María del Carmen Rodríguez Sánchez

ACTIVIDAD UTILIZANDO LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Situación a estudiar:

Poliedros de Kepler-Poinsot

Curso:

Matemáticas 2º ESO

Tema:

Geometría. Cuerpos geométricos

Conceptos a desarrollar en clase:

Poliedros regulares cóncavos, sus características y desarrollos planos. Transformación de un

poliedro por estelación para convertirse en otro. Poliedros duales. Visión espacial. Fórmula

de Euler.

Objetivos:

Conocer parte de la historia de la geometría y la inquietud que ha presentado su estudio a lo

largo del tiempo. Ampliar el conocimiento de los cuerpos geométricos con el estudio de

cuatro poliedros regulares cóncavos. Reconocer los elementos de estos poliedros y sus

características. Llegar a identificar el proceso de transformación que sufre un poliedro para

convertirse en otro. Conocer las relaciones que existen entre unos poliedros y otros. Mejorar

la capacidad de visión espacial trabajando con elementos 3D. Razonar el cumplimiento de la

Fórmula de Euler. Saber investigar y buscar información precisa.

Actividades propuestas:

Se pretende que los alumnos realicen las construcciones (una de ellas cada uno) de los

poliedros de Kepler-Poinsot, que posteriormente pondrán en común con sus compañeros,

teniendo una visión global de todos los sólidos. Así, deben ser capaces de identificar todos

sus elementos y características para completar una tabla de propiedades de estos poliedros,

ayudados también de la lectura de la actividad. Posteriormente se pide que expliquen

razonadamente el cumplimiento o no de la Fórmula de Euler en cada uno de los cuatro

sólidos de Kepler-Poinsot. Y por último, una actividad de búsqueda de información.

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María del Carmen Rodríguez Sánchez

ACTIVIDAD: Poliedros de Kepler-Poinsot

Johannes Kepler (1571-1630), fue un importante astrónomo y matemático

alemán, crucial en la revolución científica. Es conocido principalmente por sus

leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol. Pero

también fue relevante su faceta en el campo de las matemáticas.

Louis Poinsot (1777-1859), fue un importante físico y matemático francés

conocido por sus aportaciones a la dinámica de los sólidos y a la mecánica

racional. Creó la mecánica geométrica, que demuestra cómo un sistema de

fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se puede descomponer en una sola

fuerza resultante y un par de fuerzas de giro.

A lo largo de la historia los poliedros han estado estrechamente asociados con el mundo del arte y se

han presentado figuras en diferentes situaciones, antes incluso de ser descubiertas o consideradas

como algo que nunca antes se ha visto. Este es el caso, por ejemplo, de un poliedro denominado

pequeño dodecaedro estrellado que apareció en 1430 en un mosaico del pavimento de la basílica de

San Marcos en Venecia, atribuido a Paolo Uccello (Img. 1). O dos figuras llamadas gran dodecaedro

y gran dodecaedro estrellado (Img. 2), que fueron representadas en el libro de grabados en madera

de Wenzel Jamnitzer, titulado Perspectiva Corporum Regularium, publicado en 1568.

Img. 1 Img. 2

Es en 1619 cuando Kepler se dio cuenta que había sólidos sin reconocer, al observar que existían

dos maneras diferentes de pegar 12 pentagramas a lo largo de sus aristas para obtener un poliedro

regular. Cuando en un solo vértice se unen 5 pentagramas, se obtiene la figura que nombró como

pequeño dodecaedro estrellado. En cambio, si en cada vértice se encuentran 3 pentagramas, se

obtiene el gran dodecaedro estrellado.

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María del Carmen Rodríguez Sánchez

Fue después, en 1809, cuando Poinsot definió dos poliedros no convexos regulares en los que

todavía no se había reparado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro, y presentó un argumento

combinatorio para probar que no puede haber otros. En realidad, publicó el hallazgo de cuatro

nuevos sólidos regulares, sin conocer que dos de ellos ya aparecían en un estudio de Kepler de

1619. Las 12 caras del gran dodecaedro son pentágonos, igual que en el dodecaedro, pero aquí se

intersecan unas a otras. El gran icosaedro está formado por 20 triángulos, intersecados entre sí.

Como anécdota podemos mencionar que los poliedros de Poinsot son los duales de los poliedros de

Kepler.

Img. 3

Por lo tanto podemos decir que un sólido de Kepler-Poinsot, es un poliedro regular no convexo, que

tiene por caras polígonos regulares, que forman el mismo ángulo entre sí, y que en todos sus

vértices convergen el mismo número de caras.

Todos los poliedros de Kepler-Poinsot se pueden obtener a través de un proceso llamado estelación,

partiendo de los sólidos Platónicos. Este proceso consiste en extender las caras del poliedro hasta

que las rectas se intersequen. Así, partiendo de las extensiones de los lados de un polígono se

construye un nuevo polígono. Dependiendo del tipo de poliedro que sea tendrá más o menos

estelaciones, por ejemplo el tetraedro y el cubo no tienen ninguna, el octaedro 1, el dodecaedro 3 y

el icosaedro 59. Fue Cauchy en 1811 quien descubrió que los poliedros de Kepler-Poinsot son

estelaciones de los sólidos Platónicos y demostró que tanto unos como otros son los únicos

poliedros regulares que existen.

En todos estos poliedros, pueden existir líneas donde intersectan dos caras que en realidad no son

aristas de ninguna cara, de modo que parte de cada cara pasa por el interior de la figura, a estas

líneas se les llama falsas aristas porque no forman parte del poliedro. De manera similar, pueden

existir falsos vértices al cruzarse tres de las líneas anteriores en un punto, el cual no será ningún

vértice del poliedro.

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Pequeño dodecaedro estrellado

Poliedro regular cóncavo, compuesto por doce caras pentagramáticas. En cada vértice se encuentran

cinco estrellas de cinco puntas. Es el poliedro dual del gran dodecaedro. Puede formarse partiendo

de un dodecaedro y colocando una pirámide pentagonal en cada una de sus caras.

Gran dodecaedro estrellado

Poliedro regular cóncavo, compuesto por doce caras pentagramáticas que se intersectan. Cada

vértice lo forman tres estrellas de cinco puntas. Las veinte puntas del poliedro son pirámides

triangulares isósceles, dispuestas como las caras del icosaedro. Es poliedro dual del gran icosaedro.

Gran dodecaedro

Poliedro regular cóncavo, compuesto por doce caras pentagonales regulares (seis pares de

pentágonos paralelos). En cada vértice convergen cinco de estos pentágonos. Es el poliedro dual del

pequeño dodecaedro estrellado.

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Gran icosaedro

Poliedro regular cóncavo, compuesto por veinte caras triangulares (equilateros) que se cruzan. En

cada uno de los vértices confluyen cinco de estos triángulos. Es el poliedro dual del gran

dodecaedro estrellado.

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María del Carmen Rodríguez Sánchez

Referencias

Imágenes:

1

http://www.veraviana.net/web/Piccolo%20Dodecaedro%20Stellato%20posto%20all%E2%80%99interno%20di%20un

%20Cerchio%20di%20Esaedri,%20in%20S.%20Marco%20a%20Venezia%20Paolo%20Uccello.jpg

http://www.veraviana.net/keplerpoinsot.html

2

http://www.veraviana.net/web/jamnitzer-gsd-big.jpg

http://www.veraviana.net/keplerpoinsot.html

3

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/Kepler-Poinsot_solids_(es).svg/600px-Kepler-

Poinsot_solids_(es).svg.png

https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_Kepler-Poinsot

4

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander%27s_Star#/media/File:Alexander%27s_Star.jpg

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander%27s_Star

5

https://dl.dropboxusercontent.com/u/9790844/Geocaching/kepler.jpg

https://www.geocaching.com/geocache/GCJAZF_geohunter-5-the-kepler-star?guid=7d4594ab-f437-4c81-adb5-

6172ee88990f

Páginas:

http://www.georgehart.com/ (Enciclopedia sobre poliedros y temas relacionados con ellos)

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/art.html

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler.html

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/jamnitzer.html

http://wright.ava.ufsc.br/~grupohipermidia/graphica2013/trabalhos/POLIEDROS%20ESTRELADOS%20O

%20ESTUDO%20DOS%20SOLIDOS%20GEOMETRICOS%20ALEM%20DOS%20LIVROS%20DIDATICOS.pdf

(Simposio nacional de geometría – poliedros estrellados)

http://avrinc05.no.sapo.pt/solidos_regulares.htm (Blog sobre geometría - sólidos)

http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1197453226493_1083040394_6479/%3Cstrong%3EPoliedros %3C/strong%3E.pdf

(Historia de los poliedros – Universidad de La Laguna)

http://www.sacred-geometry.es/?q=es/content/estelaciones (Blog sobre geometría)

http://cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/1009.pdf (Conferencia sobre geometría espacial en el aula)

http://www.veraviana.net/keplerpoinsot.html (Página interactiva sobre geometría)

http://trazoide.com/glosario/poliedros-de-kepler-poinsot/ (Glosario de dibujo técnico)

Johannes Kepler:

https://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

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María del Carmen Rodríguez Sánchez

Louis Poinsot:

https://es.wikipedia.org/wiki/Louis_Poinsot

Poliedros de Kepler-Poinsot:

https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_Kepler-Poinsot

https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron

Dodecaedro:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dodecahedron

Pequeño dodecaedro estrellado:

https://en.wikipedia.org/wiki/Small_stellated_dodecahedron

http://mathworld.wolfram.com/SmallStellatedDodecahedron.html

http://www.veraviana.net/web/pequenododecaedroestrelado.jpg

Gran dodecaedro estrellado:

https://en.wikipedia.org/wiki/Great_stellated_dodecahedron

http://mathworld.wolfram.com/GreatStellatedDodecahedron.html

http://www.veraviana.net/web/grandedodecaedroestrelado.jpg

Gran dodecaedro:

https://en.wikipedia.org/wiki/Great_dodecahedron

http://mathworld.wolfram.com/GreatDodecahedron.html

http://www.veraviana.net/web/grandedodecaedro.jpg

Gran icosaedro:

https://en.wikipedia.org/wiki/Great_icosahedron

http://mathworld.wolfram.com/GreatIcosahedron.html

http://www.veraviana.net/web/grandeicosaedro.jpg

Recortables:

http://www.korthalsaltes.com/es/model.php?name_en=Kepler-Poinsot_Polyhedra_in_color

http://www.korthalsaltes.com/pdf/collection_004.PDF

Libro Perspectiva Corporum Regularium:

http://aproged.pt/biblioteca/jamnitzer.pdf

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