ACTIVIDAD 5

Conrado Campetella

Fernando Roberto Garca Montalban

PARTE D

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una

transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy

cuidadoso con la simbologa matemtica):

1. El vector genrico TX.

2. El ncleo de esta TL.

3. Los autovalores de la TL.

4. Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.

5. Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado.

6. Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la

igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?

7. Plantee la transformacin inversa.

[

]

Definimos la transformacin lineal como:

1. El Vector genrico queda definido como:

[

] [ ] [

]

2. El ncleo de est definido por el siguiente sistema de ecuaciones homogneo:

Planteamos el sistema en Wiris para obtener su solucin:

Luego el Ncleo de slo contiene el vector nulo. Entonces:

{[ ]}

3. Los autovalores de la transformacin se obtienen calculando los que hacen que el

determinante | | sea igual a cero. Entonces:

| | |[

] [

]| |

|

Desarrollamos el determinante por la primera columna y obtenemos:

( ) ( ) |

| ( )[( )( ) ( )]

( )[ ] ( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

Luego para que el determinante sea cero, . El sistema tiene slo 1 autovalor triple, esto

significa que el nmero de autovectores asociados al autovalor es menor o igual que 3.

4. Resolvemos la igualdad para poder hallar una base de los autovectores de cada

autovalor. Luego para :

( ) ( )

Entonces:

( ) [

] [

]

Luego

( ) [

] [ ]

Obtenemos que

Luego

{ [ ] ( ) } {[

] } {[

] [

]}

Podemos ver que puede asumir cualquier valor, mientras que el valor de debe cumplir la

condicin de ser siempre menos tres veces el valor de . Algunos vectores que cumplen sta

condicin son:

[ ] [ ] [ ] [

] [ ]

5.- Realizamos el grfico de la base que obtuvimos para nuestro nico autovector utilizando la

calculadora en lnea Wiris. Al disponer de una base de dimensin 2, sabemos que los mismos

generan un plano en .

Se ingres:

Que dio como resultado:

6.- Al obtener slo 2 autovectores de la matriz de , la misma NO es diagonalizable.

7.- La transformacin inversa de es tal que si se le aplica a un vector del espacio de llegada

de se obtiene un vector del espacio de salida.

Entonces es una transformacin lineal en que transforma vectores del plano tal

que:

( )

Utilizamos Wiris para calcular la matriz de transformacin inversa.

Luego:

Entonces la matriz inversa es:

[

]

Probamos que el resultado es correcto al multiplicar por y obtener como resultado la matriz

identidad.