Academia de Ingeniería México - APORTACIONES …...Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 3 RESUMEN El documento ofrece un recuentro de las aportaciones que sobre investigación

Aportaciones de investigación al aprendizaje y enseñanza de la matemática en ingeniería.

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 1

APORTACIONES DE INVESTIGACIÓN

AL APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA

DE LA MATEMÁTICA EN INGENIERÍA

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

PATRICIA CAMARENA GALLARDO

DOCTORADO EN CIENCIAS EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

4 DE NOVIEMBRE DEL 2010

MÉXICO, D. F.



CONTENIDO

Resumen 3

Introducción 5

La problemática abordada 6

La Matemática en el Contexto de las Ciencias 9

Fase curricular 11

Fase docente 19

Fase epistemológica 22

Fase didáctica 24

Fase cognitiva 38

Conclusiones 39

Bibliografía 40

Breve Currículum Vitae 44



RESUMEN

El documento ofrece un recuentro de las aportaciones que sobre investigación ha

realizado la Doctora Patricia Camarena, en torno a atender la problemática del

aprendizaje y la enseñanza de la matemática en el nivel superior, específicamente en

el área de la ingeniería, para contribuir a formar cuadros profesionales de alta calidad,

con una matemática para su actividad laboral y profesional, así como una matemática

para la vida.

Para bordar la problemática del aprendizaje y enseñanza de la matemática en carreras

profesionales, en donde la matemática no es una meta por sí misma, es decir, en

donde no se van a forma matemáticos, se desarrollan investigaciones científicas en el

área educativa que dan origen a la construcción de la teoría educativa denominada:

Matemática en el Contexto de las Ciencias, la cual se describe en el documento.

La teoría contempla al proceso educativo como un sistema en el cual hacen presencia

los contenidos a enseñar, el estudiante y el profesor, así como las interacciones que se

presentan entre todos éstos. Toma en cuenta los contenidos matemáticos específicos

del área de la ingeniería de que se trate, diseñando una metodología para la

identificación de tales contenidos y dando por origen a la fase curricular de la teoría.

Asimismo, considera la vinculación de la matemática con los temas de la ingeniería

para abordar la fase didáctica y la fase epistemológica de la teoría, en esta última se

analiza la génesis de tales vinculaciones. La fase didáctica se lleva a cabo en el salón

de clase y las investigaciones que dan cuenta del aprendizaje del estudiante

constituyen la fase cognitiva. La teoría incluye la fase docente en donde las

investigaciones giran en torno al papel y formación que deben tener los docentes de

matemáticas en carreras de ingeniería.

Estas cinco fases son las que conforman a la teoría. Como teoría, en cada una de sus

fases se incluye una metodología, con fundamento teórico, acorde a los paradigmas en

los que se sustenta, donde se guían los pasos para el diseño curricular, se describe la

didáctica a seguir, se explica el funcionamiento cognitivo de los alumnos y se

proporcionan elementos epistemológicos acerca de los saberes matemáticos vinculados

a las actividades de los profesionistas, entre otros.

Los resultados más relevantes son: la metodología curricular Dipcing para el diseño de

programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería. El proceso



metodológico didáctico para la construcción de una matemática para la vida del

ingeniero; éste involucra la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto, los

cursos extracurriculares que desarrollan habilidades del pensamiento y un taller

integral que permite que el estudiante resuelva problemas reales de la industria.

Asimismo, la caracterización de los modelos matemáticos y su clasificación en la

ingeniería, donde se describe que la modelación matemática se concibe como un

proceso en donde el estudiante tiene que manipular variables y constantes a través de

los conceptos que las relacionan, para con ello poder llegar a formular el modelo

matemático que tendrá que pasar por un tamiz para ser validado de acuerdo al

planteamiento del problema. Además, en la modelación matemática se pone de

manifiesto la transferencia del conocimiento, para lo cual son necesarios los diferentes

enfoques que ofrece cada tema y concepto matemático, así como el conocimiento de la

disciplina del contexto, la transposición contextualizada y el manejo conceptual de la

matemática descontextualizada.

Palabras clave

Matemática en el Contexto de las Ciencias, Dipcing, Modelación matemática,

Matemáticas en Contexto, Didáctica, Epistemología, Especialidad en docencia.



INTRODUCCIÓN

En esta época la preparación de las comunidades de trabajadores es cada vez más

exigente. Hace cien años se reconocía como erudito a aquella persona que tenía

conocimientos a nivel bachillerato (los famosos bachilleres), en esta época no es

suficiente con tener una carrera profesional de nivel universitario, en muchos casos,

los posgrados, entre otros, son elementos que determinan la contratación o no de un

individuo.

La llamada globalización incide en las competencias laborales y profesionales de los

egresados, la cual exige de ingenieros con una preparación sólida e integral para que

puedan enfrentar todos los cambios científicos que se viven en las diferentes áreas del

conocimiento, así como cualquier problema que surja un su actividad profesional diaria

y estar al nivel profesional de cualquier país.

Para la formación sólida e integral del egresado no es suficiente que posea

conocimientos de física, matemáticas, biología, así como de las áreas de su carrera de

estudio, sino que pueda resolver problemas reales que requieren de la integración de

todos estos conocimientos, es decir, se requiere un buen nivel de habilidades para la

transferencia del conocimiento.

Una de las preguntas de investigación que se formulan es cómo desarrollar las

habilidades de transferencia del conocimiento para que las competencias laborales y

profesionales se vean favorecidas, cuando todos los objetivos de las carreras

universitarias expresan que se dará una formación integral al estudiante y las

asignaturas de las ciencias básicas, que son el fundamento de las ingenierías, están

aisladas de las demás materias.

Con estos elementos y la problemática que se genera con la enseñanza y el

aprendizaje de la matemática en carreras de ingeniería, es que surgen las

investigaciones científicas que se reportan en el presente documento, para identificar

posibles alternativas de solución. La parte más relevante es que las investigaciones

llevan a construir una teoría educativa denominada: La Matemática en el Contexto de

las Ciencias, la cual posee cinco fases que son abordadas en el presente escrito: fase

curricular desarrollada desde 1984, fase docente definida en 1990, fase epistemológica

abordada en 1988, fase didáctica iniciada desde 1987 y fase cognitiva estudiada desde

1992.



LA PROBLEMÁTICA ABORDADA

Para iniciar con esta sección, se hace mención al hecho de que, en general, existen

muchos factores que intervienen en la problemática de la enseñanza y aprendizaje de

la ingeniería, en particular se detectan graves problemas en las ciencias básicas que

apoyan a una carrera determinada de ingeniería, el caso crítico se localiza en las

asignaturas de matemáticas. Uno de los factores que inciden en la problemática de la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en escuelas de ingeniería, tiene que

ver con la aridez de las matemáticas en los cursos que se imparten en carreras de

ingeniería; es decir, fuera del contexto de la propia ingeniería. Lo cual posteriormente

repercute en la deficiente habilidad para modelar problemas de la ingeniería durante la

vida profesional del egresado, pues un punto clave es que debe integrar los

conocimientos que recibió de matemáticas con los de las asignaturas de ingeniería,

situación que desconoce, creándole un sentimiento de frustración.

Por otro lado, cuando un docente de matemáticas en carreras de ingeniería, sobre todo

cuando es matemático, inicia a dar clases, las preguntas naturales que surgen en el

salón de clases por parte de los estudiantes son: ¿por qué estudiar matemáticas?,

¿para qué nos van a servir?, ¿en dónde las vamos a usar?; las cuales se responden

con expresiones evasivas como: después las aplicarán en sus cursos de ingeniería, es

que deben saber matemáticas, etcétera. Además, estas interrogantes dan cuenta de la

problemática que viven los estudiantes con esta disciplina y del poco interés que tienen

por esta rama de las ciencias, ya que no ven de manera inmediata su aplicación, ni el

objeto de tener que cursarla; en buena medida, un elemento que afecta, es el hecho

de no tener un currículo adecuado a las necesidades de la ingeniería en donde se

imparten estos cursos de las ciencias básicas.

Los estudiantes no tienen en claro por qué estudiar matemáticas y esto demerita la

motivación hacia esta ciencia, por otro lado, en los objetivos de los estudios de

ingeniería se menciona que el futuro ingeniero deberá poseer una formación integral y

en ninguna parte de los currículos de ingeniería se especifica cómo lograrlo. Desde

esta perspectiva, la desarticulación que existe entre los cursos de la matemática y las

demás asignaturas que cursa el estudiante se convierte en un conflicto cotidiano para

los alumnos.



Más aún, es reconocido el hecho de que las ciencias básicas en carreras de ingeniería

son materias con un alto índice de reprobación. El caso particular de la matemática es

crítico, ya que es la asignatura con mayor índice de reprobación, problema que no es

privativo de ninguna institución educativa en particular, ni del país, éste es un

problema mundial. Pero esto es solamente un síntoma, si el problema fuera la

reprobación, todos los decentes se ponen de acuerdo en poner calificaciones

aprobatorias y el problema se acaba. El problema real es que el estudiante no logra los

aprendizajes deseados que lo lleven a trabajar la ingeniería de forma científica, tiene

que pasar mucho tiempo para que pueda lograrlo. En la verdadera problemática

educativa intervienen varios factores, que son de tipo curricular, que inciden en el

aprendizaje y en la enseñanza, inherentes a la formación de los docentes, inferidos al

propio tema de estudio, por causas de la infraestructura cognoscitiva de los alumnos,

debido a factores de tipo emocional, social, económicos, etc.

Para tratar de abordar la problemática planteada, se ha reflexionado acerca de la

función de la matemática en carreras de ingeniería, construyéndose el paradigma

educativo que expresa que: “La matemática en escuelas de ingeniería, más

precisamente en escuelas en donde la matemática no es una meta por sí misma, es

una herramienta de apoyo a la ingeniería en cuestión, sin olvidar el carácter formativo

que ésta ofrece”.

Epistemología del contexto

Se sabe que la matemática que se requiere en escuelas de ingeniería, generalmente ha

nacido dentro del contexto del área del conocimiento en donde se le necesita. Al

transcurrir el tiempo, los textos presentan a esa matemática descontextualizada de su

origen, como un conocimiento acabado, el cual posee formalidad matemática y una

estructura que lo hace demasiado abstracto para los estudiantes.

A principios del siglo antepasado el conocimiento se presentaba a los estudiantes

integrado, ya que las áreas de estudio eran de tipo interdisciplinario, al avanzar el

conocimiento en cada área se comienzan a separar entre sí, y a poseer sus propias

sustentaciones teóricas. El caso de las matemáticas que llevaba ventaja en este

sentido, comienza a aparecer, a fines del siglo XIX, en libros con la llamada formalidad

matemática, en donde, obviamente, no se presentaban aplicaciones de las

matemáticas en vez de éstas se ofrecían los marcos teóricos de la reina de las ciencias,

como muchos la han llamado, situación que prevalece hasta los setentas del siglo XX,



época en que se comienzan a encontrar uno que otro texto de matemáticas para

ingenieros que considera aplicaciones de matemáticas a la ingeniería.

Por otro lado, se sabe que cualquier ciencia para estar fundamentada científicamente

recurre a la descripción matemática o matematización de la misma; dicho de otra

forma, la matemática es básica para cualquier ciencia que se quiera fundamentar

teóricamente. La ingeniería como ciencia científica requiere de la matemática para su

desarrollo y descripción. De hecho, la matemática en ingeniería:

La caracteriza como ciencias científica.

Permite pronosticar comportamientos.

Maneja de mejor forma el lenguaje de la ingeniería.

Ayuda a optimizar diseños y recursos.

Favorece el minimizar errores.

Permite realizar cálculos teóricos en vez de cálculos prácticos y con ello

ahorrar tiempo y recursos.

Otorga mayor precisión en el análisis de un problema.

Maneja un orden lógico.

Desarrolla un espíritu científico.

Favorece el ser analítico y crítico.

Es una disciplina mental que favorece el desarrollo de la ingeniería y de la

vida profesional.

Para abordar la problemática descrita, la que suscribe ha desarrollado una teoría

educativa denominada: La Matemáticas en el Contexto de las Ciencias. La cual aborda

la problemática del aprendizaje y enseñanza de la matemática en carreras de

ingeniería de forma integral, más precisamente, en carreras profesionales en donde la

matemática no es una meta por sí misma.



LA MATEMÁTICA EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS

Como ha sido mencionado, en el presente trabajo se muestran los resultados de varias

investigaciones educativas relacionadas con el proceso del aprendizaje y la enseñanza

de la matemática en áreas de ingeniería. Esta serie de investigaciones convergen en la

construcción de la teoría educativa denominada: La matemática en el Contexto de las

Ciencias, la cual nace en el nivel universitario y se está llevando hacia los niveles

educativos anteriores: bachillerato y secundaria.

La teoría que aquí se resume se ha desarrollado a lo largo de más de 25 años en el

Instituto Politécnico Nacional de México. Se inició con investigaciones sobre el currículo

tratando de abordar la problemática del por qué de los cursos de matemáticas en las

áreas de ingeniería y tratando de buscar respuestas a la problemática que todo

docente de matemáticas vive con los estudiantes, quienes parece que odian a la

matemática, en donde se repite la situación de que en apariencia nunca han visto los

conocimientos de sus cursos anteriores que les exige el profesor.

La Matemática en Contexto de las Ciencias es una teoría que nace desde 1982, la cual

reflexiona acerca de la vinculación que debe existir entre la matemática y las ciencias

que la requieren, entre la matemática y las competencias laborales y profesionales, así

como la vinculación con actividades de la vida cotidiana, porque se busca una

matemática para la vida. La teoría se fundamenta en los siguientes paradigmas:

La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa.

La matemática tiene una función específica en el nivel universitario.

Los conocimientos nacen integrados.

El supuesto filosófico educativo de esta teoría es que el estudiante esté capacitado

para hacer la transferencia del conocimiento de la matemática a las áreas que la

requieren y con ello las competencias profesionales y laborales se vean favorecidas,

además se quiere un matemática para la vida.

La teoría contempla a la formación integral del estudiante como un sistema que

involucra cinco fases:



La Curricular, desarrollada desde 1984.

La Didáctica, iniciada desde 1987.

La epistemológica, abordada en 1988.

La docente, definida en 1990.

La cognitiva, estudiada desde 1992.

Es claro que en el salón de clases están presentes los contenidos de cada una de las

cinco fases y éstas interactúan entre sí en un ambiente social, económico y político; es

decir, los cinco elementos no están aislados unos de los otros y tampoco son ajenos a

las condiciones sociológicas de los actores del proceso educativo, para una exposición

con formalidad de la teoría se hace necesario fragmentarla en las cinco fases, véase la

figura 1. En las siguientes secciones se exponen los elementos más relevantes de cada

fase.

COGNITIVA

DIDÁCTICA

CURRICULAR

EPISTEMOLÓGICA DOCENTE

Figura 1. Una terna dorada en educación.

ALUMNO

PROFESOR CONTENIDO



FASE CURRICULAR

La fase curricular posee una metodología denominada DIPCING para el diseño de

programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería, desarrollada en el

Instituto Politécnico Nacional de México desde 1984.

La metodología se fundamenta en el siguiente paradigma educativo: Con los cursos de

matemáticas el estudiante poseerá los elementos y herramientas que utilizará en las

materias específicas de su carrera, es decir, las asignaturas de matemáticas no son

una meta por sí mismas; sin dejar a un lado el hecho de que la matemática debe ser

"formativa" para el alumno.

Asimismo, la premisa alrededor de la cual gira la metodología es que: El currículo de

matemáticas debe ser objetivo, es decir, debe ser un currículo fundado sobre bases

objetivas.

Para poder cumplir con la premisa dentro del marco del paradigma educativo

planteado, se propone una estrategia de investigación dada en tres etapas: la central,

la precedente y la consecuente, ver cuadro 1.

ETAPAS CONTENIDO

CENTRAL

Hacer un análisis de los contenidos matemáticos, tanto explícitos como implícitos, en los cursos específicos de la ingeniería.

PRECEDENTE

Detectar el nivel de conocimientos matemáticos que tienen los alumnos a su ingreso a la carrera.

CONSECUENTE

Efectuar una encuesta a los ingenieros en ejercicio, sobre el uso que tienen de la matemática en su labor

profesional.

Cuadro 1. Etapas de la metodología DIPCING.

Cabe hacer mención que esta metodología se ha generalizado a las ciencias básicas1

de física y química en carreras de ingeniería, donde éstas son consideradas como el

cimiento de la ingeniería.

1 Para mayor información se puede recurrir a la referencia bibliográfica: Patricia Camarena G. “Metodología curricular para las ciencias básicas en ingeniería”. Revista: Innovación Educativa, Vol. 2, Núm. 10, septiembre - octubre (primera parte) y Núm. 11, noviembre - diciembre (segunda parte). México, 2002.



Implementación de Dipcing

Se ha aplicado la metodología Dipcing a carreras del área de ingeniería electrónica y

ramas afines, de las tres instituciones educativas de México de mayor prestigio en

ingeniería: Instituto Politécnico Nacional, Universidad Nacional Autónoma de México y

Universidad Autónoma de México.

A través de la aplicación de Dipcing se identificaron varios constructos teóricos que son

presentados a continuación.

De las tres etapas de la metodología Dipcing, la central se apoya en el análisis de

textos de tres de los cinco bloques de conocimientos de las ingenierías: las ciencias

básicas, ciencias básicas de la ingeniería y ciencias de aplicación de la ingeniería (o

especialidad de la ingeniería), clasificación que presenta la Asociación Nacional de

Universidades e Instituciones de Educación Superior de México (ANUIES) para carreras

del área de ingeniería; los otros dos bloques corresponden a ciencias sociales y

administrativas, por lo que no se toman en cuenta para Dipcing.

El análisis de textos se lleva a cabo teniendo en mente la búsqueda de los temas y

conceptos matemáticos que son requeridos por los tres bloques de la ingeniería que se

han descrito; incluyéndose desde luego, el enfoque y profundidad de cada uno de los

temas y conceptos matemáticos, la notación con que se les describe y sus

aplicaciones.

Con la actividad mencionada, se establece la vinculación curricular entre las

asignaturas de matemáticas con las ciencias básicas y las ciencias básicas de la

carrera, así como entre matemáticas y las especialidades de la carrera,

constituyéndose el primer constructo teórico.

De la etapa central se ha detectado que la matemática en una proporción de entre el

setenta y noventa porciento2 apoya a los cursos de las ciencias básicas y ciencias

básicas de la ingeniería, siendo el restante treinta a diez porciento de la matemática la

que apoya a las ciencias de aplicación o especialización de la ingeniería. Este hecho

determina el segundo constructo teórico.

Dentro de los cursos de las ciencias básicas de la ingeniería se tiene otro constructo

teórico, el tercero, el cual tiene que ver con el tipo de características que se le

demandan a la matemática. Resulta que los cursos de las ciencias básicas de la

ingeniería están constituidos por dos enfoques, el teórico y el de aplicación. De esta

2 Este porcentaje depende de la ingeniería en estudio.



forma se cuenta con la matemática que apoya a las partes teóricas de estos cursos y

con la matemática que se necesita en la aplicación de estas disciplinas. La matemática

que apoya a la aplicación es una matemática en la que se requieren desarrollar

habilidades en el estudiante para su manejo y manipulación, mientras que en la otra

parte no es necesario el desarrollo de estas habilidades, mas no se está diciendo que

no se desarrollen. En la categoría de aplicación también caen las ciencias de aplicación

de la ingeniería que corresponden al tercer bloque.

Una vez determinados cuáles son los contenidos matemáticos que se necesitan en la

ingeniería, se pasa a la etapa precedente, es decir, se determinan cuáles son los

prerrequisitos necesarios de matemáticas para los contenidos encontrados. Dicho de

otra forma, se establece la vinculación que debe existir entre los niveles educativos

superior y medio superior, obteniéndose el cuarto constructo teórico.

Con el final de la etapa precedente se pasa a la etapa consecuente, para la cual se

debe hacer una encuesta a los ingenieros en ejercicio, que estén realmente fungiendo

como tales. Los resultados obtenidos de esta investigación ofrecen para el currículo

una mejor jerarquización de la importancia que se les debe dar a los temas de la

matemática. Con esta etapa se establece la vinculación entre la matemática de la

ingeniería y la industria, siendo el quinto constructo teórico.

Con el análisis de la etapa consecuente se determinan los contenidos matemáticos que

no están relacionados con ninguna asignatura de la ingeniería y que son usados por el

ingeniero en funciones de su profesión, lo cual ofrece contenidos matemáticos que

deberán ser considerados en los cursos de posgrado, estableciéndose el sexto

constructo teórico que habla de la vinculación entre el nivel de licenciatura y posgrado.

Otro constructo teórico relevante, el cual corresponde al séptimo de la lista, se

descubre en esta etapa: la diferencia entre la matemática escolar y la matemática de

aplicación en el campo laboral, fenómeno que se ha denominado transposición

contextualizada. De hecho, un contenido matemático a enseñar que está destinado a

utilizarse en la ingeniería sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones

adaptativas que van a hacerlo apto para las aplicaciones en esa ingeniería, al cual se le

llama: saber3 de aplicación. Así, el saber didáctico se extrae del dominio escolar para

insertarse en el ámbito de la ingeniería, convirtiéndose en saber de aplicación. Al

conjunto de las transformaciones que sufre un saber para pasar del saber a enseñar4 al

3 “Saber” es la forma de denotar a los contenidos matemáticos o de cualquier otra ciencia, según la corriente educativa francesa definida por Bachelard y Brousseau. 4 El cual se localiza en el ámbito escolar.



saber de aplicación5 se le denomina en la teoría de la Matemática en el Contexto de las

Ciencias: transposición contextualizada. Es interesante comentar que así como existe

la transposición didáctica6, la cual modifica el saber científico al saber a enseñar,

también existe la transposición contextualizada7, la cual modifica este saber a enseñar

a un saber de aplicación; es decir, el saber en el ámbito escolar es uno y otro cuando

está en el contexto de la ingeniería en donde se le utilizará, siendo éste el séptimo

constructo teórico.

Hasta este momento se tienen solamente los temas y conceptos matemáticos que se

van a usar en los cursos de ingeniería, a esto se le deberá agregar el contenido

matemático necesario para formar la estructura lógica del conocimiento, para que sea

sensata la impartición del tema, constituyéndose el octavo constructo teórico. Este

constructo es muy importante porque será el que permita hacer tan extensos o cortos

(con las limitaciones que imprime la etapa central de la metodología) a los programas

de estudio. Por otro lado, esta diferencia entre los contenidos matemáticos de la

ingeniería y los contenidos matemáticos que hay que agregar para formar la estructura

lógica del conocimiento, es básica para la reestructuración de los programas de

estudio, ya que los contenidos matemáticos de la ingeniería se podrán modificar a

menos que se cambien los cursos propios de la ingeniería, mientras que los contenidos

matemáticos de la estructura lógica del conocimiento se pueden cambiar según los

acuerdos de la comunidad de los profesores de matemáticas, que estará en función de

lo que pretende la institución en la formación de sus egresados.

Cabe mencionar que de todo lo anterior se desprenden el número de asignaturas a

impartirse en esta área de la matemática. La ubicación de estos cursos y la vinculación

de antecedentes y consecuentes con las otras asignaturas del mapa curricular de la

ingeniería de que se trate, siendo el noveno constructo teórico.

Es importante señalar que la metodología Dipcing otorga un carácter integral, ya que

toma en cuenta la vinculación interna y externa de la carrera de ingeniería, dentro del

marco de la matemática. De hecho, la vinculación interna queda establecida entre la

matemática y las ciencias básicas, las ciencias básicas de la ingeniería y las ciencias de

aplicación de la ingeniería, originada de la etapa central. Mientras que la vinculación

externa se establece entre el nivel medio superior y las licenciaturas en ingeniería, lo

cual se genera de la etapa precedente de la metodología, así como entre el nivel

5 En el ámbito de la ingeniería se encuentra este saber. 6 Cuya intencionalidad es la de enseñanza. 7 Cuya intencionalidad es de aplicación en la ingeniería.



superior y el de posgrado y, la escuela con la industria, determinada por la etapa

consecuente.

Se han descrito nueve constructos teóricos los cuales se pueden clasificar en

intrínsecos y extrínsecos a la matemática.

Los constructos teóricos intrínsecos son los que son internos o inherentes a la

matemática. En esta categoría cae el primer constructo que establece como está

relacionada la matemática con cada bloque de la ingeniería (las ciencias básicas, las

ciencias básicas de la ingeniería y las ciencias de aplicación de la ingeniería) a través

de conocer los contenidos matemáticos que las otras ciencias necesitan, el enfoque

que requieren de la matemática, la notación que la identifica en las demás ciencias y

las aplicaciones que la usan.

También el segundo constructo sobre la ponderación de la matemática en cada uno de

estos bloques es de tipo intrínseco; expresa que la matemática apoya principalmente a

las ciencias básicas de la ingeniería.

La clasificación de la matemática en la que requiere del desarrollo de habilidades y la

que no, es el tercer constructo teórico y es de tipo intrínseco.

La transposición contextualizada, séptimo constructo teórico, así como los contenidos

matemáticos de la ingeniería y los contenidos matemáticos de la estructura lógica del

conocimiento, octavo constructo teórico, también forman parte de la categoría de los

constructos teóricos intrínsecos.

VINCULACIÓN CURRICULAR INTERNA

CIENCIAS BÁSICAS CIENCIAS BÁSICAS DE ING. CIENCIAS BÁSICAS ESPECIALIDADES DE ING.

VINCULACIÓN CURRICULAR EXTERNA

NIVEL MEDIO SUPERIOR NIVEL SUPERIOR NIVEL SUPERIOR NIVEL POSGRADO

ESCUELA INDUSTRIA

Cuadro 2. Vinculación curricular interna y externa de la matemática en ingeniería.

Los constructos teóricos extrínsecos son los constructos que definen la vinculación

externa que se muestra en el cuadro 2. Es decir, la relación entre el nivel medio



superior y el nivel superior, así como la relación entre los niveles educativos superior y

de posgrado, también está presente el que establece la vinculación entre la escuela y

la industria. En esta categoría también se incluye el constructo número nueve que

establece la ubicación de las asignaturas de matemáticas en el mapa curricular.

Cabe hacer mención que, en el caso de Instituto Politécnico Nacional, la participación

del noventa y ocho porciento de los profesores de la Academia de Matemáticas de la

carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica del IPN, dio origen a que se

sensibilizaran los docentes respecto a la función de la matemática en ingeniería, de tal

forma que en el salón de clases cada profesor de matemáticas expresaba a sus

alumnos en dónde aplicarían los conocimientos de matemáticas, o les ponían ejemplos

de ello, o les mencionaban que en tal asignatura de la ingeniería emplearían los temas

matemáticos que el profesor les impartía. Todas estas acciones dieron lugar a que los

estudiantes presionaran a los profesores de los cursos propios de la ingeniería,

exigiendo que usaran la matemática como se los habían mencionado sus maestros de

matemáticas, lo que provocó una gran preocupación a los docentes de la ingeniería en

la carrera mencionada, de tal forma que al paso de seis años se acercaron los

profesores de ingeniería a los docentes de la Academia de Matemáticas para solicitar

que se les actualizara en los conocimientos matemáticos. Se elaboraron dos

diplomados de matemáticas para la ingeniería; uno sobre matemáticas para las

ciencias básicas y ciencias básicas de la ingeniería en comunicaciones y electrónica y el

otro para profesores de las especialidades de la ingeniería, en este caso: electrónica,

acústica, comunicaciones, control y computación.

A manera de conclusión en la aplicación de la metodología Dipcing, se puede decir que

los constructos teóricos de la categoría intrínseca a la matemática son los que apoyan

a la estrategia didáctica de la matemática en contexto, la cual surge de manera natural

del desarrollo curricular que se realiza con Dipcing.

Por otro lado, el saber en dónde y cómo se aplicará la matemática que se le imparte a

los estudiantes, el tener conocimientos de que la matemática es más importante y

necesaria en los primeros semestres o tronco común (que es en donde se cursan las

asignaturas de las ciencias básicas de la ingeniería) que en las últimas asignaturas

(que es donde cursan las materias de las ciencias de aplicación de la ingeniería), así

como el tener en claro en qué temas y conceptos matemáticos se deben desarrollar



habilidades matemáticas en los alumnos, lleva a instalar una concepción específica en

los docentes de matemáticas respecto a la enseñanza de esta ciencia.

Asimismo, el conocer la transposición contextualizada de temas y conceptos de

matemáticas modula y cuantifica la rigidez, rigurosidad y formalidad de la matemática

en carreras profesionales en donde ésta no es una meta por sí misma.

De forma semejante, el tener en claro la diferencia entre los contenidos matemáticos

de la ingeniería y los contenidos matemáticos para la estructura lógica del

conocimiento, permite ver la importancia y profundidad que se les deba dar a los

temas y conceptos matemáticos en los cursos de matemáticas en carreras de

ingeniería; este constructo también incide en el carácter formativo que ofrece la

matemática.

Además, el tener conocimiento de estos constructos teóricos, mínimamente, hace

reflexionar al profesor respecto a su práctica docente, según sus aspiraciones e

intereses los irá incorporando a su quehacer docente, convergiendo a la Matemática en

el Contexto de las Ciencias.

Con la metodología Dipcing se genera fácilmente la contextualización de la matemática

en la ingeniería y se obtienen los temas sobre los cuales se les debe actualizar a los

profesores.

La metodología Dipcing favorece la formación integral de los futuros egresados, con lo

cual se eleva la calidad profesional de los mismos. Al presentar a las matemáticas

contextualizadas se favorece la motivación y se construyen conocimientos

significativos en el alumno, lo cual incide en aprendizajes duraderos, no volátiles, en la

nomenclatura de Ausubel.

Por otro lado, un programa de estudios por muy bien diseñado que se encuentre, como

los que se diseñan con la metodología mostrada, no podrán llegar muy lejos si no

tienen una buena implementación que garantice su aplicación como lo enmarca la

metodología. Es decir, los programas de estudio no son solamente los contenidos que

deben impartirse, sino que se debe saber cómo implementarlos, lo cual no queda

explícito a través de los formatos de los programas de estudio, debe haber una serie

de elementos que los apoyen, los cuales versan sobre aspectos didácticos y cognitivos,

es decir, aspectos del proceso de la enseñanza y el aprendizaje, los cuales, entre

otros, incluyen la elaboración de materiales de apoyo didáctico a los cursos; también

otro elemento de peso es la actualización de los docentes.



Cabe mencionar que la metodología Dipcing ha sido aplicada a la carrera de ingeniería

en Comunicaciones y Electrónica de IPN de forma total y parcialmente en casi todas las

carreras de ingeniería del Instituto Politécnico Nacional, mostrando resultados

favorecedores; al igual que en otras instituciones educativas de diversos estados de la

República Mexicana y otros países de Latinoamérica.



FASE DOCENTE

El análisis de aplicar la metodología Dipcing lleva a la reflexión acerca de la formación

de los docentes de matemáticas en las áreas de la ingeniería, como ha sido

mencionado. De hecho, la planta docente de profesores de matemáticas en carreras de

ingeniería está formada por profesionistas que son matemáticos, físicos e ingenieros,

con una fuerte proporción de ingenieros egresados de la misma carrera en donde

imparten clases. Esta situación lleva a que los docentes de matemáticas que son

matemáticos y físicos tengan que incursionar en el área de la ingeniería en donde

laboran y poder establecer la vinculación entre la matemática y los cursos de la

ingeniería que cursan sus estudiantes, todo ello para contribuir a la formación integral

del alumno. Mientras que los profesores cuya formación no es de matemáticos, como

los físicos e ingenieros deberán recibir una formación sólida en matemáticas.

Los docentes para impartir sus cursos deben contar con una formación donde la

matemática esté vinculada con la ingeniería, para reforzar este hecho, se exponen las

siguientes razones. El divorcio que existe entre las matemáticas y el uso en el área que

sustenta, es una de las grandes causas del bajo nivel académico del egresado, ya que

la realidad del ingeniero en ejercicio se presenta como el enlace entre la matemática y

la ingeniería en cuestión.

En general, el matemático resuelve problemas de la matemática que servirán a la

ingeniería, sin ser consciente de ello. El ingeniero usa matemáticas que se presentan

ante él como modelos ya elaborados, y el paso que se tiene que dar entre la

matemática y la ingeniería, prácticamente se debe a unos pocos científicos en

matemáticas o a ingenieros con una fuerte formación en matemáticas, los cuales han

desarrollado la ingeniería. Para tener innovaciones reales en ingeniería, se requiere del

eslabón perdido que es la vinculación real entre la ingeniería y la matemática. Por lo

anterior, es necesario abrir una rama más de las ciencias, la cual entrelaza las dos

áreas del conocimiento: Matemáticas e Ingeniería, teniéndose de esta forma gente

especializada en este eslabón perdido que en la actualidad está en tierra de nadie. Se

observa que con todo esto se está diciendo que para que un ingeniero pueda

realmente hacer investigación a la vanguardia, es necesario que tenga una fuerte

formación en matemáticas, pero matemáticas en el contexto de la ingeniería, o que

cuente con la participación de matemáticos que conozcan de ingeniería para realmente



formar equipos interdisciplinarios de trabajo, en donde para empezar es importante

usar el mismo lenguaje técnico.

De lo anterior se concluye que la Ingeniería Matemática, así llamada a la Matemática

vinculada a la Ingeniería, es la rama de las Matemáticas, que se interesa por conocer,

matematizar, ayudar a innovar y resolver problemas de la ingeniería, utilizando

óptimamente el herramental matemático disponible o creándolo para tales fines.

Como se sabe la ingeniería es una disciplina muy amplia, por lo que para que la

Ingeniería Matemática sea eficiente, es necesario que esté enfocada a una ingeniería

en específico, en este caso, se está hablando de la Ingeniería Electrónica y sus ramas

afines. Por otro lado, es importante que la Ingeniería Matemática se aboque a una

sola ingeniería, porque el enfoque de la matemática que se debe de dar en ingeniería,

cambia según el área de que se trate.

Desde 1990, en el Instituto Politécnico Nacional de México, a través de una

investigación se diseñó una Especialidad en docencia de la ingeniería matemática en

electrónica, en donde las asignaturas de matemáticas se muestran vinculadas con

otras disciplinas propias de la electrónica y sus ramas afines. Como se muestra en el

siguiente cuadro 3.

MATEMÁTICAS EN EL CONTEXTO DE

LA INGENIERÍA ELECTRÓNICA

MATEMÁTICAS INGENIERÍA

ELECTRÓNICA

Introducción al Análisis

Matemático de una variable real

Electrónica Básica

Cálculo Vectorial Electromagnetismo

Álgebra Lineal Control Electrónico

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Circuitos Eléctricos

Métodos numéricos Electrónica

Ecuaciones Diferenciales parciales y variable compleja

Física Electrónica

Análisis de Fourier Análisis de Señales Electromagnéticas

Probabilidad Análisis de Señales Aleatorias

Procesos Estocásticos Telefonía

Investigación de operaciones Electrónica

Cuadro 3. Áreas vinculadas de la Especialidad en Docencia de

la Ingeniería Matemática en Electrónica.

De hecho, la especialidad está formada por cuatro categorías de aprendizaje:

Conocimiento de los contenidos a enseñar (cuadro 3), Conocimiento sobre los estudios

de ingeniería en donde laboran los docentes, Conocimiento sobre el uso de tecnología



electrónica para apoyar el aprendizaje del estudiante y Conocimiento acerca del

proceso de enseñanza y de aprendizaje de la matemática. Dentro de la última

categoría se incluyen cursos sobre conocimiento científico y técnico, historia y

fundamentos de la matemática y la electrónica, procesos de aprendizaje, procesos de

enseñanza, la evaluación del aprendizaje, diseño de cursos en línea, entre otros.

El objetivo general de la Especialidad, es preparar gente altamente capacitada en

docencia e investigación y desarrollo de la matemática vinculada y aplicada a la

ingeniería electrónica y sus ramas afines.

A manera de sustento se tiene que la primera categoría requiere que el docente de

matemáticas sea experto en esta ciencia, mientras que la segunda categoría implica

que el profesor de matemáticas en carreras de ingeniería debe tener conocimiento de

la ingeniería en cuestión. Luego, el perfil del profesor de matemáticas en ingeniería es

un profesionista que si es ingeniero se debe preparar más en la disciplina de la

matemática y si su formación es de matemático debe incursionar en las áreas de la

ingeniería en donde trabaja, en ambos casos, deben tener conocimientos del proceso

de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

Es importante mostrar la necesidad de incorporar estas cuatro categorías en los

programas de posgrado para la formación de docentes, el hecho es que ningún

programa de posgrado del nivel superior para la formación de docentes del nivel

superior incluye estas categorías. También es necesario resaltar la diferencia entre un

programa tradicional de actualización y formación docente con respecto a la

Especialidad diseñada, el punto clave es el establecimiento de la vinculación de la

matemática con las áreas de la ingeniería de que se trate y el reconocimiento e

impulso de las habilidades del pensamiento que desarrolla la matemática en el

pensamiento del ingeniero, lo cual es tratado en el tema sobre didáctica de la

matemática, inserto en los cursos acerca del proceso de enseñanza y de aprendizaje.



FASE EPISTEMOLÓGICA

En la fase epistemológica se han llevado a cabo investigaciones que han verificado

como gran parte de la matemática que se incluye en los cursos de áreas de ingeniería

nace en el contexto de problemas específicos de otras áreas del conocimiento y a

través del tiempo pierden su contexto para ofrecer una matemática "pura" que es

llevada a las aulas de clases sin que tenga sentido para los estudiantes que no van a

ser matemáticos.

Con la Matemática en el Contexto de las Ciencias se muestra que así como los

contextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemática, ésta, la

matemática, le da sentido y significado a los temas y conceptos de las ciencias del

contexto, reconceptualizándolos.

Hay situaciones en donde el ingeniero emplea procesos o métodos sin conocer su

origen, la fase epistemológica de la Matemática en el Contexto de las Ciencias pone a

la luz estas génesis, como el caso de las impedancias complejas en circuitos eléctricos.

También, a través de esta fase epistemológica se ha determinado el constructo teórico,

mencionado en la sección de la fase curricular, de la transposición contextualizada (Ver

la figura 2), en donde la matemática que han aprendido los estudiantes en la escuela

sufre transformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias, como

el caso de la delta de Dirac para modelar un señal eléctrica impulsiva.

Conocimiento

erudito

Transposición

Conocimiento a ser enseñado

Transposición

Conocimiento

a ser

aplicado

Transposición Didáctica Transposición contextualizada (Chevallard) (Camarena)

Figura 2. Transposiciones

Como parte de esta fase se cuenta con una serie de situaciones de matemática

contextualizada para ser usadas en clase, como los cursos de Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias en el contexto de los Circuitos Eléctricos (Camarena, 1987), Cálculo

Vectorial en el contexto de la Teoría Electromagnética (Ongay, 1994), el Análisis de

Fourier en el contexto del Análisis de Señales Electromagnéticas (Camarena, 1993), las



Ecuaciones Diferenciales Parciales en el contexto de la cuerda vibrante (Camarena,

2004), la Transformada de Laplace en el contexto de los Circuitos Eléctricos (Suárez y

Camarena, 2000), la Serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa

(Muro, 2002), etc.

Los obstáculos epistemológicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se

identifican en esta fase para ser usados en la planeación didáctica de los cursos, a

través del diseño de actividades de aprendizaje que ayuden a enfrentar a éstos.



FASE DIDÁCTICA

La fase didáctica emerge en la teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias

después de haber aplicado la metodología Dipcing, pues es a partir de ésta que se

desprenden de manera natural lineamientos didácticos a seguir para la enseñanza de

la matemática en carreras de ingeniería, entre los que se encuentra la

contextualización.

La matemática en el contexto de las ciencias en su fase didáctica posee un proceso

metodológico didáctico que se encarga de que el alumno mire una matemática

vinculada con sus intereses, sin aplicaciones artificiales, con la notación que requerirá

en su carrera de estudio, no árida, de tal forma que logre conocimientos estructurados

y no fraccionados, que construya su propio conocimiento con amarres firmes y

duraderos y no volátiles y se encuentre motivado para que su desempeño académico

se incremente, de tal forma que se le desarrollen las habilidades para la transferencia

del conocimiento. El proceso metodológico incluye tres etapas:

Establecer la vinculación entre disciplinas a través de eventos de las áreas

del conocimiento de su carrera, con los que se vincula la matemática, dentro del

aula de clases, como estrategia didáctica.

Instrumentar cursos extracurriculares en donde se lleven a cabo actividades

para el desarrollo de habilidades del pensamiento, habilidades metacognitivas y

habilidades para aplicar heurísticas al resolver problemas, así como actividades para

bloquear creencias negativas.

Instrumentar un taller integral e interdisciplinario en los últimos semestres

del alumno, en donde se resuelvan problemas reales de la industria.

Primera etapa

En la primera etapa se presenta la estrategia didáctica denominada la Matemáticas en

Contexto, en donde se le presenta al estudiante una matemática contextualizada en



las áreas de estudio del conocimiento de su futura profesión en curso, en actividades

de la vida cotidiana y en actividades profesionales y laborales, todo ello a través de

eventos contextualizados, los cuales pueden ser problemas o proyectos.

Algunas veces no se distingue claramente entre problemas y ejercicios, por lo que es

menester mencionar la diferencia que existe entre éstos. Los problemas se definen

como aquella situación que crea conflicto en el individuo, de tal forma que un problema

planteado puede ser problema para algunas personas pero para otras no lo será. Un

ejercicio es aquella situación en donde la persona puede solucionarlo con sólo repetir

un proceso conocido o que de manera inmediata sabe cómo abordarlo, es decir, no le

causa conflicto.

En general el hablar de la Matemática en Contexto es desarrollar la teoría matemática

a las necesidades y ritmos que dictan los cursos de la ingeniería. La Matemática en

Contexto contempla 9 etapas que se desarrollan en el ambiente de aprendizaje en

equipos de tres estudiantes: Líder académico, líder emocional, líder de trabajo.

1.- Identificar los eventos contextualizados.

2.- Plantear el evento contextualizado.

3.- Determinar las variables y las constantes del evento.

4.- Incluir los temas y conceptos matemáticos necesarios para el desarrollo del modelo

matemático y solución del evento.

5.- Determinar el modelo matemático.

6.- Dar la solución matemática del evento.

7.- Determinar la solución requerida por el evento.

8.- Interpretar la solución en términos del evento y disciplinas del contexto.

9.- Presentar una matemática descontextualizada en el ambiente de aprendizaje.

De las etapas mencionadas se tiene dos observaciones, una referida a la planeación

didáctica y otra a la modelación matemática.

Observación 1

Es importante hacer notar que los puntos 4 y 9 requieren de una planeación didáctica

específica, en donde el docente diseñe actividades didácticas guiadas por los siguientes

elementos:



Tránsito entre los diferentes registros de representación. En la matemática se

cuenta con los registros numérico, algebraico, analítico, contextual y visual, éste

último incluye gráficas, diagramas, esquemas y dibujos, los cuales deben ser usados

por el profesor para poder llegar a los diferentes estilos de aprendizaje de la

matemática.

Tránsito del lenguaje natural al matemático y viceversa. Se cuenta con una

categorización de las representaciones en este tránsito: problemas con enunciado

literal, problemas con enunciado evocador y problemas con enunciado complejo.

Construcción de modelos matemáticos. Si el alumno no puede construir un modelo

matemático de un evento a abordar, significa que no puede hacer la transferencia del

conocimiento matemático a otras ciencias, por lo que es importante que este elemento

forme parte de los hilos conductores de la enseñanza y del aprendizaje.

Resolución de eventos contextualizados. Es necesario ayudar al estudiante a

desarrollar las habilidades para abordar la resolución de problemas y proyectos. De

hecho, la Matemática en el Contexto de las Ciencias toma como herramienta a la

resolución de problemas y el aprendizaje a través de proyectos, así como los

elementos que intervienen en ello: heurísticas, metacognición, creencias, etc.

Argumentación, habilidad de conjeturar y partir de supuestos. Uno de los elementos

formativos que ofrece la matemática es poder argumentar, conjeturar y saber seguir

un proceso a partir de supuestos, sin que se desee formar como matemáticos a los

futuros ingenieros, pero sí es deseable que desarrollen las habilidades formativas que

otorga la matemática para un mejor desempeño profesional.

Búsqueda de analogías. Las analogías que pueda usar el docente en clase ayudará a

que el estudiante establezca los amarres a las estructuras cognitivas establecidas.

Identificación de nociones previas. Si se conocen las nociones previas con que

cuenta el estudiante, el docente podrá diseñar sus actividades a partir de éstas y

apoyar la construcción de conocimientos significativos en el sentido de Ausubel (1990).

Identificación de obstáculos. Los obstáculos se pueden clasificar en epistemológicos

en el sentido que los maneja Brousseau, didácticos los que provoca el profesor,

cognitivos los que están inferidos a los conocimientos anteriores del estudiante y

ontogénicos aquellos que son inherentes a las características física y hereditarias del

estudiante.

El conocimiento se presenta en espiral. Es importante que el docente tome en

cuenta este hecho, porque ello le abre el camino a estar repasando continuamente



conocimientos que ya han sido tratados dentro del mismo curso o en estudios

anteriores, lo cual apoya la construcción y reconstrucción del conocimiento.

Uso de la tecnología electrónica. En el siglo en que vivimos la tecnología no puede

esta fuera de la actividad profesional, para el caso de la docencia es necesario que se

incorpore como una herramienta tecnológica de apoyo al aprendizaje. En general no

hay tiempo en los espacios didácticos para incursionar en actividades didácticas que

consuman los tiempos programáticos, se debe incursionar en la tecnología, usar

plataformas tecnológicas educativas, foros de discusión, comunidades virtuales, etc.,

los cuales ayudan a extender los tiempos del aula. El uso de las tecnologías de la

información y comunicación (TIC) permiten que el estudiante vaya a sus ritmos vitales,

porque los tiempos cognitivos son diferentes a los tiempos didácticos. Además, le

permiten retroceder o avanzar cuando quiera, repasando y reforzando los

conocimientos.

Observación 2

Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto es

la elaboración del modelo matemático, situación que ha llevado realizar investigaciones

que abordan las siguiente interrogantes: ¿qué es un modelo matemático?, ¿qué es

modelación matemática?, ¿qué elementos cognitivos intervienen? y ¿qué habilidades

del pensamiento son indispensables para la modelación?

Para iniciar, se tiene que la matemática en ingeniería es un lenguaje, ya que casi todo

lo que se dice en la ingeniería se puede representar a través de simbología

matemática.

Es más, el que se represente a través de la terminología matemática y se haga uso de

la matemática en la ingeniería, le ayuda a la ingeniería a tener carácter de ciencia por

un lado y por el otro, le facilita su comunicación con la comunidad científica de

ingenieros.

Dentro del conocimiento de la ingeniería, se tienen problemas de la ingeniería,

asimismo, se tienen objetos de la ingeniería que para su mejor manejo o referencia se

les representa matemáticamente y también se tienen situaciones que se pueden

describir a través de la simbología matemática. Estos casos permitirán caracterizar a

los modelos matemáticos. A continuación se muestran ejemplos de cada caso.



a) Problemas

Se quiere conocer el fenómeno de carga de un condensador (capacitor), cuya

capacitancia es C, el cual está conectado en serie con un resistor de resistencia R, a las

terminales de una batería que suministra una tensión constante V, este planteamiento

se puede representar a través de la ecuación diferencial lineal siguiente:

Rd

dtq t

Cq t V( ) ( )

1

Es de mencionar que bajo el término problema se están incluyendo los fenómenos que

se presentan en la ingeniería, como la carga de un condensador, la caída libre de un

cuerpo, el movimiento de un péndulo, etc.

b) Objetos

Considérese una señal eléctrica del tipo alterno sinusoidal, la señal es el objeto de la

ingeniería el cual se representa a través de la función: f(t) = A sen (t+ )

c) Situaciones

El condensador de carga q=q(t) está totalmente descargado al inicio del problema.

Esta situación se puede representar matemáticamente, tomando en cuenta que al

inicio del problema t=0 y que la carga es una función del tiempo, como: q(0)=0.

De los tres casos mencionados los que caracterizan a los modelos que se trabajan en

esta investigación, son los objetos y los problemas, así la definición es: Un modelo

matemático es aquella relación matemática que describe objetos o problemas de la

ingeniería.

Con el análisis de problemas reales, de problemas trabajados en investigaciones de la

ingeniería y problemas abordados en los textos de ingeniería, se clasifica a los modelos

matemáticos según se muestra en la figura 3.

De las etapas de la Matemática en Contexto y lo detectado en el análisis de los

problemas estudiados para la investigación se construye la definición del término

“modelación matemática”:

La modelación matemática se concibe como el proceso cognitivo que se tiene que

llevar a cabo para llegar a la construcción del modelo matemático de un problema u

objeto del área del contexto.



Figura 3. Clasificación de los modelos matemáticos según su caracterización

Este proceso cognitivo consta de tres momentos, los que constituyen los indicadores

de la modelación matemática:

1. Identificar variables y constantes del problema, se incluye la identificación de lo

que varía y lo que permanece constante, que generalmente se encuentra implícito.

2. Establecer relaciones entre éstas a través de los conceptos involucrados en el

problema, implícita o explícitamente, ya sean del área de la matemática o del

contexto.

3. Validar la “relación matemática” que modela al problema, para lo cual hay que

regresarse y verificar que involucre a todos los datos, variables y conceptos del

problema. Dependiendo del problema, algunas veces se puede validar el modelo

matemático a través de ver si la expresión matemática predice la información

otorgada o la información experimental. En otros casos, para validar el modelo, es

necesario dar la solución matemática para ver que se predicen los elementos

involucrados.

Un punto importante de mencionar es que el modelo matemático no es único, hay

varias representaciones matemáticas que describen el mismo problema, razón por la

cual se hace necesaria la validación del mismo (tercer momento).

La forma de abordar (o resolver) matemáticamente el modelo matemático tampoco es

única, elemento que permite verificar la versatilidad de la matemática, así como su

consistencia.

CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

Modelaje de objetos

de la ingeniería

Modelaje de problemas de la ingeniería

La clasificación está en función del uso que le da la ingeniería

La clasificación está en función de

las áreas cognitivas de la ingeniería

Modelos estáticos

Modelos dinámicos

Modelos de primera generación

Modelos de

segunda generación

Modelos de tercera generación

Modelos de cuarta

generación



Elementos cognitivos

Para llevar a cabo la modelación matemática se hace necesario poseer los siguientes

elementos cognitivos:

Los enfoques de los temas y conceptos matemáticos del área del contexto. Cada

tema y concepto matemático posee varios enfoques, por ejemplo, la derivada es un

cociente de diferenciales, es un límite muy particular, es la operación inversa a

integrar, es una razón de cambio, es la pendiente de la recta tangente a la curva, etc.

Conocer estos enfoques es necesario para modelar.

La transposición contextualizada. El docente de matemáticas también debe conocer

las transposiciones contextualizadas que sufren los conceptos matemáticos que enseña

para orientar al estudiante.

El manejo conceptual de la matemática descontextualizada. Es importante que sea

del conocimiento del alumno que la matemática es universal en el sentido de que es

aplicable a diversos contextos. Dentro de la Matemática en el Contexto de las Ciencias

se concibe como matemática conceptual a aquella matemática si se tiene el concepto

es porque se puede transferir ese conocimiento, porque se conocen los diferentes

enfoques de concepto, porque se conocen los puntos de control de error del concepto,

porque se conocen los patrones de comportamiento del concepto cuando se mueven

los parámetros que lo componen, porque se puede transitar entre los diferentes

registros de representación del concepto, etc.

Habilidades del pensamiento

Al igual que en los elementos cognitivos, a través del análisis de la instrumentación de

problemas de cada área cognitiva de la ingeniería en electrónica se detectan las

habilidades del pensamiento que entran en acción en la construcción del modelo

matemático. Así, para llevar a cabo la modelación matemática es necesario desarrollar

en el estudiante las siguientes habilidades del pensamiento:

Habilidad para identificar los puntos de control de error, como elemento

metacognitivo. Esta habilidad forma parte de tener una matemática conceptual, como

se ha mencionado.

Habilidad para transitar del lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa.

Para este punto se puede ver la referencia de Olazábal (2003), quien hace una

categorización de problemas de matemáticas contextualizadas respecto a la demanda

de traducción del lenguaje natural al matemático.



Habilidades para aplicar heurísticas. Las heurísticas como estrategias para abordar

un problema, con la clasificación que otorga Nickerson (1994) a las dadas por Polya

(1976).

Habilidad para identificar regularidades. Entre las habilidades básicas del

pensamiento, esta habilidad se hace notoria.

Habilidad para transitar entre las diferentes representaciones de un elemento

matemático. Se consideran las representaciones que describe Duval (1999):

aritmética, algebraica, analítica y visual, incluyéndose la representación contextual que

maneja la Matemática en el Contexto de las Ciencias.

Habilidad para hacer "consideraciones" o “idealizar” el problema (cuando proceda).

Hay problemas tan complejos que deben ser idealizados para poderse matematizar, en

otras ocasiones es necesario hacer consideraciones, como controlar variables para

poder lograr la matematización.

Nota. Se han tomado como sinónimos a modelación matemática, matematización y

modelaje.

Con la estrategia didáctica de la Matemática en Contexto se cambia el paradigma

educativo de enseñanza tradicional, ahora se trata de una enseñanza con

conocimientos integrados y centrada en el aprendizaje. Dando los temas de

matemáticas vinculados con las demás asignaturas que cursa el alumno y

presentándolas al ritmo y tiempos que son requeridos por los estudiantes, la

Matemática en Contexto fortalece la reorganización cognitiva de conceptos y procesos

matemáticos.

Si el estudiante realmente tiene gusto por su carrera, encuentra en la matemática

contextualizada no solamente necesidad de ella, sino también un profundo gusto por la

misma y gran interés por su dominio. Para mayor información se pueden ver los datos

de la bibliografía de este escrito.

Entre los materiales de apoyo didáctico para la estrategia didáctica de la matemática

en contexto, se encuentran los problemarios guía del curso, que orientan tanto a los

alumnos como a los profesores. Para mayor información véase la referencia de

Camarena (1985).



Ejemplo de contextualización

A continuación se presenta un problema que muestra las etapas de

contextualización que está insertas en la Matemática en Contexto.

1.- Planteamiento del problema.

Circuito R-C con voltaje constante. Se va a estudiar el fenómeno de carga de un

condensador (capacitor), cuya capacitancia es C, cuando la corriente eléctrica es

obligada a pasar por una resistencia de valor R. Para tal propósito se tiene un circuito

en el cual un condensador totalmente descargado, está conectado en serie con una

resistencia, a las terminales de una batería que suministra una tensión constante V. Es

claro que este es el caso más simple de un circuito real, que contenga un capacitor.

2.- Determinación de las variables y de las constantes del problema.

Para este problema se suponen conocidas las siguientes constantes: R, C y V. El

tiempo y la carga del condensador serán las variables.

3.- Determinación del modelo matemático.

Las relaciones que se dan a continuación son las que se cumplen para todo tiempo t al

cerrarse el circuito.

Cv tq t

C( )

( ) ....................(1)

R Rv it R t( ) ( ) ..................(2)

R Ci it t i t( ) ( ) ( ) ............(3)

R Cv v V .......................(4)

donde vC y vR representan la caída de voltaje en el condensador y en la resistencia

respectivamente, así como iC e iR la intensidad de corriente en el condensador y en la

resistencia. La primera relación (1) es la expresión fundamental de un capacitor, que

nos da la diferencia de potencial en dicho elemento. La segunda (2) es la formulación

de la ley de Ohm en términos del voltaje; es decir, nos determina la caída de voltaje

en el resistor. La tercera (3) y cuarta (4) son consecuencia inmediata de la primera y

segunda leyes de Kirchhoff para el circuito con el que vamos a trabajar.

Las unidades utilizadas para que las fórmulas que se acaban de dar sean correctas



son: R en ohms; C en farads; V, VC(t) y VR(t) en volts; q(t) en coulombs; C(t), iR(t) e

i(t) en amperes (coulombs por segundo) y t en segundos.

Se sabe por la definición de intensidad de corriente, que ésta está dada por el cambio

de su carga respecto al tiempo, es decir, i(t) = dq(t)/dt. En el caso particular del

condensador, se tiene la siguiente relación: Ci t

d

dtq t( ) ( )

por otro lado, se tiene que d

dtq t t

Ri( ) ( ) .

Obviando pasos intermedios en este documento, con todo lo anterior se tiene:

Rd

dtq t

Cq t V( ) ( )

1.............(5)

el modelo matemático, relación válida para todo tiempo t, en donde R, C y V son

constantes.

4.- Solución matemática del problema.

En la ecuación (5), la incógnita es q(t), la carga del condensador que varía con el

tiempo t. Como se puede observar, en la ecuación aparecen la incógnita y su derivada,

por tal razón, se dice que se trata de una ecuación en derivadas, o ecuación diferencial

(ya que las derivadas se pueden expresar como cociente de diferenciales).

Para encontrar la solución de esta ecuación diferencial, se dejan en un sólo miembro

de la igualdad, todos los términos que contienen a q(t) y en el otro miembro los

términos que contienen a t. Procedimiento denominado "Separación de variables".

Rd

dtq t V

Cq t( ) ( )

1

d

dtq t

RCCV q( ) ( )

1

dq

CV q RCdt

1

dq

CV q RCdt

1



d CV q

CV q RCdt

( ) 1

ln| |CV qt

RCcte

ln| |CV qt

RCcte

e e

| |CV qt

RCcte

e e

q CV kt

RCe , con kcte

e

q CV kt

RCe ........................(6)

Solución denominada: la solución general de la ecuación diferencial (6).

5.- Determinación de la solución requerida por el problema.

Como el condensador estaba totalmente descargado al inicio del problema, lo que se

tiene es que en t=0 la carga era cero, o sea, q(0)=0. Condición llamada condición

inicial. Si se sustituye la condición inicial en la solución general, se obtiene:

0 = CV + k

de donde el valor de la constante k debe ser -CV. Sustituyendo esta constante en la

solución general, se tiene:

q t CVt

RCe( ) 1 ........................(7)

a esta solución se le llama la solución para la condición inicial q(0)=0, o la solución

particular de la ecuación, para tal condición.

6.- Interpretación de la solución en términos del problema.

Físicamente la solución (7) que se ha encontrado sólo tiene sentido para valores de t

mayores o iguales a cero. Pero nótese que si se hace correr al tiempo indefinidamente,

es decir, si se hace que t tienda a infinito en la expresión para q(t) (recuérdese que R,

C > 0), se tiene que:

lím q(t) = CV(1-0) = CV

t

es decir, la carga final del condensador (denotada por Q), será CV.

Esto es, cuando se obtenga la carga final Q, la diferencia de potencial entre las placas

del condensador será igual a V, el voltaje de la batería. Teóricamente al condensador

le tomaría un tiempo infinito en cargarse completamente. Esto, por supuesto, no es así

en la práctica.



En la solución (7), puesto que CV es un factor constante, el valor de q(t) depende del

cociente t/RC. El valor numérico RC, expresado en segundos (de hecho, RC tiene

unidades de segundos cuando R se representa en ohms y C en farads) recibe el

nombre de constante de tiempo. Es decir, una constante de tiempo es igual a RC

segundos.

Transcurrida una constante de tiempo, se tiene que q(RC) = CV(1 - e-1) = 0.632 CV,

puesto que CV es la carga final total, se observa que transcurrida una constante de

tiempo se tendrá el 63.2% de su carga final. Esta independencia del voltaje V,

justifica el nombre de constante de tiempo.

Al transcurrir dos constantes de tiempo, o sea, 2RC segundos, se tendrá que

q(2RC) = CV (1 - e-2) = 0.865 CV, es decir, el 86.5% de la carga final.

Después de tres constantes de tiempo, es decir, 3RC segundos, se tiene que

q(3RC) = CV (1 - e-3) = 0.950 CV, o sea, el 95.0% de CV.

Con cuatro constantes de tiempo, 4RC segundos, se obtiene que

q(4RC) = CV (1 - e-4) = 0.982 CV, es decir, el 98.2% de CV.

Cuando han transcurrido cinco constantes de tiempo, o sea 5RC segundos, se tendrá

que q(5RC) = CV (1 - e-5) = 0.993 CV, consiguientemente, en 5RC segundos se tendrá

el 99.3% de la carga final, que para fines prácticos, se considera que el condensador

se encuentra completamente cargado entonces.

Por tanto, el tiempo que tarda en cargarse un condensador, depende de la resistencia

y capacitancia del circuito, no del voltaje que suministre la fuente.

Segunda etapa

En la segunda etapa se instrumenta un curso extracurricular. Se formula a partir de la

necesidad abordar eventos contextualizados concretos en el aula, en donde se observa

la necesidad de que los estudiantes apliquen heurísticas, habilidades del pensamiento,

elementos metacognitivos y creencias positivas.

Las estrategias para abordar un eventos contextualizado en las diferentes partes del

proceso de la resolución se les denomina heurísticas. El padre de las heurísticas fue

Polya quien a través de preguntas como las que se muestran a continuación guía la

resolución de problemas: ¿con qué cuento?, ¿qué me preguntan?, ¿qué tipo de datos

tengo?, ¿tengo condicionantes?, ¿cuáles son variables en mi problema y cuáles son

constantes?, ¿se podrá ver para casos particulares y después resolverlo para cualquier

caso?, ¿qué problema que ya he resuelto se parece a éste?, ¿cuál es la generalización



del problema para ver si es más fácil de abordar?, ¿qué analogías, semejanzas puedo

encontrar con otros problemas?, ¿quedo plantearlo de forma diferente para poder

abordarlo?, Etc.

Cuando se resuelven eventos contextualizados está presente un factor que es

denominado metacognición. La metacognición es aquella parte del individuo que le

hace ser consciente de su propio conocimiento, de saber si tiene o no todos los

elementos cognitivos cuando resuelve un problema o tiene que ir a buscar en libros o

consultar personas, etc. Cuando la persona está en el proceso de resolución de un

evento contextualizado la metacognición es el elemento que se encarga de que el

individuo se pregunte a sí mismo si va por buen camino o no, es decir, hace que

busque contradicciones, incongruencias o elementos que le den la pauta para decir que

sí va bien, en la teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias a esto se le

denominan "puntos de control de error". También la metacognición está presente

cuando el individuo va y verifica si el resultado obtenido satisface o no el problema

planteado.

Las habilidades del pensamiento ayudan al entendimiento de las ciencias y a su vez las

ciencias ayudan a desarrollar las habilidades del pensamiento en el individuo que las

estudia. Las habilidades del pensamiento se clasifican en básicas y de orden superior.

Entre las habilidades básicas se encuentran: la observación, la identificación, la

comparación, la clasificación, la jerarquización, la asociación, la inducción, la

deducción, la síntesis, la memoria, etc.

Las habilidades más sobresalientes de orden superior, a través de investigaciones con

la Matemática en el Contexto de las Ciencias, se ha encontrado que son: la creatividad,

el razonamiento (lógico, crítico, analítico, etc.), la contextualización (vincular

diferentes disciplinas transfiriendo conocimientos), el modelaje matemático, la

resolución de problemas, etc.

Es claro que las habilidades del pensamiento entran en juego en el proceso de

resolución de eventos contextualizados, pero también están presentes en este proceso

las habilidades para aplicar heurísticas, así como habilidades metacognitivas, todas

ellas apoyando la transferencia del conocimiento.

Las creencias son un factor que puede actuar de forma positiva o negativa en el

alumno. De hecho, los alumnos, al igual que cualquier persona poseen creencias

negativas y creencia positivas, siendo las primeras las que los bloquean para actuar de

forma eficiente y las segundas al contrario, ayudan a ser eficiente al resolver eventos

contextualizados.



Es menester mencionar que este tipo de cursos se han instrumentado durante un

semestre, dando muestras de su éxito a través de los resultados de los estudiantes en

donde su aprovechamiento escolar se encuentra favorecido y la motivación hacia los

estudios de ingeniería se ha incrementado.

Tercera etapa

En la tercera etapa se instrumenta un taller integral e interdisciplinario con el objeto de

resolver eventos reales de la industria. Esta etapa se considera como la culminación

del proceso didáctico de la Matemática en Contexto, ya que aquí es en donde se verán

reflejadas las acciones de transferencia del conocimiento fomentadas en las etapas

anteriores.

La instrumentación de esta etapa, a diferencia de las anteriores, requiere de un grupo

interdisciplinario de profesores que se comprometan con el proyecto. Por la

complejidad que representan los eventos reales de la industria, en el taller participan

estudiantes egresados en las ciencias de física y matemáticas, ya que se ha visto que

el trabajo en equipo es más eficiente y trabajando entre pares de las mismas edades el

lenguaje y la confianza son componentes favorables para la resolución de los eventos

contextualizados.

A manera de conclusión es importante mencionar que tanto la metodología para el

diseño de programas de estudio de matemáticas en carreras de ingeniería como la

estrategia didáctica de la Matemática en Contexto pretenden contar con una

matemática que presente conocimientos integrados y significativos (el término

significativos está entendido con la concepción del psicólogo educativo Ausubel ), para

facilitarle al futuro egresado la transferencia de conocimientos a su campo laboral.



FASE COGNITIVA

El sustento fuerte de esta fase está en la teoría de aprendizajes significativos de

Ausubel. Respecto a la fase cognitiva se ha determinado que el estudiante debe

transitar entre los registros aritmético, algebraico, analítico, visual y contextual para

construir y asirse del conocimiento.

Se ha verificado a través de la Matemática en Contexto que el estudiante logra

conocimientos estructurados y no fraccionados, logrando con ello estructuras mentales

articuladas. Esta situación se ha tratado a través de la teoría de los campos

conceptuales de Vergnaud, como ejemplo véase la tesis de doctorado de Muro (2004)

en donde establece el campo conceptual de la serie de Fourier en la transferencia de

masa de fenómenos químicos.

La Matemática en Contexto ayuda a que el estudiante construya su propio

conocimiento con amarres firmes y duraderos y no volátiles; refuerza el desarrollo de

habilidades del pensamiento mediante el proceso de resolver eventos (problemas y

proyectos) vinculados con los intereses del alumno (Camarena, 2003).

Para mirar en los estudiantes el funcionamiento cognitivo de la Matemática en

Contexto, también, se ha recurrido a analizar las funciones cognitivas, véase la tesis

de doctorado de Zúñiga (2004).

Asimismo, se ha determinado que el factor motivación en el estudiante se encuentra

altamente estimulado a través de la Matemática en Contexto y su desempeño

académico como futuro profesionista se incrementa, es decir, la transferencia del

conocimiento se puede establecer sin tantos tropiezos.

A manera de conclusión se puede mencionar que con la Matemática en el Contexto de

las Ciencias el estudiante tiende a hacerse responsable de su propio aprendizaje

generándose habilidades para la autonomía en el aprendizaje y trabajo en equipo.

Con la Matemática en el Contexto de las Ciencias se cambia el paradigma educativo

que se centra en el profesor ante un paradigma centrado en el estudiante, donde el

alumno puede construir su conocimiento.



CONCLUSIONES

Como parte de las conclusiones se puede mencionar que la Matemática en el Contexto

de las Ciencias es una teoría que nace en el nivel superior y baja a los niveles

anteriores, a diferencia de la mayoría de las teorías sobre el proceso de enseñanza y

aprendizaje que nacen en el nivel básico. Esta teoría contempla muchas de las

variables que intervienen en el proceso educativo, al cual lo mira como un proceso

social, y tiende a la construcción de una matemática para la vida.

El profesor debe tratar de realizar investigación educativa que le sirva en su actividad

laboral para elevar la calidad académica de la educación porque la docencia y la

investigación educativa van de la mano.

Es claro que es imposible ahondar en cada una de las cinco fases de la Matemática en

el Contexto de las Ciencias, por lo que se le sugiere al lector interesado que consulte la

bibliografía, que aunque no es toda la existente relativa a este tema, sí es suficiente

como para tener un panorama de la teoría.

Es menester mencionar que la teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias

ha sido adoptada por varios profesores que cursan estudios de postgrado en México y

otros países de Latinoamérica, siendo ésta aplicada en instituciones educativas de

Chile, Cuba, Guatemala, Colombia, Argentina, Brasil, Uruguay, Venezuela, Perú, Puerto

Rico, entre otros.

Cabe mencionar que actualmente se está trabajando sobre el tema de las

competencias matemáticas para la actividad laboral y profesional del ingeniero. Es

decir, se amplía la teoría para incluir a las competencias; entendidas éstas como las

fortalezas del futuro profesionista para enfrentar una situación problemática haciendo

uso de la integración de todo su bagaje de conocimientos, habilidades, actitudes y

valores que son movilizados en sus estructuras cognitivas. Las actividades de

investigación incluyen el complementar la metodología Dipcing y extender las acciones

didácticas para desarrollar las componentes de valores y actitudes en los estudiantes.



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BREVE CURRÍCULUM VITAE

• Nombre:

Patricia Camarena Gallardo

• Estudios profesionales:

Licenciatura en Física y Matemáticas en la Escuela Superior de Física y

Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM-IPN), México, 1970.

Maestría en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa en el Centro

de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

(CINVESTAV-IPN), México, 1987.

Doctorado en Ciencias con especialidad en Matemática Educativa en el

Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

(CINVESTAV-IPN), México, 1999.

• Distinciones (algunas):

Reconocimiento por los excelentes resultados obtenidos en la evaluación del

proceso educativo correspondiente al primer período lectivo de 1981, otorgado

por el Departamento de ICE de la ESIME-IPN, México, 1981.

Diploma en reconocimiento al cumplimiento de la labor docente, al

conmemorar la ESIME sus 70 años de vida, otorgado por la ESIME-IPN, México,

octubre de 1986.

Reconocimiento a la destacada labor profesional, otorgada por el C. Ing.

Gregorio Covarrubias de Labra Director de la ESIME, a nombre de la mesa de

pasantes "Orión", con fecha 27 de julio de 1990.

Diploma de reconocimiento a la eficiencia en el desempeño a las labores,

otorgado por los pasantes de la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y

Electrónica generación 85-90, ESIME-IPN, México, 1990.

Reconocimiento con mención especial por la destacada participación en el:

"Premio a la investigación en el IPN 1990, área de educación", otorgado por el



Director del Instituto Politécnico Nacional (Secretaría Académica), C. P. Oscar

Joffre Velázquez, México, con fecha febrero de 1991.

Diploma de reconocimiento a la eficiencia en el desempeño a las labores,

otorgado por la mesa de pasantes Ing. Raúl González Apaolaza de la carrera de

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, generación 86-91, ESIME-IPN,

México, 1991 .

Reconocimiento por su destacada labor profesional, otorgado por el Director

de la ESIME-IPN, México, 1994.

Reconocimiento por su destacada trayectoria como Profesor de Excelencia en

el Programa de Estímulo al Desempeño Docente, otorgado por el Director General

del Instituto Politécnico Nacional, México, 1996.

Diploma Juan de Dios Bátiz, por 30 años de servicio, otorgado por el Director

General del Instituto Politécnico Nacional, México, 1997.

Medalla al Mérito Docente "Maestro Rafael Ramírez", otorgada por el

Secretario de Educación Pública de México, 1997.

Reconocimiento por su valiosa colaboración con esta Institución en los logros

de una mejor preparación académica de los oficiales de la Secretaría de Marina-

Armada de México, otorgado por las Secretaría de Marina (Dirección General de

Educación Naval), México, 1998.

Reconocimiento por el desempeño al impartir diferentes asignaturas para la

formación de docentes del Instituto Politécnico Nacional, otorgado por el Director

General del Instituto Politécnico Nacional, México, 1998.

Diploma por haber obtenido el segundo lugar en la categoría de mejor Tesis

de Investigación Básica, primer lugar a la mejor Tesis de Doctorado en

Investigación Básica en Matemática Educativa otorgado por la Sociedad de

Científicos del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN, México,

1999.

Premio nacional ANUIES 2000 en la categoría de: La mejor tesis de

doctorado en contribución a la educación superior. Otorgado por el Consejo

Nacional de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación

Superior. México, octubre del 2000.

Reconocimiento a la brillante labor académica, otorgada por la mesa de

pasantes AJAWAB, integrada por los alumnos de Ingeniería en Comunicaciones y

Electrónica, generación 1997-2001, México, 2001.



Reconocimiento como mujer destacada del Instituto Politécnico Nacional por

contribuir al enaltecimiento de la Institución en los campos de la docencia,

investigación y la cultura, otorgado por la Federación Nacional de Profesionales

Politécnicas, México, 2004.

Reconocimiento como Egresada Distinguida de la Escuela Superior de Física y

Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, otorgado por la ESFM, México,

2004.

Distinción como Representante de México ante el Comité Interamericana de

Educación Matemática, de 2003 a la fecha.

Distinción como Miembro del Sistema Nacional de Investigadores, Nivel II,

otorgado por el CONACyT, México, 2000.

Distinción para Coordinar e iniciar la Red Académica Nacional Virtual de

Matemáticas del Corporativo Universitario para el Desarrollo de Internet, CUDI,

en el período 2005-2008.

Distinción para Coordinar la Red Metropolitana de Educación Superior a

Distancia de la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación

Superior, ANUIES, en el período 2005-2007.

Reconocimiento como representante del IPN y miembro fundador del

Consorcio de Universidades Públicas de Educación Superior a Distancia del

Espacio Común de Educación Superior, ECOESAD, en el período 2005-2007.

Distinción como Miembro del Consejo Mexicano de Investigación Educativa

COMIE, desde 2005.

Reconocimiento como Egresada Distinguida del Instituto Politécnico Nacional,

otorgado por el Consejo Nacional de Egresados del Instituto Politécnico Nacional,

en 2007.

Reconocimiento por la brillante trayectoria y desarrollo profesional. Premio

Doña Amalia Solórzano de Cárdenas, otorgado por el Consejo Nacional de

Egresados del Instituto Politécnico Nacional, en 2009.

Miembro del Sistema nacional de investigadores, nivel 2.

• Experiencia profesional:

Docente en el nivel medio superior del IPN.

Docente en el nivel medio básico del IPN.



Docencia en el nivel superior del IPN: ESIME, ESFM, ESIA, ESCOM.

Docencia en el nivel de postgrado en el IPN.

Investigadora en el IPN desde 1982, como directora de proyectos.

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Academia de Ingeniería México - APORTACIONES …...Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica. 3 RESUMEN El documento ofrece un recuentro de las aportaciones que sobre investigación