CA Enseñanza de las Matemáticas – UADY SEGEY

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Actividad 37.1. Reconociendo lo invariante en figuras simétricas

Construir figuras simétricas respecto de un eje y describir las propiedades que se conservan.

Recuerda que la simetría axial o simetría con respecto a un eje es una cualidad

geométrica de algunas figuras u objetos en un plano. En esta actividad se estudiará la

simetría como un movimiento en el plano.

La simetría entendida como una cualidad geométrica hace posible caracterizar lo que es

simétrico así como saber respecto a qué es simétrico. Mientras que entenderla como un

movimiento en el plano facilita visualizar las propiedades que se mantienen invariantes,

es decir, las que no cambian o permanecen estables ante dicho movimiento.

Desarrollo de la actividad

Instrucción. En los siguientes ejercicios geométricos realiza los trazos auxiliares que

requieras para determinar la simetría de figuras respecto a un eje.

Parte 1. ¿Cuándo se dice que una forma es simétrica con respecto a un eje?

1. A continuación se muestran pares de figuras, elige las que tengan formas simétricas

respecto a un eje.

Explica el porqué de tu elección.

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2. Determina si los rectángulos 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝑀𝑁𝑂𝑃 son simétricos respecto a la recta 𝐸, y

contesta de forma argumentada lo que se pregunta a continuación.

a) ¿Los rectángulos son simétricos? Argumenta.

b) Si la distancia del punto 𝑨 a la recta 𝑬 mide 4𝑐𝑚, ¿Cuánto mide la distancia del

punto 𝑵 a dicha recta? ¿Y la distancia del punto 𝑶 a la recta 𝑬?

c) Si 𝑩𝑪 = 𝟏 𝒄𝒎, ¿Cuánto mide el segmento 𝑴𝑷?

Parte 2. Construyendo formas simétricas con respecto a un eje de simetría

Un logotipo es un signo gráfico que identifica a una empresa,

producto o, en general, a cualquier entidad pública o privada. El

diseño y elaboración de logotipos es una de las aplicaciones de la

simetría, pues aquello que es simétrico es armónico y es más

atractivo a la percepción visual.

Recuerda que… dos figuras son simétricas con respecto a un eje si:

1. La distancia entre dos puntos simétricos respecto a un eje, es la misma.

2. Los segmentos que unen puntos simétricos son perpendiculares al eje de

simetría.

3.

𝑬

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1. En la siguiente figura se presenta la mitad de un logotipo constituido por: un triángulo

isósceles (𝐴𝐵𝐶) y un rombo (𝐶𝐷𝐸𝐹). Usando regla y compás, construye la otra mitad

del logotipo considerando la recta 𝒍 como eje de simetría. Etiqueta los vértices con las

letras 𝐵′ (se lee 𝐵 prima), 𝐷′, 𝐸′ y 𝐹′ según corresponda.

2. Se sabe que los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐹𝐶̅̅̅̅ tienen la misma medida. A

continuación se enlistan ciertas afirmaciones sobre el logotipo que construiste, marca

las que sean válidas.

Afirmación

a) El logotipo está constituido por un solo rombo y dos cuadriláteros.

b) Aquellos lados paralelos en la mitad dada del logotipo también son paralelos en la mitad construida.

c) La orientación de la mitad dada es igual a la orientación en la mitad construida.

d) Si 𝑨𝑬𝑬’ es triángulo equilátero, el logotipo sólo tendría un eje de simetría

e) Si el cuadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑩’ es un rombo, 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ es diagonal y es su único eje de simetría.

f) Si el cuadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑩’ es un rombo, 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ y 𝑩𝑩′̅̅ ̅̅ ̅ son diagonales y son sus únicos ejes de simetría.

g) Si 𝑩𝑪 = 𝟐 𝒄𝒎, entonces 𝑩′𝑪′ = 𝟐 𝒄𝒎.

h) El área de la primera mitad del logotipo es igual que la segunda mitad.

3. Entre las afirmaciones que elegiste como válidas, escribe al menos dos que

consideres se pueden generalizar para cualquier forma simétrica.

𝒍

A

B

C D

E F

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Conclusión

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Para hablar de simetría es necesario tener siempre presente las condiciones

geométricas que la definen, es decir, no se puede pensar en simetría por simple

percepción visual. Las figuras simétricas respecto a un eje satisfacen las propiedades

siguientes:

Entonces, para construir figuras simétricas puede seguirse el siguiente procedimiento:

Figura 37.1

Figura 37.2

¿Por qué simetría como movimiento en el plano?

Considera la Figura 37.1. Por sí sola, ésta no parece ser

simétrica con respecto a algún eje, sin embargo, si se fijara

un eje y la figura se girara en torno a éste, o bien, los

elementos de la figura se trasladaran a la misma distancia

del eje respecto a su posición original, se obtendría una

figura como la 37.2. Es decir, como resultado se generaría

una nueva forma que tiene la propiedad de simetría.

A esta forma de transformar figuras se le dice simetría

como movimiento en el plano. Su importancia está en

poder analizar si después de un proceso de construcción, la

figura simétrica mantiene las mismas propiedades que la

figura original, por ejemplo, sí las medidas de sus lados y

ángulos siguen siendo los mismos.

¿Habrá otras propiedades que se mantengan invariantes? ¿Habrá alguna propiedad que

cambie? Dialoga al respecto con algún o algunos de tus compañeros.

Cuando una forma geométrica posee la cualidad de simetría o se transforma mediante

un movimiento en el plano para ser simétrica, se dice que mantiene las siguientes

propiedades:

1. Dos puntos simétricos guardan la misma distancia respecto a un eje. 2. El segmento que une cada par de puntos simétricos es perpendicular al eje

de simetría. 3. Las figuras simétricas conservan la misma medida de sus lados y ángulos

homólogos.

Trazar perpendiculares al eje desde cada vértice de la figura original, ubicar

sobre éstas puntos (simétricos) que se encuentren a igual distancia del eje que

los vértices o puntos de la figura original, y unir los puntos simétricos para

formar la figura simétrica.

.

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Conclusión

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Por ejemplo, en el logotipo que construiste en la Parte dos de esta actividad, puede

constatarse su simetría respecto al eje 𝑙, y que permanece invariante el paralelismo de

los lados en el cuadrilátero 𝐶𝐷′𝐸′𝐹′ construido, su perímetro y su forma, así como la

misma medida de lados que el rombo 𝐶𝐷𝐸𝐹. Por tanto, es un rombo también.

Un aspecto que cambia entre dos figuras simétricas respecto

a un eje, es la orientación de éstas en cada lado del eje, es

decir, no tienen la misma orientación, como se ilustra en la

Figura 37.3. Figura 37.3

En general, tratándose de triángulos isósceles y equiláteros, rombos, rectángulos y

cuadrados se puede afirmar que poseen las siguientes propiedades de simetría:

En un triángulo equilátero, sus alturas constituyen sus tres ejes de simetría.

En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado que contiene los dos

ángulos iguales es el único eje de simetría.

En un rombo, sus diagonales son sus únicos ejes de simetría.

En un rectángulo, las mediatrices de los lados representan sus ejes de simetría.

En un cuadrado, las mediatrices de sus lados y sus dos diagonales son sus únicos ejes

de simetría.

1. Los lados que son paralelos en la figura de un lado del eje, también son paralelos en la simétrica respecto al eje. Es decir, se conserva el paralelismo.

2. Los lados que son perpendiculares de un lado del eje, también lo son del otro lado. Es decir, se conserva la perpendicularidad.

3. La medida del área de la figura de un lado del eje, es la misma que el área de la simétrica.

4. La medida del perímetro de la figura de un lado del eje es la misma que su simétrica.

5. La orientación de las figuras en uno u otro lado del eje de simetría es contraria.