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Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 1 -
ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL
Los mecanismos están formados por barras, unidas mediante articulaciones que llamaremos pares cinemáticos. A las barras las vamos
a denominar mediante números.
A
CO2
O536
5
2
1
1
1
4B
En la figura tenemos un mecanismo formado por las barras 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Dejamos el número 1 para designar la barra fija. Los pares
cinemáticos, son las uniones entre barras. Como ejemplo tenemos la unión de las barras 2 y 3 en el punto A, la de las barras 3 y 4 en el
punto B, la de las barras 5 y 6 en el punto C, la de la barra 2 con la 1 en el punto O2 y la de la barra 5 con la 1 en el punto O5. Hay
otras uniones, que no tienen ninguna letra, son la unión de 3 y 6, así como entre 4 y 1. También son pares cinemáticos, aunque distinto
a los anteriores.
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 2 -
El mecanismo es un sistema mecánico que puede moverse, a
diferencia de una estructura que está fija.
En la figura tenemos un mecanismo en varias posiciones:
OAB, OA’B’, OA’’B’’, …….
Cuando el mecanismo está en movimiento, las barras que lo
forman están en movimiento. Cuando las barras se mueven, los
puntos que pertenecen a las barras describirán trayectorias.
Dependiendo del movimiento de las barras los puntos describirán
un tipo determinado de trayectoria.
En la figura tenemos el mismo mecanismo anterior. Ahora se han
dibujado las trayectorias que describen los puntos A, B y P. La
trayectoria del punto A es una circunferencia (AA’A’’), la
trayectoria del punto B es una recta (BB’B’’), la trayectoria del
punto P es una curva cualquiera (PP’P’’), …..
O
AA’
A’’
BB’B’’
O
A’
A’’
APP’
P’’
Trayectorias
B’ BB’’
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 3 -
Un punto o partícula puede describir una trayectoria cualquiera, ya sea recta o curva. Si la trayectoria es recta estará contenida en un
plano. Si la trayectoria es curva, puede tratarse de una curva plana o espacial. Consideraremos el caso de una curva plana, es decir,
contenida en un plano. Por tanto, estudiaremos trayectorias planas, ya sean rectas o una curva cualquiera.
Los mecanismos planos son aquellos que sus barras se mueven en planos paralelos y por tanto los puntos contenidos en ellas describen
trayectorias planas. Decimos que las barras tienen un movimiento plano.
Mecanismo plano no quiere decir que el mecanismo esté contenido en un plano, aunque así se
puede idealizar su movimiento para el análisis cinemático.
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 4 -
El punto describe la trayectoria con una velocidad
determinada, recuerda que la velocidad es un vector. El
vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria y
puede variar en módulo y dirección.
La aceleración, que es otro vector, nos mide la variación
del vector velocidad. El vector aceleración no tiene por
qué ser tangente a la trayectoria.
En la figura se representa un punto P moviéndose en su trayectoria.
Están representadas varias posiciones del punto, P, P’, P’’. En cada una
de ellas se indica el vector velocidad y el vector aceleración que tiene
el punto. Puede observarse como el vector velocidad siempre es
tangente a la trayectoria descrita por el punto.
Trayectoria
P
P’’
P’
V
V’’
V’
a’
a’’
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 5 -
La aceleración tiene dos componentes importantes, la aceleración tangencial y la aceleración normal.
nt aaarrr += 22
nt aaa +=
Trayectoria
P
(centro de curvatura)
(radio de curvatura)
V
aan
at
Po
ρ
La aceleración tangencial lleva la dirección de la tangente (dirección de la velocidad) y la aceleración normal apunta siempre hacia el
centro de curvatura. Ambas componentes son perpendiculares entre si.
Si la trayectoria es una curva cualquiera, el radio de curvatura y el centro de curvatura cambian para cada posición del punto. Si la
trayectoria es una circunferencia, el radio de curvatura es el radio de la circunferencia y el centro de curvatura el centro de la
circunferencia.
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 6 -
La aceleración tangencial nos mide el cambio de la velocidad en módulo, es decir, si la velocidad cambia en módulo (ahora 10, luego
15, después 12, ....) existe aceleración tangencial. Si la velocidad se mantiene constante en módulo (por ejemplo, siempre 20) no existe
aceleración tangencial.
La aceleración tangencial se define como la derivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo. Si hacemos una
representación de la gráfica del módulo
de la velocidad en función del tiempo, lo
que hemos comentado anteriormente de
la velocidad con módulo constante
correspondería a la gráfica de una recta
horizontal, pero podría también darse el
caso de ser una función o gráfica
cualquiera y que en un momento
determinado sea cero la derivada con
respecto al tiempo (un máximo o un
mínimo). Pero esto sería en un instante
particular, a diferencia de cuando el
módulo de la velocidad es constante, que
la aceleración tangencial sería siempre
cero.
En la figura se representa el módulo de la velocidad de un punto en función del tiempo.
En la gráfica de la figura (a) observamos que la velocidad tiene un módulo constante de valor
VP, este valor se mantiene en el intervalo desde t1 a t2. En todo ese intervalo la aceleración
tangencial del punto es cero, no hay variación del módulo de la velocidad.
En la gráfica de la figura (b) observamos que el módulo de la velocidad es variable. Pero hay
unas determinadas posiciones en donde la derivada de la función es cero (máximos y mínimos
relativos), t1, t2 y t3. Sólo en dichos instantes la aceleración tangencial del punto es cero.
Corresponde a unas posiciones puntuales en el movimiento del punto P.
|V| |V|
VP
O Ot tt1 t2 t2t1 t3
(a) (b)
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 7 -
La aceleración normal nos mide el cambio de la velocidad en dirección, es decir, si el vector velocidad cambia su dirección (por
ejemplo el carrito de una montaña rusa) existe aceleración normal. Si la trayectoria es una recta, el vector velocidad no cambia su
dirección, puede cambiar el sentido y módulo, pero no la dirección,
por tanto no existe aceleración normal.
La aceleración normal está definida mediante la fórmula V2/ρ,
siendo ρ el radio de curvatura de la trayectoria en el instante de estudio. El radio de curvatura puede ser infinito siempre, es el caso
de trayectoria recta, pero también puede ocurrir que el radio de
curvatura sea infinito en un instante particular, es lo que se llama
punto de inflexión de una curva, pasar de cóncava a convexa o al
contrario. En ambos casos la aceleración normal es cero, pero en el primero es cero en toda la trayectoria y en el segundo es cero en un
instante particular.
En la figura se representa la trayectoria del punto P. Cuando el punto P
se encuentre en la posición P’ su aceleración normal será cero en dicho
instante, es un punto de inflexión. Y cuando el punto P recorra el tramo
AB su aceleración normal será cero en todo el tramo, por tratarse de
una recta.
Trayectoria
P
P’ A
BV
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 8 -
Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el
módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.
- Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración
tangencial. La trayectoria del punto es una recta, el radio de curvatura es infinito y no hay aceleración normal.
- Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento
circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal. La trayectoria es una circunferencia, el vector velocidad es tangente a la
trayectoria, cambia la dirección del vector velocidad, por tanto existe aceleración normal.
- Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y
aceleración normal. La aceleración es la gravedad, por tanto varía la componente vertical de la velocidad, existe aceleración
tangencial. La trayectoria es una parábola, cambia la dirección del vector velocidad, existe aceleración normal.
A Trayectoria de AO
A
Circular uniformeMovimiento rectilíneo
RO
αA
Tiro oblicuo
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 9 -
Si el vector aceleración lleva la misma dirección que el vector velocidad
La aceleración coincide con la aceleración tangencial y el punto no tiene
aceleración normal
Si el vector aceleración es perpendicular al vector velocidad
La aceleración coincide con la aceleración normal y el punto no tiene
aceleración tangencial
P
V
a
at
P
V
aan
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 10 -
Ejemplo
Un balón de baloncesto rebota en el suelo y sale con una
velocidad de 2.5 m/s en la dirección indicada. En la
trayectoria que se inicia tras el rebote, hallar el radio de
curvatura en el punto A.
En este caso nuestro punto o partícula es el punto A del balón.
En el instante de estudio conocemos la velocidad del punto A, en módulo y dirección, 2,5 m/s formando 15º con la vertical.
También conocemos la aceleración, es la gravedad, 9,81 m/s2 vertical y hacia abajo.
Si hacemos un gráfico de los dos vectores:
2/539,215·81,9 smsenan ==
ρ
2V
an =
ρ
25,2539,2 = m46,2=ρ
El centro de curvatura estaría a una distancia de 2,46 m desde el punto A en la dirección
y sentido de la aceleración normal.
2,5 m/s
15º
A
V = 2,5 m/s
a = 9,81 m/s2
at
an
15º
15º
A
tangente
normal
trayectoria
Teoría de Mecanismos y Máquinas
José Cano - 11 -
Otra forma de resolverlo es utilizando la teoría de vectores
Se le recomienda al estudiante que repase la materia de centro de curvatura explicado en Cinemática de la Partícula.
jijisenVrrrrr
415,2647,015cos5,2155,2 +=+=
jarr
81.9−=
Empezamos calculando el vector unitario en la dirección de la velocidad
jiji
V
Vuv
rrrr
r
rr
966,0259,05,2
415,2647,0 +=+==
Proyectamos el vector aceleración sobre la tangente a la trayectoria, para calcular el módulo de la aceleración tangencial
476,9966,0·81,90)966,0259,0()81,9( −=−=+•−=•= jijuaa vt
rrrrrr m/s
2
Se expresa la aceleración tangencial como vector
jijiuaa vtt
rrrrrrr154,9454,2)966,0259,0(476,9 −−=+−==
La aceleración normal viene dada por
jijijaaa tn
rrrrrrrr656,0454,2)154,9454,2()81,9( −=−−−−=−= 54,2=na
r m/s
2
Y por tanto
ρ
2
P
n
Va
r
r = ρ
25,254,2 = 46,2=ρ m En la dirección y sentido de la na
r