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Actividades.
111
Actividad No. 1: Dominio de la función.
Nombres: _______________________________________ Grupo__________ Puntuación: _____
1. Es una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del
contra dominio. Seleccione una respuesta.
A. Imagen
B. Función
C. Contra dominio
D. Dominio
2. De los datos que se muestran en la tabla siguiente:
x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16
¿Qué elementos forman el contra dominio de la función?
Respuesta:
3. De los datos que se muestran en la tabla siguiente:
x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16
¿Qué elementos forman el dominio de la función?
Respuesta:
4. De los datos que se muestran en la tabla siguiente:
x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16
¿Qué elemento es la imagen de x = 3?
Respuesta:
5. Seleccione una respuiesta.
El dominio de la función está formado por el conjunto de elementos que toma la variable
independiente.
Respuesta:
Verdadero Falso
6. En la gráfica siguiente identifique el dominio y el contradominio de la función.
Actividades.
112
7. Elija la respuesta que corresponde a la función que relaciona los datos de la siguiente tabla:
x 0 1 2 3 4
y 0 1 4 9 16
Seleccione una respuesta.
A. y = x²
B. y = x² - 1
C. y = 2x
8. Escriba el valor que resulta de sustituir el valor x = -3 en la función y = x2
- 4. Su respuesta debe
ser un número.
Respuesta:
9. Escriba la letra de la variable independiente en una función de dos variables.
Respuesta:
10. Escriba el valor que resulta de sustituir el valor x = 3 en la función y = x2 - 4. Su respuesta debe ser
un número.
Respuesta:
Evaluación: Esta actividad será calificada para un máximo de diez puntos.
Créditos: Esta actividad fue creada por los autores: Mtro. J. S. Beltrán L., Mtro. Arturo F. Rico, Lic.
Alejandrina Beltrán Enciso y Mtro. José Francisco Hernández Echeverría.
Actividades.
113
Actividad No. 2: Gráficas.
Nombres: _________________________________________ Grupo: _____ Puntuación: _________
1. Introducción: Cuando graficamos una función cualquiera, el dominio de la misma los
consideramos a partir de un intervalo cualquiera, utilizando valores positivos y/o negativos, así
como solo números enteros. En la solución de problemas reales, el dominio de la función está
determinado por las restricciones físicas, económicas, etc., del mismo, según sea el caso. A partir
de las restricciones impuestas se genera una lista de datos, los cuales escribimos en una tabla para
elaborar la gráfica que represente el fenómeno.
2. Tarea: Se formarán equipos de cuatro integrantes como máximo. Construirán una caja abierta de
altura variable (x) a partir de una hoja de papel reciclado tamaño carta (21.5×27.9 cm). Después
calcularán el volumen de la caja construida y en una tabla como la indicada, escribirán el volumen
de todas las cajas que se hayan construido por los demás equipos de acuerdo a la siguiente
relación:
Volumen = largo × ancho × altura.
EQUIPO x Dimensiones en cm. VOL en
cm3
CAJA (existe
o no) L A H
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Por último, en un documento de Word que contenga la tabla de datos, elaborarán la gráfica
correspondiente a esas cajas de acuerdo a la función que representa el volumen de las mismas.
De acuerdo al gráfico, contestarán las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la ecuación que representa el volumen de la caja?
b) ¿Cuál es el dominio de la función?
c) ¿En qué puntos, la función corta el eje x?
d) ¿Por qué cuando x = 0, no hay volumen?
e) ¿En qué intervalo el volumen es negativo?
f) ¿Qué significado tiene la función cuando el volumen es negativo?
3. Proceso: En la hoja de papel reciclado, tamaño carta (21.5×27.9 cm) dibujarán un margen de x
centímetros alrededor de la misma. El valor de x depende del número de equipo que le
corresponda. Una vez dibujado el margen y haciendo cortes en las esquinas, se doblará la hoja para
formar los lados de la caja (ver figura).
Actividades.
114
4. Recursos: una hoja de papel reciclado tamaño carta, regla graduada, lápiz, tijeras y grapas o
pegamento, calculadora científica o graficadora, papel milimétrico o software para gráficos
(Winplot, Algebrator, Matlab, Mathcad, etc.).
5. Evaluación: Esta actividad será calificada de acuerdo a la siguiente rúbrica para un máximo de
diez puntos.
CATEGORIA 4 3 2 1
Gráfica
elaborada
La gráfica coincide
bien con los datos y es
fácil de interpretar.
La gráfica es adecua-
da y no tuerce los
datos, pero la interpre-
tación de los mismos
es algo difícil.
La gráfica tuerce
algunos de los datos y
la interpretación de
los mismos es algo
difícil.
La gráfica tuerce seria
mente los datos hacien-
do la interpretación casi
imposible.
Tabla de
Datos
Los datos en la tabla
están bien organiza-
dos, son precisos y
fáciles de leer.
Los datos en la tabla
están organizados, son
precisos y fáciles de
leer.
Los datos en la tabla
son precisos y fáciles
de leer.
Los datos en la tabla no
son precisos y/o no se
pueden leer.
Presentación.
Excepcionalmente
bien diseñada, ordena-
da y atractiva. Colores
que combinan bien
son usados para ayu-
dar a la legibilidad del
gráfico. Se usa una
regla y papel de gráfi-
ca o un programa de
graficado computado-
rizado.
Ordenada y relativa-
mente atractiva. Una
regla y papel de gráfi-
ca o un programa de
graficado computado-
rizado son usados para
hacer la gráfica más
legible.
Las líneas están dibu-
jadas con esmero, pe-
ro la gráfica aparenta
ser bastante sencilla.
Aparenta ser desorde-
nada y diseñada a prisa.
Las líneas están visible-
mente torcidas.
6. Conclusiones: Es diferente graficar una función cualquiera que no representa algo en particular
comparado con un problema real. Cuando el problema deja de ser abstracto para convertirse en
algo real, tiene sentido hablar del dominio de la función.
7. Créditos: Esta actividad fue creada por los autores: Mtro. J. S. Beltrán L., Mtro. Arturo F. Rico,
Lic. Alejandrina Beltrán Enciso y Mtro. José Francisco Hernández Echeverría.
Actividades.
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Actividad No. 3
Nombres: ________________________________________ Grupo: _______ Puntuación: _________
WQ: Funciones.
1. Introducción.
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia
entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático
francés René Descartes, quien escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número dentro
de un conjunto de ello. Dos variables x y y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a x
entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y. La variable x, a
la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y,
cuyos valores dependen de la x, se llama variable dependiente. Los valores permitidos de x constituyen
el dominio de definición de la función y los valores que toma y constituye su codominio,
contradominio o recorrido”.
2. Tarea.
Deberán formar equipos de 4 personas y presentar un resumen en formato de Word o cualquier
otro procesador de textos. Dicho resumen abarca los siguientes temas:
a) Funciones (variable dependiente, variable independiente, dominio de la función, contradominio e
imagen).
b) Escalas de temperatura (grados Celsius y Fahrenheit)
c) Gráficas
3. Proceso.
Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos” y
y resolver los problemas propuestos a continuación:
a) La temperatura de ebullición del agua es a 100°C y la de fusión es a 0°C. Estos dos fenómenos
físicos se utilizaron para establecer la escala Celsius leer temperaturas. Establezca la relación entre
las dos escalas y deduzca la fórmula para hacer conversiones entre ellas sabiendo que, en la escala
Fahrenheit los valores son 212°F y 32°F. Explique el proceso.
b) En el canal de noticias de la CNN en español, en la barra informativa del clima aparece que la
temperatura máxima de la ciudad de Nuevo Laredo para este día será de 970F. ¿Qué temperatura en
°C marcará el termómetro en esa ciudad fronteriza?
c) ¿Qué temperatura tiene el mismo valor numérico en ambas escalas?
d) La pasteurización de la leche consiste en calentarla de 62°C a 64°C durante 30 minutos y luego
enfriarla entre 4°C y 10°C. El técnico debe verificar esto pero los indicadores de los contenedores
están en °F. ¿Cuáles son los rangos de calentamiento y de enfriamiento que debe vigilar para el
proceso?
Actividades.
116
4. Recursos.
Te sugerimos que visites y busques en las siguientes direcciones de internet. De no encontrar lo
que necesitas, busca en páginas similares.
http://www.mundohelado.com/helados/temperatura.htm
http://www.textoscientificos.com/fisica/escalastermometricas
http://enciclopedia.us.es/index.php/Grado_Celsius
http://enciclopedia.us.es/index.php/Fahrenheit
5. Evaluación.
El resumen deberá estar completo, que haya producto y no sea una simple copia. Que se
observe en el mismo limpieza, orden y sin faltas de ortografía.Se otorgarán 2 puntos por cada problema
resuelto correctamente para un total de 10 puntos, siempre y cuando justifique las respuestas y no sea
solo una ocurrencia o adivinanza. Debe haber participación de los integrantes del equipo. Es
importante que los alumnos muestren interés en la solución de los mismos.
6. Conclusión.
Seguramente esta forma de realizar trabajos es novedosa por lo que deben resumir la
experiencia y valorar la formación adquirida.
También deben valorar si fueron capaces de trabajar de forma autónoma sin la ayuda del
profesor, si las conclusiones fueron consensuadas y discutidas de tal manera que las distintas ideas de
los componentes del grupo hayan enriquecido el trabajo colectivo.
Tras la realización de este trabajo habrás comprobado que las posibilidades de la red son
enormes hasta para estudiar Matemáticas. Espero que este trabajo les haya servido para aprender algo
más sobre Gráficas y funciones.
7. Créditos.
Esta Webquest fue creada por los autores y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net
Actividades.
117
Actividad No. 4
Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______
WQ: Gráficos y funciones.
1. Introducción.
En esta actividad se pretende que observes algunas de las funciones más conocidas y sus
correspondientes gráficas. Mediante la graficación de funciones resolverás algunos problemas
sencillos, observarás cómo se modifica una gráfica al cambiar sus parámetros y apreciarás algunas
gráficas de funciones y relaciones no tan conocidas.
2. Tarea.
Deberán formar equipos de 4 personas y presentar su producto en formato de Word o cualquier
otro procesador de textos. Como se trata de realizar gráficos, deberás bajar el software gratuito Winplot
de la página: http://math.exeter.edu/parris/winplot.html, o bien de cualquier otra, pero asegurándote de
que la interfaz esté en español.
3. Proceso.
Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos” y
hacer las siguientes gráficas de acuerdo a las instrucciones:
a) En una ventana 2-dim de Winplot, graficar las siguientes ecuaciones: y = 2x +5, y = 3 – 2x – x2 y
y = x3 + 2x
2 – 7x – 3.
b) En otra ventana 2-dim grafica y encuentra la solución del sistema: x + 2y = 8 y 2x + y = 7.
Recuerda que la solución por el método gráfico es el punto de intersección de ambas rectas.
c) En otra ventana 2-dim grafica la ecuación y = x2 – 3x – 10. Identifica las coordenadas donde cruza
con el eje x. Esas son las raíces de la ecuación, esto es, la solución por el método gráfico.
d) En otra ventana 2-dim grafica las funciones: y = x2, y = 0.5 x
2 y y = 2x
2. Escribe la diferencia que
observas entre cada gráfico.
e) En otra ventana 2 dim grafica las funciones: y = sin (x) y y = cos (x). Ambas son muy parecidas
pero, ¿por qué no lo son?
4. Recursos.
Para que se documenten, pueden consultar algunas de las siguientes direcciones:
http://winplot.softonic.com/ (para bajar Winplot en español)
http://www.monografias.com/trabajos11/tutwinpl/tutwinpl.shtml (tutorial en español)
http://www.youtube.com/watch?v=9q52PEOsBVE (video tutorial en youtube)
Actividades.
118
Además, en este mismo texto, en la página 5 del tema Funciones algebraicas del Eje 1,
encuentras cómo hacer los gráficos para que te queden de un tamaño aceptable.
5. Evaluación.
Se otorgarán 2 puntos por cada uno de los incisos anteriores para un máximo de 10. Debe
apreciarse el orden, la limpieza y que el trabajo sea original.
6. Conclusión.
Seguramente esta forma de realizar trabajos es novedosa por lo que deben resumir la
experiencia y valorar la formación adquirida.
También deben valorar si fueron capaces de trabajar de forma autónoma sin la ayuda del
profesor, si las conclusiones fueron consensuadas y discutidas de tal manera que las distintas ideas de
los componentes del grupo hayan enriquecido el trabajo colectivo.
Tras la realización de este trabajo habrás comprobado que las posibilidades de la red son
enormes hasta para estudiar Matemáticas. Espero que este trabajo les haya servido para aprender algo
más sobre Gráficas y funciones.
7. Créditos.
Esta Webquest fue creada por los autores y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net
Actividades.
119
Actividad No. 5
Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______
WQ: Matrices.
1. Introducción.
La ciencia matemática nos ha proporcionado fórmulas y expresiones para facilitar los cálculos.
La tecnología actual nos permite disponer de herramientas interesantes como calculadoras, hojas de
cálculo y programas CAS (computer algebraic system) que nos permiten realizar operaciones
aritméticas y algebraicas rápidamente y con alto grado de exactitud.
Las matrices, aunque parezcan al principio objetos extraños, son una herramienta muy
importante para expresar y discutir problemas que surgen en la vida real. En los negocios a menudo es
necesario calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos. Las tablas son una forma de
representar estos datos. Sin embargo, agrupar los datos en un rectángulo nos muestra una
representación más clara y fácil de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz.
2. Tarea.
Deberán formar equipos de 4 personas y presentar su producto en formato de Word o cualquier
otro procesador de textos. Deberán resolver los problemas que se presentan en el apartado “Proceso”
realizando los pasos necesarios que se requieran. Es importante la participación de todos los miembros
del equipo ya se se pretende el aprendizaje cooperativo.
3. Proceso.
Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos” y
contestar las preguntas y resolver los problemas propuestos a continuación:
a) Una universidad privada, en los ciclos 2011-A y en el 2011-B ha admitido las siguientes
cantidades de alumnos:
Procedencia/Ciclo 2011-A 2011-B
Hombres Mujeres Hombres Mujeres
Nacionales 320 280 340 308
Extranjeros 80 65 84 68
Exprese en una matriz A la cantidad de alumnos admitidos en el ciclo 2011-A y en una matriz B los
admitidos en el ciclo 2011-B.
b) Exprese en una matriz C la cantidad de alumnos admitidos durante esa anualidad.
c) Exprese en una matriz D la diferencia de alumnos de los dos ciclos respecto del anterior.
Actividades.
120
d) Para el ciclo 2012-A se espera un incremento del 15% en la matrícula de alumnos respecto del
último ciclo. Represente en una matriz E la cantidad de alumnos de la nueva matrícula.
e) Un profesor de matemáticas ha obtenido las calificaciones de los 3 exámenes parciales de 5
alumnos en la siguiente tabla.
Alumno/Examen I II III
Alberto 80 92 94
Berenice 68 89 95
Carmen 86 100 96
Daniel 100 98 100
Gustavo 62 80 78
Si en el encuadre la ponderación de los exámenes es de 30%, 30% y 40%, defina una matriz
que muestre su calificación final.
f) La empresa Siderúrgica de Guadalajara quiere producir acero. Serán necesarias, entre otras
materias primas, mineral hierro y carbón duro. La siguiente tabla nos muestra las demandas (en
toneladas) de mineral hierro y carbón duro en un periodo de 3 semanas:
Semana/Producto Mineral de hierro Carbón duro
1ª semana 9 8
2ª semana 5 7
3ª semana 6 4
Existen tres proveedores diferentes que ofrecen estas materias primas. En la siguiente tabla se
muestran los costes (en dólares) por tonelada de materia prima para cada proveedor:
Material/Empresa Glencore In Ailia BHP Billiton
Mineral hierro 540 630 530
Carbón duro 420 410 440
¿Cuál es el proveedor que ofrece mayor beneficio?
g) Para sus estudios, cinco estudiantes reciben las siguientes subvenciones (en dólares) por cada mes:
Nombre/Cantidad Efectivo/mes En beca/mes
Mario 200 423
Humberto 168 378
Paul 193 564
Beatriz 125 188
Diego 219 297
Calcule la cantidad de efectivo y en beca que recibe cada estudiante por año. Calcule cuál es el
estudiante que recibe la subvención más alta.
4. Recursos.
Para que se documenten, pueden consultar algunas de las siguientes direcciones:
http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices
www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=8095 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
Actividades.
121
5. Evaluación.
Se atorgará un punto por cada respuesta (8) a los problemas anteriores para un máximo de 10
puntos. Es importante considerar el orden, la limpieza y que haya participación grupal.
6. Conclusión.
Seguramente esta forma de realizar trabajos es novedosa por lo que deben resumir la
experiencia y valorar la formación adquirida.
También deben valorar si fueron capaces de trabajar de forma autónoma sin la ayuda del
profesor, si las conclusiones fueron consensuadas y discutidas de tal manera que las distintas ideas de
los componentes del grupo hayan enriquecido el trabajo colectivo.
Tras la realización de este trabajo habrás comprobado que las posibilidades de la red son
enormes hasta para estudiar Matemáticas. Espero que este trabajo les haya servido para aprender algo
más sobre Matrices.
7. Créditos.
Esta Webquest fue creada por los autores y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net
Actividades.
122
Actividad No. 6
Nombres: ___________________________________________ Grupo: ______ Puntuación: ______
WQ: Sistema de coordenadas cartesianas.
1. Introducción.
¿Sabías que hace varios años atrás existió un filósofo, matemático y científico llamado René
Descartes? Él fue el creador de un sistema de referencia llamado sistema de coordenadas cartesianas.
Ustedes se preguntarán cuál es la real importancia de aquello, pues gracias a esta creación somos
capaces de ubicar puntos en el espacio, es decir, localizar un lugar como por ejemplo tu casa.
2. Tarea.
Los invitamos a investigar sobre la vida de René Descartes y el sistema de coordenadas
cartesianas para posteriormente hacer una presentación utilizando Power Point, exponiendo la
importancia de la creación de este sistema y su relación en la vida cotidiana.
3. Proceso.
La investigación se llevará a cabo en equipos de 4 alumnos designados por ustedes mismos. La
recopilación de información debe ser un proceso participativo en que los integrantes trabajen
cooperativamente. Una vez recopilada la información deberán hacer la presentación en Power Point
donde expondrán los puntos que consideren más relevantes.
4. Recursos.
La recopilación de información podrán hacerla desde las siguientes direcciones:
Biografía de René Descartes:
http://personal.redestb.es/javfuetub/biografias/descartes.htm
http://www.mat.usach.cl/histmat/htm/desc.html
http://www.portalplanetasedna.comarg/hombres_ilustracion2.htm
Sistema de coordenadas cartesianas:
http://www.phy6.org/stargaze/Mcelcoor.htm
http://www.paginasprodigy.com/villadre/adicional/sistema_cartesiano_de_coordenada.htm
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id350.htm
http://www.escolar.com/avanzado/matema067.htm
http://coliman.tripod.com/mate/1_rectas.htm
5. Evaluación.
Debe ponerse énfasis en el trabajo cooperativo y en que el producto no sea solamente una
copia de la información encontrada. La presentación debe ser breve (7 o 10 minutos), con imágenes y
Actividades.
123
sonidos adecuados al tema, sin faltas de ortografía y redacción clara. Se otorgarán un máximo de 10
puntos.
6. Conclusión.
Esperamos que el proceso de aprendizaje haya sido efectivo e interesante, dándote cuenta de
cómo las matemáticas se relacionan con tu diario vivir y que aprendieran sobre la vida de un gran
matemático y su legado. Esperamos también que hayan desarrollado sus capacidades de trabajo en
equipo, sintetizar información desde distintas fuentes, exponer y observar posibilidades de información
existente en internet.
7. Créditos.
Webquest elaborada por Daniel Saldivia con PHPWebquest (alojado en fenixer) y recuperado
de http://cfievalladolid2.net/webquest/visitante/resultadoBusq.php?pag=1 bajo licencia de Creative
Commons.
Actividades.
124
Actividad No. 7
Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______
WQ: Cónicas.
1. Introducción.
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que
gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos
simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes
posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y
parábola. Las cónicas están presentes en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por
ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra y el famoso cometa Halley son de forma
elíptica. Las antenas parabólicas y los faros de los automóviles fueron ideadas con esa forma para
utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el
foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante
aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la
vida cotidiana.
2. Tarea.
Deberán formar equipos de 4 personas y presentar su producto en formato de Word o cualquier
otro procesador de textos. Además, resolver las actividades que se presentan en el apartado “Proceso”
realizando los pasos necesarios que se requieran. Es importante la participación de todos los miembros
del equipo ya se se pretende el aprendizaje cooperativo.
3. Proceso.
Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos”,
realizar y resolver los problemas propuestos a continuación:
Realizar los ejercicios, para poner en práctica la comprensión de la teoría, de las páginas:
http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Otras/Las_conicas/conicas_construccion.htm
a) La trayectoria que describe la Tierra es una elipse de 0.0161 de excentricidad y de 148.5
millones de kilómetros de semieje mayor, en uno de sus focos se encuentra el Sol. Calcula la
ecuación de la elipse y las distancias mínima y máxima de la Tierra al Sol.
b) Se lanza horizontalmente una piedra desde un punto situado a 3 m de altura sobre el suelo.
Sabiendo que la velocidad inicial es de 50 m/seg y que g = 9.81 m /seg2, calcular la distancia
horizontal x al punto de caida.
4. Recursos.
Para que se documenten, pueden consultar algunas de las siguientes direcciones:
http://www.cnice.mec.es/Descartes/Otras/Las_conicas/conicas_construccion.htm
Actividades.
125
http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
http://www.math2.org/math/algebra/es-conics.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conicas/marco_conicas.htm
http://conicas.solomatematicas.com/
5. Evaluación.
Se atorgarán 5 puntos por cada problema para un máximo de 10 puntos. Es importante
considerar el orden, la limpieza y que haya participación grupal.
6. Conclusión.
Seguramente esta forma de realizar trabajos es novedosa por lo que deben resumir la
experiencia y valorar la formación adquirida.
También deben valorar si fueron capaces de trabajar de forma autónoma sin la ayuda del
profesor, si las conclusiones fueron consensuadas y discutidas de tal manera que las distintas ideas de
los componentes del grupo hayan enriquecido el trabajo colectivo.
Tras la realización de este trabajo habrás comprobado que las posibilidades de la red son
enormes hasta para estudiar Matemáticas. Espero que este trabajo les haya servido para aprender algo
más sobre Cónicas.
7. Créditos.
Esta Webquest está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net y elaborada por Mary Vale,
alojada en http://www.sectormatematica.cl/webquest.html bajo licencia de Creative Commons y fue
adaptada libremente por los autores.
Actividades.
126
Actividad No. 8
Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______
WQ: Líneas trigonométricas.
1. Introducción.
Las líneas trigonométricas y su variación en los diferentes cuadrantes siempre ha sido motivo
de preocupación para docentes y estudiantes por la alta concentración y la capacidad de abstracción
que el tema exige bajo esquemas tradicionales.
A través de esta WebQuest conocerás el potencial educativo de las tecnologías de la
información y la comunicación en el sector educativo y el papel que ellas juegan en la enseñanza
aprendizaje de las matemáticas. Utilizarás varios recursos de la Internet, (simuladores, graficadores)
que te permitirán sacar los conceptos matemáticos del plano abstracto para acercarlos hacia un plano
más natural, donde los objetos se mueven y se transforman; también podrás analizar y comprender
cómo varían las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
2. Tarea.
Debes visitar los sitios recomendados, analizar el comportamiento de las funciones
trigonométricas y con base en esa información, redactar una carta a un amigo(a) que tenga en cuenta
lo siguiente:
La experiencia vivida en el uso de este modelo de aprendizaje guiado en sus diferentes etapas: En
la organización de los grupos, en la fase de navegación, en el análisis de información (con origen
diferente al tradicional libro) y la manera como se manejaron las opiniones de sus compañeros.
La variación de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante), en los diferentes cuadrantes.
Las ventajas o desventajas del uso de esta nueva herramienta didáctica en los procesos de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas y en cualquier otra disciplina.
3. Proceso.
Después de formar los equipos de trabajo y distribuir el rol que jugará cada integrante, los
estudiantes deben visitar los sitios recomendados y observar allí el comportamiento de cada función a
medida que se seleccionan ángulos de diferentes cuadrantes.
Usted podrá analizar de manera animada el comportamiento de las diferentes funciones,
manipulando unos controles denominados deslizadores. Observe los cambios y tome nota de lo
observado.
Para el análisis de cada función tenga en cuenta lo siguiente:
¿La función tiene valores máximos? ¿Mínimos?
¿Cómo varía la función en cada cuadrante?
¿Para qué valores la función se repite?
Actividades.
127
¿La función toma valores mayores que 1?
¿Para qué ángulos la función no está definida?
En la exposición cada estudiante debe describir lo observado, explicar su significado y
comentar cómo se sintió al usar nuevas tecnologías de la información.
4. Recursos.
Para resolver la tarea puedes visitar los siguientes sitios:
{1}
http://id.mind.net/~zona/mmts/trigonometryRealms/TrigFuncPointDef/TrigFuncPointDefinitions.h
tml. Analiza aquí la variación de las funciones trigonométricas. Selecciona en la parte superior la
función (seno, coseno, tangente, etc.) que deseas observar; mueve el punto rojo a través de los
cuadrantes y observa el desplazamiento del mismo punto rojo sobre la curva de la derecha. Cambia
a otra función y haz lo mismo.
{2}
http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Razones_trigonometricas/Razones_trigonometricas.htm#SE
NO. En esta página podrás analizar la variación de las seis (6) funciones trigonométricas. Sólo
tienes que mover los triángulos pequeños marcados con Rojo y Azul.
{3}
http://www.ies.co.jp/math/products/trig/applets/sixtrigfn/sixtrigfn.html. Selecciona la
función y mueve el botón rojo.
{4}
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/fun2/fun2.html#sincostan. Esta página está en
inglés, pero no hay problema. Sólo tienes que hacer clic en el tercer rectángulo rojo que contiene el
texto "The graphs of sin, cos and tan". Aquí podrás apreciar la variación y las gráficas de las
funciones Seno, Coseno y Tangente. Selecciona una de estas tres funciones y mueve la caja gris
colocada en la parte inferior de la página. Hazlo despacio para que lo observes mejor.
5. Evaluación.
La exposición tendrá un máximo de 10 puntos que se otorgarán con el siguiente criterio:
Insuficiente: Si la exposición es deficiente, no se dan conclusiones, pocas herramientas
informáticas o mal utilizadas y si no hay participación del estudiante o se permanece callado.
Aceptable: Si hay pocos datos de análisis, si el análisis superficial, si la exposición es incompleta.
Sobresaliente: Si se dan buenas conclusiones, hay bastantes herramientas, seguridad en la
exposición y si hay participación con muestra de interés.
Excelente: Si la exposición es brillante, la clase se interesa, se responden dudas, se apoya la
presentación con herramientas apropiadas y hay partición con dominio del tema.
6. Conclusión.
Al finalizar el proyecto de webquest podrás analizar correctamente la variación de las
funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes y estarás preparado para trazar sus gráficas.
Te invitamos ahora a reflexionar sobre lo aprendido con esta estrategia de aprendizaje por
descubrimiento basada en la Internet. Sería interesante que evaluaras el uso de las WebQuest en los
procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas y los cambios significativos que puede producir
en las prácticas pedagógicas, en las metodologías de enseñanza y en la forma en que los estudiantes
acceden e interactúan con el conocimiento matemático.
7. Créditos.
Esta Webquest fue creada por Diego Feria Gómez, docente del Colegio Oficial Marco Fidel
Suárez de Barranquilla y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net
Actividades.
128
Actividad No. 9
Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______
WQ: Análisis Combinatorio.
1. Introducción.
Cuando hablamos de Combinatoria o Análisis Combinatorio hacemos referencia a problemas
de conteo. Nos vamos a referir a problemas que impliquen Ordenaciones con repetición (también
llamadas variaciones), Ordenaciones sin repetición, Permutaciones y Combinaciones. En muchas
ocasiones éstas se confunden y nos cuesta trabajo distinguirlas. En esta ocasión vamos a utilizar un
recurso que se encuentra en la Web: el laboratorio del azar. En dicho laboratorio vamos a encontrar
diferentes experimentos de los cuales vamos a utilizar sólo una parte de ellos por cuestiones de espacio
y de tiempo pero eso no es obstáculo para que por tu cuenta sigas con los experimentos. Podrás utilizar
urnas, ruletas, baraja, etc., que te permitirán tener una idea de los juegos de azar para que no caigas en
la tentación de ir a perder tu dinero en las casas de juego conocidas actualmente como “Casinos”. Sin
embargo, estos juegos son solo una forma de entender la matemática ante la incertidumbre para
utilizarlos en la producción o en la industria.
2. Tarea.
Debes visitar el sitio recomendado en el apartado Recursos y realizar todas y cada una de las
actividades que se te proponen. No son problemas para que nos entregues una solución a los mismos
sino actividades que debes experimentar para que te formes una idea del fenómeno. En ella debes
manipular y cambiar las cifras que aparecen junto a la fórmula para que el problema lo puedas variar.
3. Proceso.
Deberán formar equipos de 3 o 4 personas y organizarse de tal manera que mientras unos
experimentan, los demás hagan anotaciones de lo que está ocurriendo. Repitan los experimentos las
veces que sean necesarias y acuerden lo que van a escribir utilizando la técnica de “carta a un amigo”.
En la exposición cada estudiante debe describir lo observado, explicar su significado y comentar cómo
se sintió al usar nuevas tecnologías de la información.
4. Recursos.
La página a visitar es:
http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.html
Haga clic en COMBINATORIA y enseguida escoja Variaciones con repetición.
En esta página, la actividad es la siguiente:
El candado que se muestra se abre formando un número de tres cifras secreto. Cada una de
ellas se puede seleccionar de entre las diez cifras de nuestro sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y
9. Escribe tu número secreto y gira las ruedas para alinear las cifras y que se abra.
Actividades.
129
Como puedes comprobar, el dispositivo permite repetir una cifra incluso tres veces y sí importa
el orden ya que el 123 es diferente del 321; la cifra de las centenas se selecciona girando la rueda más
pequeña y la de las unidades girando la rueda exterior. Contesta a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos números diferentes, de tres cifras, pueden ser el código secreto para abrir este candado?
b) ¿Se considera aquí el número 000 como uno de los muchos posibles?
c) ¿Y el 023?
d) ¿Y el 111?
e) ¿Y el 636?
Puedes comprobar que hay tantos códigos secretos como Ordenaciones con repetición de 10
elementos (las diez cifras disponibles de nuestro sistema decimal) tomados de 3 en 3. Para otros
valores, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m” incrementando o disminuyendo
dichos valores con las flechitas. Observe que las posiciones de n y de m están invertidas a como se
utilizan en este libro.
Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior
derecha.
En esta escena, el candado se abre formando un número de cuatro cifras secreto. Pero
disponemos de un conjunto de solo cinco cifras en cada caso, para elegir las unidades, decenas,
centenas y unidades de millar: 1, 2, 3, 4 y 5. Escribe tu número secreto y gira las ruedas para alinear las
cifras y que se abra.
Como puedes comprobar, el dispositivo permite repetir una cifra incluso cuatro veces y sí
importa el orden como lo mostramos en el ejemplo anterior. ¿Cuántos números diferentes, de cuatro
cifras, pueden ser el código secreto para abrir este candado?
También puedes comprobar que hay tantos códigos secretos como Ordenaciones con
repetición de 5 elementos (las cinco cifras disponibles en cada caso) tomados de 4 en 4. Para otros
valores, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m” incrementando o disminuyendo
dichos valores con las flechitas.
Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior
derecha.
En esta tercera escena, el código secreto para abrir este candado consta de un número (del 0 al
7) seguido de una letra mayúscula (de la A a la L) y de un signo (*, ?, =, $, % o &). Hay 8 posibles
elecciones para el número y para cada una de ellas hay 12 posibilidades de elegir una letra mayúscula.
Por último, para cada número y letra elegidos hay 6 posibilidades de elegir un signo. Así, si ya tenemos
elegidos 4 y B, por ejemplo, para ese número y esa letra concretamente tenemos los seis siguientes
códigos posibles:
4B*, 4B?, 4B=, 4B$, 4B% y 4B&.
Lo anterior pone de manifiesto que la rueda de los signos permite multiplicar por seis el
número de códigos formados con número y letra. De igual manera, la rueda de las letras mayúsculas
permite multiplicar por 12 el número de códigos formados únicamente con un número. Escribe tu
número secreto y gira las ruedas para alinear las cifras y que se abra.
Puede comprobarse que las Ordenaciones con repetición se pueden calcular de la siguiente
manera: m m
nOR n
Ahora vaya al Menú de combinatoria haciendo clic en la imagen que está en la parte superior
derecha.
Actividades.
130
Haga clic en Variaciones sin repetición.
En esta página, la actividad es la siguiente:
Una urna contiene 6 esferas numeradas con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Se
extraen una a una, y sin reposición, cuatro bolas. Haga clic varias veces (con pausas para que observe
el suceso) en el recuadro EXTRAER CUATRO BOLAS que está junto a las esferas numeradas.
Se registra el número de cuatro cifras obtenido en cada caso (ver el recuadro de la derecha).
Conteste: ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se podrán obtener por este procedimiento?
El análisis combinatorio permite adelantar una respuesta a esta y otras situaciones similares.
No sabemos, con certeza, cúal va a ser la primera esfera o cifra extraída. Es evidente que el número de
4 cifras podrá comenzar por 1, 2, 3, 4, 5 ó 6.
El ORDEN de colocación de las cifras es primordial. No es lo mismo 1356 que 1563. Parece
lógico pensar que habrá la misma cantidad de números que comiencen por 1 que los que comiencen
por 2, 3, 4, 5 ó 6...
Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior
derecha.
Para averiguar cuántas Ordenaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4 hay,
recuerde el principio multiplicativo y se razona así:
a) Hay 6 posibilidades diferentes para la primera cifra.
b) Como la segunda cifra no puede ser igual a la primera, habrá 5 números diferentes que puedan
agruparse con la primera cifra elegida. Así, si la primera cifra es 3, para la primera + segunda cifra
se podrán dar los cinco grupos siguientes: 31, 32, 34, 35 y 36 (33 no puede darse porque no hay
números repetidos). Considerando que hay 6 posibilidades para la primera cifra, para primera +
segunda habrá 6 5 = 30 agrupaciones diferentes :12, 13, 14, 15, 16; 21, 23, 24, 25, 26; 31, 32, 34,
35, 36; 41, 42, 42, 45, 46; 51, 52, 53, 54, 56 y 61, 62, 63, 64, 65.
c) Un grupo concreto formado por primera y segunda cifra se podrá agrupar con una de las cuatro
cifras restantes que no coinciden ni con la primera ni con la segunda. Así, para el grupo 52, se
podrá obtener 521, 523, 524, 526. Por lo tanto de 30 grupos de 2 cifras posibles se pasaría a 30 4
= 120 grupos posibles de 3 cifras.
d) Razonando de manera análoga para la cuarta y última cifra, se obtienen 120 3 = 360 números de
4 cifras diferentes...
El número de Ordenaciones sin repetición, de 6 elementos (números) tomados de 4 en 4 es:
6 5 4 3 360
Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior
derecha.
De manera general, el número de Ordenaciones sin repetición de n elementos tomados de m
en m, con n > m, viene dado por:
!
!
m
n
nO
n m
Si n = m, se les llama Permutaciones sin repetición) y Pn = n!.
Para comprobarlo, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m”
incrementando o disminuyendo dichos valores con las flechitas.
Actividades.
131
Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior
derecha.
Algunos ejemplos de variaciones sin repetición son los siguientes. Para resolver dichos
problemas, manipula la fórmula asignando valores distintos a “n” y a “m” incrementando o
disminuyendo dichos valores con las flechitas.
a) En la carrera final de 100 metros planos, 8 corredores se disputan las medallas. ¿De cuántas formas
podrán repartirse las tres medallas (oro, plata y bronce)? n = 8, m = 3. Solución: 336 formas
diferentes.
b) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos (A, B y C) entre Juan,
Pedro, María, Alicia y Pilar? n =5, m = 3. Solución: 60 maneras diferentes.
c) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? n = 5, m =
3. Solución: 60 números diferentes.
d) A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo
forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? n = 10,
m = 3. Solución: 720 cuadros de honor diferentes.
e) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 huecos disponibles? n =
10, m =4. Solución: 5040 maneras diferentes.
*Nota: Observe que las posiciones de n y m están invertidos a como se ha manejado en este libro.
Ahora vaya al Menú de combinatoria haciendo clic en la imagen que está en la parte superior
derecha.
Haga clic en Combinando frutas.
En esta página, la actividad es la siguiente:
En un restaurante están buscando la combinación de frutas que más guste a los niños. Para ello
experimentan con combinaciones de dos frutas diferentes y disponen de seis tipos de fruta. ¿Sabrías tú
encontrar las 15 combinaciones diferentes de 6 frutas tomadas de 2 en 2?
Para colocarlas en el plato, primero selecciona la fruta que has escogido y luego arrástrala a
cualquiera de los platos. Después selecciona la siguiente fruta y así sucesivamente hasta que completes
las 15 combinaciones. Al final haz clic en el recuadro Verificar que se encuentra junto a la canasta.
Pasa a la escena siguiente haciendo clic en la flecha que se encuentra en la parte inferior
derecha.
En un restaurante están buscando la combinación de frutas que más guste a los niños. Para ello,
experimentan con combinaciones de tres frutas diferentes y disponen de cinco tipos de fruta. ¿Sabrías
tú encontrar las 10 combinaciones diferentes de 5 frutas tomadas de 3en 3?
Intenta ahora el problema siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior.
Es obvio que este proceso es bastante tardado por lo que para hacer el cálculo utilizamos la
siguiente fórmula:
!
! !
m
n
nC
m n m
Puede comprobar el uso de esta fórmula en los dos casos anteriores. Este tipo de problema no
permite repetir dos elementos como es el caso de poner varios plátanos en un mismo plato y es el más
simple. También hay combinaciones con repetición pero eso lo dejamos para otro curso.
Ahora vaya al Menú principal haciendo clic en la imagen que está en la parte inferior
izquierda. Puede abandonar la página o seguir explorando otras opciones de este laboratorio del azar.
Actividades.
132
5. Evaluación.
La exposición:
Insuficiente: Si la exposición es deficiente, no se dan conclusiones, pocas herramientas
informáticas o mal utilizadas y si no hay participación del estudiante o se permanece callado.
Aceptable: Si hay pocos datos de análisis, si el análisis superficial, si la exposición es incompleta.
Sobresaliente: Si se dan buenas conclusiones, hay bastantes herramientas, seguridad en la
exposición y si hay participación con muestra de interés.
Excelente: Si la exposición es brillante, la clase se interesa, se responden dudas, se apoya la
presentación con herramientas apropiadas y hay partición con dominio del tema.
6. Conclusión.
Te invitamos ahora a reflexionar sobre lo aprendido con esta estrategia de aprendizaje por
descubrimiento basada en la Internet. Sería interesante que evaluaras el uso de las WebQuest en los
procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas y los cambios significativos que puede producir
en las prácticas pedagógicas, en las metodologías de enseñanza y en la forma en que los estudiantes
acceden e interactúan con el conocimiento matemático.
7. Créditos.
Esta Webquest fue creada por los autores y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net
Actividades.
133
Actividad No. 10
Nombres: ______________________________________ Grupo:______ Puntuación: ______
WQ: Probabilidad condicional.
1. Introducción.
Hasta ahora hemos calculado la probabilidad de un evento sin conocer si otro evento
relacionado había ocurrido. En esta sección discutiremos las oportunidades que tiene un evento B
cuando se sabe que un evento relacionado A ha ocurrido; esto se llama probabilidad condicional.
También la discusión demostrará como hallar la probabilidad de 2 eventos conjuntos.
2. Tarea.
Deberán formar equipos de 4 personas y presentar su producto en formato de Word o cualquier
otro procesador de textos. Además, resolver las actividades que se presentan en el apartado “Proceso”
realizando los pasos necesarios que se requieran. Es importante la participación de todos los miembros
del equipo ya se se pretende el aprendizaje cooperativo.
3. Proceso.
Los equipos deberán consultar las direcciones de internet descritas en el apartado “Recursos”,
realizar y resolver los problemas propuestos a continuación:
Entre los 700 empleados de una corporación, el número de hombres y mujeres empleados que
ganan menos de o más de $ 20,000 son los siguientes:
Empleados/Sueldo < $ 20,000 > $ 20,000 Total
Mujeres (M) 210 80 290
Hombres (H) 105 305 410
Total 315 385 700
Si uno de los empelados de la corporación es seleccionado al azar, encuentre la probabilidad de
que el empleado:
a) Gane al menos $20,000, dado que es hombre.
b) Gane menos de $20,000, dado que es mujer
c) Sea hombre, dado que gana al menos $ 20,000.
Para una familia con tres niños, encuentre la probabilidad de que el primero sea un varón, el
segundo sea hembra y el tercero sea varón.
4. Recursos.
Para resolver la tarea puedes visitar los siguientes sitios:
http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/mdid/diap033.pdf
Actividades.
134
http://facultad.bayamon.inter.edu/JMARTINEZ/cursos/inge3200/p3.pdf
http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC02.pdf
http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo1/B0C1m1t7.htm
5. Evaluación.
Se atorgarán 2 puntos por cada problema para un máximo de 10 puntos. Es importante
considerar el orden, la limpieza y que haya participación grupal.
6. Conclusión.
Seguramente esta forma de realizar trabajos es novedosa por lo que deben resumir la
experiencia y valorar la formación adquirida.
También deben valorar si fueron capaces de trabajar de forma autónoma sin la ayuda del
profesor, si las conclusiones fueron consensuadas y discutidas de tal manera que las distintas ideas de
los componentes del grupo hayan enriquecido el trabajo colectivo.
Tras la realización de este trabajo habrás comprobado que las posibilidades de la red son
enormes hasta para estudiar Matemáticas. Espero que este trabajo les haya servido para aprender algo
más sobre Probabilidad condicional.
7. Créditos.
Esta Webquest fue creada por los autores y está inspirada en los ejemplos del sitio: aula21.net