.084Tn, RAy = 8.49 Tn

Fx = 0 - RAx+ RDx = 0 RDx 0 4.625 Tn

Fy = 0 RAy+ RDy = 0 RDy 0 4.625 Tn

Fz = 0 - RAx*6 +MD = 0 M D = 0.5 Tn - m

1.

Nudo E:

Tramo B - E: Rbx = 2.916Tn , RAy = 14.48Tn

Fx = 0 - RBx+ REx = 0 REx = 2.916 Tn

Fy = 0 RBy+ REy = 0 REy = - 14.48 Tn

Fz = 0 - RAx*6 +ME = 0 M E = 17.5 Tn - m

1.


22 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

Tramo D - C: Equilibrio y diagramas


23 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

En Coordenada s Globales: R"Dx= 3.0 - 0.084 = 2.916 Tn ; R" Dy= 8.49 Tn

1.

En coordenada s Locales: 2.

Fx(L) = R" Dx(L) + R" Cx(L) - 1.414 * 4.243 - 2.12 = 0.0

Fy(L) = R" Dy(L) + R" Dy(L) - 1.414 * 4.243 - 2.12 = 0.0

Tramo E - C: Equilibrio y diagramas


24 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.


25 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

Ver animacin

En Coordenada s Globales:1.

En coordenada s Locales: 2.

Fx(L) = 0 R"Ex(L) - RCx(L) - 1.414 * 4.243 - 2.12 =

0.0

Fy(L) = 0 R"Ey(L) - RCy(L) - 1.414 * 4.243 - 2.12 =

0.0

Portico simplemente apoyado y diferentes tipos de cargavertical

Determinar diagramas de momento y cortantes:


26 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

Cambio cargas globales a ejes locales:


27 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

Tamo A - B


28 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

Tamo E - D

Tamo B - C: Para el tramo D - C se sigue el mismo procedimientode ste tramo


29 de 29 20/05/2014 01:25 a.m.

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