Método Numérico Act 7: Reconocimiento Unidad 2

1. Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión:

Exactitud es el grado en el cual la información de un mapa o en una base de datos digital se muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad de los datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica.

El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros.

Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difícil y costoso.

Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar las características de los elementos con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el cuidado en su medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente.

El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción, requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción.

Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de la información.

Tomado de

www.uam.es/geoteca/articulos/error/Esp/Error,%20Exactitud%20y%20Precision.htm

Segun la lectura para obtener datos altamente precisos puede ser:

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a) Verdaderamente difícil y no costosob) verdaderamente fácil y asequiblec) verdaderamente difícil y costosod) verdaderamente fácil y costoso

2. Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como:

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a) Aproximación polinomialb) Ajuste de curvasc) Interpolación no Lineald) Polinomios de Lagrange

3. Teniendo en cuenta la lección anterior, entonces ¿Cuál de los siguientes métodos se considera como un método iterativo?:

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a) Método de eliminacion de Gauss-Jordanb) Método de Thomasc) Método de Gauss-Seideld) Método de eliminacion de Gauss

4. Ajuste de curvas

El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/ análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).

Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntos

Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:

y= ax + b

Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos.

Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:

y = ax2 + bx + c

Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos:

y = ax3 + bx2 + cx + d

que se ajustará a cuatro puntos.

Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o (1/R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline . También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad.

Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales ). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones.

Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen varias:

Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada.

Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.

Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no suceder con curvas polinómicas de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado).

Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo de puntos de inflexión de una curva polinómica es n-2, donde n es el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero.

Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto, comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho ajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden alto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Por ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los dos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómo comparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos como para el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste.

Para más información, véase el artículo sobre interpolación polinómica .

PREGUNTA:

Teniendo en cuenta la lectura entonces: "Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo":

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a) Doce puntos de inflexión

b) Once puntos de inflexiónc) Diez puntos de inflexiónd) trece puntos de inflexión

5. Si el vector b es cero se dice que el sistema es:

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a) No Heterogéneob) No homogéneoc) Homogéneod) Heterogéneo

6. INTERPOLACIÓN

(tomado de Métodos Numéricos de Antonio Nieves)

En el capítulo 2 de la unidad 2 estudiaremos la aproximación de funciones disponibles en forma directa (puntos tabulados), con funciones analíticas sencillas, o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija un reemplazo por funciones más simples.

La enorme ventaja de aproximar información discreta o funciones complejas, con funciones analíticas sencillas, radica en su mayor facilidad de evaluación y manipulación, situación necesaria en el campo de la ingeniería.

Las funciones de aproximación se obtienen por combinaciones lineales de elementos de familias de funciones denominadas elementales. En general tendrán la forma:

a0g0(x) + a1g1(x) + …+angn(x) ,

donde ai , con i ? i ? n , son constantes por determinar gi(x) funciones de una familia particular. Los monomios en x (x0, x1, x2,…) constituyen la familia o grupo más empleado; sus combinaciones generan aproximaciones del tipo polinomial

a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn

Además del polinomial existen otros grupos como el exponencial y el grupo de las funciones de Fourier. Y son lo más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones, integraciones, derivaciones, etc.

Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como ajuste de curvas, por su ajuste exacto. Y su modo de ajuste consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados y que satisfaga la condición de minimizar la suma de sus desviaciones elevadas al cuadrado.

Una vez obtenido el polinomio de aproximación, este se puede usar para obtener otros puntos adicionales a los existentes, mediante una evaluación conocida como interpolación.

Los puntos más relevantes de este capítulo, las cuales estudiaremos y estará sentado en la lección evaluativa son la Interpolación como concepto, Los polinomios de Lagrange, las diferencias divididas, la aproximación polinomial de Newton, el método de mínimos cuadrados (como ajuste de Curvas) y algunos conceptos de la transformada de Fourier.

Polinomios de interpolación de Lagrange

Un polinomio de interpolación de Lagrange, p se define en la forma:

(68)

en donde l0, l1,…, ln son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados x0, x1,…,xn, pero no de las ordenadas y0, y1,…,yn. La fórmula general del polinomio li(x) es:

(69)

Para el conjunto de nodos x0, x1,…,xn, estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la ecuación ( 68 ) obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange.

Ejemplo : Suponga la siguiente tabla de datos:

Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente.

Las funciones cardinales, empleando la expresión ( 69 ), resultan ser:

El polinomio de interpolación de Lagrange es:

p3(x) = l0(x)-23l1(x)-54l2(x)-954l3(x)

PREGUNTA:

De acuerdo al ejemplo realizado en la lectura anterior, se encontró que el coeficiente del polinomio de lagrange l3(x) es:

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a) -954b) -54c) -23d) 1