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Unidad 9.1: Ecuaciones linealesMatemáticas
3 semanas
Junio 2012 1
Unidad 9.1: Ecuaciones linealesMatemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes graficarán ecuaciones lineales en dos variables, lo que incluye determinar la pendiente de una línea al proveérsele una ecuación de la línea, la gráfica de la línea o dos puntos en la línea. La pendiente será evaluada y relacionada con la línea de mejor ajuste.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento sobre gráficas y ecuaciones lineales para interpretar, predecir y resolver problemas en situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas
Ecuaciones linealesE.AD.9.11.1 Juzga si el diagrama de dispersión aparenta demostrar tendencias lineales, y si es así, traza la línea de mejor ajuste y escribe la ecuación de esta línea; usa la ecuación para establecer predicciones e interpreta la pendiente de la línea en el contexto del problema.E.AD.9.11.2 Calcula la línea de mejor ajuste a mano para modelar una relación representada en un diagrama de dispersión, e interpreta la pendiente e intercepto en términos del contexto del problema.
Introducción a los sistemas de ecuacionesA.RE.9.3.1 Construye un sistema de ecuaciones a partir de situaciones del mundo real utilizando distintos métodos y representaciones.
Ideas grandes/Comprensión duradera: Las gráficas, como los diagramas de dispersión,
proveen una representación visual de la información, demuestran las tendencias lineales y nos ayudan a hacer predicciones y tomar decisiones informadas.
Las tasas de cambio y los puntos de intercepción dotan de contexto a los problemas matemáticos lineales y nos permiten tomar decisiones informadas.
Un sistema de ecuaciones puede resolverse de diversas formas para proveer una solución a problemas del mundo real.
Preguntas esenciales: ¿Cómo las ecuaciones lineales y sus gráficas
correspondientes nos ayudan a tomar decisiones informadas?
¿Por qué es importante el contexto de los problemas matemáticos lineales?
¿Cómo puede un sistema de ecuaciones ayudar con la toma de decisiones?
Contenido (Los estudiantes comprenderán…) Las tendencias lineales La línea de mejor ajuste La pendiente de la línea Línea de regresión Punto de intercepción Sistema de ecuaciones
Destrezas (Los estudiantes podrán…) Juzgar si el diagrama de dispersión aparenta
demostrar tendencias lineales, y si es así, trazar la línea de mejor ajuste y escribir la ecuación de esta línea; usar la ecuación para establecer predicciones e interpretar la pendiente de la línea en el contexto del
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Unidad 9.1: Ecuaciones linealesMatemáticas
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Vocabulario de contenido General (diagrama de dispersión, ecuación
lineal (y=mx+b), sistema de ecuaciones, lineal, modelo, forma punto-pendiente, relación, forma intercepción-pendiente)
Gráficas (línea de mejor ajuste, correlación negativa, correlación positiva, tasa de cambio, pendiente, intercepto x, intercepto y)
problema. Calcular la línea de mejor ajuste a mano para
modelar una relación representada en un diagrama de dispersión, e interpretar la pendiente e intercepto en términos del contexto del problema.
Construir un sistema de ecuaciones a partir de situaciones del mundo real utilizando distintos métodos y representaciones.
Etapa 2 - Evidencia de avalúoTareas de desempeño
Departamento de Planificación Urbana1
Los estudiantes demostrarán su comprensión de la pendiente analizando el siguiente escenario:Hace unos veinte años, el Departamento de Planificación urbana de San Juan inició un programa de sembrado de árboles para embellecer la ciudad. A continuación se encuentran los datos que muestran el número total de árboles (incluidos los últimos árboles sembrados) en la ciudad desde que se inició el programa.
Año 1988
1989
1990
1992
1995 1997
No. de Árboles
582 620 658 734 848 924
Eres miembro del departamento de planificación urbana y tu trabajo consiste en determinar si el plan departamental de continuar sembrando el mismo número de árboles cada año hasta alcanzar la meta total de 5,000 árboles para el 2088 puede cumplirse.
Asumiendo que no muera ningún árbol, ¿cuál debe ser el número total de árboles en la ciudad en el año 2000? Demuestra cómo calculaste tu respuesta.
En un artículo de periódico del 1989, el municipio de San Juan sostenía que habría un
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas para quiz/examen (Ver anejo: 9.1 Otra evidencia – Preguntas de prueba.)1. Utiliza la tabla de expectativas de vida de los
puertorriqueños.2
Año Todos (años)
Mujeres (años)
Hombres (años)
1960 69 72 661965 70 73 671970 72 75 681975 73 77 701980 74 77 711985 74 78 711990 74 79 701995 74 79 702000 77 81 732005 78 82 74
a. Crea un diagrama de dispersión de los pares ordenados (año, expectativa de vida de las mujeres).
b. Traza la línea que mejor se ajuste a los datos y encuentra su ecuación (línea de mejor ajuste).
c. ¿Qué expectativa de vida para las mujeres predice tu ecuación para los años 1960 a 2005?
d. Utiliza tu ecuación para predecir la expectativa de vida de las mujeres en
1 Fuente:http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/algebraresch00/cityplanning.htm2 Fuente: World Bank Databank, http://databank.worldbank.org Junio 2012 3
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total de 5,000 árboles en la ciudad para la celebración de su centenario en el año 2088. Si se siguen sembrando más árboles al mismo ritmo año tras año, ¿puede alcanzarse esta meta? Justifica tu respuesta.
Escribe una breve carta al editor del periódico explicando tus hallazgos después de examinar los datos. Asegúrate de respaldar tu conclusión con álgebra. Incluye una ecuación y una gráfica para justificar tu respuesta a la parte II.
El maestro puede hacer la evaluación en base a la precisión de las ecuaciones y las gráficas utilizadas para responder a las preguntas relacionadas y cuán bien los estudiantes siguieron las instrucciones de la tarea.
Rúbrica
2 1 0
Parte I
Respuesta Correcta
Un pequeño error de cálculo
llevó a una respuesta incorrecta.
Incorrecta
Presentación del trabajo
Presentó todo el trabajo
No presentó todo el trabajo
Parte II
Conclusión Correcta
Un pequeño error de cálculo
llevó a una respuesta incorrecta.
Incorrecta
Justificación
Justificada utilizando
razonamiento y
terminología matemática.
Justificada con uso limitado de razonamiento matemático
No justificada
Parte III
Carta
Expone los hallazgos, los respalda con
álgebra.
Expone los hallazgos, los respalda con
álgebra.
No expone los
hallazgos, no utilizó álgebra.
Puerto Rico en el año 2020.e. ¿Qué significa la pendiente de la línea en
el contexto de este problema? 2. ¿Cómo se relacionan el promedio académico
y las puntuaciones del College Board?a. Haz un modelo de la relación entre los
datos aquí abajo creando un diagrama de dispersión.
b. Calcula la línea de mejor ajuste.c. Utiliza la línea de mejor ajuste para
identificar la pendiente de la línea y el intercepto y.
Promedio académico
del estudiante
Puntuación en el
College Board
2.8 10501.5 8903.3 10903.5 13301.8 8902.0 9002.5 10003.8 13903.0 11301.2 7803.5 12202.4 9902.9 10104.0 13802.2 970
Diario Describe cómo se encuentra la línea de mejor
ajuste (con una representación gráfica y la ecuación).
Boleto de entrada/salida Describe cómo calcular la línea de mejor
ajuste. Dado el contexto del problema, ¿qué
representa la línea de la pendiente en la gráfica (provee una gráfica lineal)?
Usando la gráfica lineal construye un sistema
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Gráfica Correcta
Un pequeño error de cálculo
llevó a una respuesta incorrecta.
Incorrecta
Papel toalla: precio vs. permeabilidadLos estudiantes demostrarán su comprensión de las gráficas y las ecuaciones lineales para ayudarles a tomar las mejores decisiones durante la actividad. Los estudiantes están preparándose para mudarse solos y tendrán que considerar el costo de las cosas que necesitan, pero también si están obteniendo lo mejor por su dinero. Pídeles a los estudiantes que recopilen y utilicen datos para responder a esta pregunta: ¿el papel toalla más caro es más absorbente que uno más económico? Para esta tarea se requieren materiales, la fórmula del área de un círculo y tiempo en clase para realizar el experimento.
Materiales: los estudiantes necesitarán una muestra de seis tipos diferentes de papel toalla, el precio de cada rollo, cuántas hojas contiene cada uno, cuentagotas, taza y agua.
Instrucciones: realizar el siguiente experimento para medir la capacidad de absorción. Luego, crea una hoja suelta en que expliques tu experimento y comuniques los resultados. 1. Doblar una hoja de papel toalla por la mitad de
forma vertical y luego volver a doblarla por la mitad de forma horizontal.
2. Llenar el cuentagotas con una cantidad fija de agua y aplicar una gota en la esquina que tiene los dobleces.
3. Abrir la toalla para medir y registrar el diámetro del área circular que está mojada.
4. Repetir el mismo procedimiento para cada tipo de papel toalla, asegurándose de siempre utilizar la misma cantidad de agua.
5. Trazar los datos colocando la unidad de precio en el eje horizontal y el diámetro en el eje vertical. ¿Hay una relación lineal? Si es así, busca la línea de mejor ajuste para describir tus datos.
de ecuaciones (presenta la gráfica).
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6. Traza los datos de la unidad de precio en el eje horizontal y el área de la región humedecida en el eje vertical. Si la relación es lineal, descríbela con la línea de mejor ajuste.
7. Según la información recopilada, ¿cuál papel toalla comprarías? ¿Qué consejo le darías a alguien que estuviese comprando papel toalla?
8. Crea una hoja suelta en la cual hagas una presentación final de tus datos, gráficas y consejo para los compradores. Las hojas deben incluir lo siguiente: título; precio pagado por el papel toalla; tabla de datos recopilados y usados; gráfica de precio vs. diámetro y precio vs.
área; línea de mejor ajuste con ecuación, y un párrafo aconsejando al comprador en base
al experimentoEl maestro puede evaluar este proyecto en función de cuán bien los estudiantes siguen las pautas y de la precisión de la gráfica, la línea de mejor ajuste con la ecuación y la correlación entre el consejo y los datos matemáticos (ver anejo: Organizador– Rúbrica de tareas de desempeño).
Etapa 3 - Plan de aprendizajeActividades de aprendizaje KWL: Utiliza esta estrategia de aprendizaje para ayudar a los estudiantes a razonar la creación de
líneas de mejor ajuste (y después construir sistemas de ecuaciones). Haz un modelo mientras razonas en voz alta cómo utilizar esta estrategia. Los estudiantes escribirán lo que ya saben (ya sea por conocimiento que ya poseían o información de la gráfica o problema) en la columna “K”. Después de releer el problema o gráfica, los estudiantes escribirán lo que quieren encontrar (qué les pide el problema) en la columna “W”. En la columna “L”, los estudiantes escribirán lo que aprendieron; no se trata solo de la respuesta al problema, sino también de cualquier otra cosa que hayan aprendido sobre el proceso o contenido (ver anejo: Organizador – KWL).
Modelo Frayer: Utiliza el Modelo Frayer para desarrollar la comprensión de los estudiantes del vocabulario del contenido a medida que vayan surgiendo las palabras de vocabulario durante las lecciones. Pídeles a los estudiantes que completen el modelo con la "correlación" entre los conceptos de las ecuaciones lineales y las representaciones gráficas, al identificar su definición, características, ejemplos y no ejemplos. El maestro puede escoger conceptos o vocabulario clave y pedirles a los estudiantes que completen el modelo por cada palabra o encuentren la palabra a partir de su definición, características, ejemplos y no ejemplos. Para ejemplos y plantillas, ver anejo: Organizador - Modelo Frayer.
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Pareo de gráficas y predicciones: Los estudiantes se dividirán en grupos de 2 a 3 personas para hacer un conjunto de tarjetas. Cada conjunto se compone de pares de tarjetas; una tarjeta tiene una gráfica claramente delineada y rotulada, y la otra tiene la ecuación de la línea. Los estudiantes harán 3 pares “fáciles”, 3 pares de dificultad media, 3 pares “difíciles” y 2 pares que no se parean pero que pueden utilizarse para hacer que los pares que se corresponden sean más difíciles.
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Unidad 9.1: Ecuaciones linealesMatemáticas
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Cada grupo intercambia su conjunto de tarjetas con otro grupo para jugar el juego. Los estudiantes deberán parear la gráfica con las ecuaciones e identificar las gráficas o ecuaciones que no tengan pareja. Para ganar, los estudiantes tienen que parear correctamente las tarjetas y respaldar su respuesta con prueba matemática.
Ejemplos para planes de la lección Ser o no ser... lineal: los estudiantes determinan la correlación entre dos variables. Harán una
gráfica de pares ordenados en un plano coordenado, determinarán la línea de mejor ajuste, hallarán la pendiente y los puntos de intercepción y escribirán la ecuación de la línea (ver anejo: 9.1 Ejemplo para plan de lección – Ser o no ser…lineal).
A casa en bici: En esta lección, los estudiantes crearán un diagrama de dispersión, compararán la línea de mejor ajuste y la línea de regresión y harán predicciones en base a los datos (ver anejo: 9.1 Ejemplo para plan de lección – A casa en bici).
Barbie en Bungee: En esta lección, los estudiantes considerarán la extensión de un cordón amortiguador en términos de seguridad mientras recopilan sus propios datos para hacer una gráfica y trazar las líneas de mejor ajuste de los datos lineales. Para hojas de cálculo para los estudiantes, ver anejo: 9.1 Ejemplo para plan de lección – Barbie en Bungee.
Recursos adicionales Pausa de tres minutos: http://www.readingquest.org/strat/3mp.html Modelo Frayer: http://oame.on.ca/main/files/thinklit/FrayerModel.pdf www.kuftasoftware.com http://www.learner.org/workshops/algebra/index.html http://www.algebra-class.com/teaching-algebra.html http://profjserrano.wordpress.com/ http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Conexiones a la literaturaNota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción. Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio. The Mystery of Numbers de Annemarie Schimmel The Curious Incident of the Dog in the Night-Time de Mark Haddon Abundance of Katherines de John Green Developing Mathematical and Scientific Literacy: Effective Content Reading Practices de David K.
Pugalee Buenas noches luna de Margaret Wise Brown Counting on Frank de Rod Clement
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