B2 �

101

B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales

x=×

=× ×× ×

= × =330 100

22011 30 100

11 2 1015 10 150

Porlotanto,Pacoaumentóen150% – 100% = 50%elvalordelascamisetas.

1. Unapersonade1.60 mproyectaunasombrade2 m;¿quéalturatieneunárbolquealamismahoraproyectaunasombrade6m?

2.Simediadocenaderosascuesta$30,¿cuántocostarán5docenas?3.Untanquellenoa2/5desucapacidadcontiene500litros,¿cuántoslitroscontieneuntanquesimilarllenoa5/8desucapacidad?

4.CuandoSamuelfalleciódejó3/5partesdesupropiedadasuhijoJacobo,mientrasqueasuhijoIvánledejóelresto,queeran2,500m2.¿QuésuperficiedelapropiedadlecorrespondeaJacobo?

5.Unaguarniciónmilitarde1300soldadostienevíverespara4meses.Siserequierequelosvíveresduren10díasmás,¿cuántossoldadostendránqueabandonarlaguarnición?

6.Juantrdó8 1/3díasenrealizar5/12deunaobra.¿Encuantosdíasmáslaterminará?7.Unacuadrillade10obrerosacuerdarealizarunaobraen15días,peroaltérminode10díassólollevan 3/5delamisma.¿Cuántosobrerosmásdebencontratarparaqueterminenlaobraeneltiempoestipulado?

8.RobertoyMauriciocobraron$ 35,000poruntrabajorealizadoporambos.Robertotrabajódurante 20díasarazónde9horasdiariasycobró$ 15,000;¿cuántashorasdiariastrabajóMauriciosilaboró40días?

9.Seis hombres trabajando9 jornadas a razón de8 horas han hecho3/8 de unaobra.Siserefuerzancon4obrerosytrabajan6horasdiarias,¿encuántotiempoterminaránlaobra?

10. Una calle de 50 m de largo y 4 m de ancho se encuentra cubierta por 1000 adoquines;¿cuántosadoquinesseránnecesariosparacubrirotracalledeltripledelargoy3/4deanchodelaanterior?

11.Estebangana$12,000mensualesygasta30%encomida,20%enrenta,35%enserviciosyahorraelresto;¿cuántoahorraEsteban?

12. La temperatura de un horno aumenta uniformemente después de conectarlo.Alos6minutosalcanzalos65ºCyalos13minutos,96.5ºC;¿cuántosminutosapartirdelaconexiónseránnecesariosparaalcanzar191ºC?

13.Elaguadeldepósitodeunagranjasegastaalolargodelverano.Tenía3,000 litrosel20de julioy2,650 litrosel31delmismomes.Elgastodiariodeaguaescasiconstanteynosuelelloverenveranoenestacomarca;¿quedaráaguaeldía31 deagosto?

14.Secontrata12obrerosparahacerunaobrayalos15díashanterminadolatercerapartedel trabajo; ¿cuántosobrerosmáshacen faltapara terminar laobraen8días?

Actividad

102

B2 �B2 �15.Siunmillóndepesosproducen15,000en3 meses;¿cuántohayqueinvertirpara

obtener300,000en1año?16. Una empresa quiere distribuir $2,000,000 entre 3 organizaciones no

gubernamentales proporcionalmente a su número de proyectos. La primeraONGtiene20 proyectosenmarcha,lasegunda15 ylatercera12;¿cuántodinerolecorrespondeacadauna?

17.Undeportistaentrenandorecorre450 kmen 15días, 6horaspordía.Simarcha8horaspordía,¿cuántoskilómetrosrecorreráen20díasalamismavelocidad?

18.Ungrifollenaundepósitoen4horas,unsegundogrifolollenaen5horasyundesagüelovacíaen6horas.Siseabrenlostresdispositivosalavez;¿encuántotiemposellenaráeldepósito?

19.CincoamigosdecidenhacerleunregaloaBenitoyaportan $70cadauno.Unavezcompradoelregaloselesunen2amigosmás;¿cuáleselnuevoimportequedebepagarcadapersona?

20. Para poner la calificación de Educación Física, la profesora sigue el siguientecriterio: lapruebateóricaes40%de lanotatotaly lapruebaprácticael resto.Jorgehaobtenido6.3enlapruebateóricay7.2enlapráctica;¿cuálserásunotafinal?

1. En la palabraMURCIÉLAGO cada vocal vale 2 puntos y cada consonante -1.¿Cuántovalelasumadetodaslasletras?

2. Halladosnúmerosenterosconsecutivoscuyoproductosea9,900.3. ¿Quénúmeroesel3×106 + 5×106 + 2×106?4. ¿Quénúmeroesel3×107 + 5×106 + 2×105?5. Delos25primerosenterospositivos,¿cuántossonpares?Siquitamos5números,

todospares,¿quéporcentajedelosquequedansonpares?6. Seisgallinasponen100 huevosen8días.¿Cuántasgallinasharánfaltaparaponer

200huevosen4días?7. Unrelojdepulsera(de12 horas)seatrasa10minutoscadadía.Siloponemos

hoyenhora,¿dentrodecuántosdíassehabráatrasadounahoraentera?¿Dentrodecuántosdíasvolveráadarlahoraexacta?

8. Laescaladeunmapaes:3cm=10km.Siladistanciaentredosciudadesenelmapaes12cm,¿cuálesladistanciaenlarealidad?

9. Parafabricar1kgdemiel,lasabejashacen50,000viajesentrelacolmenaylasflores.Encadaviaje,unaabejatransportaportérminomedio 8mgdenéctar;¿cuántoskilogramosdenéctarsonnecesariosparaobtener1kgdemiel?

10. Juan se llevó lamitadde un trozode chocolate;Beatriz, un tercio; y el resto,20 gramos, fue paraCarlos. ¿Cuántos gramos pesaba el trozo de chocolate?,¿cuántosgramospesabanlostrozosdeBeatrizydeJuanrespectivamente?

Actividad

B2 �

103

B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales

11. Sofíacortóesterectánguloenlastrespiezasquesemuestranyconellasformóuntrapecioisósceles.DibujaeltrapecioqueformóSofíaydicuálessuperímetro.

12.Lafigurasiguienterepresentauncuadradoconotrocuadradomáspequeñoensuinterior.Elperímetrodelcuadradograndees36yeldelcuadradopequeño16 ¿Cuáleseláreadelaregiónsombreada?

13.Unaparcelarectangularde30 mpor40mestárodeadaporunpaseode 5 mdeancho;¿cuáleseláreadelpaseo?

14.EneldibujoAB=20yBC=18.HallaelperímetrodeABCDEF.(Todoslosángulos

sonrectos).(operaciones)

15.Hallaelperímetrodelafigura.(Todoslosángulossonrectos).

16.Alas 4delatarde,unpostede10mdealtoproduceunasombrade18mdelargo.Alamismahora,¿quélongitudtendrálasombraproducidaporunpostede5mdealto?(proporciones).

17.A las10de lamañanaunpostede 9mdealtoproyectaunasombrade6mdelongitud.¿Cuántomedirálasombradeotropostede3mdealtoalamismahora?

104

B2 �B2 �18.Elcuadradoexteriortieneunáreade100 ylosvérticesdelcuadradointeriorestán

enlospuntosmediosdelexterior;¿cuáleseláreadelcuadradopequeño?

19. Sihoyesmartes20 deseptiembrede2010ysonlas16 horas24minutos;¿quédíayhoraserádentrode 3,010minutos?

20. DoñaMartamandó a su hijo Juan a comprar 6/8 de kilo demargarinaSi en elalmacénsóloquedabanbarrasde1/4dekilo;¿cuántoscompró?

21.ParaprepararunpayJuanitanecesita2tazasdeharina.Sicadatazaequivalea1/4 dekiloyensucasasólohaypaquetesde1/2 kilodeharina,¿cuántosdeéstosocupará?

22.Pedro,elpastelero,estápreparando 6tortassimultáneamente.Sinecesita3/4dekilodemantequillayenellocalsólohaypanesde1/2 dekilo,¿cuántosdeéstosocuparáPedro?

23.JuanyJuanacompraron1bolsadedulcescadauno.Despuésde2horasaJuanlequeda 2/5delabolsayaJuana,4/9;¿aquiénlequedamás?

24.UncursodeberesolverunaguíadeejerciciosdurantelaclasedeMatemáticas.ElgrupodeAnaalcanzaaresolver 1/2delaguía,mientrasqueelgrupodeMartaresuelve1/3;¿quégruporesolviómásejercicios?

25. MiguelyRobertodebenleerunlibroparacastellano.Miguelhaleído1/2deltextoyRoberto 5/6;¿aquiénlefaltanmenospáginasporleer?

26. El profesor de deportes debemedir la resistencia de cada alumno. La pruebaconsisteentrotar15minutossindetenerse.Elalumnoquepareantesdetiempodeberetirarseyobtendráunanotadeacuerdoconeltiempoquecorrió.SiPatriciocorrió7/6deltiempoyJavier5/9;¿quiéntienemejorresistencia?

27. Undíadeverano,SofíayGabrielallegaronasucasaconmuchocalor.Cadaunapreparóunlitrodejugodesusaborpreferido,manzanaypiña,respectivamente.Sofíabebió4/7 desujarroyGabriela2/3delsuyo.¿Dequéjugosobrómás?

28. MaríayElenacompartenunpaquetedegalletasduranteelrecreo.SiMaríacome 3/8delpaqueteyElena 1/4,¿quiéncomemás?

29. DoñaMartahorneó2panquequesiguales.SuhijoJuancomió1/4delprimeroysuhijaLucía3/8delsegundo;¿cuántocomieronentreambos?

30.Martacompróuncortedegéneroparaconfeccionarunjuegodesábanas.Enlasábanadeabajoocupó3/5delcorte,enladearriba2/5yenlasfundas1/10.¿Quéfraccióndelcortedegéneroutilizó?

31. Luisacompró1/5kgdechocolateamargoy 7/15kgdechocolatedulce;¿cuántocompróentotal?

32. Ensutestamento,unamujerledejóasuesposo6/13desusbienesyasushijos11/26.¿Ledejóalgoaotraspersonas?

33. Dosamigosdecidieroncompartirunabotellade jugo.Elprimerotomó¼de labotella,elsegundo5/8deella.¿Quépartedelabotelladejugobebieron?

34. Juanllevóalcolegio5/8deunaresmadepapelcarta.Enelrecreo,suhermanaLucía sediocuentaquenecesitabapapelparahacerun trabajoypidió1/4deresma.¿ConcuántopapelsequedóJuan?

B2 �

105

B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales

35. Un camión de basura ha recogido suficientes desechos para copar 5/6 de sucapacidad.Sialdescargarlosmaterialesreciclables,elcamiónquedacon11/24desucapacidad,¿quéfraccióndelacapacidaddelcamiónestabaconstituidaporbasurareciclable?

36.Despuésdehaberpavimentado1/3deunacalle,sedescubreunacañeríadegasrotaporlocualdebenromperelpavimentode2/9delacalle.¿Quéfraccióndelacallequedapavimentada?

37.DoñaMartapreparó2panqueques.Juansecomió3/8delprimeroyLucía5/6 delsegundo.¿Comieronentreambosmásdeunpanqueque?

38.JavieryFranciscoteníanquellevararrozalcolegioparaunacampañadeayudasolidaria.Javierllevó2/3delunpaquetedekiloyFranciscollevóunkilo.¿Cuántosterciosdekilollevaronentrelosdos?

39. JuanyRamóntrabajanen turnosconsecutivosenuna fábricaque funcionasinparar.Juantrabajó2/3dedíayRamón2/5deldía.¿Quépartedeldíacubrieronentreambos?

40. Martaqueríatejerseunchaleco,paraellocompróunabolsadeovillosde lana.Cuando terminó el chaleco sólo había ocupado 1/2 bolsa. Decidió entoncestejerseungorro,enelqueocupó1/3 delabolsa.Comoaúnlesobraba,setejiótambiénunabufandaenlaqueocupó1/6másdelabolsa.¿Quéfraccióndelabolsadelanalequedó?

41.Lucascomiódosquintaspartesde¼dekilodecacahuate;¿quéfraccióndekilocomió?

42. Para prepararle lamamila a su bebé,Marcela ocupa los3/4 de capacidad delbiberón,queesde1/5delitro.¿QuéfraccióndelitrodelechepreparaMarcela?

43.Ricardopasa1/3deldíaenelcolegio,deesaparte,7/8estáenlasaladeclasesyelrestoestáenrecreo.¿QuéfraccióndeldíapasaRicardoenlasaladeclases?

44. Javierquiereserconcertista,élpermanecedespierto 3/4partesdeldíaydedica2/9deltiempoqueestádespiertoapracticarpiano.¿QuéfraccióndeldíatocapianoJavier?

45.Unpanaderoocupa3/10deunsacodeharinaaldía.Silos3/4delaharinalausaparaprepararpan,¿quéfraccióndelsacodeharinautilizaelpanaderoparahacerpandiariamente?

46.Danielatarda3/5dehoraenllegaralcolegio.Deestetiempo,1/4caminay3/4andaenautobús.¿QuéfraccióndehoracaminaDanieladesdesucasaalcolegio?

47. Nicolásquiererepartir4barrasdechocolateentrozosde1/8debarra.¿CuántostrozosalcanzaráatenerNicolás?

48. DonÁngeldecidiódividir15hectáreasdeterrenoensitiosde1/5 dehectáreacadauno.¿CuántossitiosobtendrádonÁngel?

49. Unvendedorquiererepartir2 1/2kilosdetornillosenpaquetesde1/4dekilo.¿Cuántospaquetesalcanzaráallenar?

50. Marianaquierevaciar¾ de litrode lecheenvasitosde1/10de litrocadauno.¿Cuántosvasitospodrállenar?

51.Tengo20 litrosdelimonada.¿Cuántasbotellasllenasde 1/3 litrospuedoobtener?Conloquesobra,¿quépartedeotrabotellapuedollenar?

52.Josétomó1/3deunabotelladebebidasde3/4 de litroyMauriciotomó3/5deunabotellade 1/2 litro.¿Quiéntomómásbebida?

106

B2 �B2 �

Iván es un fanático de la patineta. Visitó la tienda llamada SKATES para compararalgunosprecios.Enestatiendasepuedecomprarunapatinetaarmada,perotambiénsepuedecomprarlatabla,unjuegode4ruedas,unjuegode2ejesyunjuegodeaccesoriosparaarmarlaunomismo.Lospreciosdelosproductosenlatiendasonlossiguientes:

Producto Precio

Marca A Marca B Marca C

Patinetaarmada 410 620

Tabla 200 300 325

Unjuegode4ruedas 70 180

Unjuegodedosejes 80

Unjuegodeaccesorios 50 100

a) Ivánquierearmarsupropiapatineta.¿Cuáleselpreciomínimoymáximo,enestatienda,paralaspatinetasquearmaunomismo?

Preciomínimo:pesos.

Preciomáximo:pesos.

b) La tiendaofrece tres tablasdistintas, dos juegosde ruedasdiferentes ydos tiposdistintosdeaccesorios.Sólohayunaopciónparaeljuegodeejes.¿CuántostiposdepatinetapuedearmarIván?Explicaturespuesta.

Evaluación formativa

B2 �

107

B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales

c)Ivántiene600pesosparagastaryquierecomprarlapatinetamáscaraquepueda.¿CuántodineropuedegastarIvánencadaunadelas4 partes?Escribeturespuestaenelcuadrosiguiente.

Parte Monto

Tabla

Ruedas

Ejes

Accesorios

Total

d) Qué le conviene más a Iván: ¿armar su patineta o comprar la patineta más cara? Justifica tu respuesta.

Escala de Rango

Nombredelalumno:

Escaladevaloración:0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituación

Resolviólasoperacionesnecesariasdelproblemaa)

Resolviólasoperacionesnecesariasdelproblemab)

Explicólasoperacionesnecesariasdelproblemab)

Resolviólasoperacionesnecesariasdelproblemac)

Explicólarespuestadelproblemac)

Presentacióndelassoluciones

TOTAL:Cal

Total=

×=

1021

Observaciones:

Nombredequienrevisó:

BLO

QU

E

3 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores� � �

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

�

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

�

• Identificaeinterpretasucesionesyseriesaritméticas.

• Reconocetérminosdesucesionesaritméticas.• Ordenainformacióndeacuerdoconrelaciones

enseriesysucesionesaritméticas.• Reconocelaformaalgebraicadeltérmino

n-ésimodesucesionesaritméticasparticulares.• Identificagráficamenteeltipoderelación

variacionalenlafórmuladeln-ésimotérminodesucesionesaritméticasparticulares.

• Identificaeinterpretasucesionesyseriesgeométricas.

• Reconocetérminosdesucesionesgeométricas.• Ordenainformacióndeacuerdoconrelaciones

enseriesysucesionesgeométricas.• Reconocelaformaalgebraicadeltérmino

n-ésimodesucesionesgeométricasparticulares.

• Identificagráficamenteeltipoderelaciónvariacionalenlafórmuladeln-ésimotérminodesucesionesgeométricasparticulares.

Sumas y sucesiones de números

BLO

QU

E

3 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores� � �

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

�U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A�Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesaritméticasyalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasaritméticosyalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.

Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajearitméticoy/oalgebraico.

• Identificasilostérminosdeunasucesiónmantienenunadiferenciaounarazónconstantes.

• Aplicalafórmuladeltérminogeneral,paraobtenerlaexpresióndeln-ésimotérminodeunasucesiónaritméticaogeométricaparticular.

• Utilizalafórmuladelasucesiónparticularparaobtenerelementosdesconocidosdeunasucesiónaritméticaogeométrica.

• Elaboragráficasdesucesionesaritméticasygeométricasydescribeconellaselcomportamientodecadatipoderelación.

• Utilizalasfórmulasdelassucesionesaritméticasogeométricasparamodelarysolucionarsituacionesdiversas.

• Aplicalasfórmulascorrespondientesparahallarelmodelodeln-ésimotérminoquecaracterizaaunasucesión,aritméticaogeométrica,particular.

• Escribetérminosdesucesionesaritméticasygeométricas.

• Aplicalasfórmulascorrespondientesparahallarelvalordeunaseriearitméticaygeométricafinitaoinfinitaconvergente.

• Obtienetérminosdesucesionesaritméticasogeométricasutilizandoladiferenciaorazóncomún,oaplicandolasfórmulas.

• Construyegráficasparaestablecerelcomportamientodesucesiones,aritméticasygeométricas,particulares.

• Determinaregularidadesypatronesdelassucesionesyseriesaritméticasogeométricas.

• Diseñayaplicamodelossencillosdeseriesysucesiones.

• Organizaideasyargumentosdemaneraclara,coherenteysintéticaconrelaciónaseriesysucesiones.

• Aprecialautilidaddeexpresarmatemáticamenteregularidadesypatrones.

• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.

• Promueveeldiálogocomomecanismoparalasolucióndeconflictos.

110

B3 �B3 �INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

Actividad introductoria

En este bloque analizaremos las características y el concepto de sucesión,quenospermitemodelarmuchos fenómenoso situacionesqueocurrenendistintoscontextos,tantoenlaescuelacomoennuestravidacotidiana.

1.Lasiguientetablamuestraelcostopordocenadenaranjas:

Docena 1 2 3 4 5

Costo 14.5 43.5 58

a)¿Cuántocuestan2docenasdenaranjas?,¿y5?

2.Anaseproponeahorraralolargodelasemana;siempiezaellunescon$10yahorracadadíaunpesomásqueeldíaanterior:a) ¿Cuántodebeahorrarelmiércoles?b)¿Cuántohabráahorradoparaelsiguientedomingo?

3.Encuentraelnúmerofaltanteencadaunadelassiguientesseries:

a) 1, 3, 5, ___, 9, ____, ____, 15, 17 b) -5, -1, 3, ____, 11, 15, ____, 23, 27 c) -4, 0, 4, ___, 12, 16, ___20 d) 20, 10, ____, 2.5, ____, 1.25, ______

Leedetenidamentelassiguientessituacionesyrealizaloqueseteindica.

1. Adela se propone ahorrar durante todo un año para comprarles regalos deNavidadasusfamiliaresyamigos.Empiezaenenerocon$100yplaneaahorrarmensualmenteunacantidadigualaloahorradoelmesanteriormás$50.Completalatablasiguienteyrespondeloquesetepide.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic

100

B3 �

111

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

a)¿Cuántodebeahorrarenjunio?________________¿Yenseptiembre?______b)¿Cuántohabráahorradoalfindelaño?_________________________________c)Sidecidecomprarseunalaptopquecuesta$8000¿lefaltaráolesobrará?___d)¿Cómoexpresaríaslareglaparasaberloquedebeahorrarcualquiermes?____

2.Estebantambiéndecideahorrar,peroendólaresydelasiguientemanera:enenero 1 dólaryapartirdefebreroahorraeldobledelmesanterior.Completalatablayrespondeloquesetepide.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic

1

a)¿Cuántodebeahorrarenmayo?_______________¿Yenagosto?___________b)¿Cuántohabráahorradoalfindelaño?_________________________________c) Si decide comprarse una laptop que cuesta $1000 dólares, ¿le faltará o lesobrará?__________________________________________________________

d)¿Cómoexpresaríaslareglaparasaberloquedebeahorrarcualquiermes?____

Lasactividadesqueacabasderealizarestánrelacionadasconelconceptodesucesión.

Una sucesión es un conjunto ordenado de números que sededucenunosdeotrosmedianteunaregladefinida.

Losnúmerosdelasucesiónrecibenelnombredetérminosdelasucesión.

Denotaremosaunasucesióndefinidaporlareglaancomoelconjunto:

S a a a a a a an n n={ }+ +1 2 3 4 1 2, , , , ... , , , ...

dondeanrepresentaelenésimotérminodelasucesión.

Enlossiguientesincisosserepresentanlasreglasquedefinenaunasucesión.

a)an=3(n-1)+2

b) a n nn =

+( )12

SUCESIONES Y SERIES

112

B3 �B3 �c) a n

nnn= −+

( )11,

d) an n=2

3,

e) a a a a a nn n n+ − −= + = = >2 2 1 1 21 1 2, , ,

Ejemplos

Hallarlosprimeros 8términosdecadaunadelasreglasindicadasanteriormente.

a)Para a nn = − +3 1 2( ) tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:

a1=3(1-1)+2=3(0)+2=2a2=3(2-1)+2=3(1)+2=5a3=3(3-1)+2=3(2)+2=8a4=3(4-1)+2=3(3)+2=11a5=3(5-1)+2=3(4)+2=14a6=3(6-1)+2=3(5)+2=17a7=3(7-1)+2=3(6)+2=20a8=3(8-1)+2=3(7)+2=23

Porlotanto:

s={ }2 5 8 1114 17 20 23, , , , , , ,

b)Para an n

n =+( )1

2tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:

a

a

a

1

2

3

11 12

1 22

22

1

2 2 12

2 32

62

3

3 3 12

3 42

=+= = =

=+= = =

=+=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )== =

=+= = =

=+= = =

=

122

6

4 4 12

4 52

202

10

5 5 12

5 62

302

15

6

4

5

6

a

a

a

( ) ( )

( ) ( )

(66 12

6 72

422

21

7 7 12

7 182

562

28

8 8 12

8 9

7

8

+= = =

=+= = =

=+=

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a

a22

722

36= =

Por lo tanto:

s={ }1 3 6 10 15 21 28 36, , , , , , ,

B3 �

113

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

c)Para a nnn

n= -+

( )11tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:

a

a

a

11

22

33

11

1 11

12

12

12

2 11

23

23

13

3 1

= −+= − =−

= −+= =

= −+=

( ) ( )

( ) ( )

( ) (−− =−

= −+= =

= −+= − =−

=

134

34

14

4 11

45

45

15

5 11

56

56

44

55

6

)

( ) ( )

( ) ( )

(

a

a

a −−+= =

= −+= − =−

= −+=

16

6 11

67

67

17

7 11

78

78

18

8 11

8

6

77

88

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a

a99

89

=

Porlotanto:

s= −

− − −

12

23

34

45

56

67

78

89

, , , , , , ,

d)Para an n=2

3 tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:

a

a

a

a

a

a

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

23

23

23

29

23

227

23

281

23

2243

23

27

= =

= =

= =

= =

= =

= =229

23

22187

23

26561

7 7

8 8

a

a

= =

= =

Porlotanto:

s=

23

29

227

281

2243

2729

22187

26561

, , , , , , ,

114

B3 �B3 �e)Paraa a a a a nn n n= + = = >- -2 1 1 2 1 2, , tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:

a a a

a a a

a a a

a a a

a

3 1 2

4 2 3

5 3 4

6 4 5

7

1 1 2

1 2 3

2 3 5

3 5 8

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

== + = + =

= + = + =

a a

a a a5 6

8 6 7

5 8 13

8 13 21

Porlotanto:

s={ }11 2 3 5 8 13 21, , , , , , ,

Elincisod)representaunejemplodeunasucesiónalternante,mientrasqueelincisoe)representaaunasucesiónrecurrenteorecursiva.

Unodelosprocesosmásimportantesesdeterminarlareglaquedefineunasucesiónapartirdelosprimerostérminos;porejemplo,determinalareglaquedeterminacadaunadelassiguientessucesiones:

a) s={ }1 3 5 7 9, , , , , .. .

b) s=

12

14

19

116

132

, , , , , ...

c) s= − − −{ }1 2 3 4 5 6, , , , , , .. .

d) s={ }7 3 17 5 27 7 37 9, , , , .. .

Solución

a)observaquelostérminosdelasucesiónsonnúmerosimpares,esdecir: a nn = -2 1

b)observaqueelnumeradordecadatérminoes1yqueeldenominadoresunapotenciade2,esdecir:

an n=1

2c) observa que la sucesión es alternante y aparece la sucesión de los númerosnaturales,esdecir:

a nnn= − +( )1 1

d)observaqueloscoeficientesdelosradicalesdelostérminosdelassucesionesson

delaforma 10n-3,mientrasquelosradicandossondelaforma2n+1;porlotanto,elenésimotérminoesdelaforma:

a n nn = − +( )10 3 2 1

Veamosahoraalgunassituacionesdondeaparecensucesiones.

Ejemplo

Imaginaqueerestestigodeunaccidenteyquedurantelaprimerahoraselocuentasasólotrespersonas,asuvezcadaunadeellasselocuentaatrespersonasenunahora.

a)Encuentralareglaquedefinelasucesión.

B3 �

115

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

b)¿Cuántaspersonasseenteraránalfinalizarlaquintahora?c)¿Cuántaspersonas,apartedeti,sabendelaccidentedespuésdecincohoras?

Solución

Alfinalizarlaprimerahora,losabrántrespersonasapartedeti.Comocadaunadeellaslocontaráatrespersonasalfinaldelasegundahorahabrá3x3personasenteradasyasísucesivamente;porlotanto,lareglaes:

ann= 3

ylosprimeros5términosdelasucesiónson

S ={ }3 9 27 81 243, , , , , ...

Esdecir,alfinaldelaquintahoraseenterarán243personas,yentotalhabrá:

3 9 27 81 243 363+ + + + = personas

Series

Unconceptorelacionadoconlassucesioneseseldeserie.

Unaserieeslasumadeloselementosdeunasucesión.

Esdecir,si: S a a a a a a an n n={ }+ +1 2 3 4 1 2, , , , ... , , , ... entonces

S =a , S =a +a , S =a +a +a ,..., S =a +a +...a1 1 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 n

Paraabreviarunaserieseutilizalanotación:

S an ni

n

==∑

1

I.Escribelosprimerosdieztérminosdecadaunadelassiguientessucesiones.

1. a nn = -10 3 5. a nnn= -( )1 2

2. a nn = -2 5 6. an

n n

n= - + +( )1 23

1 1

3. annn =-+

11

7. an n= −

13

11

10

4. ann

n

= −

1

1 8. a nnn= − −

1 1( )

Actividad

116

B3 �B3 �9. a a a nn n1 14 3 2= = ³, ,- 11. a a a a a nn n n1 2 1 21 3 3= = = + ³, , ,- -

10. a a a nn n1 312

21=− = ≥−, , 12. a a a a a nn n n1 2 1 21 3 3= = = + ³, , ,- -

II.Hallaunaexpresiónparaeltérminogeneralanyhallalossiguientesdostérminos.

13. S = {1, 5, 9, 13, 17,…} 19. S = {2, 3, 5, 7, 11, 13…}14. S = {34, 24, 14, 4, -6,…} 20. S = {3, 5, 9, 17, 33,…}15. S = {2, 12, 21, 29, 36,…} 21. S = {1, -2, 3, -4, 5,…}

16. S = {3, 5, 8, 12, 17,…} 22. S=

12

23

34

45

56

, , , , , ...

17. S = {1, 3, 4, 7, 11,…} 23. S=

25

310

417

526

637

, , , , , ...

18. S = {1, 2, 6, 24, 120,…} 24. S = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 8, 5, 16, 6, 32…}

III.Calcula:

1. ( )3 21

5

ji

−=∑ 4. ( )3 2

1

6i i−∑

2. ( )30 73

7

−=∑ ji

5. ( )11

1

6

+=∑ ii

3. ( )21

7i

i

i−=∑ 6. i

ii

ii +−−

=∑ 1

1

3

8

IV.Escribecadaserieusandolanotacióndesumatoria.

1. 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 3. 5∙2 + 5∙4 + 5∙8 + 5∙16 + 5∙32 + 5∙642. 24 + 17 + 10 + 3 – 4 -11 – 8 4. 1∙2 + 3∙4 + 5∙8 + 7∙16 + 9∙32 + 11∙64

V.Expresalarespuestaacadaunodelossiguientesejercicioscomounasucesiónounaserie.

1.Rubéncompróunautomóvilen$125,000ysedeprecia12%alaño.Expresalavariacióndelvalordelautomóvilenunperiododeseisaños.

2.Lapoblacióndeunaciudaden 2005eradecincomillonesycreceaunritmode 15%cadaaño.Expresalavariacióndepoblaciónhasta1912.

3.¿Cuálseríaelnúmerototaldepersonascontagiadasdeunaenfermedadalcabodeseishorassiinicialmenteunapersonapadecelaenfermedadycadaunaquelacontraeinfectaaotrascincoenunperiodode 1hora?

4.Roxanaadquirióunprogramadeejerciciosparabajardepesoelcualrecomiendahacer sentadillas en cada sesión: “Empiece con cinco sentadillas durante laprimerasemanayluegoaumentetresporsesióncadasemana”.

a) ¿Cuántas sentadillaspor sesiónpodríahacerdurante ladécima semanadeejercicios?

b)SiRoxanacontinúaduranteunañoejercitándosecuatrovecesporsemana,¿cuántassentadillasrealizaráeneseperiodo?

B3 �

117

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

5. DiceunacancióndeBarney: “ElprimerdíadeNavidadmiamadameobsequióungorrioncillo volador, el segundodíadeNavidadmi amadameobsequiódostortolitasyungorrioncillovolador,eltercerdíadeNavidad,miamadameobsequiótresavescanoras,dostortolitasyungorrioncillovolador…”

a)¿CuántosregalosleobsequióeldoceavodíadeNavidad?b)¿Cuántosregalosrecibióduranteelperiodode12días?

6. Edson invirtió $20,000 enunacuentadeahorroquepagaunatasaefectivade8.25% de interés compuesto anualmente. ¿Cuánto dinero hay en su cuenta alfinalizarelquintoaño?

7.Unestudiorevelaqueelvalordeunacasasedepreciaanualmentearazónde1/40 desuvalor.ElingenieroMendozacompróunacasaen$ 250,000pesos.

a)¿Cómovaríaelvalordesucasadurantelossiguientes8años?b)¿Cuántovaldrásucasadentrode8años?

8.Auryiniciaunacadenadee-mailssobreelcuidadodelaguaenviandounmensajeacincodesusamigos,indicándolesquelosreenvíenacincodesusamigos,distintosalosqueellaenvió.

a)Sinadieinterrumpelacadena,¿cuántaspersonashabránrecibidoele-maildeAurydespuésdeochoenvíos?

b)Si suredsocialacumula5,000socios,¿cuántasvecessetienequereenviarelmensajeparaquetodoslohayanrecibido?

9.Losprimeros4númerostriangularesson:

Hallaelveinteavonúmerotriangular

10.Hallarelnúmerototaldecuadradosdetodoslostamañosquepuedentrazarseenuntablerodeajedrez.

Dentro de los diferentes tipos de sucesión que analizaremos están lasprogresiones o sucesiones aritméticas y las progresiones o sucesionesgeométricas.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

118

B3 �B3 �Unaprogresiónosucesiónaritméticaesunasucesióndondecadaunodelostérminos,posterioresalprimero,seobtieneodeducealañadirunnúmeroconstantellamadorazóndelaprogresión.

Porejemplo,elahorrodeAdelaformaunaprogresiónaritméticaderazón50:100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, …

Loselementosdeunasucesiónaritméticason:

a1=primertérminodelasucesiónd=razónaritméticaan=enésimotérminodelasucesiónn=númerodetérminosSn=sumadelosprimerosntérminos.

Loselementosanterioresserelacionanatravésdelosmodelosmatemáticos:

a a n dn = + -1 1( ) y

Sn

a an n= +2 1( )

Enesteejemplo:

a1 = 100an=loqueahorraencualquiermesa7=loqueahorraenjuliod=50an=100 +(n– 1)dn=elnúmerodemesSn=loquellevaahorradohastaelenésimomesS7=100 + 150 + 200 + 250 + 300 + 350 + 400 = 1,750

Obien:

S7

72

100 40072

5003500

21750= + = = =( ) ( )

Si se conocen los términos de una sucesión aritmética, la diferencia se obtiene alrestarelprimertérminodelsegundoyelsegundotérminodeltercero,paraverificarquedichadiferenciaseaconstante.

Silarazónaritméticaespositiva,sedicequelasucesiónescrecienteysiesnegativa,decreciente.

B3 �

119

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

Enesteejemplo:d=150 -100 = 200 – 150 = 50ylasucesiónescreciente.

Ejemplo

Enlasucesiónaritmética3, 5, 7, 9, …hallareltérminoqueocupaellugar12ylasumadeesosprimeros12términos.

Solución

Observemosquea1 = 3yqued=a2-a1 = 5– 3 = 2,porlotanto:

a a n d

a n nn

n

= + -= + - = + -

1 1

3 1 2 3 2 1

( )

( ) ( )

Donde:

a12 3 2 12 1 3 2 11 3 22 25= + - = + = + =( ) ( ) y

S12

122

3 25 6 28 168= + = =( ) ( )

Ejemplo

Antonioiniciasupreparaciónellunesparalacompetenciadeldomingo.Comienzaunrecorridode 12kilómetros,luegocorre 2kmmásdiariamente.

a)¿Cuántoskmrecorreráelsábado?b)¿Cuántoskmrecorreráantesdelacompetencia?

Solución

ObservamosquelosrecorridosporAntonioformanunasucesiónaritméticaderazón2,yqueelprimertérminodelasucesiónes12.Porlotanto:

a n nn = + - = + -12 1 2 12 2 1( ) ( )

porloqueelsábadoAntoniorecorrerá:

a6 12 2 6 1 12 2 5 12 10 22= + - = + = + =( ) ( ) km

yloskilómetrosrecorridosdurantesupreparaciónson:

S a a6 1 6

62

3 12 22 3 34 102= + = + = =( ) ( ) ( ) km

Porotraparte,acadaunodelostérminosentrelosextremosdeunasucesiónaritméticaselesllamamediosaritméticos.

Porejemplo,lostérminos5, 7, 9sontérminosaritméticosdelasucesión.

120

B3 �B3 �Enparticular,sedefinelamediaaritméticaentredosnúmerosaybcomo:

ma b= +

2

Así,lamediaaritméticade8 y 14es:

m = + = =8 142

222

11

I.Paracadaunadelassiguientessucesionesaritméticasencuentralaexpresióndeltérminogeneral,eltérminoylasumaindicada.

1. -5, -2, 1, 4, 7, …, a10, S10

2. 10, 6,2, -2, -6, …, a15, S15

3. 6, 8.5, 11, 13.5, 17, a20, S20

II.Hallalostérminosindicadosenlassiguientessucesionesaritméticas.1.Hallalosochoprimerostérminosde15, 19, 23,…2.Hallalosdiezprimerostérminosde31, 38, 45,…3.Hallalosprimerosdieztérminosde-10, -4, 2,…4.Hallalosprimerosdieztérminosde–5, -13, -21,…5. Hallalosprimerosdieztérminosde3/10, 2/5, 1/2,…6. Hallalosprimerosdieztérminosde-10, -4, -2, …7. Hallalosprimerosdieztérminosde-2, 1/4...8. Hallalasumadelostérminosdelassucesionesanteriores.9. ¿Cuántostérminostienelasucesión4, 6, 8,…,30?10. ¿Cuántostérminostienelasucesión5, 5 1/2,...,18?11. Elprimertérminodeunasucesiónaritméticaes 5.5 yelterceroes6.5,hallarel

términogeneral,a12yS12

12.Hallalasumadelosprimerosveintemúltiplosde7.13. Hallalasumadelosprimerosdiezmúltiplosde9mayoresque36.

III.Encuentralamediaaritméticadecadaunadelassiguientesparejasdenúmeros.

-9 y 31 -9/2 y 35/4 7 y 32 6/5 y 11/4 -3/8 y 7/4

IV.Resuelvelossiguientesproblemas.1. Considera lasucesióndenúmerosnaturalesS={1, 2, 3, 4,…}.Encuentrauna

expresiónparaanycalculaa200yS200.¿CómopuedeexpresarselafórmulaparaSn?

2. ConsideralasucesióndenúmerosimparesS={1, 3, 5, 7, 9,…}.Encuentraunaexpresiónparaanycalculaa50yS50.¿CómopuedeexpresarselafórmulaparaSn?

4.Unatiendadepartamentalofreceasusclienteslaposibilidaddepagarun

Actividad

B3 �

121

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

televisoren 42semanasdelasiguientemanera:laprimerasemanapaga$ 50;lasegunda,$80;latercera$110,yasísucesivamente.¿Cuántopagaunclienteporuntelevisorendichatienda?

5. El preciode la gasolina aumenta semanalmenteen$0.25. Si el primerodeenerocostaba$8.50ellitro,¿cuántocostaráel31 dediciembre?

6.Lasgananciasdeunescritordurantelosúltimos11añosestánenprogresiónaritmética.Sielprimerañoganó$11,800 yelúltimo$61,800,encuentra lasucesióndelasgananciasdedichoescritor.

7. Una computadora se deprecia en $500 cada mes. Si Jorge adquirió unacomputadoraen$12,500y laacabadevenderen$6000,¿cuántotiempolatuvoensupoder?

8.Lasgananciasdelaboutique“Ladamaderojo”estánenprogresiónaritmética.Elprimerañotuvounagananciade$125,000yelterceraño205,000.¿Cuálfuelagananciaenelsegundoaño?

9. Unapelota que sedeja caer desde la azoteadeun edificio recorre16 piesduranteelprimersegundo,ycadasegundorecorre32piesmásqueelsegundoanterior.Si lapelota tarda6 segundosencaeralpiso, ¿cuáles laalturadeledificio?

10. En cierta escuela se efectúa una rifa con el fin de obtener fondos para lagraduación de sus alumnos de la siguiente forma: se hacen 100 boletosnumeradosdel00al99 ycadaunodeellossemeteenunsobre.Lapersonaque desee comprar un boleto escoge un sobre, y el número impreso en elboletocorrespondealacantidaddedineroquetendráquepagar,enpesos.Porejemplo,sialabrirelsobreelboletomarcaelnúmero18,setendránquepagar$18 porél.Cuántodineroseobtendráalvendertodoslosboletos?

11.Enunafábricahayunmontóndetubosdeaceroacomodadosenformadepirámide,talcomosemuestraenlasiguientefigura.Sienlahilerainferiorhay60 tubos,¿cuántoshayentotal?

12.Alfinaldesuprimermesdetrabajo,Vickyahorra$200.Apartirdeentoncesguarda$100másqueelmesanterior.¿Cuántohabráahorradoaltérminodeunaño?

13.Anselmoincrementasulecturadiariaenunapágina.Sihoyes12dejunioyleyóochopáginas:a)¿Cuántasleeráeldía30?b)¿Cuántaspáginashabráleídoentotal?

14. Ernesto ahorra para comprar unamotocicleta. La primera semana guarda$40, lasegunda$60, latercera$80,yasísucesivamentepor 30semanas.Silamotocicleta le cuesta $16,500, ¿le alcanza para comprarla con el dineroahorrado?

122

B3 �B3 �

Porotraparte,existeuntipodesucesionescuyadiferencianoesconstante.

Unasucesiónoprogresióngeométricaesunasucesiónenlacualcada uno de los términos se deduce u obtiene del anterior almultiplicarloporunaconstantellamadarazóndelasucesión.

Porejemplo,losahorrosdeEsteban1, 2, 4, 8, 16, 32…formanunasucesióngeométricaderazón:

21

42

84

168

3218

2= = = = =

Loselementosdeunasucesióngeométricason:

a1 =primertérminodelasucesiónr=razóngeométricaan=enésimotérminodelasucesiónn=númerodetérminosSn=sumadelosprimerosntérminos

Loselementosanterioresserelacionanatravésdelosmodelosmatemáticos:

a a rnn= −

11( )

y

S

a rrn

n

=−−

1 11

( )

Enestecaso:

a1 = 1an=loqueahorraencualquiermesa7=loqueahorraenjulior=2

a77 1 61 2 2 64= = =-( ) ( )

n=elnúmerodemesSn=loquellevaahorradohastaelenésimomes

S7 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

B3 �

123

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

Obien

S7

71 2 12 1

128 11

127= --

= - =( )

Siseconocenlostérminosdeunasucesióngeométrica,larazónseobtienealdividirelsegundotérminoentreelprimero,yelterceroentreelsegundoparacomprobarquelarazónesconstante.

Silarazónespositiva,yesmayorque1,lasucesiónescreciente;ysiesmenorque1,decreciente.

Ennuestroejemplo:

r = = =21

42

2

Puestoquelarazónesmayorque1,lasucesiónescreciente

Ejemplo

Enlasucesión1/4, 1/2, 1, 2,hallaran,a12yS12

Solución

Aldividiraa

2

1

1214

2= = encontramoslarazóndelasucesión,porlotanto:

a a rnn n= =− −

11 11

42( ) ( )( ) ,dedonde

a1211

11

291

42

22

2 512= = = =( ) y

Sa r

r121

12 14

12 14 3

4

11

2 12 1

40951

1023=−−

=−−

= =( ) ( ) ( )

Ejemplo

Una competencia demaratón repartirá premios a los primerosocho competidoresquearribenalameta.Elprimerpremioesde20,000dólaresyelsegundolamitaddelprimero;el tercero lamitaddelsegundo,etc.¿Cuánto lecorrespondedepremioalquintolugar?¿Cuántodineroserepartiráenpremios?

Solución

Puestoquelarazónes1/2,elenésimotérminodelasucesióndepremioses:

¿Quéocurresilarazóndeunasucesióngeométricaesnegativa?

124

B3 �B3 �

an

n

=

−

20 00012

1

,

ylasucesiónes:

a2

2 1

20 00012

20 00012

20 0002

10 000= =

= =

−

, ,,

,

aa3

3 1 2

20 00012

20 00012

20 0004

5 00= =

= =

−

, ,,

, 00

20 00012

20 00012

20 0008

2 54

4 1 3

a = =

= =

−

, ,,

, 000

20 00012

20 00012

20 00016

15

5 1 4

a = =

= =

−

, ,,

,,

, ,,

250

20 00012

20 00012

20 000326

6 1 5

a = =

=

−

==

= =

=

−

625

20 00012

20 00012

20 000647

7 1 6

a , ,,

==

= =

=

−

312 5

20 00012

20 00012

20 0008

8 1 7

.

, ,,

a1128

156 25= .

S={20,000, 10,000, 5,000, 2,500, 1,250, 625, 312.5, 156.25}

Porloquealquintolugarlecorresponde1,250 dólares.

Lacantidadrepartidaenpremioses:

Sa r

r81

8

8

11

20 00012

1

12

1

20001

25=−−

=

−

−=

( ),

661

12

20 000255256

12

11258

255

18

−

−=

−

−

=−

−

,

( )S

22

1125 2554

= =( )

71,718.75

Además,acadaunodelostérminosentrelosextremosdeunasucesióngeométricaselellama“mediosgeométricos”.Así,lostérminosa2,a3,…,an-1deunasucesióngeo-métricasonmediosgeométricos.

Enparticular,sedefinelamediageométricadedosnúmeroscomo:

G ab=

Asípues,lamediageométricade 8y 18es

G= = × × = × = × =8 18 4 2 9 2 36 4 6 2 12( ) ( )( )

B3 �

125

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

I.Hallareltérminoindicadoencadaunadelassiguientessucesionesgeométricas.1.Elséptimotérminode6,12, 242.Eloctavotérminode 1/3, 1, 3, …3.Elsextotérminode1, 2/5, 4/25,…4.Elséptimotérminode 3, 2, 4/3,…5.Eloctavotérminode-3/5, 3/2, -15/4,…6.Eldécimotérminode-3/4, -1/4, -1/12,…

II.Resuelvelossiguientesproblemas.1.Lapoblacióndeunaciudaddeprovinciahacrecidoanualmenteenprogresión

geométrica.Sienelaño2000lapoblaciónerade59,049habitantesyen2005erade100,000:a)¿Cuáleslarazóndecrecimientoanual?b)¿Cuálfuelapoblaciónen2003?c)Silarazónsemantieneconstante,¿cuálserálapoblaciónen2010?

2.Elprimertérminodeunaprogresióngeométricaes375yelcuarto192.Hallalarazónylasumadeloscuatroprimerostérminos.

3.Lacantidaddebacteriasenciertocultivoesinicialmentede5000yseduplicacada24horas.¿Cuántasbacteriashabrádespuésde96horas?

4. Ladepreciaciónanualdeunamáquinaesde25% desuvalordeventa.Sielcostodeunamáquinafuede$ 40,000, ¿cuálessuvalordespuésde6años?

5.Unciertocultivodebacteriassereproduceen20%cadahora.Sioriginalmentesetienen1000 bacterias,¿cuántashabrádespuésde24horas?

6. Unabombadevacíoelimina lamitaddelairecontenidoenun recipienteencada ciclo. ¿Qué porcentaje de la cantidad original de aire permanece en elrecipientedespuésde5 ciclos?

7.Sicolocas$1enelprimercuadrodeuntablerodeajedrez,$2enelsegundocuadro,$4eneltercero,$8enelcuartoyasísucesivamente,doblandocadavezlacantidad,determinalosiguiente:a)Calculaelnúmerodepesoselcuadro10,ylacantidaddepesosquese

hanacumuladob)Calculaloindicadoanteriormenteenelcuadro17.

8.Lapoblacióndeciertaciudaderade3, 000,000dehabitantesenelaño1999.Silapoblaciónaumentacadaañoaunritmode3.2 %,determina:

a)Elnúmerodehabitantesparaelaño 2005b)Elnúmerodehabitantesparaelaño2009

9. El auditorio de un exitoso programa de televisión se ha incrementado 8%mensual;¿quéaudienciatendráahorasihacesietemesestenía10, 000,000?

Actividad

126

B3 �B3 �Series infinitas

Un caso interesante de las sucesiones geométricas es considerar las seriesinfinitasquedeellassedesprenden,enparticularaquéllascuyarazónseaenvalorabsolutomenorque1.

Sirecordamosqueunasucesióngeométricaesdelaforma:

S a a r a r a r a r a rn n={ }−1 1 1

21

31

11, , , , ..., , , ...

¿EsposiblecalcularlasumaS a a r a r a r a rnn= + + + + + -

1 1 12

13

11... cuandonesmuy

grande,esdecir,cuandonseaproximaalinfinito?

Larespuestaessí,cuando, r <1,encuyocaso:

S

ar

=-

1

1

Porejemplo,enlasucesión S=

112

14

18

116

, , , , , ... cuyarazónesr=1/2,lasumadetodoslostérminoses:

S

ar

=-

=-

= =1

11

112

112

2

Lasseries infinitasnospermitenexpresarnúmerosdecimalesperiódicosenformade número racional; por ejemplo, el número decimal 0.45 podemosexpresarlocomolaserie:

0 454545 0 45 0 0045 0 000045. ... . . . ...= + + +

dondea1=0.45

y r = =0 0045

0 450 01

..

. ,porlotanto:

S =-

= = = = =0 451 0 01

0 450 99

4510099

100

4599

9 59 11

511

..

.

.( )( )

Esdecir, 0 455

11. =

Ejemplo

Dadouncírculoderadio4,seconstruyeunsegundocírculocuyoradiosealamitaddelradiodelanterior,untercerocuyoradiosealamitaddelradiodelsegundoyasí

B3 �

127

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

sucesivamente.¿Cuálserálasumadelasáreasdetodosloscírculosasíformados?

Solución

Setratadesumartodoslostérminosdelaprogresióngeométricaqueformanlasáreasdeloscírculos.

A1 = À (4)2 = 16 À ; A2 = À (2)2 = 4 À ; A3 = À (1)2 = À ;

Observaquesetratadeunaprogresióngeométricadecrecientedondea1=16πycuyarazónes:

2

1

A 4π 1r

A 16π 4� � �

porloquelasumadetodaslasáreases:

1A 16π 64

S= = = π1 3 3

1-4 4

Interpolarquieredecir insertar términosmediosaritméticosogeométricosentredosnúmerosdados.Parainterpolaresnecesarioconocerlarazóndelasucesión,seaaritméticaogeométrica.

Si conocemos dos números y queremos interpolar términos entre ellos, elprimeroesa1yelsegundoesanylarazónaritméticaes:

d

a ann= --

1

1

INTERPOLACIÓN

128

B3 �B3 �Deformaanáloga,larazóngeométricaparainterpolares:

raa

nn= -

1

1

Dondeneselnúmerodetérminosquetendrálasucesión.

Ejemplo

Interpolarcincomediosaritméticosentre -9 y 15

Solución

Puestoquevamosa interpolar5mediosaritméticosentonces lasucesióntendrá7términos,porlotanto:

da a

nn= --

= - --

= =1

115 9

7 1246

4( )

Asípues:d=4

a n nn =- + - =- + -9 1 4 9 4 1( )( ) ( )

Porlotanto,loscincotérminosinterpoladosson: a

a

a

2

3

4

9 4 2 1 9 4 1 5

9 4 3 1 9 4 2 1

9 4 4 1

=- + - =- + =-=- + - =- + =-=- + -

( ) ( )

( ) ( )

( ) ==- + ==- + - =- + ==- + - =- + =

9 4 3 3

9 4 5 1 9 4 4 7

9 4 6 1 9 4 5 115

6

( )

( ) ( )

( ) ( )

a

a

Ylasucesiónqueda:

S={-9, -5, -1, 3, 7, 11, 15}

Ejemplo

Interpolar 4mediosgeométricosentre 96y3, yhallarlasumadetodoslostérminosdelasucesiónencontrada.

Solución

Puesto que queremos interpolar cuatro medios geométricos, el número total detérminosdeestasucesiónesseis,porlotanto:

raa

nn= = = =- -

1

1 6 1 53

961

3212

Actividad

B3 �

129

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

entonces:

an

n

=

−

9612

1

ylostérminosinterpoladossona

a

2

2 1

3

9612

9612

962

48

9612

= =

= =

=

−

= =

= =

=

−3 1 2

4

9612

9614

964

24

9612

a = =

= =

=

−4 1 3

5

9612

9618

968

12

9612

a = =

= =

−5 1 4

9612

961

169616

6

Porloquelasucesiónqueda:

96 48 24 12 6 3, , , , ,{ }Ylasuma:

Sa r

r61

6

6

11

9612

1

12

1

961

641

=−−

=

−

−=

−( )

−=

−

−=−

−=

12

966364

12

3 63212

189

( )

I.Interpolar:1.Tresmediosaritméticosentre 5 y 122.Sietemediosaritméticosentre19 y -5 3.Tresmediosaritméticosentre1 y 34.Cincomediosaritméticosentre-81 y -95.Cuatromediosaritméticosentre-42 y 636.Cincomediosaritméticosentre3/4 y 1/87.Ochomediosaritméticosentre1/2 y -7/168.Cincomediosaritméticosentre-8 y 109.Tresmediosgeométricosentre 5 y 312510.Sietemediosgeométricosentre8 y 1/3211.Seismediosgeométricosentre128 y 212.Cuatromediosgeométricosentre-224 y -713.Cuatromediosgeométricosentre16/21 y 41/2

Actividad

Elmásgrandeárbolnacedeunasemilla,unatorredenuevepisoscomienzaconunpuñadodetierrayuncaminodemilleguasiniciaconunpaso.

Proverbiochino

130

B3 �B3 �II.Encuentralosprimerostérminosdecadaunadelassiguientessucesiones.

1. a

nnn = +2 1

2. annn =-+

11

3. ann

n

= +

1

1

4. -( )+2 1n

5. an

n

n

=−( )+( )

+1

1

1

2

III.Encuentraeltérminoenésimodecadaunadelassucesionesaritméticasindicadasyeltérminoylasumaindicada.1. a1 = -5, d = 3; a20, S20 2. a1= -18, d = 5; a12, S12 3. a1 = 1/3, d =2/3; a10, S10

4. a1 = 1/6, a2 = ¼, a19, S19

5. a1 = -12, a40 = 22; S40

IV.Encuentraeltérminoenésimodecadaunadelassucesionesgeométricasindicadasyeltérminoylasumaindicada.1. a1 = -6, r = -1/2; a10, S10

2. a1 = 12, r = 2/3; a8, S8 3. a1 = 6, r = -2; a12, S12

4. a1 = 9, a4 = 8/3; S4

5. a1 = 1, a7 = 729; S7

V.Interpola:1. Cincomediosaritméticosentre12 y 602.Seismediosaritméticosentre40 y 903.Cuatromediosaritméticosentre -8 y 124.Cincomediosaritméticosentre-3/4 y 5/85. Seismediosaritméticosentre8 y -26.Cuatromediosgeométricosentre8 y 647.Tresmediosgeométricosentre5/6 y 25/128.Cincomediosgeométricosentre75 y 409.Seismediosgeométricosentre 4 y 4910.Cuatromediosgeométricosentre25/6 y 1/3

VI.Resuelvelossiguientesproblemas.1.Hallalasumadetodoslosnúmerosparescomprendidosentre98 y 1002.2.Elprimertérminodeunaprogresiónaritméticaes17,elúltimo12yladiferencia

-1/2.Averiguacuántostérminostieneestaprogresiónycuántovalesusuma.

B3 �

131

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

3.Elprimerodeunaprogresiónaritméticadeochotérminoses4/25 yelúltimo1/4.Hallalasumadelosochotérminos.

4. Elprimer términodeunaprogresiónaritméticaes1,el segundo2 y lasumadetodoses210.Averiguacuántostérminostieneestaprogresión.

5. Halla la suma de todos los múltiplos de cinco comprendidos entre 1 y 1000(incluido).

6. Interpolaseismediosaritméticosentre32 y 70.7.¿Cuántosnúmerosimparesconsecutivos,despuésdel7,suman153?8. Hallalasumadelosveinteprimerosmúltiplosde3.9. Unapersona,alnopoderpagardeunavezunadeudade€12,950,proponeasu

acreedor pagarle €600 al final del primermes y cadames€50más que elmesanterior.¿Encuántosmesessecancelaráladeudaycuálseráelimportedelúltimopago?

10. Hallaeltérminoqueocupaellugar100enlaprogresión − − − −

5133

113

3, , , , ... 11. Encontrar los cinco primeros términos de una progresión aritmética donde el

décimotérminovale60yladiferenciavale3.12.Hallalasumadetodoslosnúmerosimparescomprendidosentre100 y 200.13.Enunaprogresiónaritméticaelprimertérminovale 3yladiferenciaes2.Averigua

cuántostérminosdeestasucesiónhayquesumarparaqueelresultadosea10200.14. Demostrarquelasumadelosnprimerosnúmerosimparesesigualan2.15. Calculalasumadetodoslosmúltiplosde 13comprendidosentre 20 y 190.16.Uncoronelquemanda3003soldadosquiereformarlosentriángulo,demanera

quelaprimerafilatenga 1soldado,lasegunda2,latercera3yasísucesivamente.¿Cuántasfilastendrálaformación?

17. Calcularcuántosdíasestuvotrabajandouncamareroenunestablecimientosielprimerdíarecibióunagratificaciónde €10,ycadadíaquepasabarecibía3 €másdegratificación,llegandoacobrarelúltimodía€55.

18.MartínfuedevacacionesaEuropaygasta238 €elprimerdía;apartirdeahí,gastó€ 6 menoscadadía.Sipermaneciódevacacionesdurante40días,¿cuántodinerogastóensusvacaciones?

19.Elalquilerdeunabicicletacuesta$10laprimerahoray$5máscadanuevahora.a)Hallaunafórmulaquenosdéelpreciototaldealquilerdenhoras.b)¿Cuáleselpreciototaldealquilerde7horas?

20.Losángulosdeuntriánguloestánenprogresiónaritmética.Sielmenormide30º,¿cuántomidecadaunodelosotrosángulos?

21. Un carpintero desea construir una escalera con 10 peldaños cuyas longitudesdecrecendemanerauniforme,de32pulgadasenlabasea18pulgadasenlapartesuperior.Determinalalongituddemaderanecesariaparatodoslospeldaños.

22.Unapilatiene24troncosenlabase, 22enlasegundacapa,20enlatercera,etc.Silacapasuperiortiene10 troncos,encuentralacantidaddeéstosenlapila.

23. Unciclista avanza cuesta abajopor unapendiente1.5mel primer segundo, ycadasegundosucesivodesciende2mmásqueelsegundoanterior.Siélterminalacuestaen11 segundos,¿quédistanciadescendió?

24.Calcula a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en unoctavopiso,silaplantabajadeledificiotieneunaalturade 4mycadadospisosconsecutivoshayundesnivelde2.8m.

25. Unapersonaconsigueunpréstamode$ 20 000enunbanco,latasadeinteréses

132

B3 �B3 �de 3.8 %mensual.Calculalacantidadtotaldedineroquevaapagaren6meses.26. Una sustancia duplica su volumen cada minuto. A las 10 de la mañana, una

pequeñacantidaddelamismaescolocadaenunrecipiente,yalas10horas30minutos,elrecipienteestálleno.¿Aquéhoraestabaelrecipienteauncuartodesucapacidad?

27. Unamáquina costó inicialmente$10,480.Al cabode unos años se vendió a lamitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por lamitad, y asísucesivamente.¿Cuántolecostólamáquinaalquintopropietario?

28. Sieltotaldepropietarioshasido7,¿cuáleslasumatotalpagadaporesamáquina?29.Hallalasumadelas12primeraspotenciasde2.30.Hallalasumadelossieteprimerostérminosdelaprogresióncuyostresprimerostérminosson:

2 33 2

2, ,

31.Elprimertérminodeunaprogresióngeométricailimitadaderazónmenorque1es2/3,yellímitedelasumadetodossustérminoses 1.Calculalarazóndelaprogresión.

32. En una bodega hay dos enormes depósitos de vino A y B. Todos los días sesacan ciertas cantidades de vino de cada uno de los depósitos. Del depósitoA se extrajeron cinco litros el primer día, 10 el segundo, 20 el tercero y asísucesivamente.DeldepósitoBseextrajeron2litroselprimerdía,4elsegundo,8elterceroyasísucesivamente.ElúltimodíaseextrajerondeldepósitoA96litrosmásquedeldepósitoB. ¿Cuántos litrosdevinoseextrajeronen totaldecadadepósitoydurantecuántosdías?

33. En una progresión geométrica ilimitada de razónmenor que uno, el segundotérmino vale 16 y el límitede la sumade todos sus términos es64.Calcula elprimertérminoylarazón.

34. La población de una provincia ha aumentado durante 5 años en progresióngeométrica,pasandode200,000a322,102habitantes.¿Cuálhasidolarazóndelaprogresión?Exprésalaenporcentaje.

35.Enunaprogresióngeométricailimitadaderazónmenorque1ellímitedelasumadetodossustérminoseseldobledelasumadeloscincoprimerostérminos.Hallalarazóndedichaprogresión.

36.Un estanque de 28,800 metros cúbicos de capacidad se llena de agua en doshoraspormediodecuatrocañoscuyoscaudalesdeagua(enmetroscúbicosporsegundo)estánenprogresióngeométricaderazón3.Averiguaelcaudaldecadaunodeloscaños.

37. Cuentalaleyendaqueelinventordeljuegodelajedrezpidiócomorecompensaasureyungranodearrozporlaprimeracasilla,dosporlasegunda,cuatroporlatercera,8porlacuartayasísucesivamentehastacompletarlas64casillasquetieneeltablero.¿Cuántoshectolitrosdearrozpidióelinventorsuponiendoqueenunlitrocaben20000granosdearroz?

38. Aquí tienes una conexión entre números y Geometría, los llamados númerospoligonales:triangulares,cuadrangulares,pentagonales...

Autoevaluación

B3 �

133

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

a)Hallalostressiguientesnúmerospoligonalesdecadaunodelostiposquefiguranarriba:triangulares,cuadrangularesypentagonales.

b)Obténeltérminogeneraldelasucesióndelosnúmeroscuadrangulares.c)¿Cuáleseltérminogeneraldelasucesióndenúmerostriangulares?d)Calculaeltérminogeneraldelasucesióndenúmerospentagonales.e)Calculalosdiezprimerostérminosdelasucesióndenúmerospentagonales.

I.Colocadentrodelparéntesislarespuestacorrecta. 1.Esunconjuntoordenadodenúmerosquesededucenunosdeotrosmedianteunaregladefinida:()a)Proporción b)Razón c)Sucesión d)Conjunto2.Aloselementosdeunasucesiónselesllama: ()a)Término b)Antecedente c)Consecuented)Razón3.Eltérminofaltanteenlasucesión 3, 1, 7, 2, ___, 3, 15es: () a) 4 b) 11 c) 3 d) 134.Sielenésimotérminodelasucesiónes an

n= +3 2 entoncesa6es: ()a) 67 b) 15 c) 3125 d) 1925.LareglaquedefinealasucesiónS={0, 3, 8, 15, 24, 35, ….}es: ()a) a nn = -2 1 b) a nn = -( )1 2 c) a nn = +2 1 d) a nn = -16.Eslasumadeloselementosdeunasucesión: ()a)Término b)Serie c)Consecuented)Razón

7. Esunasucesióndondecadaunodelostérminosposterioresalprimero,seobtieneodeduceañadiendounnúmeroconstante ( )

a) 67 b) 15 c) 3125 d) 192

Autoevaluación

134

B3 �B3 �8. Esunasucesiónenlacualcadaunodelostérminossededuceuobtienedelanteriormultiplicándoloporunaconstante: ( ) a)Aritmética b)Geométrica c)Creciented)Decreciente

9. Representaunasucesiónaritmética: ( ) a) 4, 6, 8,… b) -3, 0, -3, 6, -3,… c) 1, .5, 0.25, 0.125,… d) 1, 4, 9, 16,...10. Representaunasucesióngeométrica: ( ) a) 1, 4, 9, 16,... b) 81, 27, 9, 3,… c) -3, 0, -3, 6, -3,… d) 4, 6, 8,…11. Larazónaritméticadeunasucesióndondea1= 9 y a10 = -6 es: ( ) a) -1 b) 1/2 c) -3/2 d) 3/2

12. Esunmedioaritméticodelasucesión an

n = - -9

13

( ): ( )

a) 12 b) 4/9 c) 15 d) 813. Esunmediogeométricodelasucesión an

n= - -3 2 1( ) : ( ) a) 0 b) -6 c) 10 d) -814. Lamediaaritméticade-25y33es: ( ) a) 29 b) 4 c) -29 d) -415. Lamediageométricade8 y 9es: ( ) a) 72 b) 9.5 c) 6 2 d) 2 6

II.Encuentraloqueseteindica.1.Hallarlosprimeros6términosdelaseriearitméticasia1=-2/3 ylarazónes5/62.Hallarlosprimeros8 términosdelasucesióngeométricadondea1 = 729yla

razónes1/33.ConsideralasucesiónaritméticaS={-6, -21/4, -9/2, -15/4, -3,…}.Encuentrala

fórmulaparaanyencuentraa20yS20

4.ConsideralasucesióngeométricaS={100, 50, 25, 25/2, 25/4,…}.Encuentralafórmulaparaanyencuentraa10 yS10

5. Encuentra la media aritmética y la media geométrica de cada una de lassiguientesparejasdenúmeros.

a)6 y 24, b)¾ y 12 c)8 y 9 d)-14 y -56 e)-4 y 166.Encuentra5mediosaritméticosentre12 y ¾ 7.Encuentra 4mediosgeométricosentre6 y 24

III.Resuelvelossiguientesproblemas.1. Para una competencia de motocross se levanta una rampa de pendiente

uniformepormediode9soportes igualmenteespaciados.Lasalturasdelossoportesmenorymayorson 0.5m,y6.5mrespectivamente.Hallarlalongituddecadaunodelossoportes

2.Lasprimeras10 filasdeunteatrotienen20, 22, 24, etc.asientos.Lasfilasdelaundécimaalavigésimatienen50asientoscadauna.¿Cuántosasientosentotaltieneelteatro?

3.RobertosefuedebraceroatrabajaralosEstadosUnidosydurantesuprimerasemanadetrabajocomomeseroganóundólarellunes,2dólareselmartes,4elmiércolesyasísucesivamentehastaelsábado.¿Cuántoganóelsábado?¿Ydurantetodalasemana?

4. Alicia fue de vacaciones a Europa durante una semana. El primer día gastó€2,187; después, la tercera parte del día anterior. Si viajó con €4,000, ¿concuántoregresó?

B3 �

135

B3 �Sumasysucesionesdenúmeros

Evaluación Formativa

Aliciatieneunainfecciónenlagargantayleadministranunainyeccióndepenicilina.Sucuerpoeliminagradualmente lapenicilinademodoqueunahoradespuésde lainyección,sóloel60%permaneceactiva.Estapautacontinúa,alfinaldecadahorasólopermaneceactivoel60% de lapenicilinapresenteal final de lahoraanterior.SupónqueaAliciaselehaadministradounadosisde500 miligramosdepenicilinaalas10 delamañana.

1. EncuentraelmodeloquedescribelaconcentracióndepenicilinaenlasangredeAlicia.

2. Completa la siguiente tabla escribiendo el total de penicilina que permaneceráactivaenlasangredeAliciaaintervalosdeunahoradesdelas10:00hastalas15:00 horasutilizandoelmodeloanterior.

Hora 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00

Concentración(mg) 500 300 180 108 64.8 38.88

3.Lapenicilinasóloesefectivacuandolaconcentracióndepenicilinaenlasangreesmayorde50mg.a)¿AquéhoraesconvenienteaplicarleotrainyecciónaAlicia?b)Explicaturespuesta.

Escala de Rango

Nombredelalumno:

Escaladevaloración:0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituación.

Encontróelmodelo.

Completólatabla.

Resolvióelproblema3

Explicólarespuestadelproblema3

Presentacióndelassoluciones.

TOTAL:Cal

Total=

×=

1018

Observaciones:

Nombredequienrevisó:

BLO

QU

E

4 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»Realiza transformaciones algebraicas I

• Identificalasoperacionesdesuma,restaymultiplicacióndepolinomiosenunavariable.

• Identificaelproductodebinomios,aplicandopatronesdeproductosnotables.

• Comprendelastécnicasdeextraccióndefactorcomúnsimpleyporagrupación.

• Comprendelastécnicasdefactorizaciónbasadasenproductosnotablesdediferenciadecuadradosydetrinomioscuadradosperfectos.

BLO

QU

E

4 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»

• Ejecutasumas,restasymultiplicacionesconpolinomiosenunavariable.

• Empleaproductosnotablesparadeterminaryexpresarelresultadodemultiplicacionesdebinomios.

• Formulaexpresionesenformadeproducto,utilizandotécnicasbásicasdefactorización.

• Utilizalosproductosnotablesdediferenciadecuadrados,ydetrinomioscuadradosperfectos.

• Establecerelacionesentreprocesosinversosalmultiplicaryfactorizar

• Valoralaconvenienciadeanticiparresultadosalmultiplicarbinomios,mediantepatronesestablecidos.

• Reflexionarespectoalaventajaderealizardiversastransformacionesalgebraicasparasimplificarointerpretarresultados.

• Proponemanerascreativasdesolucionarunproblema.

• Reconocesuserroresenlosprocedimientosalgebraicosybuscasolucionarlos.

Construyeeinterpretamodelosaritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.

Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Efectúasumas,restasymultiplicacionesconpolinomiosenunavariable.

• Obtieneelproductodebinomiosconjugados;elproductodebinomiosconuntérminocomún;elevaunbinomioalcuadrado.

• Factorizaexpresionescuyostérminosposeenunfactorcomúnnumérico,unfactorconvariables,ounfactorbinomio.

• Agrupatérminosparaobtenerunfactorcomún,oformardiferenciadecuadrados,oformartrinomioscuadradosperfectos.

• Factorizausandounaovariastécnicasmedianteagrupacióndetérminos.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitos;interpretasolucionesyargumentaéstasutilizandodistintasformasdecomunicaciónyrepresentaciónmatemática.

138

B4 �B4 �INTRODUCCIÓN

Enestebloqueiniciamospropiamenteelanálisisdelaramadelasmatemáticasconocidacomoálgebra.

Álgebraeslaramadelasmatemáticasqueempleanúmeros,letrasy signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas.Estudialasestructuras,lasrelacionesylascantidades.

Iniciaremos con el análisis de los conceptos básicos para una adecuadacomprensióndelamisma.

1.Calculaelperímetrodelasiguientefigura.

2.Calculaeláreadelasiguientefigura.

3.Encuentraunmodelomatemático (fórmula)paracalcularel áreade la siguientefigura.

Evaluación diagnóstica

B4 �

139

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

4.Realizalassiguientesoperaciones.

3(4 + 8 – 6) + 2[3 – 4( 5 – 3)] = 34

56

23−

=

4096 =

642

3( )

=

Polinomios

Consideralassiguientessituacionesyrespondeloqueseteindica.

1.Parasufiestadegraduación,losalumnosdetercergradoelaborantortasparasuventadentrode lacafeteríade laescuelayutilizan $120.Sivendenlastortasa $10:a)Encuentraunmodeloquerepresentelasgananciasdelosalumnosenrelación

conelnúmerodetortasvendidas.b)¿Tienengananciassivendensolamente6tortas?c)¿Cuántastortasdebenvenderpararecuperarlainversión?d)Siprepararon30tortas,¿cuáleslagananciamáximaquepuedenobtener?

2.Durantesusvacacionesdeverano,Robertotrabajavendiendolibroscasaporcasa.Susalarioes$80diariosmás$50 porcadalibrovendido.a)EncuentraunmodeloquerepresentelasgananciasdeRobertoenrelacióncon

elnúmerodelibrosvendidos.b)¿Cuálessusalariodeundíasivende12libros?

3. Carlos tiene un terreno como elmostrado en la siguiente figura. Encuentra unmodeloparacalcularelperímetroyhallarlocuandoxtomaelvalorde4m.

4.Encuentraunmodeloparacalculareláreadelasiguientefiguraycalcúlalacuandoxvale8m.

Actividad introductoria

140

B4 �B4 �

En el bloque I iniciamos el estudio de las expresiones algebraicas comomodelosmatemáticosycalculamoselvalornuméricode talesexpresiones.Analizaremos ahora un tipo particular de expresión algebraica llamadopolinomioyconoceremossuselementos.

Laexpresiónalgebraicamássimplees:

Términoomonomio:Esunaexpresiónalgebraicaquenocontieneoperacionesnidesumanideresta.

Porejemplo,sontérminosomonomios:

3x, -6xy, πr2, 5x2y3, 3 x

Loselementosdeuntérminoomonomioson:

CONCEPTOS BÁSICOS

B4 �

141

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

Untérminopuedeteneruna,dosomásvariablesycadaunadeellastenerelmismoexponenteoexponentesdiferentes.Enparticular,aqueltérminoquenocontienevariables,selellamatérminoindependiente.

• Alaparteliteraltambiénselellamafactorliteral.• Todotérminotieneungrado.• Gradodeuntérminoenunavariableeselexponentededichavariable.• Gradodeuntérminoeslasumadelosgradosdecadaunadelasvariables

quecontiene.

Porejemplo-6x2y3esuntérminode2ºgradoenx,esde3ºgradoeny,yengeneral,esuntérminode5ºgrado.

Unpolinomioesunaexpresiónalgebraicaqueconstadedosomástérminosseparadosporoperacionesdesumaoresta.Porejemplo:

10x – 120, 50x + 80, x3 + 3x2 – 6, 13

34

62 2x xy y- +

Siunpolinomio tienedos términos se llamabinomio, si tiene tres se llamatrinomioysitienecuatroomás,segeneralizaapolinomio.

Unpolinomiopuedetenerunaomásvariables,ytienetambiénungrado.

Elgradodeunpolinomioenunavariableeselmayorexponentedeesavariabledentrodelpolinomio.

Elgradodeunpolinomioesigualalgradodeltérminodemayorgradodentrodeél.

Por ejemplo, el siguiente polinomio tiene cuatro términos (uno de ellosindependiente)ytresvariables:

x x y z4 2 32 4+ - +

Elprimertérminoesde4ºgrado,elsegundode 5ºgrado,eltercertérminode1ºgradoyelcuartotérminonotienegradoporseruntérminoindependiente.1Porlotanto,estepolinomioesde:

4ºgradoenx3ºgradoeny1ºgradoenz

5ºgradoengeneral

Enlossiguientespolinomiosseindicaelgradoconrespectoacadaunadesusvariables.

1Algunosautoreslellamangradoceroalgradodeltérminoindependiente.

142

B4 �B4 �1. 5a5b – 3a3b2 + 10ab3 + 5a – 7besunpolinomiodegrado5 respectodea,y

degrado3respectodeb.

2. 3 x2y4 + 7x2y2 + 5xy – 1esunpolinomiodegrado2respectodex,ydegrado4respectodey.

3. 3m4n3 + 13m3n2 + 3m2n – 6m + 7 esunpolinomiodegrado4respectodem,ydegrado3respectoden.

Enlossiguientespolinomiosseindicaelgradorespectoalavariable.

1.p(x)=x2+ 5x+6esunpolinomiodegrado2,ode2ºgrado.2.r(x)=2x5+3x4–7x3 + 3x2 + 4x – 8 esunpolinomiodegrado5.3.q(x)=3x + 1esunpolinomiodegradouno,ode1er.grado.4.m(x)=x3 + 3x2 + 3x + 10esunpolinomiodegrado3,ode3er.grado.5.s(x)=5esunpolinomiodegrado0ysellamapolinomioconstante.6.p(x)=0aestepolinomionoseleasignagradoysellamapolinomionulo.

Sepuedeobtenerelvalornuméricodeunpolinomiosustituyendolasvariablesporvaloresnuméricosdadosyefectuarlasoperacionesindicadas.

Ejemplos

I.Enelparéntesisseindicaelnúmerodetérminosqueformancadapolinomioyauncostadoelnombrequereciben:

1. ( 2 ) x3 + 1 binomio2. ( 4 ) 3x3 + 2x2 – x + 9 polinomio3. ( 2 ) m3 + m binomio4. ( 3 ) x2 + 5x – 3 trinomio5. ( 1 ) (6m5)(2m) monomio6. ( 1 ) 5x3 monomio7. ( 2 ) x3 + 2x(x)(3) binomio8. ( 2 ) (x3)2 + 1 binomio9. ( 2 ) x2 – 1 binomio10. ( 3 ) x3 + 2x – 6 trinomio

II.Enlatablasemuestranlosfactoresnuméricoyliteraldeltérminoalgebraicoqueseindica.

Término Factor numérico Factor literal

–3x2 –3 x2

4x3y 4 x3y

– n5 –1 n5

5mn2 5 mn2

B4 �

143

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

III.Enesteejerciciosemuestracómoseevalúaelpolinomiop(x)=x2 + 3x – 5para

x=1, x = 3, x = –5 y x = 34

p(1) = (1)2 + 3(1) – 5 = 1 + 3 – 5 = – 1 p(3) = (3)2 + 3(3) – 5 = 9 + 9 – 5 = 13 p(–5) = (–5)2 + 3(–5) – 5 = 25 – 15 – 5 = 5

p34

34

334

59

1694

53516

2= +

− = + − =−

I. Indicaenelparéntesiselnúmerodeelementosqueformanlossiguientespolinomiosyenlalíneaelnombrequereciben:1. ( ) 5x3 + x – 2 2. ( ) 4x4 + 2x + 9 3. ( ) m3 + 2m 4. ( ) 5x3 + x2 + 6x – 2 5. ( ) (6m5)(3m)2 6. ( ) 8x3– 1 7. ( ) x3 + 5x2 + 3 8. ( ) (3x3)2 – 9 9. ( ) x4 – 16 10. ( ) 5x5

II. Completalatablaconlosfactoresdeltérminoqueseindica.

Término Factor numérico Factor literal

–8x3

10x2y3

– 5mn2

x2yz III.Evalúalospolinomiosparalosvaloresqueseindican.

1. p(x) = x2 + 5x – 3, para x = 1, x = 2, x = –3 y x = 12

2. p(x) = 3x2 + x – 3, para x = 0, x = 1, x = –1 y x = 32

3. p(x) = x3 + 2x2 - 3x – 5, para x = 0, x = 1, x = –1 y x = 2

Actividad

144

B4 �B4 �

Eltérminopolinomioyadebeserconocidoporti,sinembargo,cabeplantearselapregunta:¿quéutilidadtiene?Algunasrespuestassonlassiguientes:

•Modelaryexpresarenformasimplificadaunasituaciónproblemática. Por ejemplo, la ganancia de los alumnos vendedores de tortas descrita

anteriormente,elcualpuederepresentarsecomo:

G=10x – 120

Dondexrepresentaelnúmerodetortasvendidasy120loqueinvirtieron.También,elsalariodeRoberto:

S=50x + 80

Dondexrepresentaelnúmerodelibrosvendidosy80susalariodiario,loquepermitesimplificarunasituaciónproblemática.

• Mostrarunageneralizacióndellenguajearitmético.Porejemplo,alcalcularelperímetrodelterrenodeCarlos:

P=x + (6x + 3) + (3x – 4) + (8x + 5) + (4x – 1)

Oeláreadelafigura:

A x x x xx x x

= ( ) + ( )( ) + +2 2 5

8 2 32

( )( )( )

Donde generalizamos las operaciones aritméticas y las traducimos alálgebra.

•Haceroperacionesenellenguajealgebraico:suma,resta,multiplicaciónydivisión.Por ejemplo, podemos simplificar el perímetro y el área de la siguientemanera:

P x= +22 3

A x= 27 2

OPERACIONES CON POLINOMIOS

B4 �

145

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

Resultados que se obtienen de la suma y lamultiplicación de los términosalgebraicos.

Analizaremospueslasreglasquenospermitenoperarpolinomios.

Suma y resta

Lasumaylarestadepolinomiosestánbasadasenlasumayrestadetérminossemejantes.

Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parteliteralyla,olasvariablesiguales,tienenlosmismosexponentes,esdecir,sisólodifierenensuscoeficientes.

Porejemplo,lossiguientestérminossonsemejantespuessólodifierenensuscoeficientes:

3xy2, -6xy2, xy2

Mientrasque:

5xy, 4xy2 y -3x2y

no son semejantes, pues aunque contienen la misma parte literal, losexponentesdelasvariablesigualessondistintos.

Parareducirtérminossemejantes,solamentesesumanorestanloscoeficientesde dichos términos respetando las leyes de los signos, manteniéndose lamismaparteliteral,porejemplo:

3xy2- 6xy2 + xy2 = (3 – 6 + 1)xy2 = -2xy2

4x2 + 7x2 – 3x2 – 5x2 = 3x2

6x2y2 + (–12x2y2) + x2y2 = 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2 = –5x2y2

En la reducción o simplificación de términos semejantes juega un papelimportantelaeliminacióndelosdiferentessímbolosdeagrupación:(),[],{}.

Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunsignopositivo,sim-plementeseelimina.Porejemplo:

(3x + 2y – 3z) = 3x + 2y – 3z

Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunsignonegativo,di-chosímboloseeliminacambiandoelsignodetodoslostérminosdentrodeél.

146

B4 �B4 �Porejemplo:

-[x3 + 4x2 - 6] = -x3 - 4x2 + 6

Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunnúmeropositivo,simple-menteseeliminamultiplicandoelnúmeroportodos lostérminosdentrodeél res-petandolossignosdecadaunodeellos.Porejemplo:

4(5x + 3y – 8z) = 20x + 12y – 32z

Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunnúmeronegativo,seeliminamultiplicandocadatérminodentrodeélporelnúmeroycambiandolossignos.Porejemplo:

-4{4a – 3b + 7c} = -16a + 12b – 28c

Paraeliminarsímbolosdeagrupaciónanidados,seeliminandeadentrohaciafuerarespetandolasreglasanteriores.Porejemplo:

4{2x + 3y -3[x + 2z - 5(x - 3y – 2z)]} = 4{2x + 3y -3[x + 2z - 5x + 15y + 10z]} = 4{2x + 3y -3[-4x+15y + 12z]} = 4{2x + 3y +12x - 45y - 36z} = 4{14x - 42y – 36z} = 56x – 168y – 144z

Veamosotroejemplo:

Simplificarlasiguienteexpresión

3(x +y – 2z) – 4(y +3z) + 2(3x – 5z) = 3x + 3y – 6z – 4y – 12z + 6x – 10z = 9x – y -28z

En la suma y resta de polinomios lo más importante es identificar los términossemejantes.

Alsumardosomáspolinomios,seasocianysereducensustérminossemejantes.

Ejemplos

Observaalgunassumasdepolinomiosconsuresultadocorrespondiente.Elresultadoestáennegritas

(3x +2) + (–2x + 3) = 3x + 2 – 2x + 3 = (3x – 2x) + (2 + 3) = x + 5

(5x2 + 6x +1) + (–7x +2) = 5x2 + 6x + 1 – 7x + 2 = 5x2 + (6x – 7x) + (1 + 2) = 5x2 – x + 3

B4 �

147

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

(– 4x2 + 6x – 3) + (–7x2 – 4x + 5) = – 4x2 + 6x – 3 – 7x2 – 4x + 5 = (– 4x2 – 7x2) + (6x – 4x) + (–3 + 5) = –11x2 + 2x + 2

(12m2 + 9m –10) + (8m2 + 3m +15) + (m2 – 3) = 12m2 + 9m –10 + 8m2 + 3m +15 + m2 – 3 = (12m2 + 8m2 + m2) + (9m + 3m) + (–10 + 15 - 3) = 21m2 + 12m + 2

(8a5b – 6a3b2 + 6ab3 + 5a) + (17a5b + 3a3b2 + 4ab3 –7b) = 8a5b – 6a3b2 + 6ab3 + 5a + 17a5b + 3a3b2 + 4ab3 –7b = (8a5b + 17a5b) + (– 6a3b2 + 3a3b2) + (6ab3 + 4ab3) + 5a –7b = 25a5b – 3a3b2 + 10ab3 + 5a –7b

(–3bcd4 + 6cd2 + 2cd –1) + (–3d2c + 2cd4b +1) = –3bcd4 + 6cd2 + 2cd –1 –3d2c + 2cd4b +1 = (–3bcd4 + 2bcd4) + (6cd2 – 3cd2) + 2cd + (–1 + 1) = – bcd4 + 3cd2 + 2cd

Recuerdaque enuna resta, a la cantidadque se resta se le llama sustraendo, a lacantidadalacualseleresta,minuendoyalresultadodelaoperación,restaodiferencia.

A - B =C

minuendo

sustraendo

resta o diferencia

Al restar dos polinomios debe identificarse cuál es el minuendo y cuál elsustraendoparahacerlaoperacióncorrectamente.

Al restardosomáspolinomios, se cambiael signoa todos lostérminosdelpolinomioqueseresta(sustraendo)paraconvertirlaoperaciónenunasumayefectuarlacomotal.

Acontinuación,semuestranalgunas restasdepolinomiosconsu resultadocorrespondiente.

Ejemplos

I.Observalasrestasrealizadas.Elresultadoestáennegritas

1. (2x + 5) – (–2x +3) = 2x +5 + 2x -3 = (2x + 2x) + (5 – 3) = 4x + 2

148

B4 �B4 �2. (x2 + 4x + 4) – (7x + 9) = x2 + 4x + 4 – 7x –9 = x2 + (4x – 7x) + (4 – 9)

= x2 – 3x – 5

3. (4x2 + 2x – 1) – (x2 – 2x – 1) = 4x2 + 2x – 1 – x2 + 2x + 1 = (4x2 – x2) + (2x + 2x) + (–1 + 1)

= 3x2 + 4x

4. (7m3 + 3m2 – 4m + 5) – (3m4 – 6m3 + 2m – 2) = 7m3 + 3m2 – 4m +5 –3m4 + 6m3 – 2m + 2 =

= –3m4 + (7m3 + 6m3) - 3m2 + (–4m – 2m) + (5 + 2) = –3m4 + 13m3 + 3m2 – 6m + 7

5. (5x2yz4 + 6xy2 + 2yz –1) – (–3y2x + 2x2z4y +10) = 5x2yz4 + 6xy2 + 2yz –1 + 3y2x – 2x2z4y –10

= (5x2yz4 – 2x2yz4) + (6xy2 + 3xy2) + 2yz + (–1 – 10) = 3 x2yz4 + 9xy2 + 2yz – 11

II.De(4x2 + 3x – 9)resta(2x2 – 8x + 3)

Laoperaciónpedidaes:(4x2 + 3x – 9) - (2x2 – 8x + 3) = 4x2 + 3x – 9 - 2x2 + 8x – 3 = 2x2 +11x - 12

III.Resta(4x – 8y + 5) de (9x + 8y + 7)

Laoperaciónindicadaes:(9x + 8y + 7) - (4x – 8y + 5) = 9x + 8y + 7 - 4x + 8y - 5 = 5x + 16y + 2

Delasumade(4x2 + 3xy – 8y2) y (3x2 – 5xy – 2y2) sustrae (4xy – x2 – 2y2)

Multiplicación y división

En la multiplicación y división de polinomios son indispensables laspropiedadesdelosexponentesyradicalesanalizadasenelbloqueII.

Recordémoslas:

Actividad

B4 �

149

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

Reglasdelosexponentes

Propiedades de los exponentes y de los radicales

Regla Ejemplo aritmético Ejemplo algebraico

1 ( )( )a a an m n m= + ( )( )2 2 2 1283 4 7= = b3b4=b7

2 ( )a an m nm= ( )( )3 3 3 65612 4 8= = (x3)4 = x12

3 ( )ab a bn n n= ( )( ) ( )( ) ( )( )3 5 3 5 9 25 2252 2 2[ ] = = = (2a3)4 = 24(a3)4 = 16a12

4 ab

ab

n n

n

=

25

25

8125

3 3

3

= = x

yxy

=

4 4

4

5 aa

an

mn m= − 5

55

5

32= 7

77

4

40=

22

26

93= − x

xx

5

32=

6 a0=1 77

1 74

40= =

x0 = 1

7a

an

n− =

12

12

33

− = xx

− =44

1

8 a an n1= ( )36 36 6

12 = = x x

13 3=

9a a a

mn mn n m= = ( ) ( ) ( )8 8 2 16

43 3

44=( ) = = x x x105 210

5=( ) =

10 ab a bn n n= 144 9 16 9 16 3 4 12= = = =( )( ) ( )( ) 8 29 123 3 4x y x y=

11ab

a

bn

n

n=

2764

27

64

34

486

8 23

3

33 3= = = = o bien

xx

x

x

xx

xx

x6

4

6

4

3

2

62

42

= = = =

Parasimplificar lasoperacionesconradicales,deberánexpresarseen formaestándar,esdecir,cumplirlassiguientescondiciones:

1. Elradicandodebeserpositivoysinfracciones.2.Elíndicedelradicaldebeserelmenorposible.3. El exponentede cada factor del radicandodebe ser unnúmeronatural,

menorqueelíndicedelradical.4.Enunafracciónnohabráradicaleseneldenominador.

A continuación, se muestran algunas expresiones y su correspondientesimplificación,representadaconexponentespositivos,obien,conradicales.

1. x4x5x3 = x12

2. a5a2a-4 = a3 3. b b b b

23

14

17122 - =

4. (3x)0 = 1

150

B4 �B4 �5.

x yx y

xy3 2

2 =

6. yy

yy

y y3

2

5

10

155

= = =15 - 10

7. 5x0 = 5(1) = 5

8. x y

x yx y

2 3

34 2

54=

9. x y x yxy

-1 2 3 3 63

6( ) = =− −

10. x y x yy

x

y

x

y

x x

y x

x x x

y xx

--

3 212

32

32

3

2

( ) = = = =

= =

−

11. 1

11

5

3

2+( )+( )

= +( )i

ii

12. (x2y3)2 =x4y6

13. x y

yx y

3 5

23 3=

14. (x4)5 = x20

15. x y

xy

x yx y

xy

3 2

2 3

6 2

3 6

3

4

( )( )

= =

16. 4 86 432 9 6x y x y( ) =

17. (x -2)(x3) = x 18. b2 + b4 = b2 + b4

19. x x x662 3= =

20. 8 8 8 8

2

y

x

y

x

x

x

y x

x

y xx

= ⋅ = =

21. 256 412 16 204 3 4 5x y z x y z=

Lossiguientesradicalessemuestranensuformaestándar.

1. - =-5 53 3x x

2. x y x y4 86 2 43=

3. x x x x x x x53 3 23 33 23 23= = =

4. 50 25 2 5 22 5 2 4 2x y x y y xy y= ( )( ) =