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Matemáticas Pitágoras 4.º ESO / Opción B / Resumen Unidad 16

1. Experimentos aleatorios, espacio muestral y tipos de sucesos

Un experimento aleatorio es aquel en el que no se puede predecir el resultado que se va a obtener antesde realizarlo. Si el resultado es predecible, el experimento se llama determinista.

El espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.Se designa por E.

Un suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

• Suceso elemental es el formado por un solo resultado.

• Suceso compuesto es el formado por más de un resultado.

• Suceso seguro es el que siempre se realiza. Es igual a E.

• Suceso imposible es el que nunca se realiza. Se designa por ∅.

• Suceso contrario del suceso A es el que se realiza cuando no se rea liza A. Se designa por A.

El espacio de sucesos es el conjunto de todos los sucesos de un experimento y se designa por S. No debeconfundirse con el espacio muestral.

16 Probabilidad

Unión de sucesos. El suceso A ∪ B es el que se realiza cuando se verifica A o B o ambos. Contiene todos loselementos de A y de B.

Intersección de sucesos. El suceso A ∩ B es el que se realiza cuando se verifican simultáneamente los su-cesos A y B. Contiene todos los elementos que están a la vez en A y en B.

Sucesos incompatibles. Dos sucesos son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente, es de-cir, si A ∩ B =∅.

2. Operaciones con sucesos

Regla de Laplace. Si todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, entoncesla probabilidad de un suceso A es:

P A( )=n.º de casos favorables a A

n.º de casos posibles

■ Propiedades de la probabilidad

• La probabilidad es un número entre 0 y 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

• La probabilidad del suceso seguro es P(E) = 1.

• La probabilidad del suceso imposible es P(∅) = 0.

• La probabilidad del suceso contrario de A es P(A–) = 1 − P(A).

3. Probabilidad de un suceso

Unión de sucesos Intersección de sucesos Sucesos incompatibles

BA

E

A�B

E

BA

A�B

E

BA

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4. Probabilidad de la unión de sucesos

Si A y B son dos sucesos incompatibles (A ∩ B = ∅), entoncesse verifica:

En general, si A y B son dos sucesos aleatorios, se verifica:

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩

P A B P A P B( ) ( ) ( )∪ = +

Un experimento es compuesto si se compone de varios experimentos simples.

Su probabilidad se calcula utilizando la ley de Laplace y el principio de multiplicación, y en ocasiones ayu-dándose de un diagrama de árbol.

5. Probabilidad de sucesos en experimentos compuestos

Dos sucesos son independientes si la realización de uno no condiciona la del otro. Si los sucesos A y B sonindependientes, se verifica:

Dos sucesos son dependientes si la realización de uno condiciona la del otro.

Si los sucesos A y B son dependientes, se define la probabilidad de B condicionada a A, y se denota porP(B/A), como la probabilidad de que se realice B sabiendo que ya se ha realizado A. Se verifica:

P A B P A P B A( ) ( ) ( / )∩ = ⋅

P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = ⋅

6. Probabilidad condicionada. Dependencia de sucesos

Si un suceso aleatorio se puede conseguir por más de un resultado de un experimento compuesto, su pro-babilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los sucesos incompatibles que lo producen.

7. Probabilidad total

Intuitivamente, al hacer P(A)+ P(B)se cuenta dos veces su intersección:

Por esta razón se resta P (A ∩ B) unavez al calcular P (A ∪ B).

E

BA

A�B

Ten en cuenta!