ACTIVIDADES LÚDICAS Y CONCRETAS PARA CONTAR

Nelly A. León GómezUniversidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de MaturínVenezuela

nellyleong@hotmail.com

PRESENTACIÓN:

La Matemática Discreta es la parte de la Matemática que se encarga de los conjuntos discretos o infinitos numerables, se emplea cuando se cuentan objetos, cuando se estudian relaciones entre conjuntos contables y cuando se analizan procesos con un número finito de pasos. Estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente. Es la base del desarrollo de la ciencia de la computación relacionándose con todos los procesos digitales.

Lo que caracteriza la Matemática Discreta, en contraposición a la Matemática de lo continuo, conocida como el cálculo infinitesimal, es que no se puede manejar las ideas de aproximación y suavización de curvas. Por ejemplo, en Matemática Discreta podemos decir que un conjunto tiene 4 elementos, pero no podemos hacer aproximaciones por la derecha de este número con valores como 4,1; 4,01;4,0001…., o por la izquierda con 3,9; 3,99; 3,999; es decir, la noción de límite no tiene cabida en esta rama de la Matemática.

A través del estudio de estructuras discretas se pueden responder preguntas como: ¿Cuál es el camino más corto entre dos ciudades, utilizando un medio de transporte?, ¿De cuántas formas se puede escoger una contraseña bancaria?, ¿Cuántas formas hay de pagar una factura de $. 100.000 usando billetes de las distintas denominaciones que circulan en un país?, entre otras interesantes cuestiones que tienen sentido en el contexto cotidiano de los individuos.

La Matemática Discreta abarca contenidos tales como:-Lógica proposicional -Razonamientos recursivos e inductivos-Teoría de Conjuntos-Teoría Combinatoria-Teoría de Grafos-Estructuras Discretas-Teoría de la Información-Algoritmos

En el currículum escolar en muchos países aun no han sido incorporados contenidos de esta rama de la Matemática, por la tendencia generalizada a abarcar sólo los contenidos tradicionales. En otros casos, algunos contenidos como la teoría de conteo y las demostraciones por inducción aparecen en los programas de educación secundaria, pero, o no son abordados por el docente o lo son de manera mecánica e inapropiada, como simple aplicación de procedimientos algorítmicos y fórmulas rutinarias.

Muchas veces, los docentes piensan que se requiere un nivel de razonamiento para comprender estos contenidos, superior al que se pone en juego cuando se trabaja con el cálculo. No obstante, estudios recientes confirman que la mente del individuo se orienta más hacia alguna de las dos tendencias: a la Matemática Discreta o a la Matemática de la continuidad y el cambio, es decir, al Cálculo.

No se puede asegurar que una de ellas sea más fácil que la otra, ambas presentan un alto nivel de complejidad, pero con los avances de la informática y de la computación digital se ha visto la necesidad de una iniciación más temprana en el estudio de lo discreto.

Lo que queremos en este taller es trabajar algunas ideas para introducir de una manera amena contenidos referidos a Teoría de Conteo, Recursividad y Teoría de Grafos. Dentro de estos encontramos problemas bien interesantes que pueden presentarse en el contexto histórico en el que surgieron sirviendo así de motivación al desarrollo de estos contenidos.

PROPÓSITO:

Con este taller se pretende mostrar a los participantes algunos de estos problemas para que sean resueltos en forma individual y grupal, luego generar una discusión sobre las diversas estrategias de solución empleadas y estudiar algunos aspectos teóricos y metodológicos vinculados a tales problemas, porque pensamos que muchos docentes han estudiado la Matemática Discreta con el nivel que se da en la Universidad pero no saben como llevarla al aula en niveles educativos inferiores. No debe entenderse esto que pretendemos dar recetas a los docentes sobre cómo enseñar los tópicos de Matemática Discreta, sino más bien motivarlos para que presten atención al tema y que en conjunto exploremos toda una gama de alternativas que existen y hasta lleguemos a crear otras más novedosas.

CONTENIDO

El curso abarcará los siguientes problemas y situaciones:1. Algo de recursividad:- Números poligonales- El Problema de los conejos de Fibonacci

- La Torre de Hanoi y el Acertijo del Mandarín

2. Algo de Teoría de Grafos

- Los Puentes de Konigsberg

- Problemas de coloreado de mapas.

3. Algo de Estructuras Discretas

- Grupos de Klein (Un grupo para solitarios)

4. Algo de Sistema Binario

- El juego de NIM.

Números Poligonales

Son números que pueden recomponerse en la forma de un polígono regular: un triangulo equilátero (números triangulares), un cuadrado (Números cuadrados)…

La idea es, con el uso de piedritas o algún otro recurso, ir construyendo, en primer lugar los números triangulares: el primero, el segundo, el tercero, etc. e ir contando el número de piedras necesarias, luego hacer preguntas como ¿Cuántas piedras hacen falta para el décimo número triangular?, permitiendo que los participantes exploren la situación y a través de un razonamiento recursivo lleguen a la respuesta a este tipo de preguntas.

El problema de los conejos de Fibonacci

Este es un problema muy conocido enunciado de la siguiente manera:

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.“

A cada participante se le entregará un número determinado de fichas con el dibujo de una pareja de conejos para que le sirva de recurso en la construcción de una respuesta recursiva a este problema. Este proceso llevará a la definición de la Sucesión de Fibonacci y al estudio de algunas de sus propiedades que nos conectará con algunas nociones matemáticas importantes como el número y el rectángulo áureo y la espiral logarítmica.

La Torre de Hanoi y el Acertijo del Mandarín

La Torre de Hanoi es un juego popular del siglo XIX, inventado por Édoard Lucas que se compone de tres barras montadas sobre una base junto con discos de diferentes tamaños. Al comenzar el juego los discos se colocan todos sobre la primera barra ordenados de menor a mayor diámetro. Las reglas del juego permiten mover los discos de uno en uno para cambiarlos de barra, con la restricción de que un disco nunca puede colocarse sobre uno más pequeño. El objetivo es pasar todos los discos a la segunda barra, ordenados de la misma forma, con el menor número de movimientos.

Con el uso de un modelo concreto de este juego se pretende que los participantes lleguen a la respuesta de manera recursiva trabajando con diferentes números de discos. Una vez que se tenga la respuesta se introducirá una demostración recursiva de dicho resultado.

Los puentes de Konigsberg

Königsberg fue una populosa y rica ciudad de la Prusia Oriental. Hoy en día su nombre es Kaliningrado y pertenece a Rusia. Está situada en las orillas y en las islas del río Pregel, que en el siglo XVIII estaba atravesado por siete puentes.

Es conocida por ser la cuna del filósofo I. Kant (1724-1804), pero en la historia de las Matemáticas es famosa por la disposición de sus puentes que dio lugar a un juego, precisamente en la época de Kant, que atrajo la atención de los más famosos matemáticos del momento, cuyo enunciado es el siguiente:.

Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Este problema fue resuelto por Leonhar Euler dando origen a la Teoría de Grafos. La idea es, a partir de este problema, ir explorando otras situaciones que lleven a la definición de caminos y ciclos Eulerianos y Hamiltonianos y a las condiciones para su existencia.

Un grupo para solitarios

En el siglo XVIII un aristócrata francés fue confinado en una celda de La Bastilla, allí inventó un solitario para soportar su soledad. Este se puede jugar en un tablero de ajedrez y 32 fichas tapando las esquinas para que quede como se muestra en la figura:

Las fichas se mueven una encima de otra (Izquierda, derecha, arriba, abajo) siempre que haya un cuadro vacío, entonces se “come” la ficha por encima de la cual se saltó. Se gana el juego si queda una sola ficha en la posición indicada al inicio.

Después de explorar varias estrategias, se presentará una que siempre da la opción de completar el solitario; esta se basa en los grupos de Klein.

El Juego de NIM

• Este es un juego viejo e interesante.

• NIM, en inglés antiguo, es “quitar” o “retirar”

• Es un juego para dos personas A y B

• Se colocan fichas en filas. Se puede usar cualquier número de filas y de fichas.

• El jugador A puede quitar una o más fichas de la fila que escoja. Luego B hace lo mismo.

• Gana el que se lleve la última ficha.

Los participantes se organizarán en parejas para jugar varias partidas y luego se les pedirá que busquen una estrategia para ganar. Luego, se presentará una estrategia basada en el sistema binario.

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

De la descripción anterior de los juegos y otras situaciones se observa que la estrategia metodológica se centrará en el uso de materiales concretos que permitan a los participantes la posibilidad de explorar situaciones particulares para luego llegar a las soluciones generales y formalizarlas matemáticamente. La idea es que los participantes internalicen una forma de trabajo que luego les permita introducir en su nivel educativo de desempeño algunos temas vinculados con la Matemática Discreta.

RECURSOS

Se necesitarán algunos materiales fotocopiados y recursos concretos que serán aportados por la facilitadores. Igualmente se proveerá un listado de referencias bibliográficas para aquellos participantes interesados en prefundir en la temática de la enseñanza de la Matemática Discreta.

Además se requerirá video bean, pizarra y marcadores de diferentes colores.