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Actividades reveladoras del pensamiento:Una alternativa para desarrollar competencias
matemáticas en alumnos del nivel mediosuperior para un curso de Matemáticas
Tesista: Lic. Fernando Hernández Reyes
Profesor titular: Dra. Ángeles Domínguez Cuenca
Profesor tutor: Mtra. Adriana del Carmen Cantú Quintanilla
Escuela de Graduados en Educación del Tecnológico de Monterrey
18 de Noviembre de 2011
Introducción
Hoy en día, la RIEMS ha traído consigo diversos retos para las instituciones educativas debido a su propuesta de una educación por competencias.
Introducción
En el sector curricular de Matemáticas, ha exigido a los docentes innovar en la manera en que organizan y dirigen sus cursos para crear verdaderas experiencias de aprendizaje significativo.
Introducción
En el estudio realizado, se pudo comprobar que las actividades reveladoras del pensamiento o Model-Eliciting Activities (MEA) resultan ser una alternativa que permiten desarrollar competencias matemáticas y apoyar la evaluación formativa.
Antecedentes
¿Qué se sabe de las Model-Eliciting Activities (MEA)?
1. Que son actividades de modelación matemática en la que los alumnos, reunidos en equipos de trabajo, construyen y aplican un modelo para resolver situaciones reales (Lesh, Hoover, Hole, Kelly y Post, 2000).
Antecedentes
¿Qué se sabe de las Model-Eliciting Activities (MEA)?
2. Que se han establecido seis principios para diseñarlas:• Principio de construcción de modelos.• Principio de realidad.• Principio de documentación.• Principio de autoevaluación.• Principio de reutilización y transmisión.• Principio del prototipo eficaz.
Antecedentes
¿Qué se sabe de las Model-Eliciting Activities (MEA)?
3. Que han sido utilizadas en el nivel superior y básico. Por ejemplo:a) Diefes-Dux y Verleger (2009) para reflexionar acerca de la capacidad
de los estudiantes de ingeniería para cumplir con los últimos dos principios.
b) Diefes y Salim (2009) para identificar la manera en cómo aprenden los estudiantes de ingeniería a través de las MEA.
c) Domínguez (2009) para presentar las ventajas de emplear MEA dentro de la evaluación formativa en un curso de ingeniería.
d) Aliprantis y Carmona (2003) para analizar el pensamiento que revelan los estudiantes de nivel educativo básico.
Objetivos
Objetivo general: Desde la Teoría de los Modelos Mentales de Johnson-Laird (1983), identificar los modelos mentales y las competencias que desarrolla el alumno del nivel medio superior cuando construye modelos matemáticos en las MEA.
Objetivos
Objetivos particulares: Identificar y describir los modelos mentales que emplean los estudiantes
para modelar matemáticamente una situación problemática. Reflexionar acerca del uso de actividades de modelación como
actividades de aprendizaje y de desarrollo de competencias, con el fin de establecer su utilidad dentro de un curso de matemáticas de bachillerato.
Determinar el grado de viabilidad de la innovación que representa el uso de MEA en el nivel medio superior.
Validar los aspectos surgidos del trabajo con las MEA, susceptibles a ser utilizadas en otros cursos o instituciones.
Pregunta de investigación
El estudio pretendió responder a la pregunta:
¿Cuáles son los modelos mentales, los conocimientos y las competencias que manifiesta un alumno que participa en MEA dentro de un curso de matemáticas en el nivel medio superior y cómo los revela?
Limitaciones del estudio
El estudio estuvo limitado a: Los alumnos de cuarto semestre de la institución de estudio. Tres grupos de dicha generación que cumplieran con los criterios de
inclusión y de exclusión descritos en la metodología. Ser realizado durante el calendario 2011A, de los meses de febrero a
abril. Ser implementado al final de los temas de modelación lineal y
cuadrática, del mismo curso de cuarto semestre. Las limitaciones espaciales de la institución.
Metodología
Tipo de estudio: Enfoque mixto, predominantemente cualitativo. Diseño de investigación-acción educativa (Elliott, 2000)
Participantes: El profesor que implementó las MEA. Los alumnos de los tres grupos seleccionados.
Fuentes de recolección de datos: Instrumentos de selección de grupos de trabajo. Evidencias del trabajo de los alumnos. Notas de campo. Focus group. Instrumento de autoevaluación y coevaluación.
Recolección de datos
Para esta etapa, se aplicó un diseño de muestreo probabilístico por racimos: Primera fase. Selección de los grupos de trabajo. Participantes:
383 alumnos de los 12 grupos de cuarto semestre. Instrumentos utilizados:
Examen de conocimientos de medio término del curso: Elaborado por el profesor de acuerdo con los temas del mismo. 41 % de confiabilidad con el método K-R20 (Kuder y Richardson,1937).
Test psicométrico Dominó o D48: Elaborado por Edgar Anstey en 1944. 85% a 91% de confiabilidad con el método factorial (Costa, 1996).
Con los resultados se eligieron tres grupos: uno de puntaje mayor, otro de puntaje menor y otro de puntaje promedio.
Recolección de datos
Después de seleccionar a los tres grupos de trabajo: Segunda fase. Implementación de las MEA. Participantes:
104 alumnos de los 3 grupos seleccionados. Instrumentos utilizados:
Evidencias del trabajo de cada uno de los 26 equipos que se conformaron en total.
Notas de campo elaboradas por el profesor aplicador. Instrumento de autoevaluación y coevaluación.
Recolección de datos
Después de finalizar la implementación, se eligieron dos equipos bajo un muestreo teórico intencionado para: Tercera fase. Focus group. Participantes:
24 alumnos de los 3 grupos seleccionados. Instrumentos utilizados:
Lista de preguntas de profundidad para cada grupo.
Análisis de datos
Para analizar los datos se aplicaron las siguientes técnicas: Para los resultados de la primera fase:
Obtención de estadísticos descriptivos de cada instrumento. Análisis hermenéutico apoyado con diagramas de caja y bigote.
Para los datos obtenidos en la segunda fase y la tercera fase: Análisis hermenéutico de las evidencias de los equipos,
obteniendo patrones y categorías de estudio (Mayan, 2001). Triangulación de datos y del investigador haciendo equipo con un
profesor del área de matemáticas y uno del área de psicología.
Resultados
De la primera fase, en el primer instrumento: 10 de los 12 grupos tuvieron en promedio entre 7 y 8 aciertos por
lo que su nivel de conocimientos es muy similar.
Resultados
De la primera fase, en el primer instrumento: El tercer cuartil se situó entre los 8 y 9 aciertos, por lo que el 75%
obtuvo menos de 10 aciertos. En términos de calificaciones, tendrían puntuaciones a 70/100.
Resultados
De la primera fase, en el primer instrumento: Por otra parte, se observa que el rango intercuartílico tiene sus
cotas entre los 6 y los 9 aciertos, por lo que el 50% de los alumnos tendría entre 40/100 y 65/100 de calificación.
Resultados
De la primera fase, en el segundo instrumento: Las medias aritméticas de 10 de los 12 grupos se encuentran entre
los 30 y los 34 aciertos. De acuerdo con la interpretación del test D48, estos promedios indican un nivel medio de CI.
Resultados
De la primera fase, en el segundo instrumento: El rango intercuartílico tiene cotas en 28 y 39 aciertos para 9 de los 12
grupos, lo cual indica que el 50% de los alumnos tiene un nivel medio o inferior al término medio de CI.
Resultados
De la primera fase, en el segundo instrumento: El tercer cuartil de 11 de los 12 grupos es inferior a los 39 aciertos, lo
cual continúa representando un nivel medio.
Resultados
En la segunda fase, la primera MEA planteaba lo siguiente: Un hotel tiene 80 habitaciones. Un costo de $60 implica tener las 80 habitaciones ocupadas. Al aumentar $1 al costo, una habitación de desocupa. Se debe pagar $4 de mantenimiento por cada habitación ocupada. Determinar el costo que maximiza la ganancia del hotel.
Resultados
La línea estratégica que siguieron los equipos fue:
Resultados
A partir de esta línea, los modelos mentales fueron:
Modelo mental Código DescripciónGanancia Total con Aumento Constante
GT-AC Se obtienen los ingresos y gastos totales, utilizando precios cuya diferencia es constante entre ellos.
Ganancia Total con Aumento Aleatorio
GT-AA Se obtienen los ingresos y gastos totales, utilizando precios cuya diferencia no es constante entre ellos.
Ganancia Total con Aumento Mixto
GT-AM Se obtienen los ingresos y gastos totales, utilizando precios cuya diferencia a veces es constante y a veces, aleatoria.
Ganancia por Habitación con Aumento Constante
GH-AC Se obtienen los ingresos y gastos por habitación, utilizando precios cuya diferencia es constante entre si.
Ganancia por Habitación con Aumento Aleatorio
GH-AA Se obtienen los ingresos y gastos por habitación, usando precios cuya diferencia no es constante entre si.
Ganancia por Habitación con Aumento Mixto
GH-AM Se obtienen los ingresos y gastos por habitación, usando precios cuya diferencia a veces es constante y a veces, aleatoria.
Resultados
El 100% utilizó un modelo aritmético; el 70%, lo complementó con uno tabular; el 12%, intentó uno algebraico; el 9%, un gráfico de barras; y el 6%, solo simbolizó sus procedimientos.
El 21% empleó un solo modelo; el 60%, usó otro para complementar el aritmético; el 15%, usó tres modelos; y un equipo intentó elaborar los cuatro tipos.
El uso de modelos tabulares fue menor en el grupo con nivel bajo y en el grupo con nivel alto, en comparación con el grupo de nivel promedio. Asimismo, el uso de modelos algebraicos y de modelos gráficos fue bastante raro en esta implementación.
Respecto a los modelos matemáticos:
Resultados
El 88% utilizó modelos mentales de tipo GT (Ganancia Total)
El 39% utilizó modelos de tipo AC (Aumento Constante); el 36%, de tipo AA (Aumento Aleatorio); y el 25%, de tipo AM (Aumento Mixto)
El uso de modelos GT-AC se vio reducido en el grupo de nivel bajo, en el que predominaron los de tipo AA. Sin embargo, en el resto de los grupos, el uso de cada tipo de modelo fue relativamente el mismo.
El nivel de habilidad influyó en el tipo de modelos que los estudiantes emplearon ya que solo el 42% llegó a la respuesta correcta (72 dólares) y el 39% se acercó con un respuesta de 70 dólares.
Respecto a los modelos mentales:
Resultados
En la segunda fase, la segunda MEA planteaba lo siguiente: Un individuo necesita alrededor de 180 minutos en llamadas. Con el tiempo, es probable que requiera de 360 minutos. Elegir el plan de pago que más le convenga a sus necesidades.
Resultados
La línea estratégica que siguieron los equipos fue:
Resultados
A partir de esta línea, los modelos mentales fueron:
Modelo mental Código Descripción
Elección del Plan más Cercano a Una necesidad
EP-CU Por separado, se calculan los costos de los planes más cercanos a los 180 y los 360 minutos, respectivamente, cuyo costo en minutos adicionales sea menor.
Elección del Plan con Minutos de sobra para una Necesidad
EP-MU Se calculan los costos de los planes cuya cantidad de minutos gratis sea mayor a los 180 minutos y a los 360 minutos, respectivamente.
Elección del Plan más Cercano para Ambas necesidades
EP-CA Se calculan los costos de los planes más cercanos a los 360 minutos cuyo costo en minutos adicionales sea menor.
Elección del Plan con Minutos de sobra para Ambas necesidades
EP-MA Se calculan los costos de los planes cuya cantidad de minutos gratis sea mayor a los 360 minutos.
Resultados
El 100% utilizó un modelo aritmético; el 55%, uno tabular; el 3%, uno gráfico; y el 6%, uno algebraico pero junto con otros tipos.
El 45% empleó un solo modelo; el 51%, uso otro para complementar el aritmético; y solo un equipo intentó emplear cuatro modelos.
El grupo de nivel promedio aplicó más modelos tabulares que el grupo de nivel alto, en un 78%. Sin embargo, el grupo de nivel alto hizo intentos poco formales de modelos tabulares, en un 89%.
Existe mucha similitud entre los modelos empleados dentro de cada grupo debido a que la idea general solo fue comparar los costos. Por esta razón, el uso de modelos algebraicos y gráficos resultó ser casi nulo.
Respecto a los modelos matemáticos:
Resultados
El 39% empleó modelos de tipo CU (Cercano a Una necesidad) ; el 12%, usó de tipo MU (Minutos de sobra a Una necesidad); el 27%, usó de tipo CA (Cercano a Ambas necesidades); y el 21%, usó de tipo MA (Minutos de sobra a Ambas necesidades).
El 51% optó por proponer dos planes de pago (tipo U) y el resto optó por un solo plan de pago (tipo A).
Independientemente de su modelo, el 48% mencionó que en su procedimiento consideró dejar minutos de sobra.
Respecto a los modelos mentales:
Resultados
Una serie de patrones para cada unidad de análisis.
De la tercera fase, de los focus group, de las notas de campo y del instrumento de autoevaluación y coevaluación, se obtuvo lo siguiente:
Unidad de análisis Patrones
Conocimientos
- La actividad fue un reto.- Aplicamos las matemáticas.- No supimos como aplicar lo que vimos en el tema.
MEA- Reflexionamos en nuestros errores.- Se nos dificultó explicar nuestra estrategia por escrito en la carta.
Competencias matemáticas
- Comparamos los resultados para para elegir al mejor.- Solo al inicio, fue difícil comprender el problema.- Nos preocupamos por nuestros resultados, al ver los de los otros equipos.- Usamos calculadora para las operaciones.- No supimos como construir una gráfica o una fórmula para el problema.- Fue más fácil explicar el problema de forma oral.
Estrategia de aprendizaje
- No aplica. Esta unidad fue analizada a través de otras fuentes.
Resultados De la tercera fase, de los focus group, de las notas de campo y del
instrumento de autoevaluación y coevaluación, se obtuvo lo siguiente: Una serie de patrones respecto al grado de cumplimiento de las
competencias descritas en el PISA.
Competencias Se fomentó
Pensar y razonar Argumentar inferencias Dificultades al hacerlo por escrito.
Comunicar resultados Modelar una situación Plantear y resolver problemas Dificultades al inicio del proceso.
Representar objetos matemáticos Parcialmente
Usar lenguaje formal y operacional Parcialmente
Usar tecnología Solo para cálculos
Resultados De la tercera fase, de los focus group, de las notas de campo y del
instrumento de autoevaluación y coevaluación, se obtuvo lo siguiente: Una serie de patrones respecto al cumplimiento de los seis
principios de las MEA (Lesh et al, 2000).
Principio Patrones
Principio de construcción de modelos Principio de realidad Principio de documentación Principio de autoevaluación Parcialmente
Principio de reutilización Satisfactoriamente
Principio de prototipo eficaz Parcialmente
Conclusiones
Los estudiantes de educación media superior: Aplican modelos mentales que favorecen la interpretación y
resolución de un problema, en forma aritmética.
Prefieren usar modelos matemáticos aritméticos y/o tabulares ya que aún siguen desarrollando su habilidad para plantear modelos más complejos y con mayor formalidad.
Tienen conocimientos que les permiten abordar problemas de modelación matemática pero el desconocimiento o la falta de significado de algunos conceptos provoca que sus modelos mentales se vean limitados, tal como dice Johnson-Laird (2010).
Desarrollan las competencias descritas en los altos niveles de desempeño del PISA y la ENLACE.
Conclusiones
Respecto al desarrollo de competencias: Respecto al PISA se alcanzaron niveles 4 y 5 de competencias
matemáticas ya que, aunque no desarrollan modelos muy complejos ni evalúan bien sus estrategias, trabajan de manera razonada y estratégica e intuyen aspectos derivados de sus respuestas.
Se corrobora que su capacidad de redacción aún está limitada pero sigue en desarrollo, por lo que las MEA son una excelente oportunidad de fomentar competencias comunicativas.
El trabajo colaborativo y cooperativo se convirtió en una actividad de discusión y respeto por los puntos de vista del otro.
Conclusiones
Respecto a las hipótesis del estudio: Se comprobó que emplean modelos aritméticos como primera
estrategia para resolver un problema, a pesar de tener conocimientos de álgebra.
Se comprobó que sus conocimientos previos influyen en la elaboración de sus modelos mentales y matemáticos.
Se concluyó que las MEA revelan el pensamiento crítico del alumno desde las características descritas por Campos (2007): clarificar, enjuiciar y evaluar información.
Se comprobó que las MEA motivan al alumno a aplicar sus conocimientos y le brindan aprendizajes significativos.
Perspectivas
¿Influye la autoconfianza del alumno en las MEA o, en todo caso, su nivel de habilidad para sacar el mejor provecho de ellas?
Si se implementan las mismas MEA en diferentes momentos del curso. ¿Desarrollarán los mismos modelos sin el trabajo previo en el tema como ocurrió en esta investigación? ¿Habrá alguna diferencia o alguna relación entre aplicarlas al inicio o al final de un curso?
Dados los modelos matemáticos revelados, surge la inquietud de implementar MEA en todos los niveles del bachillerato. ¿En qué momento de la trayectoria académica se elaboran modelos matemáticos más complejos?
ReferenciasAliprantis, C. D. y Carmona, G. (2003). Introduction to an Economic Problem: A models and modeling perspective. En
Lesh, R. y Doerr, H. (Eds.), Beyond constructivism: models and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching [Versión electrónica]. (pp. 255-264). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Campos, A. (2007). Pensamiento crítico. Técnicas para su desarrollo. Bogotá, Colombia: Magisterio.Costa, K. M. (1996). Manual de pruebas de inteligencia y aptitudes. Distrito Federal, México: Plaza y Valdés.Elliott, J. (2000). El cambio educativo desde la investigación-acción (Manzano, P., Trad.) (3a. ed.). Madrid, España:
Morata. (Trabajo original publicado en 1991).Diefes-Dux, H. A. y Verleger, M. A. (2009, Octubre). Student Reflections on Peer Reviewing Solutions to Model-Eliciting
Activities. Ponencia presentada en la 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, Santo Antonio, Texas.Diefes-Dux, H. A. y Salim, A. (2009, Julio). Problem formulation during Model-Eliciting Activities: Characterization of first-
year student’s responses. Ponencia presentada en el Research in Engineering Education Symposium, Palm Cove, Queensland.
Domínguez, A. (2009, Septiembre). Actividades reveladoras del pensamiento: más que una forma de aprendizaje activo . Ponencia presentada en el 10º Congreso Nacional de Investigación Educativa, Veracruz, México.
Johnson-Laird, P. N. (1983). Mental Models: Towards a Cognitive Science of Language, Inference, and Consciousness [Versión electrónica]. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.
Johnson-Laird, P. N. (2010). Mental models and human reasoning. PNAS, CVII (43). 18243-18250. Recuperado el 23 de febrero de 2011 en http://www.pnas.org/content/107/43/18243.full.pdf+html
Kuder, G. F. y Richardson, M. W. (1937). The theory of the estimation of test reliability. Psychometrika, II (3). 151-160. doi: 10.1007/BF02288391
Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A. & Post, T. (2000). Principles for developing thought- revealing activities for students and teachers. En A. Kelly, R. Lesh (Eds.), Research Design in Mathematics and Science Education. 591-646. Recuperado el 2 de febrero de 2011 en http://www.cehd.umn.edu/rationalnumberproject/00_2.html
Mayan, M. J. (2001). Una introducción a los métodos cualitativos: Módulo de entrenamiento para estudiantes y profesores. Alberta, Canadá: International Institute for Qualitative Methodology.
¡Muchas gracias!
“Calificamos de complejas aquellas cosas que no entendemos; eso significa que todavía no hemos encontrado la manera
correcta de pensar en ellas”Tsutomu Shimomura
