A si g na t ura : M atemática I Tema: Sistema de

A s i g n a t u r a : M atemática I

Tema: S is tema de Ecuaciones L ineales

PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa; 28/6/2020 1

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U . N a . F . – F . C . S .

C a r r e r a s : L i c e n c i a t u r a e n B r o m a t o l o g í a

T é c n i c o e n L a b o r a t o r i o d e A n á l i s i s C l í n i c o s

As ignatura:

Matemática I

Tema: Sistema de

ecuaciones Lineales

PROFESOR: Jorge Mora

U . N a . F . – F . C . S .



29/6/2021

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PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;

SISTEMAS DE

ECUACIONES LINEALES

U . N a . F . – F . C . S .



29/6/2021

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SISTEMAS NORMALES DE ECUACIONES

LINEALES

TEOREMA DE CRAMER

REGLA DE CRAMER

29/6/2021

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U . N a . F . – F . C . S .



APLICACIONES

ECONOMIA

ADMINISTRACION DE

EMPRESAS (Laboratorios)

NUTRICION

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U . N a . F . – F . C . S .



ELEMENTOS/PROBLEMAS DE EC..ppt

ELEMENTOS/PROBLEMAS DE AD..ppt

ELEMENTOS/PROBLEMAS DE AD..ppt

El Licenciado responsable de un laboratorio registró en una

planilla los datos que corresponden a tres especies B1; B2 y B3 de

bacterias que existen en tubos de ensayo y que descomponen

tres tipos de sustancias orgánicas: I, II, III.

PROBLEMA A RESOLVER

29/6/2021

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U . N a . F . – F . C . S . C a r r e r a s : L i c e n c i a t u r a e n B r o m a t o l o g í a


B1 B2 B3

SUSTANCIA I 1 1 1

SUATANCIA II 1 2 3

SUSTANCIA III 1 2 5

El siguiente cuadro muestra cuántas unidades de cada tipo de

esas sustancias, descomponen diariamente una bacteria, según

su especie.

29/6/2021PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;

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Se sabe que diariamente se suministran 17.000 unidades de la

sustancia I, 42.000 unidades de la sustancia II y 62.000 unidades III.

Se supone que las sustancias suministradas se descomponen

totalmente.

Determinar el tamaño de la población de cada especie de

bacteria.

El tamaño de la población (cantidad de cada especie de bacteria)

¿Cuáles son los datos?

¿Cuáles son las incógnitas?

Las unidades de cada sustancia que descomponen cada tipo de

bacteria según su especie y el total de cada sustancias

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¿Qué cantidad de unidades de sustancia orgánica descompone

diariamente cada tipo de bacteria?

x2: representa el número de individuos de bacterias del tipo B2

Cada individuo del tipo B1, B2 y B3 descompone una cierta cantidad de cada

sustancia

¿Cómo identificaríamos a las incógnitas?

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Recordando lo trabajado en clases anteriores sobre ecuaciones

lineales con una y con varias incógnitas.

Si se descomponen 17.000 unidades de la sustancia I ¿cuál es la cantidad

de bacterias de cada especie que conviven en el tubo de ensayo?

1x1 + 1x2 + 1x3 = 17.000

¿y del tipo II y III?

1x1 + 2x2 + 3x3 = 42.000

1x1 + 2x2 + 5x3 = 62.000

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U . N a . F . – F . C . S .



17.000

42.000

62.000

Se observa que quedó formado un sistema de 3 ecuaciones

lineales con 3 incógnitas:

1x1 + 1x2 + 1x3= 17000

1x1 + 2x2 + 3x3 = 42000

1x1 + 2x2 + 5x3 = 62000

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U . N a . F . – F . C . S .



Un sistema es normal o cuadrado, cuando el número de ecuaciones

es igual al número de incógnitas.

SISTEMAS NORMALES

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U . N a . F . – F . C . S .



Para la situación planteada, corresponde un sistema de tres ecuaciones

con tres incógnitas, no homogéneo porque los términos independientes

son no nulos.

RESOLUCION ANALITICA Y GRAFICA DE UN SISTEMA NORMAL

3yx

8y3x2

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Recordemos lo que han estudiado en el nivel Secundario y en la Unidad1 con

respecto a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Clasificación: inicialmente se puede indicar que


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Un sistema normal es crameriano si y solo si el determinante de la

matriz principal o matriz de los coeficientes, es no nulo.

SISTEMAS CRAMERIANOS

TEOREMA DE CRAMER

Recordemos la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales:

A . X = B. Donde:

A es la matriz de los coeficientes, simbólicamente es A= [aij ]nxn,

con 1≤ i ≤ n y 1≤ j ≤ n

Todo sistema crameriano admite solución única

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B es la matriz de los términos independientes, Simbólicamente es B = [bi ]nx1 ,

con 1≤ i ≤ n

X es la matriz de las incógnitas X = [xj]nx1 con 1≤ j ≤ n

Por ser un sistema crameriano, el determinante de A es distinto de 0, por lo

tanto A es inversible, entonces existe A-1 y A-1 Є Knxn

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Recordando que: Dos matrices son conformables para el producto cuando el

número de columnas de la 1° matriz es igual al N° de filas de la 2° matriz.

Entonces podemos premultiplicar por A-1 ambos miembros del sistema

expresado matricialmente y obtendremos: A-1. A . X = A-1. B

Recordando además que A-1. A = I y que I . X = X, resulta: X = A-1. B

Enunciado: Sea el sistema de ecuaciones lineales A.X = B con A Є Knxn no singular.

Entonces dicho sistema admite solución única y el valor de cada incógnita (xj) es el

cociente entre el |Aj| (determinante de la matriz asociada a una cualquiera de sus

incógnitas) el que resulta de sustituir en el |A| (determinante de la matriz del

sistema) la columna j por la de los términos independientes, y el |A| (determinante

de la matriz del sistema).

REGLA DE CRAMER

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A

AXenteSimbólicam

j

j :

Por lo indicado en la regla de Cramer, resulta

Determinante de la

matriz asociada a la

incógnita xj

A

AX

j

j Siendo

nna

...n2

an1

a

...

...

...

...

nb

...2

b1

b

...

...

...

...

2n

...22

a12

a

1na

...21

a11

a

jA

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RESOLUCION DEL PROBLEMA

x1: representa el número de individuo del tipo de bacteria B1



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Volviendo al problema dado y teniendo en cuenta que:

El sistema correspondiente es:

1x1 + 1x2 + 1x3= 17.000

1x1 + 2x2 + 3x3 = 42.000

1x1 + 2x2 + 5x3 = 62.000

5

3

1

2

2

1

1

1

1

ALa matriz de los coeficientes es:

La matriz de las incógnitas es:

3

2

x

x1

x

X

La matriz de los términos independientes

000.62

000.42

000.17

B

5

3

1

2

2

1

1

1

1

ACalculando el

29/6/2021 20PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;



El sistema expresado matricialmente es A .X = B

1512

131-2 . .1 )1(

11 41

21 24 2

BXA .

Concluimos que el sistema es crameriano y por lo tanto aplicando

el Teorema de Cramer, resultará que B.AX 1

Es decir, que el sistema expresado matricialmente es

¿Cómo es el sistema si el ?0A

1A

A

Para obtener podemos iniciar la actividad calculando

la adjunta de la matriz

29/6/2021 21PPT elaborado por: Prof. J. Mora Formosa;



5

3

1

2

2

1

1

1

1

A

Luego determinamos la inversa de teniendo en cuenta que:A

21

11

31

11

31

21

21

11

51

11

51

21

22

11

53

11

53

22

AAdj

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1

2

1

1

4

3

0

2

4

5

2

1

3

2

1

1

1

1T

A

A

AAdjA

.1

Por último calculamos:

000.62

000.42

000.17

Realizando las verificaciones correspondientes, comprobamos que efectiva-

mente S = {(2.000; 5.000; 10.000)} es solución del sistema planteado, es decir

que en el tubo de ensayo existen 2.000 individuos del tipo de bacteria B1; 5.000

individuos del tipo de bacteria B2 y 10.000 individuos del tipo de bacteria B3. 29/6/2021

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2

1

2

10

1212

1

2

32

1

2

1

1

4

3

0

2

4

2

.

2

1

2

10

1212

1

2

32

X

2.000

5.000

10.000

5

3

1

2

2

1

1

1

1

241

21.)1.(1 11

A

5

3

1

2

2

1

162000

42000

17000

A

Determinante de

la matriz de los

coeficientes:

Determinante

asociada a la

primer incógnita:

RESOLUCION DEL PROBLEMA APLICANDO

REGLA DE CRAMER

Entonces, unidades

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323000

19000 .

)1.(1 31 000.4

000.22

000.4

1

1 A

AX

2

5

3

1

62.000

42.000

17.000

1

1

1

A 000.10 000.234

000.92 )1.(1 31

Determinante asociada

a la segunda incógnita:

Entonces unidades 000.52

000.10

2

2 A

AX

000.62

000.42

000.17

2

2

1

1

1

1

3

A 000.20 000.281

000.81 )1.(1 11 Determinante asociada

a la tercer incógnita:

Entonces unidades 000.102

000.20

3

3 A

AX

Que son los mismos valores que hemos determinados mediante el

Teorema de Cramer.

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REPRESENTACION GRAFICA DEL SISTEMA

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Sistema de m ecuaciones con n incógnitas

𝑨.𝑿 = 𝑩

Expresión matricial del sistema

𝑨 = [𝒂𝒊𝒋]𝒎𝒙𝒏 𝑨 ∈ 𝑲𝒎𝒙𝒏ó Matriz de los coeficientes

𝑿 = [𝒙𝒋]𝒏𝒙𝟏 𝑿 ∈ 𝑲𝒏𝒙𝟏ó Matriz de las incógnitas

𝑩 = [𝒃𝒊𝒋]𝒎𝒙𝟏 𝑩 ∈ 𝑲𝒎𝒙𝟏ó Matriz de los términos independientes

𝒃𝒊 = 𝒋=𝟏𝒏 𝒂𝒊𝒋. 𝒙𝒋 ∀𝒊 = 𝟏, 𝟐,…𝒎Por medio del símbolo de sumatoria:


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29

1 1 1 17.0001 2 3 42.0001 2 5 62.000

Resolución del Sistema por el método de Gauss Jordan

1 1 1 17.0000 1 2 25.0000 0 1 10.000

1 1 1 17.000

0 1 2 25.000

0 1 4 45.000

1 1 1 17.000

0 1 2 25.000

0 0 2 20.000

1 1 1 17.0000 1 2 25.0000 0 1 10.000

1 1 1 17.0000 1 0 5.0000 0 1 10.000

𝑭𝟐 − 𝟐.𝑭𝟑𝑭𝟐− 𝑭𝟏

𝑭𝟑− 𝑭𝟏

𝑭𝟑− 𝑭𝟐

𝟎, 𝟓 ∗ 𝑭𝟑

1 1 0 7.0000 1 0 5.0000 0 1 10.000

𝑭𝟏− 𝑭𝟑

1 0 0 2.0000 1 0 5.0000 0 1 10.000

𝑭𝟏 − 𝑭2

𝑨 𝑩

𝒓 𝑨 = 𝟑;

𝒓 𝑨𝑩 = 3

𝒏 = 3

El Sistema es compatible determinado,

S = {(2.000; 5.000; 10.000)}

cuadrado y no homogéneo

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