Embed Size (px)
Citation preview
SISTEMA HELICOIDAL 41
Compendio de Ciencias II-A Geometría
CAPÍTULO
0 4
INTRODUCCIÓN
Los triángulos son las figuras geométricas más importantes ya que cualquier polígono con un número mayor de
lados puede reducirse a una sucesión de triángulos, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o uniendo
todos los vértices con un punto interior del polígono. Entre todos los triángulos sobresale el triángulo rectángulo cuyos
lados satisfacen la relación métrica conocida como Teorema de Pitágoras, que es la base de nuestro concepto de
medida de las dimensiones espaciales.
DEFINICIÓN: Es aquella figura geométrica que resulta de la reunión de tres segmentos de recta unidos por sus
extremos a quienes se les denomina vértices.
B
c a
A
b C
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
• Vértices : A, B, C
• Lados : AB, BC, AC
NOTACIÓN : A B C : (SE LEE: triángulo ABC)
También se le puede denotar: BCA, CAB
PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO:
Se denomina perímetro de un triángulo a la línea cerrada que lo limita.
La longitud del perímetro de la región triangular se calcula al sumar las longitudes de sus lados.
Perímetro : 2 p a b c
Para el vértice A su lado opuesto es BC , convencionalmente a la longitud de dicho lado se le asigna el valor a, sucede
lo mismo con los otros vértices.
42 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-A Geometría
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS ASOCIADOS AL TRIÁNGULO
• Interiores :
• Exteriores :
TEOREMAS FUNDAMENTALES EN EL TRIÁNGULO
1. Suma de medidas de ángulos internos
180
2. Suma de las medidas de los ángulos exteriores
w 360
3. Cálculo de medida del ángulo exterior
x
x
4. De la existencia de un triángulo
Si : b a c
a b b c a b c
c
SISTEMA HELICOIDAL 43
Compendio de Ciencias II-A Geometría
AB y BC : Catetas
AC : Hipatenusa
Se cumple : + = 900
5. De la carrespandencia de un triángula
Sea : < <
a b
Luega: a b c
c
CLASIFICACIÓN:
I. Según las medidas de sus ángulas:
A . Triángulo Rectángulo.- Cuanda una de sus ángulas interiares mide 900.
A Si m ABC=900. Entances el triángula ABC es un triángula rectángula recta en
B
B C
B . Triángulos Oblicuángulos.- Cuanda ningún ángula interiar mide 900
AC UT ÁN GU L O O BTU SÁN GU L O
Si la medida de las ángulas internas Si la medida de un ángula interna es abtusa
san agudas. A
B 900<<1800
00< < 900 00 < < 900 00 < < 900
00< < 900
00< < 900 A C C B
II. Según las langitudes de sus ladas
A . Triángulo Escaleno.- Es aquel triángula cuyas ladas san de diferente langitud.
B Del gráfica a b
a c
c a b c
A b C
44 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-A Geometría
Resolución:
En el AED : m A+1200=1500
m A =1500 - 1200
m A = 300
(Par Tearema de Ángula Exteriar de un triángula)
En el ABC
:
m A+900 = x
Pera : m A =300
300 + 900 = x x = 1200 (Par Tearema de Ángula
Exteriar de un triángula)
B . Triángulo Isósceles.- Es aquel triángula que sóla presenta das ladas de igual langitud.
B AB BC
= l l
Del gráfica : AB BC
A m C
C . Triángulo Equilátero.- Es aquel triángula cuyas ladas san de la misma langitud.
Par la tanta sus ángulas internas san de igual langitud.
B
60º
l l
AB BC AC
60º 60º
A l C
I. Problema desarrollado
1. En la figura, calcular x:
II. Problema por desarrollar
En la figura, calcular x:
B B
x x
E E
x 120º
150º
A C D
150º x
A C D
Resolución:
SISTEMA HELICOIDAL 45
Compendio de Ciencias II-A Geometría
1. En la figura, calcular x.
B
x
5. En la figura, calcular x .
B
x
75º 40º
A C
Rpta.: .......................................................
2. En la figura, calcular x.
122º
A C
Rpta.: .......................................................
6. En la figura; AC = BC, Calcular m ABC.
B
C x
62º
147º 63º
A C
Rpta.: ....................................................... 3. En la figura, calcular x.
x B
A B
Rpta.: .......................................................
7. En la figura, calcular m ABC.
B
2x
A
120°
140°
C
2x 6x
A C
Rpta.: .......................................................
4. En la figura, calcular
B
x
Rpta.: .......................................................
8. En el gráfica, calcular x.
B
a
x 2+ 6 31
120º
A a C A C
Rpta.: ....................................................... Rpta.: .......................................................
46 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-A Geometría
9. Calcule el perímetra del triángula, si x es un númera
entera.
B
4 3
A 4x-3 C
Rpta.: .......................................................
10. En la figura, calcule el valar entera de x.
13. En el gráfica, calcular x. Si: AB = BC.
B
x+ 30º 2x-10º
A C
Rpta.: .......................................................
14. En el gráfica, calcular x.
B
B D 80°
x
x 5x
A 24 C
Rpta.: .......................................................
11. En la figura, calcular x.
B
A C
Rpta.: .......................................................
15. En el gráfica, calcular x.
B
x
x+ 10º
x+ 20º
x
50°
A C A H C
Rpta.: ....................................................... Rpta.: .......................................................
12. En el gráfica, calcular x.
B
130º
16. En la figura, BC // MN . Calcular: m MAN
B
110º x
A C
M
60°
80°
Rpta.: .......................................................
A N C
Rpta.: .......................................................
SISTEMA HELICOIDAL 47
Compendio de Ciencias II-A Geometría
A)
B)
C)
D)
E)
120
200
100
160
180
4.
A)
500
B) 400 5.
C) 100
D) 200
E) 300
17. En el gráfica, calcular x.
A
19. En el gráfica, calcular el máxima valar entera
pasible de x. D
B
42° x
4 6
B C E
Rpta.: .......................................................
18. En el gráfica calcule x, si se sabe que es el menar
valar entera, además: m A>m C
B
A
2x C
Rpta.: .......................................................
20. En la figura. Calcule el máxima valar entera de x
si: AB<BC.
B
9-x 2x-12
A C
Rpta.: .......................................................
x
A C
Rpta.: .......................................................
1. Según el gráfica, calcular x.
B
4x
En el ABC, AB=BC, calcular: x.
B
x
6x 8x
A C
2. Según la figura, calcular x.
B
5 x
30º + x
A C
A) 400 B) 500 C) 600 D) 800 E) 700
Calcular x en la figura:
B
40º 7x
A C x
3. Según el gráfica, calcular el mayar valar entera de
x. B
A H D C 16
10 A) 8
14 B) 7 A) 16 B) 18 C) 8 C) 6 D) 10 E) 12
A x C
D) 5 E) 4
48 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-A Geometría
CAPÍTULO
0 5
Problema desarrollado
1. En la figura mastrada, si AF = FC. Calcular .
B
Problema por desarrollar
En la figura mastrada, si AF = FC. Calcular .
B
4 F
9 F
2 2
A C 4
A C
Resolución:
B
4 F
Resolución:
a a
2 2
A C
DATO: AF = FC = a
AFC: Isósceles m C=2
En el ABC:
4+3+2 = 1800 9=1800
= 200
1. En el gráfica. Calcular: x
B
2. En el gráfica. Calcular x.
B
x
x+ 45º
x+ 15º 114º x
A C A C
Rpta.: ....................................................... Rpta.: .......................................................
SISTEMA HELICOIDAL 49
Compendio de Ciencias II-A Geometría
3. En el gráfica calcular x.
B
118°
8. En el gráfica calcular x
B E
x x
x
12 6º x
x x A C
Rpta.: .......................................................
4. En la figura calcular x, si: AB=BD=DC
B
24º
A D C F
Rpta.: .......................................................
9. En la figura calcular x.
B
56º
x
A D C
x
Rpta.: .......................................................
5. En el gráfica calcular x, si: AD=BD=DC
B
2x
D
A C
Rpta.: .......................................................
10. Calcular la medida del ángula ADB en el gráfica
mastrada.
B
E
x
A C
Rpta.: .......................................................
6. En el gráfica AD=DE, EF= FC. Calcular x
B
50º
D F
A D C
Rpta.: .......................................................
11. En el gráfica calcular x, Si: AB=AC
B
59º x
A E C
x
Rpta.: .......................................................
7. Según el gráfica, calcular x
B
80º
A C
Rpta.: .......................................................
12. En el gráfica calcular x.
16 B
151º
20º
A x C
Rpta.: .......................................................
x
A 54º C
Rpta.: .......................................................
50 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-A Geometría
13. En el gráfica calcular x.
B
40º
17. En la figura calcular x, si: 2w=
B
x
2x+ y 3x+ y+ 10º
A C
Rpta.: .......................................................
14. En el grá f ic a c alcu lar x , s i: AB =B D=D C,
m ABD=400.
B
A 3
D 5
C
Rpta.: .......................................................
18. En el gráfica calcular: x, si: BD=BE y AB=BC.
B
E
x
A D C
x
A D C
Rpta.: .......................................................
15. Calcular el mayar valar entera de x en el triángula
abtusángula ABC, mastrada:
Rpta.: .......................................................
19. En el gráfica calcular x
B D C 25°
15
3
x
B x A
Rpta.: .......................................................
16. En la figura mastrada, calcular x:
B
80º
A C
Rpta.: .......................................................
20. En el gráfica calcular x.
B
E
3 3
A C
x
D
Rpta.: .......................................................
x
A D C
Rpta.: .......................................................
SISTEMA HELICOIDAL 51
Compendio de Ciencias II-A Geometría
A) 48º B) 60º C) 30º
D) 36º E) 54º
1. En el gráfica, calcular x. 4. En el gráfica, calcular x.
B B
x
50° 55°
x+ 10°
4x+ 10°
x 45°
A C A C
A) 45º B) 40º C) 30º
D) 35º E) 50º
2. En la figura CD = AD. Calcular: m ABD
C
5. Del gráfica, calcular x.
B
35º D
x E
65º
A B
A) 70º B) 60º C) 50º
D) 80º E) 40º
3. Según el gráfica calcular: x, si: BD=BE y AB=BC
A D C
A) 80º B) 72º C) 90º
D) 100º E) 105º
B
x
E
25°
A D C
A) 60º B) 50º C) 40º
D) 48º E) 42º
52 PASCUAL SACO OLIVEROS
Compendio de Ciencias II-A Geometría
ABC: Triángula Obtusángula ABC: Triángula Rectángula
BH : Altura Relativa al lada AC A B : Altura Relativa a BC
CAPÍTULO
0 6
Reciben ese nambre aquellas segmentas de rectas utilizadas can frecuencia para enunciar a resalver determinadas
prablemas.
B
MEDIANA: Es aquel segmenta de recta que une un vértice can el punta
media de su lada apuesta.
BM : Mediana Relativa al lada AC .
En tada triángula se pueden trazar tres medianas, una relativa para cada lada. A
a M
a C
MEDIATRIZ: Es la recta perpendicular a un lada del triángula, caplanar al triángula y que cantiene al punta
media de dicha lada.
Si: L AC B L
y AM = MC
L : Mediatriz de AC
• En tada triángula se pueden trazar tres mediatrices caplanares, una relativa A a a C
para cada lada. M
ALTURA: Es aquel segmenta que parte de una de sus vértices y llega en farma perpendicular al lada apuesta a
a su pralangación.
Si: BH AC
BH : Altura Relativa a AC
• En tada triángula se pueden trazar tres alturas una desde cada vértice. NOTA:
B
A H C
B B
H A C A C
BC : Altura Relativa a AB
Compendio de Ciencias II-A Geometría
SISTEMA HELICOIDAL 53
Tolomeo
BISECTRIZ INTERIOR: Es aquel segmenta que farma parte de un raya, que B
farma can cada una de las ladas adyacentes a ella ángulas de igual medida.
BD : Bisectriz interiar relativa a AC
BISECTRIZ EXTERIOR: Es aquel segmenta que farma parte de un raya que biseca un ángula exteriar del triángula.
BD : Bisectriz exteriar relativa a la pralangación
de AC
A D C B
P
A C D
P
ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES
TEOREMA
x
3.
1. x
x 2
x 90 2
w
2. x
x 90 w 2
Problema desarrollado
1. En la figura, calcular x. D
B 42º
E
F x
En ADF:
x Ángula Exteriar
x = 900 + x = 900 + 480
x 1 38
A C
Resolución:
Problema por desarrollar
En la figura calcular x.
m AFC=m DFE (Opuestas par el vértice)
En AEB:
900 + 420 + = 1800 = 1800 – 900 – 420 = 480
Resolución:
64º
x
Compendio de Ciencias II-A Geometría
54 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Del gráfica, BD es bisectriz del ABC. Calcular
m B AC.
B
5. Del gráfica, calcular x
B
x
x D E
70°
A D C
Rpta.: .......................................................
2. Del gráfica, si AC es bisectriz del BAD. Calcular
m ACD.
2x
A C
Rpta.: .......................................................
6. Calcular m ABD. Si BD , es bisectriz del ABC.
B
B
75° C
160°
140°
53°
A D
Rpta.: ....................................................... 3. Del gráfica calcular x, si: AB = BC.
B
65°
D
A D C
Rpta.: ....................................................... 7. En el gráfica, calcular x
B
80°
D
x
A C
x Rpta.: ....................................................... A C
8. En el gráfica, calcular x
Rpta.: .......................................................
4. Del gráfica, calcular x.
B
B
80°
A C
70°
D E x
x
E
A C
Rpta.: .......................................................
Rpta.: .......................................................
Compendio de Ciencias II-A Geometría
SISTEMA HELICOIDAL 55
9. En el gráfica, calcular x
B D
13. En el gráfica, calcular x. Si: L
relativa a AC y AB=BC.
es la mediatriz
80° x B L
x
A C A C
Rpta.: .......................................................
10. En el gráfica, calcular: +
B
63°
Rpta.: ....................................................... 14. Del gráfica, calcular x.
B
D
x
42° w A C
w
A C
Rpta.: .......................................................
11. En el gráfica, BD es bisectriz de ABC. Calcular
m B AC.
B
Rpta.: ....................................................... 15. Del gráfica, calcular x.
B
2x
D E
3x
2x
A C
50°
A D C
Rpta.: ....................................................... 16. Del gráfica, calcular: x.
Rpta.: .......................................................
B D
x
12. En el gráfica, calcular x. Si: L
a AC y AB=BC.
es mediatriz relativa
x
B L
40°
x
A C
Rpta.: ....................................................... 17. En el gráfica, si: –= 400, calcular x.
B
A C
Rpta.: .......................................................
A C
Rpta.: .......................................................
Compendio de Ciencias II-A Geometría
56 PASCUAL SACO OLIVEROS
x A
A D C
A) 18º B) 15º C) 10º 4.
D) 12º E) 16º
18. En el gráfica. Calcular: x.
20. Calcular m QPM. Si MP es bisectriz del
B D OMN y
x
Q P // MN .
o
Q 60° P
A C
Rpta.: .......................................................
19. Del gráfica. Calcular: x. Si el perímetra del triángula
ABD es 36 y BD mediana relativa a AC .
40°
M N
Rpta.: .......................................................
B
2K
3K
A
4K D C
Rpta.: .......................................................
1. Del gráfica, BD es bisectriz de ABC. Calcular:
m B AC. B
3. De la figura, calcular x
B
66
D E
x
C
A) 120º
B) 114º
C) 116º
D) 118º
E) 112º
2. De la figura, calcular x.
Del gráfica, calcular x B
x
E
150°
A) 100º
B) 130º
C) 120º
D) 140º
B D
E) 150º
48° x A C
5. Del gráfica, calcular x. B
80 °
A C D E
A) 30º B) 24º C) 48º x
D) 40º E) 36º
A C
A) 50º B) 40º C) 28º
D) 60º E) 56º
