3El acueducto Inca

En el año 1735, luego de viajar casi dos meses abordo de un galeónEspañol, navegando por el Océano Atlántico, por el Cabo de Hornos ypor el Océano Pacífico, desembarcó el nuevo Virrey Antonio deMendoza junto con la Misión Geodésica en el puerto del Callao, en elVirreinato del Perú, y sin mayor pérdida de tiempo se dispusieron atrasladarse hacia la capital Lima.

El séquito de distinguidas personalidades y guardias siguió elcamino por el que había sido en otros tiempos una de la tantas eimportantes vías del Inti Ñan o Camino del Inca, que permitía mantenerel comercio entre los pueblos de la serranía y del litoral o por el que loschasquis (correos del imperio Inca) llevaban y traían los quipus conmensajes o noticias importantes para el soberano y/o sus súbditos.

Estas tierras americanas o nuevo mundo como las llamaban loseuropeos, para los científicos de la misión geodésica les parecían unlugar maravilloso en donde podría desarrollar todo su potencial deconocimientos y de investigación, pues debían medir la circunferenciade la Tierra en su parte ecuatorial y además porque había gran cantidadde plantas, animales, minerales y muchas cosas más, que no estabacatalogados, registrados y que eran totalmente desconocidas en Europa.

Al caer la tarde, luego de un arduo trayecto y cansados, por elcalor, la cantidad de equipaje que llevaban y las nubes de polvo propiasdel lugar y de la estación seca presente en ese momento, vislumbraronun pequeño poblado donde pasar la noche que estaba ya próxima. Elpoblado era de no más de 300 habitantes, con una escasa presencia demestizos de entre los cuales uno regía como cacique y corregidor y lagran mayoría de la población, al contrario estaba formada por indígenas. Todos ellos pertenecientes a las mitas u obrajes de la región

A pesar de que el poblado era muy pobre y humilde, tenía ladisposición de sus casas y calles muy bien organizadas, y en el centrode su plaza mayor se encontraba un excavación en forma de pirámidede cuatro lados e invertida; recubierta de losetas de piedra de granitode distintos tamaños pero perfectamente encajadas una con otra, de talmodo que prácticamente no había espacio vacios entre ellas.

Louis Godin preguntó asombrado cuál era la finalidad de talestructura; así el líder regente del poblado Tomás Katari le supoexplicar que los antepasados incas los utilizaban para almacenar aguay como conexión directa por medio del vértice, a un acueducto

1

subterráneo en tiempo de sequía, así Antonio de Mendoza Virrey delPerú pide a los sabios de la Misión Geodésica que le acompañan,respondan la siguiente interrogante:

—Puede alguien de ustedes decirme ¿Qué área tienen las caras de laexcavación en forma de pirámide?, pues me llama mucho la atención suforma y como están dispuestas las locetas.

—Señor Virrey respondió Charles Marie de la Condamine, paraobtener estos datos requiero hacer algunas mediciones previas y hacercálculos que nos permitirán solucionar esta interrogante.

En ese instante el sabio la Condamine, se puso a tomar medidas deel largo y el ancho de la excavación, determinando que estos eran en 6brazas y 8 brazas respectivamente.

—¡Allí dentro no!, exclamó el líder indígena, no podeis entrar en elacueducto, pues es sagrado. Si alguien que no sea de descendencia realInca, osa entrar en el, éste se secará y por tanto todo el poblado iráenfermando y muriendo.

Por su parte Pierre Bouguer, quien también se mostraba interesado,preguntó a Tomás Katari. —¿Sabeis cuál es la longitud de la arista ?. A lo que Katari espondió:

—¿No lo sé!, solo sé que este acueducto tiene 4 brazas deprofundidad y que fue construida bajo ciertas condiciones, acordes a suforma y que además determinan sus medidas, así, se cumple que elcubo de la longitud de la arista es equivalente a la longitud de la arista aumentado en 120.

—Charles Marie de la Condamine exclamó, ¡ya lo tengo!, se formauna ecuación de tercer grado con una sola incógnita, cuyo único valordesconocido es la longitud de la arista. Ayúdale a escrbir la ecuación.

1 braza española equivale a 1.671m

2

z3 z2 120

La cual puede ser escrita de la siguiente manera

(1)z3 z 120 0

Lo vez, tal como dijo la Condamine, es una ecuación con una solaincógnita. Si le multiplicamos por z en sus dos miembros, obtendremos

(2)z4 z2 120z0

Ahora sumando y restando a la vez en (2) se tiene que z2

(3)z4 z2 z2 z2 120z0

Luego resolviendo términos semejantes en (3) y haciendo tambiénagrupación de ellos se tiene que

(4)

Haciendo ahora un cambio de variable mediante

(5)yz2

La ecuación (4) se puede escribir como

(6)(y2 2y) (z2 120z) 0

Si ompletando cuadrados en los dos paréntesis, ¿que obtenemos?.Anota tu respuesta.

Pues es la siguente igualdad

(7)(y2 2y 12) (z2 120z602) 602 1

Que es equivalente a la siguiente expresión

(8)(y 1)2 (z 60)2 3601

Esta última ecuación (8) representa un circulo, de centro el punto y de radio .Que al se graficado en un plano cartesiano(1;60) 3601.

junto con la parábola de la ecuación (5), nos dá la solución para lavariable z, mediante los puntos de intesección de las dos curvas, así:

3

Se tiene dos puntos de intersección cuyas coordenadas son A(4,25)y B(0,0). Esto se lo puede apreciar mejor en el siguiente gráfico.

4

La primera raíz es =5 y la segunda raíz es =0. es decir lasz1 z2

soluciones reales para la ecuación (1), que es el problema original, son : y 0 respectivamente.5

Como puedes ver hay dos soluciones que determinan la longitud dela arista de la pirámide invertida, pero la solución que lógicamente seajusta al problema planteado es z=5 brazas.

Con esta información ahora ya podemos determinar el área de loslados de la pirámide, —dijo Pierre Bouguer, y esto lo podemos resolvermediante el teoréma de Pitágoras.Anota tu respuesta.

.

En el triángulo ABC , se cumple que

DB2 CB2 CD2

Es decir

DB2 52 32

DB 25 9

5

De donde se tiene que DB=4. Por lo que el area del triángulo ABC es

area ABC ( base*altura2 ) ( CA*DB

2 ) ( 6*42 ) 12 brazas2

Ahora del triángulo ABE, se cumple que

FB2 AB2 AF2

Es decir

FB2 52 42

FB 25 16

De donde se tiene que FB=3. Por lo que el area del triángulo ABE es

area ABE ( base *altura2 ) ( AF *FB

2 ) ( 8*32 ) 12 brazas2

Como en la pirámide invertida se tiene que las caras opuestas dos ados son de iguales dimensiones, entonces el área total de las caras de lapirámide es dos veces la suma de las áreas anteriormente calculadas.¿Puedes ayudarnos a calcularla?. Anota tu respuesta.

area total 2area ABC + area ABE

Es decir

area total 212 brazas2 + 12 brazas2 48 brazas2

¡Tenemos solucionada la interrogante, Señor Virrey!— dijo el sabiola Conamine. El área de la pirámide invertida es de 48 .brazas2

—Sois muy conocedores de la ciencia y bastente diligentes, osagradezco por esta información que me dais, dijo el Virrey Mendoza.

6

Así cumplió la Misión Geodésica uno de sus primeros retos; finalmente descansaron esa interminable noche del mes julio de 1735, para al día siguiente reanudar su viaje hacia Lima y enfrentar nuevasinterrogantes científicas, en el nuevo mundo.

7