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Explicación del tema 10HG04003 Análisis de decisiones II

Tema 10. Estados absorbentes. Estados absorbentes.Un caso especial de las Cadenas de Markov se presenta cuando una vez que se llega a cierto estado, permanecerá el proceso en dicho estado para siempre. Tal es el caso de problemas con estados como cuentas incobrables, pacientes dados de alta de un tratamiento médico o proveedores dados de baja en un sistema de clasificación de proveedores, los cuales entrando en esa categoría, ya no pueden brincar a otras en estados subsecuentes a lo largo del tiempo.

Un estado se llama absorbente si . El estado i es un estado absorbente si se cumple quepara toda y , es decir que en el renglón de la matriz de transición, los estados absorbentes se representan con 1 en su diagonal principal y 0 en las demás posiciones del renglón, por lo que la probabilidad de permanecer en el mismo estado donde se encuentra en las siguientes etapas es 1, sin posibilidades de salir a ningún otro estado.Una Cadena de Markov es Absorbente si se cumplen las siguientes condiciones:

• Tiene por lo menos un estado Absorbente.• Es posible ir de cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es

necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario tener la posibilidad de alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente.

En una cadena absorbente en el largo plazo, todos los procesos serán absorbidos por alguno de los estados absorbentes, por lo que no se calculan las probabilidades en estado estable. En su lugar, nos interesa saber la manera en la que es absorbido el sistema.Análisis de las Cadenas de Markov Absorbentes.A partir del análisis de estas cadenas, es posible determinar los siguientes datos:

• El número esperado de pasos antes de que el proceso sea absorbido.• El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado dado no absorbente.• La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado.

Probabilidad de absorción:Si k es un estado absorbente y el proceso comienza en i, la probabilidad de llegar a k se llama probabilidad de absorción de k (fik ). Si se tienen 2 o más estados absorbentes, al paso del tiempo el proceso será absorbido por uno de éstos. Para saber cuál, hay que resolver el sistema de ecuaciones.

En el caso de las Cadenas Absorbentes de Markov, existe un método práctico que simplifica su análisis, reexpresando el problema en sub-matrices. El primer paso es acomodar la matriz de transición (de ser necesario), colocando los estados absorbentes de tal manera que en la parte superior derecha, la diagonal principal contenga “1” y a continuación se divide en 4 partes:

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23/08/2015http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/at8q3ozr5p/prof/hg/hg04003/anexos/explica10.htm

En donde:La matriz I, es una matriz identidad formada por los estados absorbentes, de dimensiones , donde es el número de estados absorbentes.La matriz 0, es una matriz nula, formada por ceros.La matriz R, es una matriz que representa la probabilidad de que los estados pasen a los estados absorbentes, después de un período.La matriz Q es una matriz que representa la probabilidad de que los estados permanezcan en los mismos estados después de un períodoEl siguiente paso será calcular la matriz Fundamental N, utilizando la siguiente fórmula:

En donde a la matriz identidad I se le resta la matriz Q, y a la matriz resultante se le encuentra el inverso.Por último, se multiplica la matriz fundamental N por la matriz R y se obtienen las probabilidades de absorción de cada uno de los estados para cada uno de los estados absorbentes del sistema.

Ejemplo:En una universidad se aplican exámenes de ubicación para evaluar el nivel de de matemáticas de los alumnos de nuevo ingreso. Este examen de ubicación permite al alumno empezar su plan de estudios sin llevar la materia de Matemáticas Básicas. Se permite tomar la prueba hasta en 3 ocasiones antes de tomar el curso. Los resultados de los exámenes se pueden clasificar en 4 categorías:Estado 1: Aprobar el examen y exentar el curso.Estado 2: Reprobar el examen por tercera ocasión y llevar el curso Matemáticas Básicas.Estado 3: Reprobar el examen por primera ocasión.Estado 4: Reprobar el examen por segunda ocasión.Se han determinado las siguientes probabilidades de transición:

Encuentra las probabilidades de aprobar el examen y exentar o llevar el curso de Matemáticas, dado que: a) Se reprobó 1 vez. b) Se reprobó 2 veces.Solución:En la matriz de transición podemos observar 2 estados absorbentes, el estado 1, dado que al aprobar el examen no se puede volver a presentar, y el estado 2 ya que se agotaron las 3 oportunidades de seguir presentando y se tiene que tomar obligatoriamente el curso.El siguiente paso es dividir la matriz de transición en 4 submatrices:



Donde:

Calculamos la matriz Fundamental N:

Donde I es una matriz identidad de las mismas dimensiones que la matriz Q. Sustituyendo los valores, nos queda:

Para sacar la inversa de la matriz, necesitamos calcular el determinante D y dividir cada uno de los términos con éste:

Multiplicamos N por la matriz R para obtener las probabilidades de cada estado para llegar a cada uno de los 2 estados absorbentes:

Interpretando el resultado, existe 97.1% de probabilidades de aprobar el curso y exentar la materia, dado que se reprobó el examen en la primera oportunidad, y 73.5% de probabilidades de aprobar si se reprobó en la segunda oportunidad.

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D.R. © Universidad TecMilenio. Imprimir



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