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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
"UN NUEVO ALGORITMO PARA LOCALIZACION DIGITAL DE
FALLAS EN LINEAS DE TRANSMISIÓN TRIFÁSICAS"
JORGE HUMBERTO YEPEZ ZALDUMBIDE
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO
DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACION
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
JULIO - I99O
Certifico que la presente tesis
ha sido realizada en su totali-
dad por el Sr. Jorge Humberto
Yépez Zaldumbide.
. Patricio Orb
DIRECTOR DE TESIS
A LA MEMORIA DE MI PADRE
AGRADECIMIENTO
Deseo expresar mi sincero agradecimiento
al Señor Ingeniero Patrieio Orbe Garcés ?
por su inte1 igente y acertada dirección
en el desarrollo de la presente tesis.
ÍNDICE
Pag .
CAPITULO I: INTRODUCCIÓN
1.1.- Antecedentes ]_
1.2.- Objetivo y Alcance 4
CAPITULO l i s DETERMINACIÓN DE LA COMPONENTE FUNDA-
MENTAL DE UNA SEPSAL TRANSITORIA
2.1.- Introducción ¿,
2.2.- Frecuencia de Muestren 8
2.3.- Análisis de Fourier 12
CAPITULO III: TEORÍA FUNDAMENTAL DEL MÉTODO
3.1.- En una Linea monofásica 20
3.2.- En una Línea trifásica 26
3.2.1.- Falla Fase Tierra 26
3.2.2.- Falla Fase Fase 30
3.2.3.- Falla Fase Fase Tierra 35
3.2.4.- Falla Trifásica 39
CAPITULO IV: PROGRAMA DIGITAL
4.1.- Introducción 42
4.2,- Detección de fallas v fases involucradas 43
4.2.1.- Falla Fase Tierra 44
4.2.2.-FallaFaseFase 45
4.2,3.- Falla Fase Fase Tierra 45
4.2.4.- Falla Trifásica 4¿
4.3.- Descripción del Programa Princiosl 4'7
4.4.- Diagrama de Flujo del Programa Principal 50
4.5.- Subrutinas utilizadas 54
CAPITULO V: APLICACIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL
5.i.- Introducción ¿8
5.2.- Ejemplos 70
5.2.1.- Falla Fase Tierra 70
5.2.2.-Falla Fase Fase 80
5,2„3.- Falla Fase Fase Tierra 87
5.2.4.- Falla Trifásica 94
5.3.- Análisis de resultados 102
CAPITULO V i s CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1.~ Conclusiones 105
6.2.- Recomendaciones 107
APÉNDICE A: FUNCIONES ORTOGONALES
A.I.- Método de análisis 109
A.2.- Funciones seno y coseno i 11
A.3.- Funciones cuadradas par e impar 115
A. 4 . - Funciones diente de sierra 119
APÉNDICE B: ALGORITMOS PARA PROCESAMIENTO DE SERÍALES
B. 1 . - Algoritmo de Fourier de ciclo completo 123
B . 2 . - Algoritmo de Fourier de medio ciclo 124
B .3. - Algoritmo con funciones Walsn 125
B.4.- Criterio del mínimo error 126
B.5.- Solución de la ecuación diferencial del
modelo del sistema 130
APÉNDICE C: Factor de distribución de corriente
de falla 132
APÉNDICE D: Aplicación del método de Newton Raphson 138
APÉNDICE E: Manual de uso del programa digital 170
REFERENCIAS 176
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
1.1.- ANTECEDENTES:
A través del tiempo se han venido desarro11 ando diversos
algoritmos para la localización digital de fallas. Uno de
los primeras algoritmos desarrollados fue el propuesto por la
American Power Service Corporation1, la misma que diseñó un
sistema de protección digital para una línea de transmisión
de 151 millas y 765 KV, obteniéndose una gran velocidad de
operación. También se probó fuera de la línea un sistema de
ultra rápida velocidad. Para ello tomaron como herramienta
principal la teoría de 1 as componentes simétricas para de
esta forma obtener una única ecuación que sirva para el cál-
culo de la distancia al punto de falla, independiente del
tipo de falla y de las fases involucradas.
Otro método desarrollado fue el de medir la distancia al
punto de falla, mediante la observación del tiempo en el cual
el relé de cada terminal detecta la primera perturbación des-
de el punto de falla^.
Otros autores indican que midiendo el periodo desde la
emisión hasta el retorno de un pulso eléctrico de voltaj e, de
los que se transmiten en la 1ínea en ambas direcciones in-
yectados por la fuente de simulación del disturbio, se puede
encontrar la distancia al punto de falla. Este proceso es
conocido como "Método del pul so radarlh:3:.
Ambos métodos dependen de la propagación de las ondas
viajeras, lo cual es un fenómeno complejo, difícil de anali-
zar perfectamente, ya que para el estudio de la ondas viaje-
ras en sistemas trifásicos, no se puede despreciar los aco-
plamientos mutuos entre los conductores de fase y tierra,
siendo su influencia tan vital que puede cambiar completa-
mente las características del fenómeno y producir resultadas
totalmente erróneos en el caso de que no se considere este
acoplamiento.
Los algoritmos para protección de distancia, también
pueden ser apiicados para la localización de fallas, puesto
que miden directamente la impedancia R + jX hacia el punto de
falla. La medida de la reactancia provee la distancia exacta
al punto de falla cuando la resistencia de falla es cero,
caso contrario se desvía de su verdadero valor"*. Debida a
esta suceptibilidad de error en la medida de la impedancia,
se han tratado de desarrollar otros algoritmos que traten a
la localizadion en forma muy particular.
A.G. Paadke y M. Ibrahim* partiendo de las señales de
voltaje y corriente de falla y utilizando las componentes
simétricas, obtienen las componentes de secuenc ia de la
señal fundamental. Resuelven por Newton Raphson la ecuación
planteada y determinan la distancia a la falla.
5 .E . Ules ti in y J . A. Bubenco^ uti 1 izan New ton Rhapson
para resolver la ecuación que da la distancia a la falla. Su
proyecto es superior a otros que abarcan el mismo problema,
puesto que todas las variables usadas son medidas en el ex-
tremo transmisor, pero necesitan la impedancia de la fuente
en el extremo receptor (sistema doble fuente terminal) , lo
cual lo vuelve inaplicable a pesar de su teoría correcta.
Ultimamente se han desarrollado dos algoritmos que no
necesitan calcular la impedancia de falla para definir la
distancia al punto de falla; utilizan la transformada de Fou-
rier y la transformada de Laplace, respectivamente. El pri-
mero es el que se ha desarrollado ampliamente y constituye el
tema principal de esta tesis. El segundo se basa en el aná-
lisis transitorio de la red fal losa , con ayuda del teorema
de superposición determina los valores de voltaje y corriente
en el extremo transmisor de la línea en el instante de la
1.2.- OB JET I VO Y ALCANCE .
En la presente tesis se formula un algoritmo para la
local iz ación digital de fallas en líneas de transmisión tri-
fásicas, basado en la transformada de Fourier, sin el cálculo
previo de la impedancia hasta el punto de falla, como lo han
hecho otros algoritmos convencionales. Para ello considera
parámetros distribuidos en la línea de transmisión.
Por lo tanto la distancia al punto de falla aparece como
un intervalo de tiempo entre las ondas incidentes y ref lej a-
das que se propagan en la línea a partir del momento en que
se produce una falla, siendo posible obtenerlo a partir de
las componentes fundamentales de voltaje y corriente en el
extremo transmisor de la línea..
Este algoritmo tiene la facilidad de que para su imple-
mentación no es necesario conocer vol tajes y corrientes en el
extremo receptor de la línea, ni la resistencia de falla, no
toma en cuenta las pérdidas en la línea y para asegurar una
exacta 1 oc al iz ación considera a las fuentes puramente induc-
tivas .
En base a las componentes simétricas y utilizando el
teorema de superposición se plantea para cada tipo de falla
una ecuación algébrica no 1ineal cuya solución corresponde a
la distancia hasta la falla. Para resolverla se utiliza el
método de Newton Rhapson. La respuesta es superior a 1 as ob-
tenidas por otros métodos de la misma naturaleza.
Para la obtenc ion de los fasores de voltaje y corriente
en el extremo transmisor tanto para prefalla como para falla,
se parte de señales discretas obtenidas en la simulac ion di-
gital de fallas y se las procesa útil izand~o la función de co-
rrelación cruzada que se desprende del análisis de Fourier de
ciclo completo.
En los apéndices A y B se hace un corto análisis de las
diferentes funciones ortogonales que sirven para muestrear
señales así como de los diferentes algoritmos para el proce-
samiento de las mismas.
CAPITULO II
DETERMINACIÓN DE LA COMPONENTE FUNDAMENTAL
DE UNA SEKAL TRANSITORIA.
2.1.- INTRODUCCIÓN.
Para la local izacion digital de la distancia al punto de
falla, se deben convertir previamente las magnitudes de vol-
taje y corriente analógicas tomadas de la linea en señales
digitales apropiadas para su procesamiento en el computador
digital, mediante un sistema llamado "de adquisición de datos
e Ínterfases", en donde están involucrados equipos tales
como: transformadores de voltaje y corriente, filtros, con-
verso res análogo digitales, resistencias coaxiales, amplifi-
c ador es DC de aislamiento , e te . "*
Para lograr velocidad y precisión en los resultados, es
necesario tener una representación fiel de las señales de
entrada. Una buena representación se obtiene comparando la
señal a ser detectada con una señal ortogonal de referencia
de la misma frecuencia.
Se han propuesto varias señales ortogonales de referen-
cia entre las cuales están: funciones seno y coseno, señales
cuadradas par e impar, una señal y su derivada, funciones
diente de sierra, etc.1-0 En el apéndice A se hace el análi-
sis de estas funciones y se determinan las más convenientes.
Se indica que las señales de referencia más adecuadas
son las funciones seno y coseno porque tienen una gran ex-
clusión a las frecuencias no deseadas incluyendo la compo-
nente DC, siempre y cuando el período en el cual se realiza
1 a comparación sea igual al de un ciclo de la fundamental.10
El procesamiento de las señales de voltaje y/o corriente
consiste en extraer 1 a componente deseada que en la mayoría
de los casos es la fundamental, a partir de las N muestras
que han entrado al computador en un período T, excluyendo el
resto de componentes que hayan sido consideradas en el modelo
de la onda. Se han propuesto varios algoritmos para real i zar
el procesamiento 3 entre el los se tienen los siguientes:11
a . - Análisis de Fourier y análisis con Funciones Walsh.
b. - Criterio del mínimo error.
c„- La señal y su derivada.
d.- Solución de la ecuación diferencial del modelo del
sistema.
En el apéndice B se detallan estos algoritmos, sus ecua-
ciones básicas y aspectos a considerarse para su elección.
De entre el los se escoje el análisis de Fourier ya que produ-
produce el mejor f i 1 trado . Este algoritmo utiliza la corre-
lación con funciones ortogonales seno y coseno duran te un
ciclo.
2.2. FRECUENCIA DE MUESTREO-
Uno de los parámetros más importantes en la protección
digital es la frecuencia de mués t reo , la misma que sirve para
representar una señal de banda limitada. La selección de
esta frecuencia se basa en el tiempo de procesamiento . ve-
locidad y
En la memoria del computador se requiere que hayan siem-
pre N muestras de corriente y/o voltaje y que éstas vayan
cambiando en el tiempo, entrando una nueva y perdiéndose la
primera de acuerdo a la frecuencia de muestren ; esta frecuen-
cia se define como el número N de señales que se toman en un
período T , es decir que al computador estará entrando una
muestra cada tiempo ( T/N ) , En este intervalo debe real izarse
el procesamiento de las muestras, de tal manera que cuando el
control se transfiera a tomar nuevamente las muestras, ya
haya ingresado la siguiente, figura 2.1.
8
FIG 2.1
Partiendo de que al computador han ingresado 4 muestras
(NI, M^, M-, MA), el tiempo de procesamiento de ellas es dado
por el intervalo entre la adquisición de las muestras IV1A y
M-v, de tal manera que cuando se termine el proceso el control
pase a tomar la muestra M5.
Según el teorema de muéstreo, la frecuencia mínima que
se debe usar para representar una senal de banda limitada, es
la frecuencia de Nyquist, frecuenc ia que es dos veces la má-
xima componente significativa. Al escojer una frecuencia de
muestreo menor o igual a la máxima componente significativa
se producen grandes errores durante el muéstreo de señales,
debido a que las componentes de frecuencias altas se reflejan
en las de baja frecuencia. Este fenómeno se lo conoce corno
"cruce de espectros".* * ^
Por ejemplo en el caso de la protección de generadores,
se utiliza una frecuencia de muestreo de 480 Hz , considerando
armónicas de hasta cuarto orden. En la protección de trans-
formadores, la corriente de inrush contiene componentes de
frecuencias de hasta séptima armónica, por tanto se necesita
una frecuencia de muestreo de 840 Hz. Pero se ha comprobado
que con una frecuencia de 480 Hz, se tienen resultados sa-
tisfactorios. X4a-' 1SS
Generalmente en fallas producidas en líneas de trans-
misión es aconsejable real izar un muestreo rápido de las se-
ñales de voltaje y corriente, utilizando frecuencias de
muéstreo comprendidas entre 720 y 1000 Hz, debido a la pre-
sencia de componentes de frecuencias elevadas.
Para el presente proyecto . se ha seleccionado una fre-
cuenc ia de muestreo de 720 Hz, correspondiente a interva los
de tiempo entre una muestra y otra de 1 .389 milisegundos.
Para esta elección se han considerado los siguientes aspec-
tos:
- La única componente que interesa en el proceso de Ideali-
zación digital es la fundamental.
- En una señal de falla sea voltaje o corriente , a parte de
la fundamental se consideran significativas la tercera y
10
la quinta armónicas. Al tomar 720 Hz como frecuencia de
muestren se considera una componente máxima significativa
de hasta sexto orden (360 Hz), proporcionando más exac-
titud.
Se disminuye el tiempo de computación ya que 720 Hz produ-
ce solo un número irracional en las operaciones de multi-
plicación dentro del algoritmo.
Este valor de 720 Hz ha sido ampliamente utilizado en la
mayoría de proyectos de protección y localización digital,
obteniéndose muy buenos resul tacias .
Luego de escoger la frecuencia de muestren, se debe de-
terminar el periodo para el cual se hace el procesamiento.
Para reducir los errores durante el procesamiento al utilizar
funciones seno y coseno, el periodo en el cual se hace la
comparación debe ser igual al período de las funciones or-
togonales. Al realizar la comparación en un tiempo menor, la
presencia de componentes aperiódicas y oseilatorias en las
señales de falla influyen notablemente en el valor de la com-
ponente fundamental. Por tanto en el análisis de Fourier se
elige el período de procesamiento igual a un ciclo.
11
2.3-- ANÁLISIS DE FOURIER
La comparación entre dos señales X(t) , Y(t) expresada
como R><y, puede obtenerse de la solución de la ecuación
(2.1). A la función Rxy. se la conoce como función de corre-
lación cruzada.
RMV(T) = 1/2T x(t).y(t-T).dt (2.1)J — T
Donde:
X(t) = señal a procesar
Y(t) - señal de referencia standard
T - tiempo diferido
T - tiempo sobre el cual se hace la compara-
c ion .
Para una corriente de entrada de la forma:
i(t) = lo + S Ir,.sen(nwt + e,-,) (2.2)
Con una señal standard:
i.(t) = Im.sen wt (2.3)
Haciendo la correlación de (2.2) con (2.3):
(lo +• 2 Ir-, . sen ( nwt + 9n ) ) . Im - senw (t-T ) , dt2T
(2.4)
12
Desarrollando:
RÍ.Í.(T) = -i— lo-Im.senwít - T).dt +2T
S lo-senínwt + en).Im.sen w(t - Tj.dt2T I - "-1
Tomando el primer término de la expresión anterior e inte
grando para T = TT/W se tiene:
m ' ° [ C O S ( T T - T) - COSÍ -TT - T) ] = O
2(n/w)
Entonees el primer término es igual a cero.
El segundo término:
T n
E I,-,. Im - sen ( nwt + 9,-,) . sen w(t - r).dt21
2T "-sen (nwt + 6n ) . senw( t - T ) . dt
Aplicando la siguiente identidad trigonométrica:
sen A.sen B = '¿.eos (A - B) - '-é-cos (A + B)
Se tiene que:
13
senínwt + 9r> ) - sen w(t - T) = '£ . [ cosínwt •+- ©„ - wt + WT ) ] -*-
- '4. C eos(nwt + ©„ + wt - WT)
Entonces el segundo término es:
i t ^ rTJ- m • J- O ri I—-——» — , ¿J I ' - [eos (nwt + O,-, - wt +
2T J --
.1 cos(nwt + 9^ + wt - WT) ] }.dt
Im- cos[ (n - l ) .w t + ©„ + WT) ].dt
47cosC ( n + 1) .wt + ©,-, - WT ] . d t
2 . 5 )
Separando los dos términos de (2.5), se tiene
Primer término:
cos[ (n-l).wt + ©„ + WT ].dt4T
14
Para n = 1:
4Teos ( 6p, + WT ) . dt =
Im.I, -.eos ( WT ) . t4T
m' .cos( er, + WT ).( T + T )4T
Para T = TC/W:
^ Im.I.
2
Seaundo término:
WT
Im.I,
4Tcos[ (n+l).wt WT ].dt
Para n = 1:
4Tcos( 2wt + On - WT).dt
Integrando entre T y -T
C sen( 2wT4T 2w
sen ( -2wT •+• 9n - WT ) 3
15
Para T = rt /w:
' ri [ sen(2n + 9^ - WT) - sen ( -2n + 6^ - WT ) ] = OSu
Por lo tanto para n = 1 y T = TI/W;
1 m « -t n
4Tcos( ©n + WT ).dt +
cosí 2wt + 90 + WT ).dt
• •*• n / / - , \S ( Or-, + WT )
Para n = 1, se repite el procedimiento anterior y se en-
cuentra que ambos términos son cero, sea n par o impar.
Por lo tanto:
RÍ.Í.ÍT) = m' " . cos( 6,-, - WT ) (2.6
Para I m = 1 y T - O:
Ri.i.íO) = -2..coste,,) (2.7)2
16
La expresión (2.7) representa la parte real de la componen te
fundamental de la señal, dividida para dos.
Para la parte imaginaria, se realiza la correlación de la
misma señal, con la función standard coseno:
i,(t) = Im.cos wt (2.8)
Siguiendo el procedimiento anterior, se tiene
. sen( eo - WT ) ( 2 . 9 )
Para T = Tt /2 e Im = 1:
RÍ. Í , (T) = — cos( 9r, - u/2 ) (2.10)
Ir,/2.cos( Ti/2 - Qn ) (2.11)
En tonces:
Ri.i.ÍTi/2) = lo /S .senCGr , ) (2.12)
17
La expresión (2.12) representa la parte imaginaria cié la com-
ponente fundamental, dividida para dos.
Por lo tanto 5e concluye que para obtener la parte real
y la parte imaginaria de la señal X(t), se debe evaluar 1 a
ecuación (2.1) para T = O y T = TI/2 , respectivamente.
Con Y(t) = sen(wt), para la parte real e Y(t) = cos(wt), para
la parte imaginaria, se tiene:
X R — R x y ( O ) — X(t)-sen(wt).dt 2.13)
i — R „ x ( TI / 2 ) - X(t).cos(wt).dt (2.14)
XR = Parte real de la componente fundamental
Xi = Parte imaginaria de la componente fundamental
Las ecuaciones (2.13) y (2.14) son para forma continua de in-
tegración. Para su implementac ion en el computador deben ex-
presarse en forma discreta, así:
18
<-> M I/T KUJTXR(t) = -Í-. Z X (_ ).sen ( — ) (2.15
X,(t) = -?-. S X ( L).cos (JS2L.) (2.16)
Donde: T = 2/w
N - número de muestras tomadas en base a la
frecuencia de muestren durante un ciclo.
X(KT/N) = valores instantáneos que van entrando al
computador.
19
CAPITULO III
TEORÍA FUNDAMENTAL DEL MÉTODO
El objetivo es determinar la distancia al punto de falla
en una línea de transmisión trifásica, conociendo únicamente
voltajes y corrientes en el extremo transmisor. Antes de es-
to es conveniente desarrol lar el método en una 1 ínea monofá-
sica para comprender mejor el procedimiento a seguirse .
3.1 .-EN UNA LINEA MONOFÁSICA.
Se considera la línea de transmisión SR de la figura
3.1a en la que ha ocurrido una falla en el punto F situado a
X Km de S (terminal de envío). Para la ubicación de cual-
quier punto de falla a lo largo de la 1 ínea se toma como re-
ferencia (X=0) el terminal de envío „
En el punto F se tienen las siguientes relaciones :
(3.1)
(3.2)
Donde :
FV
U
I»
If-R
vector voltaje de falla
resistencia de falla
vector corriente de falla
vector corriente dirigido hacia S
vector corriente dirigido hacia R
En 1 a teoría de redes lineales la ley de superposición
permite separar la red fallosa en: una red de pre falla y
otra en el instante en que se produce la falla (red de su-
perposicion). Estas redes se aprecian en las figuras 3.ib y
3. le respectivamente.
ra
(a) Red fal losa
FIGURA 3.1
21
(b) Red Pre Falla
.," —> 4- I -fr O- v,"Vs T" TM "> T" i" VR
b Is IFS TRF FR IR K
(= ) Red Superposición
FIGURA 3.1
Aplicando la ley de superposición, la ecuac ion (3.2)
puede expresarse de la siguiente forma:
I •- = - ( 11 ) = - ( I r - -*- I m ) ~ ( 1 F^ F -' I r' R (3.3)
22
La ' indica vectores definidos en la red de prefalla.
La " indica vectores definidos en la red de superposición
En la red de prefalla la corriente I es cero , entonces
I¿rS e I^R también son cero, por tanto la ecuación (3.3) se
transforma en :
IP = - ( I 4- I¿1R) (3.4)
Reemplazando (3.4) en (3.1) se tiene :
(3.5)
Se define el "factor de distribución de corriente de
falla K (x) " como la relación entre los vectores I -p,, e I^s
definidos en la red de superposición, esto es:
K(x) = Ifr* (3.6)I£»
Sustituyendo (3.6) en (3.5) produce:
Vp, = - Rpr.I^e.t i + K(x) } (3.7)
Debido a las altas frecuencias que aparecen luego de o-
currida la falla se considera a la linea de transmisión "e-
lectrieamente larga", por lo tanto con parámetros uniforme-
mente distribuidos . Esto permite hacer uso de la forma hi-
23
perbólíca de las ecuaciones que definen la corriente y la
tensión en cualquier punto de la línea.
Por tanto los vectores W e I 8 en función de los vec-
tores voltaje y corriente en el extremo transmisor están da-
dos por las siguientes expresiones:
V^ = A(x).Ve - B(x).Is (3.8)
I£9 = C(x).Vs - D(x).Ie (3.9)
Donde A(x), B(x), C(x), Dfx) son las constantes generaliza-
das de la 1ínea de transmisión y se definen como:
A( x) = D(x) = cosh(Sx)
B(x) = Zc. sinh(6x)
C(x) = sinh(Sx) / Zc
Donde:
6 = constante de propagación
Zc - impedancia característica de la 1ínea.
Los vectores de falla Vs e Is se miden directamente en
el terminal de envío S, mientras que los vectores Vs e Is se
24
obtienen mediante las siguientes expresiones
s = Vs - Vs (3.10)
(3.11)
Reemplazando (3.8) y (3.9) en (3.7) se tiene•
A(x).Va - B(x).la =
Mx) }.{ C(x).Vs - D(x).Io
Despejando R^.{ 1 + K(x) } se tiene:
K(x) } = - A(x).V3 - B(x).l
C(X).Va ~ D(x) .lo
Si se considera la línea sin pérdidas y las fuentes en
los terminales puramente inductivas, el factor K(x) tiene
valor real. ( Ver apéndice C). Según esto el lado izquierdo
de (3.12) es real, por lo tanto la parte imaginaria de la ex-
presión compleja del lado derecho es cero.
Im { A(x).V
C(x) .V» - D(x) . lo
25
Al resolver la ecuación (3.13) se tiene la distancia X
al punto de falla. Como la ecuación es no lineal se? utiliza
el método de Newton Raphson para encontrar la solución.
3.2.- EN UNA LINEA TRIFÁSICA.
Utilizando las componentes simétricas en el punto de
desequilíbrio se obtiene, independientemente para cada tipo
de falla, la ecuación básica.
3.2.1.- FALLA FASE TIERRA.
En la figura 3.2 se representa una falla a tierra de la
fase A a través de la impedancia Rp- ,
u ,! i
~7C~ '
Ll "
j
\nv |
|i-
'V(W '
¡,<;'
F
" / / / S //////SS / // / S / / S S S S S S
FIGURA 3.2
El desequilibrio debido a la falla está caracterizado
por las siguientes condiciones:
26
) = o
> = O
(3.14)
El vector corriente en componentes simétricas está dado por:
íí«>= 1/3
1 1 11 a a2
1 a2 a l£*>(3.15)
Donde:
a = operador que origina rotación de 120° en sentido
contrario a las agujas del reloj.
El vector voltaje en componentes simétricas está dado por:
VÍ*>= i/3
1 1 11 a a21 a2 a ü í = > (3.16)
De las ecuaciones (3.15) se tiene:
Por tanto
27
Entonces:
(3 .17)
Reemplazando la primera condición de (3.14) en (3.16):
i':: = 1/31 1 11 a 321 32 a üí-
3.18)
Desarrol lando (3. 18) :
V¿<-» = 1/3 [ Rp-.I^-í + v¿>=>> +
V^1' = 1/3 [ R^.I^*1 + a.V^t o l
V¿.2> = 1/3 [ RF..I^«> + a2 .V¿ t o )
Sumando las tres úl timas ecuaciones
Pero :
1 + a + a2 = 0
28
Entonces:
(3.19)
Reemplazando (3.17) en (3.19)
(3.20)
Aplicando la ecuación (3.4) para I^3-', se tiene:
(3.21)
El factor K(x) de secuencia positiva está definido por
la siguiente expresión:
K í l J (x) = ..... If"Á:L' (3.22)
Sustituyendo (3.22) en (3.21):
(3.23)
Reemplazando (3.23) en (3.20) :
29
Entonces:
- -3.fV.II 1 + K < x ) < * > ] (3.24)
El factor K (x ) es real , (Ver sección 3.1), RF^ es real ,
por tanto el miembro del lado derecho de la ecuación (3.24)
es real y se cumple la siguiente igualdad:
Im { > = O - (3.25)
Donde:
La ecuación (3.25) da la distancia X al punto de falla
para una falla fase tierra, se la resuelve mediante Newton
Raphson. En el apéndice D se detalla la apiicación de este
método.
3.2.2 FALLA FASE-FASE
En la figura 3.3 se representa una falla entre las fases
B y C a través de una impedancia RF^ .
30
1h 1 •
1 (
K' Kk>
A A
l'V"
/(O
FIGURA 3.3
El desequilibrio debido a la falla entre las fases B y
C está caracterizado por 1 a^i siguípntps rorid i c iones :
O (3.26)
Reemplazando las dos primeras condiciones de (3.26) en
(3.15) se tiene:
íí=>= i/3
1 1 1i a a21 a2 a
O
(3.27)
Desarrollando (3.27) se tiene
31
1' = 1/3
=> =r 1/3
Por tanto:
= O
= 1/3. (az - a)
= i/3. (a - a2 )
(3.28)
Donde
a -
a = - j . 4 ó
12 = j.4-3
Entonces:
- j .4-3/3
j . 4-3/3
Por tanto:
(3.29)
Reemplazando la tercera condición de (3.26) en (3.16):
32
= 1/31 1 11 a a*1 32 a
(3.30)
Desarrollando (3.30) para V^-15 y
= 1/3.
' = 1/3. 32
Agrupando:
= 1/3.
=> = 1/3.
Restando V¿2> de
=> = 1/3 - (a -
Pero:
a - a2 = j . 4-3
Entonces:
= j. 4*3/ (3.31)
33
Por otro lado;
Reemplazando (3.29) y la primera condición de (3.28) en la
expresión anterior:
j ¿ t » ) = s l ¿ i - > . ( a 2 — a) (3.32)
Sustituyendo (3.32) en (3.31) se tiene:
Simplificando:
VFLD _ v¿3) = RF.I¿D (3.33)
Reemplazando la ecuación (3.23) en (3.33):
Entonces:
(3.34)
34
Por las razones expuestas en la sección 3.2.1, la parte
imaginaria de la expresión del lado derecho de la ecuación
(3.34) es nula:
_
Im { —í — } = O (3.35)
Donde:
, 2
La ecuación (3. 35) da la solución X al punto de falla
para una falla entre dos fases , se resuelve mediante New ton
Raphson . (Ver apéndice D) .
3.2.3.- FALLA FASE - FASE TIERRA.
En la figura 3.4 se representa la falla de las fases B y
C a tierra a través de la impedancia RF.
35
11 (V • l'V"
TS * zs: <>—r ° s1Tvto) Tv(b) I Rp TV(C»
FIGURA 3.4
El desequilibrio debido a la falla está caracterizado
por las siguientes condiciones:
= O
(3.36)
Reemplazando la primera condición de (3.36) en (3.15):
I¿-°>I^-^-5u=>
= 1/31 1 11 a a21 a2 a
0I ^ t o >I^* 5
(3.37)
36
Desarrollando (3.37) para I^0) se tiene
¿O) = 1/3. [
Entonces:
(3.38)
Reemplazando la segunda condición de (3.36) en (3.16):
V£° >V^5
V¿3>
= 1/31 1 1l a a2
1 a2 a
V£~ >R i T l_t> > 4. T -í_<= ) \r . ( 1 |±" -T I ft J
Rpr. ( I^b> + I¿c> )
(3.39)
Desarrollando (3.39) para V^°5 y V^1J se tiene
= 1/3. 2.RR.
= 1/3.
Restando VR°> de V^1-^ se tiene
Pero:
2)/3]
37
Por lo tanto:
Sustituyendo (3.38) en (3.40) se tiene:
Se define el factor K(x) para secuencia cero, de la si-
guiente manera:
K<0 5(x) = ÍF-Á'-M (3.42)
La ecuación (3.21) para secuencia cero es:
I ¿e» - _ [ 1^40) + i^o> ] (3.43)
Sustituyendo IRÁO) de (3.42) en (3.43) se tiene:
I¿o> - - [ i + K«:»(X) ].I^4°> (3.44)
Reemplazando (3.44) en (3.41):
V¿*> - V¿°> = 3.R^.{ 1 -*- KC O )(x) }.I^¿<->)
38
Entonces:
3.45)
Por las razones expuestas en la sección 3.2.1, la parte
imaginaria de la expresión del lado derecho de la ecuación
(3.45) es cero:
V41' - V4OÍIm { - _ - _ - } = O (3,46)
Iré03
Donde :
V "' • > = A e k ) (x) .V4"-' - Bc l*»(x) .IAh> ; k = O, 1
La ecuación ( 3 . 46) , da la distancia X al punto de falla
para una falla de dos fases a tierra, se la resuelve mediante
New ton Raphson . (Ver apéndice C )
3.2.4.- FALLA TRIFÁSICA.
En la figura 3.5 se representa una falla trifásica a
tierra a través de una impedancia R^ .
39
FIGURA 3.5
En este caso la falla no introduce ningún desequilibrio
en la 1 ¿nea de transmisión y por lo tanto no existen corrien-
tes y voltajes de secuencia negativa y cero, independiente-
mente de que la falla trifásica esté o no conectada a tierra.
Todas las cantidades que intervienen en el cálculo son de
secuencia positiva.
Con la impedancia de falla
la tensión en el fallo es:
igual para todas las fases
(3.47)
40
Y como solo circulan corrientes de secuencia positiva :
(3.48)
Reemplazando la (3.23) en (3 . 48) se tiene:
Entonces:
.C i + K í a - > < x ) ] (3.49)
Por las razones expuestas en la sección 3.2.1, la parte
imaginaria del miembro del lado derecho de la ecuación (3.49)
es cero, es decir:
Im { —V/*a'a > = O (3.50)
Donde:
La ecuación (3.50) da la distancia X al punto de falla
para una falla trifásica, se la resuelve mediante Newton Rap-
hson. (Ver apéndice C).
41
CAPITULO IV
PROGRAMA DIGITAL
4.1. INTRODUCCION.
En base a la teoría exDUesta en el capítulo 3 se desa-
rrolla el programa digital que permite encontrar la distancia
al punto de falla en líneas de transmisión trifásicas de alto
voltaje„
Antes de detectar la presencia de una falla, su tipo y
las fases involucradas, calcula la componente fundamental de
voltaje y corriente de pre falla analizando las muestras co-
rrespondientes leídas desde el archivo de datos. Def inida la
falla calcula la componente fundamental de las señales de fa
lia.
Luego utiliza las componentes simétricas y el teorema de
superposición para calcular voltajes y corrientes de superpo-
sición en componentes de fase y de secuencia y resuelve la e-
cuación básica mediante Newton Raphson.
4.2.- DETECCIÓN DE FALLAS Y FASES INVOLUCRADAS.
Para detectar un transitorio, se utiliza el algoritmo
propuesto en la referencia 5. Al maestrear una corriente
sinusoidal I ( t) , N veces por ciclo correspondiente a la fre-
cuencia nominal, se define:
Donde: Ii = última muestra de I(t)
Iox= = muestra de I í t) obtenida hace medio ciclo.
I,-, = muestra de I (t) obtenida hace un ciclo
El transitorio existe si:
CT > e
Donde e es un valor limite previamente determinado que
depende de la relación entre las corrientes de falla y nomi-
nal. En esta tesis se utiliza para e el 57. de la corriente
nominal.
Una vez detectado el transitorio, con ayuda de las com-
ponentes de Clarke se procede a discriminar el tipo de falla
y las fases involucradas17".
43
Las componentes de Clarke permiten transformar un 5 in-
terna trifásico desequilibrado de voltajes v corrientes en el
dominio del tiempo en tres sistemas de componentes: ALFA (a),
BETA ( 0) y CERO (O).
La fase A se toma como referencia y se tienen las si-
guientes reíaciones:
I* = lo +
It, = lo ~ -T3/2
-T3/2.
(4.1)
Resolviendo el sistema anterior para I ,=(, I ra , I«:,, se tiene:
lo = 1/3 . < I » + Ib + Ic)
I,a = 2/3 . ( I. - ( Ito + I«)/2)
Ira = l/4"3. ( Ib - Ie)
(4.2)
- FALLA FASE TIERRfl: (fase fallosa A)
Condiciones :
U « O
Reemplaaando estas condiciones en (4.2) se tiene
44
la - O
I* = 2I0
De la definición de I ra se tiene la expresión que iden-
tifica la falla en la fase A a tierra:
Ito - I« - O (4.3)
Si la falla ocurre en cualquiera de las otras fases ,
las expresiones son similares ya que el nombre de las fases
es arbitrario .
4.2.2. FALLA FASE FASE: ( fases fallosas B y C )
Condiciones: I» = O
Reemplazando estas condiciones en (4.2) se tiene:
lo - O
U = o
De (4.2) se tiene la expresión que identifica la falla
entre las fases B y C .
21. - Ito - I« « Q (4.4)
45
La expresión anterior sirve para identificar fallas en
cualquiera de las otras fases ya que el nombre de las fases
es arbitrario.
4.2.3. FALLA FASE FASE TIERRA (fases fallosas B Y C)
Condición: I» = O
Reemplazando esta condición en (4.2) se tiene:
De (4.2) se obtiene la expresión que identifica la falla
de las fases B y C a tierra.
21. - Ib ~ U + In » O (4.5)
Por analogía se tiene la expresión para cuando la falla
es entre otras fases „
4.2.4. FALLA TRIFÁSICA;
Condición: I0 = O
46
Para una mayor veloe idad en la detección de la f a l l a se
determina primero si existe corriente residual; si ésta exis-
te, se analiza si la falla es fase tierra, si no lo es, se
considera falla bifásica a tierra y se determina el mínimo de
la expresión que sirve para identificar las fases failosas.
Si no existe corriente residual, se analiza primero si
se trata de falla bifásica, caso contrario, se considera
falla trifásica. Para ello se definen los siguientes paráme-
tros :
Para declarar la existencia de corriente residual, ésta
debe sobrepasar el 107. de la corriente nominal .
Para determinar la fase fallosa en caso de fallas fase
tierra, la expresión respectiva, ecuación (4.3) debe ser in-
ferior al 157. de la corriente nominal.
Para determinar las fases failosas en caso de falla fase
fase, la expresión respectiva, ecuación £4,4) debe ser infe-
rior al 157. de la corriente nominal .
4.3.- DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA PRINCIPAL.
El programa principal se desarrolla en lenguaje FORTRAN 77 y
real iza lo siguiente:
- Lee y escribe los siguientes parámetros de la linea:
47
Voltaje nominal de operación en KV.
Potencia aparente nominal en MVA.
Inductancia, resistencia y capacitancia de secuencia posi-
tiva y cero en Henrios/KM, Ühmios/KM y Faradios/KM„ respec-
tivamente .
Longitud total de la linea en KM.
Verifica que los datos leídos en el bloque anterior se
encuentren dentro de márgenes espee ífieos. En caso de que
ingrese un dato erróneo escribe el mensaje de error y se
detiene automáticamente.
Real iza los siguientes cálculos previos a la localización:
Valores máximos que deben tomar las expresiones en el aná-
lisis del tipo de falla.
El valor "a" que sirve para detectar un transitorio (ver
sección 4.2.).
Impedancia serie por unidad de longitud de secuencia posi-
tiva y cero.
Admitancia shunt por unidad de longitud de secuencia po-
sitiva y cero.
Constante de propagación de secuencia positiva y cero.
Impedancia característica de la línea de secuencia positiva
y cero.
48
Encera las localidades de memoria asignadas a las muestras
de voltaje y corriente leidas desde el archivo de datos.
Encera los indicadores de las declaraciones que se presen-
tan en el diagnóstico de una falla.
Encera la localidad de memoria asignada a la corriente re-
sidual en caso de fallas a tierra.
Después de leer las 12 primeras muestras de voltaje y co-
rriente, la subrutina CFLJN calcula la parte real e imagina-
ria de la respectiva componente fundamental de pre f a l l a .
Luego lee la siguiente muestra y verifica si existe a no
transitorio, si no lo hay escribe esta condición y lee las
siguientes muestras hasta detectar algún transitorio.
Cuando lo detecta escribe esta condición y 1 lama a la sub-
rutina que determina el tipo de falla.
Continúa leyendo las muestras de voltaje y corriente de fa-
lla necesarias para calcular las respectivas componentes
fundamentales.
Real iza los siguientes cálculos:
Voltajes y corrientes de superposición en componentes de
fase y secuencia.
Voltajes y corrientes de falla en componentes de secuencia.
Finalmente, según el tipo de falla, llama a la subrutina
que calcula la distancia.
49
4.4.- DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA PRINCIPAL
c^I C I O
/
E S C R I T U R A /DE /
T Í T U L O S /
/
L E C T U R A DE /P A R Á M E T R O S /DE LA L I N E A /
P R U E B A BEC O N S I S T E N C I A
DE DATOS
C ALC ULOS
F R E L I M I N A R E S
^ E S C R I T U R A DE/C ALC ULOS
> R E L I M I N A R E S
INI C I AL I ZA
VARIABLES
L = 0
50
<<<
LLAMABA
LEMUES
LLAMADA
MFFA
'L L A M A D A
LEMUES
>>
N0
/
ESC RI BE
SE BETECTO"
<
<
<
L L A M A B A
LEMUES
I
L L A M A B A
T I FO
L L A M A B A
LEMUES
K - 0
<L L A M A B A
LEMUES
/
ESC R I BE :/NO SE /
BETEC TO /
51
CDESC RI BE
"MUESTRA DEFALLA fe" 7K = K + 1
CALCULA; VOLTAJESBE S U P E R P O S I C I Ó N
VPA ? VFB > VPC
C A L C U L A ; C O R R I E N -TES S U P E R P O S I C I Ó N
I P A > I PB > I PC
C A L C U L A ; VOLTA-JESBE FALLA ENCOMPONENTES BE
SECUENC I A
C A L C U L A ; C O R R I E N -TES BE FALLA EN
COMPONENTES BESECUENC I A
C A L C U L A VOLTAJESDE S U P E R P O S I C I Ó NEN COMPONENTES BE
SECUENC I AVPrt >. VP , > VP-s
C A L C U L A C O R R I E N -TES BE SUPERPOSI-C I Ó N EN COMPONEN-TES BE SEC UENC I A
IP0, I P t , IPS
S I
S I
S I
NO
LA FALLA ES
T R I F Á S I C A
LLAMADA
TRIPAS
C
LLAMADA
EIFTI
'F I N
LLAMADA
BIFAS
53
4.5.- SUBRUTINAS UTILIZADAS:
SUBRUTINA LEMUES.
~ Desplaza las muestras de valtaje y corriente
- Lee dichas muestras, una a la vez para cada fase
~ Escribe las muestras leídas.
- Desplaza las muestras de corriente residual
LEMUES
A C T U A L I Z A LASMUESTRAS DE VOL-TAJE Y C O R R I E N T E
A C T U A L I Z A LASM U E S T R A S BE CO-RRIENTE RESIDUAL
/
ESC R IT I MAS
I NO
BE LAS UL-M U E S T R A S
N G R E S A D A S 7c R E T O R M O
SUBRUTINA MPFA:
- Almacena las muestras de voltaje y corriente de pre falla
para las tres fases de la línea.
- Llama a la subrutina CFUN que calcula la componente funda
mental de las señales almacenadas.
< MPFA
A L M A C E N A MUESTRASDE VO L T A J E
BE LAS TRES FASESDURANTE UN C I C L OANTES DE LA FALLA
<-LAMADA\ >
CFUH JT
A L M A C E N A LA PARTEREAL E I M A G I N A R I ADE C O M P O N E N T E FUND A M E N T A L DE VOLTA•JE DE LAS 3 FASES
A L M A C E N A LAS MUÉSTRAS DE C O R R I E N T EDE LAS TRES FASESDURANTE UN C IC LOANTES DE LA FALLA
<CFUN
A L M A C E N A LA PARTEREAL E I M A & I N A R I ADE LA FUNDAMENTALDE C O R R I E N T E DELAS TRES FASES
RETORNO
SUBRUTINA CFUN
- Calcula la parte real e imaginaria de la componente funda-
mental de las señales de voltaje y corriente de pre falla
c FUN
C A L C U L A LAFARTE REAL EI M A S I H A R I A BE
V O L T A J E YC O R R I E N T E BE
F-REFALLA DE LASTRES FASES
C R E T O R N O
SUBRUTINA CROCFT
- Calcula la parte real e imaginaria de la componente funda-
mental de las señales de voltaje y corriente de falla.
C ROC FT
C A L C U L A LAFARTE REAL EI M A G I N A R I A BE
VOLTAJE YC O R R I E N T E BEFALLA BE LASTRES FASES
C RETORNO
BUBRUTINA TIPO
- Calcula las corrientes produc idas a causa exclusiva cíe la
fal la.
- Verifica la existencia de corriente residual.
- Considerando falla fase tierra verifica que fase falló.
- Escribe el tipo de falla y la fase fallosa.
- Si no se verificó la falla anterior declara que la falla es
bifásica a tierra.
- Determina las fases fallosas y escribe el tipo de falla y
las fases involucradas.
- Considerando falla fase fase verifica las fases fallosas.
- Escribe el tipo de falla y las fases involucradas.
- Si no se verificó la falla anterior declara que la falla es
trifásica y escribe esta condición.
57
T I PO
C ALC ULALAS C O R R I E N T E SSUPERPUESTAS
POR LAFALLA
C O N S I D E R A RFALLA
FASE - TIERRA
S I
D E C L A R A RFALLA
FASE E-TIERRA
DEC LARARFALLA FASEA - TI ERRA
ESC R I B I RLA FALLA ES
FASE A - TIERRA7f RETORNO \ ESC R I B IR
LA FALLA ESFASE B - TIERRA
J RETORNO \
58
BEC LARARTALLA FASE"C"-TIERRA
DECLARAR FA-LLA E I TAS IC A-
T I ERRA /ESC R I B I R - LA
FALLA ES TASE"C" - T I E R R A
C A L C U L A R LOS TRESV A L O R E S BE LA EX-PR E S I Ó N QUE DIS-C R I M I N A L A S TASESINVOLUCRADAS EN
LA FALLAB I F A S I C A - T I E R R A
| RETORNO J
DETERMINAR A QUETASES INVOLUCRAEL MINIMO VALOR
D E C L A R A R FASESI N V O L U C R A D A S"E" Y "C"
ESC R I E IRFALLA FASES B-
C- T I E R R A " 7RETORNO
59
E S C R I B I R - " F A L L AFASES A - B -
TIERRA"
DECLARAR FA-SES INVOLUCRADAS "A" Y "C"
uZSCRIBIR;"FA-LLA FASES A - C
-TI ERRA" Ií RETORNO \ RETORNO J
C O N S I D E R A RFALLA
FASE-FASE
DECLARAR FALLAENTRE LAS FASES
íí 5 3? y " C íf
ESCRIBIR "FALLAENTRE LAS FASES
B Y C "
J RETORNO J
7
SI
X^ Y *
D E C L A R A R F A -L L A E N T R E L A SFASES "B"Y"C"
•>^**
^^ LL¿
/I L ± H * J
E S C R I B I R * " F A L L A / ^X^ Y '/ E N T R E LAS FASES / ^S^ *
S V 0 / ^
( \íR E T O R N O \I
/ T R I F í
/
ESC 3" Fí
TR I Fí
-X'C" ^^^
>IO
^R O N X ^ S I D E C L A R A R F A -:£ "A3?S L L A E N T R E LAS1 5 j? ,X^ FASES " A " Y " B "
> ^^
NO
E N T R E L A S F A S E S"A" Y "E"
( R E T O R N O J
>^ L L A /\S 1 C A" /
í R E T O R N O J
SUBRUTINA MUFA:
- Almacena las muestras de voltaje y corriente de falla para
las tres fases de la línea.
- L1 ama a la subrutina CROCFT que calcula la componen te fun-
damental de las señales almacenadas.
M U F A
A L M A C E N A MUESTRASDE V O L T A J E DE LASTRES FASES D U R A N -TE UN C I C L O DES-
PUÉS DE LA FALLA
L L A M A D AA
C ROC FT
A L M A C E N A LA P A R T EREAL E I M A G I N A R I ADE LA C O M P O N E N T EF U N D A M E N T A L DZVOLTAJE DE F A L L A
BE LASTRES FASES
A L M A C E N A LAS MUÉSTRAS DE C O R R I E N T EDE LAS 3 FASES DURANTE 1 C I C L O DESPUES DE LA F A L L A
L L A M A D AA
C ROC FT
A L M A C E N A LA PARTEREAL E I M A G I N A R I ADE C O R R I E N T E FUN-D A M E N T A L DE FALLADE LAS 3 FASES
RETORNO
62
SUBRUTINñ MOFAS:
Calcula la distancia al punto de falla en caso de fallas
monofásicas a tierra resolviendo la ecuación (3.30) median-
te Newton Raphson.
Para el proceso iterativo almacena la ecuación y su deriva-
da en las variables KHP y JOR respectivamente.
Cuando encuentra la solución escribe en el archivo de
resultados la distancia al punto de falla y se detiene.
Caso contrario escribe el mensaje de no convergencia y
continúa el proceso hasta encontrar la solución.
63
MOFAS
CALCULA VARIABLESQUE NO DEPENDENDE LA DISTANC I A
DIST =
I N I C I APRÜC ESO
I TERATIVO
CALCULA VARIABLESQUE SON FUNCIONDE LA DISTANCIA
3> E L T A X -M ( •
DIST=DIST-DELTñX
ESC RMENSAJEC ONMERGENC
S I
I BE /E DE NO /&ENC I A /
ESCRIBE ELVALOR DE LADISTANC IA 7
f RETORNO J
64
SUBRUTINA BIFAS:
- Calcula la distancia al punto de falla en caso de fallas
entre dos fases resolviendo la ecuación (3.40). El proceso
es similar al de la subrutina HOPAS; almacena la ecuac ion
básica en la variable R2 y su derivada en R3.
j
£ BITAS \ ALC ULA
V A R I A B L E S QUENO SON FUNC I ON
BE LABISTANC X A
DIST = 0
I NIC I Afr PROCESO
I TERAT I VO
C A L C U L A V A R I A B L E SQUE SON EUNC I ONBE LA DI STANC X A
l M < R a >JEXiTrtX — - ... — .
1H<*3>
DIST=DIST-DELTAX
^X^BELTAX Sr . f T. f- 5 S«t í, •=• f = J
^ BIST ^r
]f NO
/
\E /
MENSAJE BE NO fC ONUER6ENC I A /
-
S I
/
ESCRIBE EL /UALOR BE LA /B I STANC I A /
! /
f RETORNO J
65
SUBRUTINA BIFTI.
- Calcula la distancia al punto de falla en caso de fallas
de dos fases a tierra resolviendo la ecuación (3.51). El
proceso es similar al de MOFAS, aImaceña la ecuación básica
y su derivada en KHPO y JORO respectivamente.
BI TT I \A V A R I A B L E S
QUE NO DEPENDENSE LA DI STAHC I A
DIST = 0
I N I C I APROC ESO
I TERAT I VO
C A L C U L A V A R I A B L E SQUE SON FUNC I ONDE LA DI STANC I A
DELTAX -I M < J 0 R « >
DIST=DIST-DELTAX
s i
/
E S C R I B E /M E N S A J E DE NO /C O N M E R 6 E N C I A /
/
ESC 3t I BE ELM A L O S DE LAD I STANC I A 7
£RETORNO J
66
SUBRUTINA TRIFAS.
- Encuentra la distancia al punto de falla en caso de fa l l a
trifásica resolviendo la ecuación (3,55). El procesa es
similar al de MOFAS, almacena la ecuación básica y su
derivada en las variables TRI9 y TRI5 respectivamente.
TRI FAS
C A L C U L A V A R I A B L E SQUE NO DEPENDEN'BE LA BISTANC I A
D I S T == 0
1 N I C I AFROC ESO
I T E R A T I V O
C A L C U L A V A R I A B L E SQUE SON F U N C I O NDE LA D ISTANC I A
DELTAX -
DIST=0IST-DELTAX
/
E S C R I B EMENSAJE DE NOC ONVER6ENC I A
///
/
ESC R I BE ELV A L O R DE LAD I STANC I A
///
R E T O R N O
67
CAPITULO V
APLICACIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL
5.1.- INTRODUCCIÓN
El programa digital se lo va a probar pn 1 í MFSH^ trifá-
sicas de alto voltaje, de simple circuito y sin acoplamiento
mutuo con otras lineas. El sistema en el cual SP simulan las
fallas se muestra en la figura 5.1.
VA
Diagrama Uni fi 1ar
FIG.5.1
Parámetros del sistema:
KV.
01 KV.VB = 230
L0^ = 5•305 x 10 = H (Inductancia de secuencia cero del
generador A ) .
LJ.P, = 5.30 5 x 10" H (Inductancia de secuencia positiva del
generador A).
LaB = 5 - 305 x 10~= H (Tnductancia de secuencia cero del
generador B).
LAB = 5.305 x 1O~^ H (Inductancia de secuencia positiva del
generador B).
Frecuencia nominal del sistema = 60 HZ
Potencia aparente nominal = 200 MVA
Características de la linea:
Longitud de la linea = 300 KM
Ro = 2,7905 x 10-3- OHM/KM.
Lo = 3.3300 x 1O-3 H./KM.
C0 = 7.0060 x 10-^ F./KM.
Ri = 2.5480 x 10-= GHM/KM.
Lx = 8.7040 x 10-* H./KM.
Ca = 1-2957 x 10~s F./KM.
Los voltajes y corrientes transitorios necesarios para
realizar las pruebas fueron obtenidos con el programa digital
que simula fallas en lineas de transmisión. Este programa se
69
describe en la referencia 18 y utiliza el método de integra-
ción trapezoidal simple al integrar la transformada modifica-
da de Fourier de las señales para obtenerlas en función del
tiempo.
El número de muestras obtenidas por medio de la simula-
ción son: 15 muestras antes de la falla y 15 después, a in-
tervalos de tiempo de 1.3889 mil isegúndos correspondientes a
la frecuencia de muestreo de 12 muestras por ciclo.
5.2.~ EJEMPLOS:
Con el programa descrito en la referencia 18 se simulan
fal las en diferentes puntos, fases y ángulos de iniciación de
la falla y se generan las ondas de voltaje y corriente de
falla. Para comprobar la validez de los resultados de la
presente tesis se los compara con los datos de partida de
dicha referencia.
5.2.1.- FALLA FASE TIERRA:
EJEMPLO # 1:
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 90 KM,
FASE FALLOSA: FASE C
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 270°
70
Las muestras de corriente y voltaje se encuentran en la tabla
5.1 y las formas de onda correspondientes en las figuras 5.2a
y 5 . 2b respectivamente,
00o0o0000000000000000000000000
TIEMPO(Seg. )
.OOOOOO
.001389
.002778
.004167
.005556
.006945
.008334
.009723
.011112
.012501
.013890
.015279
.016668
.018057
.019446
.020835
.022224
.023613
.025002
.026391
.027780
.029169
.030558
.031947
.033336
.034725
.O36114
.037503
.038892
.040281
la(Amp
-460-647-660-496-199150460647660496199
-150-460-647-660-497-148198540706752532232-157-460-682-679-493-183187
. )
.77
.30
.40
.55
.65
.76
.76
.30
.40
.54
.63
.77
.77
.31
.39
.99
.97
.89
.79
.27
. 12
.07
.97
.00
.92
.35
.24
.94
.33
.68
Ib(Amp
660496199
-150-46O-647-660-496-199150460647660496199
-152-410-599-580-437-107186494641660461180
-148-444-610
. )
,40.53.62.75.76.30.40.54.63.77.77.31.40.53.62.25. 1 3.21.39.56.87.36.16.12.26.48.73.25.53.46
Ic( Amp
-19915O460647660496199
-150-460-647-660-496-199150460142824253222351632572421130086
-849-1326-1776-50951015962435
- )
.62
.78
.78
.30
.40
.55
.64
.76
.76
.30
.40
.53
.62
.78
.78
.60
.80
.50
.00
.30
.90
.30
.58
.21
.40
.10
.06
.04
.40
.30
Va(Volt. )
-11280-172500-186500-150530-742222197411228017251018650015053074218-21979-112290-172510-186500-152210-728991921711187017342018705015052074688-18923-113820-171770-187440-149040-7786022829
Vb(Volt. )
18650015053074215-21973-112280-172500-186500-150530-742192197811229017251018650015053074215-23670-110970-175280-186920-149610-736662198511277017557018498015126073270-20509-115950-171680
Ve(Volt. )
-742172198111229017250018650015053074221-21976
-112280-172510-186500-150530-742172198111229013737014581012061060391-14133-83304-129310-14O370-114650-534961840388670132890146780116170
TABLA 5.1
71
VOLTAJES FASE TIERRAEJEMPLO 1
O. O2.
TlCMRO<«ogundo«>
CORRIENTES FASE TIERRAEJEMPLO 1
( b )
F I G U R A 5 . 2
72
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 186504.453 -21977.188
FASE B = 74218.719 172504.359
FASE C = 112284.313 -150527.547
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -660.400 -150.761
FASE B = 199.631 647.303
FASE C = 460.768 -496.538
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE TIERRA
FASE FALLOSA: C
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 148490.641 -17898.748
FASE B = -110646.922 -156765.875
FASE C = -50062-668 135256.750
73
CQsh(SoX).Vé03 - Zco.senh(60X) .I¿°> + cosht 6 xX) .V5S
Zea..senh(SiX).ISS• ID.Ó)
Se real izan las siguientes sustituciones en la expresión an-
terior :
CT = Zco. I¿0) .senh(SoX)
CK = V¿°> ,cosh( 60X ) - CT
CKT = CK 4-
T =
Entonces la expresión (D.6) queda;
CKT - Zea.. I5S.senh(Sj.X )
T/Zei
O también:
D.7)
CKT - ZC1. I S S . j - c s j . (D Q)
141
Tomando la parte imaginaria de (D.8) :
_ . C CKT - Zd . ISS .senh íS iX ) 3 - Z C x . r .DI m ( - } i. D . 9 )
La expresión ( D . 9 ) es f(x) en el algoritmo de Newton Raphson
Para encontrar la derivada:
Hac iendo:
NÚ = cosh(SoX) .Vá»0> - Zco.senhfS0X).Ié°> + cosh(S^X ) . VSS
.ISS
_.._.. senhí SiX ) -Vsc x ' , , c v,DEN = - coshf 6 j.X ) .
La expresión que define la derivada de la función f(x) es:
Derivada(NU).DEN - NÚ,Derivada(DEN)(D.10)
(DEN)2
Desarrrol1 ando, por el momento, sólo la parte superior de la
expresión (D.10):
142
.So-V¿0) - ZCo.I¿0) -So-cosh(80X) + VSS.B L.senh(6¿X )
- Zci.ISS.Si.cosh(SiX)].C
[ cosh(SoX)-V¿0) - Zco.senh(60X),I40) + cosh(61X).VSS
_ -.^u/ c v \T p ^^ < : L ) . S i . C O S h ( S i X )- senh( 8 j.X ) . ISS] . [
Realizando las operaciones indicadas en (D.ll)
senh( S0X) .So.V^03 .senh( S a. X ) .
.cosh(60X ) ,senh(
senh(6xX),
( D . l l )
-senh(SoX) .
143
Zco.I£OÍ -So.I¿c > .coshí S0X) .coshí 6 i X)
. Is<i5.senhíSiX),cosh( 6j.
ISS.SjL. Ie< l > .coshí SiX ) .coshí Si
Si.coshí80X) .coshí 6 i X)
J -Si.senhíS0X) .coshí S^
.coshí 8 3.X ) .coshí Sx
.Sx. senh
3 .coshí 60X) .senhí 6 x X
Si. Isc ij .senh(SoX) .senh
SS.Si.Is£x > .senhí 6XX) .senhíS^X) ÍD.12)
Agrupando términos semejantes:
senhí60X)
144
cosh(SoX) .senh(fij.X) .[ V¿° > , S a.. I ¿¿ <
senhí60X) .
cosh(60X).cosh(6¿X).[ Zco C 1 > _ ^ ^ - 6 !
Ze.
Zci • ISS . S 3.
Pero:
:osh2(8xX)
- C (D. 14
(D.15)
Reemplazando (D.15) en (D.14) y sacando factor común 1/Zci
tiene:
160
1 - Zea. IA0> . So
co5h(S0X)
senhí 60X)
cosh(80X)
+ C Zco - Ié° 5 - V¿
+ [ Zea . 16° ' • So
- VSS . S A . Vg ( J . S A .
(D.16)
145
Hac iendo:
R = 7 _ 7 „ T ¿ ° > T — < - >*-c;o»¿-ci**s « J - s
(D.17)
CO =
JO -
Reemplazando (D.17) en (D.16) se tiene:
-.{ (Q.So ~ R.Si)-senh(SoX)-senh(SiX) + (AO.Si - B0.60
cosh(SoX) . + (BO.Si - AD . 80 ) - senh ( 60X ) . cosh ( SXX ) +
(R.So - Q.6± ) ,co5h(60X ) . iX) + (JO - C0).8i } (D.18)
Haciendo los siguientes reemplazos en (D.18
El
E2
E3
E4
M
= Q.So - R.6i
= AO.Si - B0.60
= BO.So ~ AQ.So
= R.So - Q.Si
= (JO - CO) . B1
146
Se tiene:
-— [ El. senh(60X) . senh(6j.X) + E2.cosh(60X) . senh(Si X í
E3.senh(S0X).cosh(6XX) + E4,cash(60X),cash(S¿X) + M ] (D.19
Sustituyendo las siguientes expresiones en (D.19):
Al = El.senh(SoX)-senh(fiiX)
Bl = E2-senh(60X) -senhí'SiX)
Wi = E3.senh(6,:,X) .cosh(SiX)
DI = E4.cosh(80X).cosh(6xX)
3e tiene:
[ Al + Bl + Wl + DI + M ] (D.20)
(D.20) se divide para DEN2 para cumplir con la expresión de
la derivada de una función:
l/ZCi. C Ai + Bl + Wi + DI + M ]
147
Sacando común denominador:
( Al + Bl + NI + DI + M)
lE± _ ( D . 2 2 ). cosh
Dividiendo se tiene :
Al + Bl + UJ1 + Di + M ) .Z
Donde:
T = senh(8±X) .Vs<^) - ZCi- I » c x > -cosh(63.X
Entonces:
(Al + Bl + Wl + DI + M) .Zea.
Pero interesa sólo la parte imaginaria de la expresión
(D.23), por tanto:
im { (ñl + B1 + N1 + D1 + M)'Z- > (D.24)J2
(D.24) es la derivada de (D.l) y es f'(x). Las expresiones
(D.9) y (D.24) representan a la función f(x) y su derivada
f'(x), necesarias en el algoritmo de Newton-Raphson
148
rI m {
[CKT -
— Xr
, (Al + Bi -*- Wl + DI + M).ZCi .Im { }
D.25)
La expresión (D.25) encuentra el valor de la distancia X en
cada iteración. Para la primera iteración se eseoje como
valor inicial en los cuatro tipos de falla, O Km.
D.2.- FALLA FASE FASE
Partiendo de la ecuación (3.40):
Im__
} = O (D.26)
Donde:
(x ) .V¿c x > - Dí:Li (x)
x)
D.27)
Se toma, por el momento, solo la expresión que esté den-
tro del paréntesis en (D.26) y se reemplaza (D.27);
149
(x) ,V¿1J - Bc J- M x ) . I&3- 3 ~ ft{=3J (x) .V¿a
(D.28)
En una linea de transmisión se cumple que:
¿\ 1 ) f j¿ \ A ( 3 ) ( v } — ^ ( y )
BC 1 ) (x) - Bí:E> (x ) = B(x )
Cc x > (x) = C'*5 (x ) = C( x )
D< J-Mx) = DÍS) (x) = D(x)
Por tanto:
A(x ) . ( V41 ) ~ V4^> ) J<__- á-> ~ I41>—)_ (D.29)
Se real izan las siguientes sustituciones en (D.29) :
V12 = V4i5 - V42"
I OH — Í 3 Í T C i - 5j£ J. ~~ IS — A Sí
Entonces:
A(x) .V12 + B(x) .121 _ ,rtl
C(x)-Vsci) - D(x),Isclí
Reemplazando en (D.30) las expresiones para A, B, C y D se
tiene:
150
CQ5h(SxX) ,V12 + Zea.. 121 senh < 8 i X )—— C L/ . -3 i )
Realizando las siguientes sustituciones en la expresión ante-
rior:
Y2 = cosh(SiX) .V12
Y3 = ZCx. I21.senh(8iX )
T = senhíSiX ) .Vsc;L5 - ZC1 . I s < *- 5 - cosh
Se tiene:
( Y2 + Y3 )
T/Zcx
O también:
ÍD.32)
(D.33)
Tomando la parte imaginaria
Y2 + Y3 ).
La expresión (D.34) es i(x) en el algoritmo de Newton Raph-
son .
151
Para encontrar la derivada:
Hac iendo•
NÚ = cosh(6iX).V12 + ZCi. I2i.senh(Sa.X
n_M „ ^ .DEN = - co5h(S1X).Isí:L)
La expresión de la derivada para la función f(x) es:
( Derivada(NU).DEN - MU.( Derivada(DEN) )• ™ ™ ' ' —' \/ « O O
(DEN)2
Desarrollando la parte superior de (D.35):
[ V12.S*.senh(8iX) + ZCi- 121.6 i,cosh(8XX) ]
cosh
[Vi2.cosh(6, X )+2Ci - 121 .senh( 6 a. X ) ]
Agrupando términos semejantes:
D.36)
152
iX) - coshMSj.X
Zci. 121.1¿¿tij -Si. [ senhMSiX) - (D.37)
Pero:
coshMSiX) = - 1 (D.38)
Por lo tanto, sacando factor común 1/ZC± Y 8a. , la expresión
(D.37) se transforma en:
6a. (D.39)
Haciendo:
X4 =
X5 =
X2 = 121
(D.40)
Reemplazando (D.40) en (D.39) se tiene;
63. „ [ X4 - ( X5.X2 ) ](D.41)
153
La expresión (D.41) se divide para (DEN)2 :
63.. [ X4 - ( X5.X2 ) ]
- cosh ( 6 ¿X ) .(D.42)
ICÍ ] 2
Reemplazando T, definido anteriormente, la expresión (D.42)
puede escribirse así:
63.. [ X4 - ( X5.X2 ) ].Z,(D.43)
Pero solo interesa la parte imaginaria, es decir:
T ,Im { X4 - ( X5.X2 ) ].ZC1
T2(D.44)
fD.44) es la derivada f'(x) de (D.3Í). Las expresiones (D.34)
y (D.44) representan a la función f(x) y su derivada f'(x) en
el algoritmo de Newton Raphson.
A ,
Im {( Y2 H>• Y3 ) ,ZC
T1 1
Xn
T , 81.. [ X4 - ( X5.X2 ) ].20i .Im { . }72 Xn
(D.45)
154
La expresión (D.45) encuentra el valor de la distancia X
en cada iteración. Al igual que la falla fase tierra, en la
primera iteración se toma como valor inicial O Km.
D.3.- FALLA FASE FASE TIERRA,
Partiendo de la ecuación (3.51
. O CD.46)
Donde:
= C c o > ( x ) . Vs < 0 ) - D Í O ) ( x ) . I e < °
(D.47)
Tomando la parte imaginaria de (D.46) y reemplazando (D.47)
se tiene:
íD.48)
155
Reemplazando las expresiones de A, B, C y D en (D.48) se
tiene:
cosh( Sj.X) -V^1* ~ Zea. -senn( S^X ) . I^3- > - V¿° * . cosh ( S0X )
sinh(SoX) .Ve<0> i / r v^ T ••<.-,,- COSh(fi0X).IBCO>
o. UOJ .senh(SoX) ( D 49 )
CO«h( «0X ) . Ifi'-- co
Se sustituyen las siguientes expresiones en ( D . 49 )
CTO = ZC1- Iélj
CKO = Va13 .cosh(6iX ) - CTO
CKTO = CKO - Vét:i> ,cosh(60X)
POKO = CKTO + Zco-Ié01 -senh(SoX)
TO - senhí 80X ) .V»to> - ZCo - I s ( <:o - cosh ( 60X
Y se tiene:
PGKO.Zeo
TO
Tomando la parte imaginaria de (D.50):
(D.50
- . c o - v l ' ^ ^ l = ; ^ \m { > ( D . 51 )
TO
156
La expresión (D.51) es la función f(x) en el algoritmo de
Newton Raphson.
Para encontrar 1 a derivada:
Hac iendo :
NÚ = coshtSiX) .V- > - Zci .senhí SiX } . le1 > - Vé° > . cosh ( 60X ) +
Zeo- 14° > -senh( S0X)
__.. senh(80X) . V¿ c ° > ... v.DEN = - cosh(80X)Zcso
La expresión para la derivada de f(x) es :
( Derivada(NU).DEN - NÚ.( Perivada(DEN) )- """"" "* : -™— —— . .—- — \ •
(DEN)2
Desarrollando la parte superior de (D.52)
. 6a. . cosh ( 8A
°>-S0.senh(S0X) + ZCo.Ié°J.S0-cosh(60X
Zco
157
[ coshí SiX) .Vé1 * - Zci.senhí Sj.X ) . le,1 > - cosh ( S0X ) .
Zeo.1405 .senh(SoX) ]
Zco
Agrupando y sacando factor común:
u » e o > r x , 6 i X ) . s e n h ( S o X )• Vs . L 1
Zoo
8o -coshíSiX) .coshí 60X)
-Is < 0 > .C60.cosh(6iX) -senhí 60X)
- coi r Zea. -senh( 8iX ) . 60.cosh( 60X )- • -ri L
Zco
jX).senh(60X)
.Io<0) •E Zci.Si-cosh(SiX) .coshí 60X) +
iX).senh(SoX) ]
(D.53)
158
(6OX) . So _ So. sentí? ( S0X)
Isco) .[ Zeo.So.senh* (60X) - ZCo - So-cosha ( 60X ) ] (D.54)
Pero:
- senhMSoX) = 1
Reemplazando la expresión anterior en (D.54) y sacando factor
común 1/Zcoj 5e tiene:
( Ve3-' -Va<0) - C S±-senh( SiX ).
.cosh(60X)
-Ia < 0 > .Zco.C 60.cosh(8iX) .senh(S0X} +
,co5h(60X)
- C So.senh(SxX) ,cosh( £0X ) +
159
80.senh(S^X).senhíS0X
(D.55)
Sustituyendo las siguientes expresiones en (D.55):
QO = V43- J . Vs( ° s
BOO - V43-) . Is0) - Zco
AOO = I41*.Vs<°>.Zci
ROA - le1 > .Is° J .ZCo-Zci
COO = Vét:>) . Vsco>
JOO = Zco-Zco- U0> . I¿0)
MO = (COO - JQO).60
Se tiene:
-1 í QO. [ Si.senh(S^X) .senhí 6pX) - S0-cosh(SiX).coshC 60X) 3
+ BOO.C 8o.coshí6iX).senhí60X) - S±.senh(SxX).cosh(60X) ]
AOO.[ So.senh(6o.X) .coshí 60X) - 6 i . cosh ( 8 ±X ) . senh ( S0X } ]
+ ROA.C 8i.coshíSiX) .cosh(60X) - 60-senhí8 i X} .senhíS0X) ]
( COO - JOO ).80 } (D.56)
160
Haciendo:
E10 = senh(8iX),senh(80X)
E20 = cosh(SiX).cash(SoX)
E30 - cosh( SiX} .senhf S0X)
E40 = senh(SiX).cosh(SoX)
Entonces la expresión (D.56) queda de la siguiente manera:
— { QO.C E10.8i - E20.60 3 + BOO. [ E30-80 ~ £40.8^. ] +
A00.[ E40.80 - E30.6! 3 + ROA.C E20.Sa. - E10.S0 3 + MO >
(D.57)
Reemplazando las siguientes expresiones en (D.57):
MAY1 = ElO.Si MAY5 = E40.60
MAY2 = E20.60 MAY6 = £30.6^
MAY3 = E30.80 t^AY7 = E20.8i
MAY4 = E40.6o. MAY8 = E10.60
Se tiene:
{ QO.C MAY1 - MAY2 3 + BOO.[ MAY3 - MAY4 ]
161
ftOO.C MAY5 - MAY6 3 + ROA.[ MAY7 ~ MAY8 ] + MO } (D.58)
Si :
DOM1 = MAY1 - MAY2
DOM2 = MAY3 - MAY4
DOM3 = MAY5 - MAYÓ
DOM4 = MAY7 - MAY8
Entonces:
— { QO.DOM1 + BOO.DOM2 + AOO.DOM3 + ROA.DOM4 + MO } (D.59Zco
Dividiendo CD.59) para (DEN}2 , se tiene:
QO.DOM1 + BQO.DOH2 + AGO.DQM3 + ROA.DQM4 + MO
[ senh(60X) .Vs(°5 ~ Zco- Isc°5 -cosh(60X) ]2
(Zco)2
Real izando los siguientes reemplazos:
FAS! = OO.DOM1
FAS2 = BOO.DOM2
FAS3 = AOO.DOM3
FAS4 = ROA.DOM4
TO = senh(80X).VsÍO) - Zco.Isc°J.cosh(60X)
162
Se tiene:
E FAS1 + FA52 + FAS3 + FAS4 + NO ].Zco
Como interesa solo la parte imaginaria:
[ FAS! + FA52 + FAS3 + FA54 + MO ].Zco , 6
T02
La expresión (D.61 ) representa la derivada f'(x) de la ex-
presión (D.49).
Las expresiones (D.51) y (D.61) son la función f(x) y su de-
rivada f'(x), necesarias en el algoritmo de Newton-Raphson,
es decir:
_ .Im {
A rf*-i — "'TO Xn
. [ FAS! + FAS2 + FAS3 + FAS4 + MO].ZCoIm { _
(D.62)
La expresión (D.62) encuentra el valor de la distancia X en
cada iteración. Al igual que en los casos anteriores en la
primera iteración se toma como valor inicial O Km.
163
D.4.- FALLA TRIFÁSICA.
Partiendo de la ecuación (3.55)
Im { — } = O ÍD.63)
C:L) (x) -Vs<1) - Dí;L) (x) .Ie<15
k-> (x) .V¿k-> - B í t e ) (x) . I¿K> ; k =
Como en -los casos anteriores, la expresión (D . 63) se puede
escribir asi:
(x) .V¿, - B < * > (x) . I4^>
C< 1 J(x).Vs c i J - D ( 1 5 C x).Is< 1 3
Desarrollando las expresiones de A, B, C y D se tiene:
En la sección D.i fue definida la expresión para T, por
tanto (D.65) puede escribirse de la siguiente forma:
C coshíSiX) -Va1' - Zci.senhC8a.X) .I411 3.ZCi ,n ...S U » OÍD J
T
164
Se real iza los siguientes reemplazos en la expresión
rior :
TRI6 =
TRI7 = Zci.senh(6X
Se tiene:
[ TRI6 - TRI7 3.ZCiíD.67)
T
Tomando la parte imaginaria de (D.67):
T , [ TRI6 - TRI7 ].ZC1 , ,n / n vIm { } (D.6S)
La expresión (D.68) es la función f(x) en el algoritmo de
Newton Raphson.
Para la derivada:
NÚ = cosh( So.X ) .Vé1 5 ~ ZCi -senhí 6 i X ) . le
165
La derivada de una función f(x) es de la forma
Derivada(NU).DEN - NÚ.(Derivada(DEN)
(DEN>2
Desarrollando la parte superior de (D.69):
I A J . 6 i .senh(6 iX) - Z c i . l a , 1 > . 8 i . c o s h ( 6 x X ) ].
senh(S^
(D,70)
Real izando operaciones
T •• c a. i c- I»1- ^ 5 „ 81 ,sen
- lá3 -^ . V s ^ x ^ .SJ..senh( S ^ X ) ,cosh( S^
166
.Si-Iaei >.CQSh2(SiX)
,cosh(S^
Zci . -coshí 61 X ) .senhí 8a. X )
.senh2 D.71 )
Agrupando términos semej antes:
.Si. .[ senh2(S±X) - cosh2(S:LX)
- C c o s h M S x X ) - s e n h 2 ( S i X ) ] D .72)
Pero:
- s e n h 2 ( S i X ) =
167
Entonces:
Dividiendo para (DEN)2 y reemplazando la expresión de T se
tiene:
T2
Se real izan las siguientes sustituciones
X5
TRI2 =
Entonces la expresión (D.73) queda de la siguiente forma
[ ( X5.TRI ) - TRI2 l.Si.
T2
Tomando la parte imaginaria de la expresión anterior se
tiene:
C ( X5.TRI ) - TRI2
72(D.753
La expresión (D.75) es la derivada f'(x) de (D.68) en el al-
goritmo de Newton.
Im TRI6 " TRI7 ]-
_ .Im 1
Xn
[ ( X5.TRI ) - TRI2 D.Si.- ;
T2
(D.76)
La expresión (D.76) encuentra el valor de la distancia X en
cada iteración. El valor inicial es O Km.
169
APÉNDICE E
MANUAL DE USO DEL PROGRAMA DIGITAL
E. i.- NOMENCLATURA.
E.1.1.- VARIABLES DE ENTRADA:
SÍMBOLO DESCRIPCIÓN
LI Inductanciade secuencia positiva en Henrios
por Ki 1ómetro.
RI Resistencia de secuencia positiva en Ohmios
por Kilómetro,
Ci Capacitancia de secuencia positiva en Fara-
dios por Kilómetro.
Lo Inductancia de secuencia cero en Hen^ícs por
Ki1ometro.
R0 Resistencia de secuencia cero en Ohmios por
Ki1ometro.
Co Capacitancia de secuencia cero en Faradios
por Ki1ometro.
VN Voltaje nominal de operación en KV.
SN Potencia aparente nominal en MVA .
X0 Longitud total de la línea en KM.
I Arreglo de tres dimensiones que al macena las
muestras de corriente de las tres fases de
la 1ínea.
V Arreglo de tres dimensiones que almacena las
muestras de voltaje de las tres fases de la
1ínea.
E-1.2.- VflRIflBLES DE SftLIDft:
SÍMBOLO DESCRIPCIÓN
GAM0 Contante de propagación de secuencia cero
por unidad de longitud.
GAM¿ Constante de propagación de secuenc ia posi-
tiva por unidad de longitud.
Zco Impedancia característica de secuencia cero
por unidad de longitud.
Zea. Impedancia característica de secuencia po-
sitiva por unidad de longitud.
NM Número de muestras de falla ingresadas.
, VIP Arreglos de una dimensión que almacenan,
para las tres fases, la parte real e imagi-
naria de la componente fundamental da vol -
171
taje de pre falla respee tivamente.
IRP, IIP Arreglos de una dimensión que almacenan,
para las tres fases, la parte real e i mag li-
naria de la componente fundamental de co-
rriente de pre falla respectivamente.
Rv1, IV Arreglosdeuna dimensión que almacenan ,
para las tres fases, la parte real e imagi-
naria de la componente de voltaje de falla
respectivamente.
RI, II Arreglosdeuna dimensión que almacenan,
para las tres fases, la parte real e imagi-
naria de la componente de corriente de falla
respectivamente.
VPA, VPB, VPC Voltajes de superposición de las tres fases.
IPA, IPB, I PC Corrientes de superposición de las tres
fases.
DIST Distancia al punto de falla.
E-2.- FORMA DE PROPORCIONAR LOS DATOS.
Los datos necesarios para la ejecución del programa di-
gital en lenguaje FORTRAN 77 son: los parámetros de la línea
de transmisión y las muestras transitorias de corriente y
voltaje. Para cada tipo de falla se tiene un archivo dife-
rente cuyo formato es el siguiente:
172
Línea # 1:
L-
Ri d
E12.5 E12.5 E12. 5
Línea # 2:
Lo Ro C0
E12.5 E12.5 E12. 5
Línea # 3:
VN SN X0
E10.5 E10.5 E10.5
A partir de la Línea tt 4 se proporcionan las muestras de
corriente y voltaje de la siguiente manera:
la Ib Ic Va Vb Ve
E13.5 E13.5 E13.5 E13.5 EÍ3.5 E13.5
En cada línea debe constar una muestra de corriente y una de
voltaje para cada una de las fases. En este programa el
número de muestras de corriente y de voltaje es 30, por tanto
se necesita igual número de 1íneas.
173
E. 3.- RESULTADOS.
Todas las variables de salida indicadas en la sección
E. 1.2, el tipo de falla y las fases involucradas aparecen en
el archivo de resultados,
E. 4.- ARCHIVOS DE DATOS Y RESULTADOS.
Debe estructurarse un archivo que contenga los datos
descritos anteriormente y cuyo nombre respete las normas del
Sistema Operativo y tenga máximo 8 caracteres.
El programa creará el archivo de resul tados con el
nombre que se le indique ( máximo 8 caracteres) .
E. 5.- FORMA DE UTILIZAR EL PROGRAMA.
Para ejecutar el programa debe real i zar se lo siguiente:
- Escribir el nombre del programa :
TESIS
- En la pantalla aparecerá lo siguiente
'INGRESE NOMBRE ARCHIVO DE DATOS:'
174
- Escribir el nombre del archivo correspondiente.
- En la pantalla aparecerá :
'INGRESE NOMBRE ARCHIVO DE RESULTADOS:'
- Se escribe el nombre del archiva y comienza la ejecucion
del programa.
175
REFERENCIAS
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relayinq", Relay Instrumental División.
30. Gavidia, "Estudio de transitorios producidos por falla_s_
utilizando un modelo de linea de transmisión". Tesis de
Ingeniería, Escuela Politécnica Nacional, 1981.
130
Donde:
a"*"-i , a^i son los coeficientes de la segunda y terce-
ra fila de la i-esima columna de la matriz [A]*
Para implementar este método se deben determinar: fre-
cuencia de muéstreo, número de muestras consecutivas de vol-
taje o corriente y el tiempo de referencia (t=0), que tiene
que ver con la forma de onda sinusoidal con respecto a la
cual se mide el ángulo de fase de las componentes del modelo.
El inconveniente de este método es el tiempo rea 1 de
computación por las diferentes operaciones que realiza y por
la aproximación de la forma de onda de la señal transitoria.
B.5.- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
DEL MODELO DEL SISTEMA.
MeInnes y Morrisonxl modelan la línea de transmisión
como un circuito serie R-L mediante la siguiente expresión:
V = R.i + L. di/dt (B.1O)
La solución para R y L va acompañada de la integración
en periodos de tiempo sucesivos y de la solución de las ecua-
130
clones 1 ineales si muí t aneas . Por tanto las expresiones de P
y L en base a las muestras de vol tajes y corriente son:
n . ( VR-I + VK-S) ( ÍK-l + ik. )-( VK-i + VR ) ( Íir-JL + Í kL_ = -
(B.ll)
R = ( v .-x + Vk
(ÍR-I + ÍK)(Ík.-i - ÍK_35)-( ÍK.-Í + Ík.-=:)(ik ~ ÍK-I)
(B. 12)
Este método es val ido en 1 íneas de transmisión cortas ,
en las que se desprecia la capacitancia shunt, para lineas
largas el efecto de esta capacitancia introduce errores pero
no inciden mayormente en los resultados finales.
En general para re alizar la selección óptima de estos
algoritmos se deben considerar entre otras cosas: que pro-
porcionen un adecuado f i 1 trado a la señal y que tengan gran
velocidad de procesamiento , según esto , el algoritmo más
conveniente es el de Fourier de cic lo completo .
131
APÉNDICE C
FACTOR DE DISTRIBUCIÓN DE
CORRIENTE DE FALLA
Se define el factor de distribución de corriente de
falla K(x) como la relac ion entre los vectores I^R e I^s
definidos en la red de superposición. Este factor es función
de la distancia X al punto de falla.
Si se considera a la línea sin pérdidas y a las fuentes
puramente inductivas, el factor K(x) tiene un valor real a
pesar de que las corrientes I^-R e I^-s son valores complejas.
En la figura C.l se muestra la línea de transmisión SR
en la cual se ha producido una falla en el punto F, situada a
X Km de S. Las impedancias de las fuentes en los extremos
son j WLS y jWLR respectivamente.
77777,
S F RJOT\1 1 - /-X-\ •- f i
LS ii r ui
LRKJ — • • X >kj d - X W1
•ry
1
FIGURA C.1
La impedanc ia Z 3 vista desde el punto de f a l l a hasta el
extremo S, está definida por la siguiente expresión:
= Zr;.tanh(8x ( C . U
Donde:
= -TL/C (C.2)
L = jW.^L.C
9. = = tanh-M
c r,. T.
(C.4)
Sustituyendo las (C.i) a (C.4) en (C.1) se tiene:
133
= Zc-tanh( JW..TLC.X + a. + jf3m ) (C.5)
Agrupando:
= Zc-tanhí a, + j.( W.4~LC.x + [3. ) ) (C.6)
Haciendo:
A = W..TLC.X + |3,
Y reemplazando en la expresión (C.6) se tiene
= Zc.tanh( a, + JA ) (C.7)
O también:
senh( a. + JA'
cosh( am + jA
Por definición, senh( ce» + j A ) es:
0<-;t« •*• J A > _ e — / -;t
senhf a» + jft ) = ——___—
- -senhí a, + JA ) = L- !—. (C.9)2
134
Donde:
BJA = cosA + j.senA
e-jA = cosA - j.senA
Por lo tanto (C.9) puede expresarse de la siguiente forma
. n ^ ew* . ( cosA + j senA ) - e '-<m . ( cosA - j sen A )senhta. + jA) - .—. —
í C. 10)
Desarrol lando:
, _ . e'-'*. cosA + j,e'-cm. senAsenn(a» + jA) = +
. cosA - j.e~0(m. senA
Agrupando parte real e imaginaria se tiene:
senh(a» + jA) - cosA. + j.senA
Donde:
senha_ =
• JL JL /
(C.12)
cosha. =
Por tanto:
135
senh( a. + j A ) = eos A „ sehcc* +• j . sen A . casha. (C.13)
Por definición cosí a» + JA ) , es:
e C .=< » ~t- j Pi
cosh( a» + jA ) =
Resolviendo de manera similar se tiene:
cosh( a» + jA ) = eosA.eosha» + j.senA + senham (C.14)
Por lo tanto:
, , , ^ .. . _ cosA.senha» + j.senA.cosha.tanhC a. + jA ) = CC.15)
cosA.cosha, + j .senA.senha»
Como se considera que la linea no tiene pérdidas, se cumple
lo siguiente:
senh a» ~ O
cosh a. ~ 1
Por tanto:
tanhC a. + jA ) = J' = j.tgA (C.16)eos A
Reemplazando (C.16) en (C.17) se tiene:
136
= j . Zc-tgA
Pero:
A = W.JLC.x + (3.
Entonces:
ZF=-S - j.Zc.taní W..TLC.X + [3. ) ÍC.18)
De manera similar la impedancia total Z^F? i vista desde
el punto de falla al extremo R, es:
Z^R = j.Zc.tan( W.TLC.(d-x) + Í3W ) (C.19)
El factor K ( x ) está definido por la siguiente relación:
K(x) = If=rR = Z^5 (C.20)I F="S ZF=-P,
Reemplazando (C.1B) y (C.19) en (C.20) se tiene:
K(x) = -tan( W.-TLC- (d-x) + Í3« )
La expresión (C.21) demuestra que el factor K(x) tiene un
valor rea 1.
137
APÉNDICE D
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Las ecuaciones básicas no 1ineales que dan la distancia
al punto de falla requieren de Un proceso' iterativo para en-
contrar su solución. En esta tesis se utiliza el método de
Newton Raphson para todos los tipos de falla. (Ver capítu-
lo 3)
El algoritmo de Newton Raphson para encontrar la solución X
de una ecuación de la forma f(X) = O es el siguiente:
i.- Escojer X0) e
2.~ Determinar f(X0)
3.- Determinar f'(X0)
4.- Calcular: DELTAX = f(X0)/f'(X0)
5.- Determinar: XA = X0 - DELTAX
6.- Si |DELTAX/X1| < e ; XI es la solución.
De lo contrario:
X o ™ "i
7.- Se repite desde el paso # 2 hasta que se cumpla con el
criterio de convergencia descrito en el paso # 6.
A continuación se desarrollan, para los cuatro tipos de
falla, la ecuación básica y su derivada para poder incorpo-
rarlas al programa digital dentro de subrutinas independien-
tes para cada tipo de falla.
D.I.- FALLA FASE TIERRA
Partiendo de la ecuación (3.30):
(D.2
Por facilidad hasta realizar las operaciones se toma
sólo la expresión que está dentro del paréntesis y reempla-
zando (D.2) en (D.1) se tiene:
A<°> ( x ) .V¿°> - Bco>(x).I¿01 + ftc
3
x).Isc15
139
En una linea de transmisión se cumple que
A < i > ( x ) = A c s > ( x ) = A( x )
Bc *-> (x ) = B Í 2 > (x ) = B( x )
C<*> (X) = C(=5 ( x ) = C( x }
D c i ) < x) = D< = > (x ) = D(x }
Entonces :
C( x ) .Vs< 3 - D( x
BU).(U- + I¿=») (D
C(x) .Vsci> - D(x
Haciendo:
= ISS
x).ISS , n «-\/ * DC ( X ) . V e < 5 - D ( X ) . I 3 c *• 5
Reemplazando las expresiones para A, B, C, D, definidas en el
capitulo 3 se tiene:
140
ción de la señal de prueba en un tiempo igual al periodo de
las funciones seno y coseno, lo cual garantiza la disminución
de los errores que se producen por la presencia de armónicas
al tas.
Este método no necesita el cálculo previo de la impedan-
cia hasta el punto de falla, por tanto no le afecta el error
que produce la resistencia de falla en la medida de dicha
impedancia.
Este algoritmo es largo y complejo debido a la gran
cantidad de cálculos que se realizan y al tiempo que se
consume en el proceso iterativo.
No se debe considerar el tiempo de computac ion como un
factor crítico, ya que este algoritmo debe ser entendido como
una apiicación para la determinación de la distancia hasta la
falla.
Este algoritmo es aplicable en líneas de transmisión de
alto voltaje y de longitud menor a 300 mi 11 as ya que en
líneas de mayor longitud se pueden hacer ciertas aproximacio-
nes en las expresiones (3.8) a (3.13) del capítulo 3, consi-
derando que la cantidad Sx está en el orden de 1/10 de ra-
dián , es decir:
1OÓ
cosh Sx ~ 1
sinh Sx ~ 6x
Por tanto las ecuaciones (3.8) y (3.9) se transforman en
IRO = - IB + Vs /j .Xc
Donde:
Xi y Xc son respectivamente las reactancias inductiva y
capacitiva de la línea-
La úl tima de esas dos ecuaciones puede ser reemplazada
por la siguiente expresión:
Por tanto en 1íneas extremadamente largas no hace falta
realizar un desarrollo tan complejo.
6.2.- RECOMENDACIONES
Seleccionar adecuadamente el equipo de adquisición de
datos, incluyendo filtros y atenuadores análogas.
107
Para reducir los errores en el muéstreo de las sedales
de entrada, se recomienda real izar un pre filtrado antes de
procesarlas. Para ello, debe tomarse en cuenta que la fre-
cuencia de corte del filtro que se use tiene que ser igual o
menor a la mitad de la frecuenc ia de muéstreo. En este caso,
como la frecuencia de muéstreo es 720 Hz„ la frecuencia de
corte debe estar entre 300 y 360 Hz , ya que con frecuencias
mayores el valor de la distancia a la falla se hace inesta-
ble.
Realizar el procesamiento de las señales de entrada uti-
lizando los algoritmos de Fourier de medio ciclo y con fun-
c iones Walsh para comparar sus resultados con los obtenidos
en esta tesis y asi poder determinar la eficiencia de uno u
otro algoritmo.
Analizar si, al considerar la resistencia de las fuentes
y las pérdidas en la línea, se satisface la condición de que
el factor K(x) tiene valor real. (Ver apéndice C).
Se recomienda la realización de una tesis que desarrolle
el algoritmo propuesto en la referencia 8, el cual utiliza
la transformada de Laplace para determinar la distancia a la
falla a partir de las muestras de voltaje y corriente tran-
sitorias tomadas en el terminal de envió.
108
APÉNDICE A
FUNCIONES ORTOGONALES
A.I.- MÉTODO DE ANÁLISIS.
Se examinan algunas funciones ortogonales que permiten
muestrear señales de val taje y corriente. Para la selección
de las funciones más adecuadas se utiliza una señal de prueba
y se real iza el siguiente procedimiento:
a.- Se transforma la señal a muestrear al dominio de la
frecuencia.
b„- Se transforma la función ortogonal al dominio de la
frecuencia.
c.- Se muítiplican las dos transformadas y se obtiene el
espectro de frecuencias de la señal muestreada.
Para un tiempo corto después de la falla, la corriente
Ipr(t) puede aproximarse de la siguiente manera:
Im.s in<2nf t-9 ( A. 1 )
Donde:
Ití<= = Componente DC
13 = Tercera armónica
Im . sin ( 2TIf t-9 ) = Corriente en estado norma 1
Se transforma al dominio de la frecuencia la expresión
(A.i) y se representa en el eje rea] e imaginario, figura
A.1. El gráfico está a escala de tal manera gue el período
es de 1 y la frecuenc ia 1/2 equivale a 60 HZ. La magnitud de
cada frecuencia depende del sistema en análisis, pero para
efectos de ilustración, se eligen todas las componentes igua-
les.
í > , x MAG
3/2 1/2
, > ¿ ,
1/2 3/2FREG
(a) ej e rea 1
FIGURA A.l
110
MAG
-3/2 -1/2 1/2 FREO 3/2
(b) eje imaginario
FIGURA A.l
A.2.- FUNCIONES SENÜ Y COSENO
Las fuñe iones coseno y seno se muestran en la figura A
(a) cosnx
FIGURA A.2
.1. 11
r
(b) sennx
FIGURA A. 2
La transformada de Fourier de la fuñe ion eos TTX es la
siguiente:
Fc(s) = COSTTX . i — J m rc-r* )¡ ( A - 2 )
Como la función COSTTX es par, se tiene:
F c ( s ) = r COSTCX . C052TTXS. (A.3)
Utilizando identidades trigonométricas 1 <n F»;: pr es i ón ( A . "/O
transforma en:
112
F C ( S ) = '£ .C052TTX (s + '¿) . dX + '£ . COS2TTX ( S-'-i) . dXJ -- r J — -r
£ A , 4 )
Resolviendo :
Fc(s) = T.
Para T = 1 , según la e se ala utilizada, la expresión
( A . 5 ) se transforma en :
Fc(s) = ^.sincs(s+^) + £.sincs(s-'4) (A. 6)
Donde :
sinussincs =
lis
La transformada de Fourier de sincs es la siguiente
Fs(s) = sinux. e-J2"-'"1 .dx (A.7)
Como la función siniix es impar, se tiene:
Fs(s) = j . sinnx . sin2iixs. dx ( A . 8 )
113
Resolviendo:
._ . . .F s (s ) = TJ
sin2itT .- TJ
s i n 2 u T
2TTT ( S-
.9)
La expresión (A. 9) se puede expresar de la si guien tt-^ forma:
Fs<s) sincs( s-' ) sincs ( (A.10)
Las expresiones (A.6) y (A.10) representan las transfor-
madas de Fourier de las fuñe iones seno y coseno, figura A.3.
MAG
(a) Fc<5)
FIGURA A.3
114
(b) Fs(s)
FIGURA A.3
Se cambia la variable "s" por " f " , se muítip1ica cada
componente de la figura A.la con cada componente de la figu-
ra A.3a y se obtiene el espectro de frecuencias pn e i e rpal
de la señal de prueba. El espectro en el eje imaginario se
obtiene realizando el procedimiento anterior crin las compo-
nentes de las figuras A.Ib y A . 3b . Se concluye que las fun-
ciones seno y coseno tienen un alto rechazo a la componente
DC y a las armónicas.
A.3.- FUNCIONES CUADRADAS PAR E IMPAR:
Las funciones cuadradas par e impar se muestran en la
figura A.4.
.1 15
MAG
-T
-Y/2 Y/2
a) función par
MAG
-T r
b) función impar
FIGURA A.4
La transformada de Fourier de la fuñe jún par es:
í: i:: dx +
116
,« >cjx í A. li )
Evaluando en los 1 imites se tiene:
. - , , „ sinirsT sín2iTSTFF.(S) = 2T T ( A . 12)
TTST TTST
Donde:
sinTissincs = __
ns
Para T = 1 se tiene:
FF=(s)=2.sincs-sínc2s (A.13)
La transformada de Fourier de la función impar es la si-
guiente:
f° f-e"-J2TímM .dx +
J — T J
(s) = _e~j2Tx»,t > d x + e-j=2TT»« dx (A. 14)
Evaluando (A.14) en los limites se tiene
sin2 KST= -2jrHST
Reemplazando la expresión de sincs y para T = 1 se tiene:
= -2j.sincs.sinus (A.15)
117
Las expresiones (A.13) y (A.15) representan las trans-
formadas de Fourier de 1 as fuñe iones cuadradas par p impar
f igura A.5.
MAG
(a) F±(s)
(b) FF.ÍS)
FIGURA A.5
5/2
Se cambia la variable " s" por "f" , se mu 1t i plica cada
componente de la figura A.la con cada componente de la figu-
ra A.5a y se obtiene el espectro de frecuencias en e .i e? real
de la senal de prueba. El espectro en el eje imaginario se
obtiene realizando el proce?d i. míen to anterior c: orí 1 as rompo
118
nentes de las figuras A.ib y A.5b.
Se concluye que las ondas cuadradas par e impar tienen
un alto rechazo a la componente DC, no así a las armónicas
al tas. Estas funciones tienen gran importancia desde el punto
de vista de tiempo de computación, ya que toman solamente
valores de ±1 lo cual hace que dicho tiempo sea menor.
A.4.- FUNCIONES DIENTE DE SIERRA.
En la figura A.6 se tienen las funciones par e impar
MAG
-T
(a) función par
FIGURA A.6
119
MAG
(b) función impar
FIGURA A.6
La transformada de Fourier de la función par es la si-
guiente :
l + 2x ) . cos2nsx .dx l-2x ) . cos2nsx . d ?<
(A. 16)
Evaluando:
_.= 2T sin2nsT
2TTST
i i n 2 n s T
2lTST
+ 4T2 .sin2 HST
( A . 1 7 )
Para T= 1 se tiene:
sincs2 + 2sincs2 (A.IB)
120
La función diente de sierra impar es igual a dos veces
la integral de la función cuadrada par» por tanto de? la ex-
presión (A.13) y desplazando -jns grados se tiene:
F v<s) = 2j.sincs
TTS
sinc2s
TIS
19)
En la figura A „ 7 se pueden apreciar las transformadas de
las funciones diente de sierra par e impar.
MAG
(a) Fu(s)
FIGURA A.7
121
If MAG
(b) Fv(s)
FIGURA A.7
Se multiplican estas transformadas con las dp la señal
de prueba y se obtienen los espectros de frecuencias en eje
real e imaginario. Con estas funciones SF? típnp un mejor
rechazo a las armónicas altas Que con las fuñe iones par e
i m p a r .
En 1 a presente tesis se eseojen las fuñe iones seno v
coseno como señales de referencia standard, ya que el rechazo
a la componente DC y a las armónicas altas es mayor que en
las otras funciones. El tiempo de computación es mayor pero
no representa problema si se utilizan computadores de gran
capacidad y alta velocidad de ejecución.
APÉNDICE B
ALGORITMOS PARA PROCESAMIENTO DE SEDALES
Para el procesamiento de señales se han propuesto varios
algoritmos, entre el 1 os se tienen los siguientes:
B.I.- ALGORITMO DE FOURIER DE CICLO COMPLETO.
Para extraer la componente fundamental de la señal de
entrada realiza la correlación de dicha señal con las fun-
ciones seno y coseno. C Ver capítulo 2)
El resultado que se obtiene con esta técnica es satis-
factorio debido a que se produce muy buen filtrada de las
componentes no deseadas, además tomando el tiempo de compara-
ción igual al período de las funciones de referencia, se dis-
minuyen los errores producidos por la presencia de armónicas
altas en las señales de falla. En la figura B.I se muestra
la respuesta de frecuencia para cuando se toman 12 muestras
por ciclo.
Respuesta de frecuencia.(12 muestras/c icio)
FIGURA B. 1.
Se puede apreciar que las armóni cas superi ores a la se-
gunda son bien atenuadas, pudiendo atenuar las mucho más rea-
lizando un pre filtrado antes del procesamiento de la serial .
D.2.- ALGORITMO ÜE FUONIEH DE MEDIO CICLU.
La teoría es igual a la de ciclo completo, pero el pe-
ríodo en el que se hace la comparación es de medio ciclo. Las
expresiones que determinan la parte real e i ni aginar i a son las
siguientes:
PF, = L.sin(2nL/N) B.l)
P! = L-cos(2nL/N)N
Donde:
N = número de muestras tornadas.
Q = señal de voltaje o corriente.
PFÍ = Parte real de la componente fundamental .
P i = Parte imaginaria de la componen te fundamen ta1 .
En la figura B.2 se aprecia que las armónicas son menos
atenuadas y que la componente DC influye mucho más, por lo
tanto se pierde precisión en los resultados a une} un1 la veloci-
dad es mayor.
1.0 T-
Respuesta de frecuencia(12 muestras/ciclo)
FIGURA B.2
B.3.- ALGORITMO CON FUNCIONES WALSH.
Para extraer la componente fundamental utiliza las fun-
.125
clones cuadradas par e impar conocidas como funciones Walsh.
Como estas -funciones toman sol o valorea de ± i. , e .1 tiempo r pa 1
de computación se simplifica notablemente
En la figura B.3, se muestra la respuesta de frecuencia
cuando se toman 8 muestras por ciclo, razón por la cual no se
puede comparar directamente con el algori tmo de Fourier cuya
respuesta se obtuvo para 12 muestras por ciclo. Para igual
número de muestras el comportamien to es casi idéntico.
1.0
Respuesta de frecuenc ia(8 muestras por ciclo)
FIGURA B.3
B.4, CRITERIO DEL MÍNIMO EHRUR.
Extrae la componente fundamental desde la forma de onda
transitoria, acercando en lo posible un modelo matemático su*
puesto de una señal al grupo de muestras observadas de la
misma. Sea V(t) una señal que se aproxima al siguiente mo-
delo matemático:
126
V(t) = aiíU-Xa. + aa<t).Xs + as (t). Xas (3.3'
Donde:
ai ( t) , a^ít), a.-3 ( t) son los coeficientes conocidos del rncdelo
matemático de la señal.
X i ? Xss, X.-r. son los parámetros desconocidos del modelo matemá-
tico de la señal.
Para determinar los parámetros desconocidas se necesi-
tan al menos tres valores de la señal, por tanto el número
de muestras observadas de la señal será m ( mt3) y se tendrá
el siguiente sistema de ecuaciones:
Vi = a^-Xi + ai:E.X:2 -t- ai-.-X.-3; ; i= 1,2,.. m (B.4)
Donde:
Vi : valores observados de la señal V(t)
En forma matricial:
[V] = [A3CX] (B.5)
Donde:
[A] -
.S ai:
,—. a-r>:
[X] -
[V] =
La magnitud del error del valor observado de la señal
puede evaluarse con la siguiente expresión:
t r- — ;e.6)
Al avaluar las incógnitas X i, X^, X^, el error debe ser
mínimo por tanto la ecuación (B.6), debe cumplir las siguien-
tes condiciones:
128
- A. "- - A - A= O; - O; = O
Desarrollando las derivadas anteriores y expresándolas
en forma matricial se tiene que:
CX3 - [A3^-CV3 CB.7)
Donde:
[A]- = (CA'r3.[A3)-;L.[A'r3
La ecuación (B.7) permite calcular las incógnitas del
modelo matemático de la señal.
Para un modelo matemático supuesto de una seña 1 la ma-
triz [A3 que se denomina pseudo-inversa de [A]"*" es constante
por lo que las incógnitas dependen únicamente de los valores
observadas de la señal.
Para extraer la componente fundamental, es necesario
calcular solamente los valores de X^ y X-r. que corresponden a
la parte real e imaginaria de dicha componente.
Por lo tanto:
m
Im {V} = 2 a^i.Vj. CB.9)i —O.
129
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 187792.703 -219.696
FASE B - -99905.875 -152411.891
FASE C = -93705.180 162742.531
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 673.586 71.657
FASE B = -274.450 -619.008
FASE C = -398.846 547.520
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE TIERRA
FASES FALLOSAS; B Y C
FASE A
FASE B
FASE C
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
-162719.078 -28776.521
2574.650 3200.096
604.023 -2548.701
FASE A
FASE B
FASE C
CORRIENTES DE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
-690.862 -225.817
6923.326 1686.522
-22535.354 -4065.087
93
VOLTAJES DE SUPERPQSICIQN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARÍA
FASE A = -350511.781 -29556.826
FASE B = 102480.523 155611.984
FASE C = 94309.203 -165291.234
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -1364.448 -297.474
FASE B - 7197.776 2305.530
FASE C = -21926.508 '-4612.607
DISTANCIA A LA FALLA =
CONVERGENCIA EN:
O.O98 KM.
2 ITERACIONES
5.2.4.- FALLA TRIFÁSICA:
EJEMPLO tt 1;
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 110 KM.
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 90°
Las muestras de voltaje y corriente se encuentran en la tabla
5.4 y las formas de onda correspondientes en las figuras 5.9a
y 5.9b.
94
TIEMPO(Seg. )
0.0000000.0013390.0027780.0041670.0055560.0069450.0083340.0097230.0111120.0125010.0138900.0152790.0166680.0180570.0194460.0208350.0222240.0236130.0250020.0263910.0277800.0291690.0305580.0319470.0333360.0347250.0361140.0375030.0388920.040281
la(Amp. )
-649.59-658.59-491. 11-192.04158.49466.55649.60658.58491.10192.03-158.50-466.56-649.60-658.58-491.09-1379. 10-1433.00-645.08764.532406.203827.904636.304602.903725.202227.40500.60
-1002.70-1889.60-1932.30-1128.90
Ib(Amp. }
491 . 12192.05-158.48-466.55-649.60-658.59-491, 10-192.03158.50466.56649.60658.58491 .09192.01-158.52195.59-893.39-2307.70-3555. 10-4224. 10-4076.00-3101 .70-1521.10278.231846.202791 .302886.802131.50750.73-864.09
Icí Amp. )
158.48466.54649.60658.59491 .11192.04-158.49-466.55-649.60-658.58-491. 10-192.02158.51466.57649.601183.402326.302952.602790.501817.70247.89
-1534.80-3082.00-4003.60-4073.80-3292. 10-1884.30-242.041181 .501992.90
Va(Volt. )
-173360-186230-14920O-721942416011404017336018623014920072190-24164-11404O-173370-186230-149200-4016422625797921160601217009518943624
-19193-76445-112800-118540-92126-406552207479239
Vb(Volt. )
14920072196-24159-114040-173360-186230-149200-721912416311404017336018623014920072187-24168-104210-130070-130870-101520-482O515667735601103801165209050739370-23127-80154-116330-121870
Ve(Volt. )
2415711404017336018623014920072193
-24161-114040-173360-186230-149200-721892416611405017337014437010744051071-14539-73494-110860-117190-91185-1008822293791651152501208109425342625
TABLA 5.4
95
VOLTAJES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO 1
( a )
CORRIENTES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO 1
( b )
FIGURA 5.9
RESULTADOS;
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -149199.719 -114039.305
FASE B = -24160.299 186230.641
FASE C = 173360.266 -72191.625
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -491.105 -466.552
FASE B = -158.490 658.589
FASE C = 649.595 -192.036
TIPO DE FALLA DETECTADA: TRIFÁSICA
VOLTAJES DE FAl LA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -56565.230 50589.832
FASE B = 101608.344 31708.852
FASE C = -45569.730 -82298.055
CORRIENTES DE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 2659.331 1395.776
FASE B = -74.540 -1982.539
FASE C = -2584.874 586.822
97
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 92634.434 164629.141
FASE B = 125768.641 -154521.781
FASE C = -218930.000 -10106.430
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 3150.436 1862.328
FASE B = 83.950 -2641.128
FASE C = -3234.469 778.858
DISTANCIA A LA FALLA =
CONVERGENCIA EN:
PORCENTAJE DE ERROR =
109.111 KM.
3 ITERACIONES
0.8087.
EJEMPLO tt 2:
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 98 KM.
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 90°
Las formas de onda correspondientes a las muestras de voltaje
v corriente se encuentran en las fiauras 5.10a v 5.iOb.
98
•a-
VOLTAJES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO Z
O.02.
TIEMPO (* « g « n d
( a )
CORRIENTES FALLA TRIFÁSICAEJEMPLO 2.
O.OZ
TIEMPO («
(b
FIGURA 5 . 10
99
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -149199.719 -114039.305
FASE B - -24160.299 186230.641
FASE C = 173360.266 -72191.625
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -491.105 -466.552
FASE B = -158.490 658.589
FASE C = 649.595 -192.O36
TIPO DE FALLA DETECTADA: TRIFÁSICA
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -3970.672 5058.983
FASE B = 8332.784 317O.S86
FASE C = -3846.627 -8229.806
1OO
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 265.933 139.578
FASE B = -7.454 -198.254
FASE C = -258.487 58.682
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios!
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 145229.047 119098.289
FASE B = 32493.082 -183O59.750
FASE C = -177206.891 63961.820
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amoerios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A - 757.038 606.130
FASE B = 151.036 -856.843
FASE C = -908.083 250.718
DISTANCIA A LA FALLA = 97.138 KM.
CONVERGENCIA EN: 3 ITERACIONES
PORCENTAJE DE ERROR = 0.8797.
101
5.3.- ANÁLISIS DE RESULTADOS:
Las componentes fundamentales de las señales de voltaje
y corriente de pre falla, para las tres fases y en todas las
pruebas real izadas, son correctas. El valor máximo de la com-
ponente fundamental de voltaje es 187.790 Voltios por fase y
el de la componente fundamental de corriente es 677,4 Ampe-
rios, los mismos que están de acuerdo con los datos de parti-
da de 230.000 Voltios de voltaje nominal y 500 Amperios de
corriente nominal.
Los algoritmos utilizados en la detección de los transi-
torios que producen las fallas y en el análisis del tipo de
falla funcionan adecuadamente.
Al procesar las señales de falla se tiene un pequeño
error debido a que no fueron filtradas previamente, de todas
maneras los resultados son satisfactorios.
En los cuatro tipos de falla se ve que la componente
fundamental de voltaje, en las fases fallosas, disminuye a
medida que la distancia a la falla es menor y viceversa. La
componente fundamental de corriente aumenta conforme disminu-
ye 1 a distancia.
102
Para el caso de la falla fase tierra. ejemolos 2 v 3 , se
tiene que a menor ángulo de iniciación de la falla la cornpo-
nente fundamental de voltaje en la fase fal losa, es menor v
la de corriente es mavor.
Para la falla fase fase, ejemplos 1 v 2, se aprecia que
las componentes fundamentales de corriente de las fases
fallosas son iguales y opuestas.
Las distancias obtenidas en los cuatro tipos de falla
son correctas. ya que el error respecto a la distancia a la
cual se simulan las fallas tiene un máximo de ±4V., por lo
tanto estos resultados son muy confiables. Además a 1 compa-
rar estos resultados con los de la referencia 16. en la que
se hace el cálculo previo de la impedancia de falla, se ve
aue los de esta tesis son mucho más precisos.
Revisando los resultados - de los diferentes tioos de
falla se puede decir que para la falla fase tierra se tienen
errores menores que en los otros casos, pero esto es relativa
debido al diferente tratamiento matemático aue se da a las
ecuaciones básicas y a las condiciones en aue se simularon
1 as fa 11 as,
En cuanto al ángulo de iniciación de la falla se puede
apreciar en los ejemplos 2 v 3 de la falla monofásica, que
103
para 90° el error en la distancia es mucho mayor que oara 0°.
debido a que si la falla se produce a voltaje máximo, la
señal transitoria se ve seriamente afectada por la presencia
de armónicas al tas.
El número de pruebas real izadas es suficiente oara de-
mostrar la eficacia de este método.
Se puede mejorar la precisión en el cálculo de la dis-
tancia, si se la calcula después de 3 o 4 ciclos de haberse
iniciado la falla, lapso en el que el transitorio se atenúa
considerablemente.
104
CAPITULO VI
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6,1.- CONCLUSIONES
Este algoritmo determina la distancia al punto de falla
en 1íneas de transmisión trifásicas de alto voltaje, uti1i-
zando únicamente los voltajes y corrientes medidos en el ter-
minal de envío.
La frecuencia de muéstreo de 720 Hz es la más convenien-
te en señales de falla, ya que considera el efecto de las ar-
mónicas de hasta sexto orden, lo cual garantiza una repre-
sentación más fiel de las mismas. Para el caso de las seña-
les de pre falla se puede utilizar una frecuencia de muestreo
de 240 Hz, debido a que no contienen componentes de alta
frecuencia, pero para efectos de funcionamiento del programa
se utilizan los 720 Hz en ambos casos.
El análisis de Fourier para la extracción de la compo-
nente fundamental es el más idónea porque realiza la compara-
CORRIENTES DE FALLA [Amperios!
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 691.947 12.241
FASE B - -295.859 -590.908
FASE C = 1978.372 1515.621
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 334995.094 4078.439
FASE B = -184865-641 -329270.250
FASE C = -162346.984 285784.313
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN
FASE A -
FASE B =
FASE C =
PARTE REAL
1352.347
-495.490
1517.604
DISTANCIA A LA FALLA -=
CONVERGENCIA EN:
PORCENTAJE DE ERROR =
PARTE IMAGINARIA
163.002
-1238.212
2012.159
9O.303 KM.
3 ITERACIONES
0.3367.
EJEMPLO tt 2:
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 2 KM,
FASE FALLOSA: FASE A
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 0°
74
Las formas de onda correspondientes a las muestras de voltaje
y corriente se encuentran en las figuras 5.3a y 5.3b.
VOLTAJES FASE TIERRA A CERO GRADOSEJEMPLO Z
O.Q2
TIEMPO í* m «u n d
( a )
CORRIENTES FASE TIERRA A CERO GRADOSEJEMPLO Z
O.OZ
TIEMRO<»«gundos)
(b )
FIGURA 5.3
75
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -226.011 -187793.375
FASE B = -162520.234 94092.063
FASE C = 162746.000 93702.063
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 71.639 673.594
FASE B = -619.159 274.755
FASE C = 547.526 398.837
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE TIERRA
FASE FALLQSA: A
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 5856.321 9374.152
FASE B = 125384.930 -136847.016
FASE C = -173735.406 -62735.383
76
CORRIENTES DE FALLA
FASE A =
FASE B -
FASE C =
PARTE REAL
6540.6Í8
796.135
-307.674
PARTE IMAGINARIA
-764.876
-437.123
-346.788
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A - 6082.333 197167.531
FASE B = 287905.156 -230939.078
FASE C = -336481.406 -156437.438
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]
FASE A =
FASE B =
FASE C =
PARTE REAL
6468.979
1415.294
-855.199
DISTANCIA A LA FALLA ~
CONVERGENCIA EN;
PORCENTAJE DE ERROR =
PARTE IMAGINARIA
-91.282
-761.883
-745.625
1.955 KM.
2 ITERACIONES
2.257.
EJEMPLO tt 3t
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 2 KM.
FASE FALLOSA: FASE A
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 90°
77
Las formas de onda correspondientes a las muestras de voltaje
y corriente se encuentran en las figuras 5.4a y 5.4b.
111 Zj
ti
VOLTAJES TASE TIERRA A 9O GRADOS
( a )
CORRIENTES FASE TIERRA A CEROEJEMPLO 2
GRADOS
( b )
FIGURA 5 .4
78
RESULTADÜS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARÍA
FASE A = Í87780.891 61.270
FASE B = -93847.195 -162608.750
FASE C = -93935.664 162607.422
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 191.345 -646.521
FASE B = -655.524 157.539
FASE C = 464.185 489.018
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE TIERRA
FASE FALLOSA: A
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -13482.604 -17030.656
FASE B = 132194.063 119176.539
FASE C = 50350.898 -183305.859
CORRIENTES DE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A - 3304.403 5700.366
FASE B = -341.012 -637.700
FASE C = -229.601 -679.432
79
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -201263.500 -17091.926
FASE B = 226041.250 281845.281
FASE C = 144286,563 -345913.281
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 3113.058 6346.887
FASE B = 314.512 -795.238
FASE C = -693.786 * -1168.450
DISTANCIA A LA FALLA =
CONVERGENCIA EN:
PORCENTAJE DE ERROR -
1.923 KM.
3 ITERACIONES
3.857.
5.2-2.- FALLA FASE FASE:
EJEMPLO tt 1:
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 50 KM.
FASES FALLOSAS: FASES B Y C
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 180°
SO
Las muestras de val taje y corriente se encuentran en la
tabla 5.2 y sus formas de onda en las figuras 5.5a y 5.5b.
TIEMPO(Seg. }
0.0000000.0013890.0027780.0041670.0055500.0069450.0083340.0097230.0111120.0125010.0138900.0152790.0166680.0180570.0194460.0208350.0222240.0236130.0250020.0263910.0277800.0291690.0305580.0319470.0333360.0347250.0361140.0375030.038892O. 040281
la(Amp. )
111.56430.69634.41668.14522.84237.44-111.58-430.70-634.41-668.13-522.82-237.42111.60430.71634.42286.57431.86460.02363.39167.89-74.05-297.59-442.83-470.85-374.13-178.5663.46287.07432.37460.46
Ib(Amp. )
-634.41-668. 14-522.84-237.44111.58430.70634.41668.13522.83237.43-111.59-430.71-634.42-668. 13-522.82-243,51-368,43-393.23-311.13-144,1762.88254.51379.37404,03321.84154.81-52.30-244.00-368.95-393.67
Icí Amp. )
522.84237.45-111.57-430.69-634.41-668.14-522.83-237.43111 .59430.71634.42668. 13522.82237.42-111.60-430.72-634.42-668.13-522.81237.40111.62430.73634.43668.13522.80237.39-111.64-430.74-634.43-668. 13
Va(Volt. 3
1094310321016783018747015689084258-10947-103220-167830-187470-156880-84253109521032201678301114511358
8527.13410.5-2620.2-7949.3-11149-11361-8529.9-3413.42617.37946.311146113588526.8
Vbí Val t . )
-167830-187480-156890-842591094610322016783018747015688084255-1095O-103220-167830-187470-156880-822.76
54251022012277110456853.2825.7
-5422.6-10218-12274-11042-6850.4-822.895425. 510221
Ve(Volt. )
15689084260-10944-103220-167830-187470-156880-842561094910322016783018747015688084252-10953-10322-16783-18747-15688-8424.81095.8103231678418747156888424.4-1096.2-10323-16784-18747
TABLA 5.2
81
VOLTAJES FASE FASE 1EJEMPLO 1
0.02.
TI EM PO <S ESUNDOS)
( a )
CORRIENTES FASE FASEEJEMPLO 1
O.C-Z
TIEMPO <S CHUÑÓOS)
( b )
F I G U R A 5 . 5
82
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -10946.781 187473.500
FASE B = 107828.484 -84256.977
FASE C = -156884.313 -103218.375
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amperios!
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -111.579 668.138
FASE B = 634.408 -237.437
FASE C = -522.832 -430.702
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE
FASES FALLOSAS: B Y C
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -36127.020 -189962.531
FASE B = -52089.734 103306.141
FASE C = 88216.422 86657.422
83
CORRIENTES DE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -61.99 -693.452
FASE B = 514.638 4811.565
FASE C = -452.674 -4118.174
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -25180.238 -377436.031
FASE B = -219918.219 187563.125
FASE C = 245100.734 189875.797
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]
FASE A =
FASE B =
FASE C =
PARTE REAL
49.580
-119.770
70,157
DISTANCIA A LA FALLA =
CONVERGENCIA EN:
PORCENTAJE DE ERROR =
PARTE IMAGINARIA
-1361.590
5049.002
-3687.473
49-229 KM.
3 ITERACIONES
i . 5427.
EJEMPLO tt 2:
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: 5 KM.
FASES FALLOSAS: FASES A Y B
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 18O°
84
Las formas de onda correspondientes a las muestras de voltaje
y corriente se encuentran en las figuras 5.6a y 5.6b.
-a-
VOLTAJES FASE FASEEJEMPLO 2.
CORRIENTES FASE FASEEJEMPLO Z
TI EMPQ (* a g u n d o»)
F I G U R A 5.6
35
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAG I T4AR I A
FASE A = -10946.781 187473.500
FASE B = 167828.484 -84256.977
FASE C = -156884.313 -103218.375
CORRIENTES DE PRE FALLA TAmoerios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -111.579 668.138
FASE B = 634-408 -237.437
FASE C = -522.832 -430.702
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE
FASES FALLOSAS: A y B
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -5531,659 11131.678
FASE B = 8821.645 8665.742
FASE C = -36127.020 -189962.531
CORRIENTES DE FALLA [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 514.638 4811.565
FASE B = -452.674 -4118.174
FASE C = 10.515 -684.647
86
VOLTAJES DE SUPERPOSICIÓN [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -173360.141 95388.656
FASE B = 165705.953 111884.117
FASE C = -25180.238 -377436.031
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -119.770 5049.002
FASE B = 70.157 -3687.473
FASE C = 122.094 -1352.785
DISTANCIA A LA FALLA =
CONVERGENCIA EN:
PORCENTAJE DE ERROR =
4-964 KM
3 ITERACIONES
0.727.
5.2.3. FALLA FASE FASE TIERRA;
EJEMPLO tt 1:
SIMULACIÓN DE LA FALLA;
DISTANCIA A LA FALLA: 110 KM.
FASES FALLOSAS: FASES B Y C
ÁNGULO DE INICIACIÓN: -90°
87
Las muestras de voltaje y corriente se encuentran en la tabla
5.3 y las formas de onda correspondientes en las flauras 5.7a
y 5.7b.
000000000000000000000000000000
TIEMPO(Seg. )
.000000
.001389
.002778
.004167
.005556
.006945
.008334
.009723
.011112
.012501
.013890
.015279
.016668
.018057
.019446
.020835
.022224
.023613
.025002
.026391
.027780
.029169
.030558
.031947
.033336
.034725
.036114
.037503
.038892
.040281
la( Amp
-158-466-649-658-491-192158466649658491192
-158-466-649-666-454-156193479698652488163-146-512-644-662-448-201
. )
.48
.54
.60
.59
. 11
.04
.49
.55
.60
.58
. 10
.02
.51
.57
.61
.27
.25
.86
.60
.86
.56
.84
.68
.66
.47
. 17
.84
.31
.44
.88
Ib(Amp
649658491192
-158-466-649-658-491-192158466649658491
412534372108422
-1204-2390-2811-2411-129519516832709302325001307
. )
.59
. 59
. 11
.04
.49
. 55
.60
.58
. 10
.02
. 51
.56
.60
.58
.09
. 10
. 10
.30
.60
.50
.20
.30
.50
.70
.08
.20
.00
.40
.80
.10
Ic(Amp
-491-192158466649658491192-158-466-649-658-491-192158
-2728-1499
4815432630303126971705360-984
-1919O <~) •-} o£.¿,¿.7
-1782-719719
, )
.12
.05
.48
.55
.60
.59
.10
.03
.50
.56
.60
. 58
.09
.02
.51
.60
.90
.34
.00
.60
.80
.50
.20
.90
.35
. 50
.40
.40
.35
.24
Va( Volt. )
-24157-114040-173360-186230-14920O-721932416211404017336018623014920072189-24166-114050-173370-187250-143420-750662654O11555017802018363015305074216-22827-116430-169950-185820-150740-72489
Vb(Volt. )
17336018623014920072194-24160-114040-173360-186230-149200-721902416511404O17337018623014920043214-15756-74826-120380-134130-114540629421706.86718011361012995010892O60120
-5594.77O725
Ve(Volt. )
-149210-721962415811494017336018623014920072192-24163-114040-173360-186230-149200-72188241671149801379901353909700536479
-33449-90940-126280-125220-90504-300383707396751130690120600
TABLA 5.
88
VOLTAJES FASE FASE TIERRAEJEMPLO 1
( a )
CORRIENTES FASE FASE TIERRAEJEMPLO 1
Q.Q2
TICMRO <* * un el o»)
( b )
F I G U R A 5 . 7
89
RESULTADOS:
VOLTAJES DE PRE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -173360.359 72191.477
FASE B = 149199.641 114039.445
FASE C = 24289.061 -186307.172
CORRIENTES DE PRE FALLA [Amoerios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = -649.595 192,036
FASE B = 491.102 466.554
FASE C = 158.490 -658.589
TIPO DE FALLA DETECTADA: FASE FASE TIERRA
FASES FALLOSAS: B Y C
VOLTAJES DE FALLA [Voltios]
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A - 86089.391 125673.789
FASE B = 27925.557 -45361.723
FASE C = -109267.648 -42806.215
90
CORRIENTES DE FALLA [Amoenosl
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 241.959 461.523
FASE B - -1460.631 -1962.230
FASE C - 361.519 1579.315
VOLTAJES DE SUPERPDSICIDN [Voltios!
PARTE REAL PARTE IMAGINARIA
FASE A = 259449.750 53482.313
FASE B = -121274.086 -159401.172
FASE C = -133556.703 143500.953
CORRIENTES DE SUPERPOSICIÓN [Amperios!
FASE A =
FASE B =
FASE C =
PARTE REAL
891.554
-1951.733
203.028
DISTANCIA A LA FALLA =
CONVERGENCIA EN:
PORCENTAJE DE ERROR =
PARTE IMAGINARIA
269.487
-2428.784
2237.904
110.538 KM.
3 ITERACIONES
0.4897.
EJEMPLO 4» 2:
SIMULACIÓN DE LA FALLA:
DISTANCIA A LA FALLA: O KM.
FASES FALLQSAS: FASES B Y C
ÁNGULO DE INICIACIÓN: 0°
91
Las formas de onda correspondientes a las muestras de voltaje
y corriente se encuentran en las figuras 5.8a y 5.8b.
VOLTAJES FASE FASE TIERRAEJEMPLO 2
( a )
CORRIENTES FASE FASE TIERRAC4CMPUO 2
( b )
F I G U R A 5 . 8
92