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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA
Volumen 20
i
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA. VOLUMEN 20 Editor:
Cecilia Rita Crespo Crespo / Comit Latinoamericano de Matemtica
Educativa Editores Asociados: Patricia Lestn, Teresa Cristina
Ochoviet, Carlos Oropeza Legorreta Diseo de portada: Patricia
Snchez Aguilar Derechos reservados. Comit Latinoamericano de
Matemtica Educativa Se autoriza la reproduccin total o parcial,
previa cita a la fuente. ISBN 978970 - 9971 - 13 - 2
ii
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Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa (CLAME)
www.clame.org.mx
Consejo Directivo (2004-2008)
Gustavo Martnez Sierra Presidente [email protected] Germn
Beita Secretario [email protected] Joaqun Padovani Tesorero
[email protected] Juan Ral Delgado Rub Vocal Caribe
[email protected] Edison de Faria Vocal Centroamrica
[email protected] Gisela Montiel Espinosa Vocal
Norteamrica [email protected] Cecilia Crespo Crespo
Vocal Sudamrica [email protected]
Consejo Consultivo
Egbert Agard Ricardo Cantoral Fernando Cajas Guadalupe de
Castillo Evarista Matas Rosa Mara Farfn Teresita Peralta
Comisin de admisin
Gabriela Buenda Eugenio Carlos Sandra Castillo
Comisin de Promocin Acadmica
Javier Lezama Yolanda Serres Leonora Daz Moreno Mayra Castillo
Uldarico Malaspina
Comit Internacional de Relme
Leonora Daz Moreno Gustavo Bermdez Olga Prez Gonzlez Hugo
Parra
iii
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Comit Cientfico de Evaluacin
Agard, Egbert Alans, Juan Antonio Arcos, Ismael Ardila, Analida
vila Godoy, Ramiro Bermdez, Gustavo Beyer, Walter Blanco, Hayde
Blanco, Ramn Buenda Abalos, Gabriela Cabaas Snchez, Mara Guadalupe
Cadoche, Lilian Camacho, Alberto Campistrous, Luis Cantoral,
Ricardo Carlos Rodrguez, Eugenio Carrasco, Eduardo Carrillo, Hugo
Castaeda, Apolo Castillo, Sandra Cordero Osorio, Francisco Crespo
Crespo, Cecilia Cribeiro Daz, Josefina Cruz, Cipriano Dalcn, Mario
De Faria, Edison Daz Moreno, Leonora Dolores, Crislogo Engler,
Adriana Espinoza, Lorena Espinoza, Pedro Farfn, Rosa Mara Gaita
Ipaguirre, Rosa Cecilia Garbin, Sabrina Grijalva, Agustn Gutirrez
Alvarez, Milagros Homilka, Liliana Ibarra Olmos, Silvia Lara Galo,
Claudia
Lestn, Patricia Lezama, Javier Mntica, Ana Mara Marcolini
Bernardi, Josefina Marta Martnez Sierra, Gustavo Minger Allec, Luz
Mara Miranda Montoya, Eduardo Molfino, Vernica Molina, Juan Gabriel
Montiel Espinsa, Gisela Muoz, Germn Ochoviet, Teresa Cristina Ojeda
Salazar, Ana Mara Okta, Asuman Olave, Mnica Oropeza Legorreta,
Carlos Ortega del Rincn, Toms Osorio Abrego, Hctor Parra, Hugo Prez
Gonzlez, Olga Lidia Prez, Mara del Carmen Piceno Rivera, Juan
Carlos Ponteville, Christiane Resndiz, Evelia Rizo Cabrera, Celia
Rosas Mendoza, Alejandro Ruiz, Blanca Salat, Ramn Snchez Aguilar,
Mario Sardella, Oscar Scaglia, Sara Serres, Yolanda Sierra, Modesto
Tejada de Castillo, Guadalupe Testa Rodrguez, Yacir Valero, Socorro
Velzquez Bustamante, Santiago Ziga, Leopoldo
iv
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Tabla de contenidos CATEGORA 1: Anlisis del currculum y
propuestas para la enseanza de las matemticas Conflictos cognitivos
que emergen en la resolucin de problemas relativos al lmite
No Miranda Valle, Catalina Navarro Sandoval, Elika Sugey
Maldonado Meja Dificultades en la interpretacin geomtrica de
algunos conceptos en lgebra lineal
Carlos Oropeza L., Javier Lezama A. Las secuencias didcticas con
enfoque constructivista: El caso de la funcin valor absoluto
Mara Guadalupe Ordaz Arjona Desarrollo de la dimensin emocional
y cambio en el auto-concepto matemtico a travs de resolucin de
problemas
Jos Daniel Martnez Gonzlez La enseanza de la funcin cuadrtica en
el bachillerato. Resultados de un proyecto de desarrollo
docente
Silvia Elena Ibarra Olmos; Lorena Fernndez Sesma Resolucin de
problemas antiguos que involucran al Teorema de Pitgoras
Mario Dalcn, Mnica Olave Un informe sobre el significado
personal logrado en el tema intervalos de confianza por alumnos de
una facultad de ciencias veterinarias
Teresita E.Tern, Mercedes Anido de Lpez Algunas inconsistencias
en el sistema axiomtico deductivo de los Elementos de Euclides y
sus implicaciones en el aprendizaje de la geometra
Marco Antonio Morales Salmern, Santiago Ramiro Velzquez
Bustamante Visin absolutista del principio de identidad en el
currculo escolar de matemticas
Andrea L. Lpez Pineda, Beatriz Moreno Carrillo Cuatro
instrumentos de conocimiento que comparten un aire de familia:
particular-general, representacin, metfora y contexto
Vicen Font
1
3
9
15
21
26
31
37
43
49
55
v
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El conocimiento de los estilos de aprendizaje como estrategia
para un aprendizaje autnomo
Ana Mara Craveri, Mara del Carmen Spengler La importancia de la
visualizacin geomtrica como estrategia de anlisis
Hctor E.Rubio Scola, Roberto Lpez, Mercedes Anido El uso de
computadora y can para el desarrollo del entendimiento matemtico de
fracciones en 4 de primaria
Iliana Miriam Lpez Jarqun, Simn Mochn Cohen La argumentacin y
enseanza del teorema fundamental del clculo en profesores de
bachillerato
Juan Carlos Ponce Campuzano Una ingeniera didctica como
estrategia de diseo de unidades curriculares
Ileana Pluss Dificultades en el aprendizaje de matemtica.
Obstculos y errores en el aprendizaje del concepto de dependencia e
independencia lineal
Mnica Caserio, Martha Guzmn, Ana Mara Vozzi Anlisis de los
esquemas de traduccin de enunciados del lenguaje natural al
lenguaje de la lgica proposicional
Angelino Feliciano Morales, Jos Luis Ramrez Alcntara La
centracin en problemas de probabilidad basados en el razonamiento
proporcional
Greivin Ramrez Arce, Esteban Ballestero Alfaro La lgica
dialctica y el clculo diferencial
Rafael Jimnez Martnez La enseanza de la modelacin en clase de
fsica y de matemticas
Ruth Rodrguez Gallegos La modelacin matemtica en la solucin de
problemas con apoyo de ecuaciones diferenciales de primer orden
Jorge vila Arciniega, Emma Antonia Juregui Medina, Elena
Nesterova El cambio de variable: un proceso matemtico o un
artificio de la matemtica?
Ramn Flores Hernndez
61
67
73
79
84
91
96
102
108
114
120
126
El aprendizaje del tema transformada de Laplace de funciones
definidas por
intervalos con apoyo del conocimiento previo sobre la funcin
escaln unitario
Emma Antonia Juregui Medina, Jorge vila Arciniega, Elena
Dmitrievna Nesterova
132
vi
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Estrategia didctica para flexibilizar el proceso de
enseanza-aprendizaje de la matemtica en la universalizacin de la
educacin superior
Dmasa Martnez Martnez, Aida Mara Torres Alfonso, Andrs Tellera
Rodrguez, Lzaro Dibut Toledo
Nociones matemticas y desarrollo de procesos cognitivos de
alumnos [6, 8] con percepcin auditiva diferenciada
Ignacio Garnica Dovala, Hilda Eneyda Gonzlez Ortiz Ecuaciones de
segundo grado: su historia
Mario Dalcn, Mnica Olave Ecuaciones de primer grado: su
historia
Mario Dalcn, Mnica Olave Grupo de estudos curriculares de educao
matemtica - GECEM
Carmen Teresa Kaiber; Claudia Lisete Oliveira Groenwald
Investigando e renovando a prtica escolar em matemtica
Carmen Teresa Kaiber, Claudia Lisete Oliveira Groenwald La
extrapolacin en ingeniera en alimentos
Mara del Carmen Valderrama Bravo, Juan Alfonso Oaxaca Luna,
Julio Moiss Snchez Barrera, Carlos Rondero Guerrero
Medios y enseanza de estocsticos en el tercer ciclo de educacin
primaria
Mara Patricia Flores Marroqun Lugares geomtricos: cul es su rol
en la enseanza de la demostracin en geometra?
Vernica Molfino, Greisy Winicki-Landman, Javier Lezama Andaln
Construccin colegiada y aplicacin de un examen criterial alineado
con el currculo para evaluar a gran escala un curso de clculo
diferencial
Jos Alvaro Encinas Bringas, Ruth Rivera Castelln, Maximiliano De
Las Fuentes Lara
La construccin de la recta tangente en puntos de inflexin: Un
mtodo alternativo en la articulacin de saberes
Oleksandr Karelin, Carlos Rondero Guerrero, Anna Tarasenko
Problemas en el desarrollo de habilidades lectomatemticas
Jos Octavio Camelo Romero, Ricardo Ulloa Azpeitia Un estudio
descriptivo de las interacciones en el aula. Elemento de anlisis en
la reprobacin y rezago de clculo
Estelita Garca, Eddie Aparicio
138
144
150
156
162
168
174
180
186
192
198
204
210
vii
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Una caracterizacin de las clases de clculo en el rea de
ciencias
Erika Garca, Eddie Aparicio El programa de la disciplina
matemtica para la carrera de ingeniera forestal en Cuba
Mara del Carmen Acua Salcedo, Madeln Garfalo Novo, Ignacio
Estvez Valds, Domingo Pimienta Barqun
Solucin de ecuaciones de grado superior mediante estrategias de
aprendizaje basado en problemas y el uso de objetos de
aprendizaje
Ricardo Ulloa Azpeitia, Ana Luisa Estrada Esquivel Tratamiento
didctico de las funciones reales de una variable: proceso de
modelacin
Elsa Caridad Ramrez Garca Desarrollo y formacin de habilidades
en la asignatura de estadstica en contexto de universalizacin de la
enseanza
Ral Bez Olazbal, Doris Prieto Valds, Irma Gonzles Jimnez, Ral
Bez Prieto
La resolucin de problemas y el uso de tcnicas estadsticas en el
contexto de la carrera de ingeniera mecnica
Ral Bez Olazbal, Doris Prieto Valds, Raul Bez Prieto, Edry Garca
Cisneros
La habilidad procesar datos. Consideraciones metodolgicas para
su desarrollo en el noveno grado de la secundaria bsica
Ricardo Snchez Casanova, Olga Lidia Prez Gonzlez, Fermn Hurtado
Curbelo
Pueden los estudiantes usar la funcin como medio de expresin en
el lenguaje matemtico?
Ramn Blanco Snchez, Alexia Nardn Anarela, Yosbel Morales Olivera
Metodologa para la imparticin de tpicos de estadstica y
probabilidades en la enseanza preuniversitaria en Cuba
Larisa Zamora Matamoros, Isabel Alonso Berenguer Ingeniera
didctica referida al concepto de fraccin
Yaneth Ros Garca La representacin geomtrica desde la perspectiva
de la tranferencias de registros
Mara Lourdes Rodrguez Gonzlez, Louremy Ricardo Rodrguez, Cila
Mola Reyes
Un modelo matematico del contenido de planes de estudio
universitarios
Jos Manuel Ruiz Socarras, Gaspar Barreto Argilagos, Ramn Blanco
Snchez
216
222
228
234
240
246
252
257
263
269
275
281
viii
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Resolucin de problemas con utilizacin de conocimientos del mundo
real
Marger da Conceio Ventura Viana, Marcos Paulo Freitas Gomes
Realidades e desafios da educao matemtica para os ticunas da
comunidade do Umariau Tabatinga/Amazonas
Luclida de Ftima Maia da Costa, Jos Camilo Ramos de Souza
Comprensin de las ideas de covariancia, correlacin y regresin en
estudiantes de nivel superior
Ignacio Delgado Escobar; Ana Mara Ojeda Salazar Utilizando la
estadstica como herramienta para el anlisis de la situacin
sociocultural, y laboral de alumnos pertenecientes al nivel
polimodal de escuelas tcnicas, de la provincia de tucumn y de sus
respectivas familias
Mario Avila, Ana Ibaez, Hilda Motok, Juan Carlos Prez, Graciela
Abraham, Mabel Rodriguez Anido, Norma Campos, Marta Ronveaux,
Carolina Garca
Acciones para el desarrollo de las habilidades para el
aprendizaje en estadstica una propuesta en la carrera de
bibliotecologa y ciencias de la informacin
Doris Prieto Valds, Ral. Bez Olazbal, Dominica Legaoa Ferr, Irma
Gonzles Jimnez, Ral Bez Prieto
Matemtica con literatura
Irene Zapico, Silvia Tajeyan CATEGORA 2: El pensamiento del
profesor, sus prcticas y elementos para su formacin profesional La
RELME a sus veinte aos
Ricardo Cantoral Principales tendencias que se revelan en los
trabajos presentados en las RELME
Luis Campistrous Profesores de matemticas y sus concepciones: el
caso de los parmetros de la parbola
Mario Snchez Aguilar Formacin de profesores. diversas
concepciones que afectan el quehacer docente y competencias
iniciales de profesores del nivel medio superior
Rosa Mara Farfn Mrquez, Leticia Sosa Guerrero
287
293
299
305
311
316
323
325
332
341
347
ix
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El clculo escolar universitario. un estudio de su problemtica en
una facultad de ciencias
Eddie Aparicio La motivacin y el uso de estrategias de
aprendizaje en estudiantes universitarios
Liliana Milevicich, Alejandro Lois Los sistemas de representacin
de Z en futuros profesores de matemtica
Parra S. Hugo Los docentes como evaluadores de una instancia de
evaluacin docente
Mercedes Anido, Hctor E. Rubio Scola La nocin de configuracin
epistmica como herramienta de anlisis de textos matemticos: su uso
en la formacin de profesores
Vicen Font, Juan D. Godino Las matemticas bsicas: una
experiencia en la Universidad Autnoma de Tamaulipas
Evelia Resndiz Balderas, Ramn Llanos Portales, Jorge Loredo
Osti, Griselda Hdz. C.
Las explicaciones de los profesores del nivel medio superior. un
estudio de la semejanza como objeto de enseanza aprendizaje
Hermes Nolasco Hesiquio, Santiago R. Velzquez Bustamante
Coherencias cognitivas vs matemticas en el estudio del cambio
Leonora Daz Moreno Los mtodos en la enseanza de la matemtica.
una experiencia en el contexto histrico-cultural de los alumnos de
la carrera de educacin bsica y de educacin media
Carmen Evarista Matas Prez, Lesly A.Meja R. Educacin virtual
usando tecnologa de redes para la formacin a distancia, de
profesores de matemticas
Gamboa Hinojosa Jess, vila Godoy Ramiro Una investigacin sobre
competencias docentes
Mercedes Anido de Lpez, Martha Elena Guzmn
353
359
365
370
376
382
388
394
400
406
412
x
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CATEGORA 3: Consideracin de aspectos socioepistemolgicos en el
anlisis y el rediseo del discurso matemtico escolar Intuicin y
visualizacin: demostracin en la convergencia de sucesiones
Nancy Janeth Calvillo Guevara, Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza Lo
peridico en la relacin de una funcin y sus derivadas
Angeles Alejandra Ordez Morales, Gabriela Buenda Abalos Estudio
de lo peridico en diferentes contextos: identificacin y uso de la
unidad de anlisis
Rosa Isela Vzquez Camacho, Gabriela Buenda Abalos Uso de las
ideas matemticas y cientficas de los incas, en la enseanza -
aprendizaje de la geometra
Enrique Huapaya Gmez, Csar E. Salas Valverde Cmo en el ejercicio
de la prctica de modelacin de un sistema de resortes se construyen
modelos multilineales?
Mara Esther Magali Mendez Guevara, Jaime L. Arrieta Vera Grfica
de la funcin logaritmo: una discusin entre los acercamientos
escolares tradicionales y la construccin geomtrica de Agnesi
(1748)
Renata Ivonne Lpez Snchez, Marcela Ferrari Escol La algoritmia;
una prctica social de las comunidades de ingenieros en sistemas
computacionales
Magdalena Rivera Abrajan, Jaime Arrieta Vera La nocin de
variable. Un estado del arte
Enrique Javier Gmez Otero, Crislogo Dolores Flores Clasificacin
de la matematizacin de la economa desde un punto de vista
socioepistemolgico
Sal Ezequiel Ramos Cancino y Germn Muoz Ortega Las prcticas de
modelacin de los estudiantes ante la problemtica de la contaminacin
del Ro de la Sabana
Arrieta Jaime, Carbajal Hctor, Daz Josu, Galicia Adriana, Landa
Lorena, Mancilla Vctor, Ricardo Medina, Ernesto Miranda
Usos de las grficas y sus repercusiones en el aprendizaje de la
matemtica
Crislogo Dolores Flores Formas bsicas de graficacin y su relacin
con situaciones de movimiento
Claudia Flores Estrada
419
421
427
432
438
444
450
456
461
467
473
479
485
xi
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La medicin de la absorcin de luz de soluciones qumicas, una
prctica social de ingenieros bioqumicos
Galicia Adriana, Arrieta Jaime, Landa Lorena Una red de modelos
y la construccin de los logaritmos
Marcela Ferrari Escola, Rosa Maria Farfn Mrquez Sobre la vida
escolar de la raz cuadrada en el nivel bsico
Domingo de Guzmn Lorenzo Rosario, Maria Patricia Coln Uribe La
emergencia de los logaritmos como herramienta para facilitar
clculos
Marisol Hernndez Snchez, Marcela Ferrari Escol El uso de las
grficas en la confrontacin entre la continuidad euleriana y la
estabilidad de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
Fidel Morales Couoh; Francisco Cordero Osorio Categoras de uso
de las grficas en ingeniera
Alba Gabriela Lara Medina, Francisco Cordero Osorio El uso de
las grficas en la mecnica de fluidos. El caso de la derivada
Teresa Guadalupe Parra Fuentes, Francisco Cordero Osorio La
construccin social de saberes matemticos. El caso del tratamiento
de la informacin
Santiago Ramiro Velzquez Un estudio sobre la construccin social
de la nocin de promedio en un contexto probabilstica
Allan Takeshi De la Cruz Oliva El reconocimiento de
argumentaciones por reduccin al absurdo en escenarios acadmicos y
no acadmicos
Cecilia Crespo Crespo Demostraciones matemticas: un recorrido a
travs de la historia desde una visin socioepistemolgica
Cecilia Crespo Crespo Aspectos numricos y grficos de la derivada
de orden superior
Ricardo Cantoral Uriza, Mario Snchez Aguilar, Juan Gabriel
Molina Zavaleta
Entorno sociocultural y cultura matemtica en profesores del
nivel superior de educacin. Estudio de caso en el Instituto
Tecnolgico de Oaxaca. Una aproximacin socioepistemolgica.
Resultados
Luz Mara Minguer Allec, Javier Lezama Andaln
490
496
502
507
513
519
525
531
536
542
548
554
560
xii
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La modelacin matemtica en el contexto de ingeniera civil a travs
de la interpolacin y la prediccin
Hiplito Hernndez Prez, Germn Muoz Ortega, Gabriela Buenda Abalos
Sobre la construccin escolar de la funcin trigonomtrica: la
transicin
realesradianesgrados Claudia Leticia Mndez Bello, Gustavo
Martnez Sierra, Elika Sugey Maldonado Meja
Anlisis socioepistemolgico de los procesos de matematizacin de
la prediccin en la administracin industrial
Eduardo Ortiz Hernndez, Germn Muoz Ortega La didctica y la
cognicin de los ngulos negativos y mayores a 360 y sus funciones
trigonomtricas: un estudio en el nivel medio superior
Jorge Martnez Tecolapa, Gustavo Martnez Sierra Proporcionalidad
y anticipacin, un nuevo enfoque para la didctica de la
trigonometra
Gisela Montiel Espinosa Las series numricas infinitas en la
india en los siglos VI al XVI
Alejandro Miguel Rosas Mendoza Los procesos de convencin
matemtica y la inclusin de las funciones trigonomtricas en el marco
del anlisis euleriano
Gustavo Martnez Sierra CATEGORA 4: Uso de la tecnologa en el
proceso de aprendizaje de las matemticas Retos y desafos ante las
puertas de la tecnologa
Juana Acosta Ganm El juego utilizando calculadora graficadora
como medio para la enseanza de las ecuaciones paramtricas
Ruth Rivera Castelln, Maximiliano De Las Fuentes Lara, Jos
Alvaro Encinas Bringas
567
573
579
585
590
596
602
609
611
617
xiii
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Propuesta de una estrategia para la enseanza de tpicos de
computacin a estudiantes de licenciatura en matemtica
Jorge Rey Daz Silvera, Larisa Zamora Matamoros Campo de
direccin. Mtodo de las isoclinas, en la solucin de ecuaciones
diferenciales de primer orden
Pedro Castaeda Porras, Arelys Quintero Silverio, Aura Matilde
Moreno Fierro
Experiencia en el uso del asistente matemtico derive, en la
solucin de problemas fsicos y/o geomtricos
Pedro Castaeda Porras, Arelys Quintero Silverio, Pablo R. Chvez
Hernndez El ordenador como recurso didctico en la resolucin de
problemas
Liliana Milevicich, Alejandro Lois UNIVERSIMAT, entorno para la
comprensin de la matemtica en el proceso de universalizacin de la
educacin superior
Andrs Tellera Rodrguez, Dmasa Martnez Martnez, Aida Mara Torres
Alfonso, Angel Aljadis Daz Pea, Yuniesky Carralero Cuellar
Entornos virtuales para el logro de comprensin de objetos
matemticos
Ada Mara Torres Alfonso, Dmasa Martnez Martnez, Andrs Tellera
Rodrguez
Estrategias para el aprendizaje significativo en matemtica
Liliana Milevicich, Alejandro Lois Objetos para aprendizaje que
integran un ambiente virtual
Rafael Pantoja Rangel, Ricardo Ulloa Azpeitia Diseo de un curso
en lnea de ecuaciones diferenciales y su efecto sobre el
aprendizaje de los estudiantes
Edgar Gilberto Aorve Solano, Elena Dmitrievna Nesterova El
laboratorio de computacin para la enseanza de la matemtica. Una
forma constructiva para el aprendizaje
Rafael Jimnez M, Rosa Vzquez C, Milagros Gutirrez . Visualizando
conceptos de la geometra moderna con el apoyo del software Cabr
Mara del Pilar Rosado Ocaa La enseanza de la probabilidad y
estadstica usando Statgraphics
Jos Guadalupe Torres Morales, Rosario del Pilar Gibert Delgado
Funciones con Derive... A distancia: categorizacin y anlisis de
errores matemticos
Mercedes Anido, Susana Marchisio, Patricia C, Sandra Mansilla,
Marisa
623
629
635
641
647
652
659
665
671
677
683
689
xiv
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Pirano, Mnica del Sastre, Ana Sadagorsky, Graciela Pavn, Erica
Panella Una propuesta generadora de aprendizaje autnomo
Mabel Medina, Hctor Rubio Scola, H. Mercedes Anido La comprensin
del concepto de variable a travs del trabajo con la hoja electrnica
de clculo
Alejandro Olea Daz Impacto del uso de calculadoras avanzadas en
la formacin estadstica de estudiantes de ingeniera
Enrique Hugues Galindo, Maricela Armenta Castro, Gerardo
Gutirrez Flores, Manuel Alfredo Urrea Bernal
Interpolacin y modelado de curvas
Edison De Faria Campos Dos enfoques para medir la relacin entre
actitudes hacia las matemticas y aprovechamiento matemtico: La
experiencia mexicana con EMAT
Jos Gabriel Snchez, Sonia Ursini Pensamiento algortmico,
tecnologa y aprendizaje de la matemtica numrica
Eugenio Carlos Rodrguez Diseo de software para la enseanza del
conteo en educacin preescolar
Patricia Martnez, Marina Kriscautzky Las prcticas de modelacin
virtual
Csar Lpez Godoy, Marisol Jurez Caldern, Jaime L. Arrieta Vera El
uso de la calculadora graficadora en la preparacin matemtica de los
estudiantes para el ingreso a la universidad
Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodrguez, Pablo Gmez
Fuentes, Nelson Hernndez Reyes
Sistema de enseanza/aprendizaje inteligente para grafos
Natalia Martnez Snchez, Gheisa Ferreira Lorenzo, Zoila Zenaida
Garca Valdivia, Maikel Len Espinosa
Una didctica para el tratamiento de las situaciones de
aprendizaje de la geometra con un enfoque dinmico en la escuela
Celia Rizo Cabrera, Luis Campistrous Prez Algunas
consideraciones sobre los problemas matemticos aplicados a las
asignaturas modelacin mecnica y fsica
Alexia Nardn Anarela, Nereida Pupo Cintras, Mximo Montes de Oca
Paredes
695
700
706
712
718
724
730
736
741
747
751
757
763
xv
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xvi
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Presentacin El Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa
(Alme), es publicada anualmente por el Comit Latinoamericano de
Matemtica Educativa (Clame), en cumplimiento de sus propsitos de
posibilitar el intercambio y difusin entre colegas del rea de la
matemtica educativa con la finalidad de orientar acciones en
beneficio de los sistemas escolares de Amrica Latina. El Alme tiene
carcter de publicacin peridica y si bien los artculos que la
integran provienen de trabajos que fueron previamente expuestos en
la Reunin Latinoamericana de Matemtica Educativa (Relme), son
presentados en forma de artculos y sometidos posteriormente a dicha
reunin, a la evaluacin rigurosa de pares especialistas en dicho
campo. Esta publicacin se compone de trabajos en los que docentes e
investigadores latinoamericanos de matemtica educativa exponen sus
experiencias, propuestas e investigaciones, mostrando los productos
de una comunidad activa de creciente profesionalizacin y
fortalecimiento de esta disciplina. De esta manera, se trata de una
tarea que se plantea ao tras ao el objetivo de lograr difundir
mediante una publicacin de nivel acadmico, el estado del arte en
materia de docencia e investigacin en el campo de la matemtica
educativa en Latinoamrica. En este caso, las exposiciones tuvieron
lugar durante Relme 20, llevada a cabo en Camagey (Cuba) durante
2006. El Comit Editor y Comisin Acadmica del Alme 20 estuvo formado
por colegas de distintos pases latinoamericanos que colaboraron en
dicha edicin. Los trabajos han sido organizados segn cuatro
categoras:
Categora 1: Anlisis del Currculum y Propuestas para la Enseanza
de las Matemticas.
Categora 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prcticas y
Elementos para su Formacin.
Categora 3: Consideracin de Aspectos Socioepistemolgicos en el
Anlisis y Rediseo del Discurso Matemtico Escolar.
Categora 4: Uso de la Tecnologa en el Proceso de Aprendizaje de
las Matemticas.
xvii
-
Los miembros del Comit Editor y Comisin Acadmica del Alme 20,
agradecemos a todos los profesores e investigadores que enviaron
sus artculos. Pusimos nuestra mayor atencin en la constitucin de
este documento y nos sentimos orgullosos de haber podido participar
en l prestando este servicio acadmico. Agradecemos a los rbitros
por su contribucin solidaria y profesional, como asimismo y de
manera especial a todos los colegas que de manera generosa y
entusiasta nos regalaron su tiempo, inteligencia y creatividad para
la realizacin de este proyecto.
Comisin Acadmica del Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa
2007.
Mayo 2007
xviii
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CATEGORA 1: Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza
de las matemticas
-
Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
2
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
3
CONFLICTOS COGNITIVOS QUE EMERGEN EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
RELATIVOS AL LMITE
No Miranda Valle, Catalina Navarro Sandoval y Elika Sugey
Maldonado Meja Unidad Acadmica de Matemticas de la Universidad
Autnoma de Guerrero. (Mxico)
[email protected], [email protected], [email protected]
Campos de investigacin: resolucin de problemas. Nivel educativo:
superior
Palabras clave: conflictos cognitivos, problemas, lmite Resumen
En la presente investigacin, se muestran algunos resultados sobre
conflictos cognitivos que emergen en la resolucin de problemas que
involucran la nocin de lmite. Con la intencin de detectar qu
conflictos cognitivos emergen en el proceso o intento de resolucin
de dos problemas en particular; uno de ellos es una paradoja, ste
en el sentido de Northrop (2002); y el otro, un problema que
involucra el concepto de lmite. La aplicacin de los problemas se
desarroll con estudiantes de nivel superior de la Universidad
Autnoma de Guerrero. Antecedentes Dentro de los antecedentes se
cuenta con la propuesta de Flores (2004) que sugiere emplear
paradojas para provocar conflictos cognitivos en profesores de
matemticas en formacin, quienes deben compartir una visin
epistemolgica constructivista de la matemtica, y para lo cual se
debe romper con la visin unidimensional de la misma a partir del
paradigma de la reflexin en la accin. Una investigacin fue
realizada por Movshovitz y Hadass (1990), quienes consideran que
para la formacin de los profesores-estudiantes se deben integrar
contenidos de matemticas, psicologa y pedagoga, para ello
plantearon una paradoja relacionada con la demostracin de la
irracionalidad del nmero 2, observando que la actitud predominante
fue de desesperacin y angustia por detectar o no el error. Otra
investigacin es la de Ramrez (2004) que da a conocer las distintas
reacciones que provocaron algunas paradojas planteadas a profesores
de matemticas y fsica, sobresaliendo su reaccin reflexiva en la que
expresaron su deseo de mayor anlisis para la resolucin, creyendo
que estaban mal planteadas o que haba algn error en ellas. La
investigacin que combina el concepto de lmite y paradoja es la de
Sacristn (2003), en la que se trabaj procesos infinitos en un
ambiente de exploracin computacional con el fin de ayudar a los
estudiantes a experimentar diversos contextos y construir diversas
representaciones externas del concepto e interactuar con ellas.
Particularmente, explor algunas sucesiones y series infinitas
mediante figuras geomtricas recursivas, especficamente, la Curva de
Koch que condujo a los estudiantes a una paradoja: El permetro
infinito est formado por segmentos de longitud cero, al decir: la
longitud de cada segmento era dada por la frmula
n3
1 , un valor que se aproxima a cero a medida que n crece.
Otra
investigacin que se consider es la de Hitt (2003) que muestra
los obstculos de aprendizaje del lmite y continuidad de funciones,
que en el caso del lmite se menciona que los obstculos estn en la
palabra lmite y tiende hacia, destacando que el lmite de la funcin
no es alcanzado. Por lo anterior, se plantea como problema de
investigacin qu conflictos cognitivos emergen en el proceso o
intento de resolucin de dos problemas relativos al concepto de
lmite.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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Conflictos cognitivos La historia muestra que las paradojas del
infinito promovieron reflexiones profundas en relacin a los
conceptos matemticos, que llevaron a conclusiones ms
satisfactorias, a definiciones ms precisas y rigurosas, resolviendo
el problema causado por el infinito potencial y el infinito actual.
Sin embargo, la matemtica escolar sigue enfrentando diferentes
dificultades entre la intuicin y lo formal, como ejemplo se muestra
la siguiente afirmacin: Una funcin constante kxf =)( no tiene
lmite. Por qu? Porque no satisface la siguiente definicin: Sea a un
nmero real contenido en un intervalo abierto y sea f una funcin
definida en todo el intervalo (cerrado), excepto posiblemente en a
, y sea L un nmero real. Entonces Llm f(x)
ax=
significa que )(xf puede acercarse arbitrariamente a L
si x se elige suficientemente cercano a a (pero ax ). Ya que si
se aplica la definicin se observa que hay un absurdo o una
imposibilidad para responder la pregunta: a qu valor L puede
acercarse una funcin constante si x se elige lo suficientemente
cercano a a ? Contradicciones como esta inciden en la falta de una
explicacin satisfactoria e intuitiva, lo cual constituye un
conflicto cognitivo, hecho que fue obtenido o corroborado con tres
estudiantes en una experiencia de clase. Las respuestas emitidas
constituyeron un factor ms para proseguir la bsqueda de otros
conflictos cognitivos. Entendiendo que un conflicto cognitivo es un
estado de desequilibrio que surge cuando una concepcin que tiene un
individuo entre en conflicto con alguna otra concepcin que lleva el
mismo individuo, o bien con el ambiente externo, segn Aguilar y
Oktac (2004); es decir, un conflicto cognitivo es un estado de
desequilibrio psquico de un sujeto, un estado de contradicciones
existentes entre las imgenes del concepto propias del estudiante y
el concepto en s (el concepto cientfico). Un conflicto cognitivo es
creado en forma consciente por el docente y no necesariamente es
provocado por la cuestin epistemolgica del concepto. Para resolver
un conflicto cognitivo es necesario tomar consciencia de su
existencia, es decir, interiorizar la situacin conflictiva, que
demanda una modificacin de los esquemas mentales y cambio de las
imgenes del concepto. Mientras no ocurra esa interiorizacin o toma
de conciencia de la existencia del conflicto no se har algo por
parte del sujeto para superarlo y por tanto, no se produce la
equilibracin y el aprendizaje. Sin embargo, Duit y Treagust (1998)
sealan que los conflictos cognitivos no necesariamente producen
cambios conceptuales o desarrollo cognitivo, pues existen ciertos
factores o causas que inhiben ese cambio o desarrollo, entre ellos
son:
a) Los estudiantes son, frecuentemente, incapaces de comprender
la nueva teora porque sus concepciones previas proporcionan una
interpretacin esquemtica; b) Las nuevas concepciones no resultan
inteligibles y plausibles para los estudiantes; c) Los estudiantes
son incapaces de comprender los nuevos puntos de vista porque no
poseen suficientes conocimientos previos; d) Sin una cierta
cantidad de conocimientos previos, los argumentos a favor de las
nuevas concepciones no pueden ser comprendidas; e) Los estudiantes
comprenden una nueva teora, pero no creen en ella.
Finalmente, los conflictos cognitivos se clasifican (por Duit y
Treagust) en tres clases primarias:
1) Conflictos entre predicciones de los estudiantes y el
resultado del experimento; 2) Conflictos entre las ideas de los
estudiantes y las de los profesores; 3) conflictos entre las ideas
de los estudiantes.
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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Descripcin de los problemas Previo al desarrollo de la
investigacin se realiz un estudio del concepto de lmite, para tener
mayor conocimiento sobre el tema, en tres aspectos: epistemolgico,
didctico y cognitivo. En el aspecto epistemolgico se encontr, entre
otros, que Zenn de Elea (495-435 a. C.) con sus paradojas evoc el
concepto de lmite; DAlembert (1717-1783) llamaba a una cantidad el
lmite de una segunda cantidad variable, si la segunda puede
aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que
cualquier cantidad dada (sin dejar nunca a coincidir con ella)
(Boyer, 2001). Weierstrass (1815-1897), fue quien formaliz el
concepto mediante la definicin conocida actualmente como
psilon-delta, . Dentro de este aspecto Corn (1991) seala los
obstculos epistemolgicos siguientes: El fracaso de la unin entre
geometra y aritmtica, tal como ocurre en el caso del clculo del rea
del crculo; la nocin de lo infinitamente grande e infinitamente
pequeo; el aspecto metafsico de la nocin de lmite; y el lmite es
alcanzado o no? Dentro del aspecto didctico se encontr que el
concepto, presenta dificultades u obstculos debido a su naturaleza,
al currculo y a los mtodos de enseanza del profesor (D Amore,
2005). En la revisin de planes y programas de estudio del nivel
medio superior de esta universidad, se encontr que para las
preparatorias se tiene el libro de texto: Matemticas V (Calculo
Diferencial), donde se expone una de las paradojas de Zenn
(Fernndez, 2005; Hitt, 2003); mientras que en la licenciatura no se
expone ninguna para formar el concepto de lmite y su definicin,
sino solamente en el tratamiento de las series infinitas de dos
textos bibliogrficos. En el aspecto cognitivo Sierpinska (1985,
citado en Cantoral, et al, 2000) presenta obstculos de aprendizaje,
tales como: la persona rehsa admitir que el paso al lmite es una
operacin matemtica, la dificultad de eliminar el problema del
infinito al tomar tantos trminos como sean necesarios, se fija ms
la atencin en funciones montonas, y se usa ms el lenguaje natural
que smbolos usuales en el paso al lmite. Como resultado del
anterior anlisis se eligieron dos problemas con caractersticas
geomtricas que involucran el concepto de lmite mediante procesos
infinitos y la situacin lmite. Los estudiantes que participaron en
esta investigacin son de nivel superior de esta Unidad Acadmica,
mismos que ya haban cursado Clculo Diferencial e Integral I y
Geometra Euclidiana. Los problemas fueron planteados a manera de
proposicin con sus respectivas de figuras geomtricas y son los
siguientes: 1. No existe ningn polgono regular inscrito en un
crculo, o circunscrito al mismo, de n3,
Nn , lados cuya rea sea igual al del crculo, i.e., r2. 2. Las
semicircunferencias, cuyos dimetros son los n3 lados del polgono
regular inscrito
tienen como lmite a la circunferencia que circunscribe a ese
polgono, o sea, 2 r. El primer problema es una afirmacin verdadera,
pues no se indica que n tiende al infinito y cuando se indica esa
operacin entonces se dice que el rea del crculo es el lmite del rea
de polgonos regulares inscritos y circunscritos. El segundo es una
afirmacin falsa, ya que es una paradoja en el sentido de Northrop
(2002), donde tanto la observacin (mirada) como la intuicin fallan.
Los dimetros de las semicircunferencias son polgonos regulares
inscritos, Pn, en la circunferencia cuyo lmite es
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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ella misma; mientras que la longitud de las
n-semicircunferencias es 2 n
nPC = , y al pasar al
lmite se tiene, r r (PlmClm nnnn
2
2)2
2 ===
.
La solucin de los dos problemas exige el dominio de conceptos de
geometra y trigonometra, tales como: el ngulo central de un crculo;
razones trigonomtricas; frmula del rea de un tringulo, la frmula de
la circunferencia r 2C = como lmite del permetro de un polgono
regular inscrito de n lados, nP , cuando n tiende al infinito, es
decir,
rPlm nn 2= ; y la razn de la circunferencia con respecto a su
radio es la misma cualquiera que sea el tamao de la circunferencia,
i. e. , =
rc
2.
En ambos casos, en un primer momento se les indic emitir un
juicio, en forma individual e intuitiva, diciendo si la afirmacin
era falsa o verdadera. En un segundo momento se organiz a los
estudiantes en equipos de tres integrantes para que discutieran sus
respuestas anteriores y posteriormente mostraran las respuestas a
la que llegaran en equipo. Resultados En la resolucin del primer
problema participaron trece estudiantes, de los cuales siete
respondieron que la afirmacin era verdadera, es decir, n no puede
tender a + , pues n es un nmero natural; seis respondieron que era
falsa, interpretando el rea del crculo como lmite de reas de los
polgonos regulares inscritos y circunscritos, ignorando que el
nmero de lados de dichos polgonos es n3, donde Nn , o sea, dieron
el paso al lmite: n tiende a + , por lo que, las respuestas fueron
intuitivas en el sentido de Fischbein (1978, 1987).
En el segundo momento, discutieron sus respuestas individuales,
de donde surgi una propuesta de solucin, de todos y cada uno de los
equipos, entre las cuales se muestra la siguiente:
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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Donde se observa que la frase tiende a lo manejan como
aproximacin, el lmite no se alcanza, tal como lo defini DAlembert,
y efectivamente, no operan adecuadamente con el lmite. Su idea
entra en conflicto con la idea matemtica que consiste en mostrar
claramente que su respuesta es
correcta. Adems, al calcular el lmite del rea 2
nlrA = cuando +n el rea es infinita. Otros, insistieron en que
el lmite es 2r sin poder mostrarlo, y slo el equipo cuatro pudo
mostrar este resultado. En la resolucin del segundo participaron
doce estudiantes, de los cuales once respondieron que la afirmacin
era verdadera, pues es fija la idea: la respuesta intuitiva debe
coincidir siempre con la respuesta formal o matemtica. Tomaron la
idea de solucin del equipo cuatro que mostr la respuesta matemtica
en el problema anterior. A continuacin mostramos una
realizacin:
Como se observa, se obtuvo la contradiccin de =2 y creen que hay
un error en la suposicin, y pese a ello se generaliz y se obtuvo
2=n . Pero la mayora, simplemente dio una respuesta puramente
intuitiva, que en este caso no coincide con la matemtica. Este
es
otro conflicto encontrado, por no tener en cuenta que =r
c2
siempre es la misma cualquiera
que sea el tamao de la circunferencia.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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Conclusiones Las conclusiones son resultado de todo el trabajo
realizado, entre ellas, son: la enseanza tradicional procede a
introducir el concepto de lmite mediante funciones y sucesiones
montonas, generalmente; no introduce el concepto de lmite mediante
problemas de carcter geomtrico; tampoco emplea paradojas relativas
al concepto, por considerarlas como exclusivas de la comunidad
matemtica; si un estudiante no logra resolver el problema
planteado, sea paradoja o no, tiene dos opciones en su proceder
posterior, por lo menos:
a) ser ms consciente de sus disposiciones de los conocimientos
matemticos y de sus limitaciones, por lo que para eliminarlas
necesitar investigar y estudiar con detenimiento ciertos aspectos.
b) bloquearse y fortalecer la idea de que la matemtica es difcil,
por lo que hay que renunciar a ella o resignarse a aceptar su
existencia como teora.
Sin ms nimo de profundizacin o de investigacin. Por lo que se
sugiere incorporar las paradojas en el sistema de enseanza, pues
son un medio de construccin o reconstruccin del conocimiento, segn
muestra la historia. Referencias bibliogrficas Aguilar, P. y Okta
A. (2004). Generacin del conflicto cognitivo a travs de una
actividad de
criptografa que involucra operaciones binarias. Relime 7(2),
117-143. Boyer, C. (2001). Historia de la matemtica. Madrid, Espaa:
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bachillerato.
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Klumer Academic Publishers. Flores, P. (2004). Paradojas
matemticas para la formacin de profesores (Mathematical paradoxes
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teachers education). Revista sobre la enseanza y aprendizaje de
las matemticas, SUMA No. 31. P. 27.
Hitt, F. (2003). El concepto de infinito: obstculo en el
aprendizaje de lmite y continuidad de funciones. En E. Filloy
(Ed.), Matemtica Educativa: Aspectos de la investigacin actual (pp.
91-111). Mxico: Centro de Investigacin y de Estudios
Avanzados-FCE.
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Ramrez, J. (2004). Los profesores ante problemas paradjicos: una
invitacin a la reflexin. En
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Tuxtla Gutirrez, Chiapas, Mxico. 2004.
Sacristn, A. (2003). Dificultades y paradojas del infinito:
experiencias en un ambiente de exploracin computacional. En E.
Filloy (Ed.), Matemtica Educativa: Aspectos de la investigacin
actual (pp.262-279). Mxico: Centro de Investigacin y de Estudios
Avanzados-FCE.
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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DIFICULTADES EN LA INTERPRETACIN GEOMTRICA DE ALGUNOS CONCEPTOS
EN LGEBRA LINEAL
Carlos Oropeza L., Javier Lezama A. UNAM, CICATA-I.P.N.
(Mxico)
[email protected], [email protected] Campo de
investigacin: pensamiento matemtico avanzado, Nivel educativo:
superior Palabras clave: dependencia lineal, independencia lineal,
representaciones geomtricas
Resumen En esta exploracin se reportan algunas dificultades
relacionadas con la interpretacin geomtrica de los polinomios de
segundo grado en el concepto de dependencia e independencia lineal.
La naturaleza abstracta de la asignatura de lgebra Lineal, provoca
dificultades en el entendimiento de los conceptos que sta aborda y
como una cuestin importante ligada a la percepcin espacial que no
slo se reduce a la geometra, se trata de la visualizacin en
matemticas. En este trabajo se presenta propuesta una alternativa
para que los estudiantes puedan hacer uso de las representaciones
geomtricas con la intencin de aportar ciertos rasgos de claridad en
el entendimiento del concepto referido, una vez que se acepte usar
el isomorfismo para representar las funciones polinomiales de orden
n como una representacin de vectores en el espacio 1+nR .
Introduccin La Matemtica Educativa se ha ocupado del aprendizaje
matemtico y de los procesos de enseanza en el nivel universitario
por ms de 30 aos. Ha intentado mejorar nuestra comprensin de las
dificultades que los alumnos encuentran al aprender matemticas y
las disfunciones del sistema didctico; tambin ha intentado
encontrar vas que permitan superar tales dificultades. La enseanza
y aprendizaje del lgebra lineal en las carreras ingeniera presentan
mltiples dificultades, razn por la cual se han promovido
reflexiones profundas en torno a la bsqueda de presentaciones
diferentes del tema en cuestin. Es comn que en la enseanza
convencional del lgebra lineal, la mayor parte de conceptos se
presentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no
tiene (en la mayora de los casos) conexin con conocimientos previos
ni argumentos geomtricos o fsicos que motiven la definicin
presentada. Los problemas asociados se resuelven usando la
definicin formal junto con argumentos derivados de la lgica. Esto
hace que muchos estudiantes perciban que la materia es demasiado
abstracta y que los contenidos son objetos que no tienen relacin
con algo que se pueda aplicar en la realidad. Los orgenes tericos
del estudio, sobre los que se basa este documento, consisten en la
comprensin de que una reforma educativa referente a la enseanza de
las matemticas no puede tener lugar en ausencia de una nocin de los
procesos de pensamiento del alumno. Aunado a la reconocida
complejidad intrnseca de las matemticas, aparece la dimensin
cognoscitiva de la didctica que es particularmente relevante
(Balacheff, 1990). Entre los problemas relativos al aprendizaje del
lgebra lineal, estn las diferentes representaciones que puede tener
un mismo objeto como por ejemplo el cero que puede representar un
vector, un escalar o un espacio vectorial, y que los libros de
texto hacen uso indistinto de estas diferentes formas de
interpretacin; y para las cuales no resulta muy claro para un
estudiante que se trata del mismo objeto. O bien, como seala
Sierpinska (1996) el alumno se encuentra, entonces, con dos
representaciones diferentes de la suma de vectores, una geomtrica
con una definicin formal y otra enteramente formal para espacios
vectoriales generales.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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Una posicin pragmtica a seguir podra ser la de que no se usen
varias representaciones de un objeto matemtico, pero, como lo seala
Duval (1993): las diferentes representaciones semiticas de un
objeto matemtico son absolutamente necesarias. En efecto, los
objetos matemticos no son directamente accesibles por la percepcin,
o por la experiencia intuitiva inmediata como son los objetos
comnmente llamados reales o fsicos (pg.38). Las representaciones
semiticas juegan un papel fundamental en la actividad matemtica.
Continuando con estas ideas, tenemos en consecuencia que la
aprensin de los objetos matemticos y obliga a la interaccin de
diferentes representaciones semiticas. Hemos dividido el presente
trabajo en dos partes, la primera relativa a las dificultades que
hay en la articulacin de diferentes sistemas semiticos de
representacin del concepto de funcin. La segunda trata sobre
errores en el uso de tales sistemas y repercusiones en la enseanza,
a travs de anlisis de casos. En lo que sigue utilizaremos el
sistema semitico de representacin en el sentido que lo utiliza
Duval. Suponemos que el aprendizaje no es visto como aislado en un
vaci cognoscitivo, sino dentro de un contexto sociocultural
(Vygotsky, 1962); por lo tanto, en una visin constructivista del
pensamiento (Von Glasersfeld, 1987) la cognicin del que aprende,
mientras sea personal y de inters individual, es tambin vista
enfticamente como que tiene lugar en un ambiente de aprendizaje.
Una figura geomtrica, un enunciado en lengua natural, una formula
algebraica, una grafica son representaciones semiticas que
pertenecen a sistemas semiticos diferentes. Generalmente, se
considera a las representaciones semiticas como un simple medio de
exteriorizacin de las representaciones mentales para fines de
comunicacin, es decir, para volverlas visibles o accesibles a
otros. Ahora bien, este punto de vista es engaoso. Las
representaciones no solamente son necesarias para fines de
comunicacin, si no que son igualmente esenciales para la actividad
cognitiva del pensamiento. A partir de lo dicho anteriormente nos
proponemos explorar: El uso de las representaciones geomtricas con
la intencin de que los estudiantes
puedan incorporarlas en la comprensin del tema en estudio. La
nocin que tienen los estudiantes del concepto de dependencia e
independencia
lineal de los polinomios de segundo grado expresados como
espacios vectoriales. Contenido de la experiencia Definicin: Un
conjunto de vectores {v1, v2,.....,vk} de un espacio vectorial V es
LINEALMENTE DEPENDIENTE si existen escalares c1, c2....,ck, al
menos uno de los cuales no sea 0, tales que: c1v1 + c2v2+.....+
ckvk = 0 Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente
se dice que es LINEALMENTE INDEPENDIENTE. (Grossman, 2005). Por
otra parte, centramos nuestra atencin en el hecho de que se puede
establecer un isomorfismo, entre el conjunto de polinomios nP con
el espacio vectorial
1+nR , este hecho requiri de estudio en cuanto a la definicin
formal de esta idea. A continuacin se muestran las conclusiones del
establecimiento de dicha idea:
Como [ ]cbacbxaxf ,,: 2 ++ es lineal y biyectiva, se deduce que
1: nnf P R + es isomorfa y entonces se dice que los espacios
vectoriales nP y 1nR + son isomorfos.
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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Tomando como fundamento la consideracin anterior se construy una
experiencia en la cual el punto central consiste en manipular una
serie de polinomios de segundo grado, parte de la puesta en escena
de la actividad puede apreciarse en las siguientes dos figuras. En
la primera de ellas, se puede apreciar que el grupo de estudiantes
reportan una tendencia por relacionar los puntos de interseccin
entre las parbolas analizadas y el concepto de dependencia e
independencia lineal de las mismas. Tambin se puede apreciar que
esta idea los conduce a plantear otros sistemas distintos, en donde
en particular este equipo de estudiantes hace la propuesta de un
conjunto de polinomios que los conduce en su solucin a una
inconsistencia a la cual no pudieron darle una interpretacin en su
significado.
Figura 1
En la segunda figura, podemos apreciar como el grupo de
estudiantes (del mismo equipo), inicia una extensin de su idea
inicial que proponen como interpretacin geomtrica de los polinomios
de segundo grado, misma que tiene que ver con las intersecciones de
las parbolas que grafican. Cabe precisar que se mantienen en esa
idea hasta la parte de retroalimentacin de la actividad, a pesar de
que en su reporte (figura 2) se encuentran indicios del rompimiento
de esta idea tal como se puede observar en la ltima de la grficas
que dibujan y que justamente se alcanza en el momento de la
exposicin del material por parte de los equipos.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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Figura 2
El diseo de las actividades ha experimentado ciertas
modificaciones, tal es el caso de la utilizacin del software
matemtico usado como instrumento verificador de resultados. Una
pequea muestra de ello se presenta a continuacin. Los siguientes
ejemplos han sido resueltos con la ayuda de las libreras de Maple
versin 9.5. Se tienen dos polinomios 322 xx y 962 + xx en los
cuales se debe determinar si son linealmente dependientes o
independientes.
>restart:with(linalg): a:=: Sintaxis de Maple sol:=:
gaussjord();
En el resultado obtenido se observa que el conjunto de
polinomios son linealmente independientes, ya que en la solucin del
sistema de ecuaciones los escalares son igual a cero. En su grfica
correspondiente se puede apreciar que a pesar de que las parbolas
comparten una raz son linealmente independientes.
>plot({x^2-2*x-3,-x^2+6*x-9},x=-4..7); Ahora se presenta un
segundo ejemplo analizado, en el cual se hace uso del isomorfismo.
La actividad consiste en estudiar tres polinomios de segundo grado
linealmente dependientes: -2x+x, x-4x, 8x-7x.
000010001
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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Estableciendo los polinomios de estudio -2x+x, x-4x, 8x-7x como
vectores, se tiene:
V1:=; V2:=; V3:=;
De la ecuacin de la forma general obtenemos que: Resolviendo el
sistema de ecuaciones: Como podemos observar los vectores se
encuentran contenidos en un plano y por tanto en 3R son linealmente
dependientes. Tambin podemos observar, que los resultados obtenidos
son los mismos, es decir, que en este apartado puede ayudar a
identificar la equivalencia que se establece al hacer uso de un
anlisis polinomial con respecto a usar un anlisis vectorial en
tercera dimensin. Conclusiones Algunas de las reflexiones que nos
ha proporcionado la puesta en escena de las actividades mostradas
son las siguientes: La mayora de los equipos participantes aceptan
con naturalidad y con poca dificultad trabajar en el ambiente
geomtrico ya que segn sus comentarios, afirman que el manejo grfico
de las parbolas lo han utilizado en varios cursos previos a la
experiencia.
=
000741
812:A
[ ]0,0,0:=b
= 111 t_,_t76,_t
725soluciones
=
210
1V
=14
0
2V
=87
0
3V
=
+
+
000
87
0
14
0
210
321 ccc
725
1 =c 76
2 =c03 =c
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La actividad provoca el rompimiento de la idea inicial de los
estudiantes en relacin al concepto de la dependencia e
independencia lineal de los polinomios de segundo grado, la cual
interpretan como interseccin o no de las races en las graficas de
las parbolas que se analizan. El uso de la representacin como
vectores libres en el plano tridimensional de los polinomios de
segundo grado (en algunos grupos de trabajo), provoca conflicto
para interpretar la dependencia e independencia lineal; esto se
debe a la poca prctica que algunos estudiantes tienen en el manejo
de representaciones en tres dimensiones. Sin embargo, para los
equipos que s cuentan con experiencia suficiente para graficar
vectores en tercera dimensin, este hecho les permite trabajar con
menor dificultad. Hacer uso del isomorfismo entre los polinomios de
segundo grado y los vectores en el espacio
3R , podra proporcionar una estrategia que favorezca el
entendimiento del concepto de la dependencia e independencia
lineal. El reconocimiento de utilizar el software matemtico como un
instrumento verificador de resultados tanto analticos como
geomtricos, slo provoca en algunos grupos de estudiantes la
inquietud por extender su estudio a un mayor nmero de ejemplos.
Referencias bibliograficas Balacheff, N. (1990). Perspectivas
futuras para la investigacion en la psicologa de la educacin en
matemticas. En el Grupo Internacional Kilpatrick J., Nesher P.,
para la psicologa de la educacin en matemticas. Matemticas y
Cognicin: Una sntesis de investigacion por le Grupo Internacional
para la psicologa de la educacin en matemticas. Captulo 7,
pgs.135-148. Cambridge University Press, Reino Unido.
Duval, R. (1988). Graphiques et equations: I Articulation de
deux registres. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 1,
pgs. 235-253.
Grossman, S. (1996). lgebra Lineal. D.F., Mxico: Mc Graw-Hill.
Piaget J. (1968). La formation du symbole chez I enfant. Nauchtel,
Delachaux & Niestl. Sierpinska, A. (1996). Problems related to
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algebra. Research Conference in Collegiate Mathematics
Education, Central Michigan University. Vigotsky, L. (1962).
Thought and Lenguaje (Traduccin de Hanfmann y Vakar). Cambridge:
M.I.T.
Press. Von Glasersfeld, E. (1987). Aprendizaje como una
actividad constructiva. C. Janvier (Ed.) Problemas
en la representacin de la enseanza y aprendizaje de las
matemticas, EUA: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers.
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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LAS SECUENCIAS DIDCTICAS CON ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA: EL CASO DE
LA FUNCIN VALOR ABSOLUTO
Mara Guadalupe Ordaz Arjona Universidad Autnoma de Yucatn
(Mxico)
[email protected] Campo de investigacin: grfica y funciones. Nivel
educativo: superior
Palabras clave: secuencia didctica, constructivismo, funcin,
valor absoluto Resumen El presente escrito reporta los resultados
de una investigacin desarrollada en la Facultad de Matemticas de la
Universidad Autnoma de Yucatn (UADY) con el propsito de valorar la
utilidad del uso de una secuencia didctica basada en un enfoque
constructivista, para conducir a los alumnos a la construccin del
concepto de funcin valor absoluto. Introduccin Tradicionalmente, se
ha considerado que el xito en la enseanza de las matemticas depende
de un profesor ejemplar, suponiendo que el aprendizaje de los
alumnos depende nicamente de la atencin que presten a la exposicin
del profesor, del dominio que ste tenga del contenido del curso, as
como de sus habilidades docentes. Cantoral et al (2000) sealan que
una creencia ampliamente difundida respecto a la relacin entre la
enseanza y el aprendizaje de las matemticas supone una relacin de
transferencia simple de la enseanza hacia el aprendizaje, el alumno
graba lo que se le comunica por medio de la enseanza, pero las
investigaciones contemporneas demuestran lo inexacto de este punto
de vista y hacen evidente que los alumnos construyen regularmente
conocimientos que no forman parte del discurso de la enseanza y
resultan con frecuencia inadecuados e incluso errneos desde el
punto de vista matemtico. Hoy en da emergen concepciones que
consideran la actividad matemtica en un sentido ms amplio, segn las
cuales, toda actividad humana depende de una enorme variedad de
restricciones de naturaleza cultural, histrica e institucional.
Factores como la motivacin, la afectividad, la imaginacin, la
comunicacin, los aspectos lingsticos o de representacin desempean
un papel fundamental en la conformacin de las ideas matemticas
entre los estudiantes. Desde esta perspectiva nuestra forma de
aprender matemticas es el resultado de construcciones sucesivas,
cuyo objetivo es garantizar el xito de nuestra actuacin ante una
cierta situacin. Esta visin rompe con el esquema clsico de
enseanza, segn el cual el maestro ensea y el alumno aprende. El
papel del profesor en esta perspectiva es mucho ms activo; sobre l
recae mucho ms la responsabilidad del diseo y coordinacin de las
situaciones de aprendizaje; ensear debe ahora consistir en crear
las condiciones que produzcan la apropiacin del conocimiento por
parte de los estudiantes, mientras que para el estudiante, aprender
debe implicar involucrarse en una actividad intelectual cuya
consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento.
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La problemtica El actual plan de estudios de las escuelas
preparatorias de la Universidad Autnoma de Yucatn, propone el uso
de un nuevo paradigma bajo el cual, el estudiante de matemticas
debe construir nuevos conocimientos a partir de otros previos, y
que dichos conocimientos sean significativos y no slo memorsticos.
Sin embargo, al entrar en marcha dicho plan de estudios, los
profesores se encuentran con la falta de las herramientas adecuadas
para conducir a sus alumnos a lograr este objetivo. Es as que
nuestro nfasis est en el diseo de actividades adecuadas para
favorecer el aprendizaje significativo de los estudiantes, mediante
acciones que le permitan analizar, conjeturar, construir su propio
conocimiento. Por otra parte, si abordamos la problemtica de la
enseanza de la matemtica y particularmente del concepto de funcin,
tenemos que es un de los ms difciles tanto para ensear como para
aprender y que su enseanza tiende a sobrevalorar los procedimientos
analticos y la algoritmizacin, dejando de lado los argumentos
visuales (Cantoral, Montiel 2001). La problemtica que se aborda en
esta investigacin tiene su origen en situaciones de preclculo y
clculo, propiamente en el nivel medio superior y superior. En la
enseanza en ambos niveles, la nocin de funcin valor absoluto
resulta esencial para las definiciones de conceptos fundamentales
referentes al clculo diferencial e integral. Sin embargo, la mayora
de las veces en su estudio, nicamente se enumeran las propiedades
de ste, sin preocuparse por el uso de situaciones de enseanza que
permitan la asimilacin del concepto por parte de los estudiantes y
an alumnos que han ingresado a una licenciatura del rea de
matemticas, muestran no haber comprendido el concepto de funcin
valor absoluto, lo cual en un principio pareciera no ser un
problema, pero que a la larga se ve reflejado en Clculo que es una
de las asignaturas con mayor ndice de reprobacin, an a nivel
superior, como lo
reportan vila y Aparicio (2006), ya que al pedir evaluar
+3
3
2 dxx , a estudiantes que han
cursado tres cursos de clculo de nivel superior, cometen errores
de tipo conceptual, entre los cuales se encuentran aquellos
relacionados con el concepto de valor absoluto, por ejemplo:
Consideraciones metodolgicas Nuestra investigacin se bas en el
empleo de la metodologa de la investigacin cualitativa y entre las
actividades desarrolladas, destacamos:
-
Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
17
Una prueba diagnstica denominada test precurso, aplicada a 20
estudiantes y cuyo objetivo era determinar si los estudiantes tenan
los requisitos previos principalmente de lgebra, adems de explorar
sobre sus conocimientos en relacin al concepto de funcin valor
absoluto y los errores cometidos por los alumnos que se deban a la
falta de comprensin de dicho concepto. Con base en la prueba
diagnstica que da muestra de los mismos errores reportados en
(Aparicio, vila 2006), se dise una secuencia didctica, entendiendo
sta como un conjunto de actividades ordenadas, estructuradas y
articuladas con grados crecientes de complejidad para la consecucin
de ciertos objetivos. Las secuencias deben estar diseadas de manera
tal que permitan al estudiante tener acercamientos iniciales al
contenido y avanzar paulatinamente a niveles ms amplios de
comprensin y generalizacin. La secuencia didctica elaborada en este
trabajo pretende llevar al alumno a construir la definicin de
funcin valor absoluto, as como propiciar que transite libremente
por los registros de representacin grfico y analtico, con nfasis en
el anlisis de las grficas, se consideraron tanto para el diseo como
en la implementacin de la secuencia aspectos constructivistas como
son: partir del nivel de desarrollo del alumno, posibilitar que los
alumnos realicen aprendizajes significativos por si solos y
procurar que los alumnos modifiquen sus esquemas de conocimiento;
teniendo en cuenta adems, que en la perspectiva constructivista, es
la actividad del sujeto lo que resulta primordial; no hay objeto de
enseanza sino objeto de aprendizaje (Moreno, 1992). La secuencia
didctica consta de seis actividades diseadas mediante preguntas que
permitan al alumno conjeturar ideas relacionadas con el concepto de
funcin valor absoluto. La esencia para la realizacin de dicha
secuencia fue el anlisis de las rectas cxy = y )cx(y = y la
interseccin de las mismas. Dichos anlisis se hace con el apoyo del
software graphmatica, que permiti visualizar el comportamiento de
las grficas de las funciones, se consider el uso del mismo,
sabiendo que la tecnologa es un medio entre el estudiante y
desarrollo de pensamientos matemticos y tiene la capacidad de
ofrecernos medios alternativos de expresin matemtica (Moreno,
1992). En la implementacin de la secuencia didctica intervinieron
tres aspectos: la puesta en escena de la secuencia, los estudiantes
que participaron en la misma y la dinmica que se utiliz para llevar
a efecto la secuencia. A continuacin se explica en que consisti
cada uno de estos elementos. La puesta en escena de la secuencia
tuvo lugar en la ciudad de Mrida, en las instalaciones de la
Facultad de Matemticas de la Universidad Autnoma de Yucatn, en una
sala de cmputo, equipada con computadoras para cada alumno y una
para el profesor, 2 videocmaras, videoproyector, aire
acondicionado, etc. Participaron seis estudiantes los cules eran
recin egresados de bachillerato y admitidos a la Facultad de
Matemticas para cursar las carreras de Licenciatura en Enseanza de
las Matemticas, Actuara y Ciencias de la Computacin, stos
conformaron dos equipos de trabajo, uno de ellos era aquellos
estudiantes que en el test precurso no respondieron correctamente
ninguna cuestin del apartado correspondiente a la funcin valor
absoluto y que al entrevistarnos decan no haberlo abordado en el
bachillerato, los otros tres estudiantes, reconocan haberlo visto
en bachillerato, y que al entrevistarlos a pesar de haber
respondido correctamente al menos dos reactivos no supieron dar una
justificacin aceptable al porqu de su respuesta. La secuencia
didctica se abord mediante un taller con duracin de 4 sesiones de
una hora treinta minutos cada una, en cada sesin del mismo, los
estudiantes fueron quienes trabajaron la mayor parte del tiempo, la
resolucin de cada actividad constaba de dos etapas, en la
-
Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
18
primera los estudiantes la abordaban individualmente y en la
segunda en equipo. A cada estudiante se le proporcion hojas de
trabajo que corresponden a las actividades de que consta la
secuencia, los estudiantes respondieron a los cuestionamientos que
se les haca en cada actividad apoyndose en el software graficador,
posteriormente se trabaj la actividad en equipo, se les pidi que
discutan sus resultados de cada actividad y llegaron a una
conclusin plasmando sus resultados en una hoja de trabajo por
equipo. Despus de la resolucin individual y la discusin en equipo,
se llev a cabo la discusin del desarrollo de la misma con todo el
grupo integrando los resultados para despus formalizar la idea o
concepto objeto de estudio. Despus de cierto nmero de actividades,
se le propondr al alumno otra en la cul deber generalizar la
definicin de valor absoluto funciones de la forma cxy = donde c es
un nmero real cualquiera, esta actividad con el propsito de
llevarlos al desequilibrio, posteriormente se les proporciona una
actividad en la que pueden confrontar las respuestas dadas en la
actividad anterior, as como ver diferentes casos que le permitan la
acomodacin y finalmente se les pide generalizar, no slo a funciones
de la forma
cxy = sino caxy = cuando 1a . Una vez concluido el taller, se
les aplic una prueba denominada test postcurso el cual tena como
propsito evaluar el avance de los estudiantes despus de cursar el
taller, as como valorar el impacto de la secuencia didctica con
enfoque constructivista. Resultados Los resultados del test
postcurso muestran que hubo una mejora del 95 % respecto a los
resultados obtenidos en el test precurso en lo que respecta al
concepto de funcin valor absoluto, sin embargo, esto no es
suficiente para dar una conclusin, por lo cual, una vez efectuada
la puesta en escena, se procedi al anlisis de los datos: las
actividades efectuadas por los estudiantes, los videos, grabaciones
y notas. Para dar lectura a los datos se acudi al anlisis a priori,
para tratar lo hipottico, y al anlisis a posteriori, para tratar lo
que realmente hicieron los estudiantes, y finalmente se
confrontaron ambos anlisis. Como ejemplo, mostraremos las
respuestas de uno de los estudiantes en donde se muestra su avance
al resolver cada una de las actividades: Actividad 1 Actividad
2
Actividad 3 Actividad 4
Actividad 5
Despus de analizar diversos casos particulares correctamente, no
da respuesta alguna. Sin embargo como equipo responden
correctamente:
-
Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
19
Actividad 6
Al igual que en el ejemplo anterior, la investigacin muestra
gran avance en cada uno de los estudiantes, tanto para los que no
haban abordado dicho concepto en bachillerato como los que si
reconocan haberlo abordado y recordaban la definicin. Como lo seala
la teora de Asimilacin de Ausubel, el alumno aprende
significativamente cuando es capaz de relacionar las nuevas ideas
con algn aspecto esencial de su estructura cognitiva, al respecto,
nos pudimos percatar, que varios de los problemas presentados por
los alumnos, son debidos a la falta de comprensin del concepto de
funcin, lo cual no se consider como requisito en el test precurso,
pero que consideramos es de suma importancia para comprender el
caso particular de la funcin valor absoluto. Se pudo observar que
hubo aprendizaje significativo por parte del alumno, pues aunque al
final de la actividad an presenta algunas dificultades para definir
la funcin, al interactuar con el software y las grficas de las
funciones, el alumno logra atribuir significado a lo que est
realizando, pudiendo transitar por ms de un registro de
representacin del concepto en cuestin, adems de que logra observar
las transformaciones que sufre la funcin x)x(f = cuando es afectado
por un parmetro, en este caso c, esto es, al considerar cx)x(f = .
Nos pudimos percatar que las respuestas dadas por el alumno al
resolver la actividad individualmente, varan notablemente respecto
a las presentadas despus de discutir con sus compaeros, el
desarrollo alcanzado por el alumno individualmente, lo que cada
alumno fue capaz hacer solo, puede compararse con el desarrollo
potencial del mismo, observando que aquello que no fue capaz de
hacer por si mismo, le fue posible hacerlo con ayuda de sus
compaeros, lo cual mostr su desarrollo potencial. En general,
podemos decir que se logr que los alumnos discutan, reflexionen,
conjeturen, as como convenir en una respuesta, muestran cierto
progreso a medida que se van enfrentando a las actividades, logran
generalizar la definicin para cualquier valor real, recurren a las
grficas antes de dar una respuesta, lo cual muestra que se logr
cierto avance respecto a que no sea lo algebraico quien domine. Sin
embargo, los alumnos siguen presentando problemas que aparentemente
son de notacin pero que se deben entre otras cosas a problemas ms
importantes como son los debidos al dominio del concepto de funcin,
a pesar de dar respuestas correctas, sus argumentaciones muestran
que es necesario hacer un anlisis ms profundo de los factores que
lo llevan a cometer los errores, no slo en el concepto de funcin
sino en otros conceptos propios del Clculo, adems de que al hacer
la confrontacin entre el anlisis a priori y el a posteriori,
concluimos entre otras cosas que la secuencia debe ser rediseada en
base a un anlisis de los factores que influyen en los estudiantes y
los llevan a cometer esos errores conceptuales, pero que en s, las
secuencias didcticas sin son una herramienta til, tanto para
profesores como para estudiantes en lo referente al logro de
aprendizajes significativos y a la construccin del conocimiento por
parte de los estudiantes.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
20
Referencias bibliogrficas Aparicio, E., vila, E. (2006). Un
estudio de las dificultades que presentan estudiantes en el rea
de
clculo. En Memorias del V Encuentro de Investigacin Educativa.
Mrida, Yucatn, Mxico. Cantoral, R., Farfn, R., Cordero, F., Alans
J., Rodrguez, R. y Garza, A. (2000). Desarrollo del
pensamiento matemtico. Mxico: Trillas. Cantoral, R., Montiel, G.
(2001). Funciones: Visualizacin y Pensamiento Matemtico. Mxico:
Prentice-Hall. Moreno, L. (1992). Fundamentacin cognitiva del
currculo de matemticas. Madrid, Espaa: Sntesis.
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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DESARROLLO DE LA DIMENSIN EMOCIONAL Y CAMBIO EN EL AUTO-CONCEPTO
MATEMTICO A TRAVS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Jos Daniel Martnez Gonzlez [email protected]
Campo de investigacin: factores afectivos. Nivel educativo:
bsico Palabras clave: dominio afectivo, resolucin de problemas,
auto-concepto y rendimiento matemtico
Resumen Esta investigacin tiene como inters central dilucidar si
alumnos de secundaria pueden lograr, mediante el trabajo en un
taller extracurricular de resolucin de problemas, competencias
emocionales como la toma de conciencia y control de sus emociones,
que les permita cambiar de manera positiva su auto-concepto
matemtico. La informacin obtenida del trabajo experimental an se
encuentra en proceso de anlisis, sin embargo, los resultados
preliminares muestran que el gusto y el nivel de auto-confianza
como descriptores del auto-concepto matemtico son buenos
predictores del rendimiento matemtico. Introduccin Este documento
muestra el anlisis de los resultados de la aplicacin del primer
instrumento metodolgico en la investigacin que se lleva a cabo con
estudiantes de tercer grado de educacin media bsica. El estudio se
realiza en el marco de un taller extracurricular de resolucin de
problemas, y pretende afirmar que los sujetos que logran
desarrollar competencias emocionales como la autoconciencia y el
autocontrol de sus emociones; cambian de manera positiva su
auto-concepto matemtico. Las preguntas de investigacin son las
siguientes: Qu reas de competencia emocional desarrollan los
estudiantes a travs del trabajo en el
club de resolucin de problemas? El desarrollo de competencias
emocionales genera en los estudiantes cambios
significativos acerca de su auto-concepto como resolutores de
problemas y como estudiantes de matemticas?
Marco Terico En la resolucin de problemas interviene una gama de
aspectos cognitivos y metacognitivos. Estos aspectos son los ms
estudiados en el mbito de la investigacin en Matemtica Educativa,
pero no son los nicos susceptibles de estudio; se estn dejando de
lado los aspectos afectivos. Posiblemente esto se deba a la idea de
que las matemticas son algo puramente intelectual, donde el
comportamiento relativo a las emociones no juega un papel esencial
(Gmez-Chacn, 2003). En los procesos metacognitivos que se
desarrollan para resolver un problema, un estudiante resiste
ciertas emociones. Entonces, los aspectos afectivos y en particular
las emociones juegan un papel esencial en la resolucin de un
problema, sin embargo, poco se han estudiado de manera sistemtica
aspectos sicolgicos que relacionan a las matemticas con los alumnos
como las actitudes, las creencias, las emociones, los valores, el
estilo atribucional, apreciaciones, gustos, preferencias,
sentimientos, temperamento y estilo de aprendizaje (Snchez,
2005).
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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El desarrollo del meta-afecto, como la toma de conciencia que el
sujeto hace de sus propias emociones (observar, identificar y
nombrar emociones), constituye la habilidad fundamental que da paso
al control, la organizacin y utilizacin inteligente de esos
impulsos (Gmez-Chacn, 2003). La adquisicin de estas competencias
(desarrollo de la dimensin emocional) le permitir al sujeto superar
los bloqueos cognitivos en la resolucin de un problema que le
provocan reacciones emocionales desfavorables (interaccin
afecto-cognicin). Por otra parte, las creencias relacionadas con el
auto-concepto, la auto-confianza y el gusto son una de las
componentes de conocimiento subjetivo implcito del individuo
(basado en la experiencia) sobre las matemticas y su enseanza y
aprendizaje, tienen una fuerte estabilidad y estn compuestas por
elementos afectivos, evaluativos y sociales. Estas creencias en
relacin con las matemticas tienen una marcada componente afectiva
en los estudiantes y se consideran un predictor del rendimiento
matemtico (Bermejo, 1996; Gmez-Chacn, 1997). As, el entrenamiento
en la resolucin de problemas que pone atencin en los aspectos
afectivos y en la interaccin afecto-cognicin, puede constituirse
como un plan emergente con el propsito de elevar el nivel de
auto-concepto matemtico de los estudiantes. En cuanto a la relacin
entre la dimensin afectiva y emocional y la influencia que sta
ejerce en el aprendizaje de las matemticas, fundamentalmente en la
resolucin de problemas, Guerrero y Blanco (Blanco, Gil &
Guerrero, 2005) han diseado un programa psicopedaggico para la
intervencin en los trastornos emocionales en la enseanza y
aprendizaje de las matemticas, inspirado en el modelo de resolucin
de problemas de Polya (2000), partiendo de la hiptesis de que las
creencias, las actitudes, los pensamientos y las emociones explican
una gran parte del resultado y rendimiento en matemticas, siendo
sus principales objetivos resolver problemas de matemticas,
adiestrar al alumno en el afrontamiento de situaciones de ansiedad
y manejar emociones. A partir de esta revisin, considero que tanto
los aspectos afectivos como los cognitivos y sobre todo, la
regulacin de la interaccin de ambos, son factores de xito en el
desempeo escolar en matemticas. Adems, el desarrollo de la dimensin
emocional de los alumnos influye en su sistema de creencias. A la
vez, stas inciden directamente en el autoconcepto que los alumnos
tienen como resolutores de problemas y como estudiantes de
matemticas. La investigacin se llevar a cabo a partir de esta
perspectiva terica. Aspectos metodolgicos La investigacin se llev a
cabo con 10 estudiantes de 3er grado (14-15 aos) del turno
vespertino de una secundaria tcnica (educacin media bsica) en el
estado de Jalisco, Mxico. Tuvo una duracin de 12 sesiones de dos
horas cada una. Se realiz en el marco de un taller extracurricular
de resolucin de problemas, en el que los alumnos asistieron tres
veces por semana antes de su entrada normal a clases. La metodologa
es de corte cualitativo. Los instrumentos utilizados fueron:
cuestionario inicial; entrevista y observacin participante durante
el trabajo experimental y cuestionario final, tal como se muestra
en el siguiente esquema:
DURANTE ELTRABAJO EXPERIMENTAL 12 Sesiones de enseanza
CUESTIONARIO
INICIAL ENTREVISTA Sesin 3
ENTREVISTA Sesin 6
ENTREVISTA Sesin 10
CUESTIONARIO FINAL
Observacin participante y
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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Cuestionario inicial. Permiti medir el nivel de Auto-concepto
matemtico de los alumnos antes del trabajo experimental. Se aplic a
un grupo de 27 estudiantes de 3er grado de secundaria, con el
propsito primordial de seleccionar a 10 sujetos susceptibles de
estudio. Esta seleccin se hizo a travs de la categorizacin de los
sujetos segn la relacin: Auto-concepto Matemtico (ACM) Rendimiento
Matemtico (RM). Esta categorizacin ACM RM es posible de la
siguiente manera; en cuanto al auto-concepto matemtico que tienen
los sujetos, el cuestionario permiti catalogarlos en uno de los
niveles bajo, regular y alto. As mismo, los estudiantes se
catalogaron de acuerdo a los promedios de calificacin en matemticas
como altos, regulares o bajos en el nivel de rendimiento matemtico.
As, considerando el binomio ACM RM, los sujetos se ubicaron en una
de las siguientes categoras: BB, BR, BA, RB, RR, RA, AB, AR y AA.
(p. ej. BA significa que el estudiante result Bajo en ACM y Alto en
RM ) Este cuestionario se bas en la Escala Actitudes hacia las
Matemticas y Matemticas y Matemticas Enseadas con Computadora
(AMMEC), que Ursini et al. (2004) elabor y valid para la
identificacin de gnero y actitudes hacia las matemticas enseadas
con computadora. Esta escala se divide en sub-escalas, de las
cuales se tomaron dos para formar el Cuestionario ACM; una referida
al Gusto por las matemticas, que consta de 11 preguntas y otra, de
6 preguntas, relacionadas a la Auto-confianza y auto-eficacia en
matemticas. Entrevista. Los diez sujetos seleccionados fueron
entrevistados y video-grabados en tres ocasiones a lo largo del
trabajo experimental, en la tercera, la sexta y la dcima sesiones.
Las entrevistas tuvieron una doble funcionalidad: como recolector
de datos identificando, constatando y especificando los cambios y
la evolucin de los procesos meta-afectivos desarrollados por los
sujetos; y como parte del mismo proceso de autoconciencia y
utilizacin de las emociones a travs de la reconstruccin de los
procesos de solucin. De manera cualitativa, las entrevistas
complementaron la instruccin afectiva en el taller. Las entrevistas
se basaron en la reconstruccin del proceso de solucin de los
problemas, considerando los cambios cognitivos aparentes para
identificar a travs de ellos las reacciones emocionales del sujeto.
Observaciones. La triangulacin de observaciones durante las
sesiones de enseanza signific otro instrumento que permiti
interpretar cualitativamente los resultados de las entrevistas y
del cuestionario. Cuestionario Final. En la sesin final se aplic
nuevamente el Cuestionario ACM con el propsito de contrastar los
resultados respecto del Auto-concepto matemtico de los sujetos
antes y despus del trabajo experimental.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
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Anlisis de resultados A continuacin se muestra la categorizacin
Auto-concepto Matemtico (ACM) Rendimiento Matemtico (RM) de los 27
estudiantes a partir de la aplicacin inicial del cuestionario
ACM:
SUJETO ACM RMCATEGORA ACM
RMG A R AR
AA A A AAT A A AAK A A AAL A A AAJ A A AAO A R ARQ R A RAU A R
ARP R A RAC A R ARH R R RRV R R RRR R A RAI R R RRZ R R RRB R R RRS
B A BAA R B RBF B A BAE B R BRN B R BRY B R BRM R B RBX B A BAW B B
BBD B B BB
La tabla anterior permite ver que 10 alumnos (casi 2 de cada 5)
se ubican entre las primeras cuatro categoras ACM RM: BB, BR, BA y
RB. En las categoras RR, RA, AR y AA, que en general pueden
considerarse de regulares a altas, se ubican los dems sujetos. En
cada categora RR, RA y AA se ubican 4 sujetos y ningn estudiante
aparece en la categora AB. A partir de la aplicacin del
cuestionario, se seleccionaron los diez alumnos ubicados en las
categoras BB, BR, BA y RB, los cuales se presentan en la tabla de
abajo, indicando la categora ACM RM, y el resultado de cada
sub-escala. SUJETO ACM RM ACM GUSTO AUTO CONFIANZA W-JORGE BB B B B
D-BRUNO BB B B B E-IVN BR B R B N-EDGAR BR B R B Y-ROSARIO BR B B R
F-RAQUEL BA B B R S-JOSUE BA B R B X-ANDREA BA B B B M-NGELA RB R R
R A-JESSICA RB R R R
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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las
matemticas
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La categora BB, se eligi por que rene los niveles ms bajos en
ambos aspectos. BR, BA y RB, se eligieron precisamente por la
contrariedad que suponen los niveles en ambos aspectos. Se dejaron
de lado AA y RR porque aunque con el cuestionario final podra
verificarse un aumento o disminucin en el nivel de Auto-concepto
matemtico, el hecho de que en casi todos los casos, las sub-escalas
se correspondan con el rendimiento matemtico (p. ej. AA result A en
las dos sub-escalas), nos remite a la idea original de que el gusto
y el nivel de auto-confianza en matemticas son buenos predictores
del rendimiento matemtico. Por ltimo, RA y AR no se estudiaron
porque, aunque no siempre se corresponden las sub-escalas en el
nivel de auto-concepto, y no obstante que ste tampoco se
corresponde con el nivel de rendimiento matemtico, lo cierto es que
los sujetos de esas categoras, se ubicaron cerca de los lmites de
las categoras RR o AA en ambos casos. Referencias bibliogrficas
Bermejo V., (1996). Ensear a comprender las matemticas. En J.
Beltrn y C. Genovard (Eds.),
Psicologa de la Instruccin 1. Madrid: Sntesis. 256279. Blanco,
L. J. & Gil, N. & Guerrero, E. (2005). El dominio afectivo
en el aprendizaje de las
Matemticas. Una revisin de sus descriptores bsicos. Unin,
Revista Iberoamericana de Educacin Matemtica, Junio, 2, 1532.
Gmez-Chacn I. (1997). Procesos de aprendizaje en Matemticas con
poblaciones de fracaso escolar en contextos de exclusin social. Las
influencias afectivas en el conocimiento de las Matemticas. Tesis
Doctoral sin publicar, Universidad Complutense de Madrid,
Espaa.
Gmez-Chacn I. (2003). La tarea intelectual en matemticas.
Afecto, meta-afecto y los sistemas de creencias. Boletn de la
Asociacin Matemtica Venezolana, X (2), 225247.
Polya G. (2000). Cmo plantear y resolver problemas. Vigsimo
cuarta reimpresin de la primera edicin en espaol (1965). Traduccin
al espaol a cargo de Julin Zagazagoitia, Editorial Trillas, Mxico,
de la segunda edicin en ingls: How to solve it publicado por Achor
Books, USA.
Snchez, J. (2005). Estilo atribucional en el xito de la
comprensin de conceptos matemticos: un estudio longitudinal en
estudiantes de la carrera de Psicologa. Tesis Doctoral sin
publicar. Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del IPN,
Mxico.
Orendain M., Snchez, G. & Ursini, S. (2004). Validacin y
confiabilidad de una escala de Actitudes hacia las Matemticas y
hacia las matemticas Enseadas con Computadora. Educacin Matemtica,
Diciembre, vol. 16, nm. 3, 5978.
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Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20
26
LA ENSEANZA DE LA FUNCIN CUADRTICA EN EL BACHILLERATO.
RESULTADOS DE UN PROYECTO DE DESARROLLO DOCENTE
Silvia Elena Ibarra Olmos; Lorena Fernndez Sesma Universidad de
Sonora. (Mxico)
[email protected]; [email protected] Campo de
investigacin: pensamiento algebraico. Nivel educativo: medio
Palabras clave: registros de representacin semitica
Resumen Se presenta un reporte sobre el diseo, experimentacin y
evaluacin de una secuencia de actividades didcticas para la
enseanza de la funcin cuadrtica en el primer ao del bachillerato.
Tomando como marco terico los sistemas de representacin semitica de
Raymond Duval, las actividades se disearon con el objetivo de
promover en los estudiantes los reconocimientos, tratamientos y
conversiones del objeto matemtico seleccionado en los registros de
representacin grfico, tabular y algebraico, empleando como mediador
el lenguaje materno. La puesta en escena se trabaj bajo una
estrategia de enseanza que promoviera en el alumno un constante
conflicto cognitivo que lo indujera al razonamiento, anlisis y
solucin de situaciones problemticas.
Antecedentes Recientes evaluaciones en el mbito nacional e
internacional muestran que la educacin matemtica en nuestro pas no
est alcanzando sus metas. Como ejemplo de lo anterior tenemos los
resultados publicados por el Instituto Nacional para la Evaluacin
de la Educacin (INEE), respecto a la prueba de matemticas aplicada
el 2004 en secundaria. Se encontr que un 51.1% de los alumnos no
alcanzan a dominar satisfactoriamente los conocimientos y
habilidades bsicos que establecen los programas oficiales (Velasco
2006). Para dicha prueba, se definieron seis habilidades medibles
relacionadas con la resolucin de problemas: operar, medir,
comunicar, imaginar, generalizar e inferir. La prueba fue de opcin
mltiple, y se aplic un mismo examen a los tres grados de
secundaria, ya que expertos del INEE consideraron que en los tres
grados se imparten aspectos comunes de la disciplina (Martnez,
2004). En otra publicacin del INEE, respecto a los resultados del
Programa para la Evaluacin Internacional de Estudiantes (PISA, por
sus siglas en ingls) , aplicada el ao 2003 a estudiantes de 15 aos
en 41 pases, se encontr que Mxico ocup el lugar nmero 35 en la
evaluacin de matemticas (Martnez, 2003). En vista de lo anterior,
consideramos que es necesario que se convierta en meta de
investigacin en matemtica
![- - ˘ˇˆ...C.Q.D. – Revista Eletrônica de Matemática [re-curso eletrônico] / Faculdade de Ciências, De-partamento de Matemática. – Vol. 6, (jul. 2016) Edição Iniciação](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/5f0207987e708231d4023a12/-cqd-a-revista-eletrnica-de-matemtica-re-curso-eletrnico.jpg)
