A MI PADRES S

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Facultad de Ingeniería Eléctrica

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE RICATTI

- POR MÉTODOS COMPUTACIONALES

Tesis previa a la obtención del títulode Ingeniero en la especialidad deElectrónica y Telecomunicaciones

MARCO ARAUJO GRIJALVA

Quito, diciembre de 1980

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presentetrabajo ha sido realizadopor el Sr. Marco AraujoGrijalva bajo mi dirección

_, OLLLCL,Ing. Marcad

A MIS PADRES

AGRADECIMIENTO

Mi agradecimiento sincero al Ing.

Marco Barragan por la ayuda eficaz y

oportuna que me ha brindado para rea-

lizar la presente tesis, al Ing. Efraín

del Pino por su colaboración y enseñan-

zas en la parte de programación y al

Dr. Kanti More por la ayuda y amistad

que supo ofrecerme cuando lo necesita-

ba.

ÍNDICE

CAPITULO PRIMERO: INTRODUCCIÓN

1.1 Introducción 1

1.2 Reseña histórica del problema de control 1

1.3 Objetivos de la presente tesis 3

1.4 Descripción por capítulos 4

CAPITULO SEGUNDO: EL PROBLEMA DE CONTROL ÓPTIMO

2.1 Requerimientos para la formulación del problema 6

2.1.1 El modelo matemático (. . 6

2.1.2 Las restricciones físicas 7

2.1.3 La medida a ser optimizada 8

2.2 Formulación del problema de control óptimo 13

2.2.1 Formulación del problema 13

2.2.2 Formas de control óptimo 14

2.3 Programación dinámica 15

2.3.1 El principio de optimalidad , . . , . . . . 16

2.3.2 Toma de decisiones aplicando el principio de optimalidad 17

2.3.3 Una relación recurrente de la programación dinámica.

La ecuación de Bellman 18i

2.4 Solución del problema para modelos continuos lineales con cri-

terio cuadratico . . . . . ' 21

2.4.1 La ecuación de Hamilton - Jacobi - Bellman 21

2.4.2 Problemas continuos de regulación lineal. La ecuación

diferencial matricial de Ricatti 24

11

2.4.3 Problemas continuos de regulación lineal. Sistemas in-

variantes en el tiempo; T = « . La ecuación matricial

' algébrica de Ricatti 26

CAPITULO TERCERO: SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE RICATTI

3.1 Solución de la ecuación diferencial y algébrica usando la for-

, muía de Adams 29

3.1.1 Planteamiento del problema 29

3.1.2 Los métodos predictores correctores. La fórmula de Adams 30

3.1.3 Programa "Adams": Diagrama general de bloques y diagra-

mas de flujo 32

3.1.4 Ejemplos 39

3.1.5 Observaciones y conclusiones 43

3.2 Solución de la ecuación diferencial y algébrica como un sistema

de ecuaciones diferenciales 44

3.2.1 Planteamiento del problema ._ 44

3.2.2 Transformación de la ecuación de Ricatti a un sistema de

ecuaciones diferenciales 44

3.2.3 Sistemas de primer-orden. Ecuación diferencial ordinaria

de Ricatti 45

3.2 .4 Programa "Runge - Kut ta" 46

3.2.5 Ejemplos 47

3.2.6 Observaciones y conclusiones 52

3.3 Solución analítica de un caso particular de la ecuación algébrica 52

APÉNDICE I.- Listado de los programas 55

APÉNDICE II.- Manual de utilización de los programas

BIBLIOGRAFÍA

71

72

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

1.1 Introducción

Los métodos de optimización han jugado un rol muy importante en todas

las áreas de Ingeniería en las ultimas décadas. La competición, más el de-

seo del hombre de actuar en forma óptima,, combinada cpn el hecho de la dis-

minución de recursos naturales representan algunas de las razones. Además

en la moderna tecnología nos encontramos frecuentemente en situaciones don-

de por varias razones tecnológicas, se puede aceptar sólo aquellas solucio-

nes que sean óptimas en algún sentido definido; esto es, si nosotros juz-i

gamos las varias soluciones en base de una función específica, cada posi -

ble solución es caracterizada por un diferente valor de esta función, la

solución asociada con el valor óptimo será la "solución óptima".

Una teoría general basada en la combinación de las técnicas variaciona-

les, en la teoría convencional de sistemas y en la alta velocidad de la com-

putación ha sido el resultado del considerable interés que ha despertado

el problema del control óptimo. Algunos tópicos de esta teoría serán desa-

rrollados en esta tesis como se indica en los párrafos 1.3 y 1.4 de este

capítulo introductorio.

1.2 Reseña histórica del problema del control

Antes de la segunda guerra mundial el diseño de sistemas de control

era ante todo un arte; durante y después de la guerra, considerables es-

fuerzos fueron gastados en el diseño de sistemas de control.

En la primera etapa, las herramientas teóricas usadas fueron basadas

en los trabajos de Bode y Nyquist. En particular, conceptos como respues-

ta de frecuencia, ancho de banda, ganancia y margen de fase, fueron usa-

dos para diseñar servomecanismos en el dominio de la frecuencia; esto era

el comienzo del moderno control automático.

La teoría de los servomecanismos se desarrolla rápidamente desde el

fin de la guerra hasta el comienzo de los años 50, los criterios en el do-

minio del tiempo son cada vez. más usados, y la introducción del método de

lugar( de las raíces por Evans en 1948 permite el enlace entre los métodos

en el dominio del tiempo y de la frecuencia, convirtiéndose en una nueva

herramienta de diseño. Durante este periodo la principal tarea de la in-

geniería de control es el diseño de servomecanismos lineales; leves no

•linealidades en la planta y en los elementos de amlificación de potencia

podían ser tolerados con el 'uso de la realimentación negativa haciendo que

el sistema tenga una respuesta relativamente insensible a las variaciones

y perturbaciones.

La era de la competición, de la rápida tecnología y la exploración es-

pacial exigieron una mayor exactitud y aumentó el interés en los sistemas

no lineales de control. Los métodos de la función descriptiva y del plano

de fase comenzaron a ser aplicados para hacer frente a los nuevos desafíos

del diseño. Estos métodos permitieron examinar la estabilidad de los sis-

temas no lineales de lazo cerrado en el dominio de la frecuencia y diseñar

sistemas no lineales de control en el dominio del tiempo, respectivamente.

La idea de determinar un sistema óptimo con respecto a un criterio es-

pecífico tomó vigencia y la formulación precisa del problema atrajo el in-

teres de los matemáticos. El problema del control óptimo en el tiempo, fue

extensamente estudiado por matemáticos de los Estados Unidos y de la Unión

Soviética. En el período de 1953 a 1957 Bellman, Gamkrelidze, Krasovskii y

La Salle desarrollaron la teoría básica de los problemas de tiempo mínimo

y presentaron resultados concernientes a la existencia, unicidad y propie-

dades generales del control óptimo en el tiempo. En 1958, en el Congreso

Internacional de Matemáticas en Edimburgo fue anunciado por primera vez el

principio del máximo de Pontriyagin que fue demostrado más tarde por Bol -

tyanskii y Gamkrelidze. El método de la programación dinámica, del cual

considerable uso ha hecho la técnica de los problemas de control, fue de-

sarrollado por Bellman alrededor de 1953 - 1957.

Simultáneamente con el rápido desenvolvimiento de la teoría de con-

trol se dio la continua revolución en la tecnología de las computadoras,

lo que dio una serie de facilidades e ideas. Así, la teoría moderna de

control puede ser vista como la confluencia de tres tendencias: la teo -

ría de servomecanismos, el cálculo de variaciones, y el desenvolvimiento

de las computadoras.

1.3 Objetivos de la presente tesis

Dos son los objetivos principales del presente estudio, el primero

dar una clara formulación del problema de control óptimo y dar la solu-

ción al problema para sistemas lineales con criterio cuadrático en términos

de la ecuación de Hamilton - Jacobi presentando el material necesario pa-

ra su clara comprensión. El segundo consiste en resolver las ecuaciones ma-

triciales algébrica y diferencial de Ricatti, ecuaciones a las que se lle-

ga al resolver la indicada ecuación de Hamilton - Jacobi y que requieren

de métodos computacionales para su resolución, salvo casos particulares.

1.4 Descripción por capítulos

Como todo problema en ingeniería, el de control óptimo requiere una

descripción matemática dual: simple y que adecuadamente prediga la respues-

ta del sistema físico a todo tipo de entrada; por tanto, el punto de parti-

da de las investigaciones de control óptimo es el modelo matemático en la

forma de variables de estado. Así el capítulo 2 comienza introduciendo la

notación y ciertas definiciones en esta forma de describir los sistemas;

se presupone un buen conocimiento de esta materia antes de abordar el pre-

sente estudio. Se pasa luego a plantear una serie de problemas con diferen-

tes criterios a optimizar que permiten comprender la forma matemática más

general tomada en la formulación del problema.

En el numeral 2.3 se describe el método de la programación dinámica

que a más de tener su valor propio en la resolución del problema dé con-

trol óptimo, permite una clara comprensión del método de resolución en

términos de la ecuación de Hamilton - Jacobi que se presenta en esta tesis.

En el numeral 2.4 se aborda el problema en su forma más general dando

la deducción de la ecuación de Hamilton - Jacobi _ Reliman. A continua-

ción esta ecuación es resuelta para los problemas de regulación lineal con

criterio cuadrático, lo que, para sistemas variables.en el tiempo sobre un

intervalo de tiempo finito nos lleva a la necesidad de resolver la ecuación

diferencial matricial de Ricatti y para sistemas invariantes en el tiempo

sobre un intervalo de tiempo infinito nos lleva a la ecuación algébrica.

La ecuación diferencial de Ricatti es no lineal, lo que hace necesa-

ria la utilización de un computador digital para su resolución. En el ca-

pítulo tercero se da la computación de la matriz solución de la ecuación

diferencial por dos métodos diferentes. En el primer método se ha tomado

la formula de Adams para la elaboración de un programa para sistemas inva-

riantes en el tiempo. El segundo método, válido también para sistemas va-

riables en el tiempo, se basa en una transformación previa de la ecuación

matricial a un sistema de ecuaciones diferenciales que es resuelto con el

programa "Runge Kutta" tomado del manual" PLOT 50. Mathematics. Volume 1"

de la Tektronic, Inc, la parte correspondiente a ecuaciones diferenciales.

Si el problema de control óptimo es resuelto, para sistemas lineales

invariantes en el tiempo, sobre un Intervalo Infinito de tiempo tenemos

la ecuación algébrica, por tanto, los programas indicados resuelven también

la ecuación algébrica tomando un tiempo suficientemente grande.

Por último se da la solución analítica de la ecuación algébrica parai

sistemas cuya matriz de estado A es simétrica, que en la práctica abarca

una gran cantidad de problemas.

Hay que aclarar que dada la abundancia de ecuaciones, sólo se las nu-

mera en donde es absolutamente necesario.

CAPITULO II

EL PROBLEMA DE CONTROL ÓPTIMO

2.1 Requerimientos para la formulación del problema

La formulación del problema de control óptimo requiere:

1. La descripción matemática, o sea el modelo, del proceso a ser con -

trolado.

2. La especificación de las restricciones físicas.

3. La especificación de la medida (criterio) a ser optimizada.

2.1.1- El modelo matemático:

Consiste en la descripción del sistema por medio de variables de es-

tado, siendo:

Def. 2.1 El estado de un sistema es el conjunto de cantidades

Xj(t),x2(t),...,xn(t) las cuales, si se conocen en t = to , son determina-

das para t * t0 al igual que la respuesta, especificando las entradas al

sistema para t > t0.

Notación:

->- Ax(t) =

xn(t)

es el vector de estado

•*"/4.\u(t) =

Ui(t)

es el vector dé control (o de entrada)

La ecuación diferencial vectorial que describe el sistema

x = a(x(t), u(t), t)

se llama ecuación de estado del sistema y de acuerdo a su forma los sis

temas se clasifican en:

- Sistemas no lineales y variables en el tiempo; su ecuación de estado

es de la forma:

?(t) = ?(?(t), ff(t), t)

- Sistemas no lineales invariantes en el tiempo; su ecuación de estado

es de la forma:

- Sistemas lineales variables en el tiempo:

*(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

donde A(t) y B(t) son matrices, cuyos coeficientes son funciones del

tiempo.

- Sistemas lineales invariantes en el tiempo:

5(t) = Ax(t) + Bu(t)

donde A y B son matrices constantes.

Def. 2.2 La historia de los valores de las entradas de control, durante

el intervalo [t ,tf] s se representa por "u y es llamada la historia de

control o simplemente control .

Def. 2.3 La historia de los valores de estado en el intervalo [ t¿ stf ]

es llamada la trayectoria de estado, y se representa por x .

2.1.2 Las restricciones físicas

Generalmente se expresan como desigualdades que deben satisfacer las

entradas de control y las variables de estado, pues como es lógico en la

realidad tendrán valores .limites. También pueden ser desigualdades que de-

ben satisfacer ciertas funciones de las entradas de control y de las va-

riables de estado (por ejemplo consumo de combustible, etc.) que están

físicamente limitadas.

Def. 2.4 La historia de control que satisface las restricciones de control

durante el intervalo de tiempo [t0,tf] es llamada control admisible. El

conjunto de controles admisibles lo representamos por U , y la notación

u - e U significa que la historia u es admisible.

Def. 2.5 La trayectoria de estado que satisface las restricciones de es-

tado durante el intervalo de tiempo [t0,tf] es llamada trayectoria ad-

misible. El conjunto de trayectorias admisibles esta representado por Xs

y x e X significa que la trayectoria x" es admisible.

2.1.3 La medida a ser optimizada

Un control óptimo es definido como aquel que minimiza cierto crite-

rio. La selección de este criterio en algunos casos es evidente, pero en

general esta selección es subjetiva.

En general asumiremos que la medida a ser optimizada tiene la forma:. • tf

J = h(x(tf), tf) + / g(x(t), u(t), t)dto

donde t0 y tf son el tiempo inicial y final , h y g son funciones es-

calares, tf puede ser fijo o variable dependiendo del problema.

Comenzando en un estado inicial )t(t0) = ;<0 y aplicando una señal

de control u(t) para te [t0, tf] el sistema sigue alguna trayectoria

de estado. La medida J asigna un único valor real a cada trayectoria del

sistema.

En realidad existe una motivación física para escoger la medida J

de la forma indicada, daremos algunos ejemplos que ilustran lo dicho.

Problema de tiempo mínimo:

Se desea transferir un sistema de un estado arbitrario inicial-.>. -+X(t0) = x0 a un estado final en el mínimo tiempo (en general se impone

que el estado final de un sistema se encuentre en una región S del espa-

cio variables de estado - tiempo que tendrá dimensión n + 1 ; si el es-

tado final y el tiempo final son fijos, S es un punto).

La medida a ser minimizada es

tfJ = tf - t0 = / dt ;

to

tf es el primer instante de_ tiempo donde x(t) y S se intersectan.i

Problemas de control del estado final:

Se trata de minimizar la desviación del estado final de un sistema

del valor deseado r(tf)

Una posible medida de la desviación sera:

nJ = - .n(tf)]

Valores absolutos también pueden ser usados, pero la forma cuadráti-

ca es más fácil de manejar matemáticamente. Usando notación matricial te-

nemos:

J = It(tf) - ?(tf)]T[x(tf) -í(tf)]

o puede ser escrita como

J = x(tf) - r(tf)| 2 ,

donde ||x(tf) - r(tf)| es llamada la norma del vector x(t^) - r(t ).

10

Para generalizar, podemos insertar una matriz H, real simétrica, se-

midefinida positiva de orden n x n y obtenemos:

T I I I T~^ t= [í(tf) - r(tf)]_H[£(tf) - ?(tf)] H =

Si H es una matriz diagonal, el que H sea semidefinida positiva impli-

ca que todos los elementos de la diagonal son no negativos. Ajustando el

valor de estos elementos podemos pesar la relativa importancia de la des-

viación de cada uno de los estados de los valores deseados. Incrementan-

do h-j-j daremos mayor importancia a la desviación de x-(t-p), y si hacemos

hjj = O indicamos que no interesa cual sea el valor final de x,-.

Los elementos de H también son ajustados para normalizar el valor nu-

mérico encontrado (o sea hacer el cambio de unidades cuando sea necesario),

Problemas del mínimo esfuerzo:

Se trata de transferir un sistema de un estado inicial arbitrario

x(t0) = x0 a un especifico estado final S, con el mínimo "esfuerzo". El

significado del término "esfuerzo" depende de la aplicación particular

física; así, la medida a ser optimizada puede asumirse de varias formas:

1. Si esta medida es proporcional al control aplicado podríamos selec-

cionar:tf

O = / u(t)|dt .*o

Si hay algunos controles y la medida del "esfuerzo" del control i es

c- u.;(t) ; i = l,...,n (c.j son constantes de proporcionalidad) ,

entonces minimizando

t • io

2.

11

minimizaremos el esfuerzo total. Los 0. son-factores para balancear

la importancia de los diferentes "esfuerzos".

Existen casos en que el "esfuerzo" (por ejemplo la energía disipada

en un circuito que no tenga elementos que almacenan energía y que la

fuente de voltaje sea u(t) ) es proporcional al cuadrado del control

aplicado, entonces para minimizar el "esfuerzo" seleccionaríamos:

tfJ = / U2(t)dt

toPara algunos controles la forma general de la medida anterior será:

J = [uT(t) R ff(t)]dt

donde R es una matriz real simétrica definida positiva. Los elementos

de R pueden ser funciones del tiempo si se desea una variación del ba-

lance de cada esfuerzo durante el intervalo [t0,tf]

Problemas de rastreo:

Se trata de mantener el estado del sistema (x(t)) tanto como sea po-

sible en el estado deseado r(t) en el intervalo [t0,

Seleccionamos la siguiente medida a ser optimizada:

J = / [x(t) - ?(t)]dt

donde Q(t) es una matriz real, semidefinida positiva, simétrica de orden

n x n, para todo t e [t0 ,tf] . Los elementos de la matriz Q son selec -

cionados pesando la importancia relativa de los diferentes componentes del

vector de estado y normalizando los valores numéricos de la desviación.

12

Problemas de regulación:

Un problema de regulación es un caso especial de un problema de ras-

treo cuando los valores deseados de estado son ceros, o sea:

r(t) = O para todo t € [t0,tf]

Si unimos las medidas J de los problemas indicados tenemos:

• T tf TO = [*(tf) - r(tf)]]H[?(tf) -f(tf)] + / ([x(t) - r(t)]'Q(t)[x(t) - r(t)]

+ [íT(t)R(t)í(t)])dt

que es un caso particular de la medida J que asumimos a un comienzo.

tf(J = h(f(tf),tf) + / g(x(t),u(t),t)dt)

Como vemos, escoger criterio es una traslación de los requerimientos

del sistema físico a términos matemáticos. En particular supongamos que

dos historias admisibles de control, que hacen que el sistema siga trayec-

torias de estado admisibles, son especificadas y debemos seleccionar la

mejor. Para evaluar esos controles hacemos que pasen el examen que mues-

tra la fig. 2,1.

Figura 2.]

EVALUACIÓN DE CONTROLES ADMISIBLES DE UN SISTEMA

13

Primero aplicamos el control ir1' al sistema y determinamos el va-

lor de la medida J, este valor lo llamamos J^1' , repetimos este procedi-

miento con u'2) obteniendo J^2). Si J^'< jW designaremos a TP1) como

el mejor control . .

2.2 Formulación del problema de control óptimo:

2.2.1 Formulación del problema

Se trata de encontrar un control admisible u* que haga que el siste-

ma

siga la trayectoria admisible x* que minimiza la medida

tf -J = h(x(tf),tf) + / g(x(t),u(t),t)dt

0

u* es llamado "control óptimo" y

x* "trayectoria óptima".

Son necesarios los siguientes comentarios:

Primero: podemos desconocer de antemano que el control óptimo exista;

puede ser que sea imposible encontrar un control que sea admisible y que

haga que el sistema siga una trayectoria admisible. Hay algunos teoremas

de existencia y unicidad, aunque en la mayoría de los casos se tratarai

primero de encontrar el control óptimo antes de tratar de probar que el

existe.

Segundo: si el control óptimo existe, puede no ser único. Los varios con-

troles óptimos pueden complicar los procedimientos de computación pero ellos

dan la posibilidad de escoger entre varias configuraciones de control. Esta

es ciertamente una ayuda para el diseñador porque puede luego considerar

14

otros factores (costo por ejemplo) que pueden no haber estado incluidos

en J.

Tercero: cuando decimos que u* minimiza J, queremos decir que

J* = h(x*(tf),tf)) + / g(x*(t),u*(t),t)dt < h(x(tf),tf) +to

tf+ / g(x(t),í(t),t)dt

to

-V ->para todo u e U que hace x e X . O sea se trata, del mínimo absoluto

o mínimo global de J, y no de un mínimo local. Por supuesto una manera

de encontrar el mínimo absoluto es encontrar todos los mínimos locales

y luego tomar el menor.

Por último, si el objetivo es maximizar alguna medida, la teoría es

válida pues es equivalente a minimizar el valor negativo de esta medida.

2.2.2 Formas de control óptimo:

Def. 2.6 Si una relación funcional de la forma:

í*(t) = f(x(t),t)-*•

puede ser encontrada para el control óptimo, la función f se llama ley

del control óptimo o plan óptimo de control.

-*-Hay que notar que la ecuación implica que f es una regla que determi-

na el control óptimo en el tiempo t para cada valor admisible de estado

en el tiempo t. Por ejemplo si:

u*(t) = F.x(t)

donde F es una matriz de constantes reales diríamos que el "plan óptimo

de control" es lineal e invariante en el tiempo con respecto a Tos es-

tados.

15

Def. 2.7 Si el control óptimo es determinado como una función del tiempo

y de un valor especifico inicial de estado, esto es:

í*(t) = e(x(t0),t)

el control óptimo será en "lazo abierto".

Asi, el control óptimo en lazo abierto es óptimo sólo para un valor

inicial particular de estado, mientras que si el plan óptimo de control

es conocido, tenemos el control óptimo cualquiera que sea el estado ini-

cial .

Es una ayuda imaginar la diferencia entre un plan óptimo de control

y un control óptimo en lazo abierto como se muestra en la figura 2.2.

:(t)

colv

)'

procesov

se abre en t « t0

(a) control óptimo en lazo abierto (b) plan de control

Figura 2.2 .

FORMAS DEL CONTROL ÓPTIMO

2.3 Programación dinámica

Dos métodos son usados para determinar una función de control que mi-

nimice la medida seleccionada, el principio mínimo de Pontryagin y el de

programación dinámica desarrollado por Bel Imán. El último método como vere-

mos conduce a una ecuación funcional que es factible de resolver usando un

16

computador digital.

Hemos definido un control óptimo de la forma:

í* = f(5t(t),t)

como un control óptimo de lazo cerrado. Hay que notar que el plan óptimo

está especificado como un generador del valor del control al tiempo t

desde un valor de estado al tiempo t. La presencia de t como argumento de->f indica que el plan óptimo puede ser variable en el tiempo.

En el método de programación dinámica un plan óptimo es encontrado

empleando el concepto intuitivo llamado "el principio de optimalidad".

2.3.1 El principio de optimalidad

El camino óptimo para un proceso de varios estados de decisión es

mostrado en la figura 2.3 (a). Supongamos que la primera decisión ('toma-

da en a ) resulta ser el segmento a - b con un costo Jab y que la res-

tante decisión da el segmento b - e con un costo Jbe. El mínimo costo

Jcíe es entonces:

Jae = Jab + Jbe

b,---, C

(a)

FIGURA 2.3

(b)

Teorema: Si a - b - e es el camino óptimo de a a" e, entonces b - e

el el camino óptimo de b a e

17

Dem. (por el absurdo) Supongamos b - c - e (Fig. 2.3 (b)) es el cami-

no óptimo de b a e luego Jbce < Jbe y*

Jab + Jbce < Jab + Jbe = Jae

*lo que no puede ser puesto que Jae es la mínima Jae.

Corolario: b - e tiene que ser el camino óptimo de b a e para que

a - b - e pueda ser el camino óptimo de .a - e .

Bellman ha llamado a esta propiedad de un plan óptimo "el principio

de optimalidad".

2.3.2 Toma de decisiones aplicando el principio de optimalidadi

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para tomar una decisión

óptima con la ayuda del principio de optimalidad.

Consideremos un proceso cuyo estado actual es b. Los caminos resul-

tantes de toda decisión admisible en b son mostrados en la fig. 2.4 (a).

Los caminos óptimos desde c, d y e al punto terminal f son mostrados en

la fig. 2.4 (b).

Jbe

(a) (b) (c)

FIGURA 2.4

El principio de optimalidad implica que si b - c es el segmento

inicial del camino óptimo de b a f , entonces c - f es el segmento

18

terminal de este camino. El mismo razonamiento aplicado a los segmentos

iniciales b - d y b - e indica que los caminos de la fig. 2.4 (c)

son los únicos candidatos para la trayectoria óptima de b a f . La

trayectoria óptima que parte de b es encontrada.comparando:* A *Cbcf = Jbc + Jcf* A *Cbdf = Jbd + Jdf

Cbef = Jbe + Jef

El mínimo de estos costos es asociado con la decisión óptima en el

punto b. La programación dinámica es una técnica de computación, la cual

extiende la manera expuesta de tomar una decisión a una secuencia de de-

cisiones las cuales definen un plan óptimo y una trayectoria.

2.3.3 Una relación recurrente de la programación dinámica:

Tenemos un sistema invariante en el tiempo de orden n, descrito por

la ecuación de estado:

x(t) = a(x(t),u(t)) (1)

Se desea determinar el plan óptimo de control, que minimice la medida

O = h(x(tf)) + / g(x(t),í(t))dto

(2)

donde t.e se asume fijo. Los controles están restringidos a ser elemen-

tos del conjunto U, o sea u e U .

Primero aproximaremos el sistema continuo de la ecuación (1) a un

sistema discreto, esto va acompañado de considerar N (igualmente espa-

ciados) incrementos de tiempo en el intervalo O < t < t*

At

19

Asumiremos que At es lo suficientemente pequeño tal que la señal de

control pueda ser aproximada a una función que cambie sólo en los instan-

tes t = 0,At,...,(N - l)At .

x(kAt) es el valor k-ésimo de x" y lo representaremos por x(k);

Entonces tenemos:

x(t + At) = x(t) + Att(x(t),lj(t))

= x(k) + Ata(x(k),u(k))

para t = kAt será:

x(k +

ecuación que puede ser escrita como:

x(k + 1) = lD(x(k),u(k))

Operando en forma similar en (2) obtenemos:

(3)

At 2At NAtJ = h(x(NAt)) + / gdt + / gdt + ... + / gdt

o At (N-l)At

N-lJ = h(x(N)) + At I g(x(k),í(k))

k=0

la cual denotaremos:

N-l f~^~ /1 \ /= h(x(N)) + I gD(x(k),í(k)) (4)k=o

Ahora, se requiere encontrar el plan óptimo u*(x(0),0),u*(x(l),1)

. ..,u"*(x(N - 1),N - 1) para el sistema dado por la ecuación (3) y que

minimice la medida dada en (4).

Comenzamos definiendo:

JNoN(x(N)) = h(x(N))

JM w es el costo asociado al estado final x(N)

20

0N_l>N(x(N - l),u(N - 1)) '= gD(x(N - l),u(N - 1))+ h(x(N))

(N - D»u(N - D) + JN,N(x(N)) •

el cual es el costo de la operación durante el intervalo de tiempo

(N - l)At < t < NAt ,

el valor de J^_} es dependiente solo de x(N - 1) y de u"(N - 1), ya que->- " * • - * -x(N) está relacionado con x(N - 1) y u(N - 1) por la ecuación (3), asi

tenemos:

JN_1)N(x(N - 1),Í(N - 1)) = gD(x(N - l),u(N - 1)) + JM(aD(x(N - l),u(N - 1))

El costo mínimo es por tanto:

J * N(x(N - 1)) = +min {gD(x(N - l)fu(N - 1))+ JN M(aD(í(N - l),u(N - 1))}N-i,n u(N-l) N'n

Vemos que el control óptimo depende de x(N - 1), por eso^lo denotamos

u*(x(N - 1),N - 1).

El costo de operación de los dos últimos intervalos está dado por:

0N.2jN(x(N - 2),u(N - 2),u(N - 1)) " gD(x(N - 2),Í(N - 2)) +

+ 9D(x(N - l),u(N - 1))+ h(x(N)) =

= 9D(J(N - 2),u(N - 2)) + JN_ljN(x(N - l),u(N - 1))

donde nuevamente es usada la dependencia de x(N) con x(N - 1) y Ia(N - 1).

Jw o M es el costo de un proceso de dos etapas con el estado inicial1 1 *~ t- ) i»

x(N - 2). El plan óptimo u"*(x(N - 2) ,N - 2) es encontrado de:

¡

+ JN.1>N(x(N - l),u(N - 1))}

El principio de optimalidad requiere:

J* 2 N(x(N - 2)) = min '{gD(x(N - 2},Í(N - 2)) + J* (Í(N - 1))}n ¿>n u(N-2) N'1)N

21

donde x(N - 1) está relacionado con x(N - 2) y u(N - 2) por la ecua-

ción de estado, con lo que obtenemos:

J* (x(N - 2)) = ->min {gn(x(N - 2),u(N - 2)) + J* u(an(x(N - 2) ,Í(N-N-2.N U(N_2) u N-l.N u

Siguiendo el mismo razonamiento para las últimas tres etapas tendre-

mos :^f i~^~ , \/ \/ " ^ "k ' t~^~ /"*" \/

N-3.N x J||3) gD x >u N_2)N aD X

Hasta que para k etapas tenemos:

,(x(N - k)) = min (h(x(N)

que aplicando el principio de optimalidad llega a ser:

J¿ k N(x(N - k)) = min {gD(x(N - k) ,u(N - k)) +N k'N ' fi(N-k)

+ J - - ^ ( ^ ( M - k),í(N - k)))}

N-l

, N- •

(x(N - k)) es el mínimo costo posible para las k últimas etapas de

un proceso de N etapas con el valor de estado x(N - k) al comienzo de la

etapa N - k o podemos decir también que es el mínimo costo posible para

un proceso de k etapas con estado inicial numéricamente igual al valor

x(N - k).i

2.4 Solución del problema para modelos continuos lineales con criterio

cuadrático.

2.4.1 La ecuación de Hamilton - Jacobi - Bellman:

La aproximación de sistemas continuos a sistemas discretos nos llevó

a una relación de recurrencia que es ideal para ser resuelta en un compu-

tador digital. Ahora consideraremos una aproximación alternativa la que

22

nos llevará a una ecuación lineal diferencial parcial, llamada ecuación

de Hamilton - Jacobi - Bellman. La deducción que daremos es paralela a la

de la ecuación funcional recurrente.

El proceso descrito por la ecuación de estado:

5t(t) = a(x(t),u(t),t) (1)

es controlado para minimizar la medida:

J = h(x(tf),tf) + / g(x(T),u(T)>T)dT (2)t0

donde h y g son funciones especificas» t0 y tf son fijos y T es

la variable de integración.

Definimos:

,í(T)) = h(x(tf),tf) + / g(x(T),u(T),T)dTt<T<tf - t

(3)

donde t puede ser cualquier valor menor o igual que tf y mayor que t0, y

x(t) puede ser cualquier valor admisible de estado. Notamos que J depende

del valor numérico de x(t) y t y de la historia del control óptimo en el

intervalo [t,tf]

Ahora se trata de encontrar el control que minimice (3) para todo

admisible x(t) y para todo t < tf. La función del mínimo costo será:

J*(x(t),t) = min {h(x(tf),tf) + / g(x(r) ,U(T) ,T)dT}u(t) t

t<T<tf

Subdividiendo el intervalo obtenemos:

* + -_ t+At tfJ (x(t),t) = min íh(x(tf),tf) + / gdr + / gdr}

Í(T) t t+At

23

de donde por el principio de óptima!idad:

* t+AtJ (x(t),t) = min { f gdT + J*(x(t + At),t + At)>

U(T) tt<T<t+At

donde J (x"(t + At),t + At) es el mínimo costo del proceso para el in -

tervalo de tiempo t + At < T < tf con estado inicial x(t + At).

Asumimos que hasta por lo menos las segundas derivadas parciales de

J existen y son continuas, entonces podemos expandir J (x(t + At) ,t + At)

en una serie de Taylor en el punto (x(t),t) obteniendo:

t+AtJ (*(t),t) =

U(T) t ,t<rlt+At

r(x(t),t)3t

(x(t),t)]Át

9J* -> T •> •>r ~ (x(t),t)] [x(t + At) - x(t)] + términos de orden mayor}

Para un pequeño At :

J*(*(t),t) = min {g(x(t),u(t),t)At + J*(jt(t),t) + JÍ(x(t),t)At

donde:

(x(t),t)[?(x(t),Ll(t)at)]At + o(At)}

o(At) es una función tal que lim —-—¿- = O ;A-í-.n At

.,*t

i*TX

r= [

3Xr

Sacando los términos que no dependen de Tj(t) y simplificando:

O - j£(x(t),t)At + min íg(5r(t),í(t),t)At + J*T(x(t) 5t)'tt(u(t)

+ o(At)}

tt)] At

24

dividiendo para At y tomando el limite cuando At -*- O :

*O =u(t)

(x(t),t)[a(x(t)su(t),t)]}

con la siguiente condición de borde:

J*(x(tf),tf) = h(x(tf),tf)

Definimos el Hamiltoniano JC como:

,J* t) '=" g(*(t),tf(t),t) + J*T(?(t),t)[íá(t),í(t),t)]. A

y Jtíx(t)>(x(t),J,t),J,t) =' minu(t)

,í(t)A,i

Usando estas definiciones obtenemos la ecuación de Hamilton'- Jacobi -

Reliman: i

O = J*(x(t),t) + ?C(?(t),lí*(5c(t),J*,t),J* t)

Esta ecuación es la análoga a la ecuación de.recurrencia de Bellman.

2.4.2 Problemas continuos de regulación lineal;

La ecuación diferencial matricial de Ricatti .

El proceso a ser controlado está descrito por la ecuación de estado;

x = A(t)x(t) + B(t)u(t)

y la medida a ser minimizada es:

J =|xT(tf) H x(tf) + f i[? R(t)í(t)]dt

iH y Q son matrices reales simétricas semidefinidas positivas, R es una

matriz real simétrica definida positiva; el tiempo inicial t0 y el tiem-

po final tf son especificados y x(t) y u"(t) no están restringidos por

ningún borde.

Para usar la ecuación de H - J - B partimos del Hamiltoniano:

25

T+ J(x(t),t).[A(t)x(t) + B(t)u(t)]. OT/1

La condición necesaria para u(t) que minimiza JC es __ = O

(x(t),u(t),Jy,t) - + B(t)TJx(x(t),t) = O

= R(t) (que por ser positiva definida, el valor encontrado es un mí

nimo).

Entonces: u*(t) = -R"1 (t)B(t)TJ*(x(t) ,t)

que sustituyendo en el Hamiltoniano

#(x(t)>(t)sJx3t) = -xT(t)Q(t)x(t) +Ij*T(x(t)st)B(t)R-1(t)BT(t)J* +

+ J* A(t)x(t) - J* B(t)R~1(t)BT(t)J* =

= i-xT(t)Q(t)x(t) - 1 J* B(t)R"1(t)BT(t)J* + J* A(t)x(t)

iLa ecuación de H - J - B será:

*T JO = J* + xT(t)Q(t)x(t) - JxlB(t)R"1(t)BT(t)J* + J*'A(t)x(t)

La condición de borde es

J*(*(tf),tf) = |x

Buscamos la solución de la forma:

J*(x(t),t) = -

donde K es una matriz real simétrica definida positiva que va a ser de-

terminada. Sustituyendo en la ecuación de H - J - B tenemos:

O = IxT(t)K(t)x(t) + IxT(t)Q(t)x(t) - IxT(t)K(t)B(t)R"1(t)BT(t)K(t)x(t)

xT(t)K(t)A(t)x(t)001906

26

KA puede ser escrita como:

KA = 1 [XA + (KA)7] + I [(KA) - (KA)T]

* fll

Entonces la ecuación queda:

O = jíT(t)K(t)x(t) + |xT(t)Q(t)?(t) - ixT(t)K(t)B(t)R-1(t)BT(t)K(t)x(t)

+ - JT(t)K(t)A(t)x(t) + ixT(t)AT(t)K(t)x~(t)

Esta ecuación se cumple para todo x(t) , asi tenemos:

O - K(t) + Q(t) - K(t)B(t)R-i(t)Bl(t)K(t) + K(t)A(t) + A!(t)K(t)

y la condición de borde est

K(tf) = H

que se conoce como ecuación diferencial matricial de Ricatti.

2,4.3 Problemas continuos de regulación lineal: Sistemas invariantes en

el tiempo; tf = « . La ecuación matricial algébrica de Ricatti.

Consideremos el sistema descrito por:

x(t) = a"(x'(t),u"{t),t) para t > t0 ;

con el estado inicial ?(t0) = x0 .

Def. 2.8 Si hay un tiempo finito tt '> t0 y un control u"(t)s t e [to,

en el cual se transfiere el estado x0 al origen al tiempo t , se dice que

el estado x0 es controlable al tiempo t0 . Si todos los valores de x0 son

controlables para todo t0 el sistema es completamente controlable o sim-

plemente controlable.

La controlabilidad es muy importante, porque estamos considerando

problemas en los cuales la finalidad es transferir un sistema desde un es-

tado inicial arbitrario al origen, minimizando algún criterio. O sea, la

27

controlabllidad es una condición necesaria para la existencia de una so-

lución.

Kalman muestra que un sistema lineal invariante en el tiempo es con-

trolable si y solo si la matriz de orden n x mn:

E = [&.A.B.A2...An~1B]

tiene rango n .

En los problemas de regulación lineal que estamos considerando tene-

mos que se cumple el siguiente teorema:

Sea el sistema controlable, lineal, invariante en el tiempo descrito

por: 4-,x(t) = Ax(t) + Bu(t)

•se quiere encontrar el control que minimiza

00 . '.

•J(t) = / [xT(OQx(-r) + LIT(T)RLÍ(t

donde Q y R son matrices constantes definidas positivas.

Bajo estas condiciones el control óptimo existe, es único y está da-

do por la ecuación

ti*(t) = -ír^Kxít) ,

donde K es una matriz constante de orden n x n , simétrica3 definida po-

sitiva y es solución de la ecuación algébrica, matricial de Ricatti:

KA + ATK - KBR"1BTK + Q = O

Primero se requiere que el sistema sea controlable, lo que como he-

mos dicho representa la condición necesaria para la existencia del control

óptimo, y, en segundo lugar Kalman muestra que la suposición de controla-

28

bilidad y de que H = O implica que "lim K(t-r) existe, es único e igualtf->« T

a K . Donde K es una matriz constante, definida positiva y que es solu-

ción de la ecuación algébrica de Ricatti, ya que es constante y debe ser

solución de la ecuación diferencial de Ricatti.

CAPITULO III

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE RICATTI

3.1 Solución de la ecuación diferencial y algébrica usando la fórmula

de Adams.

3.1.1 Planteamiento del problema

A manera de resumen de lo visto en el capítulo II, si el sistema es

descrito por

x" = Ax + BÍí

y 36 cíes 85 encontrar el control cjU6

J = H 5?(tf) + 1 .tf

Q x(t) R í(t)]dt

donde:

x(t) es el vector de estado (de orden n)

u(t) es el vector de control (de orden m)

A matriz real de orden n x n

B matriz real de orden n x m

Q matriz real simétrica semidefinida positiva de orden n x m

R matriz real simétrica definida positiva de orden m x m

H matriz real simétrica semidefinida positiva de orden n x n

iLa solución al problema planteado es:

= -R-iBT J*(x(t),t) ;

= ltT(t)K(t)S(t)

29

30

donde K(t) es la solución de la ecuación

O = K(t) + Q - K(t)BÍT BTK(t) + K(t)A + ATK(t)

con la condición de borde K(t-p) = H

A continuación determinaremos K(t); para esto se usará el método

iterativo predictor-corrector que se expone en el siguiente párrafo.

i3.1.2 Los métodos predictores correctores. La fórmula de Adams

Escribiremos la ecuación de Ricatti de la forma

K(t) = f(K(t),t) ; K(tf) = H

Los métodos predictores correctores implican el uso de una fórmula

para hacer la primera predicción del siguiente valor de K (el siguiente

al valor conocido K(tf) = H), seguida de la aplicación de una fórmula

correctora que da una mejor aproximación, dando entonces mejoramientos su-

cesivos (método iterativo); Aunque son ligeramente complicados, tales mé-

todos tienen la ventaja que a partir de aproximaciones sucesivas a cada

valor de K puede hacerse un estimativo del error. Una pareja predictora-

correctora es:

K(t - At) ^ K(t) - AtK(t)

K(t - At) = K(t) - At[K(t) + (t - At)]

(En nuestro caso nos interesa calcular con el tiempo corriendo para atrás,

por eso los signos negativos) . •

El predictor es la fórmula de Euler y el corrector se conoce como

fórmula de Euler modificada, o fórmula de Adams. Como

K(t) = f(K(t),t) y

K(t - vrt) = f(K(t - At),t - At),

31 "

el predictor estima primero K(t - At), este estimativo conduce entonces

a un valor K(t - At), luego a uno de K(t - At) corregido. Se hacen lue-

go más correcciones de K(t - At) y de K(t - At) sucesivamente hasta

obtener un resultado satisfactorio.

La teoría de ecuaciones diferenciales indica que este método siempre

1 converge, y la precisión que permite el método es del orden de (At)2 .

32

3.1.3 Programa "Adams": Diagrama general de bloques y diagramas de flujo

DIAGRAMA GENERAL DE BLOQUES

1 Entrada de datos:Orden del vector de estado:nOrden del vector de control :mMatrices: A, B, H, R, Q

2 Prueba de estabilidad y cálculo delas constantes de tiempo del sistema paraescoger intervalos de tiempo que permitanobservar los transitorios del sistema

Subrutina para elcálculo de los va-lores propios de lamatriz de estado A

3 Cálculo de los coeficientes de laecuación de Ricatti:K = Kzl + z2K + Kz3K + z4con la condición de borde K(tf) = H

Tzl = - A; z2 = zl; z3 = z4 - -Q

4 Solución de la ecuación por el mé-todo predictor - corrector:Predictor (fórmula de Euler):K(t - At) = K(t) - AtK(t)Corrector (Fórmula de Adams):

K(t - At) = K(t) - |-At[K(t)+ K(t - At)]

Subrutina para el

cálculo de K.

33

DIAGRAMA DE FLUJO DEL BLOQUE • 2

EO = A(l,l)

El sistema esinestable

inicialmente

N y A hansido entradosen 1

Subrutina paracalcular los va-lores propios deA. Sus partes rea_les son devueltasen EO(N)

El sistema es es-table

/

E - 10~6

EO = ABS(EO)

_J

34

FOR MI * 1 T0 N

E = E MAX EO(M1)

Ul

v

Se recomienda ca}_cular con 1nterva_los de tiempo Ul

35

DIAGRAMAS DEL BLOQUE 4

- DIAGRAMA DE BLOQUES

Entrar: tiempo final, tiempo inicial, e in-tervalo de tiempo para la escritura, estedebe ser el valor calculado en el bloque 2

V

Entrar la precisión.La precisión requerida debe serun valor menor o igual a At/10

Encontrar el intervalo de tiempopara los cálculos y el numero decálculos a realizarse (W)

Condicionesde borde

vFOR J = 1 To W

Cálculo por la fór-mula de Euler delpredictor

Escribir valor cal-culado con intervalode tiempo entrado alcomienzo de este dia_grama

Cálculo de K

Calculo del valorcorregido, con lafórmula de Adams

. Pruebade

convergencia

36

DIAGRAMA DE FLUJO

EntrarF, T0, U

V = 10*V1

EscribirCl, T, K

Subrutlna para elcálculo de KR = Kzl + z2K ++ Kz3K + z4

D = O

- S =

A

A - 1 = 1

X = SU - TS

I + Q = O

M oí I = l

38

Subrutina para elcálculo de 2K = Kzl -+ z2K +

+ Kz3K + z4

Cl = Cl + 1

Ll = K

/_<~ A r.

Ll = K - LlLl = ABS(Ll)C = SUM(Ll)

EscribirCl, TÍ K

39

3.1.4 Ejemplos

Ejemplo 1:

Deseamos resolver la ecuación de Ricatti que permita encontrar la

ley de control que hace que el sistema de control descrito por

x,('t) = x2(t)

x2(t) = -Xjft) + 2x2(t) + u(t)

minimice el criterio

J = 10 x^CT) + i j[xf(t) + 2x22(t) + u2(t)]dt2 o

el tiempo final T es 10 y las variables de estado y señales de control no

tienen ninguna restricción.

Ejemplo 2:

Lo mismo pero para el sistema descrito por

Xjft)' - X2(t)

x2(t) = -x.Ct) - 2x2(t) + u(t)

Solución:

La ecuación de Ricatti a resolverse es

K(t) + ATK(t) + K(t)A - K(t)BR-1BTK(t) + Q

donde para el ejmplo 1 se tiene:

= O

A =O 1

-1R = 1

Q =i o

O 2H =

20 O

O O

y para el ejemplo 2

A *

Q -

40

0 1

t-l -2j

' 1 0'

0 2

• ; B =

H =

0;

\0 0'

0 . 0

R = 1

A continuación presentamos las soluciones encontradas con el progra-

ma "Adams".

SOLUCIÓN PC LA ECUACIDÍJ DIFERCMCI/U. MATFÍICIAL DE RICATI

USANDO LA FORMULA PE APAHS

EL SISTEMA ES ESTARÉ

GE RECOMIENDA CALCULAK CON INTERVALOS DE TIEMPO! 0,1JJ-OCT-BO I?!10!17

INTERVALO-0,1 PRECISIOlí-1 ,OE-3

HUH0222211t11111

' 1111I11111111111111111I111111

, 1111111111

1 111I111111111111111111111111111111111111111111111

IT T10.007.909,BO

' 9.707.609.50?,409.309,209.107.008.90e.eo8.70B.¿08.50B.408.308.208.108.007.907.BO7,707,¿07.507.407.307.207.10 '7.006.706.BO6.706.606.50¿.406.306.206.106.005.905,803,705,605.505.405.305.205.105.004.704.604.704.604.504.404.304.204.104.003,903. 803.703.603,503.403.303.203. 103.002,902. SO2.702.60'2,502.402.302,202.102.001 .901.801.701.601.501.401 .301 .201.10 '1 .000.900,800.700.600.500.40

0.300.200,100.00

31-OCT-80 19144)20

MATRIZ K POR20.000000019.B01¿91418,796719917.041045614.B94967712,730148910.77738339. 12199007. 76370946.665B-M35.7B281405.072041B4.49777544.03139113.65043083. 33754293.07909982.86457392,68569232.53592652.4100B732, 30-401932.21437102. 13B42022.07394202.019106?1.97240231.93257131 .B9B56531 ,86950541.B4465271.82338411.80517271.78957191.77620241,76474131.75491381.74648511,73925511.73305221.72773011.72316321,71924421.71588091.71299441.71051721.70839101.70656621 .70500001.70365581,70250201.70151181 .70066201 .49993261 .69930661.67S7673 '¿.¿9830821 .69791231.69757291,69728151. ¿9703131.69681671 .¿9663251. ¿9647441 .69633871 , ¿°£22231.6961224I .¿9¿03671 .69596311 .¿9590001 .¿95B4581 ,¿9377931. ¿9575941.6957252l.¿95¿9581.69567061. ¿956*891 .¿9S¿3041. -6 7361441 .69560081.69SSB911.67557901.69557031.69556291.69555661 .69553111.69554641. ¿9354241 ,69553901.6955360I .¿9553351.69553131.69552941.69552781.69552651.69552531.69552431. ¿9552341.69552261 ,69552201. '¿955215

FILAS0.00000001.77746733.03179183.7123¿¿83.90652673.77764733,48208033. 12610592,76920852,43943892. 14709121.89353451.67614631 .47084121 .333278?1 . 19939191 ,08557860.98B73930.90624600, 83588580.77580150.72443440.6804756 .0.642B2320.61054BO0.58286440,55910670.53870930.52119100.50614140.49321010.4B207730.47254640,46433740.45728160,45121700.44600450.44152460,43767440.43436570.43152250.42907950.4267B050.42517720.42362810.42227740,42115450,42017280.41932980.41B60590.4179B4I0.41745030.41¿99200.41659850.4162607'0,41597060.41572170.41550790.41332450.4151¿700.41503180.414915B0.4MB1620.41473080.41465740,41459450.41454040.4144941

0.41445430.41442010.41439080.41436570.4143.4410.41432360.41430970.41429600.4Í428430.41427430.4142¿570.41425830.4142519

• 0.41424650.41424180.41423780.41423440.43423140.41422890.4I422¿70,41422480,41422320.41422190,41-»22070.41421970.41421BB0.41421H10.41421740.41421¿90.41421640.41421600.41421570.4142154

0.00000001.77746733,03179183.71236683.90¿52673.77764753.4B208033.12610592.76920852.439438?2. 14709121 .89353431 ,67614631 ,49084121.33327891.19939191.0B557B60.98873930.9062460O.B35B85B0.7758015 •0,72443440.68047S¿0.642B2320,61054800, 58286440.55910670.53870930.52119100.50¿14140.49321010.4B209730,47254640.46433740,4572B1¿

. 0,45121700.44¿00450.44152460.43767440.43436570.43152250.42907950.4269B050.42517720.423¿2810.42229740.42115450,42017280,41932980.41B60580.41798410.41745030,41699200,41657850. 4162¿070,41597060.41572170.41550790,41532450.41516700.41503180.41491580.414B1620.41473080,41465740.41439450.41454040.41449410.41445430.41442010.4J439080.41436570.41434410.41432560.41430970.41429600.4142S430.41427430,41426570.41425830,41425190,41424¿50.41424180.41423780.41423440.41423140.41 422B90.41422670,41422480.41422320.41422190.4142207 .0.41421770.4142Í BB0. -4)421810.41421740.41421690.41421640.41421600.41421570.4142154

0.00000000,32456130,76634801.16427481 .43563041.57264391 .¿0¿¿2851.57529651 .50847861.42597621 .33757861.25573181,17770171 .10685441 .04331010.9B743380.9381 1B30.8949433O.B5726290.82445190.77572880.77116460.74966570,73107150.7149S120.70099930.68893070.67849660.667*7970.66167120.65496640.64916250.64415530.639B3700.636U4I0.632905Í0.63014130,62776040.6257103

• 0,62374530.62242670.62111970. 61797570.61902890.61819760.61748280.61¿B¿840.61634030. 61586650.61549660.61516170. ¿1487390.614¿2¿70.61441440.61423210,61407550.61394110.¿13B2570.61372650.6136415O.¿135¿840.¿ 1350570. ¿1345170.61340570.61336600. ¿1333200. ¿1330280. ¿1327770. 61325620.61323770.61322180.61320820.61319660.6131B650. ¿1317790.61317060.61316420,61315080. ¿1315410.61315010.61314670.61314380.61314120.61313910.61313720,613135¿0. ¿1313<20. ¿1313300. ¿1313200. ¿1313120.6I3I3040.61312780. ¿1312920,¿1312B80.61312840. ¿1312800.61312770.61312730.61312730.61312710, 6131267

¿ O Í T I E T 9 ' » -O O C I C I 9 - V

991TEI9**

C E I I E I 9 * *in tEr? -*"

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0000000*0

¿ V O C H V ' O

C t - O E U V - ' O

S Q O E U k - ' O

E 9 B I V T V O¿ T B I * T * ' 0

O C t - O U t ' O

E O B A E í ^ ' O

E t E E E T ^ ' OI C E t r E I f c - ' O

S A E T E I f r ' O

E C B A A O b - ' O9 B B C A O t r ' 0

Et't'SiOVOCSSt-90^'0A A B I E O ^ ' O

1910^0^-06BEOOOÍ* '0

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S r O A A I E ' O¿¿¿áEOE'O

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7£uBBt '0>0t - A B i I T O ' 0ISEÓSCO-0-99£t-E90'0-

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E O ^ O E A t ' O -

90¿I89fO-.OSSEISfO-

9T8EE80-0

0£l-Bt-E£'09 B E T > - T á > 0

0000000 '0

E C O E t r l t - ' OC t - O C V I V ' O

V E i l t - l í ' OT O A T V - T k ' O

T T I A t l f OrEESt I t r ' 0

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OEOCt 'S t 'C0 6 ¿ A B E t ' E

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B O Í O Ü I O C 08-iDQ-rE00'O t

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09 *COi'COB'S 'OA'C00'9OT-POC*?OE'?Ot*?OC'909'?OL"t08'?Oí*-?O0'¿01 'COt*¿lOE*^¿Ok*¿.OS*"¿.09 *¿0¿*£

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^

t. r

r. , i

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rrTtTTrr

• rrrrr

OB-Í30-TCyaH3iH033a 39

Norot»n33 vi 3a Horomos

43

i3.1.5 Observaciones y conclusiones

El programa expuesto resuelve el problema para sistemas invariantes

en el tiempo, los que representan la mayoría de los casos prácticos.

Las constantes de tiempo del sistema se encuentran con la subrutina

para el cálculo de los valores propios de la matriz de estado A tomada

1 del manual "PLOT 50. Mathematics. Volume Z" de la Tektronix Inc., de la

parte correspondiente a ETGENANALYSIS, programa para matrices reales cua-

lesquiera. El intervalo de tiempo que se recomienda para observar los

transitorios del sistema ha sido escogido como la décima parte del menor,

en valor absoluto, de los inversos de las partes reales de los valores

propios de A, o sea de las constantes de tiempo del sistema. Este valor

es el encontrado en el bloque 2 del diagrama general.

No se da el diagrama de flujo de la subrutina indicada, ni de la en-

trada de datos, ni del cálculo de los coeficientes de la ecuación pues pe-

se a ser cálculos más o menos complicados no corresponden a tratarse en

este trabajo.

La solución de la ecuación, propiamente se hace en el bloque 4, del

cual se da primero un diagrama de bloques y luego el diagrama de flujo.

La precisión que permite la formula de Adams es del orden de

y en el programa se realizan los cálculos con intervalos de tiempo igua-

les a diez veces la precisión requerida, por lo cual la precisión de la

solución es igual o mejor que la deseada.

Los resultados pueden considerarse satisfactorios por el corto tiem-

po que se requiere para una buena precisión y porque permite resolver pro-

44

blemas que presentan grandes variaciones en la parte transitoria, como

en los ejemplos presentados. Por último, para poder hacer una estimativa

del tiempo que se demora el programa hay que tener en cuenta el número

de cálculos W .

Por último hay que anotar que para una comprensión detallada de los

diagramas de flujo, se debe recurrir a los apéndices ,1 y II.

3.2 Solución de la ecuación diferencial y algébrica como un sistema de

ecuaciones diferenciales.

3.2.1 Planteamiento del problema

Sea el sistema descrito por la ecuación de estado

5 = A(t)jt(t) + B(t)u(t)

Trataremos de encontrar el control que minimice el criterio

J = i-F(tf) H t(tf) + I /f[1P'(t)Q(t)x(t) + uT(t)R(t)í(t)]dt¿ ' ' 2 t

donde:

A(t) es una matriz de orden n x n

B(t) es una matriz de orden n x m

Q(t) "es una matriz simétrica semidefinida positiva de orden n x n

R(t) es una matriz simétrica definida positiva de orden m x m

H es una matriz real simétrica semidefinida positiva n x n

Como hemos.visto para esto tenemos que resolver la ecuación diferen-

cial matricial de Ricatti; lo haremos ahora transformando la ecuación a

un sistema de ecuaciones diferenciales como se expone a continuación.

3.2.-2 Transformación de la ecuación de Ricatti a un sistema de ecuacio-

nes diferenciales.

Si el sistema es de primer orden la ecuación diferencial de Ricatti:

45

K(t) + Q(t) - K(t)B(t)R-1(t)BT(t)K(t) + K(t)A(t) + AT(t)K(t) = O re-

presenta una ecuación diferencial ordinaria, de primer orden de la forma:

k + a{t)k + b(t)k2 = c(t)

Si el sistema es de segundo orden tenemos:

Sea primero

B(t)R-1(t)BT(t) =b12'(t)

entonces la ecuación puede escribirse como:

O O

O O

k12(t)

k12'(t) 922 (t)

kn"(t) k

kii'(t) k22(t).

fbn'(t) b12'(t)

b12(t) b2

kia(t)l

kaa(t)

ku(t) (t) a22

a21 (t)'

Realizando las respectivas operaciones llegamos a un sistema de tres ecua-

ciones diferenciales ordinarias.i

En general si el sistema es de orden n, tendremos un sistema de2n + Cn ecuaciones diferenciales, ya que con las condiciones dadas la ma-

triz K será simétrica.

3.2.3 Sistemas de primer orden. Ecuación diferencial ordinaria de Ricatti,

Como hemos dicho si n = 1 tenemos que resolver una ecuación'diferen-

cial ordinaria de la forma

46

y1 + a(t)y + b(t)y2 = c(t),

que se conoce como ecuación de Ricatti.

Esta ecuación en general no siempre tiene solución en funciones ele-

mentales y no existe un método general para su resolución. Si se conoce

una solución particular y!(t) entonces la transformación

y = yi(t) + z

nos lleva a una ecuación diferencial de Bernoulli de la forma:

y1 + a(t)y = b(t)yn

la cual se resuelve de la siguiente manera: primero se divide para yn y1se hace

yn-i= z con lo que se obtiene una ecuación lineal, o sea de

la forma

y' + a(t)y =.b(t)

cuya solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea

más una solución particular. A veces la solución particular de la ecua-

ción de Ricatti se puede obtener partiendo de la forma del término c(t)

de la ecuación.

3.2.4 Programa "Runge - Kutta"

Como se había indicado este programa ha sido tomado de las subruti-

nas de la Tektronix Inc., y resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales

de primer orden con valores iniciales dados y sin singularidades. Se re-

quiere escribir una subrutina especial para evaluar las ecuaciones.

La fórmula de cuarto orden de Runge - Kutta es usada. El método con-

siste en lo siguiente:

Sea la ecuación diferencial

& = f(y,t)dt

47

con las condiciones iniciales tn 3 yn

Se evalúan primero los coeficientes

ko = Atf(tn,yn)

k, = Atf (tn |L

2 " 2

k3 = Atf (tn + At , yn + k )

con los que se obtiene el siguiente valor de y

tn+, '= tn + Atn+1 = n

762k

3.2.5 Ejemplos

A fin de comparación, los ejemplos a resolverse son los mismos del

numeral 3.1.4

Ejemplo 1:

Sea el sistema descrito por:

XiCt) = X2(t)

Xjít) = -xjt) + 2xa(t) + u(t)

Deseamos resolver la ecuación de Ricatti que permite encontrar la ley de

control que minimice el criterio

J = 10 xf(T) + i- / [xf(t) + 2x22(t) + u2(t)]dt , T = 102 o

Tenemos que resolver la ecuación siguiente

48

fif ' k i ri niKI i KI 2 i U

+

k k 0 2. * * 2 2 J y^

kj j kj 2 0 1

h

ki2 k22 1 1-1 2

-

+

C:; 3Ch ')'o -l]fkn' k12] ío

1 2J[kI2 ' k2 2 1 lo

KI i

^KI 2

0"

0

con la condición de borde

k12(10)'

.k,2(10) k21(10)-

20 O

O O

lo que lleva al sistemai r,

O = kn' '+ 1 - k12 - 2ki2

O — \f — \f V 4- \f 4 - 9 U V~ *^\ "•! 2 ^2 2 N-l 1 £- NI 2 "~ N2 2

. 2 -

con la condición de borde

kn'(10) = 20

kn'(10) = O

k»(10) = O

Ejemplo 2

La ecuación de estado es:

Xi(t) = X2(t)

x2( t ) = -xi(t) - 2x2 (t) + u(t)

El criterio es el mismo del ejemplo anterior.

En este caso se tiene que resolver la ecuación:

49

XI 2

(i) i)M I

N2 2

f o U

-1 -2

fO -1

1 -2 2 2

ío o

o o

con la condic ión de borde:

ku(10)] Í20 O

k22 (10)J [ O O

lo que lleva al sistemai 2

O = kj i ' + 1 - kii - 2kl2'

O = ki2 ~ k i2 k22 "*" ki ! - ¿kj2 ~ k22

2n = l ^ + 9 - l r + ? l r - A kU — N2 2 - * 2 2 ^-^12 " 2 2

con lai- condición^ de borde

= 20

= 0

k22(10) = O

La resolución de los dos ejemplos con el programa "Runge - Kutta"

se presenta a continuación. Hay que aclarar que el programa usa la si-

guiente notación:

x para el tiempo

y(l) para kn , y(2) para k12 > y(3) para k22

0(1) para kn , 0(2) para ki2 , 0(3) para k22

SOLUCIÓN DE LAS 3 ECUACIONES IUFERENCIALES SIGUIENTESSEGÚN flETODO HE RUHGE-KUTTft

J040 RErt **t».»tí1030 RErt EJEMPLO PE SUPRUTINA PARA EVALUAR DERIVADAS1032 H( I ) - - l fY(2)MYC:H2)1054 r i t 2 > - Y { 2 ) » Y U > - Y < l ) + 2 * Y ( 2 H Y ( 3 )1056 11(3)— 2 I Y t 3 ) - 2 - 2 » Y C 2 H 4 * Y ( 3 )1090 RETURN

DESDE x- 10 HASTA x- o

EN INTERVALOS DE -0.1 CON PRECISIÓN l.OE-51 -«BIS.

0

i 2

2. 22211

^ 11j1

110000000

! 0; o

00

! o0

; o00

; o00000

T 000o00

1, 000000000

i 00

• o0000000000000000

*~> °0

; 000000

; o: • o

000

, ' 000

¡ 00000000000

X

109.?9.B7.79.67.59.49.39.2?.t98.?a. ea. 78.6a. 3a, -48.38.28.1B7.?7.87-77.6 '7.37.47-37.Z7.176.76. Bó. 76.a6.56.46.36.26.163.95.B3.75.65.55.45.33.25.154.94.84.74.64.54.*4.34.24.143.93.83.73.63.53.43.33.23. L32.92.82.72. A2.S2.4-2,32.22.121.9i.a1.71 .61.51.41.31.21.110.90000000000-)O.B000000000040.7000000000040.6000000000040.5000000000040.4000000000040.3000000000040.2000000000040.100000000004

Yl

2017.8020464481IB. 776721717617.040872274414.89459577112.73QA72B76B10.7779370B19.12220087227.763511947946.A65337B7B875.782116039175.071244372894.49694579654.0305731B2833,649677057533,336815728173.07B431B3B672.863966357-512.6B514445732.535435oó6382. -107649611652.303630394762.214026260532.138115342762.073672901092.018B69706771.97219346731.9323B7734931 .B784039B5271.PÓ93A3746771.8445284418?1 ,823275212421.80507734741.789408433851 .77612?320671.764677442311 .754857956381.746436387781.737212481951.733015056181.727697666041.72313474997! .7192195366?3 .715859422631.712975743651 .710500B7B251 .708376830821 .706553B51631 .7049872577-11 ,703646424671 .702493923511.701504781741 .700655850251.699727260491.697301759151 .6987653091,69830474647

. 1.6979074B7B41.697570277151.6972771A9761,677029346691. ¿96814955141.676630971681 .696473084771.6963375941.696221323351,676121547091.69603572587I .695762452021.695999402511.A75B4S298Ó71,695790871-*?.1.675759031871 .695724345351.695695509831.695670337061,675048736421 .675630201051 .695614296031 .695600648111 ,695588937021.69557888791I.A755702A4931.675562863721 ,69555651661 . 695551068551 .6955463937I .675542382321.695538940251.69553590671.695533452331 .695531277651,69552941162I.67S527B10431.6755264364?1.69552525756I .695524245951.673523377911 .695522633081 ,69552199396

Y2

0 ' -1.777573548523.0318740458B3.712495748163.906266267813.77794B569333.4B2622066073, 12A6294B0052.767573286262.439661301342.147170173431.893502540051,67603562074

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• 0.4572440B24220.4511B4026070.4457755408260,4414??1360370,437652111420.4343461768840.43150S41B1440.4270645552010.4269074496110.4251658236430.423618160332"0.4222BB7582330,4211469187280.4201662470.419324050640,4186008221470.4177777935730.4174465532370.4169887158670.4165756367270.41625B1773430.4159684753210.4157177835220.4155063045070,4153230587470.4151657675650.4150307641940.4149148887160.4148154347360.4117300775310.4146S6B20030.41459394B3740,4145399911350.4144936850410.4144537457470.4144198424440,4143905761030,4143654611190.4143439086990,4143254137030.4143095425340.4142759230580,4142842358790,4142742069630,4142656010210.4142SB2162020,4142518792680.4142464413470.4I424177545B0.4142377715170.4142343357720.4142313875980.414228857810.414226AB70370.4142240243340.4142232257830.414221B54470.4142206776040.4142196677Í20.414218B01240,414218057698 .0,4142374196840.414216872220. -1142164024560.4142159993650,414215633483

Y3

00.3247247061160.76ASB598134?1 .164469274761 .435710A79991 ,372805804771 .6068B7776011.575591680111 .50B7697640A1 ,426213353221 .339733A31421 ,235828567891 , 177749287711.106863302311,04349000070.9B73930642370.9380636737410.8°4879152B530.857173B091B6

• O.B243B12757660.79585B8882770.771077093B9B0.7476215580930.7310113778410.71489551A504.0.7009481074430,6888840107740.67B4S41B12S2O.ÓA9441472070.6616567B979AO.A549336378320.6491350507570.6441308531A80.639B1S2B1891O.A36094B692610.6328B8597BB10.6301262834050,627747160412O.A25698647116O.A23935267249 "0.6224177077140.021112010382O.A19968B3AB23 'O.A17022B67760.6181722625A70.61747B172B040.616B64355353O.AI6336B094830.615BB34728910.6134937566560,615157315771O.A14B7185062O.Ó14A24935303

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0.6131437223490,613141197421O.A13139030767O.A131371715570,6131355761730.613I342071B10,613133032460.6131320244440,6131311594770.6131304172620,61312778037?O.A131292338920,613128764942O.A131283625550.6131280172760,6131277210,6131274667720.61312724B62A0.61312706144

¿tûC 1 ü» l-¿ t-fts 3 ECU/lCIDfíES tUFERENCIALES SIGUIENTES¿EGUN nEIDEiO DE RUNG

1040 Ktn Hl I* t » »

1050 REri ¿JtnfLO tiE SUfcRUTINA PARA EVALUAR DERIVADAS1052 Di 1 ) a - I t Y ( 2 ) * O (2H2Í1054 H < 2 í - V ( 2 ) i - 1 (3 ) -V( l í -2n ' í2UV(3)1051 Di3i*-2m10ÍO REOiRN

DESDE X- 10 HASTA X- O

£N IMEfcVALQS DE -0.1 CON PRECISIÓN l.OE-5

• 115.

02222

--22211:iiii0000 .0 "0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

X

109.99.39.79.o9.59.49.39,29.193,9a. a3.73.a8.5a. 4a. 3a. 28.167.97.87.77.¿7.57.47.37.27.17o.?6.8o.7a . oo . 5ó. 4¿.3o.20.1

a5.?5.85.75. ó5.55.45.35,25.154.94.S

4.74.a4.54.44 .34 .24 . 143.93.a3.73. A3.53.43.33.23. 132.92,62.72.¿2,52.42.3i p t

2 . 121 .9i.a1.71 .6

1 .5I .41.31 .21 . 110.9000000000040.dO00000000040.700000000004O.C.OOOOOOO0004O.SOOOOOOOOO040,4000000000040.3000000000040,2000000000040. 1000000000044.15á45t JMC-12

TI '

. 20• 19.73786362318.073216109714.702Í84A906I0.682l4l7á¿B7.451781978475.40Á128343414.26S¿7247?423,6794557-llU3.408259-107053.313636732833,318995146843.361937930663.47850156943.574691259043.721983081153.854917139963.98979721023•4.I23977202B24.255479210114.382762260224,504709411824.620366062244.729103532764.8304?33¿6534,92430464418,5.010480754935.089114670055. 100423059025.22472016641S.28239.27V3993.333B7718B195.37963868565S.42015-H8-tóí5.455899¿¿¿945.4B7336359085.514905759445.539022665365,540072093355.5784075B7I?5.ii?435083óá¿5.60819227352S. 620192361875.630583351165.639571308235.647338286885.654044530225.659830Í30175.664B19592B35,¿á9UB776B5.Í72821ÍS5465. ¿76009¿04995.678753087065.681113280525.68314311965.6848883783-»5,686388602055.6B7677926B45.688785796395.689737600395. ¿90555202865.691257439355.69ie¿0521¿75,692378399615.692823072645. ¿93204859595.093532631785,693814014415,674055560235.694262B99495.¿944-(OS¿9015. ¿94593623435,694724731035.694637256145. ¿74933830095.695016712185.¿950B7B421¿5,695148885315.695201271193,6952462^6975.6952848065. ¿95317912435.695346322295.¿95370701¿25.695391¿22095. ¿9540957433.69542497935.695438190435.Ó9S447S4185.695457275535.Ó95467Ó20015.69547479525.67548094533.695-Í86222625. ¿75490751015.675474636755.695497771035.675500B32115. 6955032871 45.695505393755. ¿9550720138 .

Y2

02. 137654957194.270454630145.472427052795.314315175-154.310¿70B01913, 157399545482.183010961651.446653075140.913507193BOB0,5342914423140.267647209657O.Ó829680Í3191B-0,04I60259¿¿552-0. 121¿43760095-0,168405090543-0.190172211155-0.193182579187-0. 1B223Ó5-U505-0.1¿10?299632-1-0.132735279555-0.09954BU74441-0.0¿34385B¿372-0.025921915A7250.01131438181350.048B595725¿260.0345368702640.11B3Ó59272450, 13002913056?0. 17934135802

. 0.206222853-H20,2306753725590.2527¿13B07330.2725B7¿5¿¿15

. 0.2902889453820.3060184284190.3199376996480.33221011A7930.3429957B3650.3524480350930.3¿07111244 140,3¿791884B5080.37419386S4Í20.3776476571350. 33-53805664510.38848248797-}0,3720334210170.3951042343260.3777574311730.4000480379270,4020241706350,4037279¿28¿70.4051961446610.406460ÓB7190.4075493712650.40B4863001560.4092923588620.4099856229-50.4I0581720A220.4110941521830.4115345706030.4119130274510.4122361877320.4125175171920,4127574452870,412963506740.4131404643170,4132924151760.413422B02B850.4I3534B969S50.413631061538O.>413713¿147070.4137B447957B0,4138453083810.4130975204180,4139423347310. 4139807983420.4140138102620.414042142513 '0.4140¿64579390.4140873256210.4141052341120.4H1206028090.4141337917250.4141451078820.414154822530, 4 H 16315733!0,4UÍ703O?¿ü50.4H17644729¿0. 4141817140940.4M1862336030,41419011 1D320.4141934397560.4H19Ó27544B0.41419B745V090.4I420084B6330,4142026527630.4U20420I2370,414205529790.414206669B0.4M207648023

Y3

00,4820746727271,620730473923,18114656154.50857959A1:5,223210904715.43B10642031 ,5.392491B00935.246737613B55.079140821734.922085283334.786BÓ8397784. ¿7574369974.587390363224,51924508954.46B470939754.432339256324.40B3Ó1517S24.394329076074.3BB297392344.388573439684.393Ó957872B4.402415784914.4136B0041S14.41*00135792:54,44050304244.454779636554.46700174384.482B384B4584.496051087344.50B478B¿71I4.320023536374.530A3¿237414.540306014764.549050041414.556903477474.563722883144.570161009274,57568278354 ,580552304414.584B32664364.5B0584438254.591B¿4694964.594726410324.59721B1B0614.57938415544. ¿01264124774.602893710764.¿04304¿24724.6055249¿17B4.606579511714.607490071144.¿OB275747084.608953245074. ¿09337137864.¿10040112¿44.ál047319¿03 .4.610845956994. ¿11166688574. ¿114425677?4.¿11¿79S08944.611883770074.612059084164 ,¿12209746544. ¿12339202024. ¿12450419144-61254395481 14,612¿2B010474.¿12¿9B480774. ¿1275899384, ¿12810957634,¿12055571B74,612893874974.¿1292A7577B4, ¿12954985854.¿1297921¿954.613000016164,, 613017868894.613033192034.613046343624.¿13057¿3114.6130¿7318474 .613075632374,613082767414.6130BBB90¿34.613091145454,613098654954 ,¿13102524814.61310584^714.613108695514.013111141014, ¿13113239554. ¿13115040354.¿13116SB5¿4 . ,4. ¿1311791 1664.6131 17047534,613120025934.613120863784.6131215B2734.¿13122199¿ó-4.61312272904

52

3.2.6 Observaciones y conclusiones

El programa indicado permite encontrar la solución para sistemas va-

riables en el tiempo, lo que le da una ventaja teórica sobre el primer

programa realizado. Aunque en este caso, previa la ejecución del progra-

ma hay que hacer el cálculo de las constantes de tiempo manualmente, lo

mismo que la transformación de la ecuación matricial a un sistema de ecua-

ciones diferenciales, lo que representaría una desventaja.

El programa es bastante rápido y permite precisiones altas, habiendo

obtenido resultados que pueden considerarse satisfactorios. Además, si

se desea, gráfica los resultados obtenidos, lo que para nuestro propósito

no tiene ninguna utilidad, pero podría servir para otras aplicaciones.

3.3 Solución analítica de un caso particular de la ecuación algébrica.

El problema de"la ecuación algébrica de Ricatti es reformulado para

dar una solución simple cuando la matriz de estado A del sistema es simé-

trica y se hace una restricción en la selección de Q .

Conocemos que el problema de minimizar

1J = i / [• 2 i

uT(t) Rí(t)]dt

sujeto a

í(t) = AJ(t) + Btf(t) ; *(t0) =*0

donde A, B, R, Q son matrices reales constantes, tales que R y Q = QtQ:

son simétricas y definidas positivas y (A,B) es controlable, requiere la

solución de la ecuación algébrica -de Ricatti

Q^Qi + KA + ATK - KBR-1BTK = O

(Qi se puede encontrar ya que Q es simétrica)

53

Será presentado un procedimiento de resolución, basado en que A y Qi

conmutan y A es simétrica.

El problema será formulado en un sistema adecuado de coordenadas ha-

ciendo el cambio de bases en el espacio de variables de estado:

y(t) = q^Ct)(Q-1 existe ya que Q es simétrica y definida positiva)

Luego de la sustitución el problema se transforma en minimizar:

, \- r ,•« - ro = f J [

*- tLO

sujeto a

y(t) = QiAQ^yít) + QiBu(t) = Ay(t) + QiBu(t) ; y (t0 ) = QiX0

que admite como solución:

u*(t) = -R-^qjKyCt)

donde K es única, simétrica y definida positiva y solución de

i + KA + ATK - KQIBR-IBTQ[K = o (4)

Ahora, como K es definida positiva, su inversa existe y multiplicando por

K'1, por ambos lados a esta ecuación, se tiene:

K'2 + AK'1 +

que puede ser escrita como

-1 + A)T = Q1 AAT

La notación puede ser abreviada definiendo las siguientes dos matrices

S = Q.BR-

P = K"1 + A

AAT

y el problema se transforma en encontrar P tal que

PPT = S

•¿•:i"'*'

v*Y••&.

54

P - P = A - A (o sea P - A sea simétrica)

y P - A sea definida positiva.

Ahora, si A es simétrica, la solución es sencilla porque primero 5

es simétrica y por tanto puede ser diagonitable: S = HDH donde D es

estrictamente diagonal. Luego la raíz cuadrada positiva definida P es da-

ncf

K = (P - A)'1

1/2 Tda por P = HD H . Entonces tenemos que

APÉNDICE I

LISTADO DE LOS PROGRAMAS

1. Programa "Adams"

Lista de variables:

De entrada

2!, 22, z3, 24 Matrices coeficientes de la ecuación

N orden del vector variables de estado

M orden del vector de control

EO(N) vector que contiene las partes reales de los valores propios de

la matrÍ2 de estado A

F tiempo final

TfS tiempo inicial

U intervalo de tiempo para la escritura

VI precisión

De salida

K matri2 solución de la ecuación

T tiempo

Cl número de iteraciones realÍ2adas para pasar prueba de convergencia

Ul intervalo de tiempo recomendado para la escritura

I i 55

PROGRAMA 'ADAHS'4 GO TO 100100 REtt110 REfí120 REM SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HATRICIAL DE RICATT1130 REH • USANDO LA FORMULA DE ADAHS140 REH150 REH***************** ENTRADA DE DATOS *****:•.**************.***l¿0 REH170 PRINT 'ENTRAR EL ORDEN DEL LECTOR VARIABLES DE ESTADO •;180 INPUT N190 PRINT 'ENTRAR EL ORDEN DEL VECTOR DE CONTROL •;200 INPUT H210 DELETE Z > ll > 22, 23 , Z4 , A - Al , H > R220 DIH Z Í ( N » N ) i Z 2 < H i N > i Z 3 í N r M > f Z - í < N » N ) » H < N f N ) i A < N r N >2 3 0 DIM Z Í N í H ^ R Í H . M í r A K H i N )240 PRINT ' E N T R A R LA nATRIZ DE ESTADO A POR FILAS-250 INPUT 21260 PRINT 'ENTRAR LA MATRIZ B POR FILAS' " '270 INPUT Z280 PRINT 'ENTRAR LA MATRIZ DE BALANCE R POR FILAS'290 INPUT R300 PRINT 'ENTRAR LA MATRIZ DE BALANCE O POR FILAS'310 INPUT Z4320 PRINT 'ENTRAR LA HATRIZ DE CONDICIONES INICIALES H POR FILAS'330 INPUT H340 A=2l350 PRINT 'DESEA ESCRIBIR EN EL IMPRESOR? (SI O NO) : ' í360 INPUT Bt370 IF Bt-'SI' THEN 400380 Z8=32390 GO TO 410400 Z8=5i410 PRINT ezs420 PRINT t?Z8430 REM•440 REH********* FIN DE LA ENTRADA DE DATOS450 REM400 REH*****ESTABILIDAD Y CONSTANTES DE TIEMPO DEL470 REM480 REM CALCULO DE LOS VALORES PROPIOS DE LA MATRIZ DE ESTADO490 REM USANDO LA SUBRUTINA VALORES PROPIOS500 IF N=l THEN 570'510 GDSUB 2940520 EO=Q4*EO530 FOR 1=1 TO N ' -540 IF EO(I)>0 THEN 630550 NEXT I560 GO TO 610570 DELETE EO580 DIH EO(N)S90 EOÍN)=ACN»N)¿00 IF A(NiN)>0 THEN 630¿10 PRINT eZSI'JEL SISTEMA ES ESTABLE'620 GO TO OSO630 PRINT GZB;-JEL SISTEMA ES INESTABLE INICIALMEHTE-640 PRINT 'EL SISTEMA ES INESTABLE INICIALHENTE'650 E=1,OE-Ó660 EO=ABSÍEO)670 FDF; m=l TD NÓBO E=E MAX EO(Ml)690 NEXT MI700 U1=1/C10*£)710 PRINT ezei'JSE RECOMIENDA CALCULAR CON INTERVALOS DE TIEMPO! 'íUl720 PRINT 'SE RECOMIENDA CALCULAR CON INTERVALOS DE TIEHPOI ' fUl730 REM**********FIN DEL CALCULO DE LAS CONSTANTES DE TIEMPO************

LSOLUCION DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL MATRICIAL DE RICATI'J USANDO LA FORMULA DE ñDAMS•

710 REM i****.** ****•***: Y DE LA PRUEBA DE750- REM760 REHM******** CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA ECUACIÓN770 .REH

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE RPARÁMETROS:R — MATRIZ DE ENTRADA I TAMAÑO M X H)H — ORDEN DE MATRIZ RB — MATRIZ INVERSA DE R9 — TOLERANCIA PARA COMPARACIÓN CON CERO (1E-12)

VARIABLES INTERNAS COMIENZAN CON O

MÉTODO! REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN

780 REH790 REH800 REM810 REM

. 820 REM830 REH840 REH850 REH860 REH870 REH880 REHB90 07=1.05-12900 QO=H930 DELETE B920 DIH B(00,GO)"930 8=0910 FOR 01=1 TO 00 '950 BC01iCU) = l960 NEXT 01970 FOR 01=1 TO 00980 OB=ABS(R<01>01))990 07=011000 IF 01=00 THEN 10001010 FOR 02=01+1 TO 001020 IF Q8=>ABS<R(02í01)3 THEN 10561030 QB=ABS(R(02.01))1040 07=021050 NEXT 021060 IF Q8>09 THEN 10901070 PRINT 'MATRIZ R ES SINGULflRGGGG1080 END1090 IF 07=01 THEN 11801100 FOR 02=1 TD 001110 08=R(Q1,02)1120 R(01fQ2>=RÍQ7f02)1130 R(G7f02>=081240 OB=B(Q11150 BÍ01fn21160 B(07.02)=08 ,1170 NEXT 021180 REH1190 08=R(01f01)1200 FOR 02=1 TO 001210 RC01>Q2)=RÍ01fa2>/081220 BC01íQ2)=BÍOlf02)/081230 NEXT 021240 FOR 02=1 TO 001250 IF 02-Q1 THEN 13101260 08— R(Q2>G1)1270 FOR 03=1 TO 001280 R(02.Q3)=R(02fQ3)-í-a8*RÍQlf03)1290 B(a2f03)=B(02fG3)-fnB*B<01,03)-1300 NEXT 031310 NEXT 021320 NEXT 011330 REM -FIN DEL CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA BE R1340 REH1350 Z1=-Z11360 Z4=-Z4 '1370 FOR 1=1 TO M1380 FOR J=l TO N1390 AlíIfJ)=0

,02)

FOR L-l TO H1410 ftlíl.J)=AlíI»J)4BÍIfL)*ZCJ.Lí1420 NEXT L1430 NEXT J1440 NEXT I1450 FOR 1=1 TO N;14ÓO FOR J=l TO N1470 Z3ÍI,J)=01480 FOR L=l TO H1490 Z3ÍIrJ)=Z3(I,J)-fZ(I,L>*AlCLf J)1500 NEXT L1510 NEXT J1520 NEXT I1530 FOR 1=1 TO N1540 FOR J=l TO N1550 Z2(Ii J)=ZKJf I)1560 NEXT J1570 NEXT I1580 PRINT 'Zl»Z2iZ3iZ4íSON:i»Zl,Z2»Z3,Z4.1590 DELETE ZiAtAI1600 REH1610 REH***** FIN DEL CALCULO BE LOS COEFICIENTES DE LA1620 REH1630 REH*****--* SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN x*********************** •1640 REH1650 C*="NUM IT-1660 H$=p T '1670 E*=-MATRIZ K POR FILAS11680 CALL 'TIME',A*1690 PRINT GZ8:At1700 DELETE SrSl(S2-Ll1710 DIH S(N»N)fSKNiN)íS2(N»N)»UCNfN)1720 DELETE KfKlrK2*K31730 DIH K(N-N)fKltNtN)rK2CN>N)-K'3<NfNí1740 PRINT -ENTRAR EL TIEHPO FINñL! '!1750 INPUT F'1760 PRINT 'ENTRAR EL TIEHPO INICIAL: 'í1770 INPUT TO1780 PRINT 'ENTRAR DELTA T: • /'1790 INPUT U1800 PRINT 'LA PRECISIÓN REQUERIDA DEBE SER UN VALOR HENOR A: 'íU/101810 PRINT 'ENTRAR LA PRECISIÓN ",1820 INPUT VI1830 PRINT eZB:'JINTERVALO=*íU:'1840 PRINT eze: USING i85o;c*fB*rE'1850 IHAGE /2XfÓA.7A,10X>IBA1BÓO V=10#V11B70 U=(F-TO)/U1880 B1=U/V1890 A2=l1900 T=F1910 K=H1920 Cl«01930 Z6=01940 PRINT eZB: USING 1950IClfT1950 IHAGE 3Xt2D.3Xf2n.2Dr10XiS1960 FOR 1=1 TD N1970 FDR J=l TO N1980 Z6=Z6+11990 PRINT eZB: USING 2000:K(I,J)2000 IHAGE 4D.7D.6X,S2010 IF Z¿<5 THEN 20402020 PRINT GZB:2030 Z6=02040 NEXT J20SO NEXT I

PRECISIÓN*'ÍV1

2060 PRINT 0281.. 2070 GOSUB 2030" 2050 "P=02090 FOR J=l TO U2100 [i=Ii+i2110 S1=K12120 S=K2130 T=T-V2140 K--V*S12150 K=S+K2160 Cl = 02170 GOSUB 25302160 C1=C1+12190 L1=K2200 K=0.5*K12210 K=-V*K2220 K=S+K2230 52=0.5*512240 S2=-V*S22250 K=K+S22260 L1=K-L1

" 2270 L1=ABS(L1)2280 C=SUHCL1)2290 IF C/N~2>V1 THEN 21702300 IF D=Bi*A2 THEN 23202310 GQ TO 24802320 ñ2=ñ2fl2330 26=02340 PRINT eZSI USING 2350ÍClfT2350 IHñGE 3Xr2D,3X,2B.2D,10XrS2360 FOR 1=1 TO N2370 FOR J=l TO N2380 26=26+12390 PRINT 0281 USING 2400IKÍI.J)2400 IMAGE 4n.7D.ÓXrS '2410 IF 2¿<5 THEN 24402420 PRINT 028:2430 26=02440 NEXT J2450 NEXT I2460 PRINT 02812470 IF ti=>U THEN 24902480 NEXT J2490 CALL 'TIME1,A*2500 PRINT 02B:fl*2510 ENH2520 REH2530 REM#****SUBRUTINfi PARA EL CALCULO DE LA DERIVADA HE K******x*2540 REH2550 FOR 1=1 TO N2560 FOR J=l TO N2570 K1CI»J)=02580 FOR L=l TO N2590 Kidf J)-KKIf J)+KCIf L)*21(Lr J)2600 NEXT L2010 NEXT J2620 NEXT I2630 FOR 1=1 TO N

• 2610 FOR J=l TO N2650 K2(I.JJ=02660 FOR L«l TO N2670 KaíliJ)=K2CI,Jj+22CIiL)*K(L.J)2680 NEXT L2Ó?0 NEXT J2700 HEXT I2710 K1-KH-K2

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3360 Ql«ai+A(R5,P2)*QB5370 01=011025380 A(P1 .P2)=A(P1 .P2J -G15390 A<R4fP2)=A(R4rP2)-GUG7S-ÍOO IF RS>P5 THEN 5-1205410 A(R5,P2) = A(R5.P2)-Cll*n85^20 NEXT P25^30 P4=R55440 IF PKP7 THEN 5400S-450 P4=P55-460 FOR P2=P3 TO P45-470 Gl = A ( P 2 f p l ) 4 - A C P 2 i R 4 ) * 0 75-180 IF R5>PS THEN 55005490 Gl=Cíl+ACP2fR5)*G85500 01=01*025510 A(P2,Pn=A(P2íPi>-015520 A<F2fR4)=A<P2fR4)--01*G75530 IF R5>P5 THEN 55505540 AÍF2fR5)=ACP2»R5)-01*CJ85550 NEXT P255¿0 IF Pl-f3>P5 THEN 56205570 Q1=-A(P1+3.R5J*08*025580 PO=pl+35590 A(POfpl)=01SéOO A<PO,FM)=G1*075610 ACPOiR5)=Ql*Q8+AtPO,R5)5620 NEXT Pl ' i5630 IF F8>P6 THEN 59205¿40 GO TO 48205650 EOCP5)=A(P5IP5)5660 El(PS)=0SÍ70 P<P5f1)=15680 REM PRINT P5f EO(F'5)*Q'l. El(P5)*Q45690 P5=P35700 GO TO 48205710 Rl=0.5*(A(P3fp3)+A(P5fP5)>5720 Ql=:O.S*(ACPSf PS)-A(P3»P3) )5730 Ql=Ql*ni+ACP3.P5)*AÍP5»P3)5740 PCPS,!)^!5750 P<PSrl)-l5?iO IF QKO THEN 58305770 R3=SQR<01)57BO EOCP3)=R1-R35790 EOÍP5)=Rl-fR35800 E1ÍP3)=05810 El(P5)=05820 GO TO 58805830 R3=SGR(-G1)5840 EO(P3)=R15850 El(P3)=R35860 EO(P5)=R15870 E1CP5)=~R35B80 REM PRIHT P3, EO(P3>*Q4- El<P3)*Gt PRIMTS EIGENÜñLUES5890 REM PRINT P5/ EO(P5)*Q4- E1CP5)*G4 AS FOUND5900 P5=P5-25910 GO TO 18205920 RETURN5930 REM ****:*:*:*:*##* ENO OF E1GENVALUE ****xí;* ******5940 REM *** T'4:#*xf.**r**** 4:*********a: ** **í:*x-í:a:*a:*:xí:*.*#**:*:*:***:**;*#*

• 4 GO TO 100B GO TO 344012 PAGE13 GO TO 324016 GO TO 30020 GO TO 312024 GO TO 75036 GO TO 3700100 REH. PROGRAMA RUNGEKUTTA110 REH SAMPLE USER URITTEN DRIVER FOR RUNGE-KUTTA *120 GOSUB 140130 GO TO 210140 REH #**** *i*t*i.****A-**-** **AÜ*4.-*- .jt.%-***x150 PRINT 'JUNIDAD DONDE ESTA EL DISCO? <0 o l)í *í160 INPUT H8170 CALL 'UNIT1,H81BO REH — H8 DIRECCIÓN DE ARCHIVO DE DATOS190 RETURN200 REM ¥**********'*** ******=fc********* ******"210 PAGE220 PRINT -LSOLUCIDN DE UN SISTEMA DE ''N1' EC, DIFERECIALES'230 PRINT 'J DE PRIMER ORDEN POR MÉTODO DE RUNGE-KUTTAGGGG'240 PRINT -JJJTECLA 4 — RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE EC. DIF.250 PRINT 'JTECLA 5 — GRÁFICO BE Y(I) EN FUNCIÓN DE X'260 FRINT 'JTECLA 9 — GRÁFICO DE YÍI) EN FUNCIÓN DE YCJ)•270.PRINT ' (PLANO DE FASE)'280 PRINT 'J APLASTE TECLA DESEADAGGGG'

. 290 EN»300 PRINT 'JNUHERO DE ECUACIONES: 'í310 INPUT N320 PRINT 'JVALOR INICIAL DE330 INPUT A340 DELETE YjD350 DIM Y<N),D(N)360 PRINT 'JVALOR FINAL DE •370 INPUT B380 PRINT * JINTERVALO DE "X390 INPUT H400 PRINT 'J* DE DÍGITOS DE PRECISIÓN: •;410 INPUT E420 E=10"-E430 F0=0440 FOR J=l TO N450 PRINT ' JVALOR INICIAL DE "YCjJí')" 'f460 INPUT Y<J)'470 NEXT J480 D=1/N490 H9=5l500 PRINT 'JIMPRESION EN PAPEL? ÍSI O NO): 'í510 INPUT A*520 IF Al='SI' THEN 540530 H9=32540 PAGE550 GOSUB 570560 GO TO 600570 PRINT 'NOMBRE DEL ARCHIVO PARA ALMACENAR DATOS: GGGG'580 INPUT OJ590 RETURN000 CALL 'FILE'iHBfOíiX*610 IF Xí=p' THEN 670620 PRINT 'JYA EXISTE EL ARCHIVO: •íO*630 PRINT 'JDESEA DESTRUIR SU CONTENIDO? (SI O NO).1 GGG'Í640 "INPUT X*650 IF Xl='NO' THEN 570660 KILL Oí

PARA INTEGRACIÓN:

• • PARA INTEGRACIÓN:

PARA SALIDA: • f

HASTA x= *;B1 ;H;• CON PRECISIÓN

670 CRÉATE 0*!bOOO,06SO PRINT 'LPROGRAhE LAS DERIVADAS DE LAS DIFERENTES FUNCIONES YÍI>> ''690 PRINT '1 = 1, ' ÍN700 -PRI NT 'JA PARTIR DE LA LINEA 1100 HASTA 1199'710.PRINT 'JLUEGO PARA SOLUCIÓN APLASTE LA TECLA ÓGGGG1

720 PRINT730 LIST 1050,1199740 END

760 PAGE770 FRINT GH9: USING 7BOÍN780 IHAGE P/'SQLUCION DE LAS 'FD' ECUACIONES DIFERENCIALES SIGUIENTES1790 PRINT 6H9:1SEGÚN MÉTODO DE RUNGE-KUTTAJ1800 IF H9=32 THEN 830810 SAVE GH9:i040,1199820'GO TO 840830 LIST f?H9:i05Q,1199840 PRINT PH9:'JDESDE.X= 'fAf'850 PRINT SH9:'JEN INTERVALOS DE860 PRINT 0H9I USING ' 120 ( •'-")/':870 PRINT CH9: USING 880:880 IHAGE 'tBIS. X'17X,S890 FOR J=l TO N900 PRINT PH9: USING ''"Y''FD.16XS':J910 NEXT J920 PRINT 0H9I930 PRINT CH9I USING '/".940 GOSUB 1680

' 950 IF B0<=10 THEN 970960 PRINT 'JJERROR FLAG = •fBOí'JJ"970 PRINT 'FIN DE CALCULOGGGG1

980 CALL 'REUIND',1990 READ *i:N1000 URITE 4l':UOíUl,U2»RO1010 CLOSE1020 GO TO 3120Í030 REM END OF DRIVER • '-104.0 REM ****¥***1050 REM EJEMPLO DE SUBRUTINA PARA EVALUAR DERIVADAS1061 U=120#PI1062 L=0.1921063 R=3.51064 K0=9.3331065 J0=0.8*0.4536*0.3048 21066 K1=89.12681070 DC1) = (115*SQRC2)-«SIN(U*X)-Y<1)*R-KO*YÍ2))/L1080 rK2)=(Kl*YCl)-2.2591)/JO1090 RETURN1200 REM FIN DE SUBRUTINA PARA EVALUAR DERIVADAS1210 REM #*:****•**1220 REM ÍSAMPLE) OUTPUT ROUTINE FOR RUNGA-KUTTA .1230 REM THIS ROUTINE PRINTS Y DNLY IF XO=A, A-Í-H. A-f2Hf . . , , OR B1240 REM GOTO 1310 IF AUL Y VALÚES ARE nESIRED*****1250 REM PARAMETERS: PASSED B1,XO, AND Y TO BE 'PRINTED'. THIS1260 REM ROUTINE COULD EASILY BE HODIFIED TOr EG.f URITE1270 REM XO AND THE Y ARRAY ONTO TAPE,12BO IF XO=B THEN 13301270 F9=CXO-A)/H+8.333E~41300 P8=INT(P9)1310 IF ABSÍP9-P8XO.001667 THEN 13301320 RETURN1330 PRINT eH9¡ USING '3D,4XfS':Bl1340 PRINT eH9:XOf"Ó';1350 FOR Pl=l TO N1360 PRINT GH9:Y(Pl)•'&' 11370 NEXT Pl

380 PRINT GH9I1390 REM OPTIONAL: IHPUT F1100 -JF XOOfl THEN 15101110 DELETE U O , U i , U 21-120 niH U0(2) f U K N ) i U 2 < N >1-130 Ul=l,OEi3001440 U2=-UÍ1150 UO(1)=U1(1)

1470 OPEN 0$U, ' U ' í X S1480 CALL 'REUIND'»11490 R0=01500 U R I T E 4 i : N r U O ) U l , U 2 , R O1510 URITE * i : X O » Y1520 U O U ) = U O ( 1 > MIN XO1530 UOC2)=UOÍ2) MAX XO1540 FOR U3=l TO N1550 U l ( U 3 > = U l ( U 3 ) MIN Y Í U 3 )1560 U2(U3)=U2(U3) MAX Y Í U 3 )1_570 NEXT U31580 RO=RO+11590 RETURN1600 REM EHD OF OUTPUT ROUTINE1610 REM1620 REM1630 REM1640 REM1650 REM1660 REM1670 REM

START OF RUHGA-KUTTA ROUTINE 'PARAMETERS:USER DRIUER: IfíPUTSI A , B, H> E» FO» Y. D,N 4 RECEIVES:'OUTPUT ROUTINE ' í 1200) : RECEIUES; BlíXOíY CrifEiF,N)

RETURHS: F-G05UB 1100': RECEIVES: X.Y í RETURNS; D

1680 HELETE P?PO1690 FUZ2 10íl.OE-101700 Din P(NrB) »PO(ia>1710 P9=l/151720 FOR Pl=l TO N1730 P(PlfS)-P9*D<Pl>1740 NEXT Pl1750 X=A1*7 A O P3=H1770 F=01780 GOSUB 10401790 P9=P3*<B-A>1800 IF P9<0 THEH 30501810 IF P9=0 THEH 30301820 IF F0>0 THEN 19601830 FO=Í1840 P0(l)=0.51850 P O C 2 ) = 0 . 29289321881860 P0(3)=l. 7071067811870 PO(4)=0.166Ó6ÓÓÓ66671880 P 0 ( 5 ) = 21890 PO<6)=11900 P O ( 7 ) = P O ( Ó )1910 P O ( B ) = P O C 5 )1920 P0t9)=0,51930 P O ( 1 0 J = P O C 2 )1940 POU1 ) = P O ( 3 )1950 P0<12)=0.51960 FOR Pl=l TD N1970 P í P l t l ) a Y ( P l )1980 P(P1,2)=D(P1)1990 P ( P l r 3 ) = 02000 P C P l r ó ) = 02010 NEXT Pl2020 P4=02030 P3=P3+P3

-_2040 BO—I2050 01=02060 03=02070 P9=fX+P3-B)*H2080 IF P?<0 THEH 21202090 IF PV=0 THEH 21102100 P3=B-X2110 03=12120 XO=X2130 B1=P42140 G05UB 12202150 IF FOO THEN Sl'OO2160 00=02170 01=Glrl21BO P2=l2190 P7=PO(P2)2200 F8=PO(P2+4)2210 P9=POÍP2+8)2220 FOR Pl=l TO N2230 P5=P3*níPl>2240 P6=P7*:(P5-P8TP(Pitó) )2250 YCPl)=YCPl)-fF62260 P6=3*F62270 PCPlf6)=P<P1,Ó>+PÓ-P?*P52280 NEXT Pl2290 IF P2=>4 THEN 23502300 F2=P2+12310 IF P2=3 THEN 23302320 X=X+0.5*P32330 GDSUB 10402310 GO TO 21902350 IF 00>0 THEH 25002360 FOR Pl=l TO N2370 PCP1,4)=YCP1Í23BO NEXT Pl2390 00=12400 CU=2*íai-l)2410 BO=BO-H2420 X=X-P32430 P3=0.5*P32440 FOR Pl=l TO H2450 Y(P1)=P<P1,1)2460 D(Pl)=PCPli2)2470 P<Pl,¿)-P(Plf3)2480 HEXT Pl2490 GO TO 21702500 04=IHT<0.5*01)2510 IF 01=04+04 THEH 25802520 GOSUB 10402530 FOR Pl=l TO N2540 P(P1,5)=YÍP1)2550 PíFlf7)=D(pl>2560 HEXT Pl2570 GO TO 21702580 02=02590 FOR Pl=l TO H2¿00 Q2=02+P(P1.B)*A&S(P<P1,4)-YÍP1))"2610 HEXT Pl2620 JF 02<=E THEH 27lO2630 IF B0=>10 THEH 30002640 FOR Pl=l TO H'2650 P(P1,4)=P(P1.5)2660 HEXT Pl2670 Ql=2*(Oi-2)2680 X=X-P32690 03=0

- 2700 GU TO 241027lO~GOSU[l 10402720 FOR Pl=l TO H2730 PÍPlrl)=YCFl>27-íO P(Pl,2)=nCpl)2750 P(P1.3)=P(P1TÓ)2760 YÍPl)=P(PlfS)2770 D(P1)=P(P1,7)2780 NEXT Pl2790 XO=X~P32800 B1 = BO2810 GOSUB 12202820 IF FOO THEN 3100

- 2330 FOR Pl=l TO N2840 Y(Pl)=P(PXil)'2850 BCP1)=P(P1.2)2860 NEXT Pl2870 P4 = BO2880 IF C13>0 THEH 3060

- 2890 BO=BO-12900 G1 = INT(0.5*CU) .2910 P3=P3iP32920 IF B0<0 THEH 2070

2940 IF G1O2*G4 THEN 20702950 IF Q2>0.02*E THEN 20702960 BO=BO-12970 B1=IHTC0.5*G1)2980 P3=P3+P32990 GO TO 20703000 B0=ll3010 GOSUB 10403020 GO TO 30603030 B0=123040 GO TO 30603050 B0=133000 XO=X3070 B1=BO3080 GOSUB 12203090 DELETE P3100 RETURN3110 REH *****:*£NB OF RUNGA3120 REH je** *******#*:*:* GRÁFICO3130 GOSUB 1403140 PAGE3150 GOSUB 31703160 GO TO 33203170 GOSUB 5703180 OPEN 0*!li'R'>Xí3390 BELETE Y1,Y2,Y3200 READ ti:H3210 DIH Y1(N)»Y2(N)»Y(H)3220 REAIi t i : X l f X 2 f Y l » Y 2 t R O3230 GLOSE3240 PRIHT *JHAY 'fROÍ' PUNTOS PñRA GRÁFICO1

3250 PRIHT 'JXMIN= '1X13260 PRINT 'XHAX= 'ÍX2

" 3270 FOR J-l TO H3280 PRIHT USIHG 3290:J»YltJ),Y2<J)3290 IMAGE/3D,2X'YMIN= •FD.FD/5X'YHAX= 'FD.FD3300 NEXT J

' 3310 RETURH3320 PRIHT 'JCURUA DESEADA: GGGG'í3330 INPUT NO3340 DELETE G•3350 DIH GU)

3360 PRINT 'JPARAHETROS PARA GRÁFICO: (XMINtXMAX, YHIN.YhAX) 'í3370 INPUT G3380 PRINT 'JINTERVALOS ENTRE MARCAS EN EJE 11X" T3390 INPUT Gl3400 P-RINT 'JINTERVALOS ENTRE MARCAS EN EJE ''Y" '!3410 INPUT G23420 PRINT 'JCQQRDENADAS DEL ORIGEN! 'i3430 INPUT G3.G43440 PRINT 'JGRAFICO EN PAPEL? (SI O NO) 'f3450 INPUT Al3460 H7=Í3470 VIEUPORT 0*150,0,1003480 IF AJ'-'SI' THEN 3520

. 3490 H7=323500 VIEUPORT 0,130,0,1003510 GO TO 35403520 FR:NT -jAtisTt GRAFIZAHOR ÍPQNGA PAPED Y APLASTE RETURNGGGG-3530 IHPUT At-3540 REM3550 PAGE3560 UINOOU Q(l)rG<23,GC3),G(4)3570 OPEN OSil»'R* »X*3580 REftP 41!N»XlfX2fYltY2FRO l3590 READ *l!XiY3600 MOVE eH7:XtYCNO)3610 FOR J=2 TO RO3620 READ *i:X,Y

. 3630 URrtU eH7:X,YCNO)3040 NEXT J3650 AXIS £?H7:Gl,G2,G3fG4

- 3060 HOrtE QH7:3670 PRINT 'PARA REPETIR CURVA TECLA 213680 PRINT 'JPARA OTRñ CURVA TECLA 3GGGG'3690 ENE"3700 REri *** GRÁFICO DE YÍI) EN FUNCIÓN HE Y(D) **¥3710 PftGE3720 GOSUB 31703730 DELETE G3740 DJfi G(4)3750 PRINT 'EN ARCHIVO -fD*?' HAY 'fNí 1 FUNCIONES'3760 PRINT -JFUNCION DESEADA EN EJE HORIZONTAL: É í3770 INPUT Jl37BO PRINT 'JFUNCION DESEADA EN EJE VERTICAL;3790 INPUT J23SOO PRINT 'JJGRAF1CO EN PAPEL? (SI O NO)! GGG'Í?CJO KíPUT XI3620 IF Xí='SI' OR X*='S< THEN 38603830 VIEUPORT 15,ll5,OtlOO3840 P8=323850 GO TO 388038¿0 VIEUPORT 25,125,0,1003B70 P8=l38BO RErt3890 PRINT 'JPARAMETROS PARA GRÁFICO CXMIN» XMAXfYMIN,YHAX): GGG'I3900 IHPUT G3910 FAGE3720 OPEN OM1> 'R' *X*3930 REflI" í i:N,XlrX2rYl,Y2/RO3940 UINDOU G C 1 ) , G C 2 ) , G C 3 ) , G ( 4 )3910 READ *1 :X.Y396Ü MOUE 0PB:Y(Jl),YÍJ2)3970 FOR K=2 TO RO3980 REñD *i:X,Y3990 DIíAU ePB:YÍ J1),YÍJ2)4000 NEXT K4010 AXI5

APÉNDICE II

MANUAL DE UTILIZACIÓN DE LOS PROGRAMAS

1. Programa "Adams"

(1) Insértese el disco correspondiente, y cargúese en la máquina

(2) Para seleccionar el programa correspondiente, ejecútese la instrucción

OLD "ADAMS"-

(3) Sigúese las instrucciones que se dan en pantalla para entrada de da-

tos y obtención de resultados.

2. Programa "Runge - Kutta"

(1) Insértese el disco correspondiente, y cargúese en la máquina

(2) Para seleccionar el programa correspondiente, ejecútese la instrucción

OLD "RUNGEKUTTA"

(3) Aplastar tecla 1 y seguir instrucciones dadas en la pantalla

(4) Aplastar tecla 4

(5) Borrar las instrucciones, de la 1051 a 1089

DELETE 1051, 1089

(6) Entrar el sistema de ecuaciones usando instrucciones numeradas del

1051 al 1089 (usar notación indicada anteriormente)

(7) Aplastar tecla 6 para continuar y seguir instrucciones de la pantalla

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BIBLIOGRAFÍA

Athans, M., Falb, P. L., "Optimal Control: An Introduction to the Theoryand its Applications". Me Graw Hill Book Company, 1966. United States.

Jones, E.L., "A RTformu lation of the Algebric Ricatti Equation Problem",IEEE Trans. Automatic Control (correspondence), 1976.

Kirk, D.E., "Optimal Control Theory: An Introduction". Prentice - Hall,1970. Englewood Cliffs, New Jersey.

Spencer, D.D., "A Guide to Basic Programming: A Time - Sharing Language",Addison - Wesley Publishing Company, 1970. United States.

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