1

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 1

1. El sistema de numeración

Nuestro sistema de numeración es decimal porque 10 unidades del mismo orden forman una unidad delorden inmediatamente superior.1 decena = 1 D = 10 unidades = 10 U1 centena = 1 C = 10 decenas = 100 unidades1 millar = 1 UM = 10 centenas = 100 decenas = 1000 unidades1 decena de millar = 1 DM = 10 millares = 10 000 unidadesNuestro sistema de numeración utiliza 10 cifras.Nuestro sistema de numeración es posicional, ya que el valor de una cifra en un número depende dellugar que ocupa la cifra en dicho número.

1 Números naturales. Divisibilidad

■ Sistema de numeración romano

El sistema de numeración romano tiene siete símbolos.

Este sistema no es posicional: sus cifras tienen siempre el mismo valor, aunque se sumen o resten de-pendiendo de su colocación.

Mediante los números naturales podemos formular códigos que expresen cualquier tipo de información.• Los códigos postales• Los prefijos telefónicos de provincias• Matrículas de los coches• Las cuentas bancarias

2. Los números naturales como códigos

3. Propiedades de las operaciones con números naturales

■ Propiedades de la suma y de la multiplicación

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos o factores no varía el resultado.

Propiedad asociativa: Al sumar o multiplicar tres o más números, el resultado es independiente de có-mo agrupemos de dos en dos los sumandos o factores.

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: El producto de un número por la suma dedos o más números es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.

■ Simplificación de la diferencia

Si a los dos términos de una diferencia se les suma o resta el mismo número, la diferencia no varía.

■ Teorema de la división

En una división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto: D = d · c + r

Romano I V X L C D MDecimal 1 5 10 50 100 500 1000

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 1

2

■ Múltiplos de un número

Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier núme-ro natural.

Para calcular los múltiplos de un número, se multiplica ese número por los números naturales.

■ Divisores de un número

Un número es divisor o factor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta.

4. Múltiplos y divisores de un número

5. Criterios de divisibilidad

• Un número es divisible por 2 si termina en cifra par.

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.

• Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

• Un número es divisible por 10 si termina en 0.

• Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00.

• Un número es divisible por 25 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras o si termina en 00.

• Un número es divisible por 100 si termina en 00.

• Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

• Para saber si un número es divisible por 11:

1.º Sumamos por separado las cifras que ocupan los lugares pares y las que ocupan los lugaresimpares.

2.º Calculamos la diferencia entre las dos sumas anteriores.3.º Si esa diferencia es 0 o múltiplo de 11, el número inicial es divisible por 11.

6. Números primos y compuestos

Un número es primo cuando tiene solo dos divisores: el propio número y el 1.

Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.

El número 1 no es primo ni compuesto, ya que tiene un único divisor: él mismo.

7. Descomposición de un número en factores primos

La descomposición de un número en factores primos es la expresión del número como un productode factores primos.

Para descomponer un número en factores primos:

1.º Dividimos el número por un factor primo. Resulta cómodo empezar por los más pequeños.

2.º Dividimos el cociente obtenido por otro factor primo, y se repite el procedimiento.

3.º Terminamos cuando el último cociente es 1.

El número es igual al producto de los factores primos por los que hemos ido dividiendo.

Matemáticas Pitágoras 1.º ESO / Resumen Unidad 1

3

8. Máximo común divisor de varios números

El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. De forma abre-viada, se escribe m.c.d.

9. Mínimo común múltiplo de varios números

El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes distinto de cero.De forma abreviada, se escribe m.c.m.

10. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. por descomposición factorial

Para calcular el máximo común divisor de varios números:

1.º Escribimos cada número como producto de factores primos.2.º El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor

exponente.

Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:

1.º Escribimos cada número como producto de factores primos.2.º El mínimo común múltiplo es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, ele-

vados al mayor exponente.