ACTIVIDAD 6Conrado CampetellaPARTE A

Sntesis del documento Estructuras Algebraicas escrito por Profesor Hugo Omar Pajello de la Universidad Veracruzana de Mxico.Link:http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/20d.-INTRODUCCION-A-LAS-ESTRUCTURAS-ALGEBRAICAS.pdf

ESTRUCTURAS ALGEBRAICASUna Estructura Algebraica es un objeto matemtico consistente en un conjunto no vaco y una relacin o ley de composicin interna definida en l.En algunos casos ms complicados puede definirse ms de una ley de composicin interna y tambin leyes de composicin externa.

Ley de composicin interna

Ley de composicin interna definida en un conjunto no vaco A es una aplicacin o funcin del producto cartesiano de en

En smbolos: es una ley interna en . Es decir

Ejemplo:La suma o la multiplicacin en N, en Z, en Q, en R o en C.

Ley de composicin externa

Una ley de composicin externa definida en A con operadores de B es toda funcin o aplicacin de en A. En smbolos es ley externa en A con operadores en B A es decir, si y la imagen del par (b ; a) = b a ASegn las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composicin, se tienen los distintos tipos de estructuras o sistemas axiomticos.

Monoide

El par (A , ) donde A es un conjunto no vaco dotado de una operacin o ley de composicin interna se denomina monoide.

Ejemplos de monoides ( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides. SemigrupoUn monoide asociativo se denomina semigrupo. Si la ley de composicin interna tambin es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad o semigrupo con identidad.El elemento neutro de llama identidad.Ejemplos de semigrupos: ( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro. ( N0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.

( N , ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro o identidad igual a 1.

Grupo

Sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vaco dotado de una ley de composicin interna binaria :

(A , ) es un grupo o se define sobre A una estructura de grupo s:

es asociativa. Es decir , , : a, b, c A

posee elemento neutro en A. Es decir / , si

Todo elemento de A es invertible en A respecto de .Es decir , /

Grupo Abeliano o Grupo conmutativo

Se da cuando si adems de ser un grupo, es conmutativa. Es decir , : a, b A

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.Subgrupo

Un subconjunto no vaco B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo s ( B , ) es un grupo.Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).

Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composicin interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A , , ) que tambin son estructuras algebraicas.Morfismo u Homomorfismo

Una aplicacin de conjuntos f: A B se dir que es un morfismo de la estructura

(A , ) en la estructura (B , ) o simplemente un morfismo de A en B si se cumple que:

; = Ejemplo:

Sean las estructuras ( R , + ) y ( R + , ) con las operaciones + y usuales.

La aplicacin f : R R + definida por f(x) = 2 x es un morfismo de estas estructuras ya que cumple que: f (x + y) = 2 x + y = 2 x 2 y = f (x) f (y)