9. CONSTRUCCIÓN Y ANÁLISIS DE HISTOGRAMAS.

Los histogramas son una forma sencilla de mostrar datos que se han recolectado para su análisis, a partir de hojas de verificación u hojas de registro, o simplemente a partir de registros convencionales de datos.

En él se puede apreciar la forma, acumulación o tendencia posicional, y dispersión o variabilidad de los datos, la frecuencia con que se repite un dato, cuántos datos entran en los límites de especificación y cuántos no. También podemos ver cuál es el dato que más se repite, llamado “moda”, de la serie de datos tomados y, en general, podemos tener información para hacer deducciones acerca del comportamiento de la población sin hacer más procesos con los datos.

El histograma es “la representación gráfica de la distribución de frecuencias de los valores de los datos estudiados”.

En todo histograma se pueden observar tres características principales:• El centro (valor al cual tienden a acercarse todos los datos).• Forma que toma el histograma.• Dispersión de los valores.

El histograma se puede construir con todos los datos de una población, pero es más frecuente que se haga a partir de una muestra, siempre y cuando sea de tamaño adecuado, mínimo 30 datos.

MÉTODO DE ELABORACIÓN DEL HISTOGRAMA.

1. Obtener una muestra y los valores de la variable que se estudia. Mínimo 30 datos. Es recomendable utilizar una hoja de registros.

2. Calcular el rango o amplitud de los datos (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).

3. Determinar el ancho de cada intervalo que servirá para construir el histograma. Se obtiene dividiendo el rango calculado en el paso anterior en el número de intervalos, (c = R/k). A cada barra corresponde un intervalo o “clase”.

Es recomendable que el histograma tenga de 5 a 20 barras. Una buena aproximación del número de intervalos aconsejable se obtiene calculando la raíz cuadrada del número de datos o a partir de la fórmula de Sturges, (k = 1 + 3.32 log n).Se aconseja que el tamaño o amplitud de intervalo tenga un grado de aproximación no mayor a aquel con el que se registran los datos.

4. Establecer los límites o fronteras de cada clase, es decir, los valores de inicio y terminación de cada intervalo.

5. Construir la tabla. La tabla se puede construir de diferentes formas pero hay que tener en cuenta que el primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Asimismo, la presentación de los datos en la tabla no debe generar confusiones acerca del intervalo que contiene cada dato. En lo posible, todos los intervalos deben atener el mismo ancho. Es usual que en la primera columna se registre el número de orden de cada clase, en la segunda se escriban los intervalos, en la tercera las marcas de clase y en la cuarta las frecuencias.

6. Graficar el histograma. En lo posible dar una presentación tal que la altura sea aproximadamente ¾ del ancho de la gráfica.

El histograma de frecuencias en sí es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente: Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal. La longitud de la base es igual al ancho del

intervalo. Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical y corresponden a las frecuencias de las

clases. Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases. Los histogramas pueden estar referidos a las frecuencias absolutas, a las frecuencias acumuladas o a las

frecuencias relativas o porcentuales.

La presentación del histograma puede mostrar una distribución simétrica o asimétrica, un grupo de datos unimodal, bimodal, multimodal, con poca variabilidad, con mucha variabilidad, con sesgo positivo, con sesgo negativo, etc. El análisis de estas características nos puede conducir a diferentes conclusiones acerca de la población de la cual se ha tomado la muestra en estudio.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

E.9.1. En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de calidad es el grosor de las láminas. Para un cierto tipo de lámina el grosor óptimo se estima en 5.0 0.8 mm., ya que si la lámina tiene un grosor menor de 4.2 mm. no reúne las condiciones exigidas por el cliente y si la lámina tiene grosor mayor de 5.8 mm., entonces representa un sobrecosto para la empresa muy significativo.

Para iniciar un proceso de control, un círculo de calidad que participa en el programa de mejoramiento continuo de

la empresa, decide medir el grosor de 60 láminas y se obtiene: X~

= 4.70 mm. X = 4.73 mm. s = 0.48 mm.Considerando la “regla empírica” para determinar la variabilidad de una muestra y relacionarla con su población de origen se llega a la conclusión de que la mayoría de las láminas se encuentran entre 3.29 mm. y 6.17 mm., lo cual no es consistente con los límites de tolerancia propuestos.

Con el objeto de corregir tal situación, el grupo pone en práctica un plan de mejora. Para verificar si el plan tuvo éxito toman 35 láminas de la producción de una semana posterior a las modificaciones. Los espesores obtenidos se muestran a continuación:

5.2 5.4 4.7 5.1 4.7 5.0 5.1 5.0 4.9 4.3

4.7 5.3 4.6 4.8 4.4 4.7 4.9 5.6 4.7 4.7

4.5 5.1 4.7 4.7 5.1 5.3 5.0 5.3 4.5 4.4

4.7 5.6 5.2 4.7 5.4

a) Calcule la media, mediana y desviación estándar, compárelas con los estadísticos antes de la mejora y establezca si el plan dio resultado. Argumente.

b) Construya un histograma e inserte en él las especificaciones. Proponga sus conclusiones.

E.9.2. Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad y la cantidad del componente PV44 influye en tal densidad significativamente.

La cantidad de PV44 en la formulación de un lote se controla con base en el número de recipientes, que según el proveedor deben contener 20 kg. cada uno. Sin embargo, con frecuencia se tienen problemas con la densidad que deben corregirse con trabajos adicionales. Como parte de los programas de mejoramiento continuo y reducción de costos de la empresa se intenta establecer las causas del excesivo re-proceso en esta área de la empresa.

En el caso de la pintura en cuestión y después de una lluvia de ideas y utilizar el diagrama causa-efecto como herramienta para identificar causas potenciales, se quiere iniciar el estudio estableciendo cuál es la cantidad real de PV44 en cada contenedor, para determinar si se puede descartar al proveedor como origen del problema.

Para averiguar lo anterior se ha decidido tomar una muestra aleatoria de 30 contenedores de cada lote o entrega que es de 500 unidades.

LOTE PESO DEL CONTENIDO (KG.)

118.6 19.2 19.5 19.2 18.9 19.4 19.0 20.0 19.3 20.018.8 19.3 19.1 18.6 19.4 18.7 21.0 19.8 19.0 18.619.6 19.0 19.1 19.1 19.6 19.4 19.8 19.1 20.0 20.4

218.6 19.9 18.8 18.4 19.0 20.1 19.7 19.3 20.7 19.618.9 18.4 19.5 19.1 18.5 19.6 19.4 19.6 20.3 18.819.2 20.6 19.0 19.7 20.0 18.4 18.9 19.7 17.8 19.4

20.1 20.2 21.0 19.7 20.1 20.0 19.1 20.4 19.6 20.6

a) Las tolerancias que se establecen para el contenido de cada contenedor son 20 0.5 kg. Calcule los estadísticos básicos para las muestras y decida si la calidad es satisfactoria.

b) Calcule los estadísticos básicos para los 90 datos y proponga una opinión global sobre el peso de los contenedores.

c) Obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las especificaciones y obtenga una conclusión general sobre el peso de los contenedores.

d) Con base en lo anterior, ¿cuál debe ser la posición de la fábrica de pinturas ante el proveedor de PV44, de acuerdo con los principios de la Gestión de la Calidad Total?

E.9.3. En una fábrica de envases de vidrio se han presentado problemas frecuentes con la capacidad de las botellas de 750 ml. Con base en el historial del proceso se sabe que la capacidad media del tal tipo de envase es de 749 ml., con desviación estándar de 12 ml.

a) Si las especificaciones para la capacidad de las botellas son de 750 10 ml., presente un diagnóstico sobre los tipos de problemas que se tienen en cuanto al volumen.

Con el propósito de mejorar la calidad de las botellas en cuanto al volumen se han puesto en práctica dos propuestas a nivel experimental, después de lo cual se han tomado muestras de cada propuesta y se obtuvieron los siguientes datos:

PROPUESTA CAPACIDAD DE LAS BOTELLAS

1740 759 740 751 751 751 750 757 744 752738 743 748 742 761 765 754 733 753 752751 758 747 753 746 753 766 751 750 744

2746 744 751 747 748 745 748 743 745 746744 750 741 745 749 743 748 744 747 742745 749 738 742 751 743 749 748 744 749

b) Calcule Los estadísticos básicos para cada propuesta y compárelos con los que representan el comportamiento real del proceso. ¿Se obtendrían mejoras?

c) Con base en un histograma en el que inserte especificaciones, describa cada una de las propuestas y elija la que considere mejor.

E.9.4. En una empresa se vienen reprogramando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de determinar el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para ello se acude a los archivos de los últimos tres meses y se toman aleatoriamente una muestra de 35 tiempos de recorridos entre tales ciudades. Los datos, en horas, se muestran a continuación:

3.49 3.59 3.69 3.42 3.31 3.60 3.58 3.54 3.52 3.04 3.69 3.483.66 3.57 3.51 3.61 3.40 3.53 3.61 3.61 3.24 3.63 3.61 3.513.50 3.57 3.53 3.67 3.51 3.24 3.70 3.70 3.50 4.40 3.58

a) Realice un histograma y describa lo que se perciba en él.b) Establezca el tiempo máximo de los 35 datos de la muestra. ¿Eso significa que el tiempo máximo que

hicieron los autobuses en los últimos tres meses fue ese valor? Argumente.c)

BIBLIOGRAFÍA: Gutiérrez, Humberto. “Calidad total y productividad”. Chao, Lincoln. “Estadística para las ciencias administrativas”. Sosa, Demetrio. “Herramientas para la mejora continua”.