MECÁNICACINEMÁTICA

INTRODUCCIÓN

• La Mecánicaes una parte de la Física que tiene por objeto estudiar elestado de movimiento de los cuerpos, buscar sus causas y establecerlas leyes que rigen estos movimientos.

• Dependiendo de la naturaleza del estudio, la Mecánica se divide endos partes:

• Cinemática: estudia de forma genérica el movimiento independientemente delas causas que lo producen.

• Dinámica: estudia el movimiento atendiendo también a las causas que loprovocan. Dentro de laDinámica, existe otra parte, de especial interés enIngeniería, denominadaEstática. Trata de estudiar en que circunstancias loscuerpos están en reposo, aunque estén sometidos a varias fuerzas.

CINEMÁTICA

• Un cuerpo se está moviendo cuando su posición cambia en el espaciocon relación a otro que consideramos fijos y que sirven de referencia.

• Pero puede suceder que no sólo el cuerpo se mueva sino que tambiénlo haga el sistema de referencia.

• Por lo queel concepto de movimiento o reposo siempre tiene unsentido relativo.

• Se debe establecer unsistema de coordenadas.

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

• VELOCIDAD• ACELERACIÓN

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Velocidad media• El movimiento del punto material esunidimensional si queda

perfectamente determinado por una única coordenada,x = x(t). Estaecuación matemática describe la trayectoria del cuerpo.

• Consideremos una partícula moviéndose sobre una línea rectarepresentada por la coordenadax. Supongamos que en el instanteti seencuentra en la posiciónxi y en eltf en la posiciónxf .

• Definimosvelocidad mediade la partícula en ese intervalo de tiempocomo:

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Velocidad media• La velocidad mediaes independiente de la trayectoria seguida por la

partícula, sólo depende del espacio recorrido y el tiempo transcurrido.Es decir, si una partícula partiese de un determinado punto yluego deun tiempo regresa al mismo punto, su velocidad media sería cero.

• Geométricamente, la velocidad media representa la pendiente de larecta que une los puntos inicial y final.

� = ∆�∆� = ��

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Velocidad media

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Velocidad instantánea• La velocidad de una partícula en un instante de tiempo cualquiera se

denominavelocidad instantánea.

• Para determinarla debemos hacer el intervalo temporal tan pequeñocomo sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambiosen el estado de movimiento durante ese pequeño intervalo.

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Velocidad instantánea

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Velocidad instantánea• Si se conoce la velocidad como función del tiempo,v = v(t), es posible

determinar la posición de la partícula en cualquier instante usando elconcepto de integral.

� = �� → �� = � → � �

�= � � � �

�

��

⟹ � = �� + � �(�)�

���

• El desplazamiento,x – x0, se puede interpretar geométricamente como elárea bajo la curvav = v(t).

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Aceleración• Supongamos una partícula que en el instante ti tiene velocidad vi y en

el tf velocidad vf . Definimos la aceleración mediaen ese intervalo como :

�� = �� − ���� − ��

= ∆�∆� , �� = ����

• Definimos aceleración instantáneacomo el límite de la aceleración media en un intervalo temporal muy pequeño.

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Aceleración• Si conocemos la aceleración instantánea en función del tiempo, a =

a(t), podemos calcular la velocidad instantánea,v = v(t):

• La aceleración se puede relacionar con la posición:

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: Aceleración• Una relación importante entre la velocidad y la aceleraciónse obtiene

de la siguiente manera:

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Ejemplos: Movimiento uniforme y uniformemente acelerado.

• El movimiento uniformese produce cuandov = v0 = cte.

• El movimiento uniformemente variadose produce cuandoa = a0 =cte.

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Ejemplos: Movimiento uniforme y uniformemente acelerado.

• Para elmovimiento uniformemente variadousemos la última ecuaciónobtenida para lavelocidady la ecuación obtenida para laposiciónencualquier instante:

• A partir de

se obtiene

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Ejemplos: Movimiento uniforme y uniformemente acelerado (Gráficos x = f(t); v = f(t))

• Movimiento uniforme:

� = 0� ≡ �� = !�".� = �� + ��(� − ��)

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Ejemplos: Movimiento uniforme y uniformemente acelerado (Gráficos x = f(t); v = f(t))• Movimiento uniforme

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Ejemplos: Movimiento uniforme y uniformemente acelerado (Gráficos x = f(t); v = f(t))

• Movimiento uniformemente acelerado:

� ≡ �$ = !�".� = �� + ��(� − ��)

� = �� + �� � − �� + ��2 � − �� �

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN Ejemplos: Movimiento uniforme y uniformemente acelerado (Gráficos x = f(t); v = f(t))• Movimiento uniformemente acelerado:

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN:CAIDA LIBRE• Todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre adquiere una

aceleración aproximada deg = 9,81 m/s2 cuando se deja caerlibremente.

• Si tomamos como origen la superficie terrestre y coordenadaspositivasy, hacia arriba, entonces la aceleración será negativa,a = –g.

• Las ecuaciones adecuadas de movimiento son las del movimientouniformemente acelerado.

� � = �� − �(� − ��)& � = &� + �� � − �� − '

� � � − �� ��� & = ��� − 2�(& − &�)

MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

• VELOCIDAD• ACELERACIÓN

MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES: Velocidad• Supongamos una partícula moviéndose en el espacio.

• En cada instantet, su posición estará dada por unvector posición() = () � .

• En coordenadas cartesianas, la ecuación de la trayectoria estará dadapor: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Cuando se trata de unmovimientounidimensional(movimiento rectilíneo) sólo necesitábamos la primeraecuación y en caso de unmovimiento en el plano, sólo son suficienteslas dos primeras ecuaciones para describir el movimiento.

MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES: Velocidad• Si la posición de la partícula en el instante ti está dada por ()� y en tf por

()�, se define velocidad mediaen ese intervalo temporal como:

• Observar que �) es un vector

paralelo al desplazamiento ∆().

MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES: Velocidad• La velocidad instantánea:

• Sus componentes

• La velocidad instantáneaes un vector tangente a la trayectoria, por lo que se puede expresar también como:

donde *�, es un vector unitario tangentea la trayectoria.

MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES: Aceleración• La velocidad varía en general, tanto en módulo como en dirección y sentido.• Definimos aceleración mediacomo el cambio de velocidad en un intervalo de

tiempo:

• La aceleración instantánea:

• La aceleración instantáneaes un vector que tiene la misma dirección que el cambio de velocidad, pero en general no es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria.

MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES: Aceleración• La velocidad instantánea está siempre dirigida hacia la concavidad de la

trayectoria de la partícula.

• Podemos expresar la aceleración instantánea del siguiente modo:

COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN

• Componente Tangencial• Componente Normal

Componentes de la aceleración

• Aceleración tangencial, at → cambio en magnitud de la velocidad

• Aceleración normal, an → cambio en la dirección de la velocidad

Componentes de la aceleración

• Sea ut un vector unitario tangente a la trayectoria → + = �,-

• La componente tangencial tiene por módulo de la derivada del módulo de la velocidad (está asociada al cambio del módulo de v)

• ¿Cuánto vale la derivada en el segundo sumando, dut /dt?

• Para una trayectoria curva, la dirección de ut varía a lo largo de la curva.

Componentes de la aceleración

Derivando la primera ecuación:

Esto nos indica que dut/dt es un vector normal a la curva

Componentes de la aceleración

• Ahora calculemos

donde ds = AA es un pequeño arco a lo largo del cual se mueve la partícula en el tiempo dt.

• Denominando ρ = AC al radio de la curvaturapodemos escribir

Componentes de la aceleración

• Introduciendo el último resultado en la a

• La primera componente es un vector tangente a la curva y proporcional al cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad; corresponde a la aceleración tangencialat.

• La segunda componente es un vector normal a la curva y corresponde a la aceleración normalan.

• La magnitud de la aceleración es:

MOVIMIENTO CIRCULAR

• VELOCIDAD ANGULAR• ACELERACIÓNANGULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR

• Consideremos ahora un movimiento cuya trayectoria es un círculo. Si el radio es R, el arco recorrido, s, y el ángulo barrido, θ→ s = Rθ.

• La cantidad dθ / dt se denomina velocidad angular, ω, y es igual a la variación del ángulo descrito en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo:

MOVIMIENTO CIRCULAR

• La velocidad angular también se puede definir como una magnitud vectorial. Por definición se considera su dirección como perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la regla de la mano derecha.

• Relaciones validas para el movimiento circular:

MOVIMIENTO CIRCULAR

• Un movimiento circular sencillo es aquel en que la velocidad angular permanece constante, movimiento circular uniforme. Este movimiento es periódicopuesto que la partícula pasa a intervalos iguales de tiempo por cada punto del círculo.

• Es de utilidad definir lo siguiente:• PERIODO, T: tiempo que tarda la partícula en regresar al mismo punto. • FRECUENCIA, ν: número de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T. Su

unidad en el S.I es el s– 1 (Hz).

MOVIMIENTO CIRCULAR

• Para este tipo de movimiento si ω0 = constante:

• Si se toma θ0 = 0 ent0 = 0, resulta: θ = ω0t. Tras una vuelta completa al círculo:

MOVIMIENTO CIRCULAR

• Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular cambia con el tiempo. Definimos aceleración angularcomo:

) = .�

• El movimiento tiene lugar en un plano ⟹ la dirección de . es una sola y se verifica la ecuación anterior también para los módulos de las magnitudes involucradas.

= .� = �/

��

MOVIMIENTO CIRCULAR• Si es constante el movimiento se denomina circular uniformemente

acelerado, α ≡ � = !�".:

� .1

1�= � �

�

��� = � − �� ⟹ . � = .� + � � − ��

. = /� ⟹ / − /� = � .

�

��� = � .� + � � − �� �

�

��resolviendo la integral

/ = /� + .� � − �� + 12 � � − �� �

MOVIMIENTO CIRCULAR• En el caso del movimiento circular las componentes de la aceleración

son:

�� = �� = 3 .

� = 3 �/�� = 3

�4 = ��3 = .�3

• En el movimiento circular uniforme, �� = 0 pero �4 ≠ 0. Y se puede calcular la aceleración de otro modo:

�) = . × () ⟹ �)� = �) = . × ()

� = . × �)

⟹ �) = . × . × ()

MOVIMIENTO PARABÓLICO

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Movimiento uniformemente acelerado → movimiento de proyectiles.

• Movimiento en que la aceleración es debida al campo gravitatorio.

• Consideremos que la aceleración gravitatoria es constante �) = �) =− �7) .

• Si el proyectil se lanza con una velocidad inicial �)� que forma un ángulo con el eje x, su movimiento, que es bidimensional, es una composición de un movimiento uniforme en el eje horizontal y un movimiento acelerado en el eje vertical.

MOVIMIENTO PARABÓLICO

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Condiciones iniciales:

• Velocidad en cualquier instante:

donde:

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Vector posición en cualquier instante:

donde:

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la máxima altura �8.

• La condición de máxima alturaviene dada porque en ella �9 = 0. luego��9 = ��8 y despejando�8:

�8 = ��:";�

MOVIMIENTO PARABÓLICO• Altura máxima, &8. Sustituimos �8 en la ecuación & = & � .

&8 = & �8 = ��:"; ��:";� − 1

2��:";

��

⟹

&8 = 12

���:";��

• Tiempo de vuelo, �<.

0 = ��:"; � − 12 ��� ⟹ �< = 2��:";

� = 2�8

MOVIMIENTO PARABÓLICO

• Alcance, R.

3 = � �< = �� 2��:";

� = ���� 2:"; !=: = ���

� :";2

• Ecuación de la trayectoria, & = &(�).

& � = � �� − �2���!=:� ��