‘ap VILLA ALEMANA MARIA TERESA ALVINA Nombre€¦ · i. elementos secundarios del triangulo (30min) Los elementos secundarios del tridngulo lo conforman las transversales de vértice

ym LICEO BICENTENARIO Asignatura: PSU Matematica

(B) TECNICO PROFESIONAL Nivel 0 curso: 4M s 4 “MARY GRAHAM” Profesoras: MARIA ISABEL ESPINOZA SILVA

‘ap VILLA ALEMANA MARIA TERESA ALVINA

GUIA DE APRENDIZAJE N° 3: ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIANGULO

Unidad Programatica: | N° 1 Eje Geometria Guia N° 3

Semana N° Fecha : 25 de junio al 16 de julio

Nombre: Curso:

Queridos estudiantes de cuarto medio, a través de esta guia recordarés conceptos y propiedades de los

elementos secundarios del triangulo que te permitira resolver diversos problemas geométricos.

Objetivos: 1) Actualizar los elementos secundarios del tridngulo.

2) Resolver problemas geométricos.

Habilidades: 1) Establecer relaciones geométricas.

2) Resolver problemas.

I. ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIANGULO (30min)

Los elementos secundarios del tridngulo lo conforman las transversales de vértice y las transversales

de lado.

Def 1: Transversales de vértice Son las rectas que intersectan al tridngulo en sus vértices, estas son: alturas, bisectrices y

transversales de gravedad o transversales medias.

Def 2: Transversales de lado.

Son las rectas 0 segmentos que intersectan los lados del triangulo: simetrales o mediatrices y medianas

i) Alturas (h) La altura es la perpendicular bajada desde el vértice al lado opuesto 0 a la prolongacidn de éste.

Las tres alturas se intersectan en un punto llamado ortocentro H. Cada altura se representa por la

letra h con el sub indice correspondiente al vértice, es decir, ha , hs , hc

ha 1 hb Oh =H

A

Ejercicio propuesto

Traza y determina el ortocentro’ en un triangulo rectangulo, triangulo isésceles, triangulo equildtero y en un

triangulo obtusdngulo. Discute tus resultados con algin compafiero.


(B) TECNICO PROFESIONAL Nivel 0 curso: 4M 4% “MARY GRAHAM” Profesoras: MARIA ISABEL ESPINOZA SILVA


ii) Transversales de gravedad La transversal de gravedad es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres transversales se intersectan en un punto denominado centro de gravedad o

baricentro, este punto se ubica siempre dentro del tridngulo.

En la transversal de gravedad se cumple que la distancia del vértice al centro de gravedad mide

2/3 de la medida total de la transversal y del centro de gravedad al lado opuesto, mide 1/3, 0

bien AG =2GD

Obs: En el tridngulo rectangulo la transversal de gravedad bajada del angulo recto al lado opuesto, genera 2 triangulos isésceles.

t1N t Nt =G AG = [AD A GD = 5 AD

BG = =BE A GE = 5 BE

CG = <CF A GF = 5 CF

Obs: En el tridngulo rectangulo la transversal de gravedad bajada del angulo recto al lado opuesto,

genera 2 triangulos isésceles.

AD = CD =B

«. AABD «a A ACD son isésceles

A B

ili) Bisectriz La bisectriz dimidia al dngulo. Las tres bisectrices se intersectan en el inscentro que es el centro de

una circunferencia inscrita al triangulo.

Cc

ba 1 bb 1 Db =I

bp


(B) TECNICO PROFESIONAL Nivel 0 curso: 4°M s 4 “MARY GRAHAM” Profesoras: MARIA ISABEL ESPINOZA SILVA


Transversales de lado. (15 minutos)

iv) Simetral o mediatriz Las simetrales o mediatrices son las perpendiculares levantadas en los puntos medios de los

lados del tridngulo. Las tres simetrales concurren en un punto llamado circunscentro, que es el

centro de la circunferencia circunscrita al triangulo.

D, Ey F puntos medios de los lados del A

v) Mediana

Las medianas son los segmentos que unen los puntos medios de los lados del triangulo. Cada

mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.

Las medianas dividen la regién interior del tridngulo en 4 triangulos congruentes entre si y

semejantes al A original. Las areas de cada uno de estos tridngulos equivalen a la cuarta parte

del tridngulo original.

C

N

A P B

MN //AB MP // BC NP // AC

MN = ~AB Mp =-BC NP =-AC 2 2 2




OBSERVACION

i) En un triangulo equilatero todos los elementos secundarios coinciden en el punto medio de los lado del triangulo, excepto la mediana.

A ABC Equilatero

D, E y F puntos medios de los lados del A

ha= ba= ta= Sa

hp = bp = th= Sb

he= be= te= Se

A F B

ii) En un triangulo isdésceles , la altura, la simetral, la bisectriz, la transversal de gravedad

coinciden en la base del triangulo

A ABC Isésceles de base AB

F E AD DB he = be= te = Se

AE = BF Room

EJERCICIOS DE TRIANGULOS

1) Enel A ABC de la figura, BD y AE son bisectrices de los Z CAB y Z ABC

respectivamente. Si 2 ACB= y, entonces el 7 AFB es igual a

A) 180°+ B) 180°-y C) 90° -2y D) 90° +2 E) 90°- y

2) En el A ABC rectdngulo en C, CD es transversal de gravedad y “ CDB = 106°. La medida

del 2 CAD es

Cc

A) 45° B) 53° PR C) 74° ee

D) 90° ~ A D B

E) no se puede calcular.




3) En la figura, el A PQT es isésceles de base PT, QR es transversal de gravedad y MN es

mediana. Si Z PQR = 25°, entonces la medida del MNR es

A) 25° B) 40° P R T

045 VN D) 65° M N

E) 75°

Q

4) El A ABC, es isdsceles de base AB, BD es bisectriz del 7 ABC. Si 7 CAB = 70°,

entonces ,cuanto mide el 4ngulo x?

A) 40° B) 60° 5 C) 75° D) 90° & ., E) 105°

5) En el tridngulo SRT, TH es altura, «= 110° y B = 140°. ,Cudl es la medida del Angulo x?

A) 20° B) 30° C) 50° D) 60° E) 70°

6) En el A ABC, AD transversal gravedad y Z CAD = Z BAD. Entonces, la medida del Angulo ADB es:

¢

A) 110° B) 100° a ‘\ C) 90° Jf» D) 80° 7 api Ba E) 60 or \




7) En el tridngulo ABC rectangulo en C, CD es altura. ,Cudal es la medida del Angulo x?

A) 100° B) 105° C) 115° D) 125° E) 135°

8) El A PQR de la figura, es rectangulo en P y ED es simetral del lado QR. Si Z QRP = 70°,

icual es la medida del 7 EDP?

A) 70° B) 50° C) 30° D) 20° E) 10°

DN

9) Sienel tridngulo DE, MN es mediana, entonces el angulo NMD mide A) 40° B) 100° e.

C) 120° fa D) 130° is a

E) 140° / SA / 40> ~ D E

10) ELA ABC es rectangulo en C. Si se traza la altura CD y la transversal de gravedad CE,

entonces el Z DCE mide

A) 10° 7 B) 20° ee C) 40" fe Vs a, D) 50° / _ E) no se puede determinar. A % ™




11) Enel A ABC, AC es perpendicular a BC , 4 BAC =2 ABC ~, ZACD = Z BCD. {Cuanto mide el Angulo CDB?

A) 95° B) 105° C) 115° D) 120° E) 125°

B

12) En la figura, el A MNP es isdsceles de base MP, NQ es bisectriz del “MNP a

MP=MR. SiZ MPN =4/ PNM, cuanto mide el 2 MSQ?

A) 70° gmc. B) 55° , C) 50° D) 40° E) 30°

13) Enel A ABC de la figura, CE transversal de Gravedad. La medida del dngulo x es

A) 15° B) 20°

C) 25° D) 30° E E) 35°

14) En el triangulo ABC se trazan las alturas CM y AN. Si AB es el doble de BN, entonces el

UZ x mide?

A) 60° B) 30° C) 45° D) 15° E) 22,5°

15) En el triangulo ABC escaleno, H es ortocentro. Si la | ZABC| mide 55°, entonces el

|Zx|= c

A) 15°

B) 25° 7

C) 35°

D) 55°

E) 70° A B




16) O es el circuncentro del A ABC. Si Z OAB = 20° y 2 COB = 80°. La medida del 2 x es

A) 10° B) 20°

C) 50° D) 80° E) Otro valor

17) Enel A ABC, AD y BD son bisectrices. Si | ZACB| = 70°, entonces |x| =?

A) 150° oA B) 140° C) 110° ON D) 100° ae ET E) 125° — =

18) ,Cudnto mide la mediana DE del triangulo ABC?

A) 6 ¢ a LN

C) 3 D F E D) 12

E) N.A. 18cm A B

19) ~Cuanto mide el dngulo x, si 1G es bisectriz del Z FGH? A) 45° B) 90° C) 35° D) 20° E) NA.

20) CE mediana. ;Cudnto mide el angulo CEB?

A) 28° B) 40° C) 68° D) 58° E) NA. _




21) Si CD es altura del A ABC, entonces el Z x =?

A) 20° B) 45° c co C) 70° D) 30° E) 35°

140°

22) Enel A MNT, MP = 8cm, QN =12cmy PQ es mediana. Entonces, MN — MT es:

A) 2cm

B) 4cm i

C) 6cm esi ee

D) 8cm —N E) 10 ga SS ) cm A s——

23) Enel A POR, Z PRQ = 80° y DE es mediana. {Cuanto mide 4 x?

A) 35° B) 45° C) 50° D) 55°

E) 60°

24) En el A ABC, AE y CD son bisectrices de los angulos CAB y ACB respectivamente.

Entonces, el 4ngulo x mide

A) 146° B) 158° C) 168° tow" — D) 68° — B > E) 36°

25) El A ABC, es rectaéngulo en C, CD L AB y AE es bisectriz. Si_Z AFD = 57°, entonces la

medida del “ ABC es

A) 24°

B) 26° /\~

C) 28° J | Ne D) 34° ce lea E) 57°




26) Sea el A ABC isésceles en C. E centro de gravedad, DE = 2 cm entonces la medida de

AE es: ,

A)2 cm D B)3 cm

C)4 cm

D)5 cm

E) No se puede calcular

27) En el triangulo ABC se tiene que Z ACB = 90°, N punto medio de AB, entonces 4 x =

A) 120° B) 105° co C) 145° / . D)100 / E) 130° a 0° 8

28) Enel triangulo isésceles ABC de base AB de la figura, [es el incentro. Si Z AIB = 100°,

jcudnto mide el Z ACB? A) Faltan datos para determinarlo

B) 20° C) 40° D) 50° E) 80°

29) El triangulo ABC es recténgulo en B. EF es simetral de BC y triangulo CEF es isdsceles.

entonces 7x+ Z y=? A) 70° B) 75°

C) 85° D) 90° E) 95°

30) En el tridngulo rectdngulo de la figura, D es punto medio de AB y a: fP=5:1.

{Cuanto mide 6 + ?

A) 180° c B) 165° C) 150° D) 135° <T ; ~ E) 120° A D B

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31) El A DEF de la figura es isdsceles de base DF. Res punto medio de DF y Z DFE=50°. {Cuanto mide el 4angulo REF?

A) 25° B) 30°

C) 40° D) 50° E) 80°

32) Triangulo ABC recto en A, D punto medio de BC, entonces 2 x =?

A) 15° ro

B) 30° mS C) 45° ee

D) 60° ae ee E) 75° .

33) En el tridngulo equilaétero ABC de la figura, E es punto medio de AB y BD es bisectriz

del angulo ABC. {Cudnto es el suplemento de 7 x + Z y? eC

A) 150° B) 120° 5 C) 90° D) 60° E) 30° A E B

34) En la figura, A ABC es isdésceles de base AB,CM es transversal de gravedad, DE es

mediana del A ABC. Si Z MCB = 25°, entonces a =?

A) 25°

M

B) 40° * 8 Cc) 45° D) 65° ob E E) 75°

Cc

35) En la figura, en el tridngulo ABC AB=BC , AD altura ~@ = 25°, entonces el Angulo 7

mide:

A) 35

B) 40

C) 45 D) 50

E) 60

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36) El tridngulo ABC es equilatero. H es el ortocentro. Entonces el Z x mide:

A) 45° n B) 60° . C) 80° D) 115° E) 120° A D B

37) Sea el tridngulo ABC equildtero, AD y EB alturas determinar @

A) 30° B) 60° C) 90° e ° D) 120° LY E) 150°

38) Los dngulos 1, 2 y 3 son congruentes en los trazos. CF, AG y BE son alturas_y bisectrices

cada una de ellas. Entonces, 7 x mide: Cc

A) 30° E G

B) 45°

C) DTN E) Falta informacién

39) En el A ABC, H es ortocentro. Si Z ABC = 55°, entonces Z x =?

A) 15° / 4) XE

B) 25° J *

C) 35 a D) 55° a < E) 70° 5

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40) AE, BF ~ CD son bisectrices de los dngulos interiores. Si ZABC = 60° A Z ACB =

72°, entonces el x mide:

a

A) 54° hws B) 60° fee C) 84° p D) 96° E) 132°

41) Triangulo ABC equilatero. DE mediana BF // AC ;CuAl (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

1) AE = EF Il) AE transversal de gravedad

III) A AFB es isosceles

A) Solo Ly II

B) Solo II y Il C) Solo III

D) Solo IT

E) Todas

42) En el triangulo de la figura D, E y F son puntos medios de sus respectivos lados. El

Angulo x mide:

A) @

B) 8B C) 5

D) atfB

E) £B+6

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