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Tarea de taller de resolución de problemas, enfocada a las matemáticas y sus derivados.
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Sayuri Chang GallegosEBC
06/03/20152015
Cuaderno ILaboratorio de Resolución de Problemas
Profesor Francisco Mejía Lima
UNIDAD 1:El álgebra y sus aplicaciones
Mate
rial protegido
por derechos de autor, autorizad
o para fines académ
icos de la E
BC
Actividad 2
Tienes 26 aciertos de 30 posibles, tu calificación es de OCHO punto SIETE
Te pido revisar mis comentarios
[ 2 x6
+ 10 x6
+ 4 x6
−3 y+ 56xy±6 x−16]
División de expresiones algebraicas (Polinomios entre monomios)
Para dividir un polinomio entre un monomio debe hacer lo siguiente:
Primero divida los signos aplicando sus leyes.
Posteriormente divida los números.
Ahora divida las letras aplicando las leyes de los exponentes.
Finalmente, reduzca los términos semejantes que hayan quedado.
Instrucciones: Resuelva las siguientes divisiones algebraicas.
4 a2−2 x2+3 x−6a
Correcto
2 x3 y−3 x y2 z+4 z2−12xy
Correcto
Unidad 1 IM25/DM21 1 de 22
a
xxa
3
189612.1
23
xyz
zxyzzyxzyx
3
361296.2
323224
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Mate
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o para fines académ
icos de la E
BC
8 x4+4 y− 5
x y2Correcto
2− 4ab
+25b3 a
−5a3b
+9+ 6ba
+ 5a3b
+9+ 6ba
−4 ab
−5 a3b
+ 5a3b
+ 25b3 a
+ 6ba
+ 6ba
+20
13b3a
+ 12ba
+20 semicorrecto en los términos que te pongo en rojo, debiste cambiarles
el signo porque en el ejercicio el signo “menos” aplica a todos los términos
Unidad 1 IM25/DM21 2 de 22
24
33428
9
453672.3
yx
xyxyx
22
3223
33
42332422
3
18275
3
18275
3
25126.4
ba
abbaba
ba
bababa
ab
baab
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División de expresiones algebraicas (Polinomios entre polinomios)
La división de polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de
varias cifras. El proceso es el siguiente:
Con los polinomios dividendo y divisor ordenar de mayor a menor grado:
Ordenar los polinomios del dividendo y el divisor de mayor a menor grado.
Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al
primer término del cociente.
Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos
contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante.
Se suman los polinomios colocados, obteniéndose un polinomio de grado menor.
Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser
de menor grado.
Instrucciones: Resuelva las siguientes divisiones entre polinomios.
3x3−3x2−4 x−4x−2
3x3
x=3 x2
3 x3−3 x2−4 x−4−(3 x3−6 x2 )
3 x3−3 x2−4 x−4−3 x3+18 x2
15 x2−4 x−4
15x2
x=15 x
Unidad 1 IM25/DM21 3 de 22
2
4423.1
23
x
xxx
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icos de la E
BC
15 x2−4 x−4−(15x2−30 x )
15 x2−4 x−4−15 x2+30 x
26 x−4
26 xx
=26
26 x−4−(26 x−52)
26 x−4−26 x+52
48
Incorrecto debiste de realizar una división del tipo:
6 x3−9 x2+52 x2+x
6 x3
2x2 =3 x
6 x3−9 x2+5−(6 x3+3x2)
6 x3−9 x2+5−6 x3−3 x2
Unidad 1 IM25/DM21 4 de 22
xx
xx2
23
2
596.2
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−12 x2+5
−12x2
2x2 =−6
−12 x2+5−(−12 x2−6 x)
−12 x2+5+12 x2+6 x
6 x+5
incorrecto, mismo caso que anterior
3x2+34 x−6
3x2
4 x=3
4x
3 x2+3−(3x2−92x)
3 x2+3−3 x2+ 92x
92x+3
92x
4 x=
98
92x+3−( 9
2x−54
6)
92x+3−9
2x+ 54
6
Unidad 1 IM25/DM21 5 de 22
64
33.3
2
x
x
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12
http://www.vitutor.com/ab/p/a_7.html
– Ahora que ha terminado esta sección del Cuaderno, continúe con la lectura del Lea del capítulo “Conceptos básicos de álgebra”, subtemas: Polinomios y factorización y Propiedades de los exponentes y notación científica, en el libro básico.
– Posteriormente resuelva dos ejercicios por cada tipo de operación algebraica de los temas revisados y verifique sus respuestas al final del libro.
– Finalizado estos ejercicios estudie las Notas 1, la sección Complemento del tema: productos notables, factorización y simplificación de fracciones.
Simplificación de fracciones y despeje de variables
Introducción
Para construir modelos matemáticos y resolver problemas de negocios, es indispensable que
usted cuente con las bases algebraicas necesarias como son los productos notables, que sepa
factorizar, que despeje variables en cualquier fórmula algebraica y por último que plantee
modelos matemáticos utilizando el lenguaje algebraico; elementos importantes a lo largo de
esta unidad.
En este cuaderno se presentan una serie de ejercicios para que practique estos elementos
que le servirán para las siguientes unidades. Cualquier duda o inquietud, comuníquese con
su asesor, a través del foro de dudas, si está en la modalidad Virtual; si está en la modalidad
Semipresencial consulte directamente al docente.
Productos Notables
Unidad 1 IM25/DM21 6 de 22
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Recuerde que los productos notables son multiplicaciones que por su constante uso se han
hecho notar, ya que permiten realizar más rápido la multiplicación de expresiones
algebraicas similares.
Unidad 1 IM25/DM21 7 de 22
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Instrucciones: Resuelva los siguientes productos notables que se encuentran a
continuación:
1. (x + 5)2 =
( x+5 )2
(x )2+2 ( x ) (5 )+ (5 )2
x2+10x+25 Correcto
2. (xa+1 + yb-2)2 =
(xa+1+ yb−2)2
¿¿
xa2+2a+1+2xa+1 yb−2+ yb2−4 b+4
Correcto
3. (3x4 -5y2)2 =
(3 x4−5 y2 )2
(3 x4 )2−2 (3 x4 ) (5 y2 )+(5 y2 )2
9 x8−30 x4 y2+25 y4
Correcto
4. (5a + 10b)(5a - 10b) =
(5a+10b)(5 a−10b)
(5a )2−50ab+50ab−(10b )2
25a2−100b2
Unidad 1 IM25/DM21 8 de 22
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Correcto
5. (2x2y + 4m)3 =
(2 x2 y+4m )3
(2 x2 y )3+3 (2 x2 y )2 (4 m )+3 (2 x2 y ) ( 4m )2+ (4m )3
8 x6 y3+3 ( 4 x4 y2 ) (4m )+3 (2 x2 y ) (16m2 )+64m3
8 x6 y3+3 (16 x4 y2m)+3 (32x2m2 y )+64m3
8 x6 y3+48 x4 y2m+96 x2m2 y+64m3
Correcto
Unidad 1 IM25/DM21 9 de 22
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Factorización
Factorizar es realizar el procedimiento inverso a los productos notables; es decir, en lugar
de multiplicar dos factores, lo que la factorización permite es descubrir qué expresiones
algebraicas fueron las que se multiplicaron para dar la expresión que tenemos. A
continuación se presentan algunos ejercicios de este tipo.
Instrucciones: Factorice los siguientes polinomios:
1. 18a3b+ 9abc2+27ab4c3 =
18a3b+9abc2+27ab4 c3
Factor comun
9ab
18a3b+9ab c2+27ab4 c3
9ab=2a2+c2+2b3 c3
Por lo tanto
(9ab)(2a2+c2+2b3c3)
Correcto
2. 8a3 + 64 =
8a3+643√8a3=2a , y 3√64=4
Aplicamoselmodelo
8a3+64=(2a+4)((2a )2− (2a ) ( 4 )+ (4 )2)
8a3+64=(2a+4)(4a2−8a+16)
Correcto
Unidad 1 IM25/DM21 10 de 22
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3. 40u2 +17u – 12 =
40u2+17u−12
Para primer término :
(8u ) (5u )=40u2
Parael segundo término :
(4 ) (3 )=12
Paracomprobar :
(8u ) (4 )−(5u ) (3 )=17u
Por lo tanto , el resultado es :
(5u+4 ) (8u−3 )=40u2+17u−12
Correcto
4. 2y3 4y2 + 3y 6 =
2 y3−4 y2+3 y−6
2 y2 ( y−2 )+3( y−2)
(2 y2+3)( y−2)
Correcto
5. x2y2 - 9x2 - y2 + 9 =
x2 y2−9 x2− y2+9
Primero agrupamosde tal formaque hayan factores encomún . Eneste casoes factorización por
agrupación
Unidad 1 IM25/DM21 11 de 22
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x2 y2− y2−9 x2+9
(x2 y2− y2 )−(9 x2−9)
y2 (x2−1 )−9 (x2−1)
( y2−9)(x2−1)
Comprobación
( y2−9)(x2−1)
x2 y2− y2−9 x2+9
Correcto
6. 54m2n2x 12m3n4x2 + 18m5n3 =
Eneste caso sería factorización por factor común
54m2n2 x−12m3n4 x2+18m5n3
Factor común=6 m2n2
Aldividir se obtiene :9 x−2mn2 x2+3m3n
Por lo tanto el resultadoes :
(6m2n2)(9x−2mn2 x2+3m3n)Correcto
7. 2x2 3xy 4x + 6y =
Esta factorizacióntambién correspondealmétodo deagrupación .
2 x2−3xy−4 x+6 y
2 x2−4 x−3xy+6 y
(2 x2−4 x )−(3 xy−6 y )
Unidad 1 IM25/DM21 12 de 22
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2 x ( x−2 )−3 y ( x−2 )
(2 x−3 y) ( x−2 )
Correcto
8. 20m2 8m 12 =
Esta factorizaciónes por elmétodode trinomios
Parael primer término(4m) (5m )=20m2
Parael tercer término(3 ) (−4 )=−12
Paracomprobar(4 m ) (3 )+ (5m ) (−4 )=12m−20m=−8m
Por consiguiente , elresultado es :(4 m−4 ) (5m+3 )=20m2−8m−12 Correcto
9. 144m4 49z2 =
Esta factorización seresuelve por mediod ediferencia decuadrados
√144m4=12m2 ;√49 z2=7 z
Por lo tanto ,al aplicar elmodelo , elresultado es :(12m2+7 z ) (12m2−7 z )=144 m4−49 z2 Correcto
10. 2z3 + 6z2 2z 6 =
C omoeste esuncuatrinómio , podemosutilizar una soluciónsimilar a la de trinómios
Parael primer término
(2 z2 ) ( z )=2 z3
Parael últimotérmino(−2 ) (3 )=6
Unidad 1 IM25/DM21 13 de 22
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Secomprueban lostérminos deenmedio
(2 z2 ) (3 )+ (z ) (−2 )=6 z2−2 z
Por lo tanto , el resultado es :
(2 z2−2 ) ( z+3 )=2 z3+6 z2−2 z−6Correcto
Unidad 1 IM25/DM21 14 de 22
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Simplificación de fracciones
Una de las aplicaciones más importantes de la factorización es la de simplificar expresiones
algebraicas, en particular las llamadas fracciones algebraicas, con la finalidad de hacer más
rápida, simple y eficiente su valuación y expresión final. Los siguientes ejercicios son un
ejemplo de estos casos.
Instrucciones: Simplifique las siguientes fracciones algebraicas. Utilice los procedimientos
y recursos de factorización y productos notables.
1.m+n
m2+2mn+n2
m+n(m+n)(m+n)
1m+n Correcto
2.a2−4a−21
a2−49
(a+3)(a−7)a2−49
(a+3)(a−7)(a+7)(a−7)
(a+3)(a+7)
(a )+3(a )+7
Correcto
37
incorrecto, no puedes eliminar la “a” porque está sumando en el numerador y
denominador
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3.y2+16 y+64
y2+8 y
( y+8)( y+8)y2+8 y
( y+8)( y+8)y ( y+8)
( y+8)( y+8)y ( y+8)
y+8y
Correcto hasta aquí, lo demás no es posible
y+8y
8
4.x3−27x2−x−6
Parael numerador :
3√ x3=x ; 3√27=3
x3−27=( x−3 )( (x )2+( x ) (3 )+ (3 )2)
x3−27=( x−3 )(x¿¿2+3 x+9)¿
Parael denominador
x2−x−6=(x−3)( x+2)
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(x−3)(x2+3 x+9)( x−3)(x+2)
(x−3)(x2+3 x+9)( x−3)(x+2)
x2+3 x+9x+2
Correcto
Unidad 1 IM25/DM21 17 de 22
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Despejes
Despejar una variable en una fórmula es dejar dicha variable aislada de un sólo lado de la
igualdad en la fórmula. Esta es una operación muy utilizada en la práctica cotidiana para
resolver ecuaciones o fórmulas en cualquier ámbito.
Instrucciones: Realice los despejes que se indican a continuación.
1. Despeje “x” y reduzca su resultado.
x−zy
−2=−x− yz
−( x−zy )( x−z
y )−2=−x− yz
−( x−zy )
−2=−( x+ yz )−( x−z
y )
−2=−( x+ yz )−( x−z
y )Correcto hastaaquí−2 yz=−x− y−x+ z incorrecto aquí debe quedar:-2yz = -xy + y^2 – x^2 + z^2 porque debes de multiplicar ambos lados por “yz” para no alterar la ecuación.
−2 yz+ y−z=−x− y−x+z
−2 yz+ y−z=−x−x
−2 yz+ y−z=−2x
−2 yz+ y−z2
=−x
−(−2 yz+ y− z2 )=−(−x)
Unidad 1 IM25/DM21 18 de 22
z
yx
y
zx
2
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2 yz− y+z2
=x
2 yz− y+z2
=x
yz− y2
+ z2=x
2. Despeje “u” y reduzca su resultado.
S=ur−ar−1
S(r−1)=ur−ar−1
S (r−1 )=ur−a
S (r−1 )+a=ur−a
S (r−1 )+ar
=ur
S (r−1 )+ar
=u
Sr−S+ar
=u Correcto hasta aquí
S− Sr+ ar=u
3. Despeje “z” y reduzca su resultado.
Unidad 1 IM25/DM21 19 de 22
1
r
aurS
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BC
a=√ z2−9z−3
a2=(√ z2−9z−3 )
2
a2= z2−9z−3
a2=(z−3)(z+3)
z−3
a2=z+3
a2−3=z Correcto
Unidad 1 IM25/DM21 20 de 22
3
92
z
za
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BC
4. Despeje “y” y reduzca su resultado.
d=√( y−5 )2+( x−3 )2
d2=(√ ( y−5 )2+( x−3 )2 )2
d2= ( y−5 )2+( x−3 )2
d2= ( y−5 )2+( x−3 )2
d2− (x−3 )2=( y−5 )2
√d2−( x−3 )2=√ ( y−5 )2
√d2−( x−3 )2= y−5
√d2−( x−3 )2+5= y
√d2−x2−6 x+9+5= y Correcto
– Ahora que ha terminado con el Cuaderno de trabajo 1, continúe con la Tarea 1.
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22 35 xyd