FAC. DE CS. F. E INGENIERIA UCA ALGEBRA Y GEOMETRIA S C 2009

EJERCICIOS ADICIONALES(Para Primer Parcial)

1. Halle todos los z C tales que(z + 2i)4 = 16i

y ubquelos en un esquema grafico.

2. Sea L : (x, y) = (2 t, 1 + t) (t R)a) en un esquema grafico indique el sentido de recorrido

b) compruebe que (3, 0) L y que (1, 2) Lc) de una parametrizacion del segmento que une los puntos (1, 2) y (3, 0) e indique en que

sentido lo recorre.

3. De dos parametrizaciones distintas de la rama de la hiperbola dada por

4y2 3x2 = 12 , y < 0

4. De una parametrizacion del segmento que comienza en [3, 2] y termina en [4, 1].5. De una parametrizacion del arco de la circunferencia

|z| = 9

que se encuentra en la region determinada por

2pi36 arg z 6

5pi4

6. Halle la imagen de la parametrizacion y proyecte ese conjunto sobre los ejes coordenados

a) c : [pi2 , pi2 ] R2 , c(t) = (4 cos t, 4 sen t)b) d : [pi2 , pi] R2 , d(t) = (cos 2t, 4 sen 2t)c) : [2,+) R2 , (s) = (cosh s, senh s)d) : [3, 5] R2 , (u) = (u, 2u2 3)e) : [1, 1] R2 , (t) = (4t 1, 3 2t)

7. Encuentre los puntos de la recta L : 2x y = 3 que distan a lo sumo 2 de (1, 1).Plantee el problema de formas distintas

(i) hallando la interseccion de dos conjuntos

(ii) utilizando una parametrizacion de L

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8. Sea L : (x, y) = (1 2t, 4 + t) (t R)a) determine si el punto (0, 0) Lb) de una parametrizacion de la semirrecta de L con origen (1, 4) y que no contiene al punto

(1, 5)9. Calcule el angulo entre

a) los vectores (1,2) y (3, 1)b) las rectas L1 : (x, y) = (7, 2)+ t(1,2) (t R) y L2 : (x, y) = (7, 2)+ t(3, 1) (t R)

10. Se sabe que u y v son ortogonales y que |u| = 3 y |v| = 2. Calcule |u + v|2.11. a) Halle la ecuacion de una recta vertical que pasa por (2, 1)

b) De una ecuacion suponiendo que no es vertical.

12. Determine de que conica se trata

a) 4x2 3y2 + 2x y + 4 = 0b) 4x2 3y + 16x = 0

13. Halle las proyecciones sobre los ejes de

a) |(x, y) (4, 1)| < 2b) y = 3x2 + 1

c) y = senh x

14. De un ejemplo de un par de polinomios P y Q tales que

a) gr(P + Q) = grP

b) gr(P + Q) < grP , grQ

15. Halle un polinomio de grado 5 que no tenga a 1000 por raz.

16. Halle todas las races de P = X6 16X2 + 13

X5 163

X.

17. Halle todas las races de P = 2X5 18X + X4 9 sabiendo que 3 i es raz.Factorizarlo en Z[X] , Q[X] , R[X] y C[X].

18. Descomponer en fracciones simples f (x) =3x5 4x2 + x3 x

2x2 x 1 .19. Halle todos los z C que satisfacen

a) (z + 3i)3 = 8.

b) zz 2z + 2z = 4c) zz + 2z + 2z = 4

d) (z 1)4 = 16i

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20. Halle todas las races del polinomio

X4 + 16

y plantee la descomposicion en fracciones simples de

1X4 + 16

21. Halle la parte real y la parte imaginaria del numero

(z 3)21 i

sabiendo que z es imaginario puro.

22. Escriba en forma binomica el numero

(

2 i)100

y exhiba un valor del argumento.

23. Halle la descomposicion en factores irreducibles del polinomio

6X7 3X6 30X5 + 15X4 + 2X3 X2 10X + 5

sabiendo que

5 y 5 son races de P.

24. Descomponga en fracciones simples la fraccion algebraica

5X2 + X + 14X3 + X

25. Grafique el subconjunto del plano complejo definido por las condiciones

pi

26 arg(2z) 2

c) describa parametricamente los puntos de L que estan entre (2, 0) y (1, 2) y muestregraficamente en que sentido se recorre ese segmento.

33. Calcule el angulo entre

a) (2, 0) y (1, 2)b) L : 2x + 3y = 4 y L : y = 4

34. Muestre que

a) u u = |u|2b) |u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2u v

35. Halle las coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas 1 + 3 i.36. Esboce la grafica de las curvas expresadas en coordenadas polares

a) r = 2

b) =5pi6

37. Clasifique y grafique: x2 y2 + 2x + 4y = 12.38. Exhiba una parametrizacion de la curva dada en el ejercicio 37 y halle la proyeccion su

proyeccion sobre el eje x.