9330 - MATEMÁTICAS EP6 RUTA (CAS)

Matemáticas6

00_MATES6_LA_CAS.qxd 23/3/09 12:44 Página 1

1. Números naturales y operaciones pág. 6

2. La división y operaciones combinadaspág. 18

3. Potencias y raíces cuadradas pág. 30

4. Múltiplos y divisores pág. 42

5. Números primos. M.C.D. y m.c.m. pág. 56

Soy capaz

6. Números fraccionarios (I) pág. 72

7. Números fraccionarios (II) pág. 84

8. Números decimales. Suma, resta y multiplicación pág. 98

Índice

2


9. División con números decimales pág. 112

10. Ángulos pág. 124

Soy capaz

11. Números enteros. Coordenadas cartesianas pág. 140

12. Longitud, masa y capacidad. Superficiepág. 152

13. Área y perímetro pág. 166

14. Cuerpos geométricos. Volumen pág. 180

15. Estadística y probabilidad pág. 192

Soy capaz

3


4

ContenidosUnidad Contenidos Cálculo mental

1. Números naturales y operaciones

(págs. 6 a 17)

Lectura y escritura de los números naturales. Composición ydescomposición numéricas. Propiedades de la suma. La resta yla relación entre sus términos. Propiedades de la multiplicación.Estimación de resultados.

Resolución de actividades de cálculo y problemas.

Multiplicaciones por 9 y por 99.

2. La división y operacionescombinadas

(págs. 18 a 29)

Relación entre los términos de la división. Estimación de cocien-tes. Variación en los términos de una división. Operaciones com-binadas.


Multiplicaciones por 11 y por101.

3. Potencias y raíces cuadradas

(págs. 30 a 41)

Potencia de un número. Cuadrados y cubos. Cálculo de potenciascon calculadora. Potencias de base 10. Raíz cuadrada de unnúmero. Cuadrado perfecto y raíz cuadrada aproximada.


Operaciones combinadas connúmeros de una cifra sin pa-réntesis.

4. Múltiplos y divisores

(págs. 42 a 55)

Múltiplos de un número. Cálculo de los múltiplos. Divisores deun número. Cálculo de los divisores. Criterios de divisibilidad por2, 3, 5, 9 y 10. Múltiplos comunes a dos números. Divisores co-munes a dos números.


Operaciones combinadas connúmeros de una cifra con pa-réntesis.

5. Números primos. M.C.D.y m.c.m.

(págs. 56 a 69)

Números primos y números compuestos. Identificación de nú-meros primos. Criba de Eratóstenes. Descomposición de un número en factores primos. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. Nú-meros primos entre sí. Problemas de M.C.D. y de m.c.m.


Cuadrados de decenas, cen-tenas y millares exactos.

Soy capaz

(págs. 70 y 71)Actividades para evaluar las competencias básicas del primer trimestre

6. Números fraccionarios (I)

(págs. 72 a 83)

Fracciones: términos, lectura y representación de una fraccióncomo cociente. Comparación con la unidad: fracción propia eimpropia. Fracciones equivalentes: propiedad fundamental y ob-tención de fracciones equivalentes. Comparación de fraccionescon igual y distinto numerador y denominador.


Multiplicaciones por númerosde dos cifras terminados en 9.

7. Números fraccionarios (II)

(págs. 84 a 97)

Suma y resta de fracciones con igual y con distinto denomina-dor. Multiplicación de fracciones: fracción de un número y fracciónde una fracción. División de fracciones. Porcentajes: cálculo yuso de la calculadora.


Multiplicaciones por númerosde dos cifras terminados en 1.

8. Números decimales.Suma, resta y multiplicación

(págs. 98 a 111)

Números decimales: partes, lectura y representación en la recta.Suma, resta y multiplicación de números decimales. Multiplicaciónde números decimales por 10, 100 y 1.000. Aproximación denúmeros decimales. Estimación de resultados.


Cálculo del 50 % de un nú-mero.


5

Unidad Contenidos Cálculo mental

9. División con númerosdecimales

(págs. 112 a 123)

Aproximación decimal del cociente a las décimas, centésimasy milésimas. Divisiones: dividendo decimal y divisor natural;dividendo natural y divisor decimal; dividendo y divisor deci-males. Divisones entre 10, 100 y 1.000. Estimación de co-cientes.


Cálculo del 25 % de un nú-mero.

10. Ángulos

(págs. 124 a 137)

Elementos y clasificación de ángulos. Ángulo recto, agudo,obtuso, llano y completo. Ángulos consecutivos y adyacen-tes. Medida de los ángulos: grados, minutos y segundos.Expresiones complejas e incomplejas. Suma y resta de me-didas angulares. Suma de los ángulos de un triángulo y deun cuadrilátero. Uso del transportador.


Cálculo del 10 % y del 20 %de un número.

Soy capaz

(págs. 138 y 139)Actividades para evaluar las competencias básicas del segundo trimestre

11. Números enteros.Coordenadas cartesianas

(págs. 140 a 151)

Números enteros negativos y positivos. Representación yordenación en la recta numérica. Sumas y restas sobre la rec-ta. Coordenadas de un punto en el plano.


Multiplicación de cualquier nú-mero por 0,5.

12. Longitud, masa y capacidad. Superficie

(págs. 152 a 165)

Unidades de longitud, masa y capacidad. Expresiones com-plejas e incomplejas. Área de una figura. Unidades de su-perficie: metro cuadrado, sus múltiplos y submúltiplos. Re-lación entre las unidades de superficie. Unidades agrarias.


Multiplicación de cualquier nú-mero por 0,25.

13. Área y perímetro

(págs. 166 a 179)

Área de los paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo yromboide. Área de un triángulo. Polígonos irregulares y re-gulares: área y perímetro. Circunferencia: longitud y el nú-mero pi. Área del círculo.


División de cualquier númeroentre 0,5.

14. Cuerpos geométricos.Volumen

(págs. 180 a 191)

Poliedros irregulares: prisma y pirámide. Poliedros regula-res: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro, dodecaedro.Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera. Volumen de uncuerpo. Unidades de volumen: metro, decímetro, centíme-tro y milímetro cúbico. Relación entre capacidad y volumen.


División de cualquier númeroentre 0,25.

15. Estadística y probabilidad

(págs. 192 a 205)

Variables estadísticas cualitativas y cuantitativas. Frecuenciasabsoluta y relativa. Media, moda y mediana. Azar: sucesos se-guros, imposibles y probables. Cálculo de la probabilidadde un suceso.


Cuadrado de un número de-cimal.

Soy capaz

(págs. 206 y 207)Actividades para evaluar las competencias básicas del tercer trimestre


Números naturales y operaciones1

Rincón del ingenioEn una calle con cien edificios, numerados del 1 al 100, se quieren cam-biar las placas de la nu-meración. Para ello, se en-cargan al fabricante todoslos números necesarios.¿Cuántos nueves necesita-rán? ¿De qué número ne-cesitarán menor cantidad?

6

a) Escribe con letras el número de personas queviven en Asia. ¿Qué dos continentes tienen unnúmero similar de habitantes?

b) ¿Cuántos habitantes de diferencia hay entre elcontinente más habitado y el menos habitado?

Para empezar

En el planeta Tierra vivimos muchas personas,¿sabrías decir cuántas?

América: 915.600.000 personas

Asia: 3.879.500.000 personas

Europa: 731.700.000 personas

África: 972.800.000 personas

Oceanía: 32.600.000 personas


Aprende cómo se multiplica un número por 9 ó99:

— Calcula mentalmente estas multiplicaciones:

a) 56 � 9 i) 570 � 99b) 162 � 9 j) 15 � 99c) 34 � 9 k) 36 � 99d) 73 � 9 l) 42 � 99e) 127 � 9 m) 29 � 99f) 14 � 9 n) 72 � 99g) 27 � 9 ñ) 61 � 99h) 307 � 9 o) 108 � 99

Resuelve mentalmente:

a) En un autobús suben una media de 99 pa-sajeros cada hora. ¿Cuántos pasajeros ha-brán subido al cabo de 8 horas?

b) La ruta del autobús tiene 9 paradas. ¿Cuán-tas paradas hará en un día si cada jornadarecorre la ruta 27 veces?

c) ¿Y en 9 días?

21

7

En esta unidad

Cálculo mental

NÚMEROS NATURALES

Sistema de numeración decimal

Los números naturales

Aproximación numérica

OPERACIONES

La suma

Propiedades de la suma

La resta

Relación entre sus términos

La multiplicación

Propiedades de la multiplicación

Estimación de resultados

24 � 9 � 24 � 10 � 24

240 � 24 � 216

Conceptos clave

Sistema de numeración decimal, términos de lasuma, términos de la resta, términos de la mul-tiplicación, propiedades de la suma y de la multiplicación.

74 � 99 � 74 � 100 � 74

7.400 � 74 � 7.326


Sistema de numeración decimal

8

Activ

idad

es

Orden dela unidad

Centena Decena Unidad

Valor7 c

700 u7 d70 u

7 u

Nuestro sistema de numeración utiliza las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para expresar cantidades.

— Se trata de un sistema de numeración decimal.

Nuestro sistema de numeración está formado por las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es un sistema denumeración decimal y posicional.

�

Explica con tus propias palabras por qué decimos que nuestro sistema de numeración es decimal y po-sicional.

¿Qué valor tiene la cifra 4 en cada uno de estos números?

a) 4.987.009 c) 4.086 e) 12.004b) 1.004.987 d) 3.842.973 f) 9.702.540

Escribe cuántas centenas son:

a) tres decenas de millón c) 8 millonesb) 9 centenas de millar d) 10 centenas de millón

Busca información (en Internet, en una enciclopedia…)sobre otros sistemas de numeración (romano, egipcio,babilónico…) y anota sus características.

6

5

4

3

40 km/h 58.312 personas 6.531.390.346 habitantes

El valor de estas cifras es distinto según la posición queocupan dentro del número.

Observa el valor de la cifra 7 según la posición que ocupaen el número 777.

— Es un sistema de numeración posicional.

Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad de un orden inmediatamente superior. Observa:

Orden de la

unidad

Unidad de millar de

millón (umM)

Centena demillón (cM)

Decena de millón (dM)

Unidad demillón (uM)

Centena demillar (cm)

Decena demillar (dm)

Unidad demillar (um)

Centena(c)

Decena(d)

Unidad(u)

Valor10 cM

1.000.000.000 u10 dM

100.000.000 u10 uM

10.000.000 u10 cM

1.000.000 u10 dm

100.000 u10 um

10.000 u10 c

1.000 u10 d100 u

10 u 1 u


Los números naturales

9

El número natural de diez cifras 6.531.390.346 se lee: seis mil quinientos treinta y un millones trescientos no-venta mil trescientos cuarenta y seis.

Aprende cómo se descompone:

Activ

idad

es Escribe con cifras:

a) siete mil millones ochenta y cinco mil ciento cuarentab) dos mil doscientos millones setecientos sesenta y cuatro mil doscientos sietec) tres mil millones trece

Descompón estos números en forma de sumas y escribe cómo se leen.

a) 23.546.578 b) 2.050.760.345 c) 5.879.456.234

¿A qué número corresponde cada una de estas descomposiciones?

a) 4 umM 6 um 6 c 9 u c) 5 dM 3 uM 1 cm 7 um b) 4 umM 6 dM 6 cm 6 dm 7 um 6 c 6 d 2 u d) 5 uM 5 um 5 u

Aproxima a la unidad indicada en cada caso.

a) 4.374.182 a unidades de millar c) 48.456.126 a decenas de millarb) 5.283.169 a centenas de millar d) 345.631.623 a unidades de millón

La población de la Unión Europea es de 494.655.462 habitantes. Aproxima el número de habitantes acada orden de unidades desde las decenas de millón hasta las decenas.

11

10

9

8

7

1

umM cM dM uM cm dm um c d

7.000.000.000 6.500.000.000 6.530.000.000 6.531.000.000 6.531.400.000 6.531.390.000 6.531.390.000 6.531.390.300 6.531.390.350

Los números naturales de diez cifras están formados por umM, cM, dM, uM, cm, dm, um, c, d, u.�

Podemos aproximar un número natural a cualquier orden de unidad.�

Aproximación numérica

Fíjate en cómo aproximamos el número 6.531.390.346 a cada orden de unidades.

6.531.390.346 � 6.000.000.000 � 500.000.000 � 30.000.000 � 1.000.000 � 300.000 � 90.000 �� 300 � 40 � 6

6.531.390.346 � 6 umM 5 cM 3 dM 1 uM 3 cm 9 dm 3 c 4 d 6 u


La suma

10

Activ

idad

es Resuelve estas sumas. Aplica la propiedad conmutativa para comprobar los resultados.

a) 785 � 8.973 c) 2.648 � 962 e) 3.654 � 745b)12.589 � 7.003 d) 78.056 � 95.455 f) 2.587 � 15.754

Aplica la propiedad asociativa y resuelve de dos formas distintas.

a) 673 � 4.672 � 231 c) 968 � 351 � 474b) 345 � 8.987 � 56.542 d) 965 � 9.462 � 2.354

Inventa un problema que se resuelva con esta suma.

Escoge los datos que necesites y resuelve este problema.

En una feria que dura 5 días hay 1.850 expositores. Entran 29.860personas con invitación y 75.326 compran la entrada. Cada en-trada cuesta 15 euros. ¿Cuántas personas visitan la feria?

15

342 � 0 � 342

14

13

12

La suma tiene tres propiedades: conmutativa, asociativa y elemento neutro. �

Recuerda los términos de la suma.

De los 420 peces que tiene un acuario, 156 son medianos y 264 son pequeños.

sumandos: 156 y 264 resultado o suma: 420

156 � 264 � 420

Propiedades de la suma

Recuerda las propiedades de la suma.

Conmutativa. En una suma de varios números, si cambiamos el orden de los sumandos el resultado no varía.

Ejemplo: 156 � 264 � 264 � 156 � 420

Asociativa. En una suma de tres o más sumandos, el resultado es siempre el mismo aunque los agrupemosde distintas maneras.

Ejemplo: (245 � 124) � 432 � 245 � (124 � 432) � 801

Elemento neutro. La suma de cualquier número más 0 es igual a dicho número.

Ejemplo: 156 � 0 � 156

— El elemento neutro de la suma es el 0.


La resta

11

Activ

idad

es Resuelve estas restas y compruébalas.

a) 54.000 � 372 c) 1.000.000 � 10 e) 8.547.655 � 567.076b) 77.777 � 9.898 d) 3.006 � 969 f) 77.555.444 � 44.555.777

¿Qué número tenemos que restar a 15.314 para obtener 9.735?

A un número le restamos 645 y nos da 21.389. ¿De qué número se trata?

Encuentra en estas restas el término que falta.

a) 198.253 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 58.654b) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 4.643 � 9.429c) 25.472 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 16.781d) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 12.654 � 98.346

Una empresa farmacéutica ha vendido 83.460 cajas de vita-minas. En enero ha vendido 28.500 cajas, en febrero 38.430y en marzo el resto. ¿Cuántas cajas de vitaminas ha vendidoen marzo?

20

19

18

17

16

1

En toda resta bien resuelta se cumple:minuendo � diferencia � sustraendo (prueba de la resta)sustraendo � minuendo � diferencia

�

Recuerda los términos de la resta y la relación que existe entre ellos.

Un invernadero con 12.413 plantas ha exportado 730 plantas y le han quedado 11.683.

minuendo: 12.413 sustraendo: 730 diferencia: 11.683

12.413 � 730 � 11.683

Relación entre los términos de una resta

— La diferencia más el sustraendo da como resultado el minuendo. Es la prueba de la resta.

Ejemplo: 11.683 � 730 � 12.413

— El minuendo menos la diferencia es igual al sustraendo.

Ejemplo: 12.413 � 11.683 � 730


La multiplicación

12

Activ

idad

es Aplica la propiedad indicada en cada caso y resuelve:

a) conmutativa: 86 � 95 c) asociativa: 11 � 20 � 5b) distributiva: 6 � (12 � 4) d) distributiva: 8 � (15 � 7)

Completa estas igualdades.

a) 8.125 � . . . . . . . . . . � 8.125 c) 12 � 4 � 5 � 12 � . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . .

b) 10 � (15 � 8) � 150 � . . . . . . . . � . . . . . . . . . . d) (100 � 63) � . . . . . . . . � 14 � . . . . . . . . � . . . . . . . . � . . . . . . . . � . . . . . . . .

Inventa un problema que se solucione con esta operación y resuélvelo.

(12 � 4) � 32

23

22

21

Las propiedades de la multiplicación son: conmutativa, asociativa, distributiva y elemento neutro.�

Recuerda los términos de la multiplicación.

Un colegio con 6 cursos de Primaria, 3 clases por curso y 25 alumnos en cada curso, tiene un total de 450 alumnos.

factores: 6, 3 y 25 producto: 450

6 � 3 � 25 � 450

Propiedades de la multiplicación

Recuerda las propiedades de la multiplicación.

ConmutativaEn un producto de variosnúmeros, si cambiamos el ordende los factores el resultado novaría.

Ejemplo:

6 � 4 � 4 � 6 � 24

AsociativaEn un producto de tres o másfactores, el resultado es siempreel mismo aunque los agrupemosde distintas maneras.

Ejemplo:

6 � (5 � 8) � (6 � 5) � 8 � 240

Elemento neutro El producto de cualquier númeropor 1 es igual al mismo número.

Ejemplo:

396 � 1 � 396

— El elemento neutro delproducto es el 1.

Distributiva respecto a la suma El producto de un número por una suma es igual ala suma de los productos de este número por cadasumando.

Ejemplo: 5 � (6 � 8) � 5 � 6 � 5 � 8

5 � 14 � 30 � 40 � 70

Distributiva respecto a la resta El producto de un número por una resta es igual alproducto de este número por el minuendo menosel producto de este número por el sustraendo.

Ejemplo: 7 � (8 � 3) � 7 � 8 � 7 � 3

7 � 5 � 56 � 21 � 35


Activ

idad

es Resuelve estas operaciones aproximando sus términos a las centenas y las unidades de millar.a) 24.460 � 16.520 c) 27.835 � 12.143b) 382.723 � 129.279 d) 460.965 � 141.034— Compara los resultados con los cálculos exactos.

Durante dos días se celebró un concierto en una ciudad. Elprimer día acudieron 12.146 personas y el segundo 13.878personas. Calcula la recaudación aproximada si cada entra-da costaba 9 €.

Resuelve el problema anterior de forma exacta y comparalos resultados.

Durante 4 horas, en un centro comercial han entrado 838personas. Si el centro comercial está abierto 12 horas diariasy si cada hora entra el mismo número de personas, ¿cuán-tas personas entran aproximadamente en un día? ¿Y en unasemana?

27

26

25

24


13

En un estadio en el que caben 110.800 espectadores se han vendido 87.424 entradas en taquilla y 20.800por Internet. ¿Cuántas entradas faltan aproximadamente por vender?

Observa cómo se calcula el número aproximado de entradas que faltan por vender estimando el resultadode la operación:

110.800 � (87.424 � 20.800)

1

Para estimar el resultado de una operación combinada, se aproximan sus términos a la unidad, decena,centena, unidad de millar… más próxima y se resuelve la operación.

�

1. Aproximamos las cantidades a las unidades de millar.

110.800 → 111.000; 87.424 → 87.000; 20.800 → 21.000

2. Resolvemos la operación combinada.

111.000 � (87.000 � 21.000) � 111.000 � 108.000 � 3.000

Faltan por vender aproximadamente 3.000 entradas.

— Si comparamos la cantidad estimada con el cálculo exacto, veremos que existe una diferencia de 424 en-tradas.

Entradas exactas que faltan por vender → 110.800 � (87.424 � 20.800) � 2.576

Comparación de resultados (estimado y real) → 3.000 � 2.576 � 224


Para acabar

Escribe cómo se leen estos números:

a) 275.095.432.614 c) 76.937.869.427b) 461.793.405.271 d) 867.875.269.560

Anota estos números.

a) cuarenta y tres mil millones ochocientos milseis

b) doce mil millones doce mil docec) mil millones cuatrocientos setenta mild) quinientos setenta y seis millones trescien-

tos mil noventa y tres

¿Qué valor tiene la cifra 7 en estos números?¿A qué orden corresponde?

a) 15.728 c) 87.003b) 7.243.606 d) 79.321.980

Descompón en forma de sumas:

a) 351.479.371b) 4.700.837.310c) 205.057.318.502

5

4

3

2

Recuerda lo que has aprendido en esta unidad y completa las frases.1

Escribe el número que corresponde en cadacaso.

a) 7 cM 5 uM 4 cm 8 um 9 d 4 ub) 6 dM 4 cm 4 dm 6 um 6 c 9 uc) 4 uM 6 um 9 ud) 8 dM 5 um 6 c 9 d 3 u

¿Cuántas unidades son 56 decenas? ¿Cuán-tas centenas completas hay en 2.324 unida-des? ¿Cuántas decenas de millar hay en cincomillones y medio?

Aproxima, en cada caso, a las centenas, de-cenas de millar y unidades de millón:

a) 23.745.642 c) 395.867.329b) 5.385.735 d) 34.347.576

Escribe y resuelve la operación que correspon-de en cada caso.

a) Restamos 87 a 540, y a este resultado lerestamos la suma de 123 y 68.

b) Sumamos 157 y 63, y multiplicamos el re-sultado por el triple de 13.

9

8

7

6

a) El sistema decimal utiliza las cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

b) En el sistema decimal, cada orden vale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . veces el valor de orden inferior.

c) En el número 17.459 la cifra 7 corresponde a las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

d) El número cien millones tiene .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cifras.

e) 7 dM son .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . centenas.

f) Los números naturales de diez cifras están formados por . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

g) Las propiedades de la suma son .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

h) Para comprobar que el resultado de una resta es correcto, tengo que .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

i) La propiedad distributiva dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

j) El elemento neutro de la suma es .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y el del producto es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

k) El resultado aproximado de 157.389 � 408.351 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

14


15

1

Explica con tus propias palabras la propiedadasociativa y la propiedad conmutativa de lasuma. Escribe un ejemplo de cada una.

Completa:

a) 24.764 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 12.543 � 39.540b) 13.606 � 42.213 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 79.645c) .. . . . . . . . . . . . . . . . . � 2.867 � 16.345 � 28.432

Calcula el término que falta.

a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 4.658 � 8.032b) 23.428 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . � 9.462c) 120.245 � 69.843 � . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sustituye los cuadrados por las cifras que co-rrespondan.

1 � 4 4 � 3� � 5 � � 7 �

6 9 1 0 3 5

� � 6 � 3 �

� 1 2 � 8 � 44 1 5 6 4 2

Aplica la propiedad asociativa y resuelve:

Aplica la propiedad distributiva y resuelve dedos formas distintas.

a) 15 � (20 � 8) d) (60 � 4) � 25b) 16 � (8 � 14) e) (20 � 12) � 12c) 24 � (12 � 4) f) (20 � 15) � 28

Completa y resuelve. Fíjate en el ejemplo.

a) 14 � 5 � 14 � 10 c) 32 � 44 � 32 � 25b) 21 � 6 � 21 � 13 d) 18 � 13 � 18 � 9

45 � 8 � 45 � 12 � 45 � (8 � 12) � 900

16

15

14

13

12

11

10 Sustituye cada letra por la cifra correspondien-te para que la suma sea correcta (cada letra re-presenta un misma cifra).

X X X XY Y Y Y

� Z Z Z Z

Y X X X Z

Calcula el resultado aproximado de cada unade estas operaciones.

a) (175.809 � 412.105) � 4b) 24.389 � 2.859 � 9.999c) 65.034 � 3.978 � 75.612d) (21.123 � 19.864) : 100

Inventa un problema con esta operación.

— Resuelve el problema de forma aproximaday exacta, y compara los resultados.

La distancia del Sol a Mercurio es de57.910.000 km; la del Sol a Venus,108.200.000 km, y la del Sol a la Tierra,146.600.000 km.

a) ¿Qué distancia hay entre la Tierra y Venus?b) ¿Y entre la Tierra y Mercurio?

20

(8.312 � 5.531) : 3

19

18

17

a) 12 � 4 � 2 b) 17 � 10 � 31

c) 11 � 94 � 25

a)

b)


Escribe con cifras estos números y ordénalosde menor a mayor.

a) cuatrocientos cinco mil quinientos dosb) mil doscientos nueve millones sesenta y nue-

ve milc) treinta y cinco millones diecisiete mild) veinticinco mil dieciochoe) dos millones novecientos noventa y nueve

Descompón estos números. Fíjate en el ejem-plo.

a) 48.030 b) 703.056 c) 4.052.801 d) 238.468 e) 25.089.053

Aproxima estos números a las decenas de mi-llar y a las unidades de millón.

a) 12.795.003 c) 1.530.976b) 893.327.905 d) 9.990.990

Resuelve cada una de estas sumas de dos ma-neras diferentes. ¿Qué propiedad aplicarás?

a) 348 � 89 � 4.678b) 6.432 � 751 � 15.892c) 85.348 � 912.877 � 546

Coloca los signos de la suma y de la resta paraque las operaciones sean correctas.

a) 428 .. . . 315 .. . . 248 � 361b) 6.353 .. . . 214 .. . . 724 � 5.843c) 8.216 .. . . 799 .. . . 1.265 .. . . 986 � 9.294

Continúa estas series con cuatro númerosmás.

a) 12.348 - 12.398...b) 8.615 - 8.515...c) 213.509 - 213.459...d) 99.912 - 100.012...

6

5

4

3

2

1

Calcula:a) 34 � 9 e) 25 � 99b) 9 � 61 f) 99 � 6c) 9 � 52 g) 40 � 99d) 43 � 9 h) 81 � 99

¿Cuánto ha recaudado una empresa delanchas por un paseo por el puerto si 85pasajeros han pagado 9 € cada uno?

Si en otro viaje había una centena de per-sonas contando al conductor, ¿cuánto ha-brán cobrado en total?

Un señor ha comprado 3 ramos de viole-tas, 8 de rosas y 4 de claveles. ¿Cuánto hapagado si cada ramo valía 9 €?

14

13

12

11

Para repasar Cálculo

cálculo mental

Completa esta tabla.

Completa las igualdades e indica qué propie-dad se ha aplicado en cada caso.a) 361 � . . . . � 361b) 75 � 22 � 22 � . . . .

c) (4 � 13) � 15 � 4 � (. . . . � . . . . )d) 8 � (. . . . � 7) � 8 � 9 � . . . . � 7

Agrupa estos números por parejas hasta obte-ner la operación y el resultado indicados.

SUMA → 13.890 RESTA → 5.178MULTIPLICACIÓN → 31.517.444

Resuelve siguiendo las indicaciones y comparalos resultados con los resultados exactos.a) 234 � 25.886 � 4.565 (aproximando a las

decenas)b) 13.308.592 � 498.745 (aprox. a las centenas)c) 14.619 � 5.982 (aprox. a las unidades de

millar)

10

9

8

7

231 � 2 c � 3 d � 1 u � 200 � 30 � 1

16

Minuendo Sustraendo Diferencia

8.532 1.258

452 9.572

12.645 7.639

4.831 - 9.842 - 4.358 - 9.532 - 6.524 - 4.664


Para repasar Problemas

17

1

A lo largo de un paseo han plantado 19 árbo-les dejando una distancia de 2 m entre un árboly el siguiente. ¿Qué longitud tiene el paseo?Resuelve el problema gráficamente.

En una caja de bombones, hay 20 de chocola-te blanco y 15 de chocolate negro. ¿Cuántosbombones hay en 12 cajas? Calcúlalo de dosmaneras distintas.

Expresa la solución de estos problemas conuna operación combinada y resuélvelos.

a) Para plantar flores en un jardín, han compra-do 7 cajas que contienen cada una: una do-cena de macetas de rosas y media docenade macetas de lirios. Si se han estropeado15 macetas, ¿cuántas macetas se puedenplantar?

b) Eduardo ha cobrado 8.568 € por un traba-jo. Si ha gastado 240 € en material y ha pa-gado 825 € a cada uno de sus 3 ayudantes,¿cuánto ha ganado?

c) Una cajera tenía en la caja 5 billetes de 500 €, 8 de 100 €, 39 de 50 € y 43 de 20 €. ¿Cuánto dinero tenía en total?

En una biblioteca hay 12 estanterías con 11 es-tantes en cada una. Si en cada estante caben24 libros, ¿cuántos libros hay en la biblioteca?

El equipo A ha jugado 7 partidos; el B, el dobleque el A menos 4, y el C, 2 partidos menos queel A y el B juntos. ¿Cuántos partidos ha jugadocada equipo? ¿Y en total?

5

4

3

2

1 Un panadero elabora 48 barras de pan diariasy su compañero, el triple. ¿Cuántas barras ela-boran en una semana si no trabajan en do-mingo?

Un excursionista quiere completar un trayectode 180 km. Ha recorrido 3 etapas de 18 kmcada una y 7 etapas de 7 km en total. ¿Cuán-tos kilómetros le quedan por recorrer?

Si duermo 9 horas diarias y tú, 7, ¿cuántas ho-ras duermo más que tú en un año bisiesto?Aplica la propiedad distributiva.

Una fotocopiadora hace 26 fotocopias por mi-nuto; otra, 30, y una tercera, 33. ¿Cuántas fo-tocopias hacen las tres juntas en 1 hora?

Resuelve estos problemas de forma aproxima-da.

a) Quiero pagar a plazos una lavadora de 899 €. Si pago 69 € mensuales durante unaño, ¿será suficiente?

b) Para redactar un trabajo de 650 folios, Juanha redactado 105 folios; Rosa, el doble, yMaría, el triple. ¿Han terminado el trabajo?

c) En un establecimiento, un coche vale 24.099 € y, en otro, el mismo coche cuesta23.490 €. ¿Dónde lo compraré si en el pri-mer establecimiento me descuentan 790 € yen el segundo 199 €?

10

9

8

7

6

Los poemasde Vera Un conejoen el sombrero

La máquina

cuentacuentos


Rincón del ingenio

18

Unos turistas alquilan una góndola para pasearpor Venecia. La góndola recorre 5.000 metroscada hora.

a) ¿Cuántos metros habrá recorrido en mediahora? ¿Y en un cuarto de hora?

b) ¿Cuánto les costará el paseo a los turistas si elgondolero cobra 45 €, cada músico, 24 €, yademás dan 7 € de propina?

Para empezar

La división 2

¿En qué lámpara está el genio? Sólo una de lasfrases es verdadera.

No está en la lámpara roja.

Está aquí. No está aquí.


Aprende a multiplicar mentalmente por 11 o por101:

— Calcula mentalmente:

a) 65 � 11 i) 650 � 101b) 232 � 11 j) 2.320 � 101c) 428 � 11 k) 360 � 101d) 72 � 11 l) 720 � 101e) 125 � 11 m) 1.250 � 101f) 31 � 11 n) 310 � 101g) 19 � 11 ñ) 190 � 101h) 27 � 11 o) 140 � 101


a) Marisa tiene 11 gatitos, y cada uno toma 250 ml de leche diarios. ¿Cuánta leche ne-cesitan todos los gatitos al día?

b) La visita al veterinario y las vacunas de cadaanimal cuestan 32 €. ¿Cuánto dinero nece-sita Marisa?

c) Si en lugar de 11 gatos Marisa tuviera 101dálmatas, ¿cuánto le costaría la vacunación?

21

19

En esta unidad

Cálculo mental

LA DIVISIÓN

Los términos de la división

Relación entre los términos de una división

Estimación de cocientes

Variación en los términos de una división

Variación en el dividendo

Variación en el divisor

Variación en el dividendo y en el divisor

Operaciones combinadas

Cálculo numérico

Uso de la calculadora

45 � 11 � 45 � 10 � 45 � 450 � 45 � 495

45 � 101 � 45 � 100 � 45 � 4.500 � 45 � 45.045

Conceptos clave

Dividendo, divisor, cociente, resto.


Los términos de la división

20

Activ

idad

es

En una división bien resuelta siempre se cumple que:• r < d• D � c � d � r

�

Completa la tabla.

Calcula estas divisiones completando las cifras que faltan. Ten en cuenta que los símbolos iguales re-presentan la misma cifra.

Resuelve estas divisiones y clasifícalas en exactas y enteras.

a) 42.408 : 342 b) 55.490 : 152 c) 49.408 : 193 d) 14.320 : 145

5

4

3

8 0 4 41 6 1 2

3 8 40

8 7 2 21 4 7 6 4

0 9 20

Recuerda los términos de una división.

El profesor ha repartido 28 cajas de acuarelas entre las 8 mesas de la clase. A cada mesa le corresponden 3 cajas de acuarelas y sobran 4.

Dividendo (D): 28 divisor (d): 8 cociente (c): 3 resto (r): 4

• Si el resto es distinto de 0, la división es entera.• Si r � 0, la división es exacta.

Relación entre los términos de una división

— El resto siempre es menor que el divisor.

Ejemplo: 4 < 8

— El dividendo es igual al cociente por el divisor más el resto. Es la prueba de la división.

Ejemplo: 28 � 3 � 8 � 4

2 8 84 3

Dividendo Divisor Cociente Resto

1.859 38

106 65 3

15.057 21

283 72 50


Activ

idad

es Calcula las siguientes divisiones aproximando el dividendo a las unidades de millar.

a) 25.939 : 130 c) 36.002 : 120 e) 93.600 : 580b) 48.890 : 140 d) 51.979 : 416 f) 16.250 : 250

Aproxima el divisor a las decenas y resuelve:

a) 11.900 : 139 c) 26.970 : 312 e) 18.312 : 1.516b) 6.840 : 177 d) 17.640 : 281 f) 35.440 : 38

Resuelve estas divisiones aproximando el dividendo a las centenas y el divisor a las decenas.

a) 45.620 : 28 c) 1.426 : 69 e) 5.638 : 42b) 6.390 : 39 d) 26.490 : 47 f) 75.381 : 19

¿Cuál es el resultado aproximado de dividir 4 cm, 7 dm, 8 c,5 d y 1 u entre 3 c, 2 d y 9 u? Aproxima los términos a las cen-tenas.

Los 24 carteros de una localidad han entregado en total 1.924cartas, postales y paquetes. ¿Cuántas entregas ha hechoaproximadamente cada cartero?

10

9

8

7

6


21

Para estimar el cociente de una división, podemos aproximar sus términos.

2

Para estimar el cociente de una división, se aproxima el dividendo, el divisor o los dos y, después, seresuelve la división.

�

De esta forma, el cálculo es más sencillo.

— Aproximar el dividendo.

— Aproximar el divisor.

— Aproximar el dividendo y el divisor.

2.000 : 50 � 401.985 : 47

4.500 : 100 � 454.500 : 98

3.000 : 20 � 1502.995 : 20


Variación en los términos de una división

22

Activ

idad

es Fíjate en la división resuelta de cada ejemplo y calcula mentalmente el resultado de las demás.

a) 612 : 3 � 204 A) 306 : 3 B) 1.224 : 3 b) 720 : 8 � 90 A) 1.440 : 8 B) 360 : 8

Fíjate en las divisiones resueltas y completa:

4.536 : 36 � 1264.536 : 18 � . . . . . . . .

4.536 : 72 � . . . . . . . .

4.536 : 9 � . . . . . . . .

864 : 12 � 72864 : 6 � . . . . . . . .

864 : 24 � . . . . . . . .

864 : 3 � . . . . . . . .

1.440 : 60 � 241.440 : 30 � . . . . . . . .

1.440 : 120 � . . . . . . . .

1.440 : 15 � . . . . . . . .

12

11

En una división exacta:• Al multiplicar el dividendo por un número, el cociente queda multiplicado por el mismo número.• Al dividir el dividendo por un número, el cociente queda dividido por el mismo número.

�

Variación en el dividendo

En una fiesta de cumpleaños se preparan varias mesas de 8 personas cada una. ¿Cuántas mesas se nece-sitan si se invita a 48 personas?

48 : 8 � 6 Se necesitan 6 mesas.

¿Y si se invita al doble de personas?

¿Y si se invita a la mitad de personas?

48 : 8 � 6� 2 � 2

96 : 8 � 12

Se necesitan 12 mesas.

48 : 8 � 6: 2 : 2

24 : 8 � 3

Se necesitan 3 mesas.

En una división exacta:• Al multiplicar el divisor por un número, el cociente queda dividido por el mismo número.• Al dividir el divisor por un número, el cociente queda multiplicado por el mismo número.

�

Variación en el divisor

Los 480 alumnos de un colegio van de excursión en autocares de 30 plazas cada uno. ¿Cuántos autocaresse necesitan?

480 : 30 � 16 Se necesitan 16 autocares.

¿Y si tienen el doble de plazas? ¿Y si tienen la mitad de plazas?

480 : 30 � 16� 2 : 2

480 : 60 � 8

Se necesitan 8 autocares.

480 : 30 � 16: 2 � 2

480 : 15 � 32

Se necesitan 32 autocares.

a) b) c)


23

Activ

idad

es Escribe a partir de esta división: 448 : 4 � 112

a) Una división cuyo cociente sea 4 veces mayor.b) Una división cuyo cociente sea el doble.

Completa las siguientes divisiones exactas sin calcularlas.

a) 600 : 20 � 30 b) 450 : 30 � 15 c) 280 : 40 � 7300 : 10 � . . . . . . . 900 : . . . . . . . � 15 560 : 80 � . . . . . . .

150 : 5 � . . . . . . . . . . . . . . : 5 � 15 140 : . . . . . . . � 7

Completa esta tabla sin resolver las divisiones.

En un aparcamiento de 3 plantas iguales caben 360 coches. ¿Cuántas plantas se necesitarían paraaparcar 720 coches? ¿Cuántos coches se podrían aparcar en 9 plantas?

Si repartimos 207 platos entre 9 mesas, ¿cuántos platos habrá en cada mesa?

— Sin resolver ninguna operación, contesta a las siguientes preguntas.a) ¿Cuántos platos habría en cada mesa si fueran 69 los repartidos entre 3 mesas?b) ¿Y si fueran 828 platos y 36 mesas?

17

16

15

14

13

2

En una división exacta:• Al multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía. Es la propiedad

fundamental de la división.

�

Variación en el dividendo y en el divisor

Observa lo que le ocurre al cociente cuando multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por el mismonúmero.

División Dividendo Divisor Cociente

356 : 4 356 4 89

712 : 4

712 : 8

178 : 2

42 : 6 � 7� 3 � 3

126 : 18 � 7

El cociente no varía.

42 : 6 � 7: 2 : 2

21 : 3 � 7

El cociente no varía.


Operaciones combinadas

24

Activ

idad

es Relaciona cada operación con su resultado.

a) 864 : (198 � 174) � 184 b) 45 � (142 � 84) � 320 c) 126 : (134 � 92) � (184 � 28)

Resuelve estas operaciones.

a) 3.225 � 1.405 � 89.200 � 9.250 c) 23.715 � (840 � 15.312) � 3.980b) 23.019 � 32.998 � (16.321 � 1.768) d) (18.390 � 1.612) � (1.854 � 3.654)

Relaciona cada operación con aquella cuyo resultado sea el doble.

Coloca los paréntesis, si son necesarios, en el lugar adecuado para que se cumpla la igualdad.

a) 86 � 22 : 8 � 8 c) 9 � 8 � 45 : 15 � 69b) 5 � 9 � 12 � 8 � 25 d) 90 : 81 � 36 � 4 � 6 � 4 � 42

21

20

19

18

Las operaciones combinadas se resuelven calculando primero las operaciones de los paréntesis, despuéslas multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas.

�

Cálculo numérico

Recuerda el orden en que se resuelven las operaciones combinadas.

• Operaciones indicadas en los paréntesis.• Multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.• Sumas y restas en el orden en que aparecen.

Ejemplo: 12 � (32 � 41) � 264 : (24 � 32 � 2)

12 � (32 � 41) � 264 : (24 � 64)

12 � 73 � 264 : 88

876 � 3

873

2.930 468 220

a) 58 � 1.472 : 23 � 247 : 13

b) 246 � 294 : 14 � 11 � 9 � 6

c) 832 : 26 � 19 � 13 � 270 : 18

d) 432 � 805 : 23 � 24 � 31 � 935


Activ

idad

es Comprueba estas operaciones con la calculadora.

a) 72 � 84 � 55 � 41 � 96 � 8.207b) 37 � 41 � 8 � 693 : 21 � 332c) 26 � 5 � 36 � 4 � 180 : 45 � 124d) 29 � 72 � 64 � 28 � 884 : 34 � 322

Resuelve con la calculadora:

a) 736 : (78 � 46) � 159 c) 124 � (27 � 33) � 377 : 13 b) 635 � 442 : 13 � 148 d) 148 � (376 � 249) : 25

Escribe la expresión numérica de esta frase y calcula el resultado.

Al triple de cincuenta y cuatro más treinta y tres, le restas el cociente de quinientos trece entre diecinueve.

Inventa un problema para esta operación combinada y resuélvelo con la calculadora.

Los billetes del recorrido de un tren tienen estos precios: adultos, 18 €; estudiantes, 9 €, y niños, 6 €.Calcula el coste de un grupo formado por 4 adultos, 5 estudiantes y 7 niños.

26

25

24

23

22

25


Juan quiere comprar 2 cartuchos de tinta, 1 sobre de papel fotográfico y un paquete de CD. ¿Cuánto pagará en total?

2

Utiliza las teclas de memoria M+, M–, MR, MC para resolver operaciones combinadas.�

Recuerda cómo se resuelve una operación combinada con la calculadora:

Cartucho de tinta: 13 €

Papel fotográfico:16 sobres/368 €

Paquete de CD:31 €

En total pagará 80 €.

2 � 13 M+ 368 : 16 M+ 31 M+ MR

2 � 13 � 368 : 16 � 31

4.592 : 56 � 2.592 : 72 � 49


Para acabar

Halla el cociente en estas divisiones.

a) 2.236 : 86b) 1.330 : 95c) 2.176 : 68d) 2.852 : 46

Resuelve estas divisiones, compruébalas y cla-sifícalas en exactas y enteras.

a) 795 : 6 c) 680 : 40b) 2.535 : 39 d) 7.105 : 74

Divide el dividendo y el divisor de estas divisio-nes entre 10, 100 y 1.000, y calcúlalas.

a) 4.500 : 1.500b) 12.000 : 6.000c) 36.000 : 180d) 24.000 : 120

4

3

2

Repasa lo que has aprendido en esta unidad e indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas. Transforma las falsas en verdaderas.

1

Halla las cifras que faltan para completar estadivisión.

Calcula estas divisiones aproximando el divi-dendo a las unidades de millar.

a) 27.831 : 14 c) 36.210 : 90b) 12.280 : 24 d) 51.112 : 17

Calcula estas divisiones aproximando el divisora las decenas.

a) 5.400 : 121 c) 12.870 : 392b) 15.180 : 661 d) 16.800 : 801

7

6

5

a) La división 495 : 15 es una división exacta.

b) La división 15.632 : 8 es una división entera.

c) El cociente de dividir 24.168 entre 18 es 1.343.

d) El resto de dividir 2.494 entre 58 es 2.

e) El resultado aproximado de la división 14.681 : 23 es 734 cuando se aproximan a las decenas eldividendo y el divisor.

f) En la división D � 2.430 y d � 192, aproximando el dividendo y el divisor a las centenas, el co-ciente es 12.

g) En la división 168 : 12, si multiplicamos el dividendo por 3, el cociente es 24.

h) En la división 275 : 25, si dividimos el divisor entre 5, el cociente es 55.

i) El resultado de la operación 144 � 640 : 16 � 849 � 576 : 18 es 921.

j) El resultado de la operación 24 � 60 : 15 � 48 � 12 es el mismo si se resuelve con calculadoraque si se resuelve sin calculadora.

26

8 4 � 4 5 �3 2 � 1 6 �

1 0 40


27

2

Una familia ha comprado un piso por 216.000 €.Si lo tiene que pagar en 18 años, ¿cuánto pa-gará cada mes?

Averigua el número de cajas que necesitaspara empaquetar 360 bombones en cajas de12, 15 y 30 unidades, respectivamente.

Calcula el término que falta.

Resuelve estas operaciones combinadas.

a) 28 � 15 � 32 � 47 � 194b) 36 � 15 � 3 � 29 � 42c) 49 � 27 � 14 � 8 � 56d) (48 � 6) � 15 � (81 � 46)

Escribe los paréntesis para que se cumplan lasigualdades.

a) 15 � 6 � 4 � 20 � 130b) 30 � 8 � 10 � 8 � 212c) 24 � 12 : 9 � 15 � 19d) 3 � 11 : 7 � 14 � 16

Los resultados de estas operaciones han cam-biado de lugar. Escribe cada uno de ellos en laoperación que corresponda.

a) 125 � 750 : 25 � 7 � 11 � 339b) 56 � (18 � 7) � (26 � 84) � 78c) 534 : 6 � (180 � 70) � 357d) 526 � 58 � 3 � 225 : 45 � 506

13

12

11

D d c r

2.342 24 97

618 18

15 58 9

7.000 125 0

10

9

8 Escribe la expresión numérica y calcula el re-sultado en cada caso.

a) Al triple de la suma de nueve y quince, lerestas el doble de la suma de once y siete.

b) Al producto de veinticuatro por doce, le res-tas el cociente de ciento treinta y ocho entreveintitrés.

c) Al triple de la diferencia entre ciento cuaren-ta y cinco y ochenta y nueve, le sumas el co-ciente de mil setecientos sesenta y cuatroentre sesenta y tres.

Resuelve estas operaciones con calculadora.

En un taller de confección disponen de 4 pie-zas de tela de 50 m cada una. Con ellas van aconfeccionar 20 trajes que necesitan 2 m detela cada uno. Con el resto de la tela confec-cionarán abrigos que necesitan 4 m cada uno.¿Cuántos abrigos pueden confeccionar?

Inventa y resuelve un problema con esta ope-ración.

¿Qué signos aritméticos o paréntesis hay quecolocar entre las cifras para que se cumplanlas igualdades?

18

17

16

15

14

9 9 9 9 � 10

9 9 9 9 � 19

9 9 9 9 � 720

a) 42 � (31 � 44) � 33 � (27 � 14)b) 16 � (12 � 27) � 135 : (47 � 32)c) 82 � (120 � 64) � 432 : (65 � 41)d) 26 � (45 � 92) � 448 : (4 � 3)e) 346 � (512 � 257) � (128 � 23)

435 : 5 � 435 : 15


Escribe el número que corresponde en cada caso.

a) 2 cm 4 um 9 db) 8 cM 5 dM 3 cm 2 c c) 7 uM 1 dm 8 d 9 ud) 8 cM 5 uM 9 dm

Completa:

Completa:

a) 75 � . . . . . . . � 4.800b) .. . . . . . � 658 � 25.004c) 464 � . . . . . . . � 862.576

Resuelve estas divisiones y clasifícalas en ente-ras y exactas.

a) 3.648 : 25 b) 393.976 : 74 c) 194.324 : 196d) 2.109.184 : 308— Comprueba las divisiones.


Resuelve siguiendo las indicaciones y comparalos resultados.

a) 574.368 : 2.316 (aproximando a las dece-nas)

b) 574.368 : 2.316 (aproximando a las cente-nas)

c) 574.368 : 2.316 (aproximando a las unida-des de millar)

d) 574.368 : 2.316 (cálculo exacto)

6


5.232 48

10.617 279 38

24 35 3

5.520 48 0

5

4

3

2

1


Pablo tiene 3 sobres de cromos; Elena, eldoble, y Rosa, la tercera parte que Elena.¿Cuántos cromos tienen en total si en cadasobre hay 12?

Una centena de socios de un club y su pre-sidente han ido al teatro. ¿Cuánto han pa-gado si cada entrada cuesta 25 €?

13

12

11


cálculo mental

Sin efectuar ninguna división, relaciona las quetengan igual cociente. ¿Cómo lo has averigua-do?

a) 12 : 6 c) 4 : 2 e) 6 : 3b) 16 : 4 d) 8 : 2 f) 4 : 1

Resuelve y relaciona las operaciones combina-das que tengan el mismo resultado.

a) 2 � 3 � 17 f) 2 � (3 � 17)b) 15 � 16 � 8 g) 16 � 15 � 8c) 18 � 5 � 3 h) (18 � 5) � 3d) 15 � 4 � 2 i) 2 � 15 � 4e) 32 : 8 � 4 j) 32 : (8 � 4)

Escribe la operación combinada y resuelve:

a) Resta tres decenas a la suma de 22 y 48.b) Añade el doble de 15 a la diferencia entre 89

y 47.c) Suma primero 12 más 25 y réstale 14, y des-

pués, súmale la tercera parte de 24.

Calcula y comprueba los resultados con la cal-culadora.

10

9

8

7

28

8 .. . 4 2

.. . 9 1 . . .

4 6 . . . 4

�

6 .. . 2

8

5 5 3 . . .

. . . 7 8

3 .. . 5

2 1 . . .

1 2 4 2

� �

a) 12 � 4 � 8 � 13b) (15 � 7) : 2 � 8 � 3c) 36 � 13 � 2 � 48 : 4d) 18 � (15 � 3 � 24) � 32e) (45 � 63 : 3) � 6 � 15 � 2



29

2

Se quieren plantar árboles en una plaza cua-drada de 20 m de lado a una misma distanciade 2 m entre uno y otro, de manera que hayaun árbol en cada esquina. ¿Cuántos árboles senecesitarán? Represéntalo gráficamente.

Resuelve estos problemas y razona tus res-puestas.

a) En una granja han recogido 1.588 huevos,los han envasado en hueveras de una doce-na y han sobrado 14. ¿Es correcto?

b) ¿Cuántas hueveras necesitarán para enva-sar 1.690 huevos?

c) ¿Cuántos huevos recogieron la semana an-terior si envasaron 175 docenas y sobra-ron 9?

d) Si para envasar 192 huevos han necesitado16 hueveras de una docena, ¿cuántas hue-veras de media docena necesitarían? Expli-ca por qué puede resolverse sin calcular unadivisión.

Plantea estos problemas con operacionescombinadas y resuélvelos.

a) En una fábrica de piensos producen 576 kgdiarios y envasan la mitad en sacos de 16 kgy la otra mitad en sacos de 6 kg. ¿Cuántossacos llenarán?

3

2

1 b) Un colegio ha recibido en tres envíos distin-tos de leche: 48 l, 60 l y 80 l. Si cada díagastan 30 l, ¿tendrán suficiente para una se-mana escolar?

c) Un camión cisterna recoge el agua de tresdepósitos que contienen 234 l, 450 l y 188 l.¿Cuántos viajes tendrá que hacer si tieneuna capacidad de 218 l?

d) David ha cobrado 24 billetes de 50 € y 15de 100 € en el mes de septiembre. ¿Cuán-to gana en un día?

e) Sara ha comprado 15 sobres de 7 adhesivoscada uno, pero 13 estaban repetidos. Siquiere pegar los no repetidos en el álbumdonde caben 4 adhesivos en cada hoja,¿cuántas hojas llenará?

Resuelve de manera aproximada:

a) En una tienda 11 vestidos iguales cuestan1.320 € y, en otra, 19 cuestan 2.196 €. ¿Enqué tienda son más baratos?

b) He comprado un frigorífico por 590 €, un la-vavajillas por 485 € y una lavadora por 399 €.Si lo quiero pagar todo en 5 plazos mensua-les, ¿cuánto deberé pagar cada mes?

c) Un pintor ha comprado 12 botes de pinturaverde a 9 € cada bote y 21 botes de esmal-te a 19 € cada uno. ¿Tendrá suficiente conun billete de 500 €?

d) ¿Cuántos botes de pintura verde podríacomprar con 100 € si le hicieran un des-cuento de 8 €?

4


Potencias y raíces cuadradas3

Rincón del ingenioRelaciona cada pincelcon su color de pintu-ra de forma que lasrayas no se crucen nisalgan del recuadro.

30

a) ¿Cuál es la longitud de la ballena azul? ¿Y supeso?

b) ¿Cómo están expresadas estas cantidades?

c) ¿Cuántas toneladas de comida necesita en undía?

d) ¿Sabes qué significa el símbolo ��?

Para empezar

«Es el animal más grande del mundo.Mide 52 m de largo, pesa unos 105 kgy come diariamente ��16 toneladasde kril, que son crustáceos, moluscosy peces de pequeñísimo tamaño.»

¿Os gustaría teneruna ballena azul comomascota?


Recuerda el orden en el que se opera para calcular operaciones combinadas.

— Calcula mentalmente estas operacionescombinadas.

a) 9 : 3 � 8 i) 3 � 4 � 6b) 6 � 4 � 2 j) 5 � 3 � 4c) 2 � 6 � 3 k) 9 � 3 � 7d) 8 � 3 � 2 � 3 l) 7 � 2 � 2e) 7 � 3 � 8 m) 2 � 8 : 2f) 2 � 7 � 3 � 1 n) 6 � 8 � 4g) 8 : 4 � 6 � 2 ñ) 7 � 2 � 3h) 7 � 5 : 5 o) 15 : 5 � 2


a) Cada entrada al parque de atracciones cues-ta 6 € y una bolsa de palomitas cuesta 7 €.Si vamos 8 personas al parque, ¿cuánto nosgastaremos entre la entrada y las palomitas?

b) La noria tiene 8 balancines y en cada uno ca-ben 4 personas. Si quedan 9 plazas libres,¿cuántas personas viajan en la noria?

c) En una atracción del parque regalan una vi-sera a cada pareja que sube. Si ocho amigossubimos tres veces, ¿cuántas viseras nos re-galarán?

21

31

En esta unidad

Cálculo mental

POTENCIAS

Potencia de un número

Cuadrados y cubos

Cálculo de potencias con calculadora

Potencias de base 10

RAÍCES CUADRADAS

Raíz cuadrada de un número

Cuadrados perfectos y raíz cuadrada aproximada

7 � 2 � 5 � 14 � 5 � 9

10 � 1 � 9 � 10 � 9 � 1

3 � 8 : 2 � 3 � 4 � 7

Conceptos clave

Potencia, base, exponente, raíz cuadrada,radicando.


Potencia de un númeroAc

tivid

ades

Iván ha comprado cinco sobres de cromos, con cinco cromos en cada sobre. Observa cómo calcula el nú-mero total de cromos.

La potencia 52 se lee cinco elevado a dos.

Una potencia es un producto de factores iguales. Sus términos son base y exponente.Para leer una potencia, nombramos el número de la base seguido de la expresión «elevado a» y el número delexponente.

�

Escribe en forma de potencia y calcula el resultado.

a) 3 � 3 � 3 b) 2 � 2 � 2 � 2 c) 4 � 4 d) 7 � 7 � 7 � 7 � 7 � 7

Completa la tabla.

Escribe y calcula estas potencias.

a) cinco elevado a tres c) once elevado a uno b) siete elevado a dos d) doce elevado a cuatro

Escribe en forma de producto y calcula:a) 34 b) 25 c) 73 d) 104

Busca el término que falta en estas potencias:a) 3... � 27 b) 2... � 16 c) . . .4 � 81 d) . . .2 � 36

7

6

5

4

3

La multiplicación 5 � 5 tiene todos los factores iguales y puede expresarse en forma de potencia.

Potencia Se lee Base Exponente Producto Resultado

64

75

5 � 5 � 25¡Tengo 25 cromos!

5 � 5 � 52 � 25 Los términos son: 52 Exponente: número de veces quese repite el factor

Base: factor que se repite

32


Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cuadrado 1 4

Cubo 729

Cuadrados y cubos

33

Activ

idad

es Relaciona cada potencia con su resultado.

Completa la tabla con los cuadrados y los cubos de los nueve primeros números.

Calcula estas potencias y clasifícalas en cuadrados y cubos.

a) 182 b) 153 c) 143 d) 132 e) 163 f) 122

En una lámina se han dibujado 8 acuarios, en cada acuario hay 8 pulpos y cada pulpo tiene 8 patas.¿Cuántas patas hay dibujadas en total?

11

10

9

8

3

Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados. Se leen nombrando la base seguida de la expresión«al cuadrado».Las potencias de exponente 3 se denominan cubos. Se leen nombrando la base seguida de la expresión «alcubo».

�

112

53

192

83

63

125361121216512

Multiplicación 3 � 3 � 9 3 � 3 � 3 � 27

Potencia 32 � 9 33 � 27

Se lee tres al cuadrado tres al cubo

Hay 9 cubos de colores.

Hay 27 cubos de colores.

Observa cómo expresamos el número de cubos de colores que hay en cada imagen.


Cálculo de potencias con calculadora

34

Activ

idad

es Utiliza la calculadora y relaciona cada potencia con su resultado.

Resuelve estas potencias con la calculadora.

a) 56 b) 87 c) 114 d) 155 e) 39 f) 124

— Ordena las potencias anteriores utilizando los signos > y <.

En un supermercado hay cinco estanterías y, en cada estantería, cinco garrafas de agua de cinco litroscada una. ¿Cuántos litros de agua hay en total? Si cada garrafa cuesta 2 €, ¿cuánto cobrarán al ven-derlas todas?

En un día, seis colegios llevan a cabo un taller en el museo. De cada colegio van seis clases y en cadaclase se hacen seis grupos de seis alumnos cada uno. ¿Cuántos alumnos participan en el taller?

15

14

13

12

Para resolver potencias con la calculadora, pulsamos la cifra de la base seguida de la tecla de multiplicar y,después, la tecla igual tantas veces como indica el exponente menos uno.

�

Aprende cómo se resuelven potencias con la calculadora.

Para calcular el cuadrado, pulsamos la tecla «igual» una vez; para calcular el cubo, la pulsamos dos veces…,y así sucesivamente.

Para calcular 52:

52 5 � � 25

Para calcular 73:

73 7 � � � 343

Para calcular 94:

94 9 � � � � 6.561

64 390.625

85 1.296

58 32.768


Potencias de base 10Ac

tivid

ades

3

Los números naturales pueden descomponerse en sumas de números multiplicados por potencias de base 10.

�

Aprende cómo calcular fácilmente las potencias de base 10.

35

Indica cuáles de estas potencias son correctas y corrige las que no lo sean.

a) 103 � 10.000 b) 106 � 1.000.000 c) 105 � 10.000 d) 1012 � 1.000.000.000.000

Escribe estas cantidades como potencias de 10.

a) 10.000.000 b) 1.000.000.000 c) 100.000.000 d) 10.000.000.000

Escribe el número que corresponde a cada descomposición y resuelve A � B y C � B.

A) 3 � 105 � 5 � 104 � 2 � 103 � 6 � 102 � 4 � 10 � 9B) 7 � 106 � 4 � 105 � 6 � 104 � 2 � 103 � 5 � 102

C) 2 � 107 � 3 � 106 � 4 � 105 � 6 � 104 � 7 � 102 � 8

Descompón estos números utilizando potencias de base 10.

a) 9.876.453 b) 76.805.400 c) 89.780.080

19

18

17

16

El número de ceros del resultado es igual al exponente de cada potencia.

Para calcular potencias de base 10, escribimos la unidad seguida de tantos ceros como indique elexponente.

�

Las potencias de base 10 nos permiten descomponer un número. Observa:

76.132 � 7 � 104 � 6 � 103 � 1 � 102 � 3 � 10 � 2

102 � 10 � 10 � 100103 � 10 � 10 � 10 � 1.000105 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 100.000108 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 100.000.000

76.132

70.000 6.000 100 30 2

2

2

7 � 10.000

7 � 104

6 � 1.000

6 � 103

1 � 100

1 � 102

3 � 10

3 � 10


Raíz cuadrada de un número

36

Activ

idad

es Eleva estos números al cuadrado y calcula la raíz cuadrada de los resultados.

a) 11 b) 15 c) 17 d) 20

Relaciona cada raíz cuadrada con su resultado.

Calcula mentalmente la raíz cuadrada de estos números.

Calcula el radicando de las raíces cuadradas cuyos resultados son los siguientes.

a) 9 b) 25 c) 81 d) 100

Escribe cuatro potencias con exponente dos y calcula su raíz cuadrada.

El suelo de una habitación cuadrada tiene 121 baldosas. ¿Cuántas baldosas tiene cada lado?

La suma de dos números elevados al cuadrado es 117. Si el cuadrado de uno de ellos es 36, ¿cuál esel otro número?

26

25

24

23

22

21

20

Calcular la raíz cuadrada de un número es hallar otro número que elevado al cuadrado sea igual al primero.

�

a) ��144 b) ��169 c) ��225 d) ��400

A) 15 B) 20 C) 13 D) 12

En la imagen se ven 64 coches en total, 8 filas de 8 coches cada una.

8 � 8 � 82 � 64 coches

Fíjate en la raíz cuadrada que corresponde a esta potencia:

Se lee: la raíz cuadrada de 64 es 8.

La raíz cuadrada de 64 es 8 porque 8 elevado al cuadrado es iguala 64.

Calcular la raíz cuadrada es hallar la base de una potencia al cua-drado. Sus términos son el radicando y la raíz cuadrada o resultado.

Potencia Raíz cuadrada

82 � 64 ��64 � 8 raíz cuadrada (resultado)

símboloradicando

a) ��121 b) ��36 c) ��81 d) ��100 e) ��49


Activ

idad

es Calcula la raíz cuadrada de los números que sean cuadrados perfectos.a) 24 b) 36 c) 65 d) 81 e) 100

Calcula el cuadrado perfecto en cada caso.

a) ��. . . . . � 17 b) ��. . . . . � 37 c) ��. . . . . � 41 d) ��. . . . . � 43

Calcula la raíz cuadrada aproximada de estos números.

Escribe todos los números naturales cuya raíz cuadrada aproximada sea 6.30

29

28

27

37

3

El valor de la raíz cuadrada aproximada o entera de un número está comprendido entre las raícescuadradas de los cuadrados perfectos anterior y posterior.

�

��64 < ��72 < ��81

8 < Número entre 8 y 9 < 9

8 < ��72 < 9. La raíz cuadrada aproximada o entera de 72 es 8.

Los números cuya raíz cuadrada es un número natural se llaman cuadrados perfectos.�

Raíz cuadrada aproximada

Cuando un número no es cuadrado perfecto, podemos calcular su raíz cuadrada aproximada o entera.Observa cómo se calcula la raíz cuadrada aproximada de 72.

Cuadrados perfectos

Fíjate en estas raíces cuadradas.

��100 � 10 porque 102 � 100

��324 � 18 porque 182 � 324

��441 � 21 porque 212 � 441

Los números 100, 324 y 441 son cuadrados perfectos porque su raíz cuadrada es un número natural.

a) ��12 b) ��23 c) ��33 d) ��67 e) ��79


Para acabar

Escribe, si se puede, en forma de potencias:

a) 2 � 2 � 2 � 2 � 2 d) 3 � 3 � 3 � 4b) 5 � 5 � 5 � 5 e) 7 � 7c) 8 � 8 � 8 � 8 f) 12 � 12 � 12

Escribe en forma de producto y calcula estaspotencias.

a) 32 d) 53 g) 44

b) 26 e) 62 h) 103

c) 25 f) 73 i) 83

Calcula:

a) cuadrado de treceb) cubo de quincec) cubo de veinticincod) cuadrado de treinta y dos

Calcula estas potencias y ordénalas de mayora menor.

a) 53 c) 37 e) 105

b) 93 d) 143 f) 86

Escribe dos potencias para cada resultado.6

5

4

3

2

Repasa la unidad y escribe la pregunta que corresponde a cada definición.1

Calcula estas potencias con la calculadora.

a) 45 c) 86 e) 57

b) 95 d) 124 f) 154

Calcula:

a) dos elevado a nueveb) siete elevado a cuatroc) cinco elevado a seis d) nueve elevado a cinco


a) 58 � 104 � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) . . . . . . . . . . . . � 105 � 8.900.000

c) 76 � . . . . . . . . . . . . � 760.000

d) .. . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . � 23.000.000

e) 3 � 106 � 3 � 10 � . . . . . . . . . . . .

f) . . . . . . . . . . . . � 1 � 104 � 5 � 103 � 6

9

8

7

a) Es una multiplicación de factores iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) La base y el exponente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Es la potencia que tiene como exponente el número 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Es la potencia que tiene como exponente el número 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Se escribe la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) Es encontrar otro número que elevado al cuadrado sea igual al primero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) El radicando y la raíz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h) Su raíz cuadrada es un número natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i) Su resultado está comprendido entre las dos raíces de los cuadrados perfectos anterior y poste-

rior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

a) 64 b) 81


39

3

Escribe cuatro números más de cada una deestas series.

a) 4-16-...b) 10-100-1.000-...c) 5-25-125-...d) 3-9-27-...

Laura ha entrenado tres horas al día, tres díasa la semana durante tres semanas en los tresmeses de verano. ¿Cuántas horas ha entrena-do en total?

Descompón utilizando potencias de base 10.

a) 6.908.605 c) 8.590.053b) 45.064.452 d) 50.484.940

Escribe el número que corresponda en cadacaso.

a) 4 � 105 � 3 � 104 � 8 � 103 � 5 � 102 �� 9 � 10

b) 5 � 106 � 4 � 105 � 3 � 103 � 6 � 10 �� 7

c) 8 � 107 � 5 � 106 � 4 � 104 � 6 � 102 �� 5 � 10 � 6

d) 3 � 104 � 6 � 103 � 5 � 102 � 7 � 10 �� 4

Escribe y resuelve estas operaciones.

a) El cubo de cinco más el cuadrado deocho.

b) Cuatro elevado a cuatro menos dos elevadoa cinco.

c) Multiplica los resultados de dos elevado acinco y tres elevado a cuatro.

Relaciona cada raíz cuadrada con su resulta-do.

15

14

13

12

11

10 ¿Cuál es la raíz cuadrada del doble de 8? ¿Yde la mitad de 32?

Relaciona cada raíz cuadrada con su resultadoaproximado.

Calcula las raíces cuadradas aproximadas.

a) ��35 d) ��137b) ��90 e) ��57c) ��130 f) ��152

Escribe tres números cuya raíz cuadrada ente-ra sea 8.

Un tablero de ajedrez tiene en total 64 casillas.¿Cuántas casillas tiene cada lado?

Luis empezó una partida con un número decanicas igual al cuadrado de 9. Ganó el triplede 5 y perdió el cuadrado de 8. Al final, regalóla mitad de las que le quedaba. ¿Con cuántascanicas acabó la partida?

La suma del cuadrado de dos números es145. Si uno de ellos es 8, ¿cuál es el otro?

Inventa y resuelve un problema con este cálculo.

26 � 153

23

22

21

20

19

18

17

16

��1.600

��1.089

��289

��1.156

17

34

40

33

Raíz cuadrada Resultado

��18 5

��35 11

��123 4

��50 7


Escribe con cifras y letras el número anterior yposterior de los siguientes.

a) 110.000b) 4.000.999c) 2.999.101d) 7.200.000e) 3.000.099f) 15.000.000

Escribe los números correspondientes y resuel-ve las operaciones.

a) 5 uM 3 cm 4 c � 8 cm 4 um � 1 cm 2 dm 7 d b) 8 cM 5 cm 9 d � 7 uM 9 dm 7 um 8 c 5 d 2 uc) 2 dm 4 um � 6 um 9 ud) 2 cm 4 dm 6 um 5 c 5 d 8 u : 4 um 2 c 5 d 1 u

Resuelve estas operaciones combinadas ycomprueba los resultados con la calculadora.

a) (25 � 13 � 23) � 49 � 2 � 76 : 4b) 18 � 2 � 8 � 6 � 3 � 3 � 9c) 9 � (28 � 13 � 2 � 6) : 3

Coloca los signos en estas operaciones combi-nadas para que los resultados sean correctos.

a) 9 . . . 6 . . . 18 .. . 6 � 51b) 9 .. . 6 . . . 18 .. . 6 � 111c) 9 . . . 6 . . . 18 .. . 6 � 0d) 9 .. . 6 . . . 18 .. . 6 � 123

Expresa en forma de producto y calcula estaspotencias.

a) 64 d) 112

b) 83 e) 54

c) 36 f) 205

Añade el exponente a estos números de ma-nera que sean potencias al cuadrado o al cuboy relaciona cada una de ellas con su resultado.

a) 14... .

b) 8... .

c) 12... .

d) 17... .

e) 9... .

6

5

4

3

2

1

Calcula:a) 9 � 4 � 7 d) 8 � 7 � 6b) 7 � 3 � 2 e) 6 � 4 � 5c) 8 � 9 � 5 f) 5 � 7 � 7

¿Cuántos lápices me quedan si tenía 9, heperdido 2 y he dado 3 a cada uno de misdos compañeros?

¿Cuántos árboles hay en la plaza si había 7olmos y han plantado 6 pares de chopos,media docena de pinos y 3 encinas?

Pedro tiene 4 canicas menos que Eduardo.Si éste tiene el doble de 7 menos 8, ¿cuán-tas canicas tienen entre los dos?

14

13

12

11


cálculo mental

Con la ayuda de la calculadora, escribe las diezprimeras potencias del número 9.

Escribe cómo se leen estos números.

a) 104

b) 105

c) 101

d) 1010

e) 107

Descompón estos números utilizando poten-cias de base 10.

a) 45.032b) 368.900c) 7.024.014d) 256.000.679

Resuelve estas raíces cuadradas y señalacuándo los números son cuadrados perfectos.

10

9

8

7

40

a) ��81 e) ��900b) ��100 f) ��102c) ��99 g) ��121d) ��144 h) ��225

144729196512289



41

3

Selecciona el planteamiento correcto paracada problema y resuélvelo. Puede haber másde uno en cada caso.

a) En un almacén hay 16 cajas y, en cada una,16 paquetes y, en cada paquete, 16 cuader-nos. ¿Cuántos cuadernos hay en total?

b) Un mueble tiene 3 estantes con 16 cuader-nos en cada uno. ¿Cuántos cuadernos hay?

c) En un almacén, hay almacenados 3 cuader-nos; al día siguiente, el triple, y así cada día,durante 16 días. ¿Cuántos cuadernos ha-brán almacenados el último día?

d) En una papelería hay una oferta de 3 � 1. Sien cada lote hay 16 cuadernos, ¿cuántoshay en cada lote?

Utiliza la calculadora cuando sea necesario.

Representa gráficamente y resuelve estos pro-blemas.

a) ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrirel suelo cuadrado de una habitación si unlado tiene 6? ¿Y si fueran 8? ¿Y 11?

b) ¿Cuántos dados de 1 cm de lado necesita-ríamos para llenar un cubo de 4 cm de lado?¿Y si el cubo midiera 6 cm de lado?

c) Se quiere pavimentar el suelo de una habita-ción cuadrada donde caben 13 baldosas encada lado, de modo que las del contornosean de color verde y el resto, de color blan-co. ¿Cuántas baldosas de cada color se ne-cesitarán?

Claudia tiene el doble de canicas que su primoy éste el cuadrado de las de un amigo, que tie-ne 12. ¿Cuántas canicas tienen entre los tres?

3

2

163

3 � 16316

16 � 16 � 1616 � 16 � 16

1 Si la distancia de la Tierra a la Luna es de384.000 km, ¿cuántos kilómetros recorreríauna nave espacial en 5 viajes de ida y vuelta?Expresa el resultado con una potencia de base10.

Quiero comprar 6 cajas de refrescos con 6 lo-tes de media docena cada uno. Si cada refres-co vale medio euro y llevo un billete de 100 €,¿tendré suficiente? ¿Cuánto me faltará?

En un gimnasio hay 4 pisos con 4 salas encada uno, que contienen 4 armarios que tienen4 taquillas. ¿Cuántos llaveros necesitarán si encada uno caben 32 llaves?

Álvaro empezó el año practicando deporte. Elprimer mes practicó 4 horas, el siguiente 4 ho-ras más, y así hasta junio.

a) ¿Cuántas horas practicó deporte durante elprimer trimestre?

b) ¿Cuántas horas dedicó en todo el semes-tre?

c) ¿Cuál es la diferencia entre las horas dedica-das al deporte y las restantes durante el pri-mer trimestre?

d) Si hubiese practicado el mismo número dehoras, pero en partes iguales cada mes,¿cuántas habría hecho en el semestre?

Puedes resolverlo con una tabla de doble en-trada.

Si la velocidad de la luz es de 300.000 km porsegundo, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 15segundos? ¿Y en 2 minutos? Expresa el resul-tado en potencias de base 10.

8

7

6

5

4


Rincón del ingenio

42

a) Las manzanas se venden en bolsas de 2 kg ylas naranjas en bolsas de 5 kg. Si Esteban ne-cesita 6 kg de manzanas y 10 kg de naranjas,¿cuántas bolsas tiene que comprar?

b) ¿Podrá comprar 7 kg de manzanas? ¿Y 12 denaranjas? ¿Por qué?

Para empezar

Múltiplos y divisores4

¿Eres capaz de re-conocer una monedafalsa mezclada entreotras 6? La monedafalsa pesa menos quelas otras y tienesuna balanza de plati-llos, pero sólo pue-des hacer dos pesa-das.


43

En esta unidad

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número

Cálculo y expresión de los múltiplos de un número

Divisores de un número

Cálculo y expresión de los divisores de un número

Criterios de divisibilidad

Divisibilidad por 2, 5, 10, 3 y 9

Múltiplos comunes a dos números

Divisores comunes a dos númerosConceptos clave

Múltiplo de un número, divisor de un número,divisible.

Recuerda el orden en el que se resuelven lasoperaciones combinadas con paréntesis.

— Calcula mentalmente estas operacionescombinadas.

a) (9 : 3) � 8 i) (3 � 4) : (6 � 2)b) (3 � 2) � (2 � 3) j) 8 � (9 � 2)c) (8 � 6) � (7 � 3) k) (3 � 7) � 2d) 8 � (3 � 2) l) (2 � 6) � (3 � 2)e) 7 � (8 � 3) � 5 m) (12 � 8) : (8 � 4)f) (2 � 3) � (7 � 1) n) 6 � (8 � 4)g) 10 : (3 � 2) ñ) 7 � 2 � 5h) 2 � (2 � 5) o) 4 : (7 � 3)


a) Unos trillizos visitan con su clase un museo.Cada entrada al museo cuesta 3 € y el trans-porte, 5 €. ¿Cuánto tiene que pagar la fami-lia de los trillizos en total?

b) En la exposición ven 8 esculturas y 4 salascon 9 cuadros en cada una. ¿Cuántas obrasde arte han visto en total?

c) Los trillizos tienen 8 caramelos de naranja y 7caramelos de limón y quieren compartirloscon dos amigas. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada uno?

21

Cálculo mental

7 � (5 � 2) � 7 � 3 � 21

(6 � 2) : (8 � 4) � 8 : 4 � 2

7 � (8 � 3) � 5 � 7 � 5 � 5 � 7


Múltiplos de un númeroAc

tivid

ades

Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos este número por cadauno de los números naturales.Para indicar que un número es múltiplo de otro, colocamos un punto encima de éste.

�

Completa ayudándote de las tablas de multiplicar:

a) Son múltiplos de 2: 2, 4, 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Son múltiplos de 6: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Son múltiplos de 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f) Son múltiplos de 7: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Son múltiplos de 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g) Son múltiplos de 8: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Son múltiplos de 5: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h) Son múltiplos de 9: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indica con el símbolo correspondiente los múltiplos de 6.

15, 18, 32, 36, 45, 54, 60, 62, 66, 71, 78, 100

Elige la respuesta correcta en cada caso.5

4

3

Observa cómo calculamos el número de ruedas en cada caso.

44

a) 18 es múltiplo de 3.18 es múltiplo de 4.

c) 35 es múltiplo de 7.35 es múltiplo de 8.

b) 42 es múltiplo de 5.42 es múltiplo de 6.

d) 64 es múltiplo de 8.64 es múltiplo de 9.

Número de coches Número de ruedas

1 4 � 1 � 4

2 4 � 2 � 8

3 4 � 3 � 12

4 4 � 4 � 16

En un coche, 4 ruedas.En dos coches, 8 ruedas.En tres coches, 12 ruedas.En cuatro coches, 16 ruedas.

Los números 4, 8, 12, 16... son múltiplos de 4.

Aprende cómo se indica que un número es múltiplode otro.

16 � 4·

16 es múltiplo de 4.

54 � 9·

54 es múltiplo de 9.


Activ

idad

es Escribe cinco múltiplos de cada número. Exprésalo entre llaves.

a) 7 c) 11b) 10 d) 14

Expresa todos los múltiplos de 7 menores que 100.

¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de 15? Exprésalo mediante el símbolo característico.

Escribe los siguientes números.

a) Cinco múltiplos de 9 entre 40 y 100.b) Cuatro múltiplos de 7 entre 150 y 190.c) Seis múltiplos de 8 entre 90 y 150.

¿Cuál es el primer múltiplo de cualquier número?10

9

8

7

6

4

Los múltiplos de un número se expresan entre llaves.�

De cada número podemos calcular infinitos múltiplos, ya que existen infinitos números naturales.

45

Cálculo de los múltiplos de un número

Para calcular los múltiplos de un número, se multiplica este número por cada uno de los números naturales.Fíjate en los múltiplos de 5.

Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40...

Para calcular los múltiplos de un número, multiplicamos éste por cualquier número natural.Todos los números naturales tienen infinitos múltiplos.

�

Expresión de los múltiplos de un número

Fíjate en la tabla y aprende cómo se expresan todos los múltiplos de un número.

Múltiplos de 3 3 6 9 12 15 .. . . . .

Múltiplos de 5 5 10 15 20 25 .. . . . .

Múltiplos de 6 6 12 18 24 30 .. . . . .

Múltiplos de 9 9 18 27 36 45 .. . . . .

M(3) � {3, 6, 9, 12, 15, 18...}

M(5) � {5, 10, 15, 20, 25, 30...}

M(6) � {6, 12, 18, 24, 30, 36...}

M(9) � {9, 18, 27, 36, 45, 54...}

25 - 35 - 40 - 45 - 50 - 55 - 60 - 65 - 75 - 85 - 90


Divisores de un número

46

Activ

idad

es Efectúa estas divisiones e indica los divisores de 100.

a) 100 : 1 b) 100 : 2 c) 100 : 4 d) 100 : 5 e) 100 : 6 f) 100 : 10

Fíjate en el ejemplo y completa:

3 es divisor de 15 porque 15 : 3 � 5.a) 5 es divisor de 20 porque .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 12 es divisor de 48 porque .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De los siguientes números, señala los que son divisores de 60.

a) 20 c) 13 e) 30b) 3 d) 7 f) 12

¿De cuántas maneras se pueden reunir los 24 alumnos de una clase en grupos iguales?

Señala las afirmaciones que sean ciertas.

a) 8 es divisor de 15. c) 7 es divisor de 56.b) 9 es divisor de 29. d) 6 es divisor de 18.

15

14

13

12

11

Los divisores de un número son los números naturales que dividen ese número obteniendo como cocienteotro número natural y el resto es igual a 0.Para indicar que un número es divisor de otro, se escribe: divisor I múltiplo.

�

Observa de cuántas maneras podemos repartir 12 bocadillos en platos que contengan el mismo número debocadillos.

Númerode platos

Número de bocadillos en cada plato

1 12 : 1 � 12

2 12 : 2 � 6

3 12 : 3 � 4

4 12 : 4 � 3

6 12 : 6 � 2

12 12 : 12 � 1

En 1 plato, 12 bocadillos.

En 2 platos, 6 bocadillos.




En 12 platos, 1 bocadillo.

Los números 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son divisores de 12.

Para indicar que un número es divisor de otro, se escribe: 6 | 12; 6 es divisor de 12 ó 12 es divisible por 6.

6 es divisor de 12 porque 12 : 6 � 2 y r � 0.


47

Activ

idad

es Calcula y escribe los divisores de los siguientes números.

a) D(10) c) D(8) e) D(12)b) D(21) d) D(24) f) D(15)

Copia en tu cuaderno las afirmaciones que sean ciertas.

a) 8 es divisor de 15. c) 7 es divisor de 56.b) 9 es divisor de 29. d) 6 es divisor de 66.

Escribe tres divisores de cada número.

a) 40 b) 50 c) 18 d) 65 e) 90

¿Cuáles de estos números son divisores de 50?

1 - 5 - 15 - 25 - 35 - 50

19

18

17

16

4

Para calcular los divisores de un número, lo dividimos por la sucesión de números naturales menores que él,hasta que el cociente sea igual o menor que el divisor.Todos los números naturales tienen como mínimo dos divisores: el propio número y la unidad.El 1 es divisor de todos los números.Los divisores de un número se expresan entre llaves.

�

Cálculo de los divisores de un número

Fíjate en cómo se calculan los divisores de 20.

Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. El primer divisor de un número es el 1 y el último, el propio número.

Expresión de los divisores de un número

El conjunto de los divisores de 20 se escribe: D(20) � {1, 2, 4, 5, 10, 20}

1. Dividimos 20 entre todos losnúmeros naturales posibleshasta que el cociente sea igualo menor que el divisor.

2. Comprobamos si la división esexacta o entera.

3. En las divisiones exactas el di-visor y el cociente son diviso-res de 20.

20 : 1 � 20 Exacta 1 y 20

20 : 2 � 10 Exacta 2 y 10

20 : 3 � 6 y r � 2 Entera .. . . . . . . . . . . . . . . .

20 : 4 � 5 Exacta 4 y 5

20 : 5 � 4 → 4 < 5 Exacta 5 y 4


Criterios de divisibilidad

48

Activ

idad

es Indica de los siguientes números los que sean divisibles por 2, por 5 y por 10. Escríbelos en tres co-lumnas. ¿Ves alguna coincidencia?

a) 25 c) 30 e) 46 g) 55 i) 60 k) 76 b) 84 d) 93 f) 111 h) 120 j) 140 l) 160

Escribe cinco números comprendidos entre el 200 y el 214 que sean divisibles por 2, pero no por 5.

Escribe cinco números comprendidos entre el 300 y el 350 que sean divisibles por 5, pero no por 2.

Escribe cinco números comprendidos entre el 315 y el 370 que sean divisibles por 10.

En los siguientes números señala los que son, a la vez, divisibles por 2 y por 5.

a) 2.342 b) 3.120 c) 3.540 d) 4.408 e) 5.230 f) 5.613

Completa siguiendo el ejemplo:

46 es divisible por 2. 46 es múltiplo de 2.

a) 45 es divisible por…b) 54 es divisible por…c) 1.000 es divisible por…

25

24

23

22

21

20

Para saber si un número es divisible por otro, sin calcular la división, utilizamos unas normas llamadas criterios de divisibilidad.

Divisibilidad por 2, por 5 y por 10

Divisibilidad por 2 Divisibilidad por 5 Divisibilidad por 10

Múltiplos de 2

M(2) � {2, 4, 6, 8, 10, 12…}

Todos acaban en cifra par o 0.

Múltiplos de 5

M(5) � {5, 10, 15, 20, 25…}

Todos acaban en 0 ó 5.

Múltiplos de 10

M(10) � {10, 20, 30, 40, 50…}

Todos acaban en 0.

Un número es divisible por 2cuando acaba en 0 o cifra par.

Un número es divisible por 5cuando acaba en 0 o en 5.

Un número es divisible por 10cuando acaba en 0.


Activ

idad

es Comprueba cuáles de estos números son divisibles por 3.

a) 23 c) 27 e) 33 g) 54 i) 61 k) 81b) 111 d) 123 f) 143 h) 150 j) 168 l) 201

¿Cuáles de estos números son divisibles por 9? Comprueba si son divisibles por 3.

a) 72 b) 84 c) 99 d) 108

Escribe cuatro números menores que 100 que sean divisibles por 3 y no por 9.

Sustituye la letra a por la cifra necesaria para que el número sea divisible por 3.29

28

27

26

49

4

Divisibilidad por 3 y por 9

a) 120a c) 21a2 e) 2a46

d) 421ab) 24a1

Divisibilidad por 3 Divisibilidad por 9

Múltiplos de 3

M(3) � {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24…}

Fíjate en que la suma de las cifras de estosnúmeros es 3 o un múltiplo de 3.

12 15 18 21

1 � 2 � 3 1 � 5 � 6 1 � 8 � 9 2 � 1 � 3

Múltiplos de 9

M(9) � {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72…}

Fíjate en que la suma de las cifras de estosnúmeros es 9 o un múltiplo de 9.

18 27 36 45

1 � 8 � 9 2 � 7 � 9 3 � 6 � 9 4 � 5 � 9

Un número es divisible por 3 si la suma de suscifras es 3 o múltiplo de 3.

Un número es divisible por 9 si la suma de suscifras es 9 o múltiplo de 9.

Todos los números que son divisibles por 9 son divisiblespor 3, pero no todos los números divisibles por 3 son divi-sibles por 9.

Ejemplo: 18 es divisible por 3 y por 9.12 es divisible por 3, pero no es divisible por 9.


Múltiplos comunes a dos números

50

Un camión recoge el contenedor de reciclaje de plástico cada 4 días y otrocamión recoge el contenedor de reciclaje de vidrio cada 6 días. Si los doshan vaciado los contenedores hoy, ¿dentro de cuántos días volverán a coin-cidir?

Fíjate en cómo se calculan los días que transcurren hasta que vuelven a coin-cidir.

— Calculamos los múltiplos de 4 y de 6 para saber cada cuántos días se re-cogerán los contenedores y seleccionamos los comunes.

1. Contenedor de plástico:

M(4) � {4, 8, , 16, 20, , 28…}

2. Contenedor de vidrio:

M(6) � {6, , 18, , 30, 36...}

— Los múltiplos comunes a 4 y 6 son 12, 24…

Los dos camiones coincidirán al cabo de 12 días, 24 días…

El primer múltiplo común se denomina mínimo común múltiplo (m.c.m.).

2412

2412

Activ

idad

es Escribe dos múltiplos comunes a 3 y 4. Indica qué número es el m.c.m. entre 3 y 4.

Escribe dos múltiplos comunes a 5 y 10. ¿Cuál es el m.c.m. de 5 y 10?

Calcula tres múltiplos comunes en cada caso.

a) 3 y 6 b) 20 y 30 c) 4 y 8 d) 12 y 24

Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala. 33

32

31

30

Para calcular los múltiplos comunes a dos números, se calculan los múltiplos de cada número y se escogenlos múltiplos repetidos. El menor de ellos se llama mínimo común múltiplo.

�

2·

3·

5·

9·

10·

12.540 sí

15.201 no

26.100

11.790


Divisores comunes a dos números

51

La profesora de Plástica tiene 144 dibujos de animales y 120 di-bujos de paisajes. Quiere organizar una exposición formandogrupos con el mismo número de dibujos sin mezclarlos. ¿Cuán-tos grupos de dibujos puede crear?

Fíjate en cómo calculamos los grupos de dibujos.

— Calculamos los divisores de 144 y 120, y seleccionamos loscomunes.

D(144) � {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}

D(120) � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

— Los divisores comunes a 144 y 120 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12.

Puede crear grupos de 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12 dibujos.

El divisor con mayor valor se denomina máximo común divisor (M.C.D.).

Activ

idad

es Calcula todos los divisores de los números 10 y 22, y selecciona los comunes.

Halla todos los divisores comunes a los números 100 y 80.

Escribe cinco números diferentes de dos cifras y que tengan a éstos como divisores.

a) 2 y 3 b) 2 y 5 c) 2 y 9

Busca dos números que tengan como divisores comunes 3, 5 y 9.

Calcula los divisores comunes a 60 y 80. ¿Cuál es su M.C.D.?

Relaciona los siguientes pares de números con su divisor común.

a) 120 y 40 b) 90 y 135 c) 120 y 180

39

38

37

36

35

34

4

Para buscar los divisores comunes de dos números, primero se escriben los divisores de cada uno de losnúmeros y luego se eligen los que están repetidos. El mayor de ellos se llama máximo común divisor.

�

60 40 45


Para acabar

Escribe los cinco primeros múltiplos de estosnúmeros.

a) 12 b) 22 c) 30 d) 45

Indica de qué número son múltiplos los si-guientes.

a) 6, 9, 12, 15...b) 8, 12, 16, 20...c) 14, 21, 28, 35...

Escribe los múltiplos de 2 que sean mayoresque 150 y menores que 190.

Calcula seis múltiplos de 7 mayores que 40.

Di si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.

a) 48 es múltiplo de 12.b) 261 es múltiplo de 9.

6

5

4

3

2

Repasa la unidad señalando las respuestas correctas.1

Señala cuál de estos números no es divisor de90.

a) 3 b) 4 c) 10 d) 15 e) 30

Calcula todos los divisores de los siguientesnúmeros.

a) 30 b) 40 c) 80 d) 50

Calcula los divisores comunes a estas parejasde números.

9

8

7

a) Los múltiplos de un número son los que resultan de multiplicar ese número por:A) Los 10 primeros números. B) Otro número natural.

b) Para expresar que 48 es múltiplo de 6 se escribe:A) 6 � 48 B) 48 � 6 C) 48 � 6

·

c) Un número es divisor de otro si al dividir el primero entre el segundo la división es:A) Entera. B) Exacta. C) Igual a 1.

d) La expresión que indica todos los divisores de 12 es:A) {1, 2, 12} B) {0, 1, 2, 4, 8} C) {1, 2, 3, 4, 6, 12}

e) La expresión 8 | 32 significa que:A) 8 es múltiplo de 32. B) 8 es divisor de 32. C) 8 y 32 son primos entre sí.

f) El número 4.365 es divisible por:A) 2 B) 5 C) 9

g) El número 140 es un múltiplo común de los números:A) 10 y 40 B) 14 y 40 C) 20 y 35

h) El número 40 es un divisor común de los números:A) 90 y 120 B) 60 y 120 C) 80 y 120

52

12 y 20 8 y 21

8 y 12 25 y 30

a)

b)

c)

d)


53

4

Completa en tu cuaderno con las palabras múl-tiplo o divisor.

a) 18 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 2.b) 15 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 45.c) 90 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 15.d) 88 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 11.e) 17 es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 119.

Escribe los divisores comunes a los números12, 18 y 24.

Halla el múltiplo común menor de estas parejasde números.

a) 4 y 5 b) 6 y 12 c) 10 y 15 d) 9 y 18

Completa esta tabla siguiendo el ejemplo.

Completa estos números con la cifra que faltapara que sean múltiplos de 9.

a) 246.. . . d) 6513.. . .

b) 3416.. . . e) 4.. . .231c) 45.. . .31 f) 52.. . .45

Haz una tabla con M(3), M(4), M(5) y M(7), y co-loca estos números donde corresponda.

39, 9, 10, 8, 50, 14, 16, 104, 32, 18, 91, 98,65, 55, 33, 115, 51, 77, 88, 25, 49

Indica el valor de cada letra para que se cum-plan estas afirmaciones.

a) 2a es múltiplo de 3 y 9.b) 58c es múltiplo de 2 y de 5.c) 25r es múltiplo de 2 y 3.d) 72s es múltiplo de 3 y de 5.e) 103t es múltiplo de 5 y de 9.

16

15

14

Número Tres múltiplos Cuatro divisores

28 28, 56, 84 1, 4, 7, 14

46

72

120

13

12

11

10 Un representante viaja a una ciudad cada 4días y otro, cada 6 días. Hoy, día 1 de febrero,han coincidido. ¿Cuántas veces coincidirándurante este mes?

Escribe tres números de cuatro cifras que seandivisibles por 3 y no por 5.

Natalia ha comprado 36 piezas de fruta y Na-cho, 48. Cada uno de ellos por separado quie-re colocarlas en fruteros de forma que tenganel mismo número de frutas. ¿De cuántas ma-neras podrán distribuirlas para que haya másde 5?

En un club de tiempo libre están indicadas lasactividades del mes de marzo.

a) ¿Qué días del mes se juega al tenis?b) ¿Qué días del mes se ensaya teatro?c) ¿Qué días del mes se pinta?d) ¿Qué días del mes se practica aeróbic?e) ¿Qué días del mes coinciden tenis y teatro?f) ¿Qué días del mes de marzo coinciden pin-

tura y aeróbic?g) ¿Qué días del mes de marzo se realizan las

cuatro actividades a la vez?

En la pantalla de una calculadora aparece estenúmero.

¿De qué números de una cifra es múltiplo?

21

Actividades de marzo Inicio

Tenis Cada 2 días 2 de marzo

Teatro Cada 3 días 3 de marzo

Pintura Cada 4 días 4 de marzo

Aeróbic Cada 5 días 5 de marzo

20

19

18

17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0


Completa estos números con los dígitos 1 ó 7.

859.6.. . .2 < 859.. . .52 < 8.59.. . .219 < 8.591.. . .05< 8.59.. . .307 < 8.598.. . .99

Aproxima estos números a la unidad indica-da.

a) 452.589 (a las centenas)b) 3.872.509 (a las decenas de millar)c) 45.642.319 (a las unidades de millón)d) 34.789.212 (a las unidades de millar)e) 826.321 (a las centenas de millar)

Compara estas expresiones con los signos � o�. En los casos en que haya igualdad, di dequé propiedad se trata.

a) 25 � 8 � 5 .. . . 25 � (8 � 5)b) 251 � 3 .. . . 3 � 251c) 12 � (8 � 7) .. . . (12 � 8) � 7d) 17 � (7 � 5) .. . . 17 � 7 � 17 � 5

Continúa estas series con tres números más.

a) 875 - 740 - 605...b) 456 - 784 - 1.112...c) 3.904 - 3.860 - 3.816...d) 15 - 75 - 375...

Resuelve estas operaciones combinadas ycomprueba los resultados con la calculadora.

a) 34 � 48 : 4 � (25 � 5 � 3)b) (34 � 13 � 18) � 2 � 7 � 3 � 6c) 19 � 34 : 2 � 6 � 4 � 10d) 23 � (27 : 3 � 1) : 5

Di si son ciertas o falsas estas igualdades y jus-tifica tu respuesta.

a) 35= 3 � 3 � 3 � 3 � 3b) 53 � 5 � 5 � 5c) 62 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2d) 26 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2e) 84 � 8 � 8 � 8 � 8

6

5

4

3

2

1

Calcula:a) (7 � 4) � 5 d) (25 � 5) : (10 � 5)b) 9 � 6 : 2 e) 8 � 2 � 4c) 4 � 5 � 8 f) 4 : 2 � 3

Expresa cada una de estas situaciones enforma de operación combinada y resuél-velas.

a) Teníamos 6 paquetes de 4 magdalenascada uno y nos hemos comido 2 paque-tes. ¿Cuántas magdalenas quedan?

b) ¿Cuántos libros tiene una estantería sien el primer estante hay 6 libros; en elsegundo, el doble que en el primero me-nos 7, y en el tercero, la mitad del pri-mero más 4?

13

12


cálculo mental

Elimina los números que no sean múltiplos encada caso.

a) M(3) � {39, 75, 126, 243, 354...}b) M(5) � {100, 101, 110, 111, 115...}c) M(9) � {108, 225, 348, 495, 603...}

Escribe los divisores que faltan.

a) D(18) � {1, 2, 3, . . . ., 9, 18}b) D(24) � {1, 2, 3, 4, 6, 8, . . . ., 24}c) D(30) � {1, 2, 3, 5, . . . ., 10, . . . ., 30}d) D(64) � {1, 2, 4, 8, . . . ., 32, . . . .}

Sin resolver las divisiones, indica si estos nú-meros son divisibles por 2, 3, 5, 9 o por 10.

a) 120 c) 342b) 945 d) 1.040

Escribe los diez primeros múltiplos de cada nú-mero, rodea los comunes y colorea el menor.

a) 6 y 9 b) 20 y 50 c) 8, 12 y 16

Escribe los divisores de cada número y rodealos comunes en cada uno de los apartados.

a) 8 y 24 b) 20 y 50 c) 12 y 36

11

10

9

8

7

54



55

4

Resuelve gráficamente:

a) ¿De cuántas maneras podemos embolsar 8caramelos sin que sobre ninguno?

b) ¿De cuántas maneras podríamos colocaruna docena de chocolatinas en una caja rec-tangular?

c) Un grupo de entre 8 y 12 amigos se puedeagrupar de 2 en 2 y de 5 en 5, pero no de 3en 3. ¿Cuántos amigos forman el grupo?

Resuelve numéricamente:

a) ¿De cuántas formas podemos agrupar 40frutos secos sin que sobre ninguno?

b) ¿De cuántas maneras podríamos distribuir48 bombones en cajas rectangulares?

c) En un parque hay más de 12 niños y menosde 32. Pueden jugar de 3 en 3 y de 5 en 5sin que sobre ninguno, pero no de 2 en 2.¿Cuántos niños hay en el parque?

Resuelve estos problemas.

a) Mi abuela toma un jarabe cada 4 horas y unapastilla cada 6. Si ha empezado la medica-ción a las 8 de la mañana, ¿a qué hora to-mará el jarabe y la pastilla a la vez?

M(4) =

M(6) =

3

2

1 b) Queremos agrupar por separado y con elmayor número posible 15 cartulinas de colorrojo y 20 de color azul, de manera que hayael mismo número en cada grupo. ¿Cuántosgrupos habrá de cada color?

c) María va al gimnasio cada día; Carlos, cada2 días, y Lucas, cada 3. Si hoy han coincidi-do, ¿al cabo de cuántos días se volverán aencontrar?

d) Con tres alambres de 24 cm, 40 cm y 64 cmse quieren obtener trozos iguales. ¿Cuál esla máxima longitud que puede tener cadatrozo?

e) Una sirena da una señal cada cuarto dehora; otra, cada media hora, y una tercera,cada tres cuartos de hora. Si han coincididoa las 6 de la mañana en dar la señal, ¿a quéhora volverán a coincidir?

Plantea estos problemas en forma de poten-cias y resuélvelos.

a) En una biblioteca hay 2 muebles de 9 estan-tes con 9 libros en cada uno y 3 muebles de5 estantes que contienen 5 cajas cada unocon 5 libros por caja. ¿Cuántos libros hay enla biblioteca?

b) En 12 cestas hay 12 ramos de 12 margari-tas en cada uno. ¿Cuántas flores hay en to-tal si se han marchitado 2 docenas?

c) En un desfile hay 15 filas de 15 atletas cadauna. Si hay el doble de chicas que de chicos,¿cuántos chicos y chicas hay?

4


Rincón del ingenio

56

Cada dos horas, sale un avión con destino a Pa-rís y, cada tres horas, otro con destino a Berlín. Sihoy los primeros vuelos han salido a las ocho dela mañana:

a) ¿A qué horas saldrá el resto de los aviones condestino a París?

b) ¿Y con destino a Berlín?

c) ¿A qué horas coincidirá la salida de los dosaviones?

Para empezar

Números primos, M.C.D.y m.c.m.5

En un grupo de amigos todosllevan paraguas menos uno.Cuando empieza a llover, encada paraguas se resguar-dan dos niños y sobra un pa-raguas. ¿Cuántos niños ycuántos paraguas hay comomínimo?

Vuelo Destino Hora Puerta Estado

Dc-875 París 08.00 17 Embarcando

Ak-135 Berlín 08.00 16 Embarcando


57

En esta unidad

NÚMEROS PRIMOS

Números primos y números compuestos

Identificación de los números primos

Descomposición de un número en factores primos

Regla práctica

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Cálculo del M.C.D.

Números primos entre sí

Cálculo del m.c.m.

Problemas de M.C.D. y de m.c.m.

Conceptos clave

Factores primos, divisores comunes, múltiploscomunes, máximo común divisor, mínimo comúnmúltiplo.

Observa cómo se calcula el cuadrado de dece-nas, centenas y unidades de millar exactas.


a) 202 i) 902

b) 3002 j) 5002

c) 5.0002 k) 302

d) 402 l) 8002

e) 9.0002 m) 502

f) 2002 n) 2.0002

g) 6.0002 ñ) 3.0002

h) 1.0002 o) 802


a) En un invernadero hay plantadas 20 tomate-ras. Cada tomatera produce 20 kilos de to-mates por temporada. ¿Cuántos kilos de tomates producirá en toda la temporada?

b) Para regar el invernadero, se dispone de 60depósitos de 60 litros de agua cada uno.¿Cuántos litros de agua hay en total?

c) Para cubrir el invernadero, necesitamos 400metros de una malla especial que cuesta 400 € el metro. ¿Cuánto pagaremos por cu-brir todo el invernadero?

21

Cálculo mental

702 � 7 � 7 � 102 � 49 � 100 � 4.900

7002 � 7 � 7 � 1002 � 49 � 10.000 �

� 490.000

7.0002 � 7 � 7 � 1.0002 � 49 � 1.000.000 �

� 49.000.000


Números primos y números compuestosAc

tivid

ades

Un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores.�

Halla los divisores de estos números y clasifícalos en primos y compuestos.

2 - 3 - 8 - 13 - 19 - 21 - 23 - 32 - 43 - 45 - 49 - 50

Clasifica en primos y compuestos los números comprendidos entre 50 y 60, ambos inclusive.

¿Cuáles de los divisores de estos números son primos?

a) 8 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

5

4

3

Podemos clasificar los números en primos y compuestos.

58

Números primos

El entrenador de un equipo de baloncesto quiere saber de cuántasmaneras puede formar grupos iguales para el entrenamiento de 5 ju-gadores.

Para saberlo, calculamos los divisores de 5.

Puede formar grupos de 1 y de 5 jugadores.

El número 5 es un número primo porque sólo tiene dos divisores: el 1 y el 5.

Números compuestos

Si el entrenador entrenase a 10 jugadores, ¿de cuántas maneras podría formar grupos iguales?

Para saberlo, hallamos los divisores de 10.

Puede formar grupos de 1, 2, 5 y 10 jugadores.

El número 10 es un número compuesto porque tiene más divisores que 1 y 10.

5 10 5

5 21 2

5 32 1

5 41 1

Un número primo es aquel que sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.Los números 2, 3, 5 y 7 son números primos menores que 10.

�

1 0 10 1 0

1 0 20 5

1 0 31 3

1 0 42 2

1 0 50 2


Activ

idad

es Comprueba que son primos los cinco últimos números que resultan en la criba de Eratóstenes.

¿Cuáles de estos números son primos?

a) 65 b) 137 c) 133 d) 269

Comprueba si son primos:

a) El número de alumnos y alumnas de tu clase.b) El número de alumnos. c) El número de alumnas.

8

7

6

5

Con la criba de Eratóstenes se identifican los números primos menores que 100.�

El número 23 es un número primo porque todas las divisiones son enteras.

59

Identificación de los números primos

Observa cómo comprobamos que 23 es un número primo.

Para averiguar si un número es primo, se divide entre los primeros números primos hasta que el cociente seaigual o menor que el divisor. Si todas las divisiones son enteras, es un número primo.

�

Criba de Eratóstenes

Eratóstenes, sabio del siglo III a. C., construyó la tabla de números primos menores que 100.

Observa cómo lo hizo:

1. Tachó el número 1.

2. Tachó los múltiplos de 2, excepto el 2.




Y así sucesivamente.

2 3 20 3 1 1

1

2 3 32 7

2 3 53 4

Los números restantes son los números primos menores que 100:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


Descomposición de un número en factores primos

60

Activ

idad

es Descompón estos números en producto de factores primos.

a) 24 b) 36 c) 40 d) 90

Averigua a qué números corresponden las siguientes descomposiciones.

a) 22 � 5 b) 22 � 3 � 5 c) 2 � 3 � 7 d) 2 � 32 � 5

Completa las igualdades con el número primo que falta.

a) 24 � 23 � . . . . . . . . . b) 40 � . . . . . . . . . � 5 c) 44 � . . . . . . . . . � 11

Un investigador encuentra en esta nota la combinación secreta para abrir una caja fuerte. Descifra el nú-mero secreto.

Unidades: es divisor de todos los números.Decenas: es el cuarto número primo.Centenas: es el factor par de la descomposición en factores primos de 10.Unidades de millar: es el primer número compuesto de la criba de Eratóstenes.

12

11

10

9

Para saberlo, hallamos todos los productos que den como resultado 18.

18 � 2 � 9 18 � 3 � 6 18 � 1 � 1818 � 9 � 2 18 � 6 � 3 18 � 18 � 1

Pueden colocar:

2 grupos de 9 camisetas, 3 grupos de 6 camisetas, 1 grupo de 18 camisetas, 9 grupos de 2 camisetas...

— Fíjate en lo que ocurre al descomponer cada factor de algunos de los productos anteriores hasta obtenernúmeros primos:

Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de números primos.�

En una tienda de ropa quieren colocar 18 camisetas formando grupos iguales.¿De cuántas formas pueden hacerlo?

18 � 2 � 9

3 � 3

18 � 3 � 6

2 � 3

18 � 1 � 18

2 � 9

3 � 3

18 � 2 � 3 � 3 18 � 3 � 2 � 3 18 � 1 � 2 � 3 � 3

18 � 2 � 32


61

Activ

idad

es Relaciona cada número con su descomposición en factores primos.

Expresa estos números como producto de factores primos.

a) 48 b) 69 c) 120 d) 240 e) 330

¿Cuál es el número cuya descomposición en factores primos es 23 � 32 � 7? ¿Cuál sería la descom-posición del doble de ese número?

Halla cuál es la descomposición en factores primos del producto de cuarenta y dos por dieciséis.16

15

14

13

5

Para descomponer un número en factores primos, se divide el número entre el menor de sus divisoresprimos, el cociente resultante se divide también por el menor de sus divisores primos, y así sucesivamentehasta llegar a un cociente igual a 1.El 1 es divisor de todos los números.

�

Regla práctica para descomponer números

Observa cómo se descompone el número 36 en producto de factores primos mediante divisiones sucesivasentre los primeros números primos.

Podemos expresar las divisiones anteriores de forma más sencilla.

23 � 32 � 5 � 11 1.750

2 � 53 � 7 720

34 � 5 � 7 3.960

24 � 32 � 5 2.835

3 6 21 6 1 8

0

1 8 20 9

9 30 3

3 30 1

36 � 2 � 2 � 3 � 3 � 22 � 32

36 2

18 2

9 3

3 3

1

36 � 2 � 2 � 3 � 3 � 22 � 32


Cálculo del máximo común divisor (M.C.D.)

62

Activ

idad

es Calcula el M.C.D. de estas parejas de números.

a) 36 y 90 b) 81 y 54 c) 48 y 84 d) 110 y 50 e) 144 y 92

Calcula el M.C.D. de cada una de estas parejas de números.

Calcula el M.C.D. en cada caso.

a) 18, 24 y 42 c) 28, 36 y 44 e) 35, 45 y 60b) 20, 30 y 40 d) 45, 27 y 81 f) 28, 64 y 80

19

18

17

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores que tienen en común di-chos números.

Regla práctica para calcular el M.C.D.

Aprende cómo se calcula el máximo común divisor de dos números.

M.C.D. de 120 y 70

1. Descomponemos los números en producto de factores primos.

120 � 23 � 3 � 5 70 � 2 � 5 � 7

2. Seleccionamos los factores primos comunes elevados al menor exponente.

120 � 23 � 3 � 5 70 � 2 � 5 � 7

3. Multiplicamos los factores seleccionados y el resultado es el M.C.D.

2 � 5 � 10 → M.C.D. (120, 70) � 10

70 235 57 71

120 260 230 215 35 51

A � 1 � 23 � 3 � 5 B � 1 � 22 � 32 � 7

C � 1 � 22 � 52 � 7 D � 1 � 2 � 3 � 5 � 11

E � 1 � 2 � 33 � 5 F � 1 � 22 � 3 � 52

Para hallar el M.C.D. de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes a estos númeroselevados a su menor exponente.

�


Activ

idad

es ¿Cuál de estas afirmaciones es cierta?

a) El M.C.D. de dos números primos entre sí es el menor de ellos.b) Los números primos entre sí no tienen divisores en común.c) El divisor común entre dos números primos entre sí es el 1.

¿Cuáles de los siguientes pares de números son primos entre sí?

a) 64 y 35 b) 58 y 77 c) 62 y 75 d) 100 y 162

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Los números 4 y 9 son primos entre sí.b) Los números 11 y 22 son primos entre sí.c) Los números 14 y 49 son primos entre sí.d) Los números 34 y 35 son primos entre sí.

Halla el M.C.D. de los números 35, 131 y 385. ¿Cuáles de ellos son primos entre sí?

Encuentra dos números primos entre sí en cada caso.

a) Entre el 20 y el 50.b) Mayores que 100.c) Dos números impares.

Manuel quiere colocar en las páginas de un álbum 80 monedas y 50 sellos antiguos. ¿Puede colocar el mismo número de monedas y de sellos en cada página sin mezclarlos? — ¿Y si tuviera 80 monedas y 63 sellos?

25

24

23

22

21

20

5

Números primos entre sí

Fíjate en qué ocurre con el M.C.D. de los números 54 y 175.

Los números 54 y 175 son primos entre sí porque sólo tienen el 1 como divisor en común.

Dos números son primos entre sí cuando su M.C.D. es 1.�

63

54 227 39 33 31

175 535 57 71

54 � 2 � 33 175 � 52 � 7

54 � 2 � 33 175 � 52 � 7

M.C.D. (54 y 175) � 1

El único divisor que tienen en común es el1 porque es divisor de todos los números.


Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.) El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos que tienen en común di-chos números.

Regla práctica para calcular el m.c.m.

Observa cómo se calcula el mínimo común múltiplo de dos números.

m.c.m. de 12 y 30

1. Descomponemos los dos números en producto de factores primos.

12 � 22 � 3 30 � 2 � 3 � 5

2. Seleccionamos los factores primos comunes elevados al mayor exponente y los no comunes.

12 � 22 � 3 30 � 2 � 3 � 5

3. Multiplicamos los factores seleccionados y el resultado es el m.c.m.

22 � 3 � 5 � 60 → m.c.m. (12, 30) � 60

30 215 35 51

12 26 23 31

Activ

idad

es Relaciona cada pareja de números con su m.c.m.

Halla el m.c.m. de los siguientes pares de números.

a) 80 y 90 b) 120 y 40 c) 75 y 150 d) 96 y 130

Calcula:

Representa en una recta numérica los múltiplos de 2 y 6. Rodea el m.c.m.29

28

27

26

Para hallar el m.c.m. de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes y no comunes aestos números elevados a su mayor exponente.

�

a) A � 1 � 23 � 32 � 7B � 1 � 23 � 3 � 7m.c.m. (A, B) �

b) C � 1 � 2 � 32 � 5D � 1 � 22 � 3 � 11m.c.m. (C, D) �

c) E � 1 � 2 � 32 � 13F � 1 � 22 � 3 � 7m.c.m. (E, F) �

64

Números m.c.m.

35 y 40 252

28 y 36 836

38 y 44 280

12, 16 y 20 240


Problemas de M.C.D. y de m.c.m.

65

M.C.D.

Un terreno rectangular mide 90 m de ancho y 120 m de largo. Queremos hacer parcelas cuadradas igualesy del mayor tamaño posible para cultivar distintas clases de flores. ¿Cuántos metros tiene que medir el ladode cada parcela?

La medida de la parcela tiene que ser un divisor de 90 y 120. Como debe ser lo mayor posible, el divisor co-mún será el mayor de los divisores comunes. Para ello, hallamos el M.C.D. de 90 y 120.

El lado de cada parcela tiene que medir 30 m.

5

Descomponemos en producto de factores primos.

120 � 23 � 3 � 5 90 � 2 � 32 � 5

90 245 315 35 51

120 260 230 215 35 51

Multiplicamos los factores primos comunes con elmenor exponente.

M.C.D. (120, 90) � 2 � 3 � 5 � 30

m.c.m.

A una isla llegan provisiones en dos lanchas. Una llega cada 15 días y la otra, cada 20. Las dos coincidenhoy en la isla. ¿Cuántos días tardarán en volver a coincidir?

Para resolver este problema, buscamos los múltiplos de 15 y de 20, y observamos cuál es el primer múltiploque pertenece a los dos. Para ello, calculamos el m.c.m. de 15 y 20.

Volverán a coincidir después de 60 días.

Descomponemos en producto de factores primos.

15 � 3 � 5 20 � 22 � 5

20 210 25 51

15 35 51

Escogemos los factores primos comunes con elmayor exponente y los no comunes.

m.c.m. (15, 20 ) � 22 � 3 � 5 � 60

Activ

idad

es Resuelve estos problemas.

a) En una ciudad, hay 2 líneas de autobuses que tienen parada en la plaza Mayor. Si el autobús dela línea azul pasa cada 10 minutos y el de la línea verde pasa cada 14 minutos, ¿cuándo volverána coincidir si a las 9:00 han salido a la vez de la parada?

b) Una cartulina mide 95 cm de largo por 40 cm de ancho. Si queremos dibujar una cuadrícula en laque cada cuadrado tenga el mayor tamaño posible, ¿cuánto medirá el lado del cuadrado?

30


Para acabar

Escribe los números primos terminados en 2 yen 3, y que son menores que 100.

Clasifica estos números en primos y compues-tos.

49, 51, 61, 77, 83, 93, 111, 135, 141, 151,201

Escribe seis números compuestos que tengantres cifras impares.

Halla todos los divisores de estos números eindica cuáles son primos.

a) 12 c) 20 e) 48b) 47 d) 183 f) 32

5

4

3

2

Repasa la unidad indicando en cada caso si es verdadero o falso.1

Descompón estos números en producto defactores primos.

a) 63 d) 180b) 125 e) 350c) 242 f) 428

Escribe los números que corresponden a estasdescomposiciones en factores primos.

7

6

a) Los números primos son los que no tienen divisores.

b) Los números compuestos son los que tienen más de dos divisores.

c) Un número siempre es divisor de sí mismo.

d) El 1 es divisor de cualquier número.

e) Todos los números impares son primos.

f) Ningún número par es primo.

g) Un múltiplo de 6 siempre es múltiplo de 3.

h) Un divisor de 12 también lo es de 36.

i) Hay números que no se pueden descomponer en factores primos.

j) Los números 125 y 64 son primos entre sí.

k) Para hallar el M.C.D., se escogen los factores primos no comunes.

l) Los múltiplos comunes de dos números son infinitos.

m) Para hallar el m.c.m. de dos números, escogemos los factores primos comunes con el mayor

exponente y los factores primos no comunes.

66

a) 22 � 32 � 13

b) 24 � 7 � 13

c) 33 � 52 � 11


5

Calcula el M.C.D. de estas parejas de números.

a) 24 y 19 c) 48 y 52 e) 63 y 27b) 75 y 36 d) 45 y 144 f) 33 y 110

Completa los divisores de 24, 16 y 36, y calcu-la su M.C.D.

D(24) � {1, 2, . . . . ., 4, . . . . ., 8, . . . . ., . . . . .}D(16) � {1, 2, . . . . ., . . . . ., 16}D(36) � {1, 2, . . . . ., 4, . . . . ., . . . . ., . . . . ., . . . . ., 36}

Calcula:

a) m.c.m. (12, 24) c) m.c.m. (20, 30)b) m.c.m. (72, 84) d) m.c.m. (90, 120)

Comprueba que si multiplicamos el M.C.D.por el m.c.m. de 12 y 20, obtenemos el mismoresultado que si multiplicamos 12 y 20.

El M.C.D. (60, A) � 10 y el m.c.m. de (60, A) � � 420. ¿Cuál es el valor de A?

El M.C.D (45, 80) � 5. Calcula el m.c.m.

Calcula el M.C.D y el m.c.m. en cada caso.

a) 35, 60 y 70 c) 40, 90 y 120b) 25, 50 y 75 d) 24, 36 y 42

Escribe tres números compuestos que tenganel 1 como M.C.D.

Dos cometas pasan cerca del Sol, uno cada 30años y el otro cada 65 años. Si coincidieron enel año 2000 en su aproximación al Sol, ¿en quéaño volverán a coincidir?

Queremos cubrir el suelo de una habitaciónrectangular de 82 dm de largo por 44 dm deancho con baldosas cuadradas tan grandescomo sea posible. Calcula el lado de cada bal-dosa.

Tres aviones de línea regular salen del aero-puerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres avio-nes a la vez?

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8 Sustituye en este «cuadrado mágico» las letraspor los números adecuados para que todaslas filas y todas las columnas sumen lo mismo.

A � M.C.D. de dos números primos entre sí.B � m.c.m. de 4 y 6.C � M.C.D. de 24 y 40.D � Primer número primo de dos cifras.E � M.C.D. de 20 y 30.F � Tercer número primo.G � m.c.m. de 2 y 3.H � Primer número compuesto.

La clase de 6.º A tiene 24 alumnos y la de 6.º B, 30 alumnos. Queremos distribuir losalumnos en equipos del mismo número departicipantes de manera que no falte ni sobrenadie y no se mezclen los grupos. ¿Cuántosalumnos tendrá cada equipo como máximo?

Un coche necesita que le cambien el aceitecada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 kmy las ruedas cada 30.000 km. ¿A qué númeromínimo de kilómetros habrá que hacerle todoslos cambios a la vez?

21

20

19

A B 7 14

C 13 2 D

E 3 16 F

15 G 9 H

67


Coloca < o >:

a) 16.485.369 .. . . . . 16.485.371b) 285.432.501 .. . . . . 285.418.999c) 2.358.679.289 .. . . . . 2.358.669.689d) 14.678.699.978 .. . . . . 14.711.213.116

Aplica la propiedad distributiva y calcula:

a) 25 � (14 � 37)b) (85 � 39) � 67c) 54 � (16 � 22 � 20)

Coloca los paréntesis para que estas igualda-des sean correctas.

a) 22 � 5 � 13 � 7 � 52b) 30 : 7 � 2 � 28 : 7 � 3 � 5c) 22 � 4 � 2 � 14 � 5 � 3 � 25

Escribe en forma de producto, calcula las po-tencias y ordénalas de mayor a menor.

a) 54 c) 27 e) 32

b) 72 d) 45 f) 23

Halla, en cada caso, el número que cumple lascondiciones propuestas.

a) Es impar, múltiplo de 3 y de 5, y la suma desus dos cifras es igual a 12.

b) Es menor que 300, divisible por 9 y sus trescifras están formadas por tres números con-secutivos.

c) Es mayor que 500 y menor que 900; es divi-sible por 2, por 3 y por 5, y la cifra de las unidades es la diferencia entre la de las cen-tenas y la de las decenas.

Calcula y escribe todos los divisores de estosnúmeros.

a) D(22) d) D(67)

b) D(41) e) D(81)

c) D(48) f) D(55)

6

5

4

3

2

1

Calcula:a) 202 e) 7002

b) 602 f) 2.0002

c) 3002 g) 5.0002

d) 4002 h) 9.0002

Silvia se ha propuesto leer en abril 30 pági-nas diarias de un libro. ¿Cuántas páginasleerá?

¿Cuántos segundos hay en una hora?

La distancia entre Barcelona y Zaragoza esde 300 km. ¿Cuántos kilómetros recorre eltren AVE en 300 viajes?

La finca de Sofía es cuadrada y tiene 1.000 mde lado. ¿Cuál es su superficie?

15

14

13

12

11


cálculo mental

Clasifica los números del ejercicio anterior enprimos o compuestos.

Corrige los productos de factores primos cuyasexpresiones no sean correctas.

a) 22 � 3 � 4 � 48b) 3 � 5 � 6 � 90c) 2 � 32 � 18d) 22 � 32 � 7 � 252e) 2 � 3 � 52 � 150f) 32 � 5 � 7 � 315

Descompón en factores primos y calcula elM.C.D. de estos números.

a) 24 y 64 c) 48 y 60b) 45 y 63 d) 70, 20 y 60

Descompón en factores primos y calcula elm.c.m. de estos números.

a) 14 y 30 c) 40 y 90b) 50 y 75 d) 42, 56 y 96

10

9

8

7

68



69

5

¿Podemos comprar 48 huevos en un super-mercado? ¿Y 50? Justifica tu respuesta y, encaso afirmativo, indica cuántas hueveras llenasde media docena utilizaremos.

Puedo pagar el importe exacto de un libro conbilletes de 5 €, pero no con monedas de 2 €.He pagado con un billete de 20 € y me han de-vuelto cambio. ¿Cuánto cuesta el libro?

Se quiere envasar el agua de tres depósitos de180 l, 120 l y 375 l en garrafas iguales y del ma-yor tamaño posible, pero sin mezclar el aguade los depósitos. ¿Cuántas garrafas se necesi-tarán?

En una parada de autobuses, la línea azul pasacada cuarto de hora y la línea verde, cada 10minutos. ¿Cuántas veces coincidirán a lo largodel día si empiezan a circular a las 8.00 h y ter-minan a las 23.00 h?

¿De cuántas maneras pueden colocarse 16bombones de chocolate negro y 8 de chocola-te blanco en una caja rectangular?

¿De cuántas maneras podemos agrupar a los16 niños y las 12 niñas de una clase? ¿Y si noqueremos mezclarlos?

6

5

4

3

2

1 En una escuela de danza hay menos de 1.000alumnos y más de de 500. Si se pueden formargrupos de 16, 20 y 25 sin que sobre ni falte nin-guno, ¿cuántos alumnos hay?

Se quieren repartir 420 kg de patatas y 924 kgde cebollas en sacos iguales y del mayor tama-ño posible. ¿Cuántos kilos cabrán en cadasaco? ¿Cuántos sacos se necesitarán?

Un equipo de baloncesto juega en un pabellóncada quincena; otro, cada mes, y un tercero,cada mes y medio. ¿Coincidirán algún día du-rante un trimestre?

La sala rectangular de un gimnasio mide 45 mde largo y 25 m de ancho. Si se quiere pavi-mentar con baldosas cuadradas, ¿cuál es lamáxima longitud que podrá tener el lado decada baldosa?

Cuando Ignacio reparte sus cromos en gruposde 4, de 7 y de 10, siempre le sobran 2. ¿Cuán-tos cromos tiene?

Marta quiere repartir sus caramelos entre 6amigos y les dice: «Hay más de 2 docenas ymenos de 4. Se pueden repartir en grupos demedia docena y, si los repartimos entre todos,sobrará uno». ¿Cuántos caramelos tiene Mar-ta?

En una mercería tienen menos de 100 botones.Si hubiera 3 botones menos, se podrían colo-car en cajas de 12 y de 7 botones. ¿Cuántosbotones tienen?

13

12

11

10

9

8

7


Soy capaz

70

Escribe con cifras y ordena de mayor a menor:

a) dieciocho mil millones trescientos mil cuatrocientos doceb) trescientos cuatro mil seiscientos nuevec) doscientos doce mil millones dieciséisd) nueve millones cincuenta y nueve mil trece

Descompón los siguientes números como en el ejemplo.

a) 34.218 b) 21.300.615 c) 5.032.400 d) 212.014.006.340

Aproxima estos números a la unidad indicada.

a) 16.213.452 (unidad de millón) c) 858.324 (centena de millar)b) 34.556.589 (decena de millar) d) 32.620.512.000 (decena de millar de millón)

Completa las igualdades e indica de qué propiedad se trata.

a) 7 � (. . . . � 4) � 7 � 9 � . . . . � . . . . c) 22 � . . . . � 22b) 23 � . . . . � 14 � . . . . d) 7 � (5 � . . . . ) � (. . . . � . . . . ) � 4

Calcula el resultado aproximado y el resultado exacto de estas operaciones y compáralos.

a) 632.855 � 128.742 � 425.179 (aprox. a las centenas de millar)b) 12.678.212 � 8.934.652 (aprox. a las decenas de millar)c) 54.876 � 28.090 (aprox. a las unidades de millar)

Resuelve la división y calcula el resultado en cada caso sin volver a dividir.

a) Multiplica el dividendo y el divisor por 5. c) Ahora, multiplícalos por 4.b) Divide el dividendo y el divisor entre 3. d) Divídelos entre 2.— ¿Qué observas? ¿Por qué?

Un comerciante compró 13 cajas de 25 botellas de aceite de oliva virgen de 1 l cada una a 5 € el litroy 18 cajas de aceite refinado de 12 l cada una. ¿Cuánto valía un litro de aceite refinado si tuvo que pa-gar 2.273 € en total?

Resuelve estas operaciones combinadas.

a) 41 � 3 � 4 � 2 � (5 � 7 � 4) c) (5 � 4 � 18) � 3 � (27 � 15) : 2b) (24 � 30) : 3 � 10 � 4 � 7 d) 36 : 4 � 15 : (28 : 2 � 9)

Resuelve este problema con una operación combinada y calcula el resultado aproximado.Un club ha dado 300 € al entrenador de fútbol para que compre una camiseta que cuesta 19 € a cadauno de sus 11 jugadores. ¿Tendrá suficiente dinero si quiere completar el conjunto con los pantalonessi cada uno vale 18 €?

9

8

7

17.712 : 246

6

5

4

3

6.012 � 6 um � 1 d � 2 u � 6.000 � 10 � 2

2

1


71

Expresa en forma de producto y calcula:

a) 64 b) 132 c) 73 d) 55

— Comprueba los resultados con la calculadora.

Corrige las igualdades que no se cumplen.

a) 65 � 5 � 5 � 5 � 5 � 5 � 5 d) 65 � 6 � 6 � 6 � 6 � 6b) 65 � 6 � 5 e) 65 � 62 � 63

c) 65 � 63 � 6 � 6 f) 65 � 6 � 6 � 6 � 6 � 6

Completa:

a) 8 � ��. . . . . c) 22 � ��. . . . .b) ��400 � . . . . . . . d) ��. . . . . < ��72 < ��. . . . .

Expresa, utilizando potencias de base 10, las distancias de estos planetas al Sol.

Descompón estos números en potencias de base 10.

a) 234.008 b) 4.562.218 c) 6.720 d) 512.003.956

¿Cuántas baldosas de cada color se necesitarán en total para pavimentar estos suelos?

a) b)

Señala los números que corresponden a cada apartado.

a) Divisibles por 2. b) Divisibles por 3. c) Divisibles por 5. d) Divisibles por 9. e) Divisibles por 10.— Agrupa los números que tengan divisores comunes.

Clasifica estos números en primos o compuestos.

Descompón en productos de factores primos y calcula el M.C.D. de estos grupos de números.

a) 24 y 64 b) 84 y 120 c) 105, 210 y 280

Descompón en productos de factores primos y calcula el m.c.m. de estos grupos de números.

a) 44 y 154 b) 60 y 225 c) 42, 72 y 88

19

18

60 - 23 - 31 - 39 - 43 - 45

17

640 - 402 - 7.560 - 585

16

15

14

a) Júpiter → 777.700.000 km c) Neptuno → 4.500.000.000 kmb) Marte → 228 millones de km d) Saturno → 1.428 millones de km

13

12

11

10


Rincón del ingenio

72

a) Claudia ha nadado 4/5 de la longitud de la pis-cina e Iván 6/5. ¿Quién crees que ha nadadomás? ¿Por qué?

b) Si la piscina mide 50 metros, ¿cuántos metrosha nadado cada uno?

Para empezar

Números fraccionarios (I)6

En una fila hay 6 vasos, los tres primeros estánllenos de leche y los tres siguientes, vacíos.

Moviendo un solo vaso, ¿puedes conseguir quequeden alternados los vasos vacíos y los llenos?


En esta unidad

Conceptos clave

Fracción equivalente, número mixto, m.c.m.

Aprende cómo se multiplica un número por otroterminado en 9.


a) 9 � 49 h) 7 � 99b) 2 � 39 i) 6 � 69c) 5 � 29 j) 8 � 19d) 8 � 89 k) 9 � 79e) 7 � 59 l) 5 � 49f) 3 � 79 m) 6 � 79g) 4 � 19 n) 3 � 69


a) Después del entrenamiento, los 29 compo-nentes de un equipo de fútbol tienen sed.¿Cuántos botellines de agua necesitarán sicada uno toma 2?

b) En la cafetería del polideportivo se reúnen 19chicos del equipo de fútbol y los 10 jugado-res del de baloncesto. Si cada uno pide 8galletas de chocolate, ¿cuántas galletas con-sumirán entre todos?

c) Para renovar las camisetas de los equiposdeportivos de la escuela se compran 8 cajasde camisetas. Si en cada caja hay 49 cami-setas, ¿cuántas camisetas habrán compra-do?

21

Cálculo mental

NÚMEROS FRACCIONARIOS

Fracciones

Términos, lectura y representación gráficaFracción como cociente

Comparación de fracciones con la unidad

Número mixto

Fracciones equivalentes

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentesObtención de fracciones equivalentesFracción irreducible

Comparación de fracciones

Fracciones con igual numeradorFracciones con igual denominadorFracciones con el numerador y el denominador distintos: método del m.c.m.

5 � 39 � 5 � (40 � 1)

5 � 40 � 5 � 1 � 200 � 5 � 195

8 � 89 � 8 � (90 � 1)

8 � 90 � 8 � 1 � 720 � 8 � 712

73


FraccionesAc

tivid

ades

Una fracción es igual al cociente que resulta de dividir su numerador entre su denominador.�

Señala los términos de estas fracciones, escribe cómo se leen y represéntalas gráficamente.

a) 4/7 b) 6/8 c) 11/20 d) 12/16 e) 9/18

Expresa las fracciones como cociente y calcula el resultado.

a) 45/15 b) 24/8 c) 60/12 d) 36/9 e) 24/12

Escribe estas divisiones en forma de fracción y anota cómo se leen.

a) 17 : 5 b) 1 : 8 c) 6 : 2 d) 5 : 10 e) 60 : 100

5

4

3

Términos y lectura

Un grupo de 35 niños y niñas está pasando una revisión médica y 18 deellos ya se han pesado.

Recuerda cómo se expresa esta relación:

Se han pesado o 18/35 del total de niños y niñas.

18/35 es una fracción en la que 18 es el numerador y 35, el denomi-nador.

Se lee: dieciocho treinta y cincoavos.

1835

74

Representación gráfica

Observa dos formas posibles de representar 18/35 gráficamente.

En una cuadrícula En un segmento

Una fracción es la expresión de una o varias partes de un total dividido en partes iguales. Sus términos son elnumerador y el denominador.Para leer una fracción, se lee el numerador y después el denominador seguido de la terminación avo si éstees mayor que 10. Si el denominador es 2 ó 3, se lee medio y tercio, respectivamente. Si el denominador esun número del 4 al 10, se nombra el ordinal (cuarto, quinto…).

�

Fracción como cociente

Una fracción puede interpretarse como la expresión de una división. El numerador es el dividendo y el de-nominador, el divisor.

� 12 : 4 � 8 : 9 � 15 : 301530

89

124


Activ

idad

es Clasifica estas fracciones en propias e impropias. Señala las que son iguales a la unidad.

Escribe tres fracciones propias y tres fracciones impropias.

Escribe dos fracciones iguales a la unidad. Indica cómo se leen.

Transforma estas fracciones impropias en números mixtos.

a) 15/8 b) 23/15 c) 7/3 d) 12/5 e) 12/7 f) 13/6 g) 25/16

9

8

7

5/67/128/511/156/64/97/3

6

6

Un número mixto está formado por un número natural y una fracción.�

Cuando una fracción impropia tiene igual el numerador y el denominador, es igual a la unidad.

Ejemplo: 2/2 � 3/3 � 4/4 � 11/11 � 1

75

Podemos clasificar las fracciones en propias e impropias. Observa:

Fracción propia es la fracción cuyo numerador es menor que su denominador. Fracción impropia es la que tiene el numerador igual o mayor que el denominador.

�

Número mixto

Las fracciones mayores que la unidad pueden expresarse en forma de número mixto, compuesto por unnúmero natural y una fracción.

Fíjate en cómo se expresa la fracción 7/2 en forma de número mixto.

Y cómo se expresa el número mixto en forma de fracción:

3 � � 72

3 � 2 � 12

12

Comparación de fracciones con la unidad

Fracciones propias Fracciones impropias

7 21 3

� 3 o bien � 3 � 12

72

12

72

34

25

Son menores que la unidad. Son iguales que la unidad. Son mayores que la unidad.

3 < 4 2 < 5

44

66

4 � 4 6 � 6

32

53

3 > 2 5 > 3


Fracciones equivalentes

76

Activ

idad

es Relaciona las fracciones equivalentes.

a) 2/3 b) 4/5 c) 7/4 d) 5/8 1) 12/18 2) 14/8 3) 16/20 4) 25/40

Escribe las fracciones representadas en cada caso y señala las que son equivalentes.

a) b) c) d)

Comprueba en qué casos las fracciones son equivalentes.

a) 7/9 y 10/12 b) 8/3 y 24/9 c) 7/4 y 28/16 d) 12/11 y 14/13 e) 6/7 y 18/21

Inventa y escribe tres fracciones equivalentes.13

12

11

10

Observa la representación de estas fracciones.

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes si al multiplicar elnumerador de la primera fracción por el denominador de la segunda da el mismo resultado que al multiplicarel denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

�

Cada fracción representa la misma porción sombreada. Estas fracciones son equivalentes.

1/2 � 2/4 � 3/6 � 6/12

Fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma parte de la unidad.�

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes

Fíjate en cómo comprobamos si las fracciones 3/6 y 6/12 son equivalentes.

36

612

Multiplicamos en cruzsus términos.

6 � 6 � 36

3 � 12 � 36

El resultado es el mismo.

3/6 y 6/12 son equivalentes.

1/2 2/4 3/6 6/12


77

Activ

idad

es Calcula, en cada caso, tres fracciones equivalentes por amplificación.

a) 2/3 b) 2/5 c) 3/4

Escribe dos fracciones simplificadas equivalentes a las siguientes.

a) 24/8 b) 36/18 c) 12/20

Relaciona cada fracción con su irreducible.

a) 24/40 b) 18/63 c) 8/32A) 1/4 B) 3/5 C) 2/7

Simplifica estas fracciones hasta llegar a la fracción irreducible.

a) 45/60 b) 50/75 c) 32/64 d) 48/36

Escribe, en cada caso, una fracción cuya fracción irreducible sea:

a) 1/7 b) 4/9 c) 5/11

18

17

16

15

14

6

Obtención de fracciones equivalentes

Podemos utilizar dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una dada: la simplificación y la am-plificación.

Para obtener una fracción equivalente a , podemos hacerlo de estas dos maneras:68

Las fracciones equivalentes a otra dada pueden obtenerse de dos formas: mediante la simplificación(dividir numerador y denominador por el mismo número) o la amplificación (multiplicar el numerador y eldenominador por el mismo número).

�

Fracción irreducible

Observa la fracción que se obtiene al simplificar sucesivamente 36/60.

� � � 3/5 es una fracción irreducible porque 3 y 5 son primosentre sí y ya no se puede simplificar más.

35

610

1830

3660

Simplificación

Dividiendo el numerador y el denominadorpor el mismo número.

� 34

68

: 2

: 2

Amplificación

Multiplicando el numerador y el denominadorpor el mismo número.

� 1824

68

� 3

� 3

Una fracción irreducible es aquélla cuyos términos son dos números primos entre sí.Las fracciones irreducibles no se pueden simplificar.

�

: 2 : 3 : 2


Comparación de fraccionesAc

tivid

ades Escribe las fracciones representadas y ordénalas de mayor a menor.

a) b) c)

Ordena estas fracciones de menor a mayor. Represéntalas gráficamente.

a) 3/8 b) 3/2 c) 3/5

Ordena estas fracciones de mayor a menor.

Elige la opción correcta en cada caso.22

2/7 - 4/7 - 11/7 - 6/7 - 1/7 - 7/7 - 5/7

21

20

19

Fracciones con igual numerador

Fíjate en la representación gráfica de estas fracciones. Las dos tienen el mismo numerador.

2/5 es igual que… 4/6 4/10 1/5

3/7 es menor que… 7/7 1/7 2/7

3/8 es mayor que… 5/8 8/8 2/8

Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador.�

Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.�

Fracciones con igual denominador

Observa la representación gráfica de estas fracciones. Las dos tienen el mismo denominador.

La parte coloreada es mayor en la fracción de mayor numerador.

La parte coloreada es mayor en la fracción de menor denominador.

58

516

> 516

58

416

1216

< 1216

416

78


Activ

idad

es Relaciona cada fracción con su equivalente.

a) 20/15 b) 3/10 c) 5/6 A) 40 /30 B) 9/30 C) 25/30

Calcula las fracciones equivalentes y ordena de mayor a menor en cada caso.

a) 5/9, 2/3, 7/6 b) 3/12, 5/18, 5/9

Ordena estas fracciones de menor a mayor por el método del m.c.m.

76

12

54

89

1116

912

25

24

23

6

2. Dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y multiplicamos el resultado por el numeradory el denominador.

Podemos ordenar fracciones de distinto denominador reduciéndolas a común denominador.�

79

4 22 21

15 35 51

12 26 23 31

4 � 22

12 � 22 � 315 � 3 � 5

m.c.m. (4, 12 y 15) � 22 � 3 � 5 � 60

Fracciones con el numerador y el denominador distintos: método del m.c.m.

Queremos ordenar de menor a mayor las fracciones 3/4, 1/12 y 2/15.Para ello, es necesario buscar las fracciones equivalentes a éstas que tengan el mismo denominador, es de-cir, reducirlas a común denominador. Observa:

1. Calculamos el m.c.m. de los denominadores.

Fracción 3/4

60 : 4 � 15

� 4560

34

Fracción 1/12

60 : 12 � 5

� 560

112

Fracción 2/15

60 : 15 � 4

� 860

215

Las fracciones equivalentes son: , y y ordenadas: < <

Ahora, ya podemos ordenar las fracciones de menor a mayor.

< < 34

215

112

4560

860

560

860

560

4560

� 15

� 15

� 5

� 5

� 4

� 4


Para acabarElige la opción correcta en cada caso.1

Escribe la fracción que expresa cada frase.

a) cinco días de la semanab) siete meses del añoc) dieciocho horas de un díad) treinta y cinco minutos de una horae) veintinueve segundos de un minuto

Simplifica cada una de estas fracciones hastallegar a la fracción irreducible.

a) 30/40 b) 24/8 c) 50/100 d) 54/42

Clasifica estas fracciones en propias e impro-pias.

a) 7/3 b) 4/9 c) 15/15 d) 9/7 e) 3/14

7

6

5

a) La expresión de una o varias partes de un todo dividido en partes iguales es:� un número natural � un número decimal � una fracción

b) La fracción que tiene el numerador igual o mayor que el denominador se llama:� propia � impropia � exacta

c) El número formado por un número natural y una fracción se llama:� número decimal � número propio � número mixto

d) Dos fracciones son equivalentes si:� tienen el mismo numerador � representan la misma parte de la unidad� tienen el mismo denominador

e) La fracción que no se puede simplificar más se llama:� reducible � exacta � irreducible

f) Entre dos fracciones de igual denominador es mayor la que tiene:� igual numerador � mayor numerador � menor numerador

g) Entre dos fracciones de igual numerador es menor la que tiene:� mayor denominador � menor denominador � igual denominador

80

Escribe cómo se leen estas fracciones.

a) 5/3 b) 7/2 c) 6/4 d) 9/17

Escribe las fracciones representadas.

a) b) c)

Expresa estas fracciones en forma de cocien-tes.

a) 12/6 b) 10/5 c) 9/9 d) 7/10

4

3

2


6

Transforma estas fracciones en números mix-tos.

a) b) c) d)

Escribe en forma de fracciones estos númerosmixtos.

a) 2 c) 1 �

b) 3 d) 2 �

Representa gráficamente estas fracciones. In-dica si son equivalentes.

a) y c) y

b) y d) y

Aplica la propiedad fundamental de las fraccio-nes equivalentes y señala las que lo sean.

a) y b) y c) y

Aplicando la propiedad fundamental, busca eltérmino que falta en estas fracciones equiva-lentes.

a) � b) �

Escribe en cada caso dos fracciones equiva-lentes, una por amplificación y otra por simplifi-cación.

a) b) c) d)

Ordena estas fracciones de menor a mayor.

a) , , ,

b) , , , 79

74

712

78

1515

815

1615

1215

14

1622

147

1510

69

13

. . . .

60615

12.. . .

45

12

35

1220

87

78

915

35

11

412

13

1416

78

69

1520

410

25

10

59

23

46

35

9

212

187

72

85

8 Calcula la fracción con denominador 9 que esequivalente a cada una de las siguientes.

a) 2/3 b) 5/3 c) 12/27 d) 64/36

Uno de estos casos no es correcto, averiguacuál es y corrígelo.

a) < b) >

Calcula el m.c.m. y reduce estas fracciones acomún denominador.

, , ,

— Ordena de mayor a menor las fraccionesanteriores.

Inventa tres fracciones de distintos numeradory denominador, calcula las equivalentes y or-dénalas de menor a mayor.

Marcos debe pintar 5/9 de la cubierta de unvelero. Al acabar el día ha pintado 21/36. ¿Haconseguido cumplir su objetivo? ¿Ha pintadomás? ¿Ha pintado menos?

En los dos últimos partidos de tenis, Rafael hatenido un índice de aciertos en sus saques de9/10 y 11/12. ¿En qué partido ha tenido másaciertos?

Sandra, María y Sergio están leyendo el mismolibro. Sergio ha leído 11/15; María, 7/10, ySandra, 2/3. ¿Quién ha leído más? ¿Quién haleído menos?

21

20

19

18

12

34

76

73

17

64

97

76

85

16

15

81


Escribe los números correspondientes y ordé-nalos de mayor a menor.

a) 2 cm 1 dm 5 um 6 c 3 db) 1 uM 3 cm 5 c 3 uc) 8 cm 9 ud) 7 dM 2 dm 15 d

Realiza estas aproximaciones y expresa el re-sultado con potencias de base 10.

a) 567.213.456.342 (aprox. uM)b) 328.579.234.198 (aprox. umM)c) 45.347.845 (aprox. um)

Completa con el término que falta.

9.328 � . . . . . . . . . . . . . . . �

45.013 � . . . . . . . . . . . . . . . �

22 � . . . . . . . . . . . . . . . �

316.800 : . . . . . . . . . . . . . . . �

Completa las series con tres números más.¿Qué observas?

a) 16 → 64 →

b) 36 → 216c) 9 → 27

Con la ayuda de la calculadora, calcula la raízcuadrada aproximada de cada uno de estosnúmeros.

a) ��148b) ��120c) ��240d) ��99

Completa con las cifras más pequeñas posi-bles estos números para que sean divisibles ala vez por 3 y por 5.

a) 6.. . .0 d) 3.. . .4. . . .

b) 75.. . . e) 12.. . .5. . . .

c) 2.4.. . .5 f) . . . .4. . . .4. . . .

6

5

4

3

2

1


Rosa lee cada día 9 páginas de un libro.¿Cuántas leyó en el mes de febrero del año2008?

¿Cuántos cuartos de litro hay en 29 bote-llas de un litro? ¿Y en 39?

12

11

10


cálculo mental

Halla el M.C.D. por descomposición en facto-res primos y explica lo que observas en todoslos casos.

a) 55 y 84b) 40 y 63c) 81, 121 y 224

Escribe la fracción que corresponde a cada co-lor y simplifícala.

— ¿Hay alguna fracción irreducible?

Ordena estas fracciones de mayor a menor.

a) , , , ,

b) , , , ,

c) , , , , 910

76

12

23

35

521

54

511

57

52

47

97

57

17

37

9

8

7

82

12.672



83

6

Resuelve gráficamente estos problemas expre-sándolos en fracciones. Recuerda que siemprehay que simplificar.

a) Juan trabaja 4 días a la semana y Luis, 12días de una quincena. ¿Cuál de los dos hatrabajado más?

b) En casa de Nicolás han comido chocolate

tres días. Un día comieron de tableta;

otro, , y el último, 1 . ¿Qué día comie-

ron más? c) Un médico trabaja 10 horas diarias en un

hospital. ¿Qué parte del día no trabaja?d) ¿Cuántos 1/2 l hay en una garrafa de 12 l?

¿Y cuántos 1/4 l?e) Eduardo ha completado 3/4 partes de su

trabajo; Elena, 9/12 del suyo, y Pepe, 24/32del suyo. ¿Cuál de los tres ha trabajadomás?

f) Un librero ha vendido 28 novelas del cente-nar de una colección. Expresa con fraccio-nes la parte que ha vendido y la que tiene ensu poder.

g) Un ciclista ha tardado 80 minutos en dar unavuelta a un circuito y otro, una hora y cuarto.¿Cuál de los dos ha tardado más?

h) Pablo ha cortado 24 partes iguales de dosmelones y se ha comido 16 partes. Expresacon un número mixto la parte que se ha co-mido.

46

43

96

1 Plantea estos problemas con operaciones com-binadas y resuélvelos.

a) Daniel tiene ahorrados 340 €, gasta la mitadpara comprarse ropa y zapatos, y cobra 50 €por cada uno de los cuatro trabajos que hahecho. ¿Cuánto dinero tiene Daniel?

b) María ha hecho 26 páginas de un trabajo de100 páginas y Rosa, el doble. ¿Cuántas ho-jas le quedan por hacer a cada una?

c) Se adorna con una cinta una pared rectan-gular de 17 m de largo por 12 m de anchocolocándola en la parte superior y en la infe-rior. ¿Cuánto costará la cinta si un metrovale 4 €?

d) En una fábrica, 210 empleados trabajan enel turno de día y 32, en el de noche. Si cadauno trabaja 8 horas diarias, ¿cuántos díashan tardado en finalizar una tarea que ha du-rado 29.040 horas?

Si agrupamos a los niños de un parque de 12en 12 o de 15 en 15, siempre sobra uno. Cal-cula el número de niños que hay en el parquesi sabemos que hay menos de 100.

Un editor ha publicado 10 lotes de 10 libros de10 capítulos de 10 páginas cada uno y 16 lo-tes de 16 cuadernos de 16 páginas cada uno.¿Cuántas páginas ha editado en total?

Tenemos que empaquetar los libros de tres li-brerías sin mezclarlos y con el mayor númerode libros posible en cada paquete. Si hay 90,108 y 252 libros, ¿cuántos libros habrá en cadapaquete? ¿Cuántos paquetes habrá?

5

4

3

2


Rincón del ingenio

84

a) ¿Qué fracción del trayecto corresponde a cadauno de los deportes del triatlón?

b) Si los participantes ya han completado las dosprimeras partes: natación y ciclismo, ¿qué frac-ción del trayecto han recorrido?

c) Si han terminado el triatlón el 90 % de los par-ticipantes, ¿cuántos participantes no lo han aca-bado?

Para empezar

Números fraccionarios (II)7

Averigua cuál es el valor de cada uno de los sím-bolos.

� � � � 24� � � �

� � � � 16� � � �

� � � � 14� � � �

17 13 14 10


En esta unidad

Conceptos clave

Suma y resta de fracciones, multiplicación defracciones, fracción inversa, división de fracciones,porcentaje.

Aprende cómo se multiplica un número por otroterminado en 1.


a) 2 � 11 h) 8 � 71b) 9 � 71 i) 6 � 81c) 6 � 61 j) 4 � 31d) 5 � 41 k) 7 � 21e) 7 � 31 l) 8 � 41f) 4 � 61 m) 3 � 81g) 5 � 91 n) 9 � 51


a) Félix ha repartido 31 canicas entre cada unode sus 5 amigos para jugar en el patio.¿Cuántas canicas tenía Félix?

b) Si cada día Félix y sus amigos están en el pa-tio 41 minutos, ¿cuántos minutos estarán enel patio durante una semana?

c) Para decorar el jardín del patio, el jardineroha comprado 3 cajas en cada una de lascuales hay 21 macetas con geranios. ¿Cuán-tas macetas ha comprado?

21

Cálculo mental

NÚMEROS FRACCIONARIOS

Suma y resta de fracciones

Fracciones de igual denominador

Fracciones de distinto denominador

Multiplicación de fracciones

Multiplicación de un número por una fracción

Fracción inversa

Fracción de un número

Fracción de una fracción

División de fracciones

División de un número por una fracción

Porcentajes

Cálculo numérico


7 � 31 � 7 � (30 � 1)

7 � 30 � 7 � 1 � 210 � 7 � 217

9 � 71 � 9 � (70 � 1)

9 � 70 � 9 � 1 � 630 � 9 � 639

85


Suma de fraccionesAc

tivid

ades

Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen a común denominador y se suman lasfracciones obtenidas. El resultado se simplifica.

�

¿Cuál es el resultado de sumar 8/3 � 1/4 � 5/6?

a) 12/4 b) 18/4 c) 15/4

Calcula los resultados de estas sumas. Simplifícalos si se puede.

a) 2/12 � 5/12 � 3/12 b) 3/5 � 1/4 � 7/10 c) 8/3 � 1/10 � 5/6

4

3


Para restaurar un cuadro, lo han dividido en partes. En enero han restaurado 5/24, en febrero 7/24 y enmarzo, 3/24. ¿Cuánto han restaurado en total?

Para resolver el problema, sumamos las fracciones y simplificamos el resultado.

� � � � �

En total, han restaurado 5/8 del cuadro.

58

1524

5 � 7 � 324

324

724

524

86

: 3

: 3

Para sumar fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.El resultado se simplifica.

�


Un atleta recorre 1/5 del circuito por la montaña. Después de un descanso, completa 2/6 del circuito.¿Cuánto ha recorrido?

Observa cómo se resuelve la suma 1/5 � 2/6.

1. Reducimos las dos fracciones a común denominador.m.c.m. (5 y 6) � 30

30 : 5 � 6 � 30 : 6 � 5 �

2. Sumamos las fracciones y simplificamos el resultado.

� � � � �

El atleta ha recorrido 8/15 del circuito.

815

1630

1030

630

26

15

1030

26

630

15

� 6

� 6

� 5

� 5

: 2

: 2


Activ

idad

es Indica el resultado correcto de cada resta.

7/5 � 1/4 8/3 � 2/5

a) 2/3 b) 3/2 c) 23/20 a) 15/34 b) 34/15 c) 7/8

Resuelve estas restas y simplifica los resultados si se puede.

a) 45/13 � 23/13 b) 13/5 � 5/6 c) 9/10 � 1/8 d) 14/9 � 4/15

6

5

7

87


De un año ya han pasado 4 meses. ¿Qué fracción del año queda?

Restamos 12/12 � 4/12 y simplificamos el resultado.

� � � �

Quedan 2/3 del año.

23

812

12 � 412

412

1212

Resta de fracciones

Para restar fracciones de igual denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.El resultado se simplifica, si se puede.

�

Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen a común denominador y se restan lasfracciones obtenidas. El resultado se simplifica.

�


A Patricia le faltaba por leer 3/5 de un libro y hoy ha leído 2/6. ¿Qué fracción del libro le queda por leer?

Fíjate en cómo se resuelve la resta 3/5 � 2/6.

1. Reducimos las dos fracciones a común denominador. m.c.m. (6 y 5) � 30

30 : 5 � 6 � 30 : 6 � 5 �

2. Restamos las fracciones y simplificamos el resultado.

� � � � �

A Patricia le quedan por leer 4/15 del libro.

415

830

1030

1830

26

35

1030

26

1830

35

: 4

: 4

� 6

� 6

� 5

� 5

: 2

: 2


Multiplicación de fracciones

88

Activ

idad


a) 7/6 b) 8/15 c) 7/3 d) 14/15

Resuelve estos productos y simplifica los resultados.

a) 7/8 � 4/5 b) 12/7 � 5/21 c) 4/5 � 7/10 d) 16 � 1/8 e) 14 � 5/7— Escribe la fracción inversa de cada resultado.

8

2/5 � 4/3 7/3 � 2/5 5/3 � 7/10 2/3 � 7/2

7

Fíjate en cómo se resuelve la multiplicación 5/8 � 4/15.

� � � �

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. El resultado se simplifica.

16

20120

5 � 48 � 15

415

58

Para multiplicar fracciones: • Se multiplican los numeradores, el resultado es el nuevo numerador.• Se multiplican los denominadores, el resultado es el nuevo denominador.• Se simplifica el resultado, si se puede.

�

Multiplicación de un número por una fracción

Cada uno de cinco amigos monta 1/10 de un puzle. ¿Qué fracción de puzle han formado entre todos?

Para resolverlo, multiplicamos 5 � 1/10.

5 � � � �

Entre todos han formado 1/2 del puzle.

12

510

5 � 110

110

Para multiplicar un número por una fracción, multiplicamos el número por el numerador, el resultado es elnuevo numerador, y se deja el mismo denominador. Si se puede, se simplifica el resultado.

�

Una fracción es inversa a otra cuando su producto es igual a la unidad.�

Fracción inversa

La fracción inversa de otra se obtiene cambiandoel orden de sus términos.

La fracción inversa de es .

Una fracción es inversa de otra si al multiplicarlasse obtiene la unidad.

� � � 12828

74

47

74

47

: 5

: 5

: 20

: 20


89

Activ

idad


a) 1/2 de 8 b) 1/3 de 150 c) 2/5 de 100 d) 2/3 de 30

40 50 4 20

Calcula:

a) 1/3 de 5/9 b) 2/5 de 7/10 c) 1/4 de 5/8 d) 2/3 de 9/12

Dibuja tres círculos y colorea:

a) 1/2 de 1/2 b) 1/2 de 3/4 c) 3/4 de 1/3

En un parque infantil, tres quintos son niños y de ellos, dos tercios juegan al fútbol. ¿Qué fracción deltotal de los niños juega al fútbol?

Hugo ha leído las tres cuartas partes de un libro que tiene 228 páginas. ¿Cuántas páginas ha leído?13

12

11

10

9

7


Un camión cisterna traslada 14.000 l de gasolina y en la primeragasolinera deja 2/5 de su carga. ¿Cuántos litros ha dejado?

Para resolverlo, multiplicamos la fracción por el número ycalculamos la división.

de 14.000 � � � 5.600

Ha dejado 5.600 litros de gasolina.

28.0005

2 � 14.0005

25

Fracción de una fracción

¿Cuántos minutos son 2/3 de 3/4 de hora?

Para resolver el problema, multiplicamos las dos fracciones.

de � � � � �

Es 1/2 hora � 30 minutos.

12

612

2 � 33 � 4

34

23

34

23

La fracción de un número puede expresarse como producto de la fracción por el número.�

La fracción de una fracción puede expresarse como producto de dos fracciones.�


8 : � 8 � � �323

8 � 43

43

34

División de fracciones

90

Activ

idad


Calcula y simplifica estas divisiones.

a) : b) : c) : d) :

Fíjate en el ejemplo y calcula las siguientes divisiones.

a) 1/5 : 2/3 : 5/9 c) 7/5 : 1/3 : 3/2b) 1/3 : 8/5 : 9/4 d) 6/7 : 1/2 : 3/4

16

34

58

65

215

715

49

56

38

15

14

Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.�

Gema reparte 5/3 l de helado en vasitos de 1/6 de litro cada uno. ¿Cuántos vasitos llenará?

Para resolverlo, dividimos 5/3 entre 1/6. Observa cómo se divide:

1. Calculamos la fracción inversa de 1/6.

La fracción inversa de es .

2. Multiplicamos 5/3 por 6/1 y simplificamos.

: � � � � � 10

Llenará 10 vasitos de helado.

303

5 � 63 � 1

61

53

16

53

61

16

: : � � � � �409

8018

52

43

43

25

34

43

7 : 4/5 27/2

12 : 8/9 8 � 3/4

9 : 3/10 20

15 : 3/4 30

Para dividir un número por una fracción, se multiplica el número por la inversa de la fracción.�

División de un número por una fracción

Observa cómo se divide 8 entre .

Hemos multiplicado el número por la inversa de la fracción.

34


Activ

idad

es Escribe estas fracciones en forma de porcentaje.

a) 16/100 b) 45/100 c) 60/100 d) 85/100 e) 90/100

Expresa en forma de fracción estos porcentajes.

a) 50 % b) 25 % c) 75 % d) 10 % e) 80 %

Copia en tu libreta y completa la tabla.19

18

17

7

91

Recuerda que una fracción decimal es una fracción en la que el denominador es 10, 100, 1.000…

Las fracciones decimales pueden expresarse en forma de tanto por ciento o porcentaje.

Para expresar el porcentaje, se utiliza el signo % (por ciento).

Fíjate en la fracción que representa la parte coloreada de esta cuadrícula y cómo se escribe y se lee en for-ma de porcentaje.

Porcentajes

Tanto por ciento Fracción Se lee

26/100

14 %

treinta y dos por ciento

Fracción Porcentaje Se lee

44/100 44 % cuarenta y cuatro por ciento

44/100

Una fracción decimal puede expresarse en forma de porcentaje. Se lee el numerador seguido de «porciento». Se escribe el numerador seguido de %.

�

— Fíjate en cómo se expresan en forma de porcentaje estas fracciones.

� � 30 % � � 16 %16100

425

425

30100

310

310

� 10

� 10

� 4

� 4

Para expresar en forma de porcentaje una fracción cuyo denominador es distinto de 100 calculamos lafracción equivalente con denominador 100 y escribimos el porcentaje.

�


Porcentajes

92

Cálculo numérico

Por el peaje de una autopista han circulado 1.200 vehículos. El 64 % eran coches, el 24 % motos y el 12 %camiones y autocares. ¿Cuántos vehículos de cada clase han circulado?

Observa cómo se calcula el porcentaje de un número.

• Coches: 64 % de 1.200 vehículos.

1.200 � � � � 768

• Motos: 24 % de 1.200 vehículos.

1.200 � � � � 288

• Camiones y autocares: 12 % de 1.200 vehículos.

1.200 � � � � 144

Por el peaje han circulado 768 coches, 288 motos y 144 camiones y autocares.

14.400100

1.200 � 12100

12100

28.800100

1.200 � 24100

24100

76.800100

1.200 � 64100

64100

Activ

idad

es Completa esta tabla.

Calcula:

a) 20 % de 250 b) 10 % de 3.480 c) 80 % de 500 d) 30 % de 6.000

El 45 % de los 1.800 trabajadores de una empresa acuden al trabajo en tren. ¿Cuántos trabajadores novan en tren?

22

21

20

Para calcular un porcentaje, se multiplica el número por el porcentaje y el resultado se divide entre 100.�

— Podemos utilizar el tanto por ciento de una cantidad para calcular el total. Fíjate en el ejemplo.

En un puerto deportivo hay 216 barcos amarrados. Si está ocupado el 72 % del total, ¿cuántos amarrestiene el puerto?

1. Se multiplica el número por 100.

216 � 100 � 21.600

2. El resultado se divide entre 72.

21.600 : 72 � 300

El puerto tiene 300 amarres en total.

Cantidad 100 200 300 400 500

15 % 15


93


Podemos calcular los porcentajes con la calculadora.

— Observa cómo se calcula el 16 % de 350.

16 % de 350

El 16 % de 350 es 56.

Activ

idad

es Calcula utilizando la calculadora.

a) 20 % de 2.300 b) 65 % de 5.000 c) 25 % de 3.200 d) 15 % de 6.500

Halla el tanto por ciento que se ha aplicado a cada cantidad.

a) de 300 � 45 c) de 320 � 64

b) de 375 � 45 d) de 700 � 28

Completa esta tabla.25

%%

%%

24

23

7

3 5 0 � 1 6 % 56

Para hallar el tanto por ciento de un número con la calculadora:1. Escribe el número. 2. Multiplica por el número que indica el porcentaje.3. Pulsa la tecla %.

�

— Fíjate ahora en cómo se calcula qué tanto por ciento de un total corresponde a un número dado.¿Qué tanto por ciento de 75 es igual a 15?

.. . . . % de 75 � 15

El 20 % de 75 es igual a 15.

1 5 : 7 5 % 20


% Resultado

25/100 de 160

8 % de 450

30/100 de 240

15 % de 260


Para acabarPara repasar, relaciona cada enunciado con su resultado.1

Calcula estas operaciones combinadas redu-ciendo a común denominador y simplifica el re-sultado.

a) 8/5 � 9/4 � 1/10b) 9/2 � 13/6 � 8/5c) 14/5 � 5/8 � 3/4d) 18/5 � 7/4 � 5/12

De los 12/5 de animales que hay en una gran-ja, 3/4 son gallinas y 1/2 cerdos. ¿Qué fracciónno corresponde a las gallinas y los cerdos?

4

3

a) El m.c.m. de los denominadores de 3/5, 1/2 y 5/4: 20

b) La suma de 3/7 más 1/5: 21/18

c) Si a 2/3 le restamos 3/7, nos da como resultado: 1/5

d) El producto 3 � 7/18: 22/35

e) 4/5 de 120 es igual a: 96

f) El resultado de calcular 1/3 de 3/5: 5/21

g) El resultado de dividir 4/7 entre 2/3: 75/100

h) La fracción que corresponde al 75 % es: 6/7

i) Si calculamos el 20 % de 1.300, obtenemos: 260

94

Calcula estas operaciones reduciendo a co-mún denominador y simplifica el resultado.

a) 4/5 � 3/4 � 1/10b) 8/5 � 1/3 � 4/15c) 3/15 � 1/4 � 6/5d) 6/7 � 5/12 � 8/9e) 14/3 � 1/8 � 5/6f) 16/4 � 5/3 � 7/6g) 8/3 � 5/21 � 1/7h) 11/6 � 2/5 � 3/10

2


7

Resuelve estas operaciones gráficamente y es-cribe las fracciones.

a)

b)

Completa este cuadrado mágico para que lasuma de las fracciones en vertical y en horizon-tal sea siempre igual a 4.

Multiplica las fracciones y simplifica los resulta-dos.

a) 4/7 � 9/5 � 2/3b) 6/5 � 11/4 � 2/7c) 8/5 � 4/9 � 7/3d) 5/7 � 9/4 � 12/5

Relaciona cada fracción con su fracción inver-sa.

Halla la fracción de la fracción y simplifica el re-sultado.

a) 3/5 de 4/3 c) 2/7 de 9/4b) 1/3 de 3/5 d) 2/9 de 3/8

Calcula y simplifica el resultado.

a) 12/5 : 3/4b) 3/5 : 7/4 : 3/2c) 5/12 : 6/7 : 1/2d) 8/5 : 1/4 : 2/3

10

9

6/5 3/8 9/10 1/3 9/4

8/3 4/9 5/6 10/9 3

8

7

6

5 Relaciona:

Escribe en forma de porcentaje estas fraccio-nes.

a) 23/100 d) 16/100b) 11/50 e) 7/25c) 7/10 f) 1/2

Calcula estos porcentajes.

a) 50 % de 146b) 10 % de 110c) 15 % de 600d) 75 % de 292

En una tienda ofrecen el 10 % de descuentoen todas las prendas. ¿Cuáles son los nuevosprecios?

Busca el porcentaje que se ha aplicado a cadauno de estos números. Usa la calculadora.

a) 96 es el . . . . . % de 480.b) 51 es el . . . . . % de 340.c) 36 es el . . . . . % de 450.d) 105 es el . . . . . % de 500.

15

14

13

12

11

95

�

�

3/3 3/9

14/6 8/24

Producto Precio

ChaquetaPantalónCamisetaTrajeFaldaCamisa

120 €

130 €

20 €

240 €

140 €

100 €

2/3 de 45 36

2/5 de 90 240

4/7 de 420 30

2/9 de 720 1.800

1/3 de 5.400 1.500

5/6 de 1.800 160


Indica el valor posicional del número 5 en cadacaso.

a) 34.005.346.986b) 5.234.678.211.678c) 12.345.320.346.761d) 346.653.230.001

Resuelve de dos maneras.

a) 24.450 � 709 � 2.654b) 23 � (234 � 58)c) 34 � 29 � 75d) (86 � 35 � 79) � 94

Completa la tabla.

Escribe las operaciones combinadas y resuél-velas.

a) Restar al triple de 35 la suma de 25 y 13. b) Añadir 4 decenas y 3 unidades a la mitad de

8 centenas y 5 decenas.c) Hallar la diferencia entre el producto de 75

por 18 y el cociente de 442 entre 17.d) Hallar el producto de la diferencia entre 8 mi-

llares y 29 centenas por el tercio de 42 cen-tenas.

Escribe el número que corresponde en cadacaso.

a) 5 � 103 � 3 � 102 � 3b) 2 � 105 � 3 � 103 � 5 � 10c) 4 � 106 � 3 � 105 � 4 � 104 � 2d) 105 � 8 � 104 � 2 � 102 � 5 � 10

5

4

3

2

1

Calcula:a) 12 � 21 d) 15 � 31 g) 25 � 41b) 45 � 41 e) 18 � 21 h) 31 � 52c) 41 � 31 f) 21 � 31 i) 41 � 21

¿Cuántas horas hay en tres semanas?

El autobús de la línea 41 circula 11 horasdiarias. ¿Cuántas horas ha circulado du-rante el mes de enero?

Un equipo de gimnasia escolar vale 41 €.¿Cuánto costará equipar a una clase de 24alumnos?

14

13

12

11


cálculo mental

Escribe los múltiplos comunes a 2, 3 y 5 infe-riores a 200.

¿Cuáles de estas descomposiciones en pro-ducto de factores primos no es correcta?

Sitúa estas fracciones en segmentos de 12 cmcada uno y agrupa las que sean equivalentes.

, , , , , ,

Ordena de mayor a menor estas fracciones.

, , , ,

Calcula:

a) de 45 c) de 84

b) de 126 d) de 43258

56

37

1215

10

236

3012

197

92

3724

9

68

612

13

34

12

824

56

8

a) 23 � 3 � 7 � 168b) 2 � 33 � 5 � 6 � 1.620c) 2 � 32 � 11 � 198d) 22 � 3 � 7 � 420

7

6

96


135 68 34

16.229 69

45.304 56 0

1.605.898 195 73



97

7

Resuelve estos problemas, pero antes indicalos datos innecesarios.

a) Un vendedor de lotería tiene 15 talonarios denúmeros. Hoy ha vendido del número 15 al29, del 50 al 75 y del 82 al 93. ¿Cuántos nú-meros ha vendido?

b) Un grupo de 32 personas, de las cuales 17son chicas, ha ido al teatro. ¿Cuánto ha te-nido que pagar cada asistente si la entradavale 16 € y han invitado a 4 acompañantes?

c) Un coleccionista tenía 48 minerales y hacambiado 3 muy valiosos por 27 € y 11 mi-nerales más. Si los quiere colocar en cajasde 8 minerales, ¿cuántas cajas necesitará?

d) Un comerciante ha cobrado tres facturas: elimporte de la primera es de 216 €, el de lasegunda es el doble de la primera y la canti-dad de la tercera es el tercio de la segunda;además, tiene en la caja 560 €. ¿Cuánto di-nero ha cobrado?

¿De cuántas maneras pueden colocarse 24minerales en una caja rectangular?

¿Cómo podemos agrupar una colección de120 minerales y otra de 168 sin mezclarlos ysabiendo que queremos utilizar el menor nú-mero de cajas posible y con la misma cantidaden cada una?

¿Cuántos minerales tiene un coleccionista silos tiene guardados en 8 cajas cuadradas dis-tribuidos en filas de 8?

4

3

2

1 ¿Cuántos minerales posee Sonia si tiene másde 50 y menos de 100 y los puede agruparde 5 en 5 y de 2 en 2, pero no de 3 en 3 nide 7 en 7?

En una clase de 24 alumnos, 1/3 son castaños,1/6 son rubios y el resto, morenos.

a) ¿Qué parte de la clase tiene el pelo moreno?

b) ¿Qué fracción de la clase no tiene el pelo ru-bio?

c) ¿Cuántos niños hay que no son rubios?

Resuelve con representación gráfica:

a) En una pizzería, unos clientes han consumi-do 4 pizzas y 3/4. ¿Cuántos clientes había sicada uno se ha comido 1/4 de pizza?

b) Un pastelero ha comprado 15 paquetes de1/4 de kilo de harina. ¿Cuántos kilos hacomprado?

c) Un excursionista ha completado la mitad desu trayecto en un día y los 3/8 en otro. ¿Haterminado el trayecto?

d) Samuel come cada semana 14 yogures y suhermana, 16. ¿Cuántos lotes consumen sicada uno contiene 4 yogures?

7

6

5


Números decimales. Suma, resta y multiplicación8

Rincón del ingenioSabiendo que las caras opuestas de un dado,siempre suman 7, completa los desarrollos deestos dados.

98

a) Si el libro de Javier cuesta 12,75 euros y elcuento de Cristina 9,05 euros. ¿Cuánto paga-rán en total?

b) Si pagan con un billete de 50 euros, ¿qué cam-bio les devolverán?

Para empezar

... . . .. .. ... ... . .

. ...


NÚMEROS DECIMALES

Partes, lectura y escritura de un número decimal

Representación y ordenación sobre la recta

SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN

Suma de números decimales

Resta de números decimales

Multiplicación de números decimales

Multiplicar un decimal por decenas y centenas exactas

Aproximación de números decimales


Aprende a calcular mentalmente el 50 % de unnúmero.


a) 50 % de 34 i) 50 % de 620b) 50 % de 66 j) 50 % de 842c) 50 % de 74 k) 50 % de 416d) 50 % de 88 l) 50 % de 944e) 50 % de 12 m) 50 % de 528f) 50 % de 46 n) 50 % de 706g) 50 % de 52 ñ) 50 % de 102h) 50 % de 24 o) 50 % de 348


a) Una tienda de artículos de deporte ofrece un50 % de descuento en el precio de los si-guientes productos: mochilas de 14 €; su-daderas de 20 € y zapatillas de 18 €. ¿Quéprecio final tendrá cada artículo?

b) Las bicicletas tienen un precio de 624 € y lastiendas de campaña de 344 €. Si se les apli-ca el descuento del 50 %, ¿cuánto valdrácada artículo?

c) Si compramos un chándal que costaba 46euros, aplicando el descuento, ¿tendremossuficiente dinero con un billete de 20 euros?

21

99

En esta unidad

Cálculo mental

50 % de 48 � 48 : 2 � 24

50 % de 322 � 322 : 2 � 161

Conceptos clave

Número decimal, fracción decimal, parte entera.


Números…

100

Activ

idad

es

Partes, lectura y escritura de un número decimal

Observa los números que representan los récords de atletismo.

Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal.Para leer un número decimal, nombramos las unidades enteras y, después, el número que va detrás de lacoma dándole el nombre de la última cifra decimal.

�


Escribe cómo se leen estos números decimales.

a) 12,03 b) 37,005 c) 8,1 d) 0,27 e) 134,078

Escribe con cifras estos números decimales.

a) once unidades y cincuenta y nueve milésimas c) quince milésimasb) cuarenta unidades y siete centésimas d) seis unidades y ocho centésimas

¿Cuántas centésimas son?

a) 250 milésimas b) 12 décimas c) 60 milésimas d) 4 unidades

Expresa en milésimas:

a) siete unidades b) doce décimas c) cuarenta decenas d) quince centésimas

7

6

5

4

3

Centenas Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas

358,29 5 9

41,003 3

0,538 0

salto de altura2,4 m

triple salto18,29 m

lanzamiento de disco74,008 m

Parte entera Parte decimal

Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas

2 , 4 0 0

1 8 , 2 9 0

7 4 , 0 0 8

Se leen:

2,4 dos unidades y cuatro décimas o dos coma cuatro

18,29 dieciocho unidades y veintinueve centésimas o dieciocho coma veintinueve

74,008 setenta y cuatro unidades y ocho milésimas o setenta y cuatro coma cero cero ocho

Recuerda: 2,4 � 2,400 � 2,4000 porque la cifra 0 detrás de la parte decimal no le añade valor.


...decimales

101

Representación y ordenación sobre la recta

Para representar las décimas en la recta numérica, cada unidad se divide en 10 partes iguales. Los núme-ros quedan ordenados de menor a mayor. Fíjate en dónde están situados los números 0,4 y 1,8.

Activ

idad

es Representa estos números en la recta numérica del 0 al 3.

2,6 - 1,7 - 0,7 - 2,3 - 1,4 - 2,9 - 0,1

Ordena estos números de menor a mayor: 5,5 - 6,02 - 5,59 - 5,52 - 5,61 - 5,58 - 6.

Ordena estos números de mayor a menor: 8,03 - 8,12 - 9,15 - 9,01 - 9,27 - 8,4 - 8,65.

Escribe cuatro números comprendidos entre:

a) 3,45 y 3,46 b) 2,70 y 2,71 c) 1,97 y 1,98

11

10

9

8

8

0 1 2

0,4 1,8

Para representar las centésimas, dividimos cada décima en diez partes iguales. Observa dónde están si-tuados los números 0,12 y 0,16.

0,1 0,2

0,12 0,16

Para representar las milésimas (2,324 y 2,327), dividimos una centésima en 10 partes iguales (2,32 - 2,321- 2,322 - ... - 2,33).

Los números decimales se pueden representar en una recta. Cada unidad está dividida en 10 décimas,cada décima en 10 centésimas, y cada centésima está dividida en 10 milésimas.En la recta, quedan ordenados y es menor el que está situado más a la izquierda.

�

0,4 < 1,8

0,12 < 0,16

— Para ordenar dos números decimales:

1. Comparamos la parte entera. Es menor el número que tenga la parte entera menor.Ejemplo: 4,7 < 5,21

2. Si la parte entera es igual, comparamos la cifra de las décimas. Es menor el número que tenga la cifrade las décimas menor. Si la cifra de las décimas es igual, comparamos las centésimas; y así sucesiva-mente.Ejemplos: 1,11 < 1,21 < 1,27 < 1,29 3,72 < 3,724 < 3,728


Suma de números decimales

102

Activ

idad

es Resuelve estas sumas.

a) 2,345 � 12,8 � 123,87 c) 87 � 0,936 � 5,89b) 34,06 � 27,2 � 8,274 d) 6.125,83 � 136,2 � 76,042

Dos de los números de cada recuadro suman lo indicado. ¿Cuáles son?

Resuelve estas sumas.

a) diecisiete unidades, seis centésimas más ciento cinco unidades, ocho décimasb) cuarenta y seis milésimas más cuatro unidades, siete décimasc) doce décimas, tres centésimas más quince décimas

Efectúa estas sumas en la recta numérica. Utiliza una recta para cada suma

a) 1,3 � 0,5 b) 0,7 � 0,8 c) 1,2 � 1,4 d) 1,9 � 0,9

Continúa estas series con tres números más.

a) 2,25 - 3 - 3,75 - 4,5 b) 7,2 - 7,35 - 7,5 - 7,65 c) 4,5 - 4,62 - 4,74 - 4,86

16

15

14

13

12

Para sumar números decimales, se colocan los números en columna de manera que coincidan las unidadesdel mismo orden y se suman las cantidades manteniendo la coma en la misma posición.

�

En el campeonato de gimnasia rítmica, una participante ha obtenido 16,225 pun-tos en mazas y 17,025 puntos en cuerda. ¿Qué puntuación ha obtenido en total?

Para resolver el problema, tenemos que sumar las dos puntuaciones. Recuerdacómo se suman dos números decimales.

16,225 � 17,025 � 33,25

En total ha obtenido 33,25 puntos.

16,225

� 17,025

33,250

— Podemos utilizar la recta numérica para sumar números decimales. Observa cómo se resuelve la suma1,7 � 0,6.

0 1 2 31,7 2,3

1,7 � 0,6 � 2,3

1,7 � 0,6

2,383 - 3,108 - 3,038Suma � 5,421

0,125 - 0,118 - 0,043Suma � 0,243


Resta de números decimales

103

Activ

idad

es Resuelve estas restas.

a) 328,6 � 139,278 b) 215,05 � 79,942 c) 6.125,3 � 874,532

Completa estas operaciones con los números que faltan.

Representa estas restas en la recta numérica. Utiliza una recta para cada operación.

a) 1,8 � 0,6 b) 2,6 � 1,1 c) 2,3 � 0,9

Ricardo mide 1,68 m; Inés, 0,15 m más, y Javier, 0,22 m menos que Inés. ¿Cuánto mide Javier?20

19

18

17

8

Para restar números decimales, se colocan en columna de manera que coincidan las unidades del mismoorden y se restan las cantidades manteniendo la coma en la misma posición.Si los términos de la resta no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se completan con ceros.

�

Un circuito automovilístico mide 4,65 km. Si un piloto ha recorrido 2,786 km, ¿cuánto le falta para concluiruna vuelta?

Para resolver el problema, tenemos que calcular la resta 4,65 � 2,786.

Recuerda que el minuendo debe tener la misma cantidad de cifras decimales que el sustraendo.

4,650 � 2,786 � 1,864

Para concluir la vuelta le falta 1,864 km.

4,650

� 2,786

1,864

— Podemos utilizar la recta numérica para restar números decimales. Observa cómo se resuelve la resta 1,2 � 0,5.

1,2 � 0,5 � 0,7

0 1 20,7 1,2

1,2

0,5

3 2 , 5 7 3� �� , ��

2 5 , 6 8 4

�� , �� 3 5 , 7 0 8

2 1 , 4 9 9

a) b)


Multiplicación de números decimales

104

Activ

idad

es Coloca la coma en los resultados de estas operaciones.

a) 65,98 � 4,9 � 323302 b) 8,564 � 6,32 � 5412448 c) 453,6 � 15,8 � 716688

Resuelve estas multiplicaciones.

a) 235,42 � 75 b) 87,69 � 0,82 c) 359,15 � 9,754 d) 39,742 � 8,64

22

21

Número natural por número decimal

Unos grandes almacenes realizan un pedido de 25 sillas de coche para bebé con un precio de 167,45 €cada una. ¿Cuál es el coste del pedido?

Para resolver el problema, tenemos que multiplicar 167,45 por 25.

El coste del pedido es de 4.186,25 €.

1 6 7,4 5� 2 5

8 3 7 2 53 3 4 9 0

4 1 8 6,2 5

dos cifras decimales


Multiplicación de dos números decimales

Cada kilo de melón cuesta 2,54 €. ¿Cuánto pagará Mónica por un melón de 3,5 kg?

Para resolver el problema, tenemos que multiplicar 2,54 por 3,5.

Mónica pagará 8,89 € por un melón de 3,5 kg.

2,5 4� 3,5

1 2 7 07 6 2

8,8 9 0


una cifra decimal

tres cifras decimales

Para multiplicar un número natural por un número decimal, se resuelve la operación como si fueran dosnúmeros naturales y en el resultado se coloca la coma de forma que tenga las mismas cifras decimales que elnúmero decimal.

�

Para multiplicar dos números decimales, se resuelve la operación como si fueran dos números naturales y enel producto se coloca la coma de forma que tenga tantas cifras decimales como tienen los dos factoresjuntos.

�


Activ

idad

es Resuelve estas multiplicaciones.a) 5,8 � 100 b) 8,75 � 1.000 c) 53,6 � 10 d) 79,7 � 100 e) 93,4 � 1.000


Maite avanza 0,45 m cada paso. ¿Qué longitud recorrerá si da 200 pasos iguales? ¿Y si da 3.000 pa-sos?

Unos grandes almacenes encargan 2.000 pelotas de baloncesto. Si cada pelota les cuesta 5,99 €,¿cuánto tienen que pagar en total?

26

25

24

23

105

Multiplicación de un número decimal por 10, 100, 1.000

Recuerda cómo se multiplica por 10, por 100 y por 1.000.

8

Número � 10 � 100 � 1.000

2,326 23,26 232,6 2.326

84,35 843,5 8.435 84.350

428,3 4.283 42.830 428.300

Para multiplicar un número decimal por 10, 100 ó 1.000, se desplaza la coma hacia la derecha tantoslugares como ceros acompañen a la unidad. Si no hay suficientes cifras decimales, se añaden ceros.

�

— Fíjate en cómo podemos multiplicar un número decimal por decenas, centenas y unidades de millar exac-tas.

32,4 � 20 � 32,4 � 2 � 10 � 64,8 � 10 � 648

12,2 � 400 � 12,2 � 4 � 100 � 48,8 � 100 � 4.880

42,3 � 3.000 � 42,3 � 3 � 1.000 � 126,9 � 1.000 � 126.900

� 20 � 40 � 300 � 1.000

23,2

0,005

5,23

320,3

Para multiplicar un número decimal por decenas, centenas... exactas, se multiplica el número decimal por elnúmero natural y después se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el númeronatural.

�


Aproximación de números decimales Fíjate en cómo se aproximan a las unidades los números 3,6 y 3,4.

— Observa cómo se aproximan a las décimas los números 3,68 y 3,43.

Activ

idad

es Aproxima a las unidades estas cantidades.

6,23 - 4,68 - 8,93 - 0,84 - 2,098 - 5,804 - 7,234

En una tienda aproximan los precios a las décimas de euro para facilitar el cambio. ¿Cuáles son los nue-vos precios?

Jarrón Bolso Anillo Pluma Libro58,75 € 106,21 € 34,32 € 18,39 € 20,84 €

Aproxima las siguientes cantidades a las centésimas.

a) 7,543 c) 6,468 e) 4,7653b) 15,0027 d) 9,789 f) 12,654


29

28

27

Cifra de las décimas igual o mayor que 5 Cifra de las décimas menor que 5

3,6 6 > 5

Perdemos las décimas y aumentamos en 1 lasunidades.

3,6 aproximado a las unidades � 4

3,4 4 < 5

Las unidades permanecen igual y perdemos lasdécimas.

3,4 aproximado a las unidades � 3

Cifra de las centésimas igual o mayor que 5 Cifra de las centésimas menor que 5

3,68 8 > 5

Añadimos una unidad a las décimas y perdemos lascentésimas.

3,68 aproximado a las décimas � 3,7

3,43 3 < 5

Perdemos las centésimas y las décimas permanecenigual.

3,43 aproximado a las décimas � 3,4

Sigue los pasos anteriores para aproximar los números decimales a las décimas y a las centésimas.�

Número 5,56 24,567 6,46 5,867

Aproximación a las décimas

Aproximación a las centésimas

106


Estimación de resultadosPodemos utilizar la aproximación de números decimales para calcular el resultado aproximado de operacio-nes. Observa:

Vamos a comparar las estimaciones con el cálculo exacto:

143,16 � 96,83 � 239,99 124,72 � 94,38 � 30,34 72,37 � 8,67 � 627,4479

— El resultado estimado es más cercano al exacto cuando aproximamos a las décimas.

Activ

idad

es Efectúa estas operaciones aproximando sus términos a las unidades.

a) 149,872 � 3.527,64 c) 145,986 � 68,781 e) 351,56 � 0,97b) 347,68 � 123,69 d) 543,085 � 56,443 f) 135,09 � 56,9


— Comprueba los resultados con la calculadora.

Una etapa de la vuelta ciclista tiene 178,684 km. Si Felipese encuentra en el kilómetro 97,323, ¿cuánto le falta apro-ximadamente para llegar a la meta?

En una tienda de juguetes, Natalia compra una avioneta por139,46 €, una lancha que cuesta 175,85 € y un barco por96,22 €. ¿Cuál es el coste aproximado de la compra?

34

33

32

31

8

OperaciónAproximación a las unidades


Cálculo exacto

4.274,26 � 199,88

341,346 � 13,63

706,9 � 56,34

Para estimar el resultado de una suma, de una resta o de una multiplicación de números decimales, seaproximan sus términos a las unidades, décimas, centésimas… más próximas y se resuelve la operación.

�

OperaciónAproximación a las unidades


143,16 � 96,83 143 � 97 � 240 143,2 � 96,8 � 240

124,72 � 94,38 125 � 94 � 31 124,7 � 94,4 � 30,3

72,37 � 8,67 72 � 9 � 648 72,4 � 8,7 � 629,88

107


Para acabar

Escribe cómo se leen estos números.

a) 10,09 d) 7,006b) 0,0835 e) 0,0005c) 0,042 f) 0,420

Escribe con cifras:

a) cinco décimasb) tres centésimasc) cuatro milésimasd) catorce unidades y doce centésimas

Indica las décimas, las centésimas y las milési-mas de estos números.

a) 7 b) 0,3 c) 2,5 d) 3,24

4

3

2

Contesta a estas preguntas para repasar la unidad.1

Dibuja una recta numérica entre el 4 y el 5, yrepresenta estos valores.

a) 4 b) 4,7 c) 4,3 d) 4,57 e) 4,93

Ordena estos números de menor a mayor.

6,74 - 6,52 - 6,08 - 6,623 - 6,49 - 6,732

Completa:

3,6 < � < 3,8 8 < � < 9

0,4 < � < 0,6 0,8 < � < 0,9

2,35 < � < 2,37 6,34 < � < 6,35

7

6

5

108

0 1 0 1

a) ¿Cómo se leen estos números decimales?A) 7,85 B) 0,006 C) 1,027 D) 53,5018

b) ¿Están ordenados estos números de menor a mayor? Corrígelo si es necesario.6,245 - 6,225 - 6,247 - 6,14 - 6,145

c) ¿Cuál es la aproximación a las décimas de estos números?A) 5,28 B) 6,35 C) 4,89 D) 3,84 E) 5,99

d) ¿Cuál es el resultado de sumar 5,008 � 13,053 � 2,782?A) 20,853 B) 208,32 C) 20,843

e) ¿Cuál de las dos representaciones corresponde a la suma 0,5 � 0,7? ¿Cuál es el resultado?

A) B)

f) ¿Es correcto el resultado de esta resta? Corrígelo si no lo es.82,005 � 6,729 � 75,276

g) ¿Cuál es el resultado de multiplicar 23,876 � 12,04?A) 2.874,6704 B) 287,46704 C) 28,746704

h) ¿Cuál es el resultado de multiplicar 24,23 por cada uno de estos números?A) 10 B) 100 C) 1.000 D) 20 E) 200 F) 2.000

i) ¿Es correcta esta operación si se aproximan sus términos a las unidades?24,74 � 9,8 � 250


109

8

Intercala un número decimal entre cada parejade números.

a) 3,99 y 4 d) 5 y 5,1b) 4,1 y 4,11 e) 0,6 y 0,61c) 0,634 y 0,635 f) 2,999 y 3

Aproxima a las unidades:

a) 6,19 c) 4,65 e) 8,95b) 0,85 d) 2,099 f) 4,103

Calcula el término que falta en estas operacio-nes.

a) 94,725 � . . . . . . . . . . . . . . . . � 130,753b) 68,75 � . . . . . . . . . . . . . . . . � 58,9041

Resuelve estos productos.

a) 0,02 � 100 d) 18,6 � 1.000b) 0,0025 � 10 e) 7,1 � 100c) 0,37 � 1.000 f) 0,0003 � 10

Escribe el factor que falta.

a) 34,87 � . . . . . . . . . . . . . . � 34.870b) 0,03 � . . . . . . . . . . . . . . � 30c) 0,25 � . . . . . . . . . . . . . . � 2.500d) 5,38 � . . . . . . . . . . . . . . � 53,8

Completa:

Completa con los números del recuadro.

500 - 40 - 200 - 4.000

12,31 � . . . . . . . . . . . . . . � 492,412,31 � . . . . . . . . . . . . . . � 2.46212,31 � . . . . . . . . . . . . . . � 6.15512,31 � . . . . . . . . . . . . . . � 49.240

14

13

12

11

10

9

8 Escoge el resultado correcto en cada caso.

Aproxima a las centésimas:

a) 0,675 c) 2,286 e) 7,098b) 4,0052 d) 9,0458 f) 3,999

Resuelve estas operaciones.

a) 27,835 � 149,37 � 7.842,64b) 256,7 � 198,932c) 29,784 � 5,073

Una bandeja tiene 24 huevos. Si el peso decada huevo está entre 0,05 y 0,06 kg, ¿cuálserá el peso máximo de la bandeja? ¿Y el pesomínimo?

El precio de un artículo es de 243,28 € y el IVAasciende a 38,9248 €. Para su venta redon-dean a las centésimas. ¿Cuánto pagará elcliente en total?

Tres números suman 323,15. Uno de ellos es46,35 y otro es el triple de éste. ¿Cuál es el ter-cer sumando?

Alba compra 3 peras de 0,15 kg cada una, 2 kg de ciruelas y una sandía que pesa 3,850 kg.

a) ¿Cuánto pesa toda la fruta? b) ¿Cuánto paga por todo?

21

20

19

18

17

16

15

� ,6� 1,�

2 2 4��

7��

3, 7 5� ��1 8 7 5

�2 2 5 0

��

55,32 � 50,32 50 0,5 5

0,54 � 0,6 0,324 3,24 324

2,5 � 0,8 20 2 0,2

238 � 0,2 4,76 47,6 476

Peras2,35 €/kg

Ciruelas3,25 €/kg

Sandía1,70 €/kg


Representa estos números sobre la misma rec-ta numérica (divide cada unidad en 10 partesiguales).

3, 2 , , , 1 ,

Comprueba si son equivalentes estos pares defracciones

a) y

b) y

c) y

Calcula la fracción irreducible.

a) b) c)

Expresa en forma de fracciones impropias.

a) 2 b) 6 c) 5 �

Calcula y simplifica si es posible:

a) � � 4 c) 7 � �

b) � d) :

Resuelve y comprueba con la calculadora:

a) 13 % de 2.300 €b) 20 % de 9.640 €c) 15 % de 7.520 €

Calcula:

a) 15 � 0,1b) 125 � 0,75c) 425,12 � 4,5

7

6

56

78

310

25

37

611

53

79

5

413

38

811

4

189378

120144

90126

3

4492

1123

90132

615

6472

89

2

1710

45

910

115

310

1

Calcula el 50 % de estos números.a) 36 d) 78b) 124 e) 468c) 1.846 f) 12.500

He pagado 368 € por un mueble cuyo pre-cio inicial era de 736 €. ¿Qué descuentome han aplicado?

En un concierto de 2.480 espectadores, el50 % no ha pagado entrada. ¿Cuánto seha recaudado si el precio de la entrada erade 20 €?

14

13

12


cálculo mental

Escribe en forma de número decimal y ordé-nalos de mayor a menor.

a) 6 décimasb) 40 centésimasc) 56 milésimas d) 1 milésima

Completa para que el resultado sea igual a launidad.

a) 0,63 � . . . . . . . . . . � 1b) 0,01 � . . . . . . . . . . � 1c) 0,037 � . . . . . . . . . . � 1d) 0,990 � . . . . . . . . . . � 1

Calcula:

a) 5,4 � 100 e) 3,452 � 2.000b) 6,7 � 1.000 f) 8,9 � 300c) 0,59 � 10 g) 800 � 3,2d) 0,002 � 10 h) 30 � 2,07

Calcula de manera aproximada y de maneraexacta, y compara los resultados.

a) 3,4 � 15,06 � 0,627 (aprox. a las décimas) b) 286,522 � 13,129 (aprox. a las centésimas) c) 572,36 � 67,5 (aprox. a las unidades)

11

10

9

8

110



111

8

En una bolsa de caramelos las 3/5 partes sonde menta. ¿Cuántos caramelos hay en la bolsasi 15 son de menta?

En una estación, los 4/9 de la consigna esta-ban ocupados por la mañana y por la tarde sehan ocupado 2/9 más. Si por la noche se hanvaciado 5/9, ¿qué parte de la consigna ha que-dado libre?

Un profesional destina 1/3 del día para trabajar,1/6 para descanso y alimentación, y 8 horaspara dormir. ¿De cuántas horas dispone parasu tiempo libre? Exprésalo también en formade fracción.

Compara los resultados de los siguientes pro-blemas.

a) En un club de atletismo de 80 personas, los2/5 son chicas. ¿Cuántos chicos y chicas hay?

b) En un club de atletismo de 80 personas, el 40 % son chicas. ¿Cuántos chicos y chicashay?

Julia ha ido de compras. Calcula el dinero queha pagado y lo que se ha ahorrado.

5

4

3

2

1 Raúl gasta 7 € cada día. ¿Cuántos euros hagastado en 7 semanas?

Si el ruido de una explosión se ha oído al cabode 5 minutos y la velocidad del sonido es de340 m cada segundo, ¿a qué distancia se en-contraba del lugar del suceso? Expresa el re-sultado en una potencia de base 10.

Se desea dividir un terreno rectangular, de240 m de ancho por 360 m de largo, en par-celas cuadradas que sean lo más grandes po-sible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada par-cela?

Resuelve estos problemas e indica qué billetesy monedas podrían formar el resultado en cadacaso.

a) Ignacio ha pagado 69,5 € por una caja depelotas y una raqueta. ¿Cuánto vale cadaproducto si la raqueta cuesta el triple que lacaja y le han hecho un descuento de 2,5 €?

b) He pagado un frigorífico con 2 billetes de100 €, 4 de 50 €, 6 de 20 € y 4 de 10 €.Si me han devuelto 4,50 €, ¿cuánto valía elfrigorífico?

c) Quería comprar un televisor que antes valía600 €, pero ha tenido un incremento del 3,5 %. ¿Cuánto cuesta ahora?

d) He comprado 18 pares de calcetines a 1,75 €cada par y una docena de camisetas a 3,25 € cada una. Si he pagado con un bille-te de 100 €, ¿cuánto me han devuelto?

9

8

7

6

15

Producto Descuento Precio final Ahorro

Vestido120 €

10 %

Jersey155 €

20 %

Pantalones80 €

15 %


División con números decimales9

Rincón del ingenioCompleta estas series de figuras dibujando unamás.

— ¿Qué criterio has seguido para completarcada una de las series?

112

a) Ana y Cristina deciden compartir a medias losgastos del taxi. ¿Cuántos euros pagará cadauna?

b) Si hubieran dado 1,5 euros de propina al taxis-ta, ¿cuántos euros pagaría cada una?

Para empezar

El taxi nos ha costado29,32 euros.

a)

b)

...

...


Aprende a calcular mentalmente el 25 % de unnúmero.




a) En una tienda de alquiler de coches, se ha al-quilado el fin de semana un 25 % de los 200coches de los que disponen. ¿Cuántos co-ches se han alquilado?

b) El precio del alquiler por un día de un cochede 7 plazas cuesta 92 € y el de 4 plazascuesta un 25 % menos. ¿Cuánto cuesta elalquiler de este coche?

c) Iker ha alquilado 5 días un coche que cuesta64 euros al día. Si le aplican un 25 % de des-cuento en el total del precio, ¿cuánto deberápagar?

21

113

En esta unidad

Cálculo mental

25 % de 88 � 88 : 4 � 22

25 % de 484 � 484 : 4 � 121

DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES

Aproximación decimal del cociente

Dividendo decimal y divisor natural

Dividir entre 10, 100 y 1.000

Dividendo natural y divisor decimal

Dividendo y divisor decimales


Conceptos clave

Número decimal, dividendo, divisor, estimación.


Aproximación decimal del cociente

114

Activ

idad

es

Fíjate en los pasos que deben seguirse para aproximar hasta las milésimas el cociente de la división:

851 : 48

Aproximar un cociente hasta las décimas, centésimas o milésimas, es calcular la división hasta la primera,segunda o tercera cifra decimal, respectivamente.

�

Resuelve estas divisiones aproximando sus cocientes hasta las milésimas y compruébalas.

a) 289 : 54 b) 438 : 69 c) 826 : 74

Halla el dividendo en cada caso.

a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 46 si el cociente � 6,413 y el resto � 0,002b) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . : 53 si el cociente � 14,811 y el resto � 0,017

4

3

Para comprobar si una división está bien resuelta, se aplica la prueba de la división: D � d � c � r.�

Prueba de la división

Resolvemos la división 96 : 42 aproximando el cociente hasta las centésimas.

Para comprobar que está bien resuelta, aplicamos la prueba de la división.

divisor � cociente � resto � dividendo

42 � 2,28 � 0,24 � 96. La división está bien resuelta.

cociente � 2,28

resto � 0,24

8 5 1,0 0 0 4 83 7 1 1 7,7 2 9

3 5 01 4 0

4 4 00 8

3 cifras

3 cifras

9 6,0 0 4 21 2 0 2,2 8

3 6 02 4

1. Escribimos el dividendo como número decimal hasta lasmilésimas y empezamos a dividir.

851 � 851,000

2. Al bajar la primera cifra decimal del dividendo, colocamosuna coma en el cociente para indicar que dividimos la par-te decimal.

cociente � 17,729 y resto � 0,008



115

Aprende cómo se resuelve una división con el dividendo decimal y el divisor natural.

Con 162,43 m de tela quieren confeccionar 84 cortinas iguales. ¿Cuántos metros podrán utilizar para cadauna? ¿Cuánta tela sobrará?

Para resolverlo, dividimos 162,43 entre 84.

Activ

idad

es Resuelve estas divisiones.

a) 249,32 : 46 b) 113,67 : 27 c) 4.977,6 : 732

Relaciona cada división con su resultado.

a) 409,5 : 65 b) 361,2 : 43 c) 334,8 : 93 d) 0,6 : 5

Santiago tiene 33,75 kg de tierra para repartir entre 9 macetas.

¿Cuántos kilos de tierra pondrá en cada maceta?

7

8,43,66,30,12

6

5

9

1 6 2,4 3 8 47 8 4 1,9 3

2 8 33 1

4,8 1 20 0 0,4

Se divide la parte entera y al bajar las décimas secoloca la coma en el cociente, indicando que empiezaa dividirse la parte decimal.

Como 4 < 12, se escribe un cero y la coma en elcociente indicando que empieza a dividirse la partedecimal y se continúa la división.

Podrán utilizar 1,93 m para cada cortina y sobrarán 0,31 m.

En una carretera de 4,8 km se quieren colocar 12 farolas con la misma distancia entre ellas. ¿Cada cuántoskilómetros colocarán una farola?

Para resolverlo, dividimos 4,8 entre 12.

Colocarán una farola cada 0,4 kilómetros.

Para dividir un número decimal entre un número natural, se resuelve la división normalmente y al bajar laprimera cifra decimal se coloca una coma en el cociente y se continúa la operación.

�



116

Activ

idad

es Completa esta tabla.

Completa con la unidad seguida de ceros.

a) 425,6 : . . . . . . . . . . . � 0,4256 d) 7,472 : . . . . . . . . . . . � 0,7472b) 86,25 : . . . . . . . . . . . � 8,625 e) 432,521 : . . . . . . . . . . . � 4,32521c) 87.532,43 : . . . . . . . . . . . � 8.753,243 f) 124.349,85 : . . . . . . . . . . . � 12.434,985

Escribe el dividendo de estas divisiones.

a) . . . . . . . . . . . : 100 � 84,825 d) . . . . . . . . . . . : 10 � 4.754,82b) .. . . . . . . . . . : 1.000 � 23,987 e) . . . . . . . . . . . : 100 � 0,9742c) .. . . . . . . . . . : 100 � 0,03795 f) . . . . . . . . . . . : 1.000 � 0,073

Un coche gasta 6,5 l de gasolina cada 100 km. ¿Cuánto gasta en 1 km?¿Cuántos kilómetros puede recorrer si llena el depósito con 59,5 litros?

11

10

9

8

Para dividir un número decimal entre 10, 100, 1.000…, desplazamos la coma hacia la izquierda tantoslugares como ceros acompañen a la unidad. Si no hay suficientes cifras, añadimos a la izquierda los ceros necesarios antes de poner la coma.

�

Dividir entre 10, 100, 1.000

Recuerda cómo se resuelven estas divisiones.

: 10 : 100 : 1.000

7.534,6

897,47

42,756

25,4 : 10 � 2,54Se desplaza la coma un lugar a la izquierda

23,72 : 100 � 0,2372Se desplaza la coma dos lugares a la izquierda

6.937,8 : 1.000 � 6,9378Se desplaza la coma tres lugares a la izquierda

57,1 : 1.000 � 0,0571Se desplaza la coma tres lugares a la izquierda


Dividendo natural y divisor decimal

117

Activ

idad

es Resuelve estas divisiones.

a) 91 : 3,5 b) 1.170 : 3,6 c) 870 : 36,25 d) 987 : 28,2

Calcula:

a) 453 : 0,3 c) 765 : 0,9 e) 960 : 0,01 g) 635 : 0,5b) 846 : 0,002 d) 561 : 0,03 f) 2.742 : 0,06 h) 4.562 : 0,09

Resuelve estas operaciones aproximando el cociente a las décimas.

a) 45 : 3,6 b) 96 : 38,4 c) 273 : 32,5

Cada bote de pintura cuesta 6,25 €. Si hemos pagado un total de 150 €, ¿cuántos botes de pinturahemos comprado?

Una fábrica de yogur utiliza depósitos de 1.500 litros. Si en cada envase caben 0,125 litros, ¿cuántosse podrán llenar?

Irene va con su familia de vacaciones a Nueva York. En el banco cambian 3.165 € a dólares. Sabiendoque 1 dólar equivale a 0,786 euros, ¿de cuántos dólares podrán disponer?

17

16

15

14

13

12

9

Para dividir un número natural entre un número decimal:1. Se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el

divisor.2. Se resuelve la división.

�

La rueda de una bicicleta avanza 1,65 metros en cada vuelta. Para recorrer 1.551 metros de un circuito,¿cuántas vueltas tendrá que dar?

Para resolver este problema, tenemos que resolver 1.551 : 1,65. Fíjate en cómo se efectúa.

1. Como el divisor no puede ser un número decimal, aplicamos la propiedad fundamental de la división.Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tieneel divisor.

Dividendo: 1.551 → 1.551 � 100 � 155.100

Divisor: 1,65 → 1,65 � 100 � 165

2. Resolvemos la división.

Cada rueda de la bicicleta tendrá que dar 940 vueltas.

1 5 5 1 0 0 1 6 50 6 6 0 9 4 0

0 0 0 0


Dividendo y divisor decimales

118

Activ

idad

es Completa y resuelve estas divisiones.

a) 39,6 : 1,65 .. . . . . . . . . . . . . . . . . : 165

b) 2,7 : 0,45 .. . . . . . . . . . . . . . . . . : 45

Calcula:

a) 37,12 : 6,4 c) 48,36 : 5,2 e) 14,688 : 4,32b) 78,12 : 9,3 d) 0,1325 : 0,53 f) 0,1971 : 0,73

Completa con los números de los recuadros.

a) 263,25 : . . . . . . . . � 3,25 b) . . . . . . . . : 67 � 6,35 c) 1.108,8 : . . . . . . . . � 8,4 d) . . . . . . . . : 124 � 7,6

132 425,45 81 942,4

Si cuatro almendras pesan 0,008 kg, ¿cuántas almendras entrarán en un paquete de 0,5 kg?21

20

19

18

Un electricista tiene un rollo de cable de 175,2 m. Si quiere cortarlo en trozos de 3,65 m para arreglar unainstalación, ¿cuántos trozos puede conseguir?

Para resolver este problema, dividimos 175,2 : 3,65. Observa:

1. Como en el caso anterior, el divisor no puede ser un número decimal, por lo que aplicamos la propiedadfundamental de la división.

Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el di-visor.

Dividendo: 175,2 → 175,2 � 100 � 17.520

Divisor: 3,65 → 3,65 � 100 � 365

2. Resolvemos la división.

Puede conseguir 48 trozos de cable.

Para resolver una división en la que el dividendo y el divisor son números decimales:1. Se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el

divisor.2. Se resuelve la división. Si el dividendo sigue siendo decimal, se coloca la coma en el cociente dejando

tantas cifras decimales como tenga el dividendo.

�

1 7 5 2 0 3 6 52 9 2 0 4 8

0 0 0


Activ

idad

es Resuelve estas divisiones aproximando el dividendo y el divisor.a) 61,83 : 1,8 c) 84,16 : 3,95 e) 79,84 : 4,9b) 4,899 : 4,2 d) 312,4 : 5,92 f) 589,3 : 4,75

Un viajero que tiene que recorrer 1.234,56 km lo hace en 12 etapas. Aproxima los kilómetros a las uni-dades y calcula cuántos recorre en cada etapa.

Pregunta en casa el gasto mensual de gas, agua, electricidad y teléfono. Aproxima las cantidades a lasdécimas y calcula el gasto diario de tu familia en cada uno de los apartados anteriores.

24

23

22

119

Podemos aproximar los términos de una división para estimar el resultado. Observa:

— Un grupo de alumnos ha recaudado 240,38 € para comprar juegos de mesa que cuestan 15 € cada unoy sortearlos para ayudar a una ONG.

¿Cuántos juegos podrán comprar aproximadamente?

Aproximamos el dividendo a las unidades:

240,38 → 240

Dividimos 240 entre 15 → 240 : 15 � 16

Podrán comprar aproximadamente 16 juegos de mesa.

— Otro grupo ha recaudado 234 € y quiere comprar juegos de agua que cuestan 5,98 €. ¿Cuántos juegosde agua sortearán?

Aproximamos el divisor a las unidades:

5,98 → 6

Dividimos 234 entre 6 → 234 : 6 � 39

Sortearán 39 juegos de agua aproximadamente.

— Un tercer grupo ha recaudado 419,90 € y compra unos equipos de montaña a 19,99 € cada uno. ¿Cuán-tos podrán adquirir?

Aproximamos el dividendo y el divisor a las unidades:

419,90 → 420 19,99 → 20

Dividimos 420 entre 20 → 420 : 20 � 21

Podrán adquirir aproximadamente 21 equipos de montaña.

9

Para estimar un cociente, aproximamos el dividendo, el divisor o los dos al orden de unidad más cercano.

�



Para acabar

Resuelve estas divisiones.

a) 4.977,6 : 732b) 5.695 : 4,25c) 85,932 : 19,8


2

Repasa la unidad e indica si son verdaderas o falsas estas afirmaciones. Transforma las falsas en ver-daderas.

1

Resuelve aproximando el cociente hasta lascentésimas.

a) 310,88 : 16 d) 109,21 : 13,4b) 189,5 : 12,5 e) 197,64 : 21,6c) 868,7 : 23,8 f) 354,64 : 28,6

Completa:

a) 9,5 : . . . . . . . . � 95b) .. . . . . . . : 1.000 � 0,09c) 8,3 : . . . . . . . . � 0,083d) .. . . . . . . : 100 � 3,8

5

4

120

a) Aproximar un cociente hasta las milésimas esseguir la división hasta la tercera cifra decimal.

b) Al aproximar un cociente hasta las centésimas, el restoobtenido son milésimas.

c) Para sumar el resto en la prueba de la división, debemos comprobar si son décimas, centésimas o milésimas.

d) Si el dividendo es decimal, se pone la coma en el cociente al bajar la cifra de las décimas.

e) Para dividir un número decimal entre 100, se desplazala coma dos lugares hacia la derecha.

f) El dividendo y el cociente deben tener el mismonúmero de cifras decimales.

g) Si el dividendo es menor que el divisor, ponemos uncero en la parte entera del cociente.

h) Cuando dividimos entre 1.000 y no hay suficientes cifras, se añaden ceros a la izquierda antes de la coma.

i) Para resolver una división con décimas en el dividendo y en el divisor, multiplicamos a ambos por 100.

: 10 : 100 : 1.000

82,35

7,823

143,89

V F


121

9

Calcula el dividendo en cada caso.

a) divisor � 1,08; cociente � 72,4; resto � � 0,148

b) divisor � 2,74; cociente � 0,8; resto � � 0,153

c) divisor � 2,55; cociente � 8,6; resto � 0,1

Escoge dos números de cada recuadro paraque el cociente entre ellos sea el indicado.

a) 0,001

0,001 0,1 100 1,202

b) 0,0005

1 0,011 2.000 2,3

c) 250

0,1 2,5 2 0,01

d) 0,15

0,001 0,03 10 0,2

Elige el resultado correcto.

a) 16,32 : 0,6

b) 64,55 : 0,5

c) 78,90 : 0,01

d) 435,4 : 0,02

Fíjate en el ejemplo y completa:

a) 67 : 100 � 67 � . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . .

b) 125,4 : 10 � 125,4 � . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . .

c) 523,2 : 100 � 523,2 � . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . .

d) 6,38 : 100 � 6,38 � . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . .

e) 12,54 : 1.000 � 12,54 � . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . .

24 : 100 � 24 � 0,01 � 0,2454 : 10 � 54 � 0,1 � 5,4

9

8

7

6 Resuelve estas operaciones combinadas.

a) 4,7 : 0,1 � 12 : 100 � 35 : 0,1 b) 23 : 0,01 � 38 : 10 � (13 � 2 : 0,2)c) 56 : 0,1 � (34 � 3,45 : 100)


Un litro de gasolina cuesta 1,02 €. ¿Cuántos li-tros habrán en el depósito del coche si se pa-gan 50 €?

Un librero compra en el almacén una decenade libretas por 9,4 €. ¿Cuánto gana si vende183 libretas a 1,80 € cada una?

Tres amigos se reparten un premio de la loteríade 3.564,6 €. Uno de ellos lo hace entre susdos hijos. ¿Cuántos euros le corresponde acada hijo? Elige la respuesta correcta.

a) 1.188,2 € b) 594,1 € c) 891,15 €

El Camino de Santiago tiene una longitud de726,5 km desde Roncesvalles. Un grupo quie-re recorrerlo en 30 días. Si en 10 días han re-corrido 214,8 km, ¿cuánto tendrán que reco-rrer cada uno de los otros días?

15

14

13

12

11

10

2,5 27,2

129,1 129,3

7.890 789,1

21.770 218

6,25 : � 62,5

: : :

: 0,01 �

� � �

0,625 : �


Ordena estos números de mayor a menor.

a) 812.675,6b) 822.675,099c) 813.675,987d) 812.674,95e) 812.675,212f) 822.675,019

Sitúa estos números sobre una recta numé-rica.

6,15 - 6,9 - 6,07 - 6,7 - 6,55 - 7,1

Completa estas operaciones con el signo quefalta.

a) 63,8 . . . . . . . . 52 .. . . . . . . 66,74 � 49,06b) 3,43 .. . . . . . . 0,25 .. . . . . . . 4,92 � 5,77c) 35,2 . . . . . . . . 2,48 .. . . . . . . 3,7 � 36,42

Expresa estas fracciones en forma de división ycalcula el cociente aproximándolo hasta lascentésimas. Comprueba el resultado con lacalculadora.

a) 23/15b) 45/86c) 731/200d) 53/17

Completa esta serie.

→ → → →

¿Qué número es?

a) Tiene tres cifras y es mayor que 500.b) Es divisible por 5, pero no por 2 ni por 3.c) Las dos primeras cifras son números primos. d) La primera cifra es una unidad mayor que el

triple de la segunda.

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. en cada caso.

a) 168 y 756b) 189, 525 y 567

7

6

2

5

4

3

2

1

Calcula el 25 % de estos números:a) 64 e) 448b) 128 f) 1.280 c) 6.432 g) 552d) 1.956 h) 10.148

En un congreso al que asisten 560 perso-nas, el 25 % son franceses. ¿Cuántos fran-ceses participan?

¿Cuánto costará un teléfono móvil si a suprecio de 120 € le descuentan el 25 %?

14

13

12


cálculo mental

Completa estas fracciones para que sean equi-valentes.

a) �

b) �

c) �


Calcula:

a) � � 4

b) 7 � 2 �

Resuelve estas divisiones.

a) 37,29 : 15,2b) 412,02 : 44c) 89 : 123

11

310

45

13

34

78

10

9

7530

5.. . . .

7791

.. . . . .

13

.. . . . .

12656

8

122

� 32 � 23 � 83 : 42

� 15 5/6 1/6

2/5 1/15

35 35/18

3/4



123

9

Resuelve de manera aproximada estos proble-mas.

a) En una tienda, 6 docenas de huevos valen11,98 € y, en otra, 4 docenas cuestan 6,96 €.¿En qué tienda son más baratos?

b) Tengo un billete de 50 € y quiero comprar 9 kg de naranjas a 3,55 € el kilo y 8 kg demanzanas a 2,15 € el kilo. ¿Tendré suficien-te?

c) La semana pasada compré 7 kg de cerezaspor 41,88 € y esta semana he comprado 9 kg a 3,35 € el kilo. ¿Cuánto dinero he aho-rrado suponiendo que hubiesen mantenidoel precio de la semana anterior?

Los precios de los electrodomésticos han sufri-do un incremento respecto al año anterior.Completa esta tabla y calcula cuánto más ha-brá que pagar por la compra de estos electro-domésticos.

En una carretera de 6 km se quiere poner unafarola cada 2/5 de kilómetro. ¿Cuántas farolasse necesitan?

En un campamento de verano hay 360 estu-diantes, de los cuales 2/3 son españoles.¿Cuántos estudiantes extranjeros hay?

4

3

2

1 De las 45 canicas que hay en un bote, 1/3 sonrojas, 2/5 son azules y el resto, amarillas.¿Cuántas canicas hay de cada color?

Si 21 bolas son los 3/5 de una caja, ¿cuántasbolas contiene la caja?

Durante un mes, un excursionista recorre 6 y2/5 de kilómetro cada día. ¿Cuántos kilómetrosha recorrido en total?

Con una garrafa de 20 l podemos llenar 200botellas. ¿Qué fracción representa el contenidode cada botella?

Tres chicas van al gimnasio, una cada 4 días,otra cada 6 y la tercera cada 16. ¿Cuántas ve-ces coincidirán a lo largo del año?

Eduardo ha comprado un bolígrafo por 75 cén-timos; Adriana, otro por 6/8 de euro, e Ignacio,uno por 0,75 €. ¿Cuál es el más caro?

En un parque de 300 árboles, el 35 % son pi-nos; el 45 %, chopos, y el 25 %, sauces. ¿Esposible?

Un colegio ha utilizado para ir de excursión 16 autobuses de 48 plazas. Si todos iban lle-nos menos uno en el que sólo viajaban 22 per-sonas, ¿cuántas personas han ido de excur-sión?

12

11

10

9

8

7

6

5

Producto Incremento AumentoPreciofinal

Frigorífico590 €

8 %

Lavadora365 €

10 %

Secadora465 €

9 %


Ángulos10

Rincón del ingenioDibuja la figura de la dere-cha sin levantar el lápiz delpapel y sin pasar más de unavez por el mismo segmento. — ¿Por cuántos triángulos

está formada? ¿Cómo son?

124

a) La medida 25 grados 12 minutos 33 segun-dos, ¿está expresada de forma compleja o in-compleja?

b) ¿Sabrías expresar esta medida en segundos?

Para empezar

La cueva encantada se encuentra a25 grados 12 minutos 33 segundosrespecto de la dirección norte.


Aprende a calcular mentalmente el 10 % y el 20 % de un número.




a) En el cine del barrio venden un pack quecontiene: una entrada de cine, una bolsa depalomitas y un refresco por 12 €. Los luneshacen un descuento del 20 %. ¿Cuánto noscostará el pack si lo compramos el lunes?

b) Los jueves es un descuento del 10 %. ¿Cuán-to pagaremos por el pack un jueves?

c) La sala de cine tiene una capacidad para 85personas. Si en la última sesión estaban va-cíos el 20 % de los asientos, ¿cuántos es-pectadores había en el cine?

21

125

En esta unidad

ÁNGULOS

Elementos y clasificación de los ángulos

Ángulos según su amplitudÁngulos consecutivos y adyacentesÁngulos complementarios y suplementarios

Medida de los ángulos

Expresiones complejas e incomplejas

Operaciones con medidas angulares

SumaResta

Suma de los ángulos de polígonos

TriángulosCuadriláteros

Uso del transportador

10 % de 48 � 48 : 10 � 4,820 % de 48 � 48 : 10 � 2 � 4,8 � 2 � 9,6

Conceptos clave

Grados, minutos, segundos, transportador,medida angular.

Cálculo mental


Elementos y clasificación…

126

Activ

idad

es

Recuerda los elementos de un ángulo y su clasificación.

Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que se cortan en un punto.

Lados son las semirrectas que lo limitan: A y B.

Vértice es el origen de las semirrectas: V.

Amplitud es la abertura del ángulo: V.

Clases de ángulos según su amplitud

Clasifica estos ángulos según su amplitud.

Escribe los nombres de dos objetos que puedes encontrar a tu alrededor en los que se encuentren cadauno de los ángulos anteriores.

Indica el ángulo que forman las agujas del reloj en cada caso.

a) las nueve y media b) las dos y cuarto c) las diez y cinco

5

4

3

Al cortarse dos rectas perpendiculares, éstas forman cuatro ángulos rectos.Los ángulos pueden clasificarse según su amplitud en rectos, agudos, obtusos, llanos y completos.

�

lado A

lado Bvértice V

V

Ángulo recto

Cada uno de losángulos formadosal cortarse dosrectasperpendiculares.

Mide 90º.

Ángulo agudo

Menor que elángulo recto.

agudo < 90º

Ángulo obtuso

Mayor que elángulo recto.

obtuso > 90º

Ángulo llano

Igual a dos ángulosrectos.

llano � 180º

Ángulo completo

Igual a cuatroángulos rectos.

completo � 360º

C Â DBE


…de los ángulos

127

Ángulos consecutivos y ángulos adyacentes

Podemos clasificar los ángulos según la posición de sus lados. Observa:

Activ

idad

es Dibuja dos ángulos consecutivos y dos adyacentes.

Copia estos ángulos en tu libreta y dibuja su complementario.

a) b) c)

Copia los ángulos de la actividad anterior en tu libreta y dibuja los suplementarios. 8

7

6

10

Dos ángulos consecutivos tienen un lado y el vértice en común.Dos ángulos adyacentes son consecutivos y sus lados no comunes forman un ángulo llano.

�

Dos ángulos son complementarios cuando suman un ángulo recto, de 90º.Dos ángulos son suplementarios cuando suman un ángulo llano, de 180º.

�

Â

Â Â

B

B B

C

C C

D

D D

Ángulos consecutivos: Tienen un lado y elvértice en común.

Ángulos adyacentes: Son dos ángulosconsecutivos que forman un ángulo llano.

Ángulos complementarios: Sumados formanun ángulo de 90º.

Ángulos suplementarios: Sumados forman unángulo de 180º.

Ángulos complementarios y ángulos suplementarios

Observa qué ocurre al dibujar dos ángulos de forma que sean consecutivos.


Para pasar de una medidamayor a una menor,multiplicamos.

1. Pasamos los grados a minutos

45º � 45 � 60 � 2.700’

2. Pasamos los minutos a segundos

2.700’ � 60 � 162.000”

Medida de los ángulos

128

La unidad de medida de los ángulos se llama grado (º) y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes igua-les. Por lo tanto, un ángulo recto tiene 90º.

El sistema de medición de los ángulos se llama sistema sexagesimal porque cada unidad vale 60 veces launidad inferior.

Activ

idad

es Expresa en minutos y en segundos estas medidas de ángulos.

a) 32º b) 43º c) 86º d) 125º

Expresa en minutos y en grados las siguientes medidas.

a) 169.200” b) 342.000” c) 129.600” d) 511.200”

10

9

Para medir los ángulos utilizamos los grados (º), los minutos (’) y los segundos (”). Estas unidadespertenecen al sistema sexagesimal, es decir, sus unidades se agrupan de 60 en 60.

�

Un grado (º) � 60 minutos (’)Un minuto (’) � 60 segundos (”)Un grado (º) � 60 � 60 � 3.600 segundos (”)

Fíjate en estas transformaciones.

— ¿Cuántos segundos son 45º?

Para pasar de una unidadmenor a otra mayor,dividimos.

1. Pasamos los segundos a minutos

54.000” : 60 � 900’

2. Pasamos los minutos a grados

900’ : 60 � 15º

grado minuto segundo

� 60 � 60

: 60 : 60

45º � 162.000”

54.000” � 15º

— ¿Cuántos grados son 54.000’’?


129


La medida de un ángulo puede expresarse de dos formas. Observa:

Forma compleja: Â � 36º 21’ 23”

Forma incompleja: Â � 130.883”

En las expresiones complejas aparecen distintas unidades. En las expresiones incomplejas aparece unasola unidad.

— Fíjate en cómo se transforma 36º 21’ 23” en una expresión incompleja:

1. Pasamos los grados a segundos: 36º � 60 � 60 � 129.600”2. Pasamos los minutos a segundos: 21’ � 60 � 1.260”3. Sumamos todos los segundos: 129.600” � 1.260” � 23” � 130.883”

— Fíjate en cómo se transforma 231.405” en una expresión compleja:

1. Pasamos 231.405” a minutos: 3.856’ y 45’’2. Pasamos 3.856’ a grados: 64º y 16’3. Escribimos el resultado: 64º 16’ 45”

231.405” � 64º 16’ 45”

36º 21’ 23” � 130.883”

Activ

idad

es Completa la tabla expresando los grados en minutos y en segundos.

Expresa en segundos las medidas de estos ángulos.

a) 27º 45’ 32” b) 76º 15’ 24” c) 142º 17’ d) 125º 43”

Expresa en forma compleja las siguientes medidas.

a) 241.946” b) 311.132” c) 514.405” d) 591.332”

13

12

11

10

Las medidas sexagesimales pueden expresarse en forma compleja o incompleja.�

Minutos Segundos

21º

28º

49º

2 3 1 4 0 5’’ 6 05 1 4 3 8 5 6’ 6 0

3 4 0 2 5 6 6 4º4 0 5 1 6’

4 5’’

Â


Operaciones...

130

Suma

Una nave espacial forma un ángulo de 26º 31’ 34” hacia eleste poco después de despegar. Más tarde, antes de entraren órbita, varía 12º 52’ 30” en la misma dirección. ¿Qué án-gulo forma ahora respecto a la posición inicial?

Para calcularlo, sumamos los ángulos 26º 31’ 34” y 12º 52’ 30”:

1. Colocamos las medidas de forma que coincidan 26º 31’ 34”en columna las unidades del mismo orden. � 12º 52’ 30”

2. Sumamos cada unidad por separado. 38º 83’ 64”+ 1’ � 60”

3. Como el número de minutos y segundos es 38º 84’ 4”mayor que 60, pasamos cada una de estas � 1º � 60’unidades al orden superior. 39º 24’

Forma un ángulo de 39º 24’ 4” respecto a la posición inicial.

Activ

idad

es Une cada una de estas sumas con su resultado.

a) 24º 21’ 30” � 12º 52’ 15” b) 12º 31’ 46” � 25º 4’ 52” c) 19º 42’ 6” � 18º 15’ 7”

37º 36’ 38” 37º 57’ 13” 37º 13’ 45”

Calcula el resultado de estas sumas.

a) 16º 25’ 32” � 46º 38’ 45” d) 73º 43’ 27” � 16º 39’ 25”b) 45º 18’ 45” � 35º 24’ 39” e) 82º 15’ 41” � 29º 31’ 31”c) 63º 54’ 38” � 36º 11’ 12” f) 15º 27’ 44” � 12º 17’ 8”

Un excursionista consulta su plano que marca un giro de 15º 21’ para llegar a una fuente. Después, parallegar a un refugio, gira 8º 51’ en la misma dirección. ¿Cuánto ha variado la dirección inicial?

16

15

14

Para sumar medidas de ángulos expresados en forma compleja, se suma cada orden de unidades porseparado y si en el resultado los minutos o los segundos son mayores que 60 se pasan a la unidad de ordensuperior.

�


Activ

idad

es Resuelve estas restas.a) 29º 44’ 28” � 15º 32’ 39” c) 73º 23’ 17” � 46º 38’ 52” e) 38º 40’ 25” � 19º 20’ 32”b) 52º 35’ 24” � 39º 26’ 48” d) 47º 26’ 11” � 15º 55’ 8” f) 72º 15’ 29” � 41º 28’ 12”

Calcula el ángulo complementario a estos ángulos.

a) 82º 16’ 28” b) 35º 27’ 45” c) 12º 43’ 30”

Calcula el ángulo suplementario de estos ángulos.

a) 125º 17’ 29” b) 93º 18’ 18” c) 49º 50’ 31”

El ángulo A mide 24º 54’ 41” y el ángulo B mide 10º 57’ 43”. Calcula A � B.

En un festival aéreo dos avionetas llevan a cabo una pirueta. Una forma un ángulo hacia el oeste de 15º 42’ 36” y la otra, también hacia el oeste, uno de 23º 43’ 13”. ¿Qué ángulo separa las dos avione-tas?

21

20

19

18

17

…con medidas angulares10

Resta

Una cometa forma un ángulo con el suelo de 36º 25’ 32” y una ráfaga de vien-to la empuja al lado contrario 12º 19’ 46”. ¿Cuál es el nuevo ángulo que formacon el suelo?

Para calcularlo, restamos 36º 25’ 32” � 12º 19’ 46”.

1. Como en la suma, colocamos en columna las unidades del mismo orden.

36º 25’ 32”� 12º 19’ 46”

2. A 32” no podemos restarle 46”. Transformamos 1 minuto del minuendo en 60segundos que sumamos a los 32’’.

25’ � 1’ � 24’ y 32” � 60” � 92”

3. Escribimos de nuevo el minuendo con la transformación realizada y efectuamos la resta.

36º 24’ 92”� 12º 19’ 46”

24º 5’ 46”

El nuevo ángulo es de 24º 5’ 46”.

131

Para restar medidas angulares, se colocan en columna las unidades del mismo orden. Si no se pueden restarlos minutos, se resta 1 grado y se convierte en 60’ que se añaden a los minutos que había. Si no se puedenrestar los segundos, se resta 1 minuto y se convierte en 60” que se añaden a los segundos que había.

�


Suma de los ángulos de polígonos

132

Triángulos

Fíjate en cómo comprobamos la suma de los ángulos deltriángulo:

1. Lo dividimos en tres partes en las que cada una con-tiene un vértice.

2. Unimos las tres partes por sus vértices y comproba-mos que los ángulos juntos forman un ángulo llano, de180º.

Activ

idad

es Calcula lo que mide el ángulo que falta en cada caso sabiendo que son triángulos rectángulos y que unode los ángulos mide:

a) 48º 52’ 15” b) 36º 46’ 12” c) 41º 18’ 43” d) 38º 26’ 45”

Calcula la medida del ángulo que falta.

¿Cuánto mide el cuarto ángulo de estos cuadriláteros?

a) ABCD: A � 120º B � 60º C � 90º D � ?b) EFGH: E � 42º 15’ 36” F � 130º G � 90º H � ?

24

Triángulo ABC: A � 75º 12’ B � 76º 34’ C � ?Triángulo DEF: D � 110º 45’ E � 35º 36’ F � ?Triángulo GHI: G � 60º H � 60º I � ?

23

22

Cuadriláteros

Al trazar la diagonal CB en un cuadrilátero, éste queda dividido en dostriángulos.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero miden la suma de los ángu-los de dos triángulos:

180º � 180º � 360ºD

Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º.�

Los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre suman 360º.�

A B

C

A

B

C D E

F

G H

I

Â

B C

ÂB

C


Uso del transportador

133

Activ

idad

es10

Recuerda:

Para medir ángulos sobre papel, se utiliza el semicírculo gra-duado o transportador de ángulos.

Para medir un ángulo, se coloca el centro del transportador enel vértice del ángulo y se alinea un lado del ángulo con la mar-ca del 0º. Se lee la medida del ángulo escrita donde el segun-do lado cruce la escala.

Dibuja los siguientes ángulos usando el transportador.

a) 35º b) 110º c) 145º d) 230º e) 340º

Calca estos ángulos y mídelos con el transportador.

a) b) c) d)

26

25

El transportador es un semicírculo graduado de 0º a 180º que se utiliza para medir ángulos.�

Medida de ángulos mayores que 180º

— Para medir un ángulo mayor que 180º:

1. Lo dividimos en dos ángulos, uno de ellos llano (180º).

2. Medimos con el transportador el otro ángulo, en este caso, 45º.

3. Sumamos 180º al ángulo que hemos medido.

180º � 45º � 225º

— Si el ángulo es mayor que 270º (3 ángulos rectos): Medimos la región angular que falta hasta llegar a 360º y se lo restamos.

En este caso, el ángulo que falta es de 40º. Por tanto:

360º � 40º � 320º

45º

40º

70º


Para acabar

Clasifica estos ángulos teniendo en cuenta elángulo que forma el tronco con el brazo iz-quierdo.

a) b) c) d)

Dibuja cinco posiciones diferentes de las ma-necillas del reloj, de manera que formen siem-pre un ángulo recto.

Dibuja ángulos consecutivos utilizando estassemirrectas como lado.

a) b) c) d)

4

3

2

Completa las frases para repasar la unidad.1

Dibuja:

a) Un ángulo de 60º consecutivo a otro ángulode 80º.

b) Un ángulo de 30º y su complementario.c) Un ángulo de 50º y su suplementario.

Mide con el transportador los siguientes ángu-los.

a) b) c) d)

Traza con el transportador cuatro ángulos de35º, 55º, 65º y 80º. Dibuja sus ángulos complementarios y calculasus medidas.

7

6

5

a) Cuando se cortan dos rectas perpendiculares, se forman .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Si sumamos un ángulo de 35º y un ángulo de 55º, el resultado es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Un ángulo de 360º se llama .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Los ángulos complementarios siempre suman .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Los ángulos suplementarios siempre suman .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) Cuando dos ángulos tienen un lado y un vértice en común, se llaman .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) Los ángulos consecutivos que tienen los lados no consecutivos en línea recta se llaman.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h) Los grados, los minutos y los segundos pertenecen al sistema .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i) Si al sumar los minutos nos da igual o mayor que sesenta, tenemos que .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

j) Si al restar ángulos nos faltan minutos en el minuendo, tenemos que .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k) Los ángulos interiores de un triángulo suman .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l) Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m) Cuando medimos ángulos con el transportador, debe coincidir el punto 0 con .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n) Si el ángulo que vamos a medir es mayor que tres ángulos rectos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134


10

Traza con el transportador cuatro ángulos de85º, 125º, 140º y 155º. Dibuja sus ángulos suplementarios y calculasus medidas.

Expresa en segundos:

a) 35º 47’ 49”b) 46º 52’ 16”c) 140º 25’ 37”d) 85º 21’ 4”

Expresa de forma compleja:

a) 177.978”b) 522.987”c) 413.368”d) 148.332”

Relaciona las medidas iguales.

24º 32’ 15” 116.500”32º 21’ 40” 148.339”41º 12’ 19” 55.235”15º 20’ 35” 88.335”

Calcula:

a) 27º 42’ 38” � 43º 35’ 27”b) 136º 18’ 23” � 53º 26’ 48”c) 151º 15’ 26” � 89º 49’ 21”d) 93º 37’ 41” � 35º 9’ 43”

Halla los ángulos complementarios.

a) 34º 18’ 45” c) 43º 28’ 33”b) 62º 23’ 12” d) 29º 52’ 37”

Halla los ángulos suplementarios.

a) 103º 45’ 23” c) 45º 34’ 47”b) 73º 32’ 54” d) 127º 19’ 49”

14

13

12

11

10

9

8 En un triángulo rectángulo un ángulo mide 45º46’ 15”. ¿Cuánto miden los otros dos?

En un triángulo isósceles uno de los ángulosiguales mide 54º 30’. ¿Cuánto miden los otrosdos ángulos del triángulo?

¿Cuáles de las siguientes parejas de ángulosson suplementarios?

a) 54º 31’ 23” y 124º 28’ 27”b) 151º 24’ 56” y 28º 35’ 4”c) 135º 24’ 38” y 44º 35’ 22”

Calcula el cuarto ángulo en cada caso.

Cuadrilátero ABCD: A � 38º 26’ 45”B � 75º 42’ 36”C � 140º 53’ 28”D � ?

Cuadrilátero EFGH: E � 27º 15’ 18”F � 80º 26’ 42”G � 156º 47’ 39”H � ?

Mide los ángulos de estos cuadriláteros y com-prueba que su suma da 360º.

Mide los siguientes ángulos, cópialos en tu li-breta y dibuja su suplementario.

20

19

18

17

16

15

135

a) b) c) d)


Escribe el número anterior y el posterior decada uno de los siguientes.

a) 2.359.999b) 236.000.009c) 243.900d) 15.999.999e) 501.999


Escribe los números que faltan para que lasoperaciones sean correctas.

a) (12 � 6) : . . . . . . . � 5 � 30b) 25 � . . . . . . . � 3 � 6 � 19c) 12 � (25 � 5) : . . . . . . . � 17d) 8 � . . . . . . . � 6 � 5 � 2

Calcula y expresa en forma de una sola poten-cia los casos en que sea posible.

a) 2 � 2 � 2b) 3 � 3c) 5 � 5 � 5d) 4 � 4 � 4 � 4

Escribe los múltiplos de 9 comprendidos entre2.000 y 2.100.

Completa los divisores del número 72.

D(72) � {1, 2, . . . ., 4, 6, . . . ., 9, 12, 18, . . . ., 36, 72}

¿Cuál es el menor número que añadirías a es-tos números primos para que sean múltiplosde 3?

a) 37 b) 139 c) 491 c) 709

7

6

5

4

3

Minuendo Sustraendo Diferencia

43.612,25 12.978,84

234,67 23,189

3.123.256 456.892,341

2

1

Calcula el 10 % de estos números.

a) 350 e) 20.000 b) 75 f) 12,8 c) 1.000 g) 480 d) 125 h) 215,20

Calcula el 20 % de estos números.

a) 525 b) 4.000 c) 320 d) 105

En una biblioteca de 300 ejemplares, el 10 %son de poesía y el 20 % son novelas.¿Cuántos libros hay de cada clase?

14

13

12


cálculo mental

136

Transforma estas fracciones en números mix-tos.

a) c)

b) d)

Escribe dos fracciones equivalentes por ampli-ficación y dos más por simplificación para cadauna de las siguientes.

a) b) c)

Completa:

Calcula hasta las milésimas:

a) 7 : 245 b) 628,2 : 175 c) 432 : 5,71

11

10

2842

1060

2472

9

4112

7320

4817

15713

8

Porcentaje FracciónFracción

irreducibleNúmero decimal

50 % 50/100

13 %

24/100

0,44



137

10

Escribe la pregunta correspondiente a estosproblemas y resuélvelos.

a) Se ha repartido una herencia de 72.000 €

entre tres hermanos. Al segundo le ha correspondido el doble que al primero y altercero, el triple.

b) He pagado en el supermercado con dos bi-lletes de 20 €, tres de 10 € y cuatro de 5 €,y me han devuelto seis monedas de 2 € ytres de 50 céntimos.

c) Noelia ha ido con sus tres hermanos a pati-nar. Ha pagado 28,5 € por las entradas ypor el alquiler de los patines. Si el alquilercuesta 2 € y medio...

d) Se querían envasar 36 l de leche y dispo-

nían de 3 docenas de botellas de 1 l,pero se ha roto un tercio.

Los huevos producidos en una granja puedenagruparse en decenas y en docenas sin quesobre ninguno, pero no de 9 en 9. ¿Cuántoshuevos hay si sabemos que su cantidad es in-ferior a 150?

Laura tiene 80 caramelos y Mario, 88, y quierenagruparlos en bolsas sin mezclarlos y con lamayor cantidad posible en cada una. ¿Cuántoscaramelos habrá en cada bolsa? ¿Cuántas bol-sas llenarán en total?

3

2

12

1 Ana ha vendido 2 pollos de 1 kg cada uno,

4 de 1 kg y 6 de 1 kg. ¿Cuántos kilos

de carne de pollo ha vendido?

Juan ha completado 11/15 de un trabajo y Pedro, 15/16. ¿Cuál de los dos ha trabajadomás? ¿Cuánto más?

Cinco compañeros han finalizado un trabajo de120 folios en grupo: uno ha redactado 1/3;otro, 1/6, y los otros tres, el resto en partesiguales. ¿Cuántos folios ha redactado cadauno?

Un pintor ha pintado 3/7 de un piso y otro, los2/3 del resto. ¿Qué parte queda por pintar?

La casa de Ismael está a 2,55 km del colegio.Si cada día efectúa 4 viajes, ¿cuánto habrá re-corrido en tres semanas de clase?

Elena ha comprado 13 libros por valor de94,25 €. ¿Cuál es el precio de cada libro si lehan hecho un descuento de 0,75 € por cadaunidad? ¿Cuánto dinero se ha ahorrado?

¿Cuántas porciones de 45º pueden hacerse enun pastel circular? Expresa dos de estas partes en forma de frac-ción.

10

9

8

7

6

5

14

34

12

4


Soy capaz

138


Representa las siguientes fracciones y exprésalas en números mixtos.

a) b) c) d) e)

Pinta un cuarto de cada figura e indica la fracción correspondiente. ¿Cómo son estas fracciones?

— Escribe tres fracciones equivalentes a las anteriores en las que los denominadores sean los números100, 128 y 244.

Busca la fracción irreducible en cada caso.

a) b) c)

Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor y clasifícalas en propias e impropias.

, , , , , ,

Calcula:

a) � 7 � b) � � 3 c) � : 4 d) : �

Completa:7

714

48

75

79

211

207

23

310

45

6

75

2116

23

254

115

78

56

5

324360

56392

60180

4

3

96

144

1210

165

52

2

1

Fracción Se lee Como cociente

5/6

8/8

9/4

2/11

Porcentaje Fracción Fracción irreducible Número decimal

13 %

25 %

40 %


139

¿Cuál es el precio actual de un televisor que el año pasado costaba 585 € y este año ha tenido un in-cremento del 8 %?

Escribe los siguientes números y ordénalos de mayor a menor.

a) ciento treinta y cinco unidades y cuatrocientas treinta y nueve milésimasb) doscientas ocho unidades y trece milésimasc) ciento treinta y cinco unidades y cuatro décimas

Sitúa sobre una recta numérica.

5,5 - 6,02 - 6,2 - 5,85 - 6,12 - 5,9 - 6,4 - 6,49

Calcula:

a) 4,785 � 0,009 � 24,765 � 125 c) 567,2 � 5,678b) 23.568 � 4.567,312 d) 384 � 6,079

Completa esta serie.

Calcula y comprueba el resultado.

a) 6.275 : 309 b) 346 : 6,28 c) 567,72 : 0,248

He comprado 6 kg de naranjas, 1 lote de 10 botellas de 1 l de le-che, 200 g de jamón y media docena de huevos, y he pagado conun billete de 50 €. ¿Cuántas cajas de medicamento podré com-prar con el cambio en la farmacia si cada una vale 4,75 €? Apro-xima las cantidades a la unidad.

Completa:

a) 22º 4’ 8” � . . . . . . . . . . . . . . . . .” b) 100.800” � . . . . . . . . . . . . . . . . .º c) 32º 36” � . . . . . . . . . . . . . . . . .” d) 2.100’ � . . . . . . . . . . . . . . . . .”

Escribe la expresión compleja.

a) 23.564” b) 3.468’ c) 124.567”

Calcula:

a) 42º 25’ 36” � 9º 40’ 18” c) 35º 36” � 12º 14’ 20”b) 56º 33” � 23º 12’ 56” d) 44º 12’ 51” � 39º 23’ 59”

Uno de los ángulos de un rombo mide 65º. ¿Cuánto miden los otros tres? 18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

2,34.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� 100 � 1.000: 10 : 100 : 100 : 100

Naranjas → 1,95 €/kgLeche → 1,04 €/lJamón → 41,85 €/kgHuevos → 2,30 €/docena


Números enteros. Coordenadas cartesianas11

Rincón del ingenioCompleta las casillas vacías del triángulo con losnúmeros del 1 al 9. La suma de cada uno de los lados del triángulo tiene que ser 20.Una pista: si sumas los números de los vértices,¡el resultado es 15!

140

a) ¿Cuántas plantas tiene el centro comercial?¿En qué planta se encuentran Laura y su pa-dre?

b) ¿Cuántas plantas tienen que subir si quieren ira la zapatería? Y si luego quisieran ir al super-mercado, ¿cuántas plantas tendrían que bajar?

c) ¿En qué otras ocasiones has visto númerosacompañados del signo �?

Para empezar

PLANTA 2: JóvenesPlanta Sección

4 Zapatería3 Niño - Niña - Bebé2 Jóvenes1 Mujer - Hombre0 Complementos de moda�1 Supermercado�2 Aparcamiento


Aprende a multiplicar cualquier número por 0,5:

— Calcula mentalmente estas operaciones.

a) 9 � 0,5 i) 13 � 0,5b) 6 � 0,5 j) 21 � 0,5c) 5 � 0,5 k) 12 � 0,5d) 7 � 0,5 l) 25 � 0,5e) 8 � 0,5 m) 43 � 0,5f) 4 � 0,5 n) 60 � 0,5g) 2 � 0,5 ñ) 15 � 0,5h) 63 � 0,5 o) 37 � 0,5


a) Natalia compra 0,5 kg de jamón dulce quecuesta 13 € el kilo. ¿Cuál será el importe desu compra?

b) También compra 0,5 kg de mortadela a 18 €el kilo y 0,5 kg de queso a 19 € el kilo.¿Cuánto le cuesta en total la mortadela y elqueso?

c) Finalmente, compra medio kilo de limones ymedio kilo de nueces. Si el kilo de limonescuesta 2 € y el kilo de nueces vale 9 €,¿cuánto pagará en total por estos dos ali-mentos?

21

141

En esta unidad

Cálculo mental

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros: negativos y positivos

Representación sobre la recta

Ordenación y comparación

Sumas y restas de números enteros sobre la recta

COORDENADAS CARTESIANAS

Coordenadas de un punto en el plano

Conceptos clave

Número entero, número positivo, número negativo,plano, coordenada.

3 � 0,5 � 3 � 5 : 10

15 : 10 � 1,5

15 � 0,5 � 15 � 5 : 10

75 : 10 � 7,5


Los números enteros: negativos…

142

Activ

idad

es

Lee las siguientes situaciones y fíjate en cómo se expresan.

Los números negativos son los números naturales precedidos por el signo menos.Se leen nombrando la palabra menos antes del número.

�

Explica dos situaciones en las que puedan utilizarse números negativos.

¿Cuáles de estos números son negativos? Escribe cómo se leen.

7.000; �3.526; 68; �5.157; �45; 687

Escribe con números las temperaturas de estas ciudades en el mes de enero.

Unos mineros perforan un pozo durante cinco días y cada día bajan 3 metros. Indica a qué profundidadhan llegado al finalizar cada uno de los días trabajados.

6

5

4

3

En todos estos casos, se han utilizado los números naturales con el signo menos delante. Son los númerosnegativos.

Teruel Helsinki Moscú Pekín Montreal Nueva York

Doce bajo cero Once bajo cero Veinte bajo cero Cinco bajo cero Diez bajo cero Cuatro bajo cero

La Fosa de las Marianas está bajo el nivel del mar, a11.034 m de profundidad.

Roma se fundó el año 753 a. C.

Un submarino navega a 500 m de profundidad.

La cuarta galería de la minaestá a 87 metros de

profundidad.

La temperatura en el refugiode montaña es de 7 grados

bajo cero.

El aparcamiento del centrocomercial está en el cuarto

sótano.

�11.034 m año �753 �500 m

�87 m �7 ºC planta �4


… y positivos

143

Fíjate en estas situaciones.

La altura sobre el nivel del mar delescalador se expresa con un númeropositivo: 5 m.

El nivel del mar es el 0.

La profundidad alcanzada por el buzo seexpresa con un número negativo: �5 m.

Activ

idad

es Expresa estas situaciones con el número que corresponda.

a) La temperatura de ebullición del agua es de cien grados.b) La profundidad del mar Muerto es de setecientos noventa metros.c) La altura del Everest es de ocho mil ochocientos cuarenta metros.d) Platón nació en el año 427 antes de Cristo.e) La perfumería está en la planta baja.f) El avión vuela a diez mil metros de altura.

Escribe una situación que pueda expresarse con cada uno de estos números enteros.

a) �15 c) �24 e) 0 g) �30b) �45 d) �135 f) �54 h) �32

Carla y sus amigos van a unos grandes almacenes. Víctor va a la quinta planta; Conchita, a la séptima;Mercedes, al tercer sótano; Raquel, a la octava planta; Hugo, al segundo sótano, y Carla, a la plantabaja. Escribe con un número entero la planta a la que va cada uno.

9

8

7

11

Los números positivos pueden escribirse con el signo más o sin él: �5 ó 5.

El número 0 no es positivo ni negativo.

Los números negativos, el 0 y los números positivos (o naturales) forman el conjunto de los númerosenteros. Los números enteros son infinitos en dos direcciones opuestas: la positiva y la negativa.

�

�5 m

0 m

5 m


Representación sobre la recta de números enteros

144

Activ

idad

es Representa los siguientes números enteros en una recta numérica.

¿Qué números corresponden a las letras de esta recta numérica?

En un refugio de montaña, la temperatura osciló entre �6 ºC y �8 ºC. Representa estas temperaturasen la recta numérica.

— Indica si estas temperaturas están entre las anteriores.a) 0 ºC b) �10 ºC c) �4 ºC d) �5 ºC e) �1 ºC

Representa estos números en una recta numérica.

a) �6 b) �1 c) �4 d) �10— Escribe, de cada uno de los números anteriores, en rojo el número

anterior y en azul el número posterior.

Escribe, en cada caso, todos los números enteros.

a) Mayores que �4 y menores que �3.b) Menores que �4 y mayores que �5.

14

13

12

11

�7 �9 �5 0 �11 �4 �7 �12 �8

10

En una recta numérica, los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero y los enterosnegativos a la izquierda del cero.

�

Fíjate en los pasos que debemos seguir para representar los números enteros en una recta.

1. Dibujamos una recta y marcamos un punto cualquiera que señalamos como 0.

2. A la derecha del cero, a distancias iguales, se van señalando los números positivos.

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negati-vos.

A B �3 C 0 D E F

�5 �4 �3 �2 �1 �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �80

0

Números enteros negativos Números enteros positivos

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Ordenación y comparación de números enteros

145

Activ

idad

es Representa en la recta numérica los siguientes números enteros y ordénalos de menor a mayor.

�6, �4, �1, �5, �2, �3, �10, �7, �12

Escribe de forma ordenada los números enteros comprendidos entre cada pareja de números.

a) �9 y �1 b) �5 y �3 c) �7 y �2 d) �1 y �4

Coloca el signo < o > entre estos pares de números enteros.

Éstas han sido las temperaturas durante una semana. Fíjate en ellas y contesta a las preguntas.

a) ¿Qué día tuvo la temperatura más baja? ¿Y la más alta?b) ¿Cuál fue la máxima del miércoles? ¿Y la mínima? c) ¿Qué día fue el más frío?

18

�1 .. . . �6�4 .. . . �5�2 .. . . 03 .. . . �32 .. . . �4�5 .. . . 3

17

16

15

11

En la recta numérica los números están ordenados de menor a mayor, de izquierda a derecha. Al comparar dos o más números, es menor el que está representado más a la izquierda en la recta numérica.

�

Cuando se representan los números enteros en la recta numérica, quedan ordenados de menor a mayor.Cada número es mayor que el anterior y menor que el siguiente. Observa:

�5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 60

El número �3 está a la izquierda en la recta. Por lo tanto, es menor que �2.

�3 < 2

El número �5 está a la izquierda de �3 en la recta. Por lo tanto, es menor que �3.

�5 < �3

El valor de los números enteros aumenta de izquierda a derecha en la recta numérica.

… �5 < �4 < �3 < �2 < �1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 …

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Mínima �4 �2 �6 �10 �2 �3 �7

Máxima �9 �9 �2 �1 �7 �9 �10


Sumas y restas sobre la recta

146

Activ

idad

es Resuelve estas operaciones sobre una recta numérica.

a) (�5) � 8 c) (�7) � 8b) (�7) � 3 d) 5 � (�5)

Fernando vive en un quinto piso. ¿Qué botón del ascensortiene que pulsar si quiere bajar 7 plantas?

Un batiscafo está a una profundidad de 600 m. Si ascien-de 250 m, ¿a qué distancia de la superficie se encuentra?

21

20

19

Fíjate en cómo resolvemos sumas y restas de números enteros sobre la recta numérica.

— Para sumar a un entero negativo un número positivo, nos colocamos sobre el primer sumando y avanza-mos tantas unidades como indica el segundo sumando.

(�5) � 4

(�5) � 4 = �1

Podemos utilizar la recta numérica para sumar y restar números enteros. �

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4�0* *

— Para sumar a un entero negativo otro entero negativo, nos colocamos sobre el primer sumando y retro-cedemos tantas unidades como indica el segundo sumando.

(�1) � (�4)

(�1) � (�4) = �5

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4�0* *

— Para restar dos números positivos, partimos del minuendo y retrocedemos tantas unidades como indicael sustraendo.

(�3) � (�5)

(�3) � (�5) = �2

�7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4�0 **


Activ

idad

es Representa estos puntos en unos ejes de coordenadas.

A (�3, 1) B (4, �2) C (�3, �3) D (2, 4) E (�1, �4)

Escribe las coordenadas de estos puntos.

Sitúa estos puntos en unos ejes de coordenadas y, después, únelos. ¿Qué figura se ha formado?

A (�1, 2) B (2, 3) C (4, 0) D (1, �2) E (�2, �1)

24

23

22

147

Para expresar la situación de un punto en el plano, utilizamos las coordenadas. Observa:

1. Trazamos dos ejes perpendiculares, uno vertical y otro horizontal, que se cortan en un punto que llama-mos origen. El plano queda dividido en cuatro cuadrantes.

2. En el eje horizontal, situamos los números enteros positivos a la derecha del origen y los negativos a la iz-quierda.

3. En el eje vertical, situamos los números positivos por encima del origen y los negativos por debajo.

Fíjate en la situación de estos puntos.

— Cada punto en el plano está determinado por unpar de números enteros.

— El primer número señala su situación en el eje ho-rizontal y el segundo, su situación en el eje verti-cal.

A (3, 3)B (�2, 4)C (5, �3)D (�3, �5)

El origen se representa con el par (0, 0).

11

En un sistema de coordenadas en el plano, a cada punto le corresponden dos coordenadas: la primeracorresponde al eje horizontal y la segunda, al eje vertical.

�

Coordenadas de un punto en el plano

C B

AD

4

3

2

1

�6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

�1

�2

�3

�4

�5D

C

A

B


Para acabar

Indica si el ascensor sube o baja, y el númerode pisos que varía.

a) De la planta �3 a la planta �1.b) De la planta �2 a la planta baja.c) De la planta 3 a la planta �3.d) De la planta �4 a la planta 5.

En una ciudad la temperatura mínima es de�12 ºC y la máxima de �8 ºC. ¿Cuál es la va-riación de la temperatura ese día?

Dibuja un termómetro en tu libreta, marca es-tas temperaturas y escribe su variación.

a) Marcaba �3 ºC y ahora marca �3 ºC.b) Por la mañana, marcaba �4 ºC y, por la tar-

de, �15 ºC.c) Un día marcaba �5 ºC y al día siguiente

�2 ºC.

4

3

2

Responde a estas preguntas para repasar la unidad.1

Completa la tabla con los signos <, �, >, si-guiendo el ejemplo.

Comprueba estas operaciones en una rectanumérica y corrige las incorrectas.

a) (�10) � 5 � 0 c) (�8) � 3 � �5b) (�6) � 5 � �1 d) (�5) � 9 � �4

6

5

148

a) ¿Son negativos todos los números enteros?

b) ¿Cómo se leen estos números enteros?

�12 �7 �5 0 �2 �9

c) ¿Dónde se representan en la recta numérica los números positivos?

d) Entre dos números negativos, ¿cuál es el mayor?

e) ¿Menos 5 es mayor que más 2?

f) ¿En cuántos cuadrantes dividen el plano los ejes de coordenadas?

g) ¿Cuál es el nombre de cada uno de los dos ejes de coordenadas?

h) ¿Cómo expresamos la situación de un punto en el plano?

i) ¿Qué par de números enteros representa el origen de coordenadas?

j) ¿En qué eje está el punto (�3, 0)?

k) ¿En qué eje se encuentra el punto (0, �3)?

�3 �5 �4 �10

�1 �1 > �3

�6 �6 < �5

�4

�7

�8


149

11

Escribe el número que corresponde a la situa-ción de cada elemento del dibujo.

Escribe el número anterior y el posterior encada caso.

a) . . . . . . . . . . �5 .. . . . . . . . . d) . . . . . . . . . . �7 .. . . . . . . . .

b) . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . e) . . . . . . . . . . �2 .. . . . . . . . .

c) . . . . . . . . . . �3 .. . . . . . . . . f) . . . . . . . . . . �11 .. . . . . . . . .

Efectúa estas operaciones y ordena los resulta-dos de menor a mayor.

a) (�8) � 5 d) (�6) � 12b) (�4) � 8 e) (�4) � 10c) (�15) � 9 f) (�11) � 7

Sin resolver la operación, indica si el resultadoserá positivo o negativo.

a) (�40) � (�50) c) (�60) � (�75)b) (�28) � (�35) d) (�100) � 140

Partes del séptimo piso, bajas al tercer sótanoy subes cuatro pisos. Elige la operación que re-presenta esta situación.

a) (�10) � 7 � 4b) 7 � (�10) � 4c) (�7) � 10 � (�3)

11

10

9

8

7 Un submarino está a una profundidad de500 m, realiza una maniobra y asciende 350 m. ¿A qué distancia de la superficie estáahora?

Si entraras en la máquina del tiempo y retroce-dieras 2.250 años, ¿en qué año estarías?

Indica en cada caso en qué punto terminas siempiezas en el punto 0.

a) Retrocedes 5 pasos y avanzas 3.b) Avanzas 12 pasos y retrocedes 9.c) Avanzas 6 pasos y retrocedes 4.d) Retrocedes 8 y avanzas 6.

La escritura apareció en Mesopotamia hacia elaño 3000 a. C. Exprésalo como un número en-tero y calcula cuántos años han transcurridohasta ahora.

Completa:

a) . . . . . . . . . . � (�6) � 11b) (�8) � . . . . . . . . . . � 4c) .. . . . . . . . . � (�5 ) � �3d) (�7) � . . . . . . . . . . � �14

Representa estos puntos en los ejes de coor-denadas.

A (�5, 3) D (4, �2)B (�1, �4) E (3, �1)C (2, 2) F (�3, 6)

Completa los ejes de coordenadas y escribelas coordenadas de los puntos dibujados.

18

17

16

15

14

13

12

6

5

4

3

2

1

0

�1

�2

�3

�4

�5

AB

C

DE

F


Escribe el número anterior y el posterior encada caso.

a) 2.000.999b) 15.200.000c) 2.349.999d) 45.001.000e) 45.099.099

Aproxima a la unidad indicada y expresa el re-sultado en potencias de base 10.

a) 345.632 (aprox. a um)b) 12.345.896 (aprox. a dM)c) 45.899.652 (aprox. a dm)d) 125.897.453.002 (aprox. a dmM)

Calcula:

Calcula estas raíces cuadradas. Algunas deellas son aproximadas.

a) ��148 d) ��900b) ��120 e) ��169c) ��91 f) ��10.000

Busca todos los números divisibles por 2 y por9 entre el 200 y el 400.

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. en cada caso:

a) 125 y 168b) 360 y 588

Calcula:

a) 3/11 de 143 lb) 4/5 de 625 g c) 7/3 de 248 kmd) 9/10 de 685 cle) 8 % de 560 €

7

6

5

4

a) (3,4 � 5,2) � 5,6b) 7 : 4 � (8 � 11 : 2)c) 5,3 � 7,02 � 6,4 � 3,027d) 1,8 � (4,05 � 0,5) � 12,9 : 3

3

2

1

Calcula:a) 122 � 0,5 d) 364 � 0,5b) 0,5 � 1.248 e) 0,5 � 3.004c) 22.222 � 0,5 f) 46.816 � 0,5

¿Cuántos euros costarán 248 gomas sicada una cuesta 50 céntimos?

Si 14 libros me cuestan 84 € y por gastosde envío tengo que pagar 0,5 € más porcada uno, ¿cuánto tendré que pagar en to-tal?

15

14

13


cálculo mental

Calcula el término que falta y expresa el resul-tado en forma de fracción irreducible.

a) � � c) � 3 �

b) � � d) : �

Completa:

Ordena los siguientes números y sitúalos enuna recta numérica.

a) 2,3 c) e) �2

b) �7 d) 2 f) 1,5

Expresa en forma compleja:

a) 29.503º b) 13.658’

Calcula:

a) 23º 34’’ � 16º 12’ 58’’b) 54º 12’ � 35º 34’ 42’’

12

11

35

75

10

9

45

58

29

67

94

56

23

8

150


92 2,75 0,12

2.335,5 135 0

1.474 0,628



151

11

Selecciona el planteamiento correcto y resuel-ve estos problemas.

a) Un señor, para pagar una deuda de3.500 €, ha hecho 3 entregas de 650 €

cada una y 4 más de 125 € cada una.¿Cuánto le queda por pagar?

• 3.500 � (650 � 125) � (4 � 3)• 3.500 � 650 � 4 � 125 � 3• 3.500 � (3 � 650 � 4 � 125)

b) Un tren ha recorrido 690 km en 6 horas.¿Cuánto recorrerá en 8 horas si va siemprea la misma velocidad?

• 690 : 6 � 690 : 8• 690 : (8 � 6)• (690 : 6) � 8

c) Un empleado gana 7,5 € cada hora. ¿Cuán-to gana en un día si empieza a las 8 de lamañana y termina a las 3 de la tarde?

• (8 � 3) � 7,5• (15 � 8) � 7,5• (12 � 8 � 3) � 7,5

d) En 5 plazas de una ciudad se han plantadogeranios. Se han comprado 25 cajas con 25macetas cada una, pero una caja se ha es-tropeado. ¿Cuántas macetas se han usado?

• 5 � 25 � 25 � 25• 252 � 25• 5 � 24

¿Cómo podemos distribuir 48 figuritas en es-tantes rectangulares?

El ángulo no igual de un triángulo isóscelesmide 53º 15’ 32’’. ¿Cuánto miden los otrosdos?

3

2

1 El número de alumnos de un colegio está com-prendido entre 750 y 850, y se pueden formargrupos de 16, 20 y 25 sin que sobre ninguno.¿Cuántos alumnos hay?

Resuelve estos problemas con ayuda de su re-presentación gráfica.

a) De 8 decenas de helados, 4/5 son de fresa.¿Cuántos no son de fresa?

b) Los 2/7 de los helados que tenemos (21 he-lados) son de vainilla. ¿Cuántos helados te-nemos?

c) Se han vendido las 3/5 partes de una colec-ción de libros y aún quedan 60 libros. ¿Decuántos libros constaba la colección?

De los 200 viajes que realiza un avión men-sualmente, el 38 % son a Europa, el 29 % aAmérica, el 21 % a Asia y el resto a África.¿Cuántos viajes efectúa a cada continente?

En el reloj, la aguja del minutero está en el 12 yforma un ángulo de 210º con la aguja horaria.¿Qué hora es?

He sacado del congelador un caldo que esta-ba a �6 ºC y al calentarlo la temperatura ha su-bido 65 ºC. ¿Qué temperatura ha alcanzado elcaldo?

Una avioneta vuela a 400 m por encima del ni-vel del mar y un submarino navega a 1.200 mpor debajo del nivel del mar. ¿Qué distancia lessepara?

9

8

7

6

5

4


Longitud, masa y capacidad.Superficie12

Rincón del ingenio¿Cuántos cuadrados hay en cada una de estas fi-guras?

a) b)

a) Si la mesa mide 2,5 metros de largo y cada unode los dos manteles mide 1,15 m de largo, ¿se-rán suficientes para cubrir la mesa?

b) Se necesitan 3,5 kg de bocadillos y han llegadodos bandejas de 750 g cada una. ¿Cuántasbandejas faltan?

c) ¿Cuántas latas de 33 cl de refresco necesitare-mos para llenar una jarra de litro y medio?

Para empezar

152


Aprende a multiplicar un número por 0,25:

— Calcula mentalmente estas operaciones.

a) 9 � 0,25 i) 11 � 0,25b) 2 � 0,25 j) 21 � 0,25c) 5 � 0,25 k) 12 � 0,25d) 8 � 0,25 l) 13 � 0,25e) 4 � 0,25 m) 19 � 0,25f) 7 � 0,25 n) 50 � 0,25g) 1 � 0,25 ñ) 25 � 0,25h) 6 � 0,25 o) 60 � 0,25


a) Si se necesitan 0,25 g de harina para elabo-rar un cruasán, ¿cuántos gramos son nece-sarios para elaborar 23 cruasanes?

b) Si un vaso de zumo de naranja contiene 0,25 l, ¿cuántos litros habrá en total en 18vasos?

c) Si se llenan 28 vasos de zumo de naranja yse consumen la mitad, ¿cuántos litros se ha-brán consumido?

21

153

En esta unidad

Cálculo mental

LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD

Unidades de longitud

Unidades de masa

Unidades de capacidad


SUPERFICIE

Área de una figura

Unidades de superficie

Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado

Relación entre las unidades de superficie

Unidades agrariasConceptos clave

Longitud, masa, capacidad, superficie, expresióncompleja, expresión incompleja.

3 � 0,25 � 3 � 25 : 100

75 : 100 � 0,75

15 � 0,25 � 15 � 25 : 100

375 : 100 � 3,75


Unidades de longitud

154

Activ

idad

es

Para medir distancias, utilizamos las unidades de longitud.

El metro es la unidad principal. Con frecuencia usamos unidades mayores o menores que el metro, son losmúltiplos (km, hm, dam) y los submúltiplos (dm, cm, mm).

Los múltiplos del metro son: decámetro, hectómetro y kilómetro.Los submúltiplos del metro son: decímetro, centímetro y milímetro.

�

Clasifica los siguientes elementos según se mida su longitud en cm, m o km.

a) un pie c) un árbol e) un bolígrafo b) un saltamontes d) una casa f) el perímetro del patio

Expresa cada una de estas longitudes en km, m y mm.

a) 5 dam b) 28 dm c) 102 hm d) 326 cm e) 54 dam

Transforma en metros estas longitudes y ordénalas de menor a mayor.

a) 27 hm b) 5 km c) 820 dm d) 46 dam e) 3.400 cm f) 547 m

5

4

3

Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como lu-gares haya entre ellas.

De hectómetros a centímetros: 9 hm → 9 � 100 → 900 cm

Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide entre la unidad seguida de tantos ceros como lu-gares haya entre ellas.

De decímetros a decámetros: 73 dm → 73 : 100 → 0,73 dam

12 km 7 m 30 cm

kilómetrokm

hectómetrohm

decámetrodam

metrom

decímetrodm

centímetrocm

milímetromm

1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

� 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

� 10 � 10 � 10 � 10 � 10


Unidades de masa

155

Para medir la cantidad de materia, utilizamos las unidades de masa.

La unidad principal de masa es el kilogramo, aunque el gramo es una de las más usadas. Recuerda los múltiplos (kg, hg, dag) y los submúltiplos (dg, cg, mg) del gramo:

Activ

idad

es Indica la unidad más adecuada para medir la masa en cada caso.

a) bolsa de naranjas c) azúcar para pastel e) camiónb) grano de arroz d) folio f) teléfono móvil

Completa:

a) 83 kg � . . . . . . . . . . . . . . . . . g d) 4,5 t � . . . . . . . . . . . . . . . . . kg g) 26 mg � . . . . . . . . . . . . . . . . . dgb) 4 q � . . . . . . . . . . . . . . . . . hg e) 8,54 kg � . . . . . . . . . . . . . . . . . dag h) 12 dag � . . . . . . . . . . . . . . . . . kgc) 45 mg � . . . . . . . . . . . . . . . . . g f) 9,5 kg � . . . . . . . . . . . . . . . . . t i) 21 hg � . . . . . . . . . . . . . . . . . dg

En una frutería, se venden estos productos: bolsas de manzanas de 450 g, bolsas de naranjas de 650 g, medio melón de 1 kg 200 g, bolsas de ciruelas de 350 g y bolsas de peras de 400 g. Belén selleva tres productos que pesan en total 1 kg 400 g. ¿Qué ha comprado?

8

7

6

12

— Existen otros múltiplos del gramo, como el quintal (q) y la tonelada (t).

Para pasar de una unidad a otra, se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugareshaya entre ellas.

De decagramos a centigramos: 1,2 dag → 1,2 � 1.000 → 1.200 cg

De miligramos a decagramos: 70,2 mg → 70,2 : 10.000 → 0,0702 dag

Los múltiplos del gramo son: decagramo, hectogramo, kilogramo, quintal y tonelada.Los submúltiplos del gramo son: decigramo, centigramo y miligramo.

�

kilogramokg

hectogramohg

decagramodag

gramog

decigramodg

centigramocg

miligramomg

1.000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

� 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

� 10 � 10 � 10 � 10 � 10

q � 100 kg

t � 1.000 kg

1 q 3 t


Unidades de capacidadPara medir lo que ocupa un cuerpo en el espacio utilizamos las unidades de capacidad.La unidad principal de capacidad es el litro. Para medir cantidades mayores o menores que el litro, utiliza-mos sus múltiplos (kl, hl, dal) y los submúltiplos (dl, cl, ml).

Activ

idad

es

Los múltiplos del litro son: decalitro, hectolitro y kilolitro.Los submúltiplos del litro son: decilitro, centilitro y mililitro.

�

Completa las igualdades con la unidad que corresponda.

a) 27 kl � 270.000 .. . . . . . c) 153 l � 0,153 .. . . . . . e) 25 ml � 0,0025 .. . . . . .

b) 83,5 dal � 0,835 .. . . . . . d) 23,6 dal � 23.600 .. . . . . . f) 65 hl � 65.000 .. . . . . .

Expresa las siguientes capacidades en litros, hectolitros y mililitros.

a) 25 kl b) 34 cl c) 226 dl d) 56 dal e) 4,5 kl f) 32,7 dl

Ordena de menor a mayor:

56,34 dl - 12,7 hl - 8 dal - 76 cl - 8,25 kl - 765 ml

Si Rosa bebe 2 litros de agua diarios, ¿cuántos días tardará enbeber 12 botellas de 1 litro?

Nicolás compra las siguientes bebidas para una fiesta: 6 latasde 33 cl de cola, 6 botellas de 1/2 litro de agua mineral, 3 bo-tellas de litro y medio de refresco de naranja, dos botellas de1 litro de refresco de limón y una botella de zumo de piña de 3/4 de litro. ¿Cuántos litros de bebida ha comprado?

13

12

11

10

9

Para pasar de una unidad a otra, se multiplica o divide por la unidad seguida de tantos ceros como lugareshaya entre ellas.

De centilitros a mililitros: 1,32 cl → 1,32 � 10 → 13,2 ml

De litros a kilolitros: 32 l → 32 : 1.000 → 0,032 kl

kilolitrokl

hectolitrohl

decalitrodal

litrol

decilitrodl

centilitrocl

mililitroml

1.000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

� 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

� 10 � 10 � 10 � 10 � 10

156



157

Activ

idad

es Escribe en forma compleja:

a) 234,78 l c) 650,4 dam e) 3.618,2 dg g) 5.004,6 mb) 7,543 kl d) 256,3 hm f) 1.467,6 kg h) 431,5 dl

Expresa en foma incompleja:

a) 6 km 5 hm 4 m 6 dm c) 5 hl 4 l 6 dl 7 ml e) 4 t 3 q 6 kg 5 dagb) 8 kg 6 hg 4 dag 5 dg d) 8 km 6 dam 7 m 8 cm f) 5 kl 3 hl 6 dal 2 dl

15

14

12

Sigue estos pasos para transformar expresiones complejas en incomplejas, y viceversa.�

Podemos expresar las unidades de longitud, masa y capacidad utilizando varias unidades (expresión com-pleja) o una sola unidad (expresión incompleja).

Expresión compleja: 4 dal 5 l 7 cl

Expresión incompleja: 45,07 l

— Observa cómo se transforman las expresiones complejas en expresiones incomplejas, y viceversa.

De complejas a incomplejas

2 km 3 hm 5 m

Expresamos todas las medidas en la misma unidady sumamos las cantidades obtenidas.

2 km � 2.000 m3 hm � 300 m5 m � 5 m

2.305 m

2 km 3 hm 5 m � 2.305 m

De incomplejas a complejas

5.348 m

Como está expresado en metros, la cifra de lasunidades corresponde a los metros.

Escribimos las cifras, ordenadamente, en la tablade las unidades de longitud.

5.348 m � 5 km 3 hm 4 dam 8 m

7 kg 8 hg 3 dg

7 kg � 7.000 g8 hg � 800 g3 dg � 0,3 g

7.800,3 g

7 kg 8 hg 3 dg � 7.800,3 g

284,56 g

La cifra de las unidades corresponde a los gra-mos.

284,56 g � 2 hg 8 dag 4 g 5 dg 6 cg

km hm dam m

5 3 4 8

hg dag g dg cg

2 8 4 5 6


Área de una figura

158

Activ

idad

es Tomando un rectángulo de la cuadrícula como unidad de medida, calcula el área de cada figura.

Dibuja una cuadrícula y cuatro figuras que tengan distinta forma y la misma área.17

16

El área de una figura es la medida de su superficie.

Observa cómo calculamos y comparamos la superficie de las figuras coloreadas.

1. Necesitamos tener la misma unidad de medida. Tomamos como unidad el .

2. Contamos el número de coloreados en cada caso.

El área de la figura roja es 9 .

El área de la figura azul es 6 .

El área de la figura verde es 8 .

La figura roja tiene el área mayor y la verde la menor.

— En una misma superficie, si tomamos distintas unidades, el área varía. Observa:

El área de una figura es la medida de su superficie. Para comparar áreas, necesitamos utilizar la mismaunidad de medida.

�

Área: 29 Área: 14,5

A

B

C


Activ

idad

es Indica qué unidad de medida utilizarás para medir la superficie de:a) una bandeja d) un billete de 5 €b) la Península Ibérica e) un campo de baloncestoc) tu mesa en la clase f) la pantalla del ordenador

Elige la medida correcta en cada caso.

a) La superficie de la cubierta de un libro: A) 5,88 mm2 B) 5,88 dm2 C) 5,88 hm2

b) La superficie de un parque: A) 3 m2 B) 3 mm2 C) 30 km2

19

18

159

Para expresar el área de una figura, utilizamos las unidades de superficie.

La unidad básica de superficie es el metro cuadrado (m2), que es la superficie de un cuadrado que mide unmetro de lado.

Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado

Para medir superficies mayores y menores, utilizamos los múltiplos y los submúltiplos del metro cuadrado.

12

La unidad principal de superficie es el metro cuadrado.Los múltiplos del metro cuadrado son el kilómetro cuadrado (km2), el hectómetro cuadrado (hm2) y eldecámetro cuadrado (dam2).Los submúltiplos del metro cuadrado son el decímetro cuadrado (dm2), el centímetro cuadrado (cm2) y elmilímetro cuadrado (mm2).

�


3.620 km2 8 m2 45 cm2

Múltiplos del metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado

decámetro cuadrado (dam2) decímetro cuadrado (dm2)

hectómetro cuadrado (hm2) centímetro cuadrado (cm2)

kilómetro cuadrado (km2) milímetro cuadrado (mm2)



160

Relación entre las unidades de superficie

En una unidad de superficie cabe 100 veces la unidad inmediata inferior. Por eso, las unidades de superficieaumentan y disminuyen de 100 en 100.

Activ

idad

es Completa estas igualdades.

a) 2.300 cm2 � . . . . . . . . . . . . . dm2 c) 8.325,7 mm2 � . . . . . . . . . . . . . cm2 e) 6,27 km2 � . . . . . . . . . . . . . dam2

b) 46,5 hm2 � . . . . . . . . . . . . . cm2 d) 3.289 dm2 � . . . . . . . . . . . . . m2 f) 39.75,4 m2 � . . . . . . . . . . . . . km2

Transforma estas medidas de superficie en dm2 y ordénalas de menor a mayor.

Un jardinero planta 5 m2 de claveles, 0,6 m2 de margaritas, 0,4 m2 de rosales, 44 dm2 de lavanda y 32 dm2 de geranios. ¿Cuál es la superficie de jardín en la que se han plantado flores?

22

4,5 m2 - 67 hm2 - 527 cm2 - 0,8 dam2 - 0,034 km2 - 2.345 cm2 - 58,3 hm2

21

20

kilómetrocuadrado

km2

hectómetrocuadrado

hm2

decámetrocuadrado

dam2

metrocuadrado

m2

decímetrocuadrado

dm2

centímetrocuadrado

cm2

milímetrocuadrado

mm2

� 100

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100

� 100 � 100 � 100 � 100 � 100

Para pasar de una unidad de superficie a otra menor, se multiplica por 100, 10.000, 1.000.000…, segúnhaya uno, dos, tres… lugares de una unidad a otra. Para pasar de una unidad de superficie a otra mayor, se divide entre 100, 10.000, 1.000.000…, según hayauno, dos, tres… lugares de una unidad a otra.

�

Fíjate en estos ejemplos:

De km2 a dam2:

23 km2 → 23 � 10.000 → 230.000 dam2

De hm2 a m2:

5,3 hm2 → 5,3 � 10.000 → 53.000 m2

De cm2 a m2:

328 cm2 → 328 : 10.000 → 0,0328 m2

De dm2 a m2:

2,5 dm2 → 2,5 : 100 → 0,025 m2


161

Unidades agrarias

Fíjate en estas situaciones:

Un bosque de 20 hectáreas.

Se han plantado 240 áreas de olivos.

Hemos utilizado las unidades agrarias, que sirven para medir la superficie de campos y terrenos extensos.

La unidad principal de las medidas agrarias es el área (a). Su múltiplo es la hectárea (ha), que equivale a100 áreas, y su submúltiplo es la centiárea (ca), que es la centésima parte del área.

— Observa la relación que existe entre las unidades agrarias y las unidades de superficie.

Observa cómo pasamos de una unidad a otra.

De ha a a: De a a ha:4 ha → 4 � 100 → 400 a 12 a → 12 : 100 → 0,12 ha

De a a ca: De ca a a:3,5 a → 3,5 � 100 → 350 ca 250 ca → 250 : 100 → 2,5 a

Activ

idad

es Completa la tabla.


a) 87 km2 � . . . . . . . . . . . . . a c) 2,45 hm2 � . . . . . . . . . . . . . ca e) 259 m2 � . . . . . . . . . . . . . hab) 631 dm2 � . . . . . . . . . . . . . a d) 78,9 dam2 � . . . . . . . . . . . . . ha f) 857,9 cm2 � . . . . . . . . . . . . . ca

Un agricultor tiene un campo de 15 ha. Cada día puede arar con su tractor 75 a. ¿Cuántos días tarda-rá en arar todo el campo?

25

24

23

12

La medidas agrarias son la hectárea (ha), el área (a) y la centiárea (ca).ha � hm2 a � dam2 ca � m2

�

ha a ca

35

7

234

73,4

Unidades agrarias Unidades de superficie

hectárea (ha) � hectómetro cuadrado (hm2)

área (a) � decámetro cuadrado (dam2)

centiárea (ca) � metro cuadrado (m2)


Para acabar

Escribe la unidad más indicada para medir:

a) la longitud de un billete de autobúsb) el peso de un sobre de azúcarc) la longitud de una barra de pand) la capacidad del depósito de un coche

Indica la respuesta correcta en cada caso.

5 hm �

a) 5.000 m b) 500 m c) 50 m6 dm �

a) 0,06 m b) 0,6 m c) 0,006 m

3

2

Repasa la unidad y elige la respuesta correcta. 1

Expresa las longitudes de estos ríos en las uni-dades indicadas en la tabla.

4

162

a) Para medir la cantidad de materia, utilizamos:

a) metro b) litro c ) kilogramo

b) Una tonelada equivale a:

a) 500 kg b) 100 kg c) 1.000 kg

c) La expresión 7 km 5 hm 4 dam 8 m equivale a:

a) 7.548 km b) 754,8 dm c) 7.548 m

d) El múltiplo del metro cuadrado que ocupa la superficie de un cuadrado de 1 km de lado es el:

a) dam2 b) hm2 c) km2

e) El km2, el hm2 y el dam2 son múltiplos de las unidades de:

a) masa b) capacidad c) superficie

f) Para pasar de hm2 a m2 se multiplica por:

a) 100 b) 1.000 c) 10.000

g) Para pasar de dm2 a dam2 se divide entre:

a) 100 b) 1.000 c) 10.000

h) La superficie de un bosque que mide 15 ha es igual a:

a) 15 km2 b) 15 hm2 c) 15 m2

i) Siete centiáreas equivalen a:

a) 70 a b) 700 a c) 0,07 a

Nombre km hm m

Misisipí 3.770

Nilo 6.756

Volga 3.700

Amazonas 6.800

Amarillo 5.464


163

12

Expresa en t, kg y g cada una de estas canti-dades.

a) 56,8 hgb) 765,5 dgc) 23,8 dagd) 341,56 q

Completa:

a) 7,5 kl � . . . . . . . . . . . . . l b) 543 dl � . . . . . . . . . . . . . dalc) 31,7 cl � . . . . . . . . . . . . . ml d) 54,3 hl � . . . . . . . . . . . . . cle) 9,45 ml � . . . . . . . . . . . . . dal f) 9,65 dal � . . . . . . . . . . . . . l

Ordena de menor a mayor:

a) 19 dl - 3,7 l - 3,6 dal - 1.500 ml b) 2,5 dam - 5,3 hm - 2,9 km - 34 dm c) 65,7 kg - 8,34 dag - 212,5 dg - 8,9 g

Tomando el lado del cuadrado como unidad,indica cuál es el recorrido más largo y cuál esel más corto.

Se han pintado 34 km 7 hm de la línea del arcén de la carretera. Si faltan por pintar 9 km8 hm 7 dam, ¿cuántos metros tiene la carre-tera?

9

8

7

6

5 Expresa en forma compleja:

a) 2.746,65 dag d) 637,245 dlb) 48,138 hm e) 120,006 kg c) 389,2 cm f) 852,46 l

Expresa en forma incompleja:

a) 6 hm 5 m 4 dm 3 cm 6 mm en dmb) 8 kl 6 hl 5 dl 3 cl en mlc) 5 km 6 dam 4 dm 7 cm en md) 7 hg 2 dag 5 g 7 cg 8 mg en dag

Halla el área de cada figura coloreada.

Completa:

a) 386,25 hm2 � . . . . . . . . . . . . . km2

b) 2.893 dam2 � . . . . . . . . . . . . . dm2

c) 592 cm2 � . . . . . . . . . . . . . m2

d) 1.642,37 m2 � . . . . . . . . . . . . . hm2

Expresa en m2:

a) 24 ha b) 325 a c) 84,5 a

Un autobús recorre hasta la primera parada 1 km 3 hm; de la primera a la segunda parada,36 hm; de la segunda a la tercera, 2 km 600 m; de la tercera al final, 1 km 40 dam.¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido?

15

14

13

12

11

10


Indica el valor posicional de la cifra 6 en cadanúmero.

a) 12.672.432,06b) 62.348.634.436,236c) 6.006.004,06

Completa estas igualdades e indica el nombrede la propiedad aplicada en cada caso.

a) 15 � (. . . . . . � 18) � 15 � 32 � . . . . . . � 18b) (. . . . . . � 35) � . . . . . . � 46 � (. . . . . . � 24)c) 105 � . . . . . . � 10 � . . . . . .

d) . . . . . . � 61 � . . . . . . � 15e) (. . . . . . � . . . . . . ) � 11 � 74 � 11 � 58 � 11

Compara los cocientes de estas divisiones yrazona tu respuesta.

a) 720 : 45b) 480 : 30c) 240 :15

Relaciona cada operación combinada con suresultado.

a) 16 � 13 � (15 � 9)b) 16 � 13 � 15 � 9c) (16 � 13) � 15 � 9d) (16 � 13) � (15 � 9)

Descompón en potencias de base 10:

a) 12.780b) 2.000.340.120c) 635.000.003.003.080

Completa:

a) 23 � 32 � . . . . . . � 360b) 25 � 33 � . . . . . . � 6.048c) 32 � 72 � . . . . . . � 4.851d) 53 � . . . . . . � 875

6

5

426 202 174 94

4

3

2

1

Calcula:a) 28 � 0,25 d) 0,25 � 124b) 824 � 0,25 e) 804 � 0,25c) 0,25 � 1.240 f) 3.200 � 0,25

¿Cuántos cuartos de litro hay en 124 l?(1/4 l � 0,25 l)

En una copistería cada fotocopia vale 0,30 €. ¿Cuánto costará fotocopiar un trabajo de 208 folios si me descuentan 5céntimos por cada fotocopia?

14

13

12


cálculo mental

Halla el menor número que dividido por 5, 7 y11 da siempre de resto 3.

Completa el cuadrado de manera que la sumade las fracciones en horizontal y en vertical seasiempre igual a 5.

Completa las series con cuatro números más.

a)

b)

Calcula:

a) 3,45 � 1.000 d) 0,008 � 10b) 6,2 � 10.000 e) 645 : 100c) 3,48 : 1.000 f) 0,02 : 10


a) 2,05 hm � . . . . . . . . . . . . . mb) 8,15 dal � . . . . . . . . . . . . . cl

11

10

9

8

7

�43

�18

� 8

� 5

1/2 .. . . . . . . 2/3

.. . . . . . . . . . . . . . .

1/4 .. . . . . . . 5/6

164

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



165

12

Observa este esquema y resuelve estos pro-blemas.

a) Óscar va cada día al colegio de Balta a Alba.¿Cuál es el camino más corto? ¿Cuántos ki-lómetros hay de diferencia?

b) ¿Cuántos kilómetros recorre durante la se-mana si hace el trayecto dos veces al día?

c) Alguna vez ha ido en bicicleta, más o menossiempre a la misma velocidad, a 12 km/h. ¿Aqué hora llegará a Alba si sale de casa a lassiete y media?

d) La camioneta del pan reparte 16 panes de 1 kg, 64 de 1/2 kg, 128 barras de 1/4 de kgy 44 barritas de 200 g. ¿Cuántos kilos re-parte en cada pueblo sabiendo que deja lamisma cantidad de pan?

e) ¿Cuánto cobra en cada pueblo si el preciode 1 kilo de pan es de 96 céntimos?

f) El repartidor de la leche deja en cada pueblo7 cajas de una docena de botellas de 1,5 l,8 cajas de una decena de botellines de 25 cly 10 cajas de 10 botellines de cacao con le-che de 330 ml. ¿Qué cantidad de leche dejaen total?

1 Sandra perdió 2/3 de los 2/5 de canicas que tenía. ¿Qué fracción de canicas perdió?¿Cuántas canicas eran si tenía 120?

He comprado 2 kg y 3/4 de carne. Si gasto 2/3y el resto lo congelo, ¿qué cantidad de carnecongelaré?

Para una fiesta han comprado 13 bandejas depastas de 1/4 de kilo cada una. ¿Cuánto hancostado si venden el kilo a 24 €?

Resuelve estos problemas con números ente-ros.

a) ¿En qué piso se encuentra un ascensor quesituado en la planta �4 ha subido 5 pisos,ha bajado 2 pisos dos veces seguidas, havuelto a subir 6 más, luego 2 y por último habajado 3?

b) En la caja de un banco hay 6.500 €. Uncliente ha ingresado 200 €, otro ha sacado 480 € y el cajero ha pagado una factura de 1.255 €. ¿Cuánto dinero queda en elbanco?

c) En un pueblo la temperatura máxima men-sual ha sido de 10 ºC y la mínima de �8 ºC.¿Cuál es la diferencia entre la temperaturamáxima y la mínima?

d) Las primeras olimpiadas se celebraron en elaño 776 antes de Cristo. ¿Cuántos añoshace de ello?

5

4

3

2

ALBA

BALTA

8,8 km

9,5 km95 hm 4 dam

8 km 50 dam

VEGA MAS


Área y perímetro13

Rincón del ingenio¿Qué círculo rojo es mayor: el de la primera o elde la segunda figura?

Compruébalo midiendo sus diámetros.

166

a) Para decorar una pared, Julio ha confecciona-do un mosaico con bloques de vidrio. ¿Cuán-tos bloques ha utilizado?

b) Si cada bloque mide 20 cm de lado, ¿cuántomide el perímetro del mosaico?

c) ¿Cuál es la superficie de la zona verde del mo-saico? ¿Y de la zona azul?

Para empezar


Aprende a dividir cualquier número entre 0,5:


a) 19 : 0,5 i) 5 : 0,5b) 83 : 0,5 j) 983 : 0,5c) 61 : 0,5 k) 381 : 0,5d) 77 : 0,5 l) 192 : 0,5e) 38 : 0,5 m) 406 : 0,5f) 54 : 0,5 n) 143 : 0,5g) 22 : 0,5 ñ) 538 : 0,5h) 9 : 0,5 o) 1.000 : 0,5


a) Sara corta cintas de colores para repartirlasentre sus compañeros y compañeras. Si lacinta amarilla mide 12 m de largo y corta tro-zos de 0,25 m, ¿cuántos trozos obtendrá?

b) ¿Cuántos trozos de 0,25 m de cinta roja po-drá repartir si esta cinta mide 15 m?

c) Si tiene un trozo de cinta verde de 18 m yotro de 22 m, ¿cuántos trozos de 0,25 mpuede obtener?

21

167

En esta unidad

ÁREA Y PERÍMETRO

Paralelogramos

Área del rectánguloÁrea del cuadradoÁrea del romboÁrea del romboide

Triángulos

Área del triángulo

Polígonos irregulares y regulares

Perímetro y área

Circunferencia y círculo

El número piLongitud de la circunferenciaÁrea del círculo

25 : 0,5 � 25 � 2 � 50

587 : 0,5 � 587 � 2 � 1.174

Conceptos clave

Paralelogramo, polígono, área, perímetro.

Cálculo mental


Área de los paralelogramos

168

Activ

idad

es

Recuerda que un paralelogramo es un polígono de 4 lados, paralelos dos a dos.

La base es el lado sobre el que se apoya.

La altura es el segmento perpendicular desde el lado opuesto a la base.

Calcula el área de esta sala cuadrada y de cada uno de los muebles.

1. Sala → 4 m de lado

2. Escritorio → largo: 2,80 m; ancho: 1,10 m

3. Mesa → 0,80 m de lado

4. Sofá → largo: 2,60 m; ancho: 0,80 m

Calcula el área de un rectángulo que mide 21,58 cm de base y 8,3 cm de altura.

¿Cuál es el área de un cuadrado de 6,5 cm de lado?

Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mida el doble que el del cuadrado de la actividad anterior.¿Cómo ha variado?

El cuadro Las Meninas de Velázquez mide 3,10 m de alto y 2,76 m de ancho. ¿Cuál es su área?7

6

5

4

3

Rectángulo

Fíjate en cómo podemos calcular el área de un rectángulo de 4 cm debase y 3 cm de altura.

Multiplicamos la base por la altura:

Área � base � altura � 4 cm � 3 cm � 12 cm2

4 cm

3 cm

3 cm

3 cm

Área del rectángulo � base � altura�

Cuadrado

Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud. Labase y la altura son iguales.

Para calcular el área de un cuadrado de 3 cm de lado, multiplicamos lalongitud del lado por sí misma.

Área � lado � lado � 3 cm � 3 cm � 9 cm2

Área del cuadrado � lado � lado � (lado)2�

2 1

34


169

Rombo

El rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales, los ángulos iguales dos a dos y sus diago-nales son perpendiculares entre sí.

Sigue estos pasos para calcular el área de un rombo cuyasdiagonales miden 8 cm, la mayor, y 4 cm, la menor.

1. Traza un rectángulo cuya base y altura tengan la misma medida que las diagonales.

2. Recorta el rombo; quedan 4 triángulos iguales.

3. Con los 4 triángulos, podemos formar otro rombo idéntico al primero. A partir de un rectángulo, se obtie-nen dos rombos iguales.

— El área de cada rombo es la mitad que el área del rectángulo.

Área del rombo � 8 cm � 4 cm

� 16 cm2

2

Activ

idad

es Dibuja un rombo cuyas diagonales midan 7 cm y 3 cm. Calcula su área.

Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 12 cm y su diagonal menor es la tercera partede la mayor.

Calcula el área de un rombo inscrito en un rectángulo de 6 cm de base y 2,5 cm de altura.

Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 160 mm. — Si multiplicamos por 2 las longitudes de las diagonales, ¿cuál será su nueva área? — ¿Qué relación hay entre las dos áreas?

11

10

9

8

13

Área del rombo � 1/2 área del rectángulo � Diagonal mayor � diagonal menor

2�

8 cm4 cm

4 cm

8 cm


Área de los paralelogramos

170

Romboide

Recuerda que un romboide es un paralelogramo cuyos ladosson paralelos e iguales dos a dos.

Fíjate en cómo se calcula el área de un romboide de 6 cm debase y 3 cm de altura.

Dibujamos la altura y se forma un triángulo que trasladamos al lado derecho del romboide.

— El área del romboide es igual a la del rectángulo.

Área del romboide � 6 cm � 3 cm � 18 cm2

Activ

idad

es Calcula la superficie de este mosaico formado por 6 romboides.

Calcula en hectáreas la superficie de un campo conforma de romboide que mide 3 hm de largo y 45 damde ancho.

Laura quiere embaldosar 216 cm2 del patio con piezasen forma de romboide. Puede escoger entre unas azu-les que miden 20 cm � 10 cm y otras verdes que mi-den 18 cm � 12 cm.¿Qué tipo de baldosas debe usar?

14

13

12

Área del romboide � base � altura�

6 cm

3 cm

6 cm

3 cm

Base � 3,5 cmAltura � 2,5 cm


Recuerda que un triángulo es un polígono de 3 lados.

La base de un triángulo es el lado en el que se apoya.La altura es el segmento perpendicular desde la base o su pro-longación hasta el vértice opuesto.

Observa cómo calculamos el área de un triángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura.Dibujamos un triángulo igual y unimos los dos formando un rectángulo.

— El área de un triángulo es igual a la mitad del área del rectángulo.

Área del triángulo � 5 cm � 3 cm

� 7,5 cm2

2

171

Activ

idad

es Calcula el área de un triángulo de 46 cm de base y 35 cm de altura.

Calcula el área de un triángulo obtusángulo que mide 8,6 cm de base y 4,5 cm de altura. Dibújalo y es-cribe sus medidas.

Calcula el área de un triángulo rectángulo en el que los lados que forman el ángulo recto miden 15 cmy 24 cm.

Calcula el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 18 cm cada uno.

Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide 69 cm y su altura es de 26 cm.

Las señales de tráfico que indican peligro están simbolizadas por un triángulo equi-látero cuyos lados miden 40 cm y su altura es de 34,65 cm. Calcula su área.

Mide las bases y las alturas de estos triángulos y calcula sus áreas.21

20

19

18

17

16

15

13Área del triángulo

altura

base

3 cm

5 cm

Área del triángulo � base � altura

2�

a) b) c)


172

Activ

idad

es Calca estos polígonos, mide sus lados y calcula sus áreas y sus perímetros.22

Para hallar el área de un polígono irregular, se descompone en polígonos de los que sepamos calcular elárea, se calcula el área de cada uno de ellos y se suman los resultados.

�

Polígonos irregulares y...Perímetro

El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. Observa:

Perímetro � 3 cm � 4 cm � 3 cm � 3 cm � 3,5 cm � 3 cm � 4 cm � 23,5 cm

Área

Observa cómo calculamos el área de un polígono irregular.1. Descomponemos el polígono en otros más pequeños.

2. Calculamos el área de cada uno de ellos.

3. Sumamos las áreas.

3,5 cm3 cm

4 cm 3 cm 3 cm

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.�

4 cm4 cm 4 cm

4,5 cm2 cm

3 cm3,5 cm

A � 2 � 4

� 4 cm2 A � 4,5 � 3 � 13,5 cm2 A � 4 � 3,5 � 14 cm2 A � 4 � 4 � 16 cm2

2

Área � 4 cm2 � 13,5 cm2 � 14 cm2 � 16 cm2 � 47,5 cm2

a) b)

3,5 cm

4 cm3 cm4 cm

2 cm 4,5 cm


Activ

idad

es ¿Cuál es el perímetro de un heptágono regular de 3,7 cm delado? ¿Y el de un hexágono de 4 cm de lado y 3,46 cm de apo-tema?

Calcula las áreas de estos polígonos regulares.

a) Octógono de 48 cm de perímetro y 7,24 cm de apotema.b) Pentágono de 6,5 cm de lado y 4,47 cm de apotema.c) Hexágono de 3,2 cm de lado y 2,7 cm de apotema.

24

23

13

173

Área (polígono regular) � perímetro � apotema

2�

El perímetro de un polígono regular se calcula multiplicando la longitud de un lado por el número de lados. �

Área � número de triángulos � longitud del lado � apotema

� 6 � 4 cm � 1,5 cm

� 18 cm2

2 2

Área

Para calcular el área de un polígono regular, debemos conocer suapotema. El apotema es la recta perpendicular trazada desde elcentro del polígono hasta el centro de cualquiera de sus lados.

— Fíjate en cómo se calcula el área de un hexágono regular de 4 cmde lado y 1,5 cm de apotema.

1. Se descompone el polígono en tantos triángulos como su número de lados: 6 triángulos.

2. Se calcula el área de un triángulo. La base del triángulo es el lado del polígono y la altura es la apote-ma.

3. Se multiplica el número de triángulos por el área calculada.

perímetro

apotema

…polígonos regularesPerímetro

Fíjate en cómo se calcula el perímetro de un octógono regular de 6 cm de lado.

Perímetro (polígono regular) � longitud de un lado � número de lados

Perímetro del octógono � 6 � 8 cm � 48 cm

6 cm


Circunferencia…

174

Número pi (�)

Fíjate en cómo calculamos la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

1. Colocamos un cordón alrededor de un objeto redondoy plano.

2. Medimos la longitud del cordón empleado: es la longi-tud de la circunferencia.

3. Con una regla, medimos el diámetro.

4. Para saber cuántas veces está contenido el diámetroen la longitud de la circunferencia, dividimos:

Longitud de la circunferenciadiámetro

El resultado siempre es 3,14.

La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro se llama número pi (�) y su valor es 3,14.

Activ

idad

es Calcula la longitud de una circunferencia de 2,5 m de diámetro.

Los anillos olímpicos de una bandera miden 30 cm de radio.¿Cuánto mide la longitud total de los cinco aros?

El pasillo de una casa mide 6,28 m. ¿Cuántas vueltas dará unaro de 0,5 m de diámetro para recorrer todo el pasillo?

27

26

25

El número pi (�) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

� � 3,14

�

Longitud de la circunferencia

Si conocemos la longitud del diámetro, podemos calcular la longitud de la circunferencia.

Para calcular la longitud de una circunferencia de 6 cm de diámetro, multiplicamos la longitud del diámetropor el número pi.

Longitud de la circunferencia � diámetro � � � 6 cm � 3,14 � 18,84 cm

Longitud de la circunferencia � diámetro � �L � d � �

Como la longitud del diámetro es dos veces la longitud del radio (r), podemos escribir:L � 2 � � � r

�


…y círculo

175

Activ

idad

es13

Área del círculo

Podemos considerar el círculo como un polígono de infinitos lados. Observa:

El perímetro del círculo es la longitud de su circunferencia y la apotema se convierte en el radio.

— Observa cómo calculamos el área de un círculo.

Si simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre dos, y sustituimos el producto r � r por r2, nos queda:

Área del círculo � � � r2

Calcula el área de un círculo de 23 cm de radio.

Calcula el área de un círculo de 18 cm de diámetro.

El radio de un círculo mide 12 cm. Calcula la longitud de su circunferencia y su área.

Calcula el área de la parte coloreada.

¿Cuál es el área de una corona circular formada por dos circunferencias cuyos radios miden 5 cm y 4 cm?

32

31

30

29

28

hexágono octógono dodecágono círculo

Área del polígono � perímetro � apotema

2Área del círculo �

2 � � � r � r2

Área del círculo � � � r2�

24 cm


Para acabar

Calcula las áreas de estos polígonos.

En un jardín que mide 57 m de largo y 45 m deancho se quieren instalar 4 parcelas cuadra-das de 4 m de lado con flores. ¿Qué superficieocuparán las flores? ¿Qué superficie no tendráflores?

La superficie de un cuadrado es de 169 cm2.¿Cuánto mide su lado?

4

3

2

Repasa la unidad y completa:1

Calcula el área de un rombo cuya diagonal me-nor mide 34 cm y la diagonal mayor mide eldoble.

Calcula el área de un triángulo de 4,8 cm debase y 3,7 cm de altura.

¿Cuál es el perímetro de un dodecágono regu-lar de 1,75 cm de lado?

Una mesa cuadrada de 2,20 m de lado tieneun tapete con forma de rombo que mide 2,10 mde diagonal mayor y 0,75 m de diagonal me-nor. ¿Qué superficie de la mesa no está ocu-pada por el tapete?

8

7

6

5

176

3,5 cm 1,5 cm

El área de uncuadrado de

3,2 cm de ladoes .. . . . . . . . ..

La suma detodos los ladosde un polígono

es su.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

La altura de untriángulo es elsegmento que

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

El área del. . . . . . . . . . . . . . . . . . es:

b � a2

Base � alturaes el área del

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . y del. . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

El área de unpolígono regulares .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

D � d2

es el área del. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

La apotema esla .. . . . . . . . . . . . . . .

trazada desde.. . . . . . . . . . . . . . . hasta

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

El número pi esla relación entrela .. . . . . . . . . . . y su

.. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

El número pi esigual a

.. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Al multiplicar2 � � � r, hallamos la.. . . . . . . . . . . de la.. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

El área delcírculo es iguala .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

a) b)1,5 cm1,5 cm


13

Mide estos polígonos y calcula sus áreas.

Un sobre de 24 cm de largo y 12 cm de anchotiene una solapa triangular que ocupa la cuar-ta parte. ¿Cuál es la superficie de la solapa?

Calcula la longitud de una circunferencia quemide 45 cm de radio.

Mide los radios de estas circunferencias, dibú-jalas con compás en tu libreta y calcula suslongitudes.

Una alfombra redonda de 3 m de diámetroestá ocupada por una mesa cuadrada de 1,80 mde lado. ¿Qué superficie de alfombra está ocu-pada?

Una cocina de 60 cm de largo y 55 de anchotiene cuatro fogones redondos de 22 cm, 18 cm, 15 cm y 14 cm de diámetro. ¿Qué su-perficie de cocina está ocupada por los fogo-nes?

14

13

12

11

10

9 Calcula las áreas de las zonas coloreadas.

En una cartulina que tiene forma de romboidede 85 cm de base y 58 cm de altura, se quie-ren pegar 10 fotografías de 15 cm por 10 cmcada una, y pintar el trozo que queda libre.¿Qué superficie de cartulina se pintará?

Calcula el área de esta figura.17

16

15

177

a)

b)

c)

20 cm

7,7 cm

8 cm

12 cm17 cm

8 cm

4 cm

15 m

6 m

4 m9 m

b) d)

e)c)

a)

b)a)


Escribe estos números.

a) trece millones dos y trescientas veinticuatromilésimas

b) cuatro millones doscientos doce mil y cuatrocentésimas

c) nueve mil nueve millones nueve mil nueve ynueve centésimas


a) 135 y 225b) 90 y 1.512

Agrupa las fracciones equivalentes.

Completa la serie simplificando cada resul-tado.

� 2 → . . . . . . : 6 → . . . . . . � 3 → . . . . . . :

Escribe el número decimal que cumple estascondiciones.

a) La parte entera es múltiplo de cualquier nú-mero.

b) La parte decimal tiene tres cifras:La de las décimas es un número primo.La de las centésimas es el producto de lasotras dos.La de las milésimas es un número par.

Calcula:

a) 3,45 � 5,2 � 0,892 � 7 � 0,007b) 1.239 � 897,645c) 5,64 � 0,096d) 19 : 678 (cociente hasta las milésimas)

Ordena de mayor a menor.

a) 1.752’b) 32º 15’c) 86.422’’

7

6

5

43

16

4

3

2

1

Calcula:

a) 32 : 0,5 d) 45 : 0,5b) 124 : 0,5 e) 924 : 0,5c) 1.342 : 0,5 f) 7.143 : 0,5

¿Cuántos caramelos podré comprar con13 € si cada uno vale 50 céntimos?

¿Cuántas monedas de 50 céntimos nece-sitamos para tener 50 €?

14

13

12


cálculo mental

178

Completa:

Expresa en forma incompleja:

a) 8 km 3 dam 23 cm � . . . . . . . . . . . . . mb) 2 t 4 q 42 hg 536 mg � . . . . . . . . . . . . . kgc) 2 hl 53 l 2 dl � . . . . . . . . . . . . . kld) 4 hm2 4 dam2 4 dm2 � . . . . . . . . . . . . . m2


a) 238,75 kgb) 0,635 mc) 11,034 hgd) 1.438,22 l

¿Cuántos rectángulos distintos podrías dibujarcon el mismo perímetro que un cuadrado de 4 cm de lado?

11

10

9

a) 234 m � . . . . . . . . . . . . . kmb) 0,75 l � . . . . . . . . . . . . . mlc) 218 hg � . . . . . . . . . . . . . gd) 2.345 ha � . . . . . . . . . . . . . ae) 27.520 kg � . . . . . . . . . . . . . gf) 0,65 hm2 � . . . . . . . . . . . . . m2

8

, , , , , 324864

210252

180216

122488

237632

75300



179

13

Cinco compañeros han ido a comer a un res-taurante. Han pedido cinco menús del día, yademás han tomado dos botellas de agua a1,75 € cada una y tres latas de cola a 2,20 €cada una. ¿Cuánto les ha costado la bebida?

a) ¿A cuánto asciende la factura total si el IVAes del 7 %?

b) ¿Cuánto debe pagar cada uno si entre todosdejan 7,5 € de propina?

c) ¿Cuánto les devolverán de cambio si hanpagado con un billete de 100 €?

Un rascacielos mide 1 hm 2 dam y 98 cm, yotro, 115 m y 45 cm. ¿Cuál es la diferencia dealtura en metros entre ambos edificios?

Se quiere llenar un depósito de 4 hl y 6 l congarrafas de 10 l. ¿Cuántas garrafas se necesi-tarán?

Un medicamento contiene 3 envases con 12cápsulas de 300 mg cada una. ¿Cuál es elpeso total del medicamento?

4

3

2

Menú del día:9,50 €

No incluye ni bebida ni IVA.

1 Se ha vendido un terreno rural de 345 ha a 36 € el metro cuadrado.

a) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terre-no?

b) ¿Cuánto cuesta el terreno?

En tres colegios, uno con el doble de alumnosy otro con el triple respecto al primero, se re-parten diariamente 96 l de leche. ¿Cuántos li-tros corresponden a cada colegio?

Un comerciante tenía dos piezas de tela, unamedía 3 dam 8 m y la otra 1 hm 5 m. Ha ven-dido 1/6 de las piezas a 11,5 € el metro.¿Cuánto ha costado la compra?

Si 3/4 de kg de manzanas valen 1,83 €,¿cuánto cuesta un kilogramo?

En un hospital con 200 habitaciones, el 60 %tiene dos camas y el 40 %, una. ¿De cuántascamas dispone el hospital?

Tenemos 40 rotuladores y 140 bolígrafos, yqueremos agruparlos de manera que cada gru-po sea lo más grande posible y no los mezcle-mos. ¿Cuántos grupos habrá?

En un escenario quieren construir un triángulocuyos ángulos midan 56º 33’ 42’’, 49º 12’ 50’’y 61º 23’ 35’’. ¿Pueden hacerlo? Razona turespuesta.

11

10

9

8

7

6

5


Cuerpos geométricos. Volumen14

Rincón del ingenio— ¿Es cierto que la mitad de dos más dos son

tres?— Si un cocinero tarda 20 minutos en cocer un

huevo duro, ¿cuánto tiempo tardará en cocer3 huevos a la vez? ¿Y 20 huevos?

a) Nombra los cuerpos geométricos que reconoz-cas en la imagen.

b) ¿Qué otros objetos de tu entorno tienen formade cuerpo geométrico?

c) ¿Recuerdas el nombre de algún poliedro? ¿Y dealgún cuerpo redondo?

Para empezar

180


Aprende a dividir cualquier número entre 0,25:


a) 1 : 0,25 i) 22 : 0,25b) 7 : 0,25 j) 61 : 0,25c) 4 : 0,25 k) 37 : 0,25d) 2 : 0,25 l) 13 : 0,25e) 8 : 0,25 m) 11 : 0,25f) 9 : 0,25 n) 80 : 0,25g) 6 : 0,25 ñ) 52 : 0,25h) 5 : 0,25 o) 95 : 0,25


a) Cada croqueta que prepara Javier contiene0,25 g de carne de pollo. Si ha comprado150 g de pechuga de pollo, ¿cuántas cro-quetas podrá elaborar?

b) Si tuviera 750 g de carne de pollo, ¿cuántascroquetas podría preparar?

c) Si le han encargado 425 croquetas, ¿tendrásuficiente con 100 g de pechuga de pollo?

21

181

En esta unidad

Cálculo mental

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Poliedros

Poliedros irregulares

Poliedros regulares

Cuerpos redondos

VOLUMEN

Volumen de los cuerpos geométricos

Unidades de volumen

Relación entre capacidad y volumen

Conceptos clave

Cuerpo, poliedro irregular, poliedro regular,volumen, capacidad.

3 : 0,25 � 3 � 4 � 12

15 : 0,25 � 15 � 4 � 60


Poliedros

182

Activ

idad

es

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Pueden clasificarse en irregulares y re-gulares.

Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares más comunes son los prismas y las pirámides.

— Fíjate en los elementos de un prisma cuadrangular y en la figura plana a partir de la que puede cons-truirse.

Los prismas se nombran según el polígono que forma sus bases: prisma triangular, prisma cuadrangular,prisma pentagonal…

— Observa los elementos de una pirámide cuadrangular y su desarrollo plano.

Las pirámides se nombran según el polígono que forma su base: pirámide triangular, pirámide cuadrangular,pirámide pentagonal…

Los prismas están formados por dos bases iguales que pueden ser cualquier polígono y las caraslaterales que siempre son paralelogramos.Las pirámides están formadas por una base que puede ser cualquier polígono y las caras laterales quesiempre son triángulos.

�

Observa estas figuras y señala los prismas y las pirámides. Escribe el número de caras de cada una.3

base

arista

altura

base

vértice

caralateral

aristaaltura

base

vértice

caralateral

a) b) c) d) e)


183

Poliedros regulares

Fíjate en las características de estos poliedros regulares.

Activ

idad

es Identifica el poliedro que corresponde a cada uno de estos desarrollos planos.4

14

Los poliedros regulares son aquéllos cuyas caras son polígonos regulares idénticos.�

Dibujo

Nombre Tetraedro Hexaedroo cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Númerode caras 4 6 8 12 20

Polígonode las caras

triángulosequiláteros cuadrados triángulos

equiláteros pentágonos triángulosequiláteros

Número de vértices 4 8 6 20 12

Número de aristas 6 12 12 30 30

Desarrollo plano

a)

b)

c)

d)

e)g)

f)

h)


Cuerpos redondosLos cuerpos redondos son aquellos que presentan una superficie curva. Los cuerpos redondos más co-munes son el cilindro, el cono y la esfera.

— Fíjate en los elementos de estos cuerpos redondos y en la figura plana a partir de la que pueden cons-truirse.

Activ

idad

es

El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos redondos.�

Escribe los nombres de tres objetos que tengan forma de cilindro, tres objetos con forma de cono yotros tres con forma de esfera.

Indica cuáles de estos desarrollos corresponden a un cilindro o a un cono.6

5

184

altura

base

base

radio

Cilindro

Es el cuerpo redondodelimitado por dos círculosiguales (bases) y una superficiecurva.

altura

vértice

Cono

Es el cuerpo redondodelimitado por un círculo (base)y una superficie curva.

base

radio

Esfera

Es el cuerpo redondodelimitado por una únicasuperficie curva.

No tiene desarrollo plano.radio

a)

b)

c)d)


Volumen de los cuerpos geométricos

185

Activ

idad

es Indica el volumen de cada una de estas construcciones.

a) b) c) d)

¿Cuál es el volumen de cada uno de estos prismas?

a) b) c)

Indica el volumen que falta en cada caso para formar un cubo de 6 unidades de arista.

a) b) c)

9

8

7

14

El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. Podemos utilizar diferentes unidades paramedirlo.

�

Estas figuras ocupan el mismo espacio, pero están formadas por cubos diferentes. Para medir el volumen,utilizamos como unidad los distintos cubos.

Volumen � 8 Volumen � 27 Volumen � 1


Unidades de volumen

186

Activ

idad

es Indica en qué unidad medirías el volumen de cada uno de estos objetos.

a) un vaso de agua b) un contenedor c) un dado

Estima los volúmenes de estos cuerpos. Pon una cruz en la unidad más adecuada.

a) envase de leche b) contenedor de basura c) tu habitación d) un dado� 1 m3 � 1 dm3 � 52 dm3 � 1 mm3

� 1 dm3 � 1 m3 � 52 m3 � 1 cm3

� 1 cm3 � 1 cm3 � 52 cm3 � 1 m3

11

10

Para expresar el volumen de un cuerpo, utilizamos las unidades de volumen.

La unidad básica de volumen es el metro cúbico (m3), que es el volumen de un cubo que mide 1 metro delado.

Fíjate en el volumen de cada uno de estos cubos y la relación con la longitud de sus aristas.

Un metro cúbico (m3) es el volumen de un cubo de 1 metro de arista.Un decímetro cúbico (dm3) es el volumen de un cubo de 1 decímetro de arista.Un centímetro cúbico (cm3) es el volumen de un cubo de 1 centímetro de arista.Un milímetro cúbico (mm3) es el volumen de un cubo de 1 milímetro de arista.

�

1 m1 dm

1 cm

1 mm

V � 1 m3 V � 1 dm3 V � 1 cm3 V � 1 mm3

Observa estos ejemplos.

125 m3 5 dm3 250 cm3 1.000 mm3


Activ

idad

es Expresa en litros las siguientes unidades de volumen.a) 1 dm3 c) 1 m3 e) 1 mm3 g) 1 cm3

b) 4,6 dm3 d) 5,3 m3 f) 6,3 cm3 h) 23 mm3

Indica, en cada caso, el objeto que tiene mayor capacidad.

a) Una jarra con 1,5 dm3 y una botella de naranjada de 1.500 ml.b) Una botella de colonia con 200 ml y una lata de gasolina de 2 dm3.c) Un termo con 750 ml y una botella de gel de 75 cl.d) Una botella de leche de 1,5 dm3 y un envase de zumo con 15 cl.e) Una garrafa con 5.000 cm3 de aceite y un cubo con 500 dl de agua.

Completa:

a) 678 dm3 � . . . . . . . . . . . . . . . . dl e) 45 cm3 � . . . . . . . . . . . . . . . . lb) 56,9 l � . . . . . . . . . . . . . . . . cm3 f) 3,654 m3 � . . . . . . . . . . . . . . . . lc) 6,654 dl � . . . . . . . . . . . . . . . . dm3 g) 54,8 cm3 � . . . . . . . . . . . . . . . . mld) 34,765 m3 � . . . . . . . . . . . . . . . . l h) 342 l � . . . . . . . . . . . . . . . . m3

14

13

12

187

Podemos establecer la relación que existe entre la capacidad y el volumen de un cuerpo.

El contenido de una botella de 1 litro es la cantidad de agua que cabe en un cubo de 1 decímetro de arista.

Un volumen de 1 dm3 contiene 1 litro de agua de capacidad.

A partir de esta afirmación, podemos establecer otras equivalencias entre las unidades de capacidad y devolumen.

14Relación entre capacidad y volumen

1 dm3 1 litro de agua

La equivalencia entre las unidades de volumen y capacidad nos permite expresar unidades de volumen comomedidas de capacidad, y viceversa.

1 dm3 � 1 litro

�

Unidades de volumen 1 m3 1 dm3 1 cm3

Unidades de capacidad 1 kl 1 l 1 ml


Para acabarRepasa la unidad y señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1

Dibuja el desarrollo de cada uno de estos cuer-pos geométricos.

a) b) c) d)

¿Cuántas bases, caras laterales, aristas y vér-tices tiene un prisma pentagonal?

4

3

188

V F

a) Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos.

b) Las caras de los prismas siempre son rectángulos.

c) Las pirámides tienen dos bases poligonales.

d) El cubo tiene seis caras que son cuadrados.

e) El dodecaedro tiene doce caras que son triángulos.

f) El icosaedro tiene veinte caras que son pentágonos.

g) Los cuerpos redondos son el cilindro, el cono y la esfera.

h) El desarrollo de un cilindro es un rectángulo y dos círculos.

i) Las unidades de volumen expresan la superficie de un cuerpo.

j) Un metro cúbico equivale a 1 litro.

¿Cuáles de estos cuerpos geométricos sonpoliedros?

a) c) e)

b) d) f)

2


189

14


Dibuja estos cuerpos geométricos y sus desa-rrollos.

a) prisma pentagonalb) conoc) pirámide hexagonal

Escribe los nombres de estos cuerpos geomé-tricos.

a) Tiene seis caras que son cuadrados, ochovértices y doce aristas.

b) Tiene cinco aristas en la base, seis vérticesy cinco caras laterales.

c) Tiene una base circular y un vértice.

Con 60 cubos de 1 cm3 de volumen, queremosdibujar un prisma de base rectangular cuyos la-dos midan 4 cm y 3 cm. ¿Qué altura alcanza-rá?

8

7

6

5 ¿Cuál de estas construcciones tiene mayor vo-lumen?

a) cuatro cubos de 2 cm de arista cada unob) tres cubos de 22 mm de arista cada uno

Expresa en litros:

a) 9 m3 d) 80 dm3

b) 0,835 m3 e) 724 cm3

c) 12 dm3 f) 21 mm3

Completa:

a) 7 dm3 � . . . . . . . . ml c) 0,5 dm3 � . . . . . . . . clb) 6,4 l � . . . . . . . . dm3 d) 41 l � . . . . . . . . mm3

Si el área de la cara de un cubo es de 1 m2,¿cuál es su volumen?

Indica el volumen estimado de cada objeto.

a) una caja de galletas 5 dm3

5 m3

b) una taza de café 50 cm3

50 mm3

Calcula cuántos litros de agua son necesariospara llenar una piscina de 84 m3.

Un grifo que vierte 3.000 litros de agua cadahora tarda 4 horas en llenar un depósito.¿Cuántos dm3 de capacidad tiene el depó-sito?

¿Cuántos cm3 contiene una lata de refresco de33 cl?

En una casa de colonias tienen dos depósitosde agua: uno de 20.000 dm3 y el otro de 13 m3. ¿Qué cantidad de litros de agua pue-den almacenar entre los dos depósitos?

17

16

15

14

13

12

11

10

9

Caras Vértices Aristas


Escribe los números correspondientes y re-suelve:

a) 9 dM 4 cm 4 u � 2 uM 16 dm 34 cb) 17 um 5 c � 1 dm 38 c 7 d 5 uc) 576 c � 0,038d) 374 d 8 u : 0,609

Completa con el término que falta.

a) 17 � 4 � (18 � 6) � . . . . . . � 32b) (. . . . . . � 5 � 7) : 4 � 8 � 5 � 46c) 36 � 5 : 3 � . . . . . . � 10 � 0

Calcula:

a) 23 � 22 � 22 � 2b) 62 � 6 � 6 � 62 � 63

c) 5 � 5 � 5 � 52 � 53

¿Cuál de estos números no es primo?

Representa estos números sobre una recta nu-mérica.

- 2 - - 2 -

Ordena las siguientes fracciones de mayor amenor.

- - - - - -

Calcula:

a) � 4 � b) � :

Escribe, en cada caso, una milésima más.

a) 0,05 d) 0,999b) 0,039 e) 0,889 c) 0,009 f) 0,099

8

34

221

78

815

25

7

117

35

55

914

110

514

27

6

3626

108

34

34

5

89 - 103 - 37 - 191 - 127 - 117 - 53 - 211

4

3

2

1

Calcula:a) 62 : 0,25 d) 640 : 0,25b) 121 : 0,25 e) 5.200 : 0,25c) 12.000 : 0,25 f) 6.200 : 0,25

¿Cuántos sacapuntas puedo comprar con30 euros si cada uno cuesta 25 cénti-mos?

¿Cuántos trozos de 0,25 metros puedencortarse de una cinta de 75 metros?

15

14

13


cálculo mental

Agrupa los números del recuadro de 2 en 2para que se cumpla:

a) Suma � 12,88b) Resta � 1,44c) Multiplicación � 12,48d) División � 12,2

Efectúa:

a) 645 � 0,001 d) 0,3 � 0,001b) 7,36 � 0,01 e) 0,009 : 0,01 c) 23 : 0,001 f) 4,26 : 0,1

Calcula el ángulo suplementario.

a) 123º 45’ b) 75º 34’’c) 79º 59’ 59’’

Completa:

a) 5.478 dm3 � . . . . . . . l d) 32,75 m3 � . . . . . . . klb) 24,83 cm3 � . . . . . . . ml e) 5,982 m3 � . . . . . . . lc) 129,34 l � . . . . . . . cm3 f) 16,622 kl � . . . . . . . dm3

12

11

10

45,75 - 11,972 - 8,358 - 3,8413,412 - 3,75 - 4,522 - 3,25

9

190



191

14

Fíjate en el plano de esta ludoteca y resuelvelos problemas.

a) ¿Cuál es el perímetro del edificio?

b) Si se ha construido en un parque de 2 ha,¿cuál es el espacio que ha quedado parazona verde?

c) Se ha pavimentado el suelo con baldosascuadradas de 20 cm de lado. ¿Cuántas bal-dosas han necesitado?

d) Si se quiere rodear con una cinta la zona de-portiva (D, E y F), ¿cuántos metros de cintase necesitarán?

e) ¿Cuál es la superficie destinada a deportes?

f) ¿Qué fracción de la superficie deportiva re-presenta el vestuario (E)?

g) ¿Cuál es la superficie de la zona de ordena-dores (A)?

h) ¿Qué superficie total ocupan las zonas dejuegos de mesa (B y C)?

1 i) ¿Con cuáles de estas superficies podrías for-mar un romboide? ¿Cuál sería su área?

j) Esta tarde los niños y niñas han construido10 cometas en forma de rombo cuyas diago-nales miden 40 y 80 cm. ¿Cuántos metroscuadrados de tela han necesitado?

k) Han comprado 25 alfombras circulares de60 cm de diámetro para sentarse en el sue-lo. ¿Qué superficie ocupan?

l) Cada alfombra está ribeteada con una cintade color azul. ¿Cuál es la longitud de la cintautilizada?

A un colegio acuden entre 300 y 500 alumnos.Si pueden formarse grupos exactos de 12, 16y 18 personas, ¿cuántos alumnos son?

Elena ha comprado 2/5 de una pizza que pe-san 200 g. ¿Cuánto pesa la pizza entera?

Un circuito de juguete está formado por 13 pie-zas de 15 cm y 8 de 22 dm. ¿Cuántos metrosrecorrerá un coche si da 15 vueltas?

De una garrafa de aceite de 21 l se han llenado15 botellas de 75 cl. ¿Cuántos litros de aceitehan sobrado?

En una cámara frigorífica se guardaban 142 sa-cos de limones de 6 kg cada uno. Si se hanvendido los 2/3 a 2,25 € el kg, ¿cuánto dinerose ha obtenido con la venta?

6

5

4

3

2

B C

F

D

E 4 m

A


Estadística y probabilidad15

Rincón del ingenioQuitando sólo 4 palillos, debes conseguir quequeden cinco cuadrados. ¿Cómo lo harías?

192

a) Si Ricardo juega a la oca y necesita un 5 paraentrar en la casilla final, ¿qué probabilidad tie-ne de sacarlo? ¿Es seguro que le saldrá un 5?

b) Si hay 90 bolas en el bingo (del 1 al 90), ¿quénúmero es imposible que salga? ¿Es más pro-blable que salga un número par o uno impar?

Para empezar


Recuerda cómo se multiplica y divide por 0,5 ypor 0,25:


a) 32 � 0,5 i) 150 � 0,25b) 25 � 0,5 j) 45 � 0,25c) 22 � 0,5 k) 98 � 0,25d) 47 : 0,5 l) 80 : 0,25e) 66 : 0,5 m) 241 : 0,25f) 54 : 0,5 n) 333 : 0,25g) 11 : 0,5 ñ) 141 : 0,25h) 100 : 0,5 o) 1.000 : 0,25


a) Si un lápiz cuesta 0,5 euros, ¿cuántos lápi-ces podré comprar con un billete de 20 eu-ros?

b) Si una goma cuesta 0,25 euros, con un bille-te de 50 euros, ¿cuántas gomas podré com-prar?

c) ¿Tendré suficiente dinero con un billete dediez euros y una moneda de dos euros paracomprar 15 lápices y 7 gomas?

21

193

En esta unidad

ESTADÍSTICA

Variables estadísticas

Variables cualitativas y cuantitativas

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Media, moda y mediana

AZAR Y PROBABILIDAD

Azar

Sucesos seguros, imposibles y probables

Probabilidad

Cálculo de probabilidad de un suceso

42 � 0,5 � 42 � 5 : 10 � 210 : 10 � 2142 : 0,5 � 42 � 2 � 84

37 � 0,25 � 37 � 25 : 100 � 925 : 100 � 9,2537 : 0,25 � 37 � 4 � 148

Conceptos clave

Variable, frecuencia, media, moda, mediana,probabilidad.

Cálculo mental


Variables estadísticas

194

Activ

idad

es

Las variables son las características que pueden estudiarse en un grupo.

Variables cualitativas y cuantitativas

En una clase de 25 alumnos, hemos preguntado cuántos han visitado un parque temático: 15 alumnos hanrespondido que sí y el resto ha respondido que no. A los que han ido alguna vez, les hemos preguntadocuántas veces lo han hecho.

Éstos han sido los datos obtenidos.

Clasifica estas variables en cualitativas y cuantitativas.

a) colores preferidos c) estatura de una familia e) color de pelo de los alumnosb) peso de los alumnos d) postres preferidos f) días de sol durante el mes de junio

En una clase de 6.º de Primaria, se ha preguntado qué tipos de libros prefieren los alumnos y alumnas,y éstas han sido las respuestas.

a) ¿A qué tipo de variable corresponde la pregunta?b) ¿A cuántos alumnos se ha preguntado? Representa gráficamente los resultados.

Prepara una encuesta para llevarla a cabo entre los miembros de tu familia en la que aparezcan dos va-riables cualitativas y dos variables cuantitativas. ¿Cuáles son las preguntas de la encuesta?

5

4

3

Las variables cualitativas son aquéllas cuyos datos no se expresan con números.Las variables cuantitativas son aquéllas cuyos datos se expresan con números.

�

Tipo de libros Aventuras Misterio Ciencia ficción Biografías

N.º de alumnos 9 5 6 4

En el primer caso, se trata de una variable cualitativa, ya que la respuesta no se expresa en números.

La segunda es una variable cuantitativa, porque la respuesta se expresa en números.

Sí No 1 2 3 4Visita al parque Número de veces

5

10

15

20

Número de alumnos Número de alumnos

1

2

3

4

5


Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

195

Fíjate en cómo hemos representado los datos de la encuesta del parque temático en esta tabla.

Activ

idad

es15

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite. La suma de las frecuenciasabsolutas es igual al número total de datos.La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Lasuma de las frecuencias relativas es igual a 1.

�

Pregunta a diez compañeros y compañeras de clase qué medio de transporte utilizan para llegar al co-legio y completa una tabla de frecuencias con las respuestas.

Al preguntar sobre las actividades extraescolares que desarrollan los alumnos de dos clases de 6.º dePrimaria, hemos obtenido los siguientes resultados

Elabora una tabla de frecuencias absolutas y relativas con los datos.

Confecciona una tabla de frecuencias con los resultados que ha obtenido Cristina al lanzar un dado.

3, 3, 6, 4, 1, 6, 2, 1, 5, 55, 3, 5, 1, 4, 5, 6, 2, 4, 5

En una encuesta, ¿cuál es la frecuencia absoluta de un dato si su frecuencia relativa es 34/50? 9

8

7

6

La frecuencia absoluta de los alumnos que contestaron sí es 15.

La frecuencia relativa de los alumnos que contestaron no es 10/25.

La suma de las frecuencias absolutas es 25 y la suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Sí IIII IIII IIII 15 15/25

No IIII IIII 10 10/25

Total IIII IIII IIII IIII IIII 25 25/25 � 1

Actividades extraescolares Recuento

Música IIII IIDeporte IIII IIII IIdiomas IIII IIDanza IIIIOtras IIII IIII II

Ninguna IIII III


Media aritmética, moda y…

196

Candela ha obtenido en diez controles de matemáticas estas notas: 6 - 5,5 - 8 - 4 - 7,5 - 8,5 - 7,5 - 6 - 7,5 - 5 ¿Cuál es su nota media?

Para calcular la media aritmética, sumamos todas las notas y dividimos el resultado entre el número total de notas.

6 � 5,5 � 8 � 4 � 7,5 � 8,5 � 7,5 � 6 � 7,5 � 5 65,5� � 6,55

10 10

La nota media de Candela en matemáticas es 6,55.

La nota que Candela ha obtenido en más ocasiones es 7,5. La moda de este conjunto de datos es 7,5.

Activ

idad

es Pregunta a siete compañeros y compañeras cuál es su programa de televisión favorito. ¿Cuál es la modade los resultados obtenidos?

Este diagrama de barras representa las llamadas telefónicas que ha realizado Ángela en los dos últimosmeses a sus amigos. ¿Cuántos minutos ha hablado en total? ¿Cuál es la media de estos datos? ¿Cuáles la moda?

En el comedor del colegio, se han consumido esta semana las siguientes barras de pan: lunes, 34; martes, 38; miércoles, 34; jueves, 35, y viernes, 34. ¿Cuál es la media de barras de pan que se han consumido esta semana? ¿Y la moda?

Para la sesión de la tarde de unos multicines, se han vendido las siguientes entradas: sala A, 212; sala B, 35; sala C, 79; sala D, 62, y sala E, 89. ¿Cuál es la media de estos datos?

13

12

11

10

La media o media aritmética de un conjunto de datos es el resultado de sumar todos los datos y dividirloentre el número total de éstos.La moda es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.

�

Amigos

Min

utos

5

10

15

20

25

Nor

a

Raú

l

Ser

gio

Ros

a

Car

lota

San

ti


En las fiestas de su pueblo, Andrés ha participado en estas actividades:20 minutos en el pasacalle45 minutos en el taller de máscaras30 minutos en el circuito en bicicleta40 minutos en la chocolatada35 minutos en el tiro con arco

Fíjate en cómo se calcula la mediana de estos datos:1. Ordenamos los valores de menor a mayor.

2. Como el número de datos es impar, elegimos el valor central. Así pues, la mediana es 35.

— Si añadimos los 37 minutos empleados en un circuito de escalada urbana, el número de datos es par.Para calcular la mediana, seguimos estos pasos:

1. Ordenamos los valores de menor a mayor.

2. La mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

� 36. La mediana es 36.35 � 37

2

20 - 30 - 35 - 37 - 40 - 45

20 - 30 - 35 - 40 - 45

Activ

idad

es Calcula la mediana de estas series de datos.

a) 4, 5, 7, 4, 6, 5, 5, 9, 7, 6, 4b) 3, 5, 5, 6, 7, 1, 4, 8, 9, 3

Mis primos tienen estas estaturas: 148 cm, 145 cm, 150 cm, 143 cm, 155 cm, 162 cm y 152 cm. ¿Cuáles la mediana de sus estaturas?

En las elecciones para delegado del ciclo superior de Primaria, se han obtenido los siguientes resulta-dos: Irene: 12 votos; Eric: 15 votos; Ana: 6 votos, José: 8 votos, David: 9 votos. ¿Cuál es la medianade los resultados?

En una ciudad, se han apuntado las temperaturas medias de los seis primeros meses del año. ¿Cuál esla mediana?

17

16

15

14

15

La mediana de un conjunto impar de datos ordenados es el valor que ocupa el lugar central. La mediana de un conjunto par de datos ordenados es la media aritmética de los dos datos centrales.

�

…mediana

Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Temperaturas medias 5 ºC 9 ºC 16 ºC 18 ºC 20 ºC 23 ºC

197


Azar y...

198

Sucesos seguros, imposibles y probables

Cuando lanzamos un dado, no sabemos qué número va a salir. Es una situación aleatoria o de azar.

Al lanzar el dado, pueden salir los números 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.Cada resultado representa un suceso y cada suceso tiene una probabilidad.

La probabilidad de que aparezca un número determinado puede expresarse en esta tabla. Fíjate en los ejemplos:

Activ

idad

es Clasifica estos sucesos según sean seguros, probables o imposibles.

a) Jugar un número de lotería y ganar.b) Lanzar una moneda al aire y que salga cara o cruz.c) Lanzar una moneda al aire y que salga cara.d) Escribir los nombres de todos los compañeros y compañeras de clase en unos papeles, meterlos

en una bolsa, sacar uno sin mirar y que salga tu nombre.

Edurne ha tirado una moneda al aire y le ha salido cara tres veces seguidas. Si vuelve a tirar otra vez,¿le saldrá cara? ¿Qué tipo de suceso es?

Una bolsa contiene 5 caramelos de fresa, 3 caramelos de menta y 4 caramelos de naranja. Si cogemosun caramelo sin mirar, ¿cómo son los siguientes sucesos?

a) Sacar un caramelo de eucalipto. b) Sacar un caramelo de fresa.c) Sacar un caramelo de menta o de naranja.

Escribe todos los resultados posibles del experimento «sacar tres bo-las» de una bolsa en la que se han metido dos bolas blancas, dos bolas rojas y dos bolas amarillas.

Escribe un suceso seguro, un suceso imposible y un suceso probableque pueden ocurrir al jugar con tus compañeros y compañeras al jue-go Piedra, papel o tijera.

22

21

20

19

18

Suceso seguro: ocurre siempre.Suceso imposible: no ocurre nunca.Suceso probable: ocurre alguna vez.

�

Imposible Probable Seguro

Que salga el 8. Que salga impar. Que salga un número menor que 20.


Activ

idad

es En una bolsa hay 10 bolas verdes y 4 amarillas. ¿Cuáles son los resultados favorables de sacar una bolaverde? ¿Y una bola amarilla?

— ¿Cuáles son los resultados posibles de sacar cada una de ellas?— ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola verde? ¿Y de sacar una amarilla?

Calcula la probabilidad de estos sucesos si sacamos, sin mirar, una carta de una baraja española.

a) Que sea de copas.b) Que sea una figura.c) Que sea el as de oros.d) Que sea el caballo de espadas.

Si en un sorteo de 1.000 papeletas tú tienes 8, ¿quéprobabilidad tienes de que te toque el premio?

La probabilidad de sacar un número impar de una bol-sa de números diferentes es 15/39. ¿Cuántos núme-ros hay en la bolsa? ¿Cuántos son pares?

26

25

24

23

…probabilidad15

199

Para calcular la probabilidad de un suceso, resolvemos el cociente:

Número de resultados favorablesNúmero de resultados posibles

�

Cálculo de la probabilidad de un suceso

En una caja tenemos 6 fichas blancas y 12 rojas, y sacamos una sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que salga blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que salga roja?

Fíjate en cómo calculamos la probabilidad:

1. Escribimos el número de resultados posibles.2. Escribimos el número de resultados favorables.3. Escribimos el cociente de los resultados favorables entre los resultados posibles.4. Simplificamos, si es posible, la fracción obtenida.

La probabilidad de que salga una ficha blanca es 1/3 y la probabilidad de que salga una ficha roja es 2/3.

Probabilidad de que salga una ficha blanca

Fichas blancasTotal de fichas

Probabilidad de que salga una ficha roja

Fichas rojasTotal de fichas

618

13

�1218

23

�


Para acabar

Clasifica estas variables en cualitativas y cuan-titativas.

a) edad de las personas que viven en tu casab) mes del año en que nacieron tus amigosc) temperatura de cada día de un mesd) población de los países de Europae) clases de árboles de un parque

Pregunta a tus compañeros y compañeras declase el número de hermanos y hermanas quetiene cada uno y elabora una tabla de datoscon las respuestas.

Se ha preguntado a 25 alumnos de Primariacuántos libros han leído el último trimestre y eltipo de libros que les gusta. ¿Cuál es la varia-ble cualitativa? ¿Y la cuantitativa?

4

3

2

Escribe una pregunta para cada una de estas respuestas.1

Pregunta a tus compañeros y compañeras declase cuántos libros han leído durante el curso,y elabora una tabla con las frecuencias absolu-ta y relativa de los datos obtenidos.

En la tienda de Nuria se han vendido bufandasde los siguientes colores:

azul - verde - verde - azul - rojo - amarillo verde - azul - verde - rojo - amarillo - amarilloverde - verde - azul - azul - amarillo— ¿De qué color eran las bufandas más ven-

didas?— ¿Cuántas bufandas ha vendido en total?

6

5

a) Corresponden a cualidades, no se expresan con números.

b) Corresponden a cantidades, se expresan con números.

c) Nos indica el número de veces que se repite un dato.

d) Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de datos.

e) Es el resultado de sumar todos los valores y dividirlo por el número de éstos.

f) Es el valor que tiene mayor frecuencia.

g) Es el valor que ocupa el lugar central de un conjunto ordenado.

h) Es la media aritmética de los dos valores centrales de un conjunto ordenado.

i) Es el suceso que ocurre siempre.

j) Es el suceso que ocurre alguna vez.

k) Es el cociente entre los resultados favorables y los resultados posibles.

200


15

Completa la tabla de una encuesta realizadapara saber qué fruta es la preferida.

En una clase se ha anotado la temperatura decada mañana y cada tarde durante una sema-na.

a) ¿Cuál es la temperatura media de cada día?

b) ¿Cuál es la temperatura media de la sema-na durante las mañanas?

Carlos ha ahorrado en los seis últimos mesesestos euros:

56 € - 62 € - 75 € - 60 € - 100 € - 85 €— Calcula la media de euros que ahorra cada

mes.

En un control de matemáticas se han obtenidoestas puntuaciones:

6 - 5,5 - 8 - 4 - 6 - 7 - 7,5 - 9 - 6 - 5 - 7,5 8 - 10 - 9 - 9,5 - 6 - 6,5 - 7 - 3 - 4,5 - 5 5,5 - 5 - 6,5 — Calcula la media y la mediana.

Un ciclista se entrena cada día recorriendo es-tos kilómetros:

105 - 98 - 86 - 90 - 95 - 108 - 90— Calcula la media y la mediana de estos da-

tos.

Escribe los nombres de cinco situaciones ale-atorias o de azar.

12

11

10

9

8

7 Clasifica estos sucesos en seguros, imposiblesy probables.

a) Salir cruz al lanzar una moneda.b) Salir un número menor que 8 al lanzar un

dado.c) Salir el número 0001 en un sorteo con los

primeros mil números.d) Salir el 6 al lanzar un dado.e) Sumar los puntos y que salga 17 al lanzar

dos dados.

Luisa tiene cinco monedas de 1 euro y dos mo-nedas de 0,50 euros en el bolsillo. Si saca unamoneda sin mirar, ¿qué probabilidad tiene deque sea de 1 euro?

En un restaurante quedan 4 mesas libres allado de la pared y 2 mesas libres al lado de laventana. Si Agustín va al restaurante, ¿qué pro-babilidad tiene de que le toque una mesa allado de la ventana?

En un frutero hay 4 naranjas, 3 manzanas y 5 peras. Si coges una fruta sin mirar, ¿quéprobabilidad tienes de que sea una manzana?

Pilar tiene una caja con 24 lápices de coloresdistintos. Si la abre y coge uno al azar, ¿quéprobabilidad tiene de que sea el amarillo?

En una casa, viven unos padres con sus doshijos y una hija. Calcula la probabilidad de queal llamar por teléfono conteste:

a) la hija c) el padreb) la madre d) un hijo

18

17

16

15

14

13

201

FrutaFrecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

naranja .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12/90

plátano 25 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ciruela .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49/90

manzana .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L M X J V

Mañana 18 ºC 15 ºC 17 ºC 17 ºC 18 ºC

Tarde 23 ºC 21 ºC 21 ºC 22 ºC 24 ºC


Escribe cómo se leen estos números y ordéna-los de menor a mayor.

345.002,006 - 2.345.078,999345.200,999 - 2.347.000,001 2.346.078,1 - 345.202,988

Calcula:

a) 7,6 � 3,2 � 6,05 � 15,3b) (5,4 � 2) : (3 � 2) � 6,7c) 4,8 � 3,02 � (1,25 : 0,5)

Busca los términos que faltan.

648 � . . . . . . . . . . . .

235,009 � . . . . . . . . . . . .

64 � . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . : 7,08

Calcula estas raíces cuadradas.

a) ��49 d) ��2.500b) ��128 e) ��900c) ��64 f) ��94

Escribe los números comprendidos entre 300 y 500, y que son a la vez múltiplos de 2,5 y 9.


a) 1.350 y 1.800b) 189,315 y 420

Transforma en fracción o en número mixto:

a) 15 d) 8

b) e)

c) f) 11 23

1247

6453

12635

49

35

7

6

5

4

339,84

3

2

1

Calcula:

a) 38 � 0,5 d) 39 : 0,5b) 59 � 0,25 e) 96 : 0,25c) 168 � 0,25 f) 239 : 0,25

¿Cuál es el perímetro de una baldosa cua-drada de 0,5 m de lado?

¿Cuántos lados tiene un polígono regular sisu perímetro es de 2 m y cada uno de suslados mide 0,25 m?

14

13

12


cálculo mental

202

Completa las series con cuatro términos más.

a) 1/3 .. . . . . . . . . . .

b) 3 .. . . . . . . . . . .

c) 5/6 .. . . . . . . . . . .

Escribe estos números decimales en forma defracción y simplifica los resultados.

a) 0,66 d) 25,50b) 0,384 e) 100,5c) 5,2 f) 2,100

Sitúa estos números decimales sobre una rec-ta numérica.

9,7 - 10,09 - 9,5 - 10,9 - 9,75 - 10,34

Calcula la cantidad final del estado de cuentasde una caja después de estos movimientos.

a) Deben 15 €.b) Entran 10 € y 60 céntimos.c) Añaden los 4/5 de 25 €.d) Añaden una docena de cartuchos de

20 monedas de 10 céntimos cada uno.e) Pagan una deuda con 2 billetes de 10 €,

2 monedas de 2 € y 3 monedas de 50 céntimos.

11

10

9

8� 2/5

� 1/6

: 1/4



203

15

A partir de estos datos y operaciones, escribelos enunciados de los problemas y resuélve-los.

a)

b)

Calcula de manera aproximada:

a) A una competición deportiva han acudido11 autocares con 49 atletas en cada uno y19 furgonetas con 8 atletas en cada una.¿Cuántos atletas participan?

b) Cuentan con 2 pabellones y un estadio conunos aforos de 16.780, 13.958 y 5.120asientos. ¿Cuántas personas pueden acu-dir?

c) Si ha habido una demanda de 38.950 entra-das, ¿cuántas personas se quedan sin en-trada?

d) Si en la tarde de hoy se ha llenado todo elcomplejo y se han recaudado 180.000 €,¿cuánto valía cada entrada?

Para curar un resfriado, Manuel debe tomar 10 ml de jarabe cada 8 horas durante una se-mana. ¿Tendrá suficiente con un frasco de 25 cl?

3

2

20 l de aceite

51,1: (20 � 6)

48 personas

15 � 48 � 36

1 En una finca de 120 a, el 2 % se ha utilizadopara construir una casa; 5/8 se han destinadoa cultivo; la granja ocupa 1/5 de la zona de cul-tivo y el resto se dedicará a zona de ocio.

a) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la superfi-cie de la casa?

b) ¿Cuál es la superficie de la zona de cultivo?

c) ¿Qué fracción representa la zona destinadaa la granja? ¿Y su superficie?

d) ¿Qué superficie tiene la zona de ocio?

¿Cuál es la mayor longitud en que podemoscortar tres trozos de tela de 24 m, 36 m y 72 m en partes iguales?

Calcula el área de un rectángulo sabiendo quesu perímetro es de 96 cm y que el lado mayormide el triple que el menor.

Un depósito de riego por aspersión de 300 klvierte medio litro cada cuarto de hora. ¿Cuán-tos litros contendrá al cabo de una semana?

Una sala de reuniones tiene forma de octógo-no regular de 18 dm de lado y 0,52 m de apo-tema. ¿Cuál es su perímetro? ¿Y su superficie?

8

7

6

5

4


Soy capaz

204

Sitúa sobre una recta los siguientes números.

7, �2, 11, �11, 10, 8, �8

Representa gráficamente estos enunciados, escribe los números enteros correspondientes y calcula:

a) Esta mañana el termómetro marcaba 7 grados bajo cero y la temperatura ha subido 10 grados al-canzando un valor de…

b) Un buzo está a 350 m bajo el nivel del mar y otro está a 80 m por encima del primero. Este último seencuentra respecto al nivel del mar a una distancia de…

c) Un escalador se encuentra en la cima de una montaña de 1.850 m y un buzo, a 250 m bajo el mar.Ambos están separados por una distancia de…

Completa esta serie con números enteros.

Representa en un sistema de coordenadas los trayectos recorridos por José y Ana. Si ambos han coin-cidido en el Ayuntamiento, ¿en qué punto se encuentra este edificio?

José → (�2, 7); (0, 4); (5, �3); (8, �7) Ana → (�6, �3); (�3, 0); (7, 7); (10, 9)

Completa la tabla.

Completa:

a) 45,2 m2 � . . . . . . . . . . . . dm2 c) 0,832 dl � 83,2 .. . . . . . . . . . .

b) 3.674 kg � 36,74 .. . . . . . . . . . . d) 35.245 mm � . . . . . . . . . . . . m

Transforma estas expresiones en incomplejas.

a) 4 km2 62 hm2 45 dm2 � . . . . . . . . . . . . m2 c) 5 kg 26 dag 6 mg � . . . . . . . . . . . . cgb) 6 hl 4 dal 65 cl � 640,65 .. . . . . . . . . . . d) 3 hm 45 m 1dm � . . . . . . . . . . . . dam


a) 457,8 dm c) 63.007,02 kgb) 345.022 ca d) 200,457 dal

Ordena las siguientes cantidades de mayor a menor.

a) 6 hm 2 dam 12 m 4 dm c) 632,48 mb) 6.322 dm 8 cm d) 0,632 km

9

8

7

6

kg hg dag g dg cg mg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10,2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.200 .. . . . . . . . .

5

4

3

2

1

� 5 � 4 � 18 � 6 � 10 � 7�21


205

Identifica las siguientes figuras y calcula sus perímetros o longitudes y sus áreas.

Con la ayuda de una representación gráfica, calcula:

a) Los lados de un rectángulo cuyo perímetro es de 36 cm y un lado es el doble que el otro. b) El lado de un cuadrado cuya área es de 64 cm2.c) La base de un romboide cuya área es de 72 cm2 y su altura mide 6 cm.d) El radio de una circunferencia cuya área es de 78,5 cm2.

¿Es posible formar un cubo con estas superficies?

a) b) c) d) e) f)

Calcula el volumen de cada figura sabiendo que la arista del cubo es de 1 cm de longitud.

a) b) c) d) e)

Relaciona:

Sacar una bola.Sacar una bola roja.Sacar un triángulo. SeguroSacar una bola amarilla. ProbableSacar una bola blanca. ImposibleSacar un cuerpo redondo. Sacar una bola azul.

— Calcula la probabilidad de cada caso probable.

14

13

12

11

10

12 cm

5 cm

6 cm

7,5 cm 7,5 cm

7 cm

10 cm

14 cm

6,5 cm5 cm

8 cm8 cm

11 cm

7 cm


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9330 - MATEMÁTICAS EP6 RUTA (CAS)