Actividad 2

Parte C

De acuerdo a las fases de resolución, según Polya, se establecen los pasos para la resolución del problema planteado en el enunciado 8:

1) Comprender el problema

En el mismo se establece el siguiente porcentaje de vitaminas que integra cada uno de los 3 comprimidos:

%vit A %vit B % vit C

Comprimido I 2 3 0Comprimido II 3 0 2Comprimido III 0 1 2

A su vez, se indica cuál es el porcentaje diario de cada una de estas vitaminas:

Vitamina % DiarioA 19B 21C 18

Y la pregunta que se hace es la siguiente: ¿Cuántos comprimidos diarios de cada tipo se debe consumir? Esto quiere decir que tendremos que averiguar, por tipo de vitamina, cuántos comprimidos de cada tipo se necesitarían para alcanzar el porcentaje diario requerido.

2) Idear un plan

El plan consistirá en identificar el modelo matemático que aplicaremos, el cuál será el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL), que se resolverá mediante el método Gauss-Jordan.

Para el mismo primero se ordenaran los datos conocidos de la siguiente forma:

  Compr. I Compr. II Compr. III % Diario%vit A 2 3 0 19%vit B 3 0 1 21%vit C 0 2 2 18

De esta forma, formaremos ecuaciones por cada tipo de vitamina, estableciendo a los distintos comprimidos como las variables a averiguar.

Comprimido VariableI xII yIII z

Por lo que el SEL quedará planteado de la siguiente forma:

Vitamina A => 2x + 3y + 0z = 19Vitamina B => 3x + 0y + 1z = 21Vitamina C => 0x + 2y + 2z = 18

3) Ejecutar el plan

Aquí se ejecutan las operaciones planteadas en la fase anterior.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan  2     3     0     19    3     0     1     21    0     2     2     18  

Dividamos 1-ésimo por 2  1     1.5     0     9.5    3     0     1     21    0     2     2     18  

de 2 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 3  1     1.5     0     9.5    0     -4.5     1     -7.5    0     2     2     18  

Dividamos 2-ésimo por -4.5  1     1.5     0     9.5    0     1     -2/9     5/3    0     2     2     18  

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1.5; 2  1     0     1/3     7    0     1     -2/9     5/3  

  0     0     22/9     44/3  

Dividamos 3-ésimo por 22/9  1     0     1/3     7    0     1     -2/9     5/3    0     0     1     6  

de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 1/3; -2/9  1     0     0     5    0     1     0     3    0     0     1     6  Resultado:

x1 = 5x2 = 3x3 = 6

Este resultado fue obtenido con OnlineMSchool, por lo que se debe establecer esta equivalencia:

x1 = x ; x2 = y ; x3 = z

A continuación se muestra el resultado obtenido con WIRIS:

Y también se muestra el resultado obtenido con WolframAlpha:

4) Verificar los resultados

Reemplazando los valores obtenidos en las ecuaciones podemos comprobar que son correctos:

Vitamina A => 2.(5) + 3.(3) + 0.(6) = 19Vitamina B => 3.(5) + 0.(3) + 1.(6) = 21Vitamina C => 0.(5) + 2.(3) + 2.(6) = 18

La expresión del conjunto solución entonces será:

S {( x1 , x2, x3)/ x1 = 5, x2 =3, x3=6}

El siguiente es el gráfico obtenido de la solución:

Conclusión:

De acuerdo a los resultados, se establece que una persona debería consumir las siguientes cantidades de comprimidos para alcanzar las dosis diarias requeridas de cada vitamina:

Para 19% de vitamina A: 10% del comprimido I + 9% del comprimido II Para 21% de vitamina B: 15% del comprimido I + 6% del comprimido III Para 18% de vitamina C: 6% del comprimido I + 12% del comprimido III