Actividad 6 - Universidad Autónoma de Nuevo Leónjagarza.fime.uanl.mx/Enero/Enero 2016/Actividades/A6/A6M4.pdf · Actividad 6, Marzo 2016, M4 Electrónica Digital I 1 Actividad 6

FIME UANL M.C. Juan Ángel Garza Garza

Actividad 6, Marzo 2016, M4 Electrónica Digital I

1

Actividad 6 (cuenta para la aplicación del Artículo 23) El propósito de esta actividad contar con una guía de estudios que te permitan prepárate para próximo examen. La entrega de este documento es el día correspondiente a él examen de medio curso y antes de presentarlo.

Temas y ponderación del examen de medio termino

Sistemas Numéricos Conversiones entre los sistemas numéricos de notación posicional 6%

Álgebra Booleana

Operadores (And, Or, Not, Nand, Nor, Exor y Exnor)

Símbolo, característica, expresión matemática, Tabla de verdad

Propiedades Distributiva, Asociativa y Conmutativa e Identidades

Circuito, Ecuación, Tabla de verdad y Diagrama de tiempos

Teorema de D’ Morgan

Minitermino forma SOP (And/Or)

Maxitermino forma POS (Or/And)

Ocho Formas estándar

40%

Minimización de Funciones Booleanas

Manipulación Algebraica

Mapas de Karnaugh POS y SOP

34%

Planteamiento del problema y Tabla de verdad 20

Índice Pag.

Lista de verificación (checklist) ........................................................................................... 2

Calendario .......................................................................................................................... 2

1.- Sistemas numéricos ...................................................................................................... 3

2 Resumen conceptual ....................................................................................................... 4

3.- Identidades ................................................................................................................... 6

4.- Operadores Lógicos ...................................................................................................... 7

5.- Operaciones Booleanas. ............................................................................................... 7

6 Identificación de funciones Booleanas ............................................................................. 8

7. - Manipulación algebraica ............................................................................................... 9

8.- Mapas de Karnaugh .................................................................................................... 13

9 Las ocho formas estándar ............................................................................................. 18

11.- Problema propuesto .................................................................................................. 19

12.- Conclusiones de la actividad ..................................................................................... 24

Formulario ........................................................................................................................ 25



2

Lista de verificación (checklist)

No Tema Respuestas Cotejado

Portada

1 Sistemas Numéricos a b c d e Pag. 3

2 Crucigrama Pag. 4

3 Identidades 1 2 3 4 5 6 Pag. 6

4 Operadores Lógicos a b c d Pag. 7

5 Operaciones Booleanas a b c Pag. 7

6 Identificación de Funciones Booleanas

a b c Pag. 8

7 Manipulación Algebraica 1 2 3 4 5 6 Pag. 9

8 Mapas de Karnaugh F1 F2 F3 F4 S Pag. 13

9 8 Formas estándar Pag. 18

10 Problema propuesto

Diagrama de bloques Pag .19

Tabla de verdad Pag. 20

Ecuaciones mínimas SOP y POS por K Map Pag .21

Diagramas esquemáticos Pag. 22

Forma And/Nor Pag. 23

Conclusiones Pag. 24

Calendario

Lunes Martes Miercoles Jueves Viernes Sábado Domingo

22 23 24 25 26 27 28

29 1 2 3 4 5 6

7 8 9

10

11

12 13

14 15

M4



3

1.- Sistemas numéricos

a) ¿Selecciona el valor en decimal del siguiente número en hexadecimal 1DE(16)

A B C D

378 487 430 478

b) ¿Selecciona el valor en Hexadecimal del siguiente número en octal 572(8)

A B C D

18F 17A A71 1B7

c) ¿Selecciona el valor en binario del siguiente número en hexadecimal 18B(16)

A B C D

110010111 101101111 111000100 110001011

d) Convierte los siguientes números a decimal y ordénalos de mayor a menor

a) 110011111(2)

b) 401(5)

c) 736(8)

d) 18A(16)

Mayor Menor

e) Efectué las siguientes conversiones sin importar el orden.

6A (11) = N(2) = N(5) = N(7) = N(16)

N11 N2 N5 N7 N16

4A



4

2 Resumen conceptual

Con el propósito de recordar las definiciones de los términos y conceptos utilizados en el curso resuelva el siguiente crucigrama.



5

Horizontal

6. Modo de escritura numérica en el cual, cada dígito posee un valor diferente que depende de su posición relativa. Notación? 7. Teorema AB+AĆ+BC = AB+AĆ. 9. Nombre de la terminal de un circuito integrado en inglés. 10. Hardware Description Language iniciales. 11. Nombre del creador del teorema de D' Morgan. 14. confirmar la veracidad o exactitud de algo. 17. Considerado como el creador de la era digital Claude E. ? 20. Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto. 21. Representación de una función booleana por medio de una tabla de ? 25. Conjunto de conocimientos orientados a la invención y utilización de técnicas para el aprovechamiento de los recursos naturales o para la actividad industrial 28. Era de la Información y las Telecomunicaciones, 'Era ?. 29. La salida es uno cundo un número impar de variables de entrada es igual a uno. 30. Voltaje de Corriente Continua iniciales 31. Extensión del archivo JEDEC con el cual programaos el dispositivo. 34. Sistema numérico de base diez. 35. Término Or que contiene todas las variables de la función, ya sea afirmadas o negadas 37. Comando para obtener la simulación de un diseño test_? 40. Procedimiento gráfico para la simplificación de funciones booleanas mapa de ?. 42. Términos algebraicos que tengan las mismas letras y con igual exponente. 44. Propiedad en donde A(B C) = (A B) C. 45. Término AND que contiene todas las variables de la función ya sea en su forma normal o complementada

Vertical

1. Propiedad del algebra booleana en donde A+B = B+A. 2. Siglas de Zero Insertion Force 3. Forma matemática en donde se expresan varios maxiterminos Productos de Suma. 4. Matriz Lógica Genérica 5. Forma matemática en donde se expresan varios miniterminos Suma de Productos 8. Nombre del programa con el que se realiza la captura esquemática. 9. Programmable Logic Devices, Dispositivo Lógico Programable 10. Sistema de numeración, que tiene como base el número 16. 12. Extensión del archivo de captura esquemática. 13. La salida es cero solamente cuando todas sus entradas son cero. 15. Corroborar la verdad, certeza o el grado de probabilidad de algo 16. Su salida es cero cuando cualquier entrada es uno. 18. Su salia es uno cuando cualquier entrada es cero. 19. Técnica de simplificación matemática, que descompone una expresión en forma de factores. 22. Tierra o terminal negativa iniciales. 23. Joint Electron Device Engineering Council 24. Recurso para comprobar el funcionamiento de un diseño antes de implementarlo físicamente. 26. La salida es cero cuando cualquiera de sus entradas es cero. 27. Reducir lo más posible una ecuación. 29. Estudio y aplicación del comportamiento de los electrones en diversos medios, semiconductores, 32. Sistema numérico compuesto de dos elementos. 33. Diodo Emisor de Luz iniciales en inglés. 36. Nombre del creador del algebra booleana36. Nombre del creador del algebra booleana 38. Considerar como cierto o real algo que no lo es o no tiene por qué serlo 39. Representación gráfica en un diagrama 41. Operación Booleana de una sola entrada y su proposito es negar. 43. Extención del archivo de texto para la simulacion.



6

3.- Identidades

Obtenga la Ecuación y el Valor de la salida para las siguientes identidades

Ecuación Valor de salida

Ejemplo

A + B + A’ 1

1

(A + B’ + C + 0’)’

2

3

4

5

6



7

4.- Operadores Lógicos

Considerando las operaciones And, Or, Nand, Nor y Exor todas ellas de tres

entradas, que operadores tendrán la salida igual a uno:

Si las entradas son A=0, B=0 y C=0:

A b c d

Nand y OR Nor y Nand And y Nor Nand y Exor

a) Si solo una de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno:

A b c d

Nand, And y Exor And, Nor y Exor Nand, Or y Exor Nor, Or y Exor

b) Si dos de las tres entradas A, B o C toma el valor de uno:

A b c d

Or y Exor And y Exor Nand, y Or And y Or

c) Si las tres entradas A, B o C toman el valor de uno A=1, B=1 y C=1:

A b c d

Or y Exor, Nand And, Exor y Or Nand, Or y Exor And y Or y Nor

5.- Operaciones Booleanas.

Identifique la operación y dibuje el símbolo correspondiente a cada una de las siguientes aseveraciones:

Símbolo

a La Salida es Alta solamente cuando sus tres entradas son Bajas.

B La Salida es Baja cuando cualquiera de sus cuatro entradas es Baja

c La Salida es Alta solamente cuando sus dos entradas son diferentes



8

6 Identificación de funciones Booleanas

Seleccione la respuesta correcta de las siguientes proposiciones:

a) La función booleana F(x,y,z) =∑m (0, 2, 3, 7) puede ser expresada por:

x’y’z’ + x’yz’ + x’yz

x’y’z’ + x’yz’ + xyz

x’z’ + yz

x’z + yz’

b) .- La función F(A, B,C) = (A+B)(A’+C)(B+C) es igual a:

(A+B)(A+C’)

(A+B)(A’+C)

(A+B)(A’+C’)

(A+B’)(A’+C)

c) .- La función F(X,Y) = X’ + X Y’ es igual a:

Y’ + X’ Y

Y + X Y’

X + X’ Y

X’ + X Y



9

7. - Manipulación algebraica

Recursos para la minimización de funciones Booleanas

Por medio de la manipulación algebraica se puede simplificar una Función Booleana y obtener una mínima expresión que contenga menos términos o menos variables que la función original, para reducir así la complejidad del circuito a implementar, los recursos disponibles de este método algebraico se listan a continuación:

a) Identidades de los operadores. b) Factorización para la minimización. c) Duplicando un término ya existente d) Propiedad Distributiva. e) Teorema del Consenso. f)Teorema de D´Morgan. g) Equivalencias de Exor y Exnor en la forma AON (And, Or y Not).

b).- Factorización para la minimización, se efectúa entre dos términos semejantes y cuando solo cambia una variable y esta variable se elimina.

B A + B A’= B (A+A’)= B

c).- Propiedad Distributiva

X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= X Y + X Z

e).-Teorema de D´Morgan

And AB = (A´+B’)’ And por Nor negando las entradas

Nor (A+B) = A’ B’ Nor por And negando las entradas

Or A+B = (A’ B’)’ Or por Nand negando las entradas

Nand (AB)’ = A’+ B’ Nand por Or negando las entradas

f).- Equivalencias del Exor y Exnor

A B = A’ B + A B’ (A B)’ = A’ B’ + A B



10

Obtenga la mínima expresión de los siguientes problemas por medio de

manipulación algebraica y compruebe el resultado con la solución propuesta.

1 Resultado

A’ + B’ + C + D

Procedimiento:

2 Resultado

F (A, B, C, D) = (A’+B+C’+D’)(A+B+C)(A+C+D’)(C’D’)’ A C ’D+ B C + C D’+A’ C

Procedimiento



11

3 Solución

A’B’C+(A+B+C’)’+A’B’C’D A’ B’ (C + D)

Procedimiento

4 Solución

F(X,Y,Z) = X’ Y’ Z’ + X’ Y’ Z+ X’ Y Z’ + X’ Y Z +X Y Z X´+ Y Z

Procedimiento



12

5 Solución

Z= XY’+X’Y’Q = Y’ (X+Q)

Procedimiento

6 Solución

a´bć + a’ c d’ + b d a’ c + b d

Procedimiento



13

8.- Mapas de Karnaugh

Simplifique las siguientes funciones por mapas de Karnaugh obteniendo la mínima

expresión en las en las formas SOP (agrupando unos) y POS (agrupando ceros) y

compruebe sus resultados por medio del software LogicAid.

F1 (A,B,C,D) = m ( 2, 5, 7, 13, 15)



14

F2 (A,B,C,D) =m ( 2, 3, 7, 11, 15)



15

F3 (A,B,C,D) =A’ B + B’ C’ D’ + A C’ D + A C



16

F4 (A,B,C,D) = (B + D’ ) ( A’ +B’ +C )( A +B +C)( B +D)

Un sistema digital binario representado por este diagrama de tiempos, en donde las

entradas son A, B, C y D y la salida S, obtenga: La función mínima expresada en

las formas And/Or (SOP) y Or/And (POS):



17

Identifique cada uno de los resultados con los obtenidos en los Mapas

anteriormente resueltos

F? Resultados SOP y POS

A C D + A'B D + A' B' C D'

B D' + B'D + A B' + B'C'

A C + A D + B'C'D' + A'B

A'B D + A C D + A' B' C D'

A B' + B C + B D + A'C'D'

B C + A'B

B D' + B'D + A D' + C'D'

(A'+C)(A'+D)(B'+D)(A+B+D')(C+D)

(B'+ D') (A + B + C'+ D)

(A'+B'+C+D)(A+B+C')(A+B+D')

(B+C)(A'+C)(A'+D)(B'+D)(A+B+D')

(A+B+D') (A'+B'+C+D)(A+B+C')

C D + A' B'C

B D' + B'D + A B' + B'C'

B (A'+ C )

C (A'+ D ) (B'+ D )

B D' + B'D + A D' + C'D'

(A + B + C'+ D) (B'+ D')



18

9 Las ocho formas estándar

Actividad: Obtenga las ecuaciones mínimas y el diagrama en las formas estándar

And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función:

a).- FX (A, B, C)= (A +C) (C + B) (A’ + B)

Forma Ecuación Mínima Diagrama

And/Or

Or/And

And/Nor



19

11.- Problema propuesto

En una competencia de tiro con arco y flecha el objetivo es una diana que está formada por 8 bandas concéntricas asignándosele a la banda central el valor “10” y en orden decreciente hasta el valor “3” la exterior. Diseñe un sistema electrónico digital que proporcione información codificada en binario (A3, A2, A1, A0) de en qué banda (3 al 10) se produjo el impacto, para ello se cuenta con 4 sensores dentro de la diana (P, N, A, B), dichos sensores determinan en que banda se realizó el impacto como se muestra en las siguientes tablas.

P N Significado A B Banda

0 0 No impacto 0 0 3 o 4

0 1 Impacto en banda Impar 0 1 5 o 6

1 0 Impacto en banda Par 1 0 7 o 8

1 1 Impacto en medio de dos

bandas 1 1 9 o 10

En caso de que el impacto este en medio de dos bandas (P=1, N=1) se tomará el valor mayor. En el caso que no se detecte Impacto (P=0, N=0) y A o B tengan un valor diferente de cero se tomara el valor menor. Ejemplo si el impacto produce los siguientes valores en los sensores: P=0, N=1, A= 1 y B=0 entonces el impacto está en una banda impar y entre 7 y 8 por lo que el resultado debe indicar el número 7 en código binar rio como se muestra en la siguiente tabla (A3, A2, A1, A0).

Entradas Salidas N(10)

m P N A B A3 A2 A1 A0

6 0 1 1 0 0 1 1 1 7

Para este diseño obtenga:

1.- El Dibujo del Diagrama de bloques (entradas y Salidas)



20

2.- La tabla de verdad.

Entradas Salidas

N(10) m P N A B A3 A2 A1 A0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



21

3 .- Las Ecuaciones Mínimas

Para cada una de las cuatro salidas obtenga las ecuaciones mínimas SOP y POS utilizando mapas de Karnaugh.



22

4.- Diagrama esquemático

Dibuje el diagrama esquemático de los ocho resultados mínimos obtenidos.



23

5.- Las ecuaciones Mínimas en la forma And/Nor

Obtenga las ecuaciones y dibuje los Diagramas de la forma estándar And/Nor partiendo de los resultados mínimos SOP y POS para cada una de las salidas.



24

12.- Conclusiones de la actividad



25

Formulario

1.- Sistemas numéricos

Métodos:

N(x) →N(10) Multiplicar por la Base y Sumar (para números enteros)

N(x) →N(10) Fórmula General (preferentemente para números con decimales)

N(10) →N(X) Residuos (para números enteros)

N(10) →N(X) Extracción de potencias (preferentemente para números con decimales)

N(2) ↔N(8) O N(2) ↔N(16) Múltiplo

2.- Algebra Booleana a).- Identidades

AND OR

A A=A A+ A=A

A 0 =0 A +0 =A

A 1 =A A +1 =1

A A’ =0 A + A’ =1

b).- Factorización para la minimización Se efectúa entre dos términos semejantes y cuando cambia solo una variable y

esta variable se elimina: A B C D+ A’ B C D= B C D (A +A’)= B C D

c).- Duplicando un término ya existente A+A=A,

AB’+ AB’+ AB’= AB’ d).- Propiedad Distributiva

X+YZ = (X+Y) (X+Z) X(Y+Z)= XY+XZ

d).-Teorema del consenso

And/Or Or/And

AB+A’C+BC = AB + A’C (A+B)(A’+C)(B+C)= (A+B)(A’+C)



26

f).-Teorema de D´Morgan

And AB = (A´+ B’)’

And por Nor negando las entradas

Or A+B = (A’ B’)’

Or por Nand negando las entradas

Nor (A+B)’ = A’B’

Nor por And negando las entradas

Nand (A B)’ = A’+ B’

Nand por Or negando las entradas

g).- Igualdades del Exor y Exnor

A B = A’ B + A B’

(A B)’ = A’ B’ + A B



27

h) Mapas de Karnaugh

Reglas para el uso del Kmap

1.- Formar el menor número de grupos

2.- Cada grupo lo más grande posible

3.- Todos los unos deberán de ser agrupados

4.- Un solo uno puede formar un grupo

5.- Casillas de un grupo pueden formar parte de otro grupo

Grupo = Unos adyacentes enlazados (paralelogramos) en una cantidad igual a

una potencia entera de dos, eje. (1, 2, 4, 8,…).

Dos Variables Tres Variables Cuatro Variables

4.- Las ocho formas estándar

Minitérminos (SOP) Maxitérminos (POS)

And/Or

Or/And

Nand/Nand Nor/Nor

Or/Nand And/Nor

Nor/Or Nand/And



28

Ejemplo: obtener las formas And/Or, Or/And y And/Nor de la siguiente función

Booleana:

m A B C S

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

Obteniendo las ecuaciones a partir de la tabla de verdad:

a) Miniterminos (unos de FS) en las formas canónica y SOP (And/Or)

b) Maxitérminos (ceros de FS) en sus formas canónica y POS (Or/And)

a) b)

FS (A,B,C) =∑m(1,2,4,5,7)

FS (A,B,C) = A’B’C+A’BC’+AB’C’+AB’C+ABC

FS (A,B,C) = πm(0,3,6)

FS (A,B,C) =(A+B+C)(A+ B’+ C’)(A’+B’+C)



29

También se pueden expresar las formas SOP y POS en forma simplificada por medio de mapas de Karnaugh (o LogicAid)

FS (A,B,C) = A C + A B’ +A’B C’ + B’C FS (A,B,C) =(A’+B’+C)(A+B’+C’)(A+B+C)

Para obtener la forma And/Nor partimos de la forma Or/And aplicando el teorema de

D’morgan en los dos niveles como se indica a continuación.

1.- Or por Nand negando las entradas

2.- And por Nor negando las entradas

3.- Se cancelan los negados al mismo nivel

(ABC’)’(A’BC)’ (A’B’C’)’ [(ABC’)’’+(A’BC)’’+ (A’B’C’)’’]’ [(ABC’)+(A’BC)+ (A’B’C’)]’

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