Método Numérico Act 3 Reconocimiento Unidad 1

1. Método de Newton- Raphson

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

Supóngase f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

x=x1−f (x1 )f ( x1)

PREGUNTA:

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial xo y xi+1= g(x) genera una sucesión de aproximaciones la cual:

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a) Converge a la solución de la ecuación f(x)=0 (Correcto. Felicitaciones te has informado bien del documento)

b) Diverge a la solución de la ecuación f(x)>0c) Diverge a la solución de la ecuación f(x)=0d) converge a la solución de la ecuación f(x)>0

2. Si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X), esto significa:

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a) Linealizar la derivadab) Linealizar la función (Correcto)c) Linealizar la pendiented) Listar la función

3. Cifras significativas.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Error.

En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación se define como:

Error = Valor real -valor estimado = |p-p*|

(Llamado Error Absoluto)

En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.

Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor:

Ea = Error relativo (fracción) = (|p-p*|)/p

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

ERROR DE REDONDEO

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre el 17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo

Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... Hasta el infinito.

Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de

E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008...

Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de

E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002..

, que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final. Así por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio en dólares de US $ 7,52, el precio total nos dará US$ 3.776,7696 (que en pesos chilenos, con 1 dólar = $500 nos da $1.888.384,8).

Ahora, si introducimos una variación del 0.1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 0.1 % = 507, 54, que en US$ equivalen a US$3.816,7008 (o sea, $1.908.350,4 pesos chilenos, una diferencia de $19.965,6) lo que no deja de ser importante, ya que una variación de 0.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.5% en el precio final

ERRORES DE TRUNCAMIENTO.

Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces.

ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.

Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.

PREGUNTA:

El error relativo en las siguientes aproximaciones de p=3,35 por p*=3,53 es

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a) Ea= 0,05909b) Ea= 0,05099c) Ea= 0,0599d) Ea= -0,05099

4. Método iterativo de punto fijo

Un punto fijo de una función g, es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en p, entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial xo y xi+1= g(x) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión <xn> converge siempre y cuando.

|g’(x) | < 1

Ejemplo

Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación x3+4x2-10=0 dentro del intervalo [1, 2].

Lo primero es buscar una función g(x) adecuada

Y claramente elegimos como función iteradora a

además observe que

para toda x€ [1, 2] , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

PREGUNTA:

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial xo y xi+1= g(x) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se le conoce como función:

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a) Linealb) Iteradora (Correcto)c) Cuadráticad) Constante

5. Método de la regla falsa Como en el método de bisección, el método parte de un intervalo inicial [a0,b0] que contiene al menos una solución de la ecuación f(x) = 0, a la cual se llama raíz de f. Es decir, parte de un intervalo con f(a0) y f(b0) de signos contrarios (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo [ak, bk] más pequeño que incluye una raíz de la función f. Para determinar a partir de un intervalo [ak, bk] el siguiente intervalo [ak+1, bk+1], lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalo dado por la fórmula:

El punto se obtiene al hallar la intersección de la recta que pasa por los puntos (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante). Una vez hallado este punto, se toma como siguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido ck y uno de los extremos del anterior intervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las raíces de la función f (Es decir, con el valor de la función en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario). Análisis del método Se puede demostrar que bajo ciertas

condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante, aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a una solución de la ecuación. El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo variando únicamente el más cercano, convergiendo muy lentamente. Para solucionarlo, se suele utilizar una variante del algoritmo, conocida como método de regula falsi modificado, consistente en el caso de que el intervalo quede fijo por un extremo en ir dividiendo por dos el valor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado fijado.

PREGUNTA: Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia:

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a) infinitab) Lineal (Correcto. Has asimilado correctamente el documento.)c) no lineald) finita

6. Es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Dicho enunciado corresponde al concepto

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a) Precisiónb) Redondeoc) Exactitud (Correcto)d) Aproximación