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Universidad Nacional de La Plata
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Matematica
Aditividad de rangos deoperadores sobre espacios de
Hilbert
Autores:
Blas Fernandez
Julieta Lavie
Profesor:
Dr. Demetrio Stojanoff
28 de febrero de 2017
2
INDICE
Indice
1. Introduccion 3
2. Preliminares 5
2.1. Operadores de Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Operadores en Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert 13
3.1. Propiedades Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Angulos y Modulo Mınimo Reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. Angulos y Suma de subespacios cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2. Producto de operadores con rango cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Teorema de Factorizacion de Douglas 37
5. Operadores Positivos 45
6. Aditividad de Rangos 53
6.1. Teorema de Douglas y Aditividad de Rangos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7. Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos 63
7.1. Resultados de Bikchentaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2. Resultados de Arias, Corach y Gonzalez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.1. R(A) +R(B) es denso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.2. R(A) +R(B) es cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2.3. R(A) +R(B) = H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8. ¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ? 79
9. Proyecciones 91
10.Apendice 104
10.1. Proyecciones Oblicuas y Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1
INDICE
10.1.1. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.1.2. Ortogonalidad en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.1.3. Proyecciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.2. Inversas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.3. Modulo Mınimo Reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.Agradecimientos 143
2
Introduccion
1 Introduccion
El presente trabajo se encuentra basado en la exposicion dada por la Dra. Marıa Laura
Arias que tuvo lugar el 5 de septiembre de 2014 en el Instituto Argentino de Matematica
“Alberto P. Calderon”. La misma, desarrollada en el marco del Seminario de Analisis
Funcional “Mischa Cotlar”, abordo propiedades de la aditividad de rangos de operadores
sobre espacios de Hilbert.
Cabe destacar que, si bien este escrito siguio los lineamientos generales de aquella
disertacion, el mismo fue fundamentado por los artıculos “Additivity properties of operator
ranges” de Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M. C. [2] y “Range additivity, shorted
operator and the Sherman-Morrison-Woodbury formula” de Arias, M. L., Corach G. y
Maestripieri A. [3].
Las siguientes notas, destinadas a un lector con conocimientos basicos de Analisis Fun-
cional, fueron escritas detalladamente con el proposito de hacerlas lo mas autocontenidas
posible. Para ello, hemos consultado una amplia variedad de bibliografıa sobre temas afines
e incluso, incorporado, un apendice en el que se abordan tematicas indispensables para
la comprension de muchos de los resultados y/o demostraciones que se encuentran en las
mismas.
En el presente trabajo estudiaremos diferentes nociones que involucran la propiedad de
aditividad de rangos de operadores sobre un espacio de Hilbert como ası tambien deriva-
remos algunos resultados relativos a proyecciones oblicuas, pensados con el mismo espıritu
que las primeras. Haremos principal hincapie en la extension dada por Arias, Corach y
Gonzalez de un resultado de Bikchentaev [4] sobre invertibilidad de operadores a la adi-
tividad de rangos mostrando la utilidad de propiedades mas debiles que la invertibilidad
para el analisis de este concepto. Asimismo, para el optimo abordaje de las mismas, co-
menzaremos con el desarrollo de algunos topicos de Analisis Funcional esenciales para la
optima interpretacion de esta tematica entre las que se encuentran el Teorema de Douglas
[9] y una gran multiplicidad de propiedades sobre angulos entre subespacios cerrados [8]
y operadores positivos.
3
Introduccion
4
Preliminares
2 Preliminares
En esta seccion se detallaran algunas de las definiciones y resultados que hemos adqui-
rido durante el curso de Analisis Funcional, fundamentales para la lectura de este trabajo.
Para mayores detalles, recomendamos, al lector interesado, algunos de los libros clasicos
que nos han sido de utilidad para la comprension de estos temas como los escritos por
J.B. Conway [5] y W. Rudin [15]. Asimismo, es para destacar las notas realizadas por
los profesores E. Andruchow, G. Corach [6] y D. Stojanoff [16] que ademas de amigables,
tambien son una excelente fuente de consulta.
Solo a modo de organizacion, clasificaremos los primeros resultados de este trabajo
en dos grupos: los validos para operadores en espacios de Banach y los que se verifican
explıcitamnete para operadores en espacios de Hilbert.
2.1 Operadores de Espacios de Banach
Definicion:
Sea E un K − espacio vectorial. Diremos que una funcion ‖·‖E : E −→ R+ es una
norma, si para todo λ ∈ K y para todo par x, y ∈ E se cumplen las siguientes
condiciones:
a ‖λx‖E = |λ| ‖x‖E .
b ‖x+ y‖E ≤ ‖x‖E + ‖y‖E .
c ‖x‖E = 0 si y solo si x = ~0.
En tal caso, el par (E, ‖·‖E) se denomina espacio normado. Mas aun, si con la
metrica d : E × E −→ R+ inducida por la norma, i.e., d(x, y) = ‖x− y‖E , para
x, y ∈ E, es un espacio metrico completo, se llamara espacio de Banach.
5
Preliminares
Notacion
Sean E y F dos K− espacios vectoriales.
1 Notaremos BE := {x ∈ E : ‖x‖E = 1}.
2 Llamaremos Hom(E,F ) = {T : E −→ F : T es K− lineal} al espacio de transfor-
maciones lineales entre E y F .
3 Si T ∈ Hom(E,F ) y x ∈ E, escribiremos Tx en lugar de T (x) cuando sea posible.
4 Llamaremos:
a Ker(T ) := T−1({~0})
={x ∈ E : Tx = ~0
}⊆ E, al nucleo de T .
b R(T ) := T (E) = {Tx : x ∈ E} ⊆ F , al rango de T .
Observar que tanto Ker(T ) ⊆ E como R(T ) ⊆ F son K-subespacios vectoriales.
Definicion:
Sean E y F dos espacios normados. Se dice que el operador T ∈ Hom(E,F ) es
continuo si para toda sucesion {xn} ⊆ E tal que lımn−→+∞
xn = x se verifica que
lımn−→+∞
Axn = Ax.
Definicion:
Sean E y F dos espacios normados. Se dice que el operador T ∈ Hom(E,F ) es
acotado si para todo x ∈ E existe M > 0 tal que ‖Tx‖F ≤M ‖x‖E .
Definicion:
Sean E y F dos espacios normados. Llamaremos L(E,F ) al conjunto de operadores
lineales y acotados T ∈ Hom(E,F ) que resulta ser un espacio normado con la suma
y el producto por escalares definidos punto a punto y la norma
‖T‖L(E,F ) := supx∈BE
‖Tx‖F .
6
Preliminares
!
Observacion:
Dados E y F dos espacios normados, consideremos un operador no nulo
T ∈ Hom(E,F ). Ası se verifica que T es continuo sı y solo si ‖T‖L(E,F ) <
+∞. En tal caso,
‖T‖L(E,F ) = mın{c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E ∀x ∈ E \ {~0}}.
En efecto:
Sea C = {c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E ∀x ∈ E \ {~0}} ⊆ R. Notar que
‖T‖L(E,F ) > 0 y ademas, para todo x ∈ E \ {~0}, ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E pues:∥∥∥∥T ( x
‖x‖E
)∥∥∥∥F
=‖Tx‖F‖x‖E
≤ supw∈BF
‖Tw‖F = ‖T‖L(E,F ).
En consecuencia, ‖T‖L(E,F ) ∈ C. De esta manera,
‖T‖L(E,F ) = sup{‖Tx‖F : x ∈ BE}
= mın {c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c ∀x ∈ BE}
= mın
{c > 0 :
∥∥∥∥T ( x
‖x‖E
)∥∥∥∥F
≤ c ∀x ∈ E \ {~0}}
= mın
{c > 0 :
‖Tx‖F‖x‖E
≤ c ∀x ∈ E \ {~0}}
= mın{c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E ∀x ∈ E \ {~0}
}.
Definicion:
Dados E, F y G espacios normados, sean T ∈ Hom(E,F ) y S ∈ HomF,G. Se
denomina producto de S con T al operador composicion S ◦ T ∈ Hom(E,G),
i.e., al operador definido por STx = S(Tx) para cada x ∈ E.
!
Observacion:
Dados E, F y G espacios normados, sean T ∈ L(E,F ) y S ∈ L(F,G).
Luego, es claro que ST ∈ L(E,G). Mas aun,
‖ST‖L(E,G) = supx∈BE
‖STx‖G ≤ ‖S‖L(F,G) ‖T‖L(E,F ) .
7
Preliminares
Teorema 2.1
Sean E y F dos espacios normados y L(E,F ) el conjunto de operadores lineales y
acotados T ∈ Hom(E,F ). Luego,
si F es un espacio de Banach entonces L(E,F ) es un espacio de Banach.
Teorema 2.2 (Imagen Abierta)
Sean E y F dos espacios de Banach. Luego,
si T ∈ L(E,F ) es suryectivo entonces T es abierto.
Es decir que T (U) es abierto en F para todo U que sea abierto en E.
Corolario 2.1 (Teorema de la Funcion Inversa)
Sean E y F dos espacios de Banach. Luego,
si T ∈ L(E,F ) es biyectivo entonces T−1 ∈ L(F,E).
Definicion:
Sean E y F dos espacios normados y T : E −→ F un operador K− lineal. Se llama
grafico de T al conjunto:
Gr(T ) := {(x, y) ∈ E × F : x ∈ E e y = Tx} = {(x, Tx) : x ∈ E} ⊆ E × F .
Teorema 2.3 (Grafico Cerrado)
Sean E y F dos espacios de Banach y sea T ∈ Hom(E,F ). Luego,
si Gr(T ) v E × F entonces T ∈ L(E,F ).
8
Preliminares
2.2 Operadores en Espacios de Hilbert
Definicion:
Sea H un K-espacio vectorial. Se llama producto interno sobre H a una funcion
〈., .〉 : H×H → K que es sesquilineal, hermitiana y definida positiva, i.e., que para
cada x, y, z ∈ H, λ ∈ K, cumple las siguientes condiciones:
1 〈λx+ y, z〉 = λ 〈x, y〉+ 〈y, z〉 ∧ 〈x, λy + z〉 = λ 〈x, y〉+ 〈x, z〉.
2 〈x, y〉 = 〈y, x〉.
3 ‖x‖2H := 〈x, x〉 ≥ 0 ∧ ‖x‖2H := 〈x, x〉 = 0⇐⇒ x = ~0.
Proposicion 2.1
Sea (H, 〈., .〉) un K− espacio vectorial con un producto interno asociado.
1 Dados x, y ∈ H y λ ∈ K se cumple que
0 ≤ ‖x+ λy‖2H = 〈x+ λy, x+ λy〉 = ‖x‖2H + 2Re(〈x, λy〉) + |λ|2 ‖y‖2H.
2 Igualdad del Paralelogramo
‖x+ y‖2H + ‖x− y‖2H = 2 ‖x‖2H + 2 ‖y‖2H ∀ x, y ∈ H.
3 Desigualdad de Cauchy-Schwarz
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖H ‖y‖H ∀ x, y ∈ H.
4 La funcion ‖·‖H : H × H −→ R+ definida como ‖x‖H = 〈x, x〉1/2 para cada
x ∈ H es una norma.
Definicion:
Sea (H, 〈., .〉) un K − espacio vectorial con un producto interno asociado. El par
(H, ‖·‖H) se denomina Espacio Pre-Hilbert. Mas aun, si con la metrica inducida
por la norma llegara a ser un espacio de Banach se denomina Espacio de Hilbert.
9
Preliminares
Definicion:
Sean H y K dos espacios de Hilbert. Se denomina adjunto de T al unico operador
T ∗ ∈ L(K,H) tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉 para todo par (x, y) ∈ H ×K.
Proposicion 2.2
Dados H1,H2,H3 espacios de Hilbert, sean S ∈ L(H1,H2) y T ∈ L(H2,H3). Se
verifican:
1 (ST )∗ = T ∗S∗ y (S∗)∗ = S.
2 (αS + βT )∗ = αS∗ + βT ∗ para α, β ∈ C.
3 ‖S∗‖L(H2,H1)= ‖S‖L(H1,H2)
y ‖S∗S‖L(H1)= ‖S‖2L(H1,H2)
.
Proposicion 2.3
Dados H y K espacios de Hilbert, sea T ∈ L(H,K). Se verifican:
1 Ker(T ∗) = R(T )⊥ v K.
2 R(T ∗) = (Ker(T ))⊥ v H.
Definicion:
Dado un espacio de Hilbert H, sea T ∈ L(H). Diremos que:
1 T es Normal si TT ∗ = T ∗T , o sea si T y T ∗ conmutan.
2 T es Autoadjunto o Hermitiano si T = T ∗.
3 T es Positivo si es autoadjunto y 〈Tx, x〉 ≥ 0 para cada x ∈ H.
10
Preliminares
Notacion
Sea H un espacio de Hilbert.
1 Notaremos A(H) := {T ∈ L(H) : T = T ∗}.
2 Llamaremos L(H)+ := {T ∈ L(H) : T ≥ 0} ⊆ A(H).
3 Denominaremos Gl(H) :={T ∈ L(H) : Ker(T ) =
{~0}∧R(T ) = H
}.
Proposicion 2.4
Dado un espacio de Hilbert H, sea T ∈ L(H). Son equivalentes:
1 T ∈ Gl(H).
2 T ∗ ∈ Gl(H).
3 Los operadores T y T ∗ son acotados inferiormente.
4 Los operadores T y T ∗ son biyectivos y tienen rango cerrado.
Mas aun, si alguna de la condiciones anteriores se verifica, las acciones de invertir y
adjuntar operadores conmutan. Es decir, (T ∗)−1 = (T−1)∗.
11
Preliminares
12
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
3 Angulos entre subespacios cerrados de
un espacio de Hilbert
La nocion de angulo entre un par de subespacios cerrados en un espacio de Hilbert es
muy fructıfera ya que permite dar una interpretacion geometrica a lo que aparenta ser un
resultado puramente teorico o analıtico.
En esta seccion presentaremos dos definiciones diferentes de angulo entre un par de
subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, como ası tambien algunas propiedades y/o
resultados que se verifican para esas nociones. Ademas, mostraremos algunas aplicaciones
de estos conceptos que involucran la nocion de modulo mınimo reducido de un operador
como por ejemplo, establecer cuando la suma de dos subespacios cerrados tiene esa misma
caracterıstica y determinar bajo que condiciones el producto de dos operadores con rango
cerrado tambien es un operador con tal particularidad.
Cabe mencionar que todos los resultados expuestos fueron obtenidos de las notas es-
critas por F. Deutsch [8] que, sin duda, constituyen una excelente fuente de consulta sobre
este tema.
3.1 Propiedades Basicas
Empezaremos presentando el concepto de diferencia ortogonal entre dos subespacios
cerrados de un espacio de Hilbert y luego mostraremos algunas igualdades entre subespa-
cios necesarias para probar otros resultados.
Definicion:
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Se llama diferencia
ortogonal entre M y N al subespacio MN :=M∩ (M∩N )⊥.
Proposicion 3.1
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego,
M = (M∩N )⊕MN .
13
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Demostracion:
Como M ∩ N ⊆ M, por el Lema 10.3, PM y PM∩N conmutan. Luego, por el
Lema 10.5, M =M∩ (M∩N ) +M∩ (M∩N )⊥ =M∩N +MN . Mas aun,
N =M∩N ⊕N M puesto que M∩N ∩MN ={~0}
.
Proposicion 3.2
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego,
(MN ) + (N M) = (M+N ) ∩ (M∩N )⊥.
Demostracion:
(⊆) Sea z ∈ (MN )+(N M). Entonces, z = x+y con x ∈MN , y ∈ NM,
es decir que x ∈ M ∩ (M∩N )⊥ , y ∈ N ∩ (M∩N )⊥. De esta manera,
z = x+ y ∈ (M+N ) ∩ (M∩N )⊥.
(⊇) Sea z ∈ (M+N ) ∩ (M∩N )⊥. Ası, z = x + y con x ∈ M, y ∈ N . Ademas,
z ∈ (M∩N )⊥. En consecuencia,
z = P(M∩N )⊥z = P(M∩N )⊥x+ P(M∩N )⊥y
= P(M∩N )⊥PMx+ P(M∩N )⊥PN y
= PMP(M∩N )⊥x+ PNP(M∩N )⊥y
= PMNx+ PNMy.
Luego, z ∈ R(MN ) +R(N M) =MN +N M.
De la doble inclusion se deduce la igualdad.
Proposicion 3.3
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Entonces,
M+N = (MN ) + (N M) +M∩N .
14
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Demostracion:
En primer lugar, notar que:
(MN ) + (N M) +M∩N ⊆M+N +M∩N ⊆M+N .
Ahora bien, sea z ∈M+N . Luego, z = x+ y con x ∈M, y ∈ N . De esta manera,
z = PM∩N z + P(M∩N )⊥z
= PM∩N z + P(M∩N )⊥x+ P(M∩N )⊥y
= PM∩N z + P(M∩N )⊥PMx+ P(M∩N )⊥PN y
= PM∩N z + PMP(M∩N )⊥x+ PNP(M∩N )⊥y
= PM∩N z + PMNx+ PNMy.
Ası, z ∈ R(MN ) + R(N M) + R(M∩N ) =MN +N M+M∩N lo
que prueba que M+N ⊆MN +N M+M∩N .
De la doble inclusion se deduce la igualdad.
Ahora daremos a conocer los conceptos de angulo entre pares de subespacios cerrados
de un espacio de Hilbert:
Definicion:
[Dixmier] SeanM, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. El angulo
mınimo entre M y N es el angulo θ0(M,N ) ∈[0, π2
]cuyo coseno coincide con:
c0(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BM, y ∈ BN } .
Definicion:
[Friedrichs] Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. El
angulo entre M y N es el angulo θ(M,N ) ∈[0, π2
]cuyo coseno esta definido
por:
c(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM} .
En realidad, Dixmier le atribuye a Friedrichs la definicion de angulo mınimo entre un
par de subespacios de un espacio de Hilbert pero, la definicion de Dixmier no es la misma
que la de Friedrichs en general, aunque obviamente coinciden cuando M∩N = {0}.
15
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Ademas, por consideraciones geometricas, es natural introducir el siguiente concepto:
Definicion:
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. El seno del angulo
de Friedrichs entre M y N coincide con:
s(M,N ) := d(M,BN ) = ınf{‖x− y‖H : x ∈M, y ∈ BN }.
A continuacion incluiremos algunas consecuencias inmediatas de las definiciones ante-
riores entre las que se destacan determinadas identidades entre los angulos de Friedrichs
y Dixmier como ası tambien, el calculo de los mismos mediante proyecciones ortogonales
adecuadas.
Lema 3.1Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego,
1 0 ≤ c(M,N ) ≤ c0(M,N ) ≤ 1.
2 Simetrıa:
a c(M,N ) = c(N ,M).
b c0(M,N ) = c0(N ,M).
3 c(M,N ) = c0(MN ,N M).
4 c(M,N ) = c(MN ,N ) = c(M,N M) = c(MN ,N M).
Demostracion:
1 Sale directo de la definicion que 0 ≤ c(M,N ), c0(M,N ) ≤ 1. Ademas, basta
observar que MN ⊆ M y N M ⊆ N para comprobar la desigualdad
c(M,N ) ≤ c0(M,N ). En consecuencia, 0 ≤ c(M,N ) ≤ c0(M,N ) ≤ 1.
2 Es claro, teniendo en cuenta que |〈x, y〉| =∣∣∣〈y, x〉∣∣∣ = |〈y, x〉| ∀ x, y ∈ H.
3 Consecuencia inmediata de la definicion. En efecto:
c(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM} = c0(MN ,N M).
16
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
4 Observar primero que:
(MN )N = MN ∩ (MN ∩N )⊥
= M∩ (M∩N )⊥ ∩ (M∩N ∩ (M∩N )⊥)⊥
= M∩ (M∩N )⊥ ∩{~0}⊥
= M∩ (M∩N )⊥ =MN . (1)
Ademas,
N (MN ) = N ∩ (MN ∩N )⊥
= N ∩ (M∩N ∩ (M∩N )⊥)⊥
= N ∩{~0}⊥
= N . (2)
Ahora bien, sean x, y ∈ H tales que:
x ∈ B(MN )N(1)= BMN e y ∈ BN(MN )
(2)= BN .
Por la Proposicion 3.1, N = N ∩M⊕ (N M) con lo cual y ∈ H se escribe
de manera unica como y = y1 + y2 con y1 ∈ N ∩M, y2 ∈ N M. Luego,
como M∩N ⊥MN resulta que:
|〈x, y〉| = |〈x, y1 + y2〉| = |〈x, y1〉+ 〈x, y2〉| = |〈x, y2〉| .
En consecuencia,
c(MN ,N ) = sup{|〈x, y〉| : x ∈ B(MN )N , y ∈ BN(MN )
}= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BN }
= sup {|〈x, y2〉| : x ∈ BMN , y2 ∈ BNM}
= c(M,N ).
Mas aun, por la simetrıa vista en (2) y por la igualdad anterior, se verifica
que:
c(M,N M) = c(N M,M) = c(N ,M) = c(M,N ).
17
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Por otro lado se tiene que:
(MN ) (N M) = (MN ) ∩ ((MN ) ∩ (N M))⊥
= (MN ) ∩(M∩N ∩ (M∩N )⊥
)⊥= (MN ) ∩
{~0}⊥
= MN . (3)
De la misma manera,
(N M) (MN ) = (N M). (4)
Sean x, y ∈ H tales que:
x ∈ B(MN )(NM)(3)= BMN e y ∈ B(NM)(MN )
(4)= BNM.
Luego, se tiene que:
c ((MN ) (N M)) = sup{|〈x, y〉| : x ∈ B(MN )(NM), y ∈ B(NM)(MN )
}= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM}
= c(M,N ).
Finalmente, resulta:
c(M,N ) = c(MN ,N ) = c(M,N M) = c(MN ,N M).
18
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Lema 3.2Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego:
1 c(M,N ) = c0(MN ,N ) = c0(M,N M).
2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz mejorada:
a |〈x, y〉| ≤ c0(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H ∀x ∈M, ∀y ∈ N .
b |〈x, y〉| ≤ c(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H ∀x ∈ M, ∀y ∈ N y al menos uno de
ellos en (M∩N )⊥.
3 Calculo del angulo de Dixmier mediante proyecciones ortogonales:
c0(M,N ) = ‖PMPN ‖L(H) = ‖PMPNPM‖1/2L(H) .
4 Calculo del angulo de Friedrichs mediante proyecciones ortogonales:
c(M,N ) = ‖PMPN − PM∩N ‖L(H)
=∥∥∥PMPNP(M∩N )⊥
∥∥∥L(H)
=∥∥∥PMP(M∩N )⊥PNP(M∩N )⊥
∥∥∥L(H)
.
5 c0(M,N ) = 0 sı y solo sı M⊥ N .
6 c(M,N ) = 0 sı y solo sı PM y PN conmutan.
Demostracion:
1 Como M∩N ⊆M se tiene que M⊥ ⊆ (M∩N )⊥. Luego, por el Lema 10.3,
PM⊥ y P(M∩N )⊥ conmutan. Ası, por el Lema 10.5, PM conmuta con P(M∩N )⊥ .
En consecuencia, por el Lema 10.1, PMP(M∩N )⊥ = P(M∩N )⊥PM = PMN es
una proyeccion ortogonal. Tambien, PNP(M∩N )⊥ = P(M∩N )⊥PN = PNM es
una proyeccion ortogonal.
Ahora bien, dados x ∈ BMN , y ∈ BNM resulta:
〈x, y〉 = 〈PMNx, PNMy〉
=⟨P(M∩N )⊥PMx, P(M∩N )⊥PN y
⟩=
⟨PMx, P
∗(M∩N )⊥P(M∩N )⊥PN y
⟩=
⟨PMx, P
2(M∩N )⊥PN y
⟩=
⟨PMx, P(M∩N )⊥PN y
⟩= 〈PMx, PNMy〉 .
19
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
De esta manera,
c(M,N ) = c0(MN ,N M)
= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM}
= sup {|〈PMx, PNMy〉| : x, y ∈ BH}
= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BM, y ∈ BNM}
= c0(M,N M).
Mas aun, por la simetrıa y la igualdad anterior se verifica que:
c(M,N ) = c(N ,M) = c0(N ,MN ) = c0(MN ,N ).
Por lo tanto,
c(M,N ) = c0(MN ,N ) = c0(M,N M).
2 a Sean x ∈ M, y ∈ N . Supongamos que ‖x‖H ‖y‖H = 0. De esta mane-
ra, como ~0 ∈ {x, y} resulta que 〈x, y〉 = 0 = c0(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H . En
cambio, si ‖x‖H ‖y‖H 6= 0,
|〈x, y〉|‖x‖H ‖y‖H
=
∣∣∣∣⟨ x
‖x‖H,
y
‖y‖H
⟩∣∣∣∣ ≤ c0(M,N ).
Ası, |〈x, y〉| ≤ c0(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H .
b Sean x ∈M, y ∈ N M. Luego, por los ıtems 2.(a) y 1 resulta que:
|〈x, y〉| ≤ c0(M,N M) ‖x‖H ‖y‖H = c(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H .
Analogamente, si x ∈MN , y ∈ N entonces:
|〈x, y〉| ≤ c0(MN ,N ) ‖x‖H ‖y‖H = c(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H .
3 En primer lugar notar que:
c0(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BM, y ∈ BN }
= sup {|〈PMx, PN y〉| : x, y ∈ BH}
= sup {|〈x, PMPN y〉| : x, y ∈ BH}
= ‖PMPN ‖L(H) .
20
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Ademas, de lo anterior y del hecho de que cualquier operador P ∈ L(H) cum-
ple ‖P ∗P‖L(H) = ‖P‖2L(H) se deduce la segunda igualdad. En efecto, tomando
P = PMPN , se tiene que:
P ∗P = (PMPN )∗ PMPN = P ∗NP∗MPMPN
= PNP2MPN = PNPMPN .
En consecuencia,
c0(M,N ) = ‖P‖L(H) = ‖P ∗P‖1/2L(H) = ‖PMPNPM‖1/2L(H) .
4 Como consecuencia directa de los resultados anteriores se tiene que:
PMNPNM = PMP(M∩N )⊥P(M∩N )⊥PN
= PMP2(M∩N )⊥PN = PMP(M∩N )⊥PN
= PMPNP(M∩N )⊥ .
Ademas,
PMPNP(M∩N )⊥ = PMPN (I − PM∩N )
= PMPN − PMPNPM∩N = PMPN − P 2M∩N
= PMPN − PM∩N .
Por lo tanto,
c(M,N ) = c0(MN ,N M) = ‖PMNPNM‖L(H)
=∥∥∥PM∩(M∩N )⊥PN∩(M∩N )⊥
∥∥∥L(H)
=∥∥∥PMPNP(M∩N )⊥
∥∥∥L(H)
= ‖PMPN − PM∩N ‖L(H) .
5 Por el ıtem 3 y el Lema 10.2,
c0(M,N ) = 0⇐⇒ ‖PMPN ‖L(H) = 0⇐⇒ PMPN = O ⇐⇒M⊥ N .
6 Por el ıtem 4 y el Lema 10.1,
c(M,N ) = 0 ⇐⇒ ‖PMPN − PM∩N ‖L(H) = 0⇐⇒ PMPN − PM∩N = O
⇐⇒ PMPN = PM∩N ⇐⇒ PMPN = PNPM.
21
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
El siguiente resultado muestra una relacion entre el seno de Friedrichs de dos subes-
pacios cerrados con el seno del angulo formado por uno de ellos y su diferencia ortogonal.
Proposicion 3.4
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Entonces,
s(M,N ) = s(M,N M).
Demostracion:
Notar que M∩N ⊥ M⊥. Ası, por Lema 10.2, PM⊥PM∩N = O. Ademas, de los
Lemas 10.2 y 10.4 y la Proposicion 3.1, se tiene que PN = PM∩N + PNM con lo
cual PM⊥PN = PM⊥PNM. De esta manera:
s(M,N M) = d(M,BNM) = ınfx∈BNM
d(M, x)
= ınfx∈BNM
‖x− PMx‖H = ınfx∈BNM
‖PM⊥x‖H
= ınfx∈BH
‖PM⊥PNMx‖H = ınfx∈BH
‖PM⊥PNx‖H
= ınfx∈BN
‖PM⊥x‖H = ınfx∈BN
‖x− PMx‖H
= ınfx∈BN
d(M, x) = d(M,BN ) = s(M,N ).
Como veremos en lo que sigue, existe una generalizacion para angulos entre subespacios
cerrados de un espacio de Hilbert de la bien conocida identidad pitagorica.
Proposicion 3.5
Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego,
c(M,N )2 + s(M,N )2 = 1.
Demostracion:
Sea x ∈ H tal que ‖x‖H = 1. Como x = PMx + (I − PM)x y PMx ⊥ (I − PM)x,
por Pitagoras se tiene que ‖x‖2H = ‖PMx‖2H + ‖(I − PM)x‖2H = 1.
Ahora bien, supongamos que M ∩ N = {~0}. Luego, PM∩N = O puesto que
22
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Ker(PM∩N ) = (M∩N )⊥ = {~0}⊥ = H. De esta manera, uilizando el Lema 3.2,
s(M,N )2 = d(M,BN )2 = ınfx∈BN
d(M, x)2 = ınfx∈BN
‖x− PMx‖2H
= ınfx∈BN
(1− ‖PMx‖2H) = 1− supx∈BN
‖PMx‖2H
= 1− supx∈BN
‖PM(PNx)‖2H = 1− supx∈BN
‖PMPNx‖2H
= 1− ‖PMPN ‖2L(H) = 1− ‖PMPN − PM∩N ‖2L(H)
= 1− c(M,N )2.
Supongamos queM∩N 6= {~0}. Luego,M∩ (N M) =M∩N ∩ (M∩N )⊥ = {~0}
por lo que c(M,N M)2 + s(M,N M)2 = 1. Ası, por la Proposicion 3.4 y el
Lema 3.1 resulta que c(M,N )2+s(M,N )2 = c(M,N M)2+s(M,N M)2 = 1.
Corolario 3.1Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Ası,
s(M,N ) = s(N ,M).
Demostracion:
Se sigue de la Proposicion 3.5 al notar que c(M,N ) = c(N ,M).
Dados M, N subespacios cerrados no triviales de un espacio de Hilbert H, es posible
dar una caracterizacion del seno del angulo de Friedrichs entre ellos en terminos de la
norma, en L(H), de ciertos operadores asociados a los mismos. Para la prueba de este
resultado, vale la pena recordar que, dado un operador no nulo T ∈ L(H), se verifica:
‖T‖L(H) = mın{c > 0 : ‖Tx‖H ≤ c · ‖x‖H ∀x ∈ H \ {~0}}.
Ademas, para el lector desprevenido, es elemental el siguiente comentario previo:
23
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
!
Observacion:
SeanM, N v H subespacios no triviales de un espacio de Hilbert H tales
que H =M⊕N . Luego, ınf C · ınf D = 1, siendo
C =
{c > 0 : ‖m+ n‖H ≥
1
c∀m ∈ BM ∀n ∈ N
}⊆ R,
D = {‖m+ n‖H : ∀m ∈ BM ∀n ∈ N} ⊆ R.
En efecto, notar que C y D son conjuntos de numeros reales no vacıos y
acotados inferiormente lo que asegura la existencia de ınf C y ınf D. Sean
α = ınf C y β = ınf D. Ahora bien, dado c ∈ C se tiene que α ≤ c.
Ademas, c > 0 y ‖m+ n‖H ≥1c ∀m ∈ BM ∀n ∈ N con lo cual
1c ≤ β. Es decir, 1
β ≤ c. Ademas,(β−1
)−1= β ≤ ‖m+ n‖H con lo que
β−1 ∈ C. Ası, α ≤ β−1. Mas aun, β−1 ≤ α. Por lo tanto, α · β = 1.
Corolario 3.2Sean M, N subespacios cerrados no triviales de un espacio de Hilbert H tales que
H =M⊕N . Luego,
‖PM//N ‖L(H) =(
1− ‖PMPN ‖2L(H)
)− 12
= s(M,N )−1.
Demostracion:
Como H =M⊕N entonces M∩N = {~0}. Ası, PM∩N = O y utilizando el Lema
3.2 se tiene que c(M,N ) = ‖PMPN ‖L(H). De esta manera, por la Proposicion 3.5:
s(M,N )−1 = (1− c(M,N ))−12 = (1− ‖PMPN ‖L(H))
− 12 .
Por otro lado, como PM//N es un operador no nulo L(H), se verifica que:
‖PM//N ‖L(H) = ınf{ρ > 0 : ‖PM//Nx‖H ≤ ρ · ‖x‖H ∀x ∈ H}
= ınf{ρ > 0 : ‖m‖H ≤ ρ · ‖m+ n‖H ∀m ∈M ∀n ∈ N}
= ınf{ρ > 0 : 1 ≤ ρ · ‖m+ n‖H ∀m ∈ BM ∀n ∈ N}
= ınf{ρ > 0 : ‖m+ n‖H ≥1
ρ∀m ∈ BM ∀n ∈ N}
= d(N ,BM)−1 = s(N ,M)−1 = s(M,N )−1.
En consecuencia,
‖PM//N ‖L(H) = s(M,N )−1 =(
1− ‖PMPN ‖2L(H)
)− 12.
24
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
3.2 Angulos y Modulo Mınimo Reducido
Dado un operador no nulo A ∈ L(H1,H2), se llama modulo mınimo reducido de
A al valor γ(A) := ınf{‖Ax‖H2
: x ∈ Ker(A)⊥ ∧ ‖x‖H1= 1}
.
Cabe destacar que hemos incluido en el apendice de este trabajo una presentacion, con
mayores detalles, de este nuevo concepto destinada principalmente al lector no familiari-
zado con el mismo.
A continuacion, veremos algunas aplicaciones de las nociones de angulo entre subespa-
cios que involucran esta nueva definicion entre las cuales destacamos determinar cuando
la suma de dos subespacios cerrados en un espacio de Hilbert es cerrada en terminos del
coseno de Friedrichs de dichos subespacios, como ası tambien, dar a conocer bajo que
condiciones el producto de dos operadores con rango cerrado es un operarador con tal
caracterıstica.
3.2.1 Angulos y Suma de subespacios cerrados
Con el objetivo de establecer resultados sobre angulos y suma de subespacios cerrados
empezaremos mencionando aquellos que seran de utilidad para dedudir los primeros.
La siguiente proposicion sera conveniente a la hora de tratar de caracterizar el angulo
entre dos subespacios cerrados de un espacio de Hilbert en terminos del modulo mınimo
reducido de algun operador adecuado.
Proposicion 3.6
Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Entonces,
Ker(PM⊥PN ) = (M∩N )⊕N⊥.
Demostracion:
Como N v H, por la Proposicion 10.13, H = N ⊕N⊥. Ası, todo x ∈ H se escribe
de manera unica como x = PNx + (x− PNx) con PNx ∈ N y x − PNx ∈ N⊥.
Ademas, si x ∈ Ker(PM⊥PN ) entonces se cumple que PM⊥PNx = PM⊥ (PNx) = ~0
con lo cual PNx ∈ Ker(PM⊥) = M. En consecuencia, PNx ∈ M ∩ N con lo
cual x ∈ (M∩N ) +N⊥. Esto muestra que Ker(PM⊥PN ) ⊆ (M∩N ) +N⊥. Por
otro lado, como M∩N ⊥ N⊥, por el Lema 10.2, PM∩NPN⊥ = PN⊥PM∩N = O
25
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
con lo cual PM∩N y PN⊥ conmutan. Ası, por el Lema 10.4, (M∩N ) + N⊥ es
cerrado y P(M∩N )+N⊥ = PM∩N + PN⊥. Ademas, por el Lema 10.3, se verifica que
PMPM∩N = PM∩N = PNPM∩N . De esta manera,
PM⊥PNP(M∩N )+N⊥ = PM⊥PN(P(M∩N ) + PN⊥
)= PM⊥PNP(M∩N ) + PM⊥PNPN⊥
= PM⊥PMP(M∩N ) + PM⊥PNPN⊥
= O · P(M∩N ) + PM⊥ ·O = O.
Ası, dado z ∈ (M∩N ) +N⊥, z = P(M∩N )+N⊥z con lo cual z ∈ Ker (PM⊥PN )
ya que PM⊥PN z = PM⊥PNP(M∩N )+N⊥z = ~0. En consecuencia se cumple que
(M∩N ) +N⊥ ⊆ Ker (PM⊥PN ). De la doble inclusion, se deduce la igualdad.
Ademas, (M∩N ) ∩N⊥ ={~0}
. Por lo tanto, Ker(PM⊥PN ) = (M∩N )⊕N⊥.
Ası, podemos expresar el seno del angulo de Friedrichs entre dos subespacios cerrados
en terminos del modulo mınimo reducido de un operador asociado a los mismos.
Proposicion 3.7
Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H tales que PM⊥PN 6= O. Luego,
γ(PM⊥PN ) = s(M,N ).
Demostracion:
Sean M,N v H tales que PM⊥PN 6= O. Ası, por las Proposiciones 10.11 y 3.6,
Ker(PM⊥PN )⊥ = N ∩ (M∩N )⊥ = N M. Luego, por la Proposicion 3.4,
γ (PM⊥PN ) = ınf{‖PM⊥PNx‖H : x ∈ Ker(PM⊥PN )⊥ ∧ ‖x‖H = 1
}= ınf {‖PM⊥PNx‖H : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}
= ınf {‖PM⊥x‖H : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}
= ınf {‖x− PMx‖H : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}
= ınf {d(M, x) : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}
= d (M,BNM) = s (M,N M)
= s(M,N ).
26
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Como consecuencia de la caracterizacion antes vista y de propiedades inmediatas del
modulo mınimo reducido de un operador no nulo, veremos que relacion existe entre el
coseno de Friedrichs de dos subespacios cerrados de un espacio de Hilbert con el de sus
subespacios ortogonales.
Proposicion 3.8
Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Luego,
c (M,N ) = c(M⊥,N⊥
).
Demostracion:
Sean M,N v H. Supongamos que PM⊥PN = (I − PM)PN = O. Luego, por el
Lema 10.3, se tiene que N ⊆ M pues PMPN = PN . Notar que M ∩ N = N
y como M⊥ ⊆ N⊥, N ∩ M⊥ ⊆ N ∩ N⊥ ={~0}
con lo cual se obtiene que
N ∩M⊥ ={~0}
. Ası, M∩N +N ∩M⊥ = N . De esta manera, por el Lema 10.5,
las proyecciones PM y PN conmutan. Entonces, por el Lema 3.2, c (M,N ) = 0. Del
mismo modo, por el Lema 10.5, las proyecciones PM⊥ y PN⊥ conmutan. Entonces,
por el Lema 3.2, c(M⊥,N⊥
)= 0. Es decir que, c (M,N ) = c
(M⊥,N⊥
)= 0.
Ahora bien, supongamos que PM⊥PN 6= O. Luego, por las Proposiciones 10.20 y
3.7 y el Corolario 3.1,
s(M⊥,N⊥
)= γ (PMPN⊥) = γ ((PMPN⊥)∗)
= γ(P ∗N⊥P
∗M)
= γ (PN⊥PM)
= s(N ,M) = s(M,N ).
En consecuencia, por la Proposicion 3.5,
c(M,N ) =[1− s(M,N )2
]1/2=[1− s(M⊥,N⊥)2
]1/2= c(M⊥,N⊥).
Ahora bien, dados dos subespacios cerrados en un espacio de Hilbert, puede ser de
utilidad saber si el subespacio suma tambien es cerrado. Por eso, en los proximos resultados
mostraremos como las nociones de angulo entre un par de subespacios cerrados de un
espacio de Hilbert permiten dar facilmente una respuesta a esta cuestion.
27
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Teorema 3.1Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Son equivalentes:
1 c0(M,N ) < 1.
2 M∩N = {~0} y M+N es cerrado.
3 Existe una constante ρ > 0 tal que ‖x+ y‖H ≥ ρ ‖y‖H ∀ x ∈M, y ∈ N .
4 s(M,N ) > 0.
Demostracion:
Llamaremos c0 := c0(M,N ). Luego, por el Lema 3.2 tenemos que:
|〈x, y〉| ≤ c0‖x‖H‖y‖H ∀x ∈M, ∀y ∈ N .
Ası, dados x ∈M, y ∈ N resulta:
‖x+ y‖2H = ‖x‖2H + 2Re(〈x, y〉) + ‖y‖2H
≥ ‖x‖2H − 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2H
≥ ‖x‖2H − 2c0‖x‖H‖y‖H + ‖y‖2H
= (‖x‖H − ‖y‖H)2 + 2(1− c0)‖x‖H‖y‖H. (5)
(1) =⇒ (2) Asumamos que c0 < 1. Es claro que {~0} ⊆ M ∩ N . Supongamos que
existe z ∈ M ∩ N \ {~0}. Luego, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz
mejorada:
1 =1
‖z‖2H‖z‖2H =
1
‖z‖2H〈z, z〉 =
⟨z
‖z‖2H,
z
‖z‖2H
⟩≤ c0 < 1.
Esta contradiccion proviene de suponer queM∩N * {~0}. Ası,M∩N = {~0}.
Por otro lado, dado z ∈ M+N , existe una sucesion {zn}n∈N ⊆ M + N
tal que ‖zn − z‖H −−−−−→n→+∞
0. Notemos que para cada n ∈ N, existen unicos
xn ∈M, yn ∈ N tales que zn = xn + yn. Luego, por (5), para cada n ∈ N:
‖zn‖2 = ‖xn + yn‖2H ≥ (‖xn‖H − ‖yn‖H)2 + 2(1− c0)‖xn‖H‖yn‖H
Ademas, como {zn}n∈N es convergente, su rango esta acotado. Luego, existe
K > 0 tal que ‖zn‖H ≤ K para cada n ∈ N. Mas aun:
2(1− c0)‖xn‖H‖yn‖H ≤ ‖zn‖2 ≤ K
(‖xn‖H − ‖yn‖H)2 ≤ ‖zn‖2 ≤ K
28
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
En consecuencia, existen K1,K2 > 0 tales que:
‖xn‖H‖yn‖H ≤ K1
‖xn‖H − ‖yn‖H ≤ K2
Por este motivo, las sucesiones {‖xn‖H}n∈N , {‖yn‖H}n∈N son acotadas ya que,
por ejemplo,
‖xn‖2H ≤ ‖xn‖2H + ‖yn‖2H = (‖xn‖H − ‖yn‖H)2 + 2‖xn‖H‖yn‖H.
Luego, existen subsucesiones {xnk}k∈N, {ynk
}k∈N debilmente convergentes.
Ası, por el Teorema de Alaoglu, existen x ∈M e y ∈ N tales que xnk
w // x
y ynk
w // y . De esta manera, znk
w // x+ y . Como lımn−→+∞
znk= z, por
la unicidad del lımite debil, tenemos que z = x + y ∈ M + N . Esto prueba
que M+N ⊆M+N . Por lo tanto, M⊕N es un subespacio cerrado de H.
(2) =⇒ (3) Como M+N es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H se
sigue que M +N , con el producto interno inducido por H, es un espacio de
Hilbert. Sea S :=M+N . Dado que M∩N ={~0}
, por la Proposicion 10.4,
existe un unico proyector Q : S −→ S tal que R(Q) = M y Ker(Q) = N ,
es decir que Q = PM//N . Dado que Ker(Q) = N 6= H, Q es un operador
no nulo de L(S) con lo cual ‖Q‖L(S) > 0. Mas aun, por la Proposicion 10.7,
Q ∈ P(S). Ahora bien, dados x ∈M, y ∈ N resulta que:
‖x‖H = ‖x‖S = ‖Q(x+ y)‖S ≤ ‖Q‖L(S) · ‖x+ y‖S = ‖Q‖L(S) · ‖x+ y‖H.
De esta manera, ‖x‖H · ‖Q‖−1L(S) ≤ ‖x+ y‖H para cada x ∈M, y ∈ N . Por lo
tanto, ρ := ‖Q‖−1L(S) cumple la condicion.
(3) =⇒ (4) Supongamos que existe ρ > 0 tal que ‖x+ y‖H ≥ ρ ‖y‖H para cada
x ∈ M, y ∈ N . En particular, ‖x− y‖H ≥ ρ para cada x ∈ M, y ∈ BN .
De esta manera se verifica que d(M, y) = ınfx∈M
‖x− y‖H ≥ ρ > 0 para cada
y ∈ BN . En consecuencia, s(M,N ) = d(M,BN ) = ınfy∈BN
d(M, y) ≥ ρ > 0.
(4) =⇒ (1) Sea ρ := s(M,N ) = d(M,BN ) > 0. Supongamos que c0(M,N ) = 1.
De esta manera, existen sucesiones {xn}n∈N en BM y {yn}n∈N en BN tales que
29
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
|〈xn, yn〉| −−−−−→n→+∞
1. Ahora bien, dados xn ∈ BM, yn ∈ BN , existe θn ∈ [0, 2π)
de modo que 〈xn, yn〉 = |〈xn, yn〉| eiθn . Para cada n ∈ N, sea zn = eiθnyn. Notar
que zn ∈ N pues eiθn ∈ C e yn ∈ N . Mas aun, ‖zn‖H =∣∣eiθn∣∣ ‖yn‖H = 1 de
modo que zn ∈ BN . Ası, se verifica que:
〈xn, zn〉 =⟨xn, e
iθnyn
⟩= e−iθn 〈xn, yn〉 = |〈xn, yn〉| .
Ası, lımn→+∞
〈xn, zn〉 = lımn→+∞
|〈xn, yn〉| = 1 por lo que lımn→+∞
Re (〈xn, zn〉) = 1.
En consecuencia,
0 < ρ2 ≤ ‖xn − zn‖2H = ‖xn‖2H − 2Re 〈xn, zn〉+ ‖zn‖2H = 2(1−Re 〈xn, zn〉)
con lo cual lımn−→∞
1−Re 〈xn, yn〉 > 0 que es una contradiccion. Por lo tanto,
como s(M,N ) > 0 debe ser c0(M,N ) < 1.
Teorema 3.2Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Son equivalentes:
1 c(M,N ) < 1.
2 MN +N M es cerrado.
3 M+N es cerrado.
4 M⊥ +N⊥ es cerrado.
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Como c(M,N ) = c0(M N ,N M) y ademas, se verifica que
(MN ) ∩ (N M) = (M∩N ) ∩ (M∩N )⊥ = {~0}, por el Teorema 3.1, se
tiene que c(M,N ) < 1 sı y solo sı MN +N M es cerrado.
(2) =⇒ (3) Supongamos que M N + N M es cerrado. Como se verifica que
MN +N M ⊆ (M∩N )⊥, el Lema 10.4 y la Proposicion 3.3 aseguran
que MN +N M+M∩N =M+N es cerrado.
30
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
(3) =⇒ (2) Supongamos que M + N es cerrado. Luego, por la Proposicion 3.2,
MN +N M es cerrado por ser interseccion finita de conjuntos cerrados.
(3)⇐⇒ (4) Se deduce de (1)⇐⇒ (3) y de la Proposicion 3.8. En efecto:
M+N v H ⇐⇒ c(M,N ) = c(M⊥,N⊥) < 1⇐⇒M⊥ +N⊥ v H.
3.2.2 Producto de operadores con rango cerrado
Seguidamente, estudiaremos condiciones suficientes y necesarias que aseguran que el
producto de operadores con rango cerrado tambien tenga dicha caracterıstica.
En primer lugar, mencionaremos algunos resultados que seran de utilidad para deducir
tales condiciones.
La siguiente proposicion nos fascilita cotas, que involucran angulos entre subespacios
cerrados, para el modulo mınimo reducido del producto no nulo de un operador dado con
una proyeccion ortogonal.
Proposicion 3.9
Sean A ∈ L(H1,H2) yM un subespacio cerrado de H1 tales que APM 6= O. Luego,
γ(A) · s(Ker(A),M) ≤ γ(APM) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· s(Ker(A),M).
Demostracion:
Observar que, por la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa, el operador
A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl(Ker(A)⊥, R(A)). Ademas, para cada x ∈ H1,
A∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PMx = A
∣∣Ker(A)⊥
(PKer(A)⊥PMx
)= A
(PKer(A)⊥PMx
)= A
(PMx− PKer(A)PMx
)= APMx−A
(PKer(A)PMx
)= APMx
Luego, A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PM = APM. Ademas, notar que PKer(A)⊥PM 6= O
pues, si fuese el operador nulo, se tendrıa que PM = PKer(A)PM y, por el Lema 10.3,
M⊆ Ker(A) con lo cual APMx = ~0 para cada x ∈ H1, contradiciendo el hecho de
que APM 6= O. Ası, por la Proposicion 3.7, γ(PKer(A)⊥PM
)= s(Ker(A),M). De
31
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
esta manera, por las Proposiciones 10.18 y ?? resulta que:
γ(APM) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PM) = γ
(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥PM))
≤∥∥∥A ∣∣∣Ker(A)⊥ ∥∥∥L(Ker(A)⊥,R(A))
· γ(PKer(A)⊥PM
)= ‖A‖L(H1,H2)
· s(Ker(A),M).
Analogamente, por la Proposiciones 10.18 y 3.7,
γ(APM) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PM) = γ
(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥PM))
≥ γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ ) γ (PKer(A)⊥PM) = γ(A) · s(Ker(A),M).
Finalmente,
γ(A) · s(Ker(A),M) ≤ γ(APM) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· s(Ker(A),M).
El siguiente resultado, que es una consecuencia inmediata del anterior, establece cotas
para el modulo mınimo reducido del producto no nulo de dos operadores acotados.
Proposicion 3.10
Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado tales que
AB 6= O. Luego,
γ(A) · γ(B) · s(Ker(A), R(B)) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖B‖L(H3,H1)
· s(Ker(A), R(B)).
Demostracion:
Observar que, por la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa, el operador
A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl(Ker(A)⊥, R(A)). Ademas, para cada x ∈ H3,
A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥Bx = A
∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥Bx) = A(PKer(A)⊥Bx
)= A
(Bx− PKer(A)Bx
)= ABx−A
(PKer(A)Bx
)= ABx
En consecuencia, A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥B = AB. Ademas, notar que PKer(A)⊥B 6= O.
En efecto, si dicho operador fuese nulo, se tendrıa que B = PKer(A)B y, por el
Lema 10.3, B ⊆ Ker(A) con lo cual ABx = ~0 para cada x ∈ H3, contradiciendo
32
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
que AB 6= O. Ası, esta bien definido el valor γ(PKer(A)⊥B). Ahora bien, por las
Proposiciones 10.18, 10.20, 3.8 ?? y 3.9 y el Corolario 10.3,
γ(AB) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥B))
≤∥∥∥A ∣∣∣Ker(A)⊥ ∥∥∥L(Ker(A)⊥,R(A))
· γ(PKer(A)⊥B
)= ‖A‖L(H1,H2)
· γ((PKer(A)⊥B
)∗)= ‖A‖L(H1,H2)
· γ(B∗PKer(A)⊥
)≤ ‖A‖L(H1,H2)
· ‖B∗‖L(H1,H3)· s(Ker(B∗),Ker(A)⊥
)= ‖A‖L(H1,H2)
· ‖B∗‖L(H1,H3)· s(Ker(B∗)⊥,Ker(A)⊥⊥
)= ‖A‖L(H1,H2)
· ‖B‖L(H3,H1)· s (Ker(A), R(B))
De la misma manera,
γ(AB) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥B))
≥ γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ ) · γ ((PKer(A)⊥B)∗)
= γ (A) · γ(B∗PKer(A)⊥
)≥ γ(A) · γ(B∗) · s(Ker(B∗),Ker(A)⊥
= γ(A) · γ(B) · s (Ker(A), R(B)).
Por lo tanto,
γ(A) · γ(B) · s(Ker(A), R(B)) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖B‖L(H3,H1)
· s(Ker(A), R(B)).
A continuacion presentaremos una condicion sufifiente y necesaria, que involucra el
concepto de inversa generalizada de un operador, desarrollada por S. Izumino en [13],
para estudiar cuando el producto de dos operadores con rango cerrado es un operador con
tal propiedad.
Proposicion 3.11
Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado. Son equivelen-
tes:
1 AB ∈ L(H3,H2) tiene rango cerrado.
2 A†ABB† ∈ L(H1) tiene rango cerrado.
33
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Demostracion:
Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado. De esta
manera, existen A† ∈ IG(A) y B† ∈ IG(B) cumpliendo que A†A = PKer(A)⊥ y
BB† = PR(B) con lo cual A†ABB† = PKer(A)⊥PR(B). Ademas, como A y B son
operadores con rango cerrado, por la Proposicion 10.19, 0 < γ(A) ≤ ‖A‖L(H1,H2)y
0 < γ(B) ≤ ‖B‖L(H3,H1). Ahora bien:
(1) =⇒ (2) Supongamos que AB ∈ L(H3,H2) tiene rango cerrado. Luego, por la
Proposicion 10.19, γ(AB) > 0. Mas aun, por la Proposicion 3.10,
0 < γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖B‖L(H3,H1)
· s(Ker(A), R(B)).
Tambien, notar que, por la Proposicion 3.7,
s(Ker(A), R(B)) = γ(PKer(A)⊥PR(B)
)= γ
(A†ABB†
).
En consecuencia,
0 < γ(AB) · ‖A‖−1L(H1,H2)· ‖B‖−1L(H3,H1)
≤ γ(A†ABB†
).
Ası, por la Proposicion 10.19, el operador A†ABB† ∈ L(H1) tiene rango ce-
rrado.
(2) =⇒ (1) Supongamos que R(A†ABB†
)v H1. Entonces, por las Proposiciones
10.19 y 3.7, 0 < γ(A†ABB†
)= s(Ker(A), R(B)). Luego, por la Proposicion
3.10,
0 < γ(A) · γ(B) · s(Ker(A), R(B)) ≤ γ(AB).
En consecuencia, por la Proposicion 10.19, el operador AB ∈ L(H3,H2) tiene
rango cerrado.
Notar que Izumino redujo el problema de estudiar bajo que condiciones el producto de
dos operadores con rango cerrado tambien posee esa propiedad caracterizando cuando el
producto de dos proyecciones ortogonales adecuadas tiene rango cerrado pues, se verifica
que A†A = PKer(A)⊥ y BB† = PR(B). Esta ultima cuestion esta explicada detalladamente
en la seccion de inversas generalizadas que se encuentra en el apendice de este trabajo.
34
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
Por ultimo, en el siguiente resultado, se agrupan condiciones en terminos de angulos
y suma de subespacios cerrados que resultan ser equivalentes al hecho de que el producto
de dos operadores con rango cerrado tambien sea de tal caracterıstica.
Teorema 3.3
Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado. Son equivalen-
tes:
1 AB ∈ L(H3,H2) tiene rango cerrado.
2 c (R(B),Ker(A)) < 1.
3 c0 (R(B),Ker(A)R(B)) < 1.
4 Ker(A) +R(B) es cerrado.
5 Ker(B∗) +R(A∗) es cerrado.
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Basta notar que, por la Proposicion 3.7,
s(Ker(A), R(B)) = γ(PKer(A)⊥PR(B)
)= γ
(A†ABB†
).
Luego, por la Proposiciones 3.11, 10.19 y 3.5,
R(AB) v H2 ⇐⇒ R(A†ABB†
)v H1
⇐⇒ s(Ker(A), R(B)) = γ(A†ABB†
)> 0
⇐⇒ c(Ker(A), R(B)) < 1⇐⇒ c(R(B),Ker(A) < 1.
(2)⇐⇒ (3) Es claro, pues c (R(B),Ker(A)) = c0 (R(B),Ker(A)R(B)) por el
Lema 3.2.
(2)⇐⇒ (4)⇐⇒ (5) Se deduce del Teorema 3.2. Basta notar que, por el Corolario
10.3, R(A∗) es cerrado con lo cual Ker(A)⊥ = Ker(A∗∗)⊥ = R(A∗) = R(A∗).
Ademas, R(B)⊥ = Ker(B∗).
35
Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert
36
Teorema de Factorizacion de Douglas
4 Teorema de Factorizacion de Douglas
Dedicamos esta seccion a enunciar y demostrar un resultado sobre inclusiones de rangos
y factorizacion de operadores debido a R. G. Douglas [9]. Ademas, incluiremos algunas
consecuencias inmediatas del mismo que seran utilizadas en diferentes oportunidades a lo
largo de este trabajo.
Teorema 4.1
Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Son equivalentes:
1 R(A) ⊆ R(B).
2 Existe λ ≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗.
3 Existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.
Demostracion:
(3) =⇒ (1) Sea y ∈ R(A). Luego, existe x ∈ H1 tal que Ax = y. Por hipotesis,
existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC. Luego, Cx ∈ H2 y ademas se tiene
que B(Cx) = BCx = Ax = y con lo cual y ∈ R(B). Ası, R(A) ⊆ R(B).
(1) =⇒ (3) Supongamos que R(A) ⊆ R(B). Dado x ∈ H1, Ax ∈ R(A) ⊆ R(B).
Como B∣∣∣Ker(B)⊥ : Ker(B)⊥ −→ R(B) es un isomorfismo, existe un unico
y ∈ Ker(B)⊥ tal que Ax = By. Dado x ∈ H1, definimos C : H1 −→ H2
como:
Cx = y ⇐⇒ y ∈ Ker(B)⊥ es el unico tal que Ax = By.
Lo anterior nos asegura la buena definicion y ademas que A = BC pues para
todo x ∈ H1, Ax = By = B(Cx) = BCx. Mas aun, C ∈ Hom(H1,H2). En
efecto:
Sean x1, x2 ∈ H1 y α ∈ K. Luego, existen y1, y2 ∈ Ker(B)⊥ tales que
Ax1 = By1 y Ax2 = By2 con lo cual Cx1 = y1 y Cx2 = y2. Dado que
Ker(B)⊥ es un subespacio de H2 resulta que y1 + αy2 ∈ Ker(B)⊥. Mas
37
Teorema de Factorizacion de Douglas
aun, por la linealidad de los operadores A y B,
A(x1 + αx2) = A(x1) + αA(x2) = B(y1) + αB(y2) = B(y1 + αy2).
De esta manera,
C(x1 + αx2) = y1 + αy2 = C(x1) + αC(x2) ∀x1, x2 ∈ H1, ∀α ∈ K.
Por otro lado, Gr(C) ⊆ Gr(C). De hecho:
Sea (x, y) ∈ Gr(C). Luego, existe una sucesion (xn, yn)n∈N ⊆ Gr(C)
tal que (xn, yn)n→+∞‖.‖ // (x, y) con lo que xnn→+∞
‖.‖ // x y ynn→+∞‖.‖ // y . Co-
mo A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) resulta que Axnn→+∞‖.‖ // Ax y
Bynn→+∞‖.‖ // By . De este modo, dado que para cada n ∈ N, yn = Cxn
resulta que Byn = BCxn = Axn con lo cual Axnn→+∞‖.‖ // By . Luego, por
unicidad del lımite, Ax = By. Ademas, y ∈ Ker(B)⊥ = Ker(B)⊥ puesto
que existe {yn}n∈N ⊆ Ker(B)⊥ tal que ynn→+∞‖.‖ // y . Ası, y ∈ Ker(B)⊥
es el unico tal que Ax = By. En consecuencia, Cx = y con lo cual
(x, y) ∈ Gr(C).
Asimismo, como Gr(C) ⊆ Gr(C) se deduce que Gr(C) = Gr(C). Por lo
tanto, por el Teorema del Grafico Cerrado, C ∈ L(H1,H2). Finalmente,
existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.
(3) =⇒ (2) Supongamos que existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC. Luego, como
CC∗ ∈ A(H), CC∗ ≤ ‖CC∗‖L(H2)I. Ası se tiene que:
AA∗ = BC(BC)∗ = BC(C∗B∗) = B(CC∗)B∗
≤ ‖CC∗‖L(H2)BB∗ ≤ ‖C‖2L(H1,H2)
BB∗
De esta manera, existe λ := ‖C‖2L(H1,H2)≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗.
(2) =⇒ (3) Supongamos que existe λ ≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗. De esta manera,
dado x ∈ H3, 〈AA∗x, x〉 ≤ λ〈BB∗x, x〉 con lo cual ‖A∗x‖H3 ≤ λ1/2‖B∗x‖H2 .
En particular, Ker(B∗) ⊆ Ker(A∗) pues:
B∗x = 0⇒ ‖B∗x‖H2 = 0⇒ 0 ≤ ‖A∗x‖H3 ≤ 0⇒ A∗x = 0.
38
Teorema de Factorizacion de Douglas
Ası, es posible definir un operador T : R(B∗) −→ R(A∗) del siguiente modo:
T (B∗x) = A∗x ∀x ∈ H3.
La buena definicion esta asegurada por la ultima inclusion vista. En efecto, si
existiesen x1, x2 ∈ H3 tales que B∗x1 = B∗x2 entonces A∗x1 = A∗x2 puesto
que x1 − x2 ∈ Ker(B∗) ⊆ Ker(A∗). Mas aun, T ∈ Hom(R(B∗),H1). De
hecho, dados x1, x2 ∈ H3 y α ∈ K se verifica:
T (B∗(x1 + αx2)) = A∗(x1 + αx2) = A∗x1 + αA∗x2 = T (B∗x1) + αT (B∗x2).
Ademas, T ∈ L(R(B∗),H1)) pues para cada y ∈ R(B∗), ‖Ty‖H1 ≤ λ1/2‖y‖H2
ya que ‖A∗x‖H3 ≤ λ1/2‖B∗x‖H2 para todo x ∈ H3.
Ahora bien, como dado y ∈ R(B∗), existe una sucesion {yn}n∈N en R(B∗)
tal que yn = B∗xn −→ y, definiendo T (y) = lımn→∞
yn, se puede extender T
(manteniendo su nombre) a R(B∗) por continuidad. Por ultimo, si
Ty = 0 ∀y ∈ R(B∗)⊥, T ∈ Hom(H2,H1). Mas aun, ‖T‖L(H2,H1) ≤ λ1/2 lo
que muestra que T ∈ L(H2,H1).
Finalmente, por definicion, es claro que A∗ = TB∗ con lo cual A = BT ∗. Por
lo tanto, existe C := T ∗ ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.
!
Observacion:
El operador C := T ∗ ∈ L(H1,H2) construido en la prueba de
(2) =⇒ (3) del Teorema de Douglas cumple:
R(C) = R(T ∗) ⊆ Ker(T )⊥ ⊆ R(B∗) = Ker(B)⊥.
De hecho, dado y ∈ R(T ∗), existe x ∈ H1 tal que y = T ∗x. Luego,
para todo w ∈ Ker(T ), 〈y, w〉 = 〈T ∗x,w〉 = 〈x, Tw〉 = 〈x, 0〉 = 0
con lo cual y ∈ Ker(T )⊥. Esto prueba que R(T ∗) ⊆ Ker(T )⊥.
Por otro lado, dado x ∈ Ker(T )⊥ se verifica que 〈x, y〉 = 0
∀y ∈ Ker(T ). En particular, 〈x, y〉 = 0 ∀y ∈ R(B∗)⊥ pues
R(B∗)⊥ ⊆ Ker(T ). Luego, x ∈(R(B∗)⊥
)⊥= R(B∗) lo que muestra
que Ker(T )⊥ ⊆ R(B∗) = Ker(B)⊥.
39
Teorema de Factorizacion de Douglas
Corolario 4.1
Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Si R(A) ⊆ R(B) entonces existe un unico
C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC y R(C) ⊆ Ker(B)⊥. Ademas, Ker(C) = Ker(A) y
‖C‖2L(H1,H2)= mın {λ ≥ 0 : AA∗ ≤ λBB∗}.
Demostracion:
Existecia: Dado x ∈ H1, definimos C : H1 −→ H2 como:
Cx = y ⇐⇒ y ∈ Ker(B)⊥ es el unico tal que Ax = By.
En la prueba de (1) =⇒ (3) del Teorema de Douglas vimos que este operador
esta bien definido y que es una solucion de la ecuacion A = BX en L(H1,H2).
Mas aun, por definicion, es claro que R(C) ⊆ Ker(B)⊥.
Unicidad: Supongamos que existen operadores C1, C2 ∈ L(H1,H2) que son solu-
cion de la ecuacionA = BX tales queR(C1) ⊆ Ker(B)⊥ yR(C2) ⊆ Ker(B)⊥.
Dado x ∈ H1, sea y := C1x − C2x ∈ Ker(B)⊥. Notar que y ∈ Ker(B) pues
BC1 − BC2 = O. Ası, y ∈ Ker(B) ∩Ker(B)⊥ = {0}. Por lo tanto, C1 = C2
pues para todo x ∈ H1, C1x = C2x.
Finalmente, existe un unico C ∈ L(H1,H2) con R(C) ⊆ Ker(B)⊥ que es so-
lucion de la ecuacion A = BX.
De esta manera, como el operador construido en la prueba de (2) =⇒ (3) del
Teorema de Douglas es solucion de la ecuacion A = BX, por la unicidad, coin-
cide con el operador definido en la prueba de (1) =⇒ (3) del mismo teorema,
ya que H2 = R(B∗)⊕R(B∗)⊥.
Por otro lado, como A = BC es claro que Ker(C) ⊆ Ker(A). Ademas, si
x ∈ Ker(A) entonces el unico y ∈ Ker(B)⊥ tal que By = Ax = ~0 es y = ~0
con lo cual Cx = ~0. Ası Ker(A) ⊆ Ker(C). De la doble inclusion se deduce
la igualdad.
Mas aun, dado λ ≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗, sabemos por la prueba de
(2) =⇒ (3) del Teorema de Douglas que ‖C‖2L(H1,H2)≤ λ. Ademas, segun
la prueba de (3) =⇒ (2) del mismo teorema, AA∗ ≤ ‖C‖2L(H1,H2)BB∗. En
consecuencia,
‖C‖2L(H1,H2)= mın {λ ≥ 0 : AA∗ ≤ λBB∗}.
40
Teorema de Factorizacion de Douglas
Definicion:
Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) tales que R(A) ⊆ R(B). Llamaremos
solucion reducida de la ecuacion A = BX al unico operador C ∈ L(H1,H2)
tal que A = BC y R(C) ⊆ Ker(B)⊥.
Corolario 4.2
Sea T ∈ L(H1,H2). Entonces, R(T ) = R((TT ∗)1/2
).
Demostracion:
Notemos que TT ∗ ∈ L(H2)+ pues
〈TT ∗x, x〉 = 〈T ∗x, T ∗x〉 = ‖T ∗x‖2L(H1)≥ 0 ∀x ∈ H2.
Ası, existe W := (TT ∗)1/2 ∈ L(H2)+ tal que W 2 = TT ∗. Como W ∈ A(H) resulta
que TT ∗ = WW ∗. De esta manera, R(T ) ⊆ R(W ) y R(W ) ⊆ R(T ) pues, por el
Teorema de Douglas, existe λ = 1 > 0 tal que TT ∗ = λ ·WW ∗ y WW ∗ = λ · TT ∗.
Por lo tanto, de la doble inclusion se deduce la igualdad R(T ) = R((TT ∗)1/2
).
A continuacion y como una consecuencia directa de lo anterior, mencionaremos un
resultado de T. Crimmins. Adaptaremos la prueba dada por Fillmore y Williams [10].
Corolario 4.3 (Crimmins)
Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Entonces,
R(A) +R(B) = R(
(AA∗ +BB∗)1/2)
Demostracion:
Dados H1,H2 espacios de Hilbert, consideremos la suma ortogonal de H1 y H2,
H := H1 ⊕ H2 que resulta ser un espacio de Hilbert con la estructura usual de
C-espacio vectorial y el producto interno dado por:
〈(x1, y1), (x2, y2)〉H = 〈x1, x2〉H1 + 〈y1, y2〉H2 ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ H.
41
Teorema de Factorizacion de Douglas
Dados A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) , sea T : H −→ H3 definido por:
T ((x, y)) = Ax+By ∀ (x, y) ∈ H.
Es claro que T ∈ Hom(H,H3). Ahora bien, dado (x, y) ∈ H resulta que:
‖T ((x, y)) ‖H3 ≤ ‖Ax‖H3 + ‖By‖H3
≤ ‖A‖L(H1,H3) · ‖x‖H1 + ‖B‖L(H2,H3) · ‖y‖H2
≤(‖A‖L(H1,H3) + ‖B‖L(H2,H3)
)· ‖(x, y)‖H.
Por lo tanto, T ∈ L(H,H3) pues:
‖T‖L(H,H3) ≤ ‖A‖L(H1,H3) + ‖B‖L(H2,H3) < +∞.
Ademas, dado z ∈ R(T ), existe (x, y) ∈ H tal que z = T ((x, y)) = Ax+By con lo
cual z ∈ R(A)+R(B). Es decir, R(T ) ⊆ R(A)+R(B). Mas aun, si z ∈ R(A)+R(B)
entonces z = z1 + z2 con z1 ∈ R(A) y z2 ∈ R(B). Luego, existen x ∈ H1, y ∈ H2
tales que z1 = Ax y z2 = By. Ası, existe (x, y) ∈ H tal que z = Ax+By = T ((x, y))
con lo cual z ∈ R(T ). En consecuencia se tiene que R(A) + R(B) ⊆ R(T ). Por lo
tanto, de la doble inclusion se deduce la igualdad R(T ) = R(A) +R(B).
Por otro lado, como A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) existen unicos A∗ ∈ L(H3,H1)
y B∗ ∈ L(H3,H2) tales que:
〈Ax, z〉H3 = 〈x,A∗z〉H1 ∀ (x, z) ∈ H1 ×H3,
〈By, z〉H3 = 〈y,B∗z〉H2 ∀ (y, z) ∈ H2 ×H3.
Analogamente, como T ∈ L(H,H3), existe un unico T ∗ ∈ L(H3,H) que satisface:
〈T ((x, y)) , z〉H3 = 〈(x, y), T ∗z〉H ∀ (x, y) ∈ H, ∀ z ∈ H3.
De esta manera, dados x ∈ H1, y ∈ H2 y z ∈ H3:
〈(x, y), T ∗z〉H = 〈Ax+By, z〉H3
= 〈Ax, z〉H3 + 〈By, z〉H3
= 〈x,A∗z〉H1 + 〈y,B∗z〉H2
= 〈(x, y), (A∗z,B∗z)〉H.
42
Teorema de Factorizacion de Douglas
En consecuencia, T ∗ : H3 −→ H esta definido de la siguiente manera:
T ∗z = (A∗z,B∗z) ∀ z ∈ H3.
Luego, TT ∗ = AA∗ +BB∗ puesto que para cada z ∈ H3 se verifica:
TT ∗z = T ((A∗z,B∗z)) = AA∗z +BB∗z = (AA∗ +BB∗)z.
Como TT ∗ ∈ L(H3)+, existe W := (TT ∗)1/2 ∈ L(H3)
+ tal que W 2 = TT ∗. Mas
aun, R(TT ∗)1/2 = R((AA∗ +BB∗)1/2
).
Finalmente, en virtud del Corolario 4.2 se obtiene que:
R(A) +R(B) = R(T ) = R(TT ∗)1/2 = R(
(AA∗ +BB∗)1/2).
43
Teorema de Factorizacion de Douglas
44
Operadores Positivos
5 Operadores Positivos
En esta seccion estudiaremos algunas propiedades de los operadores positivos, las cuales
seran de utilidad para demostrar varios de los resultados de este trabajo. Recordar que el
conjunto formado por tales operadores es un cono cerrado dentro de los autoadjuntos, es
decir, convexo, cerrado por sumas y por multiplicacion por escalares positivos. Ademas,
una caracterizacion para los positivos es la condicion 〈Tx, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H. Por
ultimo, es para destacar que estos operadores definen un orden en A(H):
Dados A,B ∈ A(H) decimos que A ≤ B si B −A ∈ L(H)+.
Empezaremos identificando a los operadores estrictamente positivos, aquellos T ∈ L(H)+
tales que 〈Tx, x〉 ≥ c ‖x‖2H, donde x ∈ H y c > 0. El conjuto de los mismos, que constituyen
el interior de L(H)+, los denotaremos Gl(H)+.
Proposicion 5.1
Sea A ∈ A(H). Luego, A ∈ Gl(H)+ sı y solo sı existe λ > 0 tal que A ≥ λI.
Demostracion:
(=⇒) Es trivial, puesto que todo operador invertible es acotado inferiormente.
(⇐=) Dado λ > 0, supongamos que A ≥ λI. Es claro que A ∈ L(H)+ pues, para
cada x ∈ H, se tiene que 〈Ax, x〉 ≥ 〈λIx, x〉 = λ ‖x‖2H ≥ 0.
Por otro lado, como A ∈ A(H), el operador A∗ ∈ L(H) es acotado inferior-
mente. Luego A ∈ Gl(H). Ası, A ∈ Gl(H)+.
Muchas propiedades de los operadores positivos se deducen del siguiente resultado, que
es un adelando del Calculo Funcional Continuo, tema que utilizaremos mas adelante.
Teorema 5.1
Dado A ∈ L(H)+, existe un unico B ∈ L(H)+ tal que B2 = A.
En virtud de lo anterior se introduce el siguiente concepto.
45
Operadores Positivos
Definicion:
Sea A ∈ L(H)+. Se denomina raız cuadrada de A al unico operador B ∈ L(H)+
tal que B2 = A y se denota B := A1/2.
Observar que cualquiera sea T ∈ L(H) se verifica que T ∗T ∈ L(H)+ puesto que
(T ∗T )∗ = T ∗T con lo cual, T ∗T ∈ A(H) y 〈T ∗Tx, x〉 = 〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2H ≥ 0 para cada
x ∈ H. Ası, por el Teorema 5.1 queda garantizada la existencia de la raız cuadrada del
operador T ∗T como veremos a continuacion.
Definicion:
Dado un operador T ∈ L(H), llamaremos modulo de T al operador
|T | := (T ∗T )1/2 ∈ L(H)+.
Otras propiedades utiles de los operadores positivos se muestran en el siguiente resul-
tado.
Proposicion 5.2
Sea A ∈ L(H)+. Entonces:
1 Ker (A) = Ker(A1/2
).
2 R (A) ⊆ R(A1/2
)⊆ R (A).
3 R (A) es cerrado sı y solo sı R (A) = R(A1/2
)sı y solo sı R
(A1/2
)es cerrado.
Demostracion:
1 Dado x ∈ Ker(A1/2
)resulta que A1/2x = ~0 por eso Ax = A1/2
(A1/2x
)= ~0.
Ası, x ∈ Ker (A). En consecuencia, Ker(A1/2
)⊆ Ker (A). Por otro lado, si
x ∈ Ker (A) entonces Ax = A1/2(A1/2x
)= ~0 por lo que A1/2x = ~0 pues
A1/2x ∈ Ker(A1/2
)∩ R
(A1/2
)= R
(A1/2
)⊥ ∩ R (A1/2)
={~0}
. De esta
manera, x ∈ Ker(A1/2
)y Ker (A) ⊆ Ker
(A1/2
). De la doble inclusion, se
deduce la igualdad.
46
Operadores Positivos
2 Es claro que R (A) ⊆ R(A1/2
)pues si y ∈ R (A) entonces existe x ∈ H tal
que y = Ax = A1/2(A1/2x
)con lo cual y ∈ R
(A1/2
). Por otro lado, dado
y ∈ R(A1/2
), y = A1/2x para algun x ∈ H. Ademas, como Ker
(A1/2
)v H,
cabe mencionar que H = Ker(A1/2
)⊕Ker
(A1/2
)⊥= Ker
(A1/2
)⊕R
(A1/2
).
Luego, x ∈ H se escribe de manera unica como x = w+z con w ∈ Ker(A1/2
)y z ∈ R
(A1/2
). Luego, y = A1/2x = A1/2w + A1/2z = A1/2z. Asimismo,
existe una sucesion{A1/2zn
}n∈N ⊆ R
(A1/2
)tal que lım
n−→+∞A1/2zn = z pues
z ∈ R(A1/2
). De este modo, por la continuidad de A1/2,
lımn−→+∞
Azn = lımn−→+∞
A1/2(A1/2zn
)= A1/2
(lım
n−→+∞A1/2zn
)= A1/2z = y.
En consecuencia, y ∈ R (A) dado que existe una sucesion {Azn}n∈N ⊆ R (A)
tal que lımn−→+∞
Azn = y. Por lo tanto, R(A1/2
)⊆ R (A).
3 Supongamos que R (A) es cerrado. Luego, por el ıtem anterior, es inmediato
que R (A) = R(A1/2
)pues, R
(A1/2
)⊆ R (A) = R (A) ⊆ R
(A1/2
).
Asumamos que R (A) = R(A1/2
)Es claro que R
(A1/2
)⊆ R
(A1/2
). Ahora
bien, consideremos el operador A1/2 : Ker(A1/2
)⊥ −→ R(A1/2
)que es un
isomorfismo. Luego, dado x ∈ R(A1/2
)= Ker
(A1/2
)⊥, existe y ∈ H tal que
A1/2x = Ay = A1/2(A1/2y
). Ası, A1/2
(x−A1/2y
)= ~0 con lo cual x = A1/2y
ya que Ker(T ) ={~0}
. Luego, x ∈ R(A1/2
). Ası, R
(A1/2
)⊆ R
(A1/2
). De la
doble inclusion, se deduce la igualdad.
Por ultimo, supongamos que R(A1/2
)es cerrado. Por el ıtem anterior, es claro
que R (A) ⊆ R(A1/2
). Ahora bien, dado y ∈ R
(A1/2
), existe x ∈ Ker
(A1/2
)⊥tal que y = A1/2x pues el operador A1/2 : Ker
(A1/2
)⊥ −→ R(A1/2
)es
biyectivo. Notar que Ker(A1/2
)⊥= R
(A1/2
)= R
(A1/2
). Luego, x = A1/2w
para algun w ∈ H. De esta manera, y = A1/2x = A1/2(A1/2w
)= Aw con
lo cual y ∈ R (A). Por lo tanto, R(A1/2
)⊆ R (A). De la doble inclusion, se
deduce la igualdad. En consecuencia, R (A) = R(A1/2
)es cerrado.
Probablemente uno de los teoremas mas importantes de la teorıa de espacios de Hilbert
es el teorema espectral para operadores autoadjuntos que, basicamente, nos permite gene-
ralizar la evaluacion de operadores en funciones mas generales y continuas en el espectro.
Dado A ∈ L(H), sea σ(A) su espectro. Consideremos tambien una funcion f continua en
47
Operadores Positivos
el espectro de A. Luego, por el Teorema de Stone-Weierstrass, existe una susecion de po-
linomios {pn}n∈N que converge uniformemente a f , con lo cual tiene sentido considerar la
evaluacion f(A) := lımn∈N
pn(A) ∈ L(H). Observar que, por ejemplo, si A ∈ L(H)+, el ope-
rador A1/2 ∈ L(H)+ definido anteriormente no es otra cosa que f(A) para f(λ) = λ1/2,
definida para todo λ ≥ 0. Esta herramienta es conocida en la literatura como Calculo
Funcional Continuo y brinda propiedades magnıficas entre las que vale la pena citar la
siguiente: f(A) ∈ L(H)+ sı y solo sı f ≥ 0. En consecuencia, dado t > 0, considerando
la funcion f(x) = xt continua para x ≥ 0, se puede considerar y estudiar el operador
f(A) = At ∈ L(H)+ que es lo que haremos seguidamente.
Proposicion 5.3
Sea A ∈ L(H)+. Entonces:
1 R (A) ⊆ R(At)
para cada t ∈ [0, 1].
2 R(A1/2k
)⊆ R(A) para cada k ∈ N.
3 R(A) ⊆ R(A2k
)para cada k ∈ N.
4 R (A) = R (At) para cada t ∈ R+.
Demostracion:
1 Si t = 0 entonces At = I con lo cual R(A) ⊆ H = R(I) = R(At). En cambio,
si t ∈ (0, 1], existe A1−t ∈ L(H)+ tal que A = AtA1−t. Luego, por el Teorema
de Douglas, R(A) ⊆ R(At).
2 Por induccion sobre k ∈ N. Si k = 1 es claro por la Proposicion 5.2. Dado
h ∈ N, supongamos que R(A1/2h
)⊆ R(A). Como A1/2h ∈ L(H)+, su raız
cuadrada A1/2h+1 ∈ L(H)+, con lo cual, por la Proposicion 5.2 se verifica que
R(A1/2h+1
)⊆ R
(A1/2h
)⊆ R(A).
Por lo tanto, R(A1/2k
)⊆ R(A) para cada k ∈ N.
3 Por induccion sobre k ∈ N. Para k = 1 se verifica que, A2 ∈ L(H)+ y su raız
cuadrada A ∈ L(H)+, con lo cual, por la Proposicion 5.2, R(A) ⊆ R (A2).
Ası, R(A) ⊆ R (A2). Dado h ∈ N, supongamos que R(A) ⊆ R(A2h
). Como
48
Operadores Positivos
A2h+1 ∈ L(H)+ y su raız cuadrada A2h ∈ L(H)+, por la Proposicion 5.2:
R(A) ⊆ R(A2h
)⊆ R
(A2h+1
).
Por lo tanto, R(A) ⊆ R(A2k
)para cada k ∈ N.
4 Supongamos que t ∈ [0, 1]. Luego, por el ıtem 1, R(A) ⊆ R (At). Sea k ∈ N tal
que 0 < 12k< t < 1. Notar que At = A1/2kA1−1/2k por lo cual, por el Teorema
de Douglas, R(At) ⊆ R(A1/2k
). En consecuencia, por el ıtem 2,
R(At) ⊆ R(A1/2k
)⊆ R(A).
Ası, R(At) ⊆ R(A). De la doble inclusion se deduce la igualdad.
Supongamos que t > 1. Sea n ∈ N tal que t ≤ 2n, es decir que 0 < t2n < 1.
Luego, por el caso anterior:
R(At) = R(
(A2n)t/2n)
= R (A2n).
De esta manera, se verifica que R (A) = R (At) para cada t ∈ R+.
El estudio de desigualdades con normas de operadores sobre un espacio de Hilbert H
es muy prolıfero. Cordes, en [7] prueba lo siguiente:
Si A,B ∈ L(H)+ entonces∥∥AtBt
∥∥L(H)
≤ ‖AB‖tL(H) para cada t ∈ [0, 1].
Furuta da una prueba alternativa en [11] del resultado anterior mostrando ademas la
equivalencia del mismo con la bien conocida desigualdad de Lowner-Heinz:
Dados A,B ∈ L(H)+ tales que A ≤ B entonces At ≤ Bt para cada t ∈ [0, 1].
Diferentes resultados referidos a estos temas son expuestos en la literatura por medio de
numerosos artıculos que son una excelente fuente de consulta. Por ejemplo, en [12], M. C.
Gonzalez extiende la desigualdad de Cordes, entre otras, para el caso en que se considera
la seminorma de operadores asociada a un operador lineal acotado semidefinido positivo.
A continuacion, utilizaremos la desigualdad de Cordes para dar una prueba del siguiente
resultado:
49
Operadores Positivos
Proposicion 5.4
Sea A ∈ L(H)+. Si ‖A‖L(H) ≤ 1 entonces A ≤ At para todo t ∈ [0, 1].
Demostracion:
Por la Proposicion 5.3, para cada t ∈ [0, 1], R(A1/2
)= R
((A1/2
)t). Luego, por
el Teorema de Douglas, la ecuacion(A1/2
)tX = A1/2 es resoluble y el operador
C = Aα con α = 1−t2 es su solucion reducida pues
(A1/2
)tAα = A1/2 y ademas,
R (Aα) = Ker (Aα)⊥ = Ker (A)⊥ = R (A) = R((A1/2
)t)= Ker
((A1/2
)t)⊥con lo cual R (Aα) ⊆ Ker
((A1/2
)t)⊥. De esta manera, por la desigualdad de Cordes
se verifica:
‖Aα‖L(H) =
∥∥∥∥(A1/2)2α∥∥∥∥
L(H)
=∥∥∥(A1/2
)α (A1/2
)α∥∥∥L(H)
≤∥∥∥A1/2A1/2
∥∥∥αL(H)
= ‖A‖αL(H) .
Ası, ‖Aα‖L(H) ≤ 1. Mas aun, por el Corolario 4.1 se tiene que:
A1/2(A1/2
)∗≤ ‖Aα‖2L(H)
(A1/2
)t((A1/2
)t)∗.
En consecuencia, para cada t ∈ [0, 1],
A ≤ ‖Aα‖2L(H)At ≤ ‖Aα‖L(H)A
t ≤ At.
El siguiente resultado establece que relaciones existen entre el rango y el nucleo de
la suma de dos operadores positivos, en terminos del rango y nucleo de cada uno de los
operadores considerados.
Proposicion 5.5
Sean A,B ∈ L(H)+. Entonces:
1 R(A+B) = R(A) +R(B).
2 Ker(A+B) = Ker(A) ∩Ker(B).
50
Operadores Positivos
Demostracion:
1 Dado que R(A + B) ⊆ R(A) + R(B) ⊆ R(A) + R(B) es claro que se veri-
fica la inclusion R(A+B) ⊆ R(A) +R(B). Por otro lado, el Corolario 4.3
(Crimmins) garantiza que R(A1/2
)+ R
(B1/2
)= R
((A+B)1/2
). Mas aun,
combinando los resultados de la Proposicion 5.2 se tiene que:
R(A) ⊆ R(A1/2
)⊆ R
(A1/2
)+R
(B1/2
)= R
((A+B)1/2
)⊆ R(A+B).
Analogamente, R(B) ⊆ R(A+B) con lo cual R(A) + R(B) ⊆ R(A+B).
Por lo tanto, R(A) +R(B) ⊆ R(A+B). De la doble inclusion se deduce la
igualdad.
2 Por el ıtem anterior resulta:
Ker(A+B)⊥ = R(A+B) = R(A) +R(B) = Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥.
Luego, combinando los resultados vistos en las Preposiciones 10.9 y 10.11 se
obtiene que:
Ker(A+B) = Ker(A+B) = Ker(A+B)⊥⊥ =(Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥
)⊥= (Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥)
⊥=(Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥
)⊥= Ker(A)⊥⊥ ∩Ker(B)⊥⊥ = Ker(A) ∩Ker(B)
= Ker(A) ∩Ker(B).
51
Operadores Positivos
52
Aditividad de Rangos
6 Aditividad de Rangos
En esta seccion presentaremos la nocion de aditividad de rangos de operadores sobre
un espacio de Hilbert y estudiaremos algunas aplicaciones de la misma con el Teorema de
Douglas.
Definicion:
Diremos que A,B ∈ L(H) tienen la propiedad de aditividad de rangos si
R(A+B) = R(A) +R(B).
Notacion
Sea H un espacio de Hilbert. Denotaremos por R al conjunto de todos los pares de
operadores acotados en H que tienen la propiedad de aditividad de rangos. Es decir,
R := {(A,B) ∈ L(H)× L(H) : R(A+B) = R(A) +R(B)}.
Veremos ahora un resultado elemental de algebra lineal que sera de utilidad para dar
una caracterizacion de la aditividad de rangos.
Lema 6.1
Sean A,B ∈ L(H). Entonces R(A) +R(B) = R(A−B) +R(A+B).
Demostracion:
Sea y ∈ R(A−B)+R(A+B). Luego, y = y1+y2 con y1 ∈ R(A−B), y2 ∈ R(A+B).
En consecuencia, existen x1, x2 ∈ H tales que y1 = (A−B)x1, y2 = (A+B)x2. Por
la linealidad de A y B resulta,
y = (A−B)x1 + (A+B)x2 = A(x1 + x2) +B(x2 − x1)
Luego, como existen x1 + x2, x2 − x1 ∈ H tales que y = A(x1 + x2) + B(x2 − x1),
y ∈ R(A) +R(B). Esto muestra que R(A−B) +R(A+B) ⊆ R(A) +R(B).
Por otro lado, sea y ∈ R(A) + R(B). Ası, y = y1 + y2 con y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(B).
De esta manera, existen x1, x2 ∈ H tales que y1 = Ax1, y2 = Bx2. Por la linealidad
53
Aditividad de Rangos
de A y B se tiene que:
Ax1 = (A−B)(x1
2
)+ (A+B)
(x12
)Bx2 = (A−B)
(−x2
2
)+ (A+B)
(x22
)Por lo tanto, como se puede escribir:
y = Ax1 +Bx2 = (A−B)
(x1 − x2
2
)+ (A+B)
(x1 + x2
2
)con x1+x2
2 , x1−x22 ∈ H resulta que y ∈ R(A − B) + R(A + B). Esto prueba que
R(A) +R(B) ⊆ R(A−B) +R(A+B). Finalmente, de la doble inclusion se deduce
la igualdad buscada.
Corolario 6.1
Sean A,B ∈ L(H). Luego, R(A)+R(B) = R(A+B) si y solo si R(A−B) ⊆ R(A+B).
Demostracion:
(=⇒) Sea y ∈ R(A−B). Luego, existe x ∈ H tal que y = (A−B)x. De esta manera,
como se puede expresar:
y = (A−B)x = Ax−Bx = A(x) +B(−x)
resulta que y ∈ R(A) +R(B) = R(A+B). Ası, R(A−B) ⊆ R(A+B).
(⇐=) Sea y ∈ R(A+B). Luego, existe x ∈ H tal que y = (A+B)x = A(x) +B(x)
con lo cual y ∈ R(A) + R(B). En consecuencia, R(A + B) ⊆ R(A) + R(B).
Por otro lado, por el Lema 6.1, R(A)+R(B) = R(A−B)+R(A+B) y como
R(A − B) ⊆ R(A + B), es claro que R(A) + R(B) ⊆ R(A + B). De la doble
inclusion se deduce:
R(A) +R(B) = R(A+B).
54
Aditividad de Rangos
Proposicion 6.1
Sean A,B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 (A,B) ∈ R.
2 R(A) ⊆ R(A+B).
3 R(B) ⊆ R(A+B).
4 R(A−B) ⊆ R(A+B).
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Supongamos que (A,B) ∈ R. Luego, R(A + B) = R(A) + R(B). En
consecuencia, R(A) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B).
(2) =⇒ (3) Supongamos que R(A) ⊆ R(A+B). Luego, Ax ∈ R(A+B) para cada
x ∈ H. Ahora bien, dado y ∈ R(B), existe x ∈ H tal que y = Bx. De este
modo, como B = (A+B)−A, resulta que y = Bx ∈ R(A+B). Por lo tanto,
R(B) ⊆ R(A+B).
(3) =⇒ (4) Supongamos que R(B) ⊆ R(A+B). Luego, Bx ∈ R(A+B) para cada
x ∈ H. Sea y ∈ R(A−B). Ası, existe x ∈ H tal que y = (A−B)x. Entonces,
como A− B = (A+ B)− 2B, resulta que y = (A− B)x ∈ R(A+ B). Por lo
tanto, R(A−B) ⊆ R(A+B).
(4) =⇒ (1) Se deduce del Corolario 6.1.
A continuacion mostraremos una serie de resultados que seran de utilidad para dar
una caracterizacion, puramente algebraica, de la aditividad de rangos de operadores sobre
un espacio de Hilbert.
55
Aditividad de Rangos
Lema 6.2Sean A,B ∈ L(H), T := A+B y W := R(A) ∩R(B). Se verifican:
1 T−1 (R(A)) = B−1 (R(A)) y T−1 (R(B)) = A−1 (R(B)).
2 A−1 (R(A)) = B−1 (R(B)) = T−1 (R(T )) = H.
3 A−1(W) = A−1(R(B)) y B−1(W) = B−1(R(A)).
4 Si W ⊆ R(B) entonces B(B−1(W)
)=W.
5 Si W ⊆ R(A) entonces A(A−1(W)
)=W.
6 W +B(A−1(W)
)=W + T
(A−1(W)
).
7 T−1(W) = A−1(W) ∩B−1(W).
8 Si W ⊆ R(T ) entonces W = T(T−1(W)
).
9 Si W ⊆ R(T ) entonces W + T(A−1(W)
)= T
(A−1(W)
).
Demostracion:
1 Dado x ∈ T−1 (R(A)) resulta que Tx ∈ R(A) con lo cual existe w ∈ H tal
que Aw = Tx = Ax+ Bx. Entonces Bx ∈ R(A) puesto que Bx = A(w − x).
Ası, x ∈ B−1 (R(A)), es decir, T−1 (R(A)) ⊆ B−1 (R(A)). Por otro lado, si
x ∈ B−1 (R(A)), Bx ∈ R(A) por lo que existe z ∈ H tal que Bx = Az. De este
modo, Tx = (A + B)x = A(x + z). Luego, x ∈ T−1 (R(A)) pues Tx ∈ R(A).
En consecuencia, B−1 (R(A)) ⊆ T−1 (R(A)). De la doble inclusion se deduce
la igualdad.
Analogamente, se demuestra que T−1 (R(B)) = A−1 (R(B)).
2 Es claro que A−1 (R(A)) ⊆ H. Ademas, dado x ∈ H, se tiene que Ax ∈ R(A)
con lo cual x ∈ A−1 (R(A)), i.e., H ⊆ A−1 (R(A)). De la doble inclusion, se
deduce la igualdad. Las otras igualdades se deducen de manera analoga.
3 Basta aplicar el ıtem anterior y propiedades de la imagen inversa. En efecto:
B−1(W) = B−1 (R(A)) ∩B−1 (R(B)) = B−1 (R(A)) ∩H = B−1 (R(A)) .
Analogamente, A−1(W) = B−1 (R(A)).
4 Supongamos que W ⊆ R(B). Luego, si y ∈ W entonces existe x ∈ H tal
que y = Bx ∈ W con lo cual x ∈ B−1(W). Ası, y ∈ B(B−1(W)
)de donde
56
Aditividad de Rangos
se deduce que W ⊆ B(B−1(W)
). Por otro lado, si y ∈ B
(B−1(W)
), existe
x ∈ B−1(W) tal que y = Bx con lo cual y = Bx ∈ W. Esto prueba que
B(B−1(W)
)⊆ W. De la doble inclusion se deduce la igualdad.
5 Se deduce del ıtem anterior.
6 Observar que, T(A−1(W)
)⊆ W +B
(A−1(W)
)pues, dado y ∈ T
(A−1(W)
),
existe x ∈ A−1(W) tal que y = Tx = Ax + Bx cumpliendose que Ax ∈ W
y Bx ∈ B(A−1(W)
)con lo cual y ∈ W + B
(A−1(W)
). De esta manera se
verifica queW+T(A−1(W)
)⊆ W+B
(A−1(W)
). Ahora bien, si consideramos
y ∈ W + B(A−1(W)
), y = w + Bx con w ∈ W y x ∈ A−1(W). Entonces,
y = w − Ax + Tx donde w − Ax ∈ W y Tx ∈ T(A−1(W)
)por lo que
y ∈ W + T(A−1(W)
), es decir que, W + B
(A−1(W)
)⊆ W + T
(A−1(W)
).
Luego, de la doble inclusion, W +B(A−1(W)
)=W + T
(A−1(W)
).
7 Sea x ∈ H tal que x ∈ A−1(W) ∩ B−1(W). Entonces, {Ax,Bx} ⊆ W. Dado
que W es un subespacio de H se cumple que Tx = Ax+Bx ∈ W con lo cual
x ∈ T−1(W), i.e., A−1(W) ∩B−1(W) ⊆ T−1(W). Por otro lado, supongamos
que x ∈ T−1(W). Luego, Tx ∈ R(A) ∩ R(B). Como {Tx,Ax} ⊆ R(A), es
claro que Bx = Tx− Ax ∈ R(A) por lo que x ∈ B−1 (R(A)) = B−1(W). Del
mismo modo, como {Tx,Bx} ⊆ R(B), es claro que Ax = Tx − Bx ∈ R(B)
por lo que x ∈ A−1 (R(B)) = A−1(W). Ası, T−1(W) ⊆ A−1(W)∩B−1(W) ya
que x ∈ A−1(W) ∩B−1(W). De la doble inclusion, se deduce la igualdad.
8 Supongamos que y ∈ T(T−1(W)
). Luego, existe x ∈ T−1(W) tal que y = Tx.
Ası, y = Tx ∈ W por lo que T(T−1(W)
)⊆ W. Por otro lado, si y ∈ W
entonces y ∈ R(T ) con lo cual existe x ∈ H tal que y = Tx. Ası, como
Tx ∈ W, x ∈ T−1(W). En consecuencia, y ∈ T(T−1(W)
)pues y = Tx con
x ∈ T−1(W). De esta manera, W ⊆ T(T−1(W)
). De la doble inclusion se
deduce la igualdad.
9 Es claro que T(A−1(W)
)⊆ W + T
(A−1(W)
). Por otro lado, notar que
T−1(W) = A−1(W) ∩ B−1(W) ⊆ A−1(W). Luego, como W ⊆ R(T ) se tiene
queW = T(T−1(W)
)⊆ T
(A−1(W)
). Ası,W+T
(A−1(W)
)⊆ T
(A−1(W)
).
De la doble inclusion, se deduce la igualdad.
57
Aditividad de Rangos
Teorema 6.1
Sean A,B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 (A,B) ∈ R.
2 R(A) ∩R(B) ⊆ R(A+B) y H = A−1 (R(B)) +B−1 (R(A)).
Demostracion:
Dados A,B ∈ L(H), sean T := A + B y W := R(A) ∩ R(B). Supongamos que
(A,B) ∈ R, es decir, R(T ) = R(A) +R(B). Luego, por la Proposicion 6.1, se tiene
que R(A) ⊆ R(T ) y R(B) ⊆ R(T ) con lo cual W ⊆ R(T ). Mas aun, como R(A) y
R(B) son subconjuntos de R(T ), por el Lema 6.2, se verifica:
H = T−1 (R(T ))
= T−1 (R(A) +R(B))
= T−1 (R(A)) + T−1 (R(B))
= A−1 (R(B)) +B−1 (R(A))
Recıprocamente, supongamos que W ⊆ R(T ) y H = A−1 (R(B)) + B−1 (R(A)).
Observar que, por el Lema 6.2, B−1(W) = B−1(R(A)) y, como W ⊆ R(B),
B(B−1(W)
)= W. De la misma manera, se cumple que A−1(W) = A−1(R(B)) y
A(A−1(W)
)=W puesW ⊆ R(A). En consecuencia, por la linealidad de B ∈ L(H)
resulta:
R(B) = B(H) = B(A−1 (R(B)) +B−1 (R(A))
)= B
(A−1 (R(B))
)+B
(B−1 (R(A))
)= B
(A−1 (W)
)+B
(B−1 (W)
)= W +B
(A−1(W)
).
Mas aun, por el Lema 6.2 se verifica:
R(B) =W +B(A−1(W)
)=W + T
(A−1(W)
)= T
(A−1(W)
).
Por lo tanto,
R(B) = T(A−1(W)
)= T
(A−1 (R(B))
)⊆ T (H) = R(T ).
Finalmente, como R(B) ⊆ R(T ), por la Proposicion 6.1, (A,B) ∈ R.
58
Aditividad de Rangos
Corolario 6.2
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩R(B) ={~0}
. Son equivalentes:
1 (A,B) ∈ R.
2 Ker(A) +Ker(B) = H.
Demostracion:
Supongamos que R(A) ∩R(B) ={~0}
. Luego, por el Lema 6.2, se cumple que:
Ker(A) = A−1({~0})
= A−1 (R(A) ∩R(B))
= A−1 (R(A)) ∩A−1 (R(B))
= H ∩A−1 (R(B))
= A−1 (R(B)) .
Analogamente, Ker(B) = B−1 (R(A)). En consecuencia,
Ker(A) +Ker(B) = A−1 (R(B)) +B−1 (R(A)) .
Ademas, es claro que R(A)∩R(B) ={~0}⊆ R(A+B). Por lo tanto, por el Teorema
6.1, se cumple:
(A,B) ∈ R ⇐⇒ Ker(A) +Ker(B) = H.
6.1 Teorema de Douglas y Aditividad de Rangos
En lo que sigue estudiaremos algunas consecuencias del Teorema de Douglas que se
desprenden de los resultados anteriores. Ademas, mencionaremos una caracterizacion de
la aditividad de rangos en terminos del concepto de operadores Thompson equivalentes.
Corolario 6.3
Sean A,B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 La ecuacion AX = B tiene solucion en L(H).
2 (A−B,B) ∈ R.
59
Aditividad de Rangos
Demostracion:
Supongamos que la ecuacion AX = B tiene solucion en L(H). Luego, por el Teore-
ma de Douglas, R(B) ⊆ R(A), es decir que R(B) ⊆ R ((A−B) +B). Ası, por la
Proposicion 6.1, (A − B,B) ∈ R. Recıprocamente, si (A − B,B) ∈ R, por la Pro-
posicion 6.1, R(B) ⊆ R ((A−B) +B) = R(A). Luego, por el Teorema de Douglas,
existe un operador C ∈ L(H) tal que AC = B, es decir que la ecuacion AX = B
tiene solucion en L(H).
Corolario 6.4
Sean A,B ∈ L(H)+. Se verifican:
1((A+B)1/2 −A1/2, A1/2
)∈ R.
2((A+B)1/2 −B1/2, B1/2
)∈ R.
Demostracion:
Como A,B ∈ L(H)+, A + B ∈ L(H)+. Ası, estan bien definidos los operadores
A1/2, B1/2, (A+B)1/2 ∈ L(H)+. Ahora bien:
1 Como A,B ∈ L(H)+ se tiene que A ≤ A + B. Luego, existe λ = 1 > 0 tal
que A1/2A1/2 ≤ λ · (A+B)1/2(A+B)1/2. Ası, por el Teorema de Douglas, la
ecuacion (A+B)1/2X = A1/2 tiene solucion en L(H). De esta manera, por el
Corolario 6.3,((A+B)1/2 −A1/2, A1/2
)∈ R.
2 Como A,B ∈ L(H)+ se tiene que B ≤ A + B. Luego, existe λ = 1 > 0 tal
que B1/2B1/2 ≤ λ · (A+B)1/2(A+B)1/2. Ası, por el Teorema de Douglas, la
ecuacion (A + B)1/2X = B1/2 tiene solucion en L(H). En consecuencia, por
el Corolario 6.3,((A+B)1/2 −B1/2, B1/2
)∈ R.
Definicion:
Dados A,B ∈ L(H)+ diremos que son Thompson equivalentes y lo notaremos
A ∼T B, si existen r, s ∈ R+ tales que rA ≤ B ≤ sA.
60
Aditividad de Rangos
Proposicion 6.2
Sean A,B ∈ L(H)+. Luego,
A ∼T B sı y solo sı R(A1/2) = R(B1/2).
Demostracion:
(=⇒) Supongamos que A ∼T B. De esta manera, existen r, s ∈ R+ tales que
rA ≤ B ≤ sA. Luego, existen r, s > 0 tales que A1/2A1/2 ≤ 1rB
1/2B1/2 y
B1/2B1/2 ≤ sA1/2A1/2. En consecuencia, por el Teorema de Douglas se verifica
que R(A1/2) ⊆ R(B1/2) y R(B1/2) ⊆ R(A1/2), i.e., que R(A1/2) = R(B1/2).
(⇐=) Asumamos ahora que R(A1/2) = R(B1/2), i.e., R(A1/2) ⊆ R(B1/2) y
R(B1/2) ⊆ R(A1/2). Ası, por el Teorema de Douglas, existen λ > 0 y µ > 0 ta-
les que A1/2A1/2 ≤ λB1/2B1/2 y B1/2B1/2 ≤ µA1/2A1/2. Por lo tanto, A ∼T B
pues 1λA
1/2A1/2 ≤ B1/2B1/2 ≤ µA1/2A1/2.
Proposicion 6.3
Sean A,B ∈ L(H)+. Luego,
(A,B) ∈ R sı y solo sı (A+B)2 ∼T A2 +B2.
Demostracion:
Supongamos que (A,B) ∈ R. Luego, R(A+B) = R(A) +R(B). Ahora bien, como
A + B ∈ L(H)+, la raız cuadrada de (A + B)2 es A + B. De esta manera, por el
Corolario 4.3,
R([
(A+B)2]1/2)
= R (A+B) = R(A) +R(B) = R(
(A2 +B2)1/2).
Luego, por la Proposicion 6.2, (A + B)2 ∼T A2 + B2. Recıprocamente, suponga-
mos que los operadores (A + B)2 y A2 + B2 son Thompson equivalentes. Ası, por
la Proposicion 6.2, R([
(A+B)2]1/2)
= R((A2 +B2)1/2
). Luego, por el Corola-
rio 4.3, R(A + B) = R([
(A+B)2]1/2)
= R((A2 +B2)1/2
)= R(A) + R(B). En
consecuencia, (A,B) ∈ R.
61
Aditividad de Rangos
62
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
7 Extension del Teorema de Bikchentaev
a la aditividad de rangos
A. M. Bikchentaev prueba en [4] que la invertibilidad de A+B fuerza la invertibilidad
de |A|p + |B|q para cada p, q ∈ R+. Sin embargo, Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M.
C. en [2] muestran algunas propiedades mas debiles de este resultado, utiles para estudiar
la aditividad de rangos.
7.1 Resultados de Bikchentaev
Cabe destacar que la tecnica empleada por Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M.
C. en [2] para probar la equivalencia entre los ıtems 2 y 3 del Teorema 7.3 se basa en los
siguientes resultados obtenidos por Bikchentaev, A.M. en [4].
Lema 7.1
Sean A, B ∈ L(H)+ tales que A+B tenga rango cerrado. Se verifican:
1 R(A) +R(B) es cerrado.
2 R(A2n
)+R
(B2n
)= R
(A2n +B2n
)es cerrado para cada n ∈ N.
3 R(A2n
)+R
(B2n
)= R (A2n) +R (B2n) para cada n ∈ N.
Demostracion:
1 Asumamos que R(A+B) es cerrado. Luego, por la Proposicion 5.5,
R(A+B) ⊆ R(A) +R(B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B) = R(A+B).
Por lo tanto, R(A) +R(B) = R(A+B) es cerrado.
2 Por induccion sobre n ∈ N. Supongamos que R(A + B) es cerrado. Luego,
por el ıtem anterior, R(A) + R(B) es cerrado. Mas aun, por el Corolario 4.3
y la Proposicion 5.2, R(A) + R(B) = R((A2 +B2)1/2
)= R
(A2 +B2
). Ası,
R(A2 +B2
)⊆ R
(A2)
+ R(B2)⊆ R(A) + R(B) = R
(A2 +B2
)con lo cual
R(A2 +B2
)= R
(A2)
+ R(B2). Ahora bien, dado h ∈ N, asumamos que
63
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
R(A2h
)+ R
(B2h
)= R
(A2h +B2h
)es cerrado. Por el Corolario 4.3 y la
Proposicion 5.2,
R(A2h
)+R
(B2h
)= R
((A2h+1
+B2h+1)1/2)
= R(A2h+1
+B2h+1).
Ası, R(A2h+1
+B2h+1)
es cerrado. Mas aun:
R(A2h+1
+B2h+1)⊆ R
(A2h+1
)+R
(B2h+1
)⊆ R
(A2h
)+R
(B2h
)= R
(A2h +B2h
)= R
(A2h+1
+B2h+1).
En consecuencia, R(A2h+1
)+ R
(B2h+1
)= R
(A2h+1
+B2h+1)v H. Por lo
tanto, R(A2n
)+R
(B2n
)= R
(A2n +B2n
)es cerrado para cada n ∈ N.
3 Sea n ∈ N. Es claro que R(A2n
)+ R
(B2n
)⊆ R (A2n) + R (B2n). Por otro
lado, R(A2n
)⊆ R
(A2n
)+R
(B2n
)con lo cual R (A2n) ⊆ R (A2n) +R (B2n).
Analogamente, R (B2n) ⊆ R (A2n) +R (B2n). De este modo se verifica que
R (A2n) + R (B2n) ⊆ R (A2n) +R (B2n) = R(A2n
)+ R
(B2n
)pues, por el
ıtem anterior, R(A2n
)+R
(B2n
)es cerrado. De la doble inclusion se deduce
la igualdad.
Lema 7.2
Sean A,B ∈ L(H)+. Dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Entonces
existe λ > 0 tal que A2n +B2n ≤ λ (Ap +Bq) .
Demostracion:
Dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Analizaremos distintos casos:
1 Supongamos que ‖A‖L(H) ≤ 1 y ‖B‖L(H) ≤ 1. Ası, por la Proposicion 5.4,
A2n ≤(A2n
)p/2ny B2n ≤
(B2n
)q/2ncon lo cual
A2n +B2n ≤(A2n
)p/2n+(B2n
)p/2n= Ap +Bq.
Luego, existe λ = 1 > 0 que cumple la condicion.
64
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
2 Supongamos que ‖A‖L(H) > 1 y ‖B‖L(H) > 1. Luego,∥∥∥∥∥ A
‖A‖L(H)
∥∥∥∥∥L(H)
=
∥∥∥∥∥ B
‖B‖L(H)
∥∥∥∥∥L(H)
= 1.
Por la Proposicion 5.4,(A
‖A‖L(H)
)2n≤(
A‖A‖L(H)
)py(
B‖B‖L(H)
)2n≤(
B‖B‖L(H)
)q.
En consecuencia,(A
‖A‖L(H)
)2n
+
(B
‖B‖L(H)
)2n
≤
(A
‖A‖L(H)
)p+
(A
‖A‖L(H)
)q.
Equivalentemente,
‖B‖2n
L(H) ·A2n + ‖A‖2
n
L(H) ·B2n ≤ ‖A‖2
n
L(H) · ‖B‖2n
L(H) ·
(Ap
‖A‖pL(H)
+Bq
‖B‖qL(H)
).
Como ‖A‖L(H) > 1, ‖A‖pL(H) > 1 por lo que
(1− 1
‖A‖pL(H)
)Ap ∈ L(H)+
y(‖A‖2
n
L(H) − 1)B2n ∈ L(H)+. Ası, Ap
‖A‖pL(H)
≤ Ap y B2n ≤ ‖A‖2n
L(H)B2n .
Analogamente, Bq
‖B‖qL(H)
≤ Bq y A2n ≤ ‖B‖2n
L(H)A2n . Por lo tanto,
A2n +B2n ≤ ‖A‖2n
L(H) · ‖B‖2n
L(H) · (Ap +Bq).
Luego, λ = ‖A‖2n
L(H) · ‖B‖2n
L(H) > 0 cumple la condicion.
3 Supongamos que ‖A‖L(H) ≤ 1 y ‖B‖L(H) > 1. Luego,∥∥∥ B‖B‖L(H)
∥∥∥L(H)
= 1. Por
la Proposicion 5.4, A2n ≤ Ap y(
B‖B‖L(H)
)2n≤(
B‖B‖L(H)
)q. En consecuencia,
A2n +
(B
‖B‖L(H)
)2n
≤ Ap +
(B
‖B‖L(H)
)q.
Equivalentemente,
‖B‖2n
L(H) ·A2n +B2n ≤ ‖B‖2
n
L(H)
(Ap +
Bq
‖B‖qL(H)
).
Como ‖B‖L(H) > 1, ‖B‖qL(H) > 1 por lo que
(1− 1
‖B‖qL(H)
)Bq ∈ L(H)+ y(
‖B‖2n
L(H) − 1)A2n ∈ L(H)+. Ası, Bq
‖B‖qL(H)
≤ Bq y A2n ≤ ‖B‖2n
L(H)A2n . Por
lo tanto,
A2n +B2n ≤ ‖B‖2n
L(H) · (Ap +Bq).
Luego, λ = ‖B‖2n
L(H) > 0 cumple la condicion.
65
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
4 Supongamos que ‖A‖L(H) > 1 y ‖B‖L(H) ≤ 1. Luego,∥∥∥ A‖A‖L(H)
∥∥∥L(H)
= 1. Por
la Proposicion 5.4,(
A‖A‖L(H)
)2n≤(
A‖A‖L(H)
)py B2n ≤ Bq. En consecuencia,
(A
‖A‖L(H)
)2n
+B2n ≤
(A
‖A‖L(H)
)p+Bq.
Equivalentemente,
A2n + ‖A‖2n
L(H) ·B2n ≤ Ap + ‖A‖2
n
L(H) ·Bq.
Como ‖A‖L(H) > 1, ‖A‖pL(H) > 1 por lo que
(1− 1
‖A‖pL(H)
)Ap ∈ L(H)+ y(
‖A‖2n
L(H) − 1)B2n ∈ L(H)+. Ası, Ap
‖A‖pL(H)
≤ Ap y B2n ≤ ‖A‖2n
L(H)B2n . Por lo
tanto,
A2n +B2n ≤ ‖A‖2n
L(H) · (Ap +Bq).
Luego, λ = ‖A‖2n
L(H) > 0 cumple la condicion.
Finalmente, existe λ > 0 tal que A2n +B2n ≤ λ (Ap +Bq) .
Lema 7.3
Sean A,B ∈ L(H). Si A + B es invertible entonces |A|2n
+ |B|2n
es invertible para
cada n ∈ N.
Demostracion:
Por Induccion sobre n ∈ N. Dados A,B ∈ L(H) y n ∈ N, consideremos el operador
Tn ∈ L(H) definido por Tn = |A|2n
+ |B|2n
. Supongamos que A + B es invertible.
Luego, como (A + B)∗ es invertible, (A + B)∗(A + B) ∈ Gl(H)+ con lo cual existe
µ > 0 tal que (A+B)∗(A+B) ≥ µI. Ademas, (A−B)∗(A+B) ∈ L(H)+. De esta
manera, dado que
(A+B)∗(A+B) + (A−B)∗(A−B) = 2(A∗A+B∗B) = 2(|A|2 + |B|2) = 2T1,
66
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
se verifica:
0 <µ
2I ≤ (A+B)∗(A+B)
2≤ (A+B)∗(A+B)
2+
(A−B)∗(A−B)
2= T1.
Luego, por la Proposicion 5.1, T1 ∈ Gl(H)+. Ahora bien, dado h ∈ N, supongamos
que Th ∈ Gl(H)+. Por la Proposicion 5.1, existe µh > 0 tal que Th ≥ µhI. Ademas,
como |A| , |B| ∈ L(H)+, |A|2h
− |B|2h
∈ A(H) pues |A|2h
, |B|2h
∈ L(H)+ ⊆ A(H).
De este modo,(|A|2
h
− |B|2h)2
=(|A|2
h
− |B|2h)∗ (|A|2
h
− |B|2h)≥ 0. Asimismo,
como Th ≥ µhI entonces T 2h ≥ µ2hI puesto que para cada x ∈ H se satisface:
⟨µ2hIx, x
⟩= µh 〈µhIx, x〉 ≤ µh 〈Thx, x〉 = 〈µhThx, x〉
=⟨T1/2h µhIT
1/2h x, x
⟩=⟨µhI
(T1/2h x
), T
1/2h x
⟩≤
⟨Th
(T1/2h x
), T
1/2h x
⟩=⟨T1/2h ThT
1/2h x, x
⟩=
⟨T1/2h T
1/2h T
1/2h T
1/2h x, x
⟩=⟨T 2hx, x
⟩.
En consecuencia,
Th+1 = |A|2h+1
− |B|2h+1
=
(|A|2
h
+ |B|2h)2
2+
(|A|2
h
− |B|2h)2
2
≥
(|A|2
h
+ |B|2h)2
2=T 2h
2≥µ2h2I.
Por lo tanto, por la Proposicion 5.1, Th+1 ∈ Gl(H)+. Finalmente, Tn ∈ L(H) es
invertible y positivo para todo n ∈ N.
Como consecuencia de los lemas anteriores, es inmediata la demostracion del siguiente
resultado:
Teorema 7.1 (Bikchentaev)
Sean A,B ∈ L(H). Si A+B es invertible entonces |A|p+ |B|q es invertible para cada
p, q ∈ R+.
67
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Demostracion:
Sean A,B ∈ L(H). Por el Lema 7.3, se verifica que el operador Tn ∈ L(H) definido
por Tn = |A|2n
+ |B|2n
es invertible y positivo para cada n ∈ N. Luego, por la
Proposicion 5.1, existe µn > 0 tal que Tn ≥ µnI. Ahora bien, dados p, q ∈ R+, sea
n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Luego, como |A| , |B| ∈ L(H)+, por el Lema 7.2,
existe λ > 0 tal que:
0 < µnI ≤ Tn = |A|2n
+ |B|2n
≤ λ · (|A|p + |B|q)
Por lo tanto, por la Proposicion 5.1, |A|p + |B|q ∈ Gl(H)+ pues |A|p + |B|q ≥ µnλ I.
7.2 Resultados de Arias, Corach y Gonzalez
A partir del Teorema de Bikchentaev, Arias, Corach y Gonzalez examinan en diferentes
casos, las siguientes propiedades relativas a la aditividad de rangos:
7.2.1 R(A) +R(B) es denso
Teorema 7.2
Sean A, B ∈ L(H)+. Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) es denso.
2 A+B es inyectivo.
3 Ap +Bq es inyectivo para cada p, q ∈ R+.
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Si R(A) + R(B) es denso entonces H = R(A) +R(B). Luego, por la
Proposicion 5.5, H = R(A) +R(B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B). Ası, por
la Proposicion 10.10, Ker(A + B) = Ker ((A+B)∗) = R(A + B)⊥ ={~0}
.
Por lo tanto, A+B es inyectivo. Recıporcamente, supongamos que A+B es
68
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
inyectivo. Luego, Ker(A+B) = Ker ((A+B)∗) ={~0}
. De esta manera,
R(A+B) = Ker ((A+B)∗)⊥ ={~0}⊥
= H
Ası, H = R(A+B) ⊆ R(A) +R(B) ⊆ H por lo que R(A) +R(B) = H. En
consecuencia, R(A) +R(B) es denso en H.
(2)⇐⇒ (3) Notar que, como A,B ∈ L(H)+, por la Proposicion 5.5, para p, q ∈ R+,
Ker(Ap + Bq) = Ker(Ap) ∩ Ker(Bq) = Ker(A) ∩ Ker(B) = Ker(A + B).
Ası, A+ B es inyectivo sı y solo si Ker(Ap + Bq) = Ker(A+ B) ={~0}
sı y
solo sı Ap +Bq es inyectivo.
Corolario 7.1
Sean A, B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) es denso.
2 |A∗|+ |B∗| es inyectivo.
3 |A∗|p + |B∗|q es inyectivo para cada p, q ∈ R+.
Demostracion:
Basta notar que, por el Corolario 4.2, R(A) = R (|A∗|) al igual que R(B) = R (|B∗|).
En efecto:
(1) =⇒ (2) Supongamos que R(A)+R(B) = R (|A∗|)+R (|B∗|) es denso. Ası, como
|A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, por el Teorema 7.2, |A∗|+ |B∗| es inyectivo.
(2) =⇒ (3) Dado que |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, si |A∗| + |B∗| es inyectivo entonces, por
el Teorema 7.2, |A∗|p + |B∗|q es inyectivo para p, q ∈ R+.
(3) =⇒ (1) Asumamos que |A∗|p + |B∗|q es inyectivo para p, q ∈ R+. Luego, por el
Teorema 7.2 y el Corolario 5.1, R (|A∗|) + R (|B∗|) = R(A) + R(B) es denso
pues |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+.
69
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
7.2.2 R(A) +R(B) es cerrado
Teorema 7.3
Sean A, B ∈ L(H)+. Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) es cerrado
2 A+B tiene rango cerrado
3 Ap +Bq tiene rango cerrado para cada p, q ∈ R+.
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por la Proposicion
5.2 y el Corolario 4.3 resulta que R((A+B)1/2
)= R(A) +R(B) pues:
R(A) +R(B) ⊆ R(A1/2
)+R
(B1/2
)= R
((A+B)1/2
)R((A+B)1/2
)⊆ R(A+B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A) +R(B)
En consecuencia, R((A+B)1/2
)= R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por la
Proposicion 5.2, R(A+B) = R((A+B)1/2
)es cerrado. Ademas, el recıproco
fue demostrado en el Lema 7.1.
(2)⇐⇒ (3) Supongamos que A + B tiene rango cerrado. Luego, por el Lema 7.1,
R(A) + R(B) es cerrado y R(A2n
)+ R
(B2n
)= R
(A2n +B2n
)es cerrado
para cada n ∈ N. Ademas, R(A2n
)+ R
(B2n
)= R (A2n) + R (B2n). Ahora
bien, dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Por el Lema 7.2,
existe λ > 0 tal que A2n +B2n ≤ λ (Ap +Bq). Ası,
(A2n +B2n
)1/2 ((A2n +B2n
)1/2)∗ ≤ λ (Ap +Bq)1/2(
(Ap +Bq)1/2)∗.
De este modo, por el Teorema de Douglas,
R((A2n +B2n
)1/2) ⊆ R((Ap +Bq)1/2)
.
Mas aun, por la Proposicion 5.2,
R(A2n
)+R
(B2n
)= R
(A2n +B2n
)= R
(A2n +B2n
)1/2.
70
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
En consecuencia, combinando las Proposiciones 5.2, 5.3 y 5.5,
R(A2n
)+R
(B2n
)⊆ R (Ap +Bq)1/2 ⊆ R (Ap +Bq)
= R (Ap) +R (Bq) = R (A2n) +R (B2n)
= R (A2n) +R (B2n) = R(A2n
)+R
(B2n
)Es decir que R (Ap +Bq)1/2 = R
(A2n
)+R
(B2n
)es cerrado. Por lo tanto, por
la Proposicion 5.2, R (Ap +Bq) es un subespacio cerrado. Recıprocamente, si
para cada p, q ∈ R+,Ap+Bq tiene rango cerrado, en particular, para p = q = 1,
se verifica que R(A+B) v H.
Corolario 7.2
Sean A, B ∈ L(H)+. Si alguna de las condiciones del teorema anterior se satisface
entonces R(A) +R(B) = R(A+B) = R(Ap +Bq) para cada p, q ∈ R+.
Demostracion:
Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por la prueba de (1) =⇒ (2) del
Teorema 7.3, R(A+B) = R(A) +R(B) v H. Ademas, combinando el Lema 7.1, la
Proposicion 5.2 y el Corolario 4.3,
R(A2)
+R(B2)
= R(A2 +B2
)= R
((A2 +B2)1/2
)= R(A) +R(B) = R(A+B).
Ahora bien, dado h ∈ N, supongamos que R(A2h
)+ R
(B2h
)= R(A) + R(B).
Luego, por el Corolario 4.3, la Preposicion 5.2 y el Lema 7.1,
R(A) +R(B) = R(A2h
)+R
(B2h
)= R
((A2h+1
+B2h+1)1/2)
= R(A2h+1
+B2h+1)
= R(A2h+1
)+R
(B2h+1
).
En consecuencia, por el Principio de Induccion, para cada n ∈ N, se verifica:
R(A2n
)+R
(B2n
)= R
(A2n +B2n
)= R(A) +R(B).
Mas aun, dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tales que max {p, q} ≤ 2n. Por la prueba de
(2) =⇒ (3) del Teorema 7.3,
R (Ap +Bq) = R(A2n
)+R
(B2n
)= R(A) +R(B) = R(A+B).
71
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Corolario 7.3
Sean A, B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) es cerrado.
2 |A∗|+ |B∗| tiene rango cerrado.
3 |A∗|p + |B∗|q tiene rango cerrado para cada p, q ∈ R+.
4 R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B).
5 R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B).
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Por el Corolario 4.2, R(A) = R (|A∗|) y R(B) = R (|B∗|). Supongamos
que R(A) +R(B) = R (|A∗|) +R (|B∗|) es denso. Luego, como se verifica que
|A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, por el Teorema 7.3, |A∗|+ |B∗| tiene rango cerrado.
(2) =⇒ (3) Dado que |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, si |A∗|+ |B∗| tiene rango cerrado enton-
ces, por el Teorema 7.3, el operador |A∗|p + |B∗|q tiene rango cerrado para
p, q ∈ R+.
(3) =⇒ (1) Asumamos que |A∗|p+ |B∗|q tiene rango cerrado para p, q ∈ R+. Luego,
por el Teorema 7.3 y el Corolario 5.1, R (|A∗|) + R (|B∗|) = R(A) + R(B) es
cerrado pues |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+.
(1)⇐⇒ (4) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por el Corolario 4.3
y la Proposicion 5.2, R(A)+R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2
)= R (AA∗ +BB∗).
Recıprocamente, por el Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2, R(A) +R(B) v H
pues R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2
).
(1)⇐⇒ (5) Supongamos que R(A) +R(B) es cerrado. Luego, por el Corolario 7.2,
R(A) + R(B) = R(A + B). Ası, R(A) ⊆ R(A+B) y R(B) ⊆ R(A+B) por
lo que R(A) + R(B) ⊆ R(A+B) = R(A+ B) = R(A) + R(B). Ademas, por
el Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2,
R(A) +R(B) = R(
(AA∗ +BB∗)1/2)
= R(AA∗ +BB∗)
⊆ R(AA∗) +R(BB∗) ⊆ R(A) +R(B)
⊆ R(A) +R(B)
72
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
En consecuencia, de la doble inclusion, R(AA∗ + BB∗) = R(A) + R(B).
Recıprocamente, si R(A) + R(B) = R(AA∗ + BB∗) entonces se cumple que
R(A) ⊆ R(AA∗ + BB∗) y R(B) ⊆ R(AA∗ + BB∗). De esta manera, por el
Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2,
R(A) +R(A) ⊆ R(AA∗ +BB∗) ⊆ R((AA∗ +BB∗)1/2
)⊆ R(A) +R(B).
Ası, R(A) + R(A) = R(AA∗ + BB∗) = R((AA∗ +BB∗)1/2
)= R(A) + R(B)
es cerrado.
En lo que sigue, demostraremos dos resultados validos para operadores acotados sobre
un espacio de Hilbert que nos seran de ayuda para probar un teorema de Fillmore y
Williams dado en [10] que vincula la propiedad “R(A) +R(B) v H”.
Proposicion 7.1
Sea T ∈ L(H). Entonces T∣∣∣Ker(T )⊥ : Ker(T )⊥ −→ R(T ) es un isomorfismo.
Ademas, si R(T ) es cerrado entonces T∣∣∣Ker(T )⊥ ∈ L(Ker(T )⊥, R(T )).
Demostracion:
Sean x, y ∈ Ker(T )⊥ tales que T (x) = T (y). De este modo, se verifica la igualdad
T (x−y) = T (x)−T (y) = ~0 con lo cual x−y ∈ Ker(T )∩Ker(T )⊥ ={~0}
. Ası, x = y
por lo que T ∈ Hom(H) es un monomorfismo. Por otro lado, dado y ∈ R(T ), existe
x ∈ H tal que T (x) = y. Luego, como Ker(T ) v H, Ker(T ) ⊕Ker(T )⊥ = H con
lo cual existen unicos x1 ∈ Ker(T ) y x2 ∈ Ker(T )⊥ tales que x = x1 + x2. De esta
menera, T ∈ Hom(H) es un epimorfismo pues, dado y ∈ R(T ), existe x2 ∈ Ker(T )⊥
tal que y = T (x) = T (x1 + x2) = T (x1) + T (x2) = ~0 + T (x2) = T (x2). Por lo tanto
resulta que T∣∣∣Ker(T )⊥ : Ker(T )⊥ −→ R(T ) es un isomorfismo.
Ahora bien, supongamos que R(T ) v H. Como Ker(T )⊥ y R(T ) son subespacios
cerrados de H, con el producto interno inducido por H, son espacios de Hilbert. De
esta manera, como T ∈ L(H) resulta que:∥∥T ∣∣Ker(T )⊥∥∥L(Ker(T )⊥,R(T ))
= supx∈B
Ker(T )⊥
‖Tx‖R(T )
≤ supx∈BH
‖Tx‖H = ‖T‖L(H) < +∞.
Esto muestra que T∣∣∣Ker(T )⊥ ∈ L(Ker(T )⊥, R(T )).
73
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Proposicion 7.2
Sea A ∈ L(H). Si existe B ∈ L(H) tal que BA = I, se tiene que R(A) es cerrado.
Demostracion:
Es claro que R(A) ⊆ R(A). Supongamos que y ∈ R(A). Luego, existe una sucesion
{Axn}n∈N ⊆ R(A) tal que lımn−→∞
Axn = y. Ahora bien, como B ∈ L(H) se tiene
que, lımn−→∞
xn = lımn−→∞
BAxn = B(
lımn−→∞
Axn
)= By. De esta manera, por la
continuidad de A ∈ L(H), lımn−→∞
Axn = A(
lımn−→∞
xn
)= ABy. Ası, por la unicidad
del lımite, y = ABy por lo que R(A) ⊆ R(A) pues y ∈ R(A). De la doble inclusion
se deduce la igualdad R(A) = R(A) mostrando que R(A) v H.
Teorema 7.4
Sean A,B ∈ L(H). Si R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado entonces R(A) y R(B)
son subespacios cerrados.
Demostracion:
Sean A,B ∈ L(H). Luego, por la Proposicion 7.1, las siguientes aplicaciones son
isomorfismos:
A∣∣∣Ker(A)⊥ : Ker(A)⊥ −→ R(A) y B
∣∣∣Ker(B)⊥ : Ker(B)⊥ −→ R(B).
Consideremos el operador T ∈ L(H) definido de la siguiente manera:
T : Ker(A)⊥ ⊕Ker(B)⊥ −→ R(A)⊕R(A)
T (w1 + w2) = Aw1 +Bw2
donde w1 ∈ Ker(A)⊥ y w2 ∈ Ker(B)⊥. Notar que es un isomorfismo. En efecto:
Inyectividad: Sea w ∈ Ker(T ) ⊆ Ker(A)⊥⊕Ker(B)⊥. Luego Tw = ~0 y ademas,
w = w1 + w2 con w1 ∈ Ker(A)⊥ y w2 ∈ Ker(B)⊥. De esta manera se tiene
que Tw = T (w1 + w2) = Aw1 + Bw2 = ~0. Como ~0 ∈ R(A)⊕R(B) se escribe
de una unica manera, la obvia, resulta que Aw1 = ~0 y Bw2 = ~0, con lo
cual w1 ∈ Ker(A) y w2 ∈ Ker(B). Ası, w1 ∈ Ker(A) ∩ Ker(A)⊥ ={~0}
y
w2 ∈ Ker(B)∩Ker(B)⊥ ={~0}
, lo que implica que w1 = w2 = ~0, i.e., w = ~0.
En consecuencia, Ker(T ) ={~0}
con lo cual el operador T es inyectivo.
74
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Suryectividad: Sea y ∈ R(A) ⊕ R(B). Luego, y ∈ H se escribe de manera unica
como y = y1+y2 con y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(B), con lo cual existen x1 ∈ Ker(A)⊥
y x2 ∈ Ker(B)⊥ tales que, y1 = Ax1 e y2 = Bx2. De este modo se ve que
existe x := x1 + x2 ∈ Ker(A)⊥ ⊕Ker(B)⊥ cumpliendo que
T (x1 + x2) = Ax1 +Bx2 = y1 + y2 = y.
Entonces, para todo y ∈ R(A) ⊕ R(B), existe x ∈ Ker(A)⊥ ⊕ Ker(B)⊥ tal
que Tx = y. En consecuencia, T es suryectivo.
Mas aun, como T es biyectivo, R(T ) = R(A)⊕R(B) v H. Consideremos el operador,
S : R(A)⊕R(B) −→ Ker(A)⊥ ⊕Ker(B)⊥ definido de la siguiente manera:
S(y1 + y2) = x1 + x2 ⇐⇒ x1 ∈ Ker(A)⊥ y x2 ∈ Ker(B)⊥
son los unicos tales que Ax1 = y1 y Bx2 = y2.
Es claro, por definicion, que S = T−1. Ademas,
S∣∣R(A) A
∣∣∣Ker(A)⊥ = Id∣∣∣Ker(A)⊥
S∣∣R(B) B
∣∣∣Ker(B)⊥ = Id∣∣∣Ker(B)⊥
Con lo cual ambos operadores, A∣∣∣Ker(A)⊥ y B
∣∣∣Ker(B)⊥ tienen inversa a izquierda
y por ende, por la Proposicion 7.2, rango cerrado. En consecuencia,
R(A∣∣∣Ker(A)⊥ ) = R(A) v H
R(B∣∣∣Ker(B)⊥
)= R(B) v H.
Corolario 7.4
Sean A,B ∈ L(H)+ tales que R(A) ∩R(B) ={~0}
. Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) es cerrado.
2 R(A) y R(B) son cerrados y R(A+B) = R(A) +R(B).
75
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, como resulta que
R(A) ∩ R(B) ={~0}
, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son cerrados. Mas
aun, por el Corolario 7.2, R(A+B) = R(A) +R(B).
(2) =⇒ (1) Supongamos que R(A) y R(B) son cerrados y R(A+B) = R(A)+R(B).
Luego, por la Proposicion 5.2, R(A) = R(A1/2
)y R(B) = R
(B1/2
). Ademas,
por el Corolario 4.3,
R(A+B) = R(A) +R(B) = R(A1/2
)+R
(B1/2
)= R
((A+B)1/2
).
De esta manera, por la Proposicion 5.2, R(A) +R(B) = R(A+B) es cerrado.
7.2.3 R(A) +R(B) = H
Teorema 7.5
Sean A, B ∈ L(H)+. Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) = H.
2 A+B es invertible.
3 Ap +Bq es invertible para cada p, q ∈ R+
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Supongamos que R(A) +R(B) = H. Luego, R(A) +R(B) es cerrado y,
por el Corolario 7.2, R(A + B) = R(A) + R(B) = H por lo que A + B es un
epimorfismo. Ademas, por el Teorema 7.2, A+B es un monomorfismo puesto
que R(A) +R(B) es denso en H. Por lo tanto, A+B es un isomorfismo y en
consecuencia, A+B es invertible.
(2) =⇒ (3) Sean p, q ∈ R+. Supongamos que A+B es invertible. Dado que A+B
es inyectivo, por el Teorema 7.2, Ap + Bq es inyectivo. Por otro lado, como
A + B es suryectivo, R(A + B) = H es cerrado. Luego, por el Corolario 7.2,
76
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Ap +Bq es suryectivo pues R(Ap +Bq) = R(A) +R(B) = R(A+B) = H. De
esta manera, Ap +Bq es invertible.
(3) =⇒ (1) Supongamos que Ap + Bq es invertible para p, q ∈ R+. Luego, por el
Teorema 7.2, R(A)+R(B) es denso en H ya que Ap+Bq es inyectivo. Ademas,
como Ap + Bq es suryectivo, R(Ap + Bq) = H es cerrado y, por el Teorema
7.3, R(A) +R(B) es cerrado. Ası, R(A) +R(B) = R(A) +R(B) = H.
Corolario 7.5
Sean A, B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) = H.
2 |A∗|+ |B∗| es invertible.
3 |A∗|p + |B∗|q es invertible para cada p, q ∈ R+.
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Por el Corolario 4.2, R(A) = R(|A∗|) y R(B) = R(|B∗|). Supongamos
que R(A) +R(B) = R(|A∗|) +R(|B∗|) = H. Luego, como |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+,
por el Teorema 7.5, |A∗|+ |B∗| es invertible.
(2) =⇒ (3) Dado que |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, si |A∗|+ |B∗| es invertible entonces, por
el Teorema 7.5, |A∗|p + |B∗|q es invertible para cada p, q ∈ R+.
(3) =⇒ (1) Supongamos que |A∗|p + |B∗|q es invertible para cada p, q ∈ R+. Luego,
por el Corolario 4.2 y el Teorema 7.5, R(A) +R(B) = R(|A∗|) +R(|B∗|) = H
pues |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+.
Como consecuencia del Corolario 7.5, se obtiene la siguiente extension del Teorema de
Bikchentaev.
77
Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos
Corolario 7.6
Sean A, B ∈ L(H). Si A+B es inyectivo con rango cerrado entonces |A|p + |B|q es
invertible para cada p, q ∈ R+.
Demostracion:
Supongamos que A+B es inyectivo y R(A+B) v H. Luego, A∗ +B∗ tiene rango
cerrado. Mas aun, R(A∗ +B∗) = R(A∗) +R(B∗) = H. En efecto,
H = {0}⊥ = Ker(A+B)⊥ = R ((A+B)∗) = R(A∗ +B∗) ⊆ R(A∗) +R(B∗) ⊆ H.
Ası, por el Corolario 7.5, |(A∗)∗|p + |(B∗)∗|q = |A|p + |B|q es invertible para cada
p, q ∈ R+.
78
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
8 ¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
En la siguiente seccion estudiaremos la condicion “R(A) ⊕ R(B) es un subespacio
cerrado” para A,B ∈ L(H).
Para esto introduciremos nuevos conceptos y resultados que nos seran de utilidad.
Definicion:
Se dice que un operador T ∈ L(H) es una reflexion si T 2 = I.
Definicion:
Sea H un espacio de Hilbert y S, T subespacios de H. Se dice que H es suma
directa ortogonal de S y T , y se nota H = S � T , si H = S ⊕ T y S ⊥ T .
Proposicion 8.1
Sea P ∈ Hom(H). P es un proyector sı y solo sı 2P − I es una reflexion.
Demostracion:
Basta observar que (2P − I)2 − I = 4(P 2 − P ). En efecto:
(2P − I)2 − I = (2P − I)2 − I2 = [(2P − I) + I] [(2P − I)− I]
= 2P · 2(P − I) = 4P (P − I) = 4(P 2 − P ).
Ası, P es proyector ⇐⇒ (2P − I)2 − I = 4(P 2 − P ) = O ⇐⇒ P es una reflexion.
Lema 8.1
Sean A,B ∈ L(H). Si R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado entonces
H = R(A)⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
).
79
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
Demostracion:
Sean A,B ∈ L(H). Supongamos que R(A) ⊕ R(B) v H. Por la Proposicion 5.5 se
verifica:
R(A) +R(B) = R(A) +R(B) = R(A+B)
= Ker ((A+B)∗)⊥ = Ker (A∗ +B∗)⊥
= (Ker (A∗) ∩Ker (B∗))⊥ .
Ademas, dado que A∗, B∗ ∈ L(H), los subespacios Ker (A∗) ,Ker (B∗) son cerrados
por lo que Ker (A∗) ∩Ker (B∗) v H. Ası, por la Preposicion 10.9,(R(A) +R(B)
)⊥= (Ker (A∗) ∩Ker (B∗))⊥⊥ = Ker (A∗) ∩Ker (B∗) .
Luego, por la Proposicion 10.13, H =(R(A) +R(B)
)⊕(R(A) +R(B)
)⊥, es decir
que H =(R(A) +R(B)
)⊕Ker (A∗) ∩Ker (B∗).
Observemos que R(B) ∩ Ker (A∗) ∩ Ker (B∗) ={~0}
pues R(B) = Ker(B∗)⊥.
Ademas, los subespacios Ker (A∗) ∩Ker (B∗) y R(B) son ortogonales ya que
R(B) ⊆ R(A) +R(B) = (Ker (A∗) ∩Ker (B∗))⊥ .
En consecuencia, el subespacio R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗) esta bien definido.
Dado z ∈ H, existen unicos x ∈ R(A) + R(B), y ∈ Ker(A∗) ∩ Ker(B∗) tales
que z = x + y. Tambien, x ∈ R(A) + R(B) se escribe de la forma x = s + t
donde s ∈ R(A) y t ∈ R(B). Luego, z = x + y = (s + t) + y = s + (t + y)
con s ∈ R(A) y t + y ∈ R(B) � Ker(A∗) ∩ Ker(B∗) con lo cual se verifica que
z ∈ R(A) +(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
). Por lo tanto, como la otra inclusion es
trivial, se cumple que R(A) +(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
)= H.
Por otro lado, supongamos que existe w ∈ R(A) ∩(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
).
Como w ∈ R(A), w se puede escribir de manera unica como w = (w+~0) +~0 donde
w + ~0 ∈ R(A) + R(B) y ~0 ∈ Ker(A∗) ∩Ker(B∗). De igual modo, w se expresa de
manera unica como w = (~0+s)+t con ~0+s ∈ R(A)+R(B) y t ∈ Ker(A∗)∩Ker(B∗)
puesto que w ∈ R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗). Ası, w = (w+~0) +~0 = (~0 + s) + t con
lo cual w − s = (w +~0)− (~0 + s) = (t−~0) = t = ~0 pues
w − s = t ∈(R(A) +R(B)
)∩ (Ker (A∗) ∩Ker (B∗)) =
{~0}.
80
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
En consecuencia, w = s = t = ~0 pues w = s ∈ R(A)∩R(B) ={~0}
. Por tal motivo,
R(A) ∩(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
)={~0}
ya que la otra inclusion es evidente.
Finalmente, H = R(A)⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
).
Proposicion 8.2
Sea H un espacio de Hilbert. Si M y N son subespacios cerrados ortogonales de H
entonces M+N es un subespacio cerrado de H.
Demostracion:
Sabemos que si M y N son subespacios de H entonces M + N es un subespacio
de H. Ademas, M + N ⊆ M+N . Sea z ∈ M+N . Luego, existe una sucesion
{zn}n∈N ⊆ M +N tal que lımn−→+∞
zn = z por lo que {zn}n∈N es de Cauchy en H.
Tambien, para cada n ∈ N, existen xn ∈M, yn ∈ N tales que zn = xn + yn. Luego,
como M⊥ N , dados n,m ∈ N resulta:
‖zn − zm‖2H = ‖(xn − xm) + (yn − ym)‖2H = ‖xn − xm‖2H + ‖yn − ym‖2H .
Ası, {xn}n∈N, {yn}n∈N son de Cauchy en H pues ‖xn − xm‖H ≤ ‖zn − zm‖H y
‖yn − ym‖H ≤ ‖zn − zm‖H. Dado que H es completo y M,N v H, existen x ∈M,
y ∈ N tales que lımn−→+∞
xn = x y lımn−→+∞
yn = y. En consecuencia, z ∈M+N pues:
z = lımn−→+∞
zn = lımn−→+∞
xn + yn = lımn−→+∞
xn + lımn−→+∞
yn = x+ y.
Por lo tanto, M+N ⊆M+N . De la doble inclusion se deduce la igualdad.
!
Observacion:
Si bien la prueba dada anteriormente es elemental, con la teorıa que
hemos desarrollado hasta aquı, podemos dar una prueba mas breve.
En efecto, comoM y N son subespacios cerrados ortogonales por el
Lema 3.2, c0(M,N ) = 0 < 1. Ası, por el Teorema 3.1,M+N v H.
81
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
Proposicion 8.3
Sea T ∈ L(H). Luego, Ker(T ∗T ) = Ker(T ).
Demostracion:
Es evidente que Ker(T ) ⊆ Ker(T ∗T ) pues si Tx = ~0 entonces T ∗Tx = T ∗(Tx) = ~0.
Mas aun, si x ∈ Ker(T ∗T ) entonces se tiene que T ∗Tx = ~0 con lo cual se deduce
que ‖Tx‖2H = 〈Tx, Tx〉 = 〈T ∗Tx, x〉 = 0. Ası, Tx = ~0 y Ker(T ∗T ) ⊆ Ker(T ). De
la doble inclusion se deduce la igualdad.
Proposicion 8.4
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩R(B) ={~0}
. Entonces
Ker(AA∗ −BB∗) = Ker(A∗) ∩Ker(B∗).
Demostracion:
Es claro que Ker(A∗) ∩ Ker(B∗) ⊆ Ker(AA∗ − BB∗). En efecto, si se tiene que
z ∈ Ker(A∗) ∩Ker(B∗) entonces A∗z = B∗z = ~0 con lo cual (AA∗ − BB∗)z = ~0
pues (AA∗ − BB∗)z = AA∗z − BB∗z = A(A∗z) − B(B∗z) = ~0. Por otro lado,
supongamos que z ∈ Ker(AA∗ − BB∗). Luego, (AA∗ − BB∗)z = ~0 con lo cual
AA∗z = BB∗z = ~0 ya que R(A) ∩ R(B) ={~0}
. Ası, por la Proposicion 8.3,
z ∈ Ker(AA∗) ∩ Ker(BB∗) = Ker(A∗) ∩ Ker(B∗). En consecuencia se verifica
que Ker(AA∗ − BB∗) ⊆ Ker(A∗) ∩ Ker(B∗). De la doble inclusion se deduce la
igualdad.
Teorema 8.1
Sean A,B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado.
2 Existe una reflexion W ∈ L(H) tal que W (A+B) = A−B.
3 Existe una reflexion W ∈ L(H) tal que W (T1 + T2) = T1 − T2 para cada
T1, T2 ∈ L(H) cumpliendo que R(T1) = R(A) y R(T2) = R(B).
4
∥∥∥PR(A)PR(B)
∥∥∥L(H)
< 1.
82
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(A) ⊕ R(B) es un subespacio cerrado. Luego, por
el Lema 8.1, H = R(A) ⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
)por lo que tiene
sentido considerar el proyector P = PR(A)//R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗), i.e. el unico
cumpliendo que R(P ) = R(A) y Ker(P ) = R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗). Notar
que, por la Proposicion 8.2, R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗) v H. Luego, por la
Proposicion 10.7, P es un proyector acotado. Ahora bien, como para cada
x ∈ H se verifica que Ax ∈ R(A) ⊆ R(A) = R(P ), PAx = P (Ax) = Ax con
lo cual, PA = A. Del mismo modo, como Bx ∈ R(B) ⊆ R(B) ⊆ Ker(P ),
PBx = P (Bx) = ~0 para cada x ∈ H por lo que PB = O. Por tales motivos,
sea W ∈ L(H) dado por W = 2P − I. Luego, por la Proposicion 8.1, W es
una reflexion. Mas aun:
W (A+B) = (2P − I)(A+B) = 2PA+ 2PB −A−B = A−B.
Recıprocamente, supongamos que existe una reflexion W ∈ L(H) cumpliendo
que W (A+B) = A−B. Sea P ∈ L(H) dado por P = W+I2 . Por la Proposicion
8.1, P ∈ P(H) pues 2P − I = W es una reflexion. Ademas, se verifica:
P (A−B) =W + I
2(A−B) =
W (A−B)
2+A−B
2
=W 2(A+B)
2+A−B
2=A+B
2+A−B
2= A.
Del mismo modo,
(P − I)(A−B) = P (A−B)− (A−B) = A− (A−B) = B.
Por la Proposicion 10.6, Ker(P ) = R(P − I) y R(P ) = Ker(P − I) son
subespacios cerrados de H. Luego, R(A) = R (P (A−B)) ⊆ R(P ) = R(P ) y
R(B) = R ((P − I)(A−B)) ⊆ R(P − I) = Ker(P ). Luego, como se cumple
que Ker(P )⊕R(P ) = H, por el Teorema 3.1,
c0
(R(A), R(B)
)≤ c0 (R(P ),Ker(P )) < 1.
Ası, nuevamente por el Teorema 3.1, R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado.
(1)⇐⇒ (3) Sean T1, T2 ∈ L(H) cumpliendo que R(T1) = R(A) y R(T2) = R(B).
Supongamos que R(A) ⊕ R(B) es un subespacio cerrado. Luego, por el Le-
ma 8.1, H = R(A)⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)
)por lo que tiene sentido
83
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
considerar el proyector P = PR(A)//R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗) ∈ P(H), i.e. el unico
cumpliendo que R(P ) = R(A) y Ker(P ) = R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗). Aho-
ra bien, como para cada x ∈ H se verifica que T1x ∈ R(T1) ⊆ R(A) = R(P ),
PT1x = P (T1x) = T1x con lo cual, PT1 = T1. Del mismo modo, co-
mo T2x ∈ R(T2) ⊆ R(B) ⊆ Ker(P ), PT2x = P (T2x) = ~0 para cada
x ∈ H por lo que PT2 = O. Por tales motivos, sea W ∈ L(H) dado por
W = 2P − I. Luego, por la Proposicion 8.1, W es una reflexion. Mas aun,
W (T1 + T2) = (2P − I)(T1 + T2) = 2PT1 + 2PT2 − T1 − T2 = T1 − T2.
Recıprocamente, supongamos que existe una reflexion W ∈ L(H) cumpliendo
que W (T1 + T2) = T1 − T2 para cada T1, T2 ∈ L(H) con R(T1) = R(A) y
R(T2) = R(B). En particular, considerando T1 = A y T2 = B, existe una
reflexion W ∈ L(H) tal que W (A+B) = A−B. Luego, por (1)⇐⇒ (2) vale
que R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado.
(1)⇐⇒ (4) Basta notar que por el Lema 3.2,
∥∥∥PR(A)PR(B)
∥∥∥L(H)
= c0
(R(A), R(B)
).
Luego, el resultado se deduce directamente del Teorema 3.1.
Corolario 8.1
Sean A,B ∈ L(H). Si R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado entonces
R(A∗ +B∗) = R(A∗ −B∗) = R(A∗) +R(B∗).
Demostracion:
Supongamos que R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado de H. Por el Teorema 8.1,
existe una reflexion W ∈ L(H) tal que W (A + B) = A − B. Mas aun, dado que
W 2 = I, W ∈ Gl(H) y W−1 = W con lo cual A+B = W (A−B). De esta manera,
(A∗ + B∗)W ∗ = A∗ − B∗ y (A∗ − B∗)W ∗ = A∗ + B∗. Luego, por el Teorema de
Douglas, R(A∗ − B∗) ⊆ R(A∗ + B∗) y R(A∗ + B∗) ⊆ R(A∗ − B∗). Ası resulta
que R(A∗ − B∗) = R(A∗ + B∗). Ademas, como R(A∗ − B∗) ⊆ R(A∗ + B∗), por el
Corolario 6.1, R(A∗ −B∗) = R(A∗ +B∗) = R(A∗) +R(B∗).
84
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
Corolario 8.2
Sean A,B ∈ L(H). Si R(A∗)⊕R(B∗) es un subespacio cerrado entonces
R(A+B) = R(A−B) = R(A) +R(B).
Demostracion:
Se deduce del Corolario 8.1 ya que (A∗)∗ = A y (B∗)∗ = B.
Corolario 8.3
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩R(B) ={~0}
. Son equivalentes:
1 R(A) +R(B) es cerrado.
2 R(AA∗ +BB∗) es cerrado.
3 R(AA∗ −BB∗) es cerrado.
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(A) +R(B) es cerrado. Luego, por el Corolario 4.3,
R(A) + R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2
). Ası, por la Proposicion 5.2 se verifi-
ca que R (AA∗ +BB∗) = R((AA∗ +BB∗)1/2
)= R(A) + R(B) es cerrado.
Recıprocamente, si R (AA∗ +BB∗) es cerrado entonces por la Proposicion
5.2 y el Corolario 4.3, R(A) +R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2
)es cerrado.
(1)⇐⇒ (3) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por el Teorema 7.4,
R(A) yR(B) son subespacios cerrados. Mas aun, por el Corolario 7.3 se verifica
que R(AA∗+BB∗) = R(A)+R(B) es cerrado. Ası, como AA∗, BB∗ ∈ L(H)+,
por el Corolario 7.2, R(AA∗) +R(BB∗) = R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B) es
cerrado. Ademas, combinando el Corolario 4.3, la Proposicion 5.2 y el Coro-
lario 7.3,
R(AA∗) +R(BB∗) = R(
(AA∗(AA∗)∗ +BB∗(BB∗)∗)1/2)
= R (AA∗(AA∗)∗ +BB∗(BB∗)∗)
= R(AA∗) +R(BB∗) v H.
85
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
Tambien,{~0}⊆ R(AA∗) ∩R(BB∗) ⊆ R(A) ∩R(B) =
{~0}
. De esta manera,
R(AA∗)⊕R(BB∗) es cerrado. Luego, como AA∗ y BB∗ son operadores auto-
adjuntos, R ((AA∗)∗)⊕R ((AA∗)∗) = R(AA∗)⊕R(BB∗) es cerrado. Ası, por
el Corolario 8.2, R(AA∗−BB∗) = R(AA∗+BB∗) = R(AA∗) +R(BB∗) v H.
Recıprocamente, si R(AA∗−BB∗) es cerrado, como R(A)∩R(B) ={~0}
, por
la Proposicion 8.4, Ker(AA∗−BB∗) = Ker(A∗)∩Ker(B∗). Mas aun, por la
Proposicion 5.5, se cumple que:
R(A) +R(B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B) = Ker(A∗ +B∗)⊥
= (Ker(A∗) ∩Ker(B∗))⊥ = Ker(AA∗ −BB∗)⊥
= R(AA∗ −BB∗)⊥⊥ = R(AA∗ −BB∗)
= R(AA∗ −BB∗) ⊆ R(A) +R(B).
Por lo tanto, dado que R(A) + R(B) ⊆ R(A) +R(B), R(A) + R(B) es un
subespacio cerrado de H.
Corolario 8.4
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A)∩R(B) ={~0}
. Si R(A)+R(B) es cerrado entonces
R(AA∗ +BB∗) = R(AA∗ −BB∗) = R(A) +R(B).
Demostracion:
Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Entonces, por la prueba de (1) ⇐⇒ (3)
del Corolario 8.3, R(A) +R(B) ⊆ R(AA∗ − BB∗) ⊆ R(A) + R(B) con lo cual
R(AA∗−BB∗) = R(A) +R(B). Mas aun, por el Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2,
R(A) +R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2
)= R(AA∗ +BB∗). De esta manera,
R(AA∗ +BB∗) = R(AA∗ −BB∗) = R(A) +R(B).
86
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
Corolario 8.5
Sean A,B ∈ L(H). Son equivalentes:
1 R(A)⊕R(B) = H.
2 R(A) ∩R(B) ={~0}
y AA∗ +BB∗ es invertible.
3 R(A) ∩R(B) ={~0}
y AA∗ −BB∗ es invertible.
Demostracion:
(1) =⇒ (3) Supongamos que R(A) ⊕ R(B) = H. Luego, R(A) ∩ R(B) ={~0}
y
R(A) +R(B) = H. Por el Corolario 8.4, R(AA∗−BB∗) = R(A) +R(B) = H.
Luego, por el Teorema 7.5, A+B es invertible con lo cual A∗ +B∗ ∈ Gl(H).
De esta manera, por las Proposiciones 5.5 y 8.4, AA∗−BB∗ es inyectivo pues
Ker(AA∗−BB∗) = Ker(A∗)∩Ker(B∗) = Ker(A∗+B∗) ={~0}
. Por lo tanto
AA∗ −BB∗ es invertible.
(3) =⇒ (2) Supongamos que R(A)∩R(B) ={~0}
y AA∗−BB∗ es invertible. Luego,
por los Corolarios 8.3 y 8.4, R(AA∗ − BB∗) = R(A) + R(B) = H. Segun
la prueba de (1) ⇐⇒ (3) del Corolario 8.3, como R(A) + R(B) es cerrado,
R(AA∗) ⊕ R(BB∗) es cerrado. En consecuencia, por el Teorema 8.1, existe
una reflexion W ∈ Gl(H) tal que W (AA∗ + BB∗) = AA∗ − BB∗. Dado que
W−1 = W , AA∗ + BB∗ = W (AA∗ − BB∗) por lo que AA∗ + BB∗ ∈ Gl(H)
por ser producto de operadores invertibles.
(3) =⇒ (2) Supongamos que R(A)∩R(B) ={~0}
y AA∗−BB∗ es invertible. Luego,
por los Corolarios 8.3 y 8.4,
R(AA∗ +BB∗) = R(AA∗ −BB∗) = R(A) +R(B) = H.
Ası, por el Teorema 7.5, A+B es invertible con lo cual A∗ +B∗ ∈ Gl(H). De
esta manera, por las Proposiciones 5.5 y 8.3, AA∗ + BB∗ es inyectivo puesto
que
Ker(AA∗ +BB∗) = Ker(AA∗) ∩Ker(BB∗)
= Ker(A∗) ∩Ker(B∗) = Ker(A∗ +B∗) ={~0}.
87
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
De este modo, AA∗ + BB∗ es un isomorfismo. En consecuencia, AA∗ + BB∗
es invertible.
(2) =⇒ (1) Supongamos que R(A) ∩R(B) ={~0}
y AA∗ +BB∗ es invertible. Ası,
por los Corolarios 8.3 y 8.4, R(AA∗ + BB∗) = R(A) + R(B) = H. De esta
manera, R(A)⊕R(B) = H.
Dados A,B ∈ L(H)+, Bikchentaev en [4] probo que si A−B es invertible, A+B tambien
lo es. Observar que esta afirmacion puede ser derivada del Teorema 7.5. De hecho, si A−B
es invertible entonces H = R(A−B) ⊆ R(A) +R(B). Ası R(A) +R(B) = H con lo cual
A+B es invertible.
En la siguiente proposicion estudiaremos la invertibilidad simultanea de A+B y A−B
para A,B ∈ L(H).
Proposicion 8.5
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩R(B) ={~0}
. Luego,
A−B es invertible sı y solo sı A+B es invertible.
Demostracion:
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩ R(B) ={~0}
. Supongamos que A − B es
invertible. Luego, H = R(A−B) ⊆ R(A)+R(B) ⊆ H por lo que R(A)⊕R(B) = H.
De este modo, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son subespacios cerrados. Ası, por
la Proposicion 10.7, el operador P = PR(A)//R(B) ∈ P(H). Notar que, dado x ∈ H,
Ax ∈ R(A) = R(P ) y Bx ∈ R(B) = Ker(P ) con lo cual PAx = Ax y PBx = ~0. Es
decir, PA = A y PB = O. Sea W ∈ L(H) dado por W = 2P −I. Por la Proposicion
8.1, se tiene que W es una reflexion. Mas aun:
W (A−B) = (2P − I)(A−B) = 2PA− 2PB −A+B = A+B.
De esta manera, como W 2 = I, W ∈ Gl(H) y W−1 = W se tiene que A+B ∈ Gl(H)
por ser producto de operadores invertibles. Recıprocamente, asumamos que A+B
es invertible. Luego, por el Corolario 7.2, R(A+B) = R(A)+R(B) = H. Ası resulta
88
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
que R(A)⊕R(B) = H. De aquı que, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son cerrados.
Ası, por la Proposicion 10.7, el operador P = PR(A)//R(B) ∈ P(H). Ademas, como
PA = A y PB = O, el operador W ∈ L(H) dado por W = 2P − I es una reflexion
tal que W (A − B) = A + B. Dado que W ∈ Gl(H) y W−1 = W se cumple que
A−B = W (A+B). En consecuencia, A−B ∈ Gl(H) por ser producto de operadores
invertibles.
Corolario 8.6
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩ R(B) ={~0}
. Si A − B es invertible entonces
R(A) y R(B) son subespacios cerrados.
Demostracion:
Supongamos que A − B es invertible. Luego, por la Proposicion 8.5, A + B es
invertible. Ası, por el Corolario 7.2, R(A) + R(B) = R(A + B) = H con lo cual
R(A)⊕R(B) = H. Por lo tanton, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son subespacios
cerrados.
89
¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?
90
Proyecciones
9 Proyecciones
Comenzaremos con dos extensiones de una bella formula de T. Ando, dada en [1],
quien probo que para un par subespacios cerrados S, T v H tales que S ⊕ T = H, vale la
siguiente formula:
PS//T = PS(PS + PT )−1.
Teorema 9.1
Sean A,B ∈ L(H)+ tales que R(A)⊕R(B) = H. Entonces,
PR(A)//R(B) = A(A+B)−1 = A(A−B)−1.
Demostracion:
Sean A,B ∈ L(H)+ tales que R(A) ⊕ R(B) = H. Por el Teorema 7.4, R(A) y
R(B) son subespacios cerrados de H. Luego, por la Proposicion 10.7 se obtiene que
P := PR(A)//R(B) ∈ L(H). Mas aun, por el Teorema 7.5, A+B es invertible y, por la
Proposicion 8.5, A−B tambien lo es. Ademas, como para todo x ∈ H, Ax ∈ R(A)
y Bx ∈ R(B), P (Ax) = Ax y P (Bx) = ~0 con lo cual PA = A y PB = O. De esta
manera se tiene que P (A ± B) = PA ± PB = A ± O = A. Ası, P = A(A ± B)−1.
Es decir que, PR(A)//R(B) = A(A+B)−1 = A(A−B)−1.
Corolario 9.1
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A)⊕R(B) = H. Entonces,
PR(A)//R(B) = AA∗(AA∗ ±BB∗)−1.
Demostracion:
Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ⊕ R(B) = H. Por el Corolario 8.5, AA∗ ± BB∗
es invertible con lo cual R(AA∗ +BB∗) = H. Ademas,
H = R(AA∗ +BB∗) ⊆ R(AA∗) +R(BB∗) ⊆ R(A) +R(B) = H.
91
Proyecciones
Ası, R(AA∗) + R(BB∗) = H. Tambien, R(AA∗) ∩ R(BB∗) ={~0}
pues se verifica
que ~0 ∈ R(AA∗) ∩ R(BB∗) y R(AA∗) ∩ R(BB∗) ⊆ R(A) ∩ R(B) ={~0}
. De esta
manera, R(AA∗)⊕R(BB∗) = H y, como AA∗, BB∗ ∈ L(H)+, por el Teorema 9.1,
PR(AA∗)//R(BB∗) = AA∗(AA∗ ±BB∗)−1.
Mas aun, notar que, como R(AA∗)⊕R(BB∗) = R(A)⊕R(B) = H, para cada x ∈ H,
existen unicos w ∈ R(AA∗) ⊆ R(A) y z ∈ R(BB∗) ⊆ R(B) tales que x = w+ z con
lo cual PR(AA∗)//R(BB∗)x = w = PR(A)//R(B)x. Por lo tanto,
PR(A)//R(B) = PR(AA∗)//R(BB∗) = AA∗(AA∗ ±BB∗)−1.
El siguiente resultado sobre proyecciones ortogonales fue demostrado por J. J. Koliha
y V. Rakocevic en [14]. Sin embargo, adaptaremos la prueba dada por Arias, Corach y
Gonzalez en [2] que no utiliza propiedades espectrales de las proyecciones consideradas.
Proposicion 9.1
Sean P,Q ∈ P(H). Luego,
R(P +Q) es cerrado sı y solo sı R(P −Q) es cerrado.
Demostracion:
Supongamos que R(P +Q) es cerrado. Como P,Q ∈ P(H), por la Proposicion 10.6,
los subespaciosR(P ) yR(Q) cerrados y por ende, espacios de Hilbert con el producto
interno inducido por H. Sean S := R(Q) ∩ R(P ) v H y T := R(Q) R(P ) v H.
Ası, por la Proposicion 3.1, se verifica que S ⊕ T = R(Q) y ademas,
(R(P ) ∩R(Q))⊕ (R(P )R(Q)) = S ⊕(R(P ) ∩ S⊥
)= R(P ).
De esta manera, por la Proposicion 3.3,
R(P ) +R(Q) = R(P )R(Q) +R(P ) ∩R(Q) +R(Q)R(P ) = R(P ) + T .
En consecuencia, R(P ) + R(Q) = R(P ) ⊕ T ya que R(P ) ∩ T ={~0}
. Ahora
bien, considerando a R(Q) como espacio de Hilbert, por el Corolario 10.2, resulta
que PS + PT = IR(Q) puesto que T ⊥ =(R(Q) ∩ S⊥
)⊥= S⊥⊥ = S. Luego, dado
92
Proyecciones
que Q ∈ P(H), actua como la identidad en su rango, con lo cual PS + PT = Q.
Analogamente, considerando a R(P ) como espacio de Hilbert y dado que P ∈ P(H),
PS + PS⊥ = P . De este modo, R(PS⊥) = R(P ) ∩ S⊥ y R(PT ) = T = R(Q) ∩ S⊥
por lo que se cumple que R(PS⊥) ∩ R(PT ) = S ∩ S⊥ ={~0}
. Ademas, por el
Corolario 7.2, R(P ) +R(Q) = R(P +Q) es cerrado con lo cual, por el Teorema 3.2,
R(PS⊥)+R(PT ) es cerrado ya que R(PS⊥)+R(PT ) = R(P )R(Q)+R(Q)R(P ).
Luego, como R(PS⊥)⊕R(PT ) = R(PS⊥)⊕R(PT ) , por el Corolario 8.1,
R (PS⊥) +R (PT ) = R(P ∗S⊥
)+R (P ∗T ) = R
(P ∗S⊥ + P ∗T
)= R
(P ∗S⊥ − P
∗T)
= R (PS⊥ − PT )
= R (P − PS − PT ) = R (P −Q) .
Por lo tanto, R (P −Q) es cerrado. Recıprocamente, supongamos que R (P −Q) es
cerrado. Luego, H = R (P −Q) ⊕ R (P −Q)⊥ = R (P −Q) ⊕ Ker (P −Q) pues,
dado que P,Q ∈ P(H), R (P −Q)⊥ = Ker ((P −Q)∗) = Ker (P −Q). Ası, por el
Teorema 3.11, el operador (P −Q)2 ∈ L(H) tiene rango cerrado. En consecuencia,
por la Proposicion 8.3, se verifica:
R(P −Q) = R(P −Q) = Ker ((P −Q)∗)⊥ = Ker (P −Q)⊥
= Ker ((P −Q)∗(P −Q))⊥ = R ((P −Q)∗(P −Q))
= R ((P −Q)2) = R((P −Q)2
)Ahora bien, como P,Q ∈ P(H), (P −Q)2 = (P +Q) · (2I − P −Q). Luego, por
el Teorema de Douglas, R(
(P −Q)2)⊆ R (P +Q) con lo cual se cumple que
R (P −Q) ⊆ R (P +Q). Ası, por los Corolarios 6.1 y 4.3,
R (P +Q) = R (P ) +R (Q) = R(
(P +Q)1/2)
.
Por lo tanto, por la Proposicion 5.2, R (P +Q) es cerrado.
93
Proyecciones
Los siguientes resultados de J. J. Koliha y V. Rakocevic se encuentran en [14].
Lema 9.1
Sean P,Q ∈ Q(H). Se verifican:
1 Ker(I − PQ) = R(P ) ∩R(Q).
2 Ker(P −Q) = (R(P ) ∩R(Q))⊕ (Ker(P ) ∩Ker(Q)) .
3 Ker (P (I −Q)) = R(Q)⊕ (Ker(P ) ∩Ker(Q)).
Demostracion:
Recordar que, por la Proposicion 10.2, un operador es proyector sı y solo sı actua
como la identidad en su rango. Ahora bien,
1 Sea y ∈ R(P ) ∩ R(Q). Luego, como P,Q ∈ Q(H), Py = Qy = y con lo cual
PQy = P (Qy) = Py = y. Ası, y ∈ Ker(I−PQ) puesto que (I−PQ)y = ~0. En
consecuencia, R(P ) ∩ R(Q) ⊆ Ker(I − PQ). Por otro lado, supongamos que
x ∈ Ker(I − PQ). Luego, (I − PQ)x = ~0 por lo que x = PQx = Px ∈ R(P ).
De esta manera, como x−Qx ⊥ Qx para cada x ∈ H resulta:
‖x−Qx‖2H = 〈x−Qx, x−Qx〉H = 〈x−Qx, x〉H − 〈x−Qx,Qx〉H
= 〈x−Qx, x〉H = 〈x−Qx,Px〉H = 〈P ∗(x−Qx), x〉H
= 〈P (x−Qx), x〉H = 〈Px− PQx, x〉H = 0.
Ası, x = Qx ∈ R(Q) por lo que x ∈ R(P )∩R(Q). En consecuencia se verifica
que Ker(I−PQ) ⊆ R(P )∩R(Q). De la doble inclusion se deduce la igualdad.
2 Como P,Q ∈ Q(H), por la Proposicion 10.3, es claro que
(R(P ) ∩R(Q)) ∩ (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ={~0}
.
Sea z ∈ (R(P ) ∩R(Q))+(Ker(P ) ∩Ker(Q)). Luego, existen y ∈ R(P )∩R(Q)
y x ∈ Ker(P )∩Ker(Q) tales que z = y+x. Entonces se tiene que Px = Qx = ~0
y Py = Qy = y. Ası, z ∈ Ker(P −Q). En efecto:
(P −Q)z = Pz −Qz = P (y + x)−Q(y + x)
= Py + Px−Qy −Qx = Py −Qy = ~0.
94
Proyecciones
De esta manera, (R(P ) ∩R(Q)) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ⊆ Ker(P − Q). Por
otro lado, sea x ∈ Ker(P −Q). Luego, (P −Q)x = ~0 con lo cual existe w ∈ H
tal que Px = Qx = w. Ası, w ∈ R(P ) ∩ R(Q). Ademas, como P,Q ∈ Q(H),
Pw = Qw = w = Qx = Px por lo que x − w ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q) pues
P (x − w) = Q(x − w) = ~0. Luego, x = w + (x − w) con w ∈ R(P ) ∩ R(Q) y
x− w ∈ Ker(P ) ∩Ker(Q). Por lo tanto,
Ker(P −Q) ⊆ (R(P ) ∩R(Q)) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)).
De la doble inclusion se deduce la igualdad buscada.
3 Observar que R(Q) ⊆ Ker (P (I −Q)) pues, dado y ∈ R(Q), Qy = y, por
lo que y ∈ Ker (P (I −Q)) ya que P (I − Q)y = P (y − Qy) = ~0. Asimismo,
Ker(P ) ∩ Ker(Q) ⊆ Ker (P (I −Q)). En efecto, si x ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q)
entonces Px = Qx = ~0. Luego, P (I −Q)x = P (x−Qx) = Px = ~0 con lo cual
x ∈ Ker (P (I −Q)). En consecuencia,
R(Q) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ⊆ Ker (P (I −Q)) .
Por otro lado, notar que si x ∈ Ker (P (I −Q)) entonces P (x −Qx) = ~0 por
lo que x − Qx ∈ Ker(P ). Ademas, x − Qx ∈ Ker(Q) pues Q ∈ Q(H). Ası,
como x = Qx + (x − Qx) donde Qx ∈ R(Q) y x − Qx ∈ Ker(P ) ∩Ker(Q),
se cumple que Ker (P (I −Q)) ⊆ R(Q) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)). De la doble
inclusion se deduce la igualdad buscada. Mas aun, como Q ∈ Q(H), por la
Proposicion 10.3, es evidente que R(Q) ∩ (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ={~0}
.
Proposicion 9.2
Sean P,Q ∈ Q(H). Si P −Q ∈ L(H) es inyectivo entonces
Ker(P +Q) = Ker(P ) ∩Ker(Q).
95
Proyecciones
Demostracion:
Sea x ∈ H tal que x ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q). Luego, Px = Qx = ~0 con lo cual
x ∈ Ker(P + Q) pues (P + Q)x = Px + Qx = ~0. De esta manera, se verifica que
Ker(P ) ∩Ker(Q) ⊆ Ker(P +Q). Por otro lado, si x ∈ Ker(P +Q), existe w ∈ H
tal que Px = −Qx = Q(−x) = w con lo cual Pw = w = Qw. Ası, w ∈ Ker(P −Q).
De esta manera, w = ~0 pues P − Q es inyectivo, i.e., Ker(P − Q) ={~0}
. En
consecuencia, Px = Qx = ~0 por lo que x ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q). Por lo tanto,
Ker(P +Q) ⊆ Ker(P ) ∩Ker(Q). De la doble inclusion se deduce la igualdad.
Finalizaremos mostrando una serie de resultados vinculados con proyecciones oblicuas
que siguen el mismo espıritu que los demostrados en la seccion “Extension del Teorema
de Bikchentaev a la aditividad de rangos”.
Teorema 9.2
Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Son equivalentes:
1 R(E − E∗) es un subespacio denso de H.
2 R(E + E∗) es un subespacio denso de H y R(E) ∩R(E∗) ={~0}
.
3 R(E)⊕R(E∗) es un subespacio denso de H
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Supongamos que R(E−E∗) es un subespacio denso de H. Luego, por la
Proposicion 10.10, Ker(E−E∗) = Ker(E∗−E) = R(E−E∗)⊥ ={~0}
y, por
el Lema 9.1, Ker(E − E∗) = (R(E) ∩R(E∗))⊕ (Ker(E) ∩Ker(E∗)) ={~0}
con lo cual R(E)∩R(E∗) = Ker(E)∩Ker(E∗) ={~0}
. Como E−E∗ ∈ L(H)
es inyectivo, por la Proposicion 9.2, Ker(E+E∗) = Ker(E)∩Ker(E∗) ={~0}
.
En consecuencia, R(E + E∗) = Ker(E + E∗)⊥ ={~0}⊥
= H. Por lo tanto,
R(E + E∗) es un subespacio denso de H.
(2) =⇒ (3) Supongamos que R(E + E∗) es denso en H y R(E) ∩ R(E∗) ={~0}
.
Ası, H = R(E + E∗) ⊆ R(E) +R(E∗) ⊆ H con lo cual R(E) +R(E∗) = H.
De esta forma, R(E)⊕R(E∗) es un subespacio denso de H.
96
Proyecciones
(3) =⇒ (1) Supongamos que R(E) ⊕ R(E∗) es denso en H. Luego, se tiene que,
R(E) ∩R(E∗) ={~0}
. Y, por la Proposicion 10.9, Ker(E) ∩Ker(E∗) ={~0}
puesto que, por la Proposiciones 10.11 y 10.6, se verifica:
(Ker(E) ∩Ker(E∗))⊥ = Ker(E)⊥ +Ker(E∗)⊥
= R(E∗) +R(E) = R(E∗) +R(E) = H.
Por el Lema 9.1,
Ker(E − E∗) = (R(E) ∩R(E∗))⊕ (Ker(E) ∩Ker(E∗)) ={~0}
.
En consecuencia, R(E − E∗) = Ker(E − E∗)⊥ ={~0}⊥
= H. Por lo tanto,
R(E − E∗) es un subespacio denso de H.
Proposicion 9.3
Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Se verifican:
1 EP = P y PE = E.
2 R(E − P ) ⊥ R(E∗ − P ).
3 R(E − E∗) = R(E − P ) �R(E∗ − P ).
4 Ker(E + E∗) = Ker(E∗) ∩Ker(E − P ).
5 R(E + E∗) = R(E) �R(E∗ − P ).
Demostracion:
1 Dado x ∈ H, por la Proposicion 10.13, Px ∈ R(E). Luego, como E ∈ Q(H),
por la Proposicion 10.2, E(Px) = Px con lo cual EP = P . Por otro lado,
como para cada x ∈ H, Ex ∈ R(E), por la Proposicion 10.13, P (Ex) = Ex
por lo que PE = P .
2 Sean y ∈ R(E − P ) y z ∈ R(E∗ − P ). Luego, existen x,w ∈ H tales que
97
Proyecciones
y = (E − P )x y z = (E∗ − P )w. De esta manera,
〈y, z〉 = 〈(E − P )x, (E∗ − P )w〉
= 〈(E − P )x,E∗w〉 − 〈(E − P )x, Pw〉
= 〈E(E − P )x,w〉 − 〈P ∗(E − P )x,w〉
= 〈E(E − P )x,w〉 − 〈P (E − P )x,w〉
=⟨(E2 − EP )x,w
⟩−⟨(PE − P 2)x,w
⟩= 〈(E − P )x,w〉 − 〈(E − P )x,w〉
= 0.
Por lo tanto, R(E − P ) y R(E∗ − P ) son subespacios ortogonales de H.
3 Dado y ∈ R(E − E∗), existe x ∈ H tal que y = (E − E∗)x. Luego,
y = (E − P )x+ (P − E∗)x = (E − P )x+ (E∗ − P )(−x).
Ası, y ∈ R(E − P ) +R(E∗ − P ) con lo cual
R(E − E∗) ⊆ R(E − P ) +R(E∗ − P ).
Recıprocamente, supongamos que y ∈ R(E −P ) +R(E∗−P ). Luego, existen
x, z ∈ H tales que y = (E − P )x + (E∗ − P )z. Como R(E) ⊕ R(E)⊥ = H,
existen unicos x1, z1 ∈ R(E) y x2, z2 ∈ R(E)⊥ cumpliendo que x = x1 + x2 y
z = z1 + z2. De este modo se verifica que y ∈ R(E − E∗) pues:
y = (E − P )x1 + (E − P )x2 + (E∗ − P )z1 + (E∗ − P )z2
= Ex1 − Px1 + Ex2 − Px2 + E∗z1 − Pz1 + E∗z2 − Pz2
= Ex2 + E∗z1 − z1 = Ex2 + E∗z1 − Ez1
= Ex2 − (E − E∗)z1 = Ex2 − (E − E∗)z1 − E∗x2
= (E − E∗)x2 − (E − E∗)z1
= [E − E∗] (x2 − z1).
Ası, R(E − P ) +R(E∗ − P ) ⊆ R(E − E∗) y, de la doble inclusion, se deduce
la igualdad. Por otro lado, del ıtem 1, es claro que E(I − P ) = E − P y
(E∗− I)P = E∗−P . Luego, por el Teorema de Douglas, R(E−P ) ⊆ R(E) y
98
Proyecciones
R(E∗−P ) ⊆ R(E∗−I). Ademas, como E∗−I ∈ Q(H), por la Proposicion 10.6,
R(E∗−P ) ⊆ R(E)⊥ ya que R(E∗−I) = Ker(E∗) = R(E)⊥. En consecuencia,
R(E − P ) ∩R(E∗ − P ) ⊆ R(E) ∩R(E)⊥ ={~0}
.
De esta manera, como E − P y E∗ − P son subespacios de H resulta que
R(E−P )∩R(E∗−P ) ={~0}
. Mas aun, como R(E−P ) ⊥ R(E∗−P ) resulta
que R(E − E∗) = R(E − P ) �R(E∗ − P ).
4 Como R(E) ⊕ R(E)⊥ = H, dado x ∈ H, existen y son unicos x1 ∈ R(E),
x2 ∈ R(E)⊥
(E + E∗)x = E(x1 + x2) + E∗(x1 + x2)
= E(x1) + E(x2) + E∗(x1) + E∗(x2)
= x1 + E(x2) + E∗(x1) = 2x1 + (−x1 + E∗(x1)) + Ex2
= 2x1 + (E − P )x2 − (P − E∗)x1 = ~0.
Ası, 2x1 + (E − P )x2 = (P −E∗)x1 = ~0 puesto que 2x1 + (E − P )x2 ∈ R(E)
y (P − E∗)x1 ∈ R(E∗ − P ) ⊆ R(E)⊥. Luego,
(P − E∗)(E − P )x2 = 2(P − E∗)x1 + (P − E∗)(E − P )x2
= [P − E∗] (2x1 + (E − P )x2) = ~0.
En consecuencia, Ex2 = (E − P )x2 ∈ R(E − P ) ∩ Ker(E∗ − P ) ={~0}
ya
que Ker(E∗ − P ) = R(E − P )⊥. Ası, si Ex2 = ~0 entonces x1 + E∗(x1) = ~0
por lo que E∗ (x1 + E∗(x1)) = 2E∗(x1) = ~0, i.e., x1 ∈ Ker(E∗) ∩ R(E).
De este modo, x = x2 ∈ R(E)⊥ con Ex2 = (E − P )x2 = ~0 con lo cual
x ∈ R(E)⊥ ∩ Ker(E − P ) = Ker(E∗) ∩ Ker(E − P ). Esto muestra que
Ker(E + E∗) ⊆ Ker(E∗) ∩ Ker(E − P ). Recıprocamente, supongamos que
x ∈ Ker(E∗) ∩ Ker(E − P ) = R(E)⊥ ∩ Ker(E − P ). Entonces E∗x = ~0 y,
como x ∈ R(E)⊥, Px = ~0 con lo cual Ex = (E − P )x = ~0. Por consiguiente,
(E + E∗)x = Ex + E∗x = ~0, es decir que x ∈ Ker(E + E∗). Esto ultimo
muestra que Ker(E∗)∩Ker(E−P ) ⊆ Ker(E+E∗). De la doble inclusion se
deduce la igualdad.
99
Proyecciones
5 En primer lugar, observar que, dado y ∈ R(E), Ey = Py = y con lo cual
(E − P )y = ~0, i.e., y ∈ Ker(E − P ). Ası, R(E) ⊆ Ker(E − P ) por lo que
R(E) y Ker(E − P ) son subespacios cerrados ortogonales de H. Ası, por la
Proposicion 8.2, R(E) +R(E∗ − P ) v H. De este modo, la igualdad buscada
es consecuencia directa del ıtem 4 y de la Proposicion 10.11. En efecto:
R(E + E∗) = Ker(E + E∗)⊥
= (Ker(E∗) ∩Ker(E − P ))⊥
= Ker(E∗)⊥ +Ker(E − P )⊥
= R(E) +R(E∗ − P )
= R(E) +R(E∗ − P )
= R(E) +R(E∗ − P ).
Ademas, como R(E) ∩ R(E∗ − P ) ⊆ Ker(E − P ) ∩Ker(E − P )⊥ ={~0}
, se
verifica que R(E) ∩R(E∗ − P ) ={~0}
pues se trata de la interseccion de dos
subespacios de H. En consecuencia, R(E + E∗) = R(E) �R(E∗ − P ).
Teorema 9.3
Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Son equivalentes:
1 R(E − E∗) es un subespacio cerrado de H.
2 R(E − P ) es un subespacio cerrado de H.
3 R(E) +R(E∗) es un subespacio cerrado de H.
4 R(EE∗ + E∗E) es un subespacio cerrado de H.
5 R(E + E∗) es un subespacio cerrado de H.
Demostracion:
(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(E − E∗) es un subespacio cerrado de H. Luego,
como por la Proposicion 9.3, R(E −E∗) = R(E −P )�R(E∗−P ), se deduce
100
Proyecciones
del Teorema 7.4 que R(E−P ) es un subespacio cerrado de H. Recıprocamen-
te, suponiendo que R(E − P ) v H, por el Corolario 10.3, R(E∗ − P ) v H.
Luego, dado que, por la Proposicion 9.3, R(E − P ) y R(E∗ − P ) son subes-
pacios ortogonales, por el Lema 3.2, c0 (R(E − P ), R(E∗ − P )) = 0 < 1. En
consecuencia, por el Teorema 3.1, R(E − E∗) = R(E − P ) � R(E∗ − P ) es
cerrado.
(2)⇐⇒ (3) Observar que, por la Proposicion 9.3, E(I − P ) = E − EP = E − P .
Ası, R(E − P ) = R (E(I − P )). Luego, dado que I − P ∈ L(H) es proyector,
por el Teorema 3.3 y la Proposicion 10.6,
R(E − P ) v H ⇐⇒ Ker(I − P ) +R(E∗) v H
⇐⇒ R(P ) +R(E∗) v H
⇐⇒ R(E) +R(E∗) v H.
(3)⇐⇒ (4) Es claro pues, por el Corolario 7.3, R(E) +R(E∗) = R(EE∗ + E∗E).
(3)⇐⇒ (5) Supongamos que R(E) +R(E∗) es cerrado. Luego, por la equivalencia
entre los ıtems 1 y 3, R(E − E∗) v H y, como R (E − E∗)⊥ = Ker (E − E∗)
resulta que H = R (E − E∗) ⊕ Ker (E − E∗). Ası, por el Teorema 3.3, el
operador (E − E∗)2 ∈ L(H) tiene rango cerrado. En consecuencia, por la
Proposicion 8.3, se verifica:
R(E − E∗) = R(E − E∗) = Ker ((E − E∗)∗)⊥ = Ker (E − E∗)⊥
= Ker ((E − E∗)∗(E − E∗))⊥ = R ((E − E∗)∗(E − E∗))
= R ((E − E∗)2) = R((E − E∗)2
)Ahora bien, como E,E∗ ∈ Q(H), (E − E∗)2 = (E + E∗) · (2I − E − E∗).
Luego, por el Teorema de Douglas, R(
(E − E∗)2)⊆ R (E + E∗) con lo cual
se cumple que R (E − E∗) ⊆ R (E + E∗). Ası, por el Corolario 6.1, se tiene
que, R (E + E∗) = R (E) + R (E∗) es cerrado. Recıprocamente, supongamos
que R (E + E∗) v H. Ası, por la Proposicion 9.3,
R(E) �R(E∗ − P ) = R(E + E∗) = R(E + E∗) ⊆ R(E) +R(E∗).
101
Proyecciones
Ademas, dado y ∈ R(E∗), existe x = x1 +x2 ∈ H con x1 ∈ R(E), x2 ∈ R(E)⊥
tal que y = E∗x = E∗x1+E∗x2 = E∗x1 = x1+(E∗x1−x1) = Ex1+(E∗−P )x1
con lo cual R(E∗) ⊆ R(E)+R(E∗−P ) ⊆ R(E)⊕R(E∗ − P ) = R(E∗ − E). En
consecuencia, R(E)+R(E∗) ⊆ R(E)⊕R(E∗ − P ) = R(E∗ − E) = R(E+E∗).
Por lo tanto, R(E) +R(E∗) = R(E + E∗) es cerrado.
Corolario 9.2
Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Si R(E − E∗) es un subespacio cerrado de
H entonces R(E) +R(E∗) = R(EE∗ + E∗E) = R(E + E∗).
Demostracion:
Supongamos que R(E−E∗) es un subespacio cerrado de H. Luego, por la prueba de
(3)⇐⇒ (5) del Teorema 9.3, R(E)+R(E∗) = R(E+E∗). Mas aun, por el Corolario
7.3, R(E)+R(E∗) = R(EE∗+E∗E) con lo cual se deducen las igualdades buscadas.
Teorema 9.4
Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Son equivalentes:
1 R(E − E∗) = H.
2 R(E + E∗) = H y R(E) ∩R(E∗) ={~0}
.
3 R(E)⊕R(E∗) = H.
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Supongamos que R(E−E∗) = H. Luego, R(E−E∗) es cerrado y denso
en H. Por el Teorema 9.2, R(E) ∩ R(E∗) ={~0}
. Ademas, por el Teorema
9.3 y el Corolario 9.2, R(E) +R(E∗) = R(E +E∗). Ası, por el Corolario 6.1,
H ⊆ R(E − E∗) ⊆ R(E + E∗) ⊆ H con lo cual R(E + E∗) = H.
(2) =⇒ (3) Supongamos que R(E+E∗) = H y R(E)∩R(E∗) ={~0}
. Luego, como
102
Proyecciones
R(E + E∗) es cerrado, por el Teorema 9.3 y el Corolario 9.2 se verifica que
R(E) +R(E∗) = R(E + E∗) = H. Ası, R(E)⊕R(E∗) = H.
(3) =⇒ (1) Supongamos que R(E) ⊕ R(E∗) = H. Luego, por los Teoremas 9.2 y
9.3, se cumple que R(E − E∗) es un subespacio cerrado y denso en H pues
R(E) + R(E∗) tambien posee esas caracterısticas. Por lo tanto, se concluye
que, R(E − E∗) = R(E − E∗) = H.
103
Proyecciones
104
Apendice
10 Apendice
10.1 Proyecciones Oblicuas y Ortogonales
Desde los inicios de la teorıa de operadores y el analisis matricial, las proyecciones han
cumplido un papel principal en la solucion de problemas de aproximacion y optimizacion.
Recientemente, las proyecciones han sido utilizadas como una herramienta central en las
mas variadas areas de la matematica, la estadıstica y la ingenierıa. Sus diversas aplica-
ciones, y solo por mencionar algunas, en procesamiento de senales, teorıa de muestreo,
wavelets, marcos, teorıa de la informacion, metodos iterativos en algebra lineal numerica,
regresion lineal, ecuaciones integrales, entre otras areas de la matematica, mantiene el
interes en esta clase de operadores.
En esta seccion se estudiaran algunas de las propiedades que cumplen las proyec-
ciones en el algebra de operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert H. Ası,
dada una proyeccion P , las mismas permitiran pensarla como un operador idempotente
definido sobre H, que proyecta los vectores de H sobre su rango R(P ) a lo largo de su
nucleo Ker(P ), de acuerdo con la descomposicion en suma directa H = Ker(P )⊕R(P ).
Mas aun, en base a esto, daremos una clasificacion posible de tales operadores en L(H)
Comenzaremos esta seccion con algunos resultados elementales de algebra lineal.
10.1.1 Propiedades basicas
Definicion:
Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V. Se dice que V es suma
directa de S y T , y se nota V = S ⊕ T , si V = S + T y S ∩ T ={~0}
.
Proposicion 10.1
Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V tales que V = S⊕T . Entonces,
para cada v ∈ V, existen unicos x ∈ S , y ∈ T tales que v = x+ y.
105
Apendice
Demostracion:
Existencia: Como V = S + T , para cada v ∈ V, existen x ∈ S , y ∈ T tales que
v = x+ y.
Unicidad: Supongamos que v = x + y y v = x′ + y′ con x, x′ ∈ S , y, y′ ∈ T .
Entonces x−x′ = y− y′ y x−x′ ∈ S , y− y′ ∈ T . Ası, x−x′ ∈ S ∩T ={~0}
.
En consecuencia, x− x′ = y − y′ = ~0, de donde x = x′, y = y′.
Definicion:
Sea V un K-espacio vectorial. Diremos que una transformacion lineal T : V → V es
un proyector si T ◦ T = T .
Proposicion 10.2
Sea V un K-espacio vectorial, y sea T : V → V una transformacion lineal. Entonces
T es un proyector si y solo si T (x) = x para cada x ∈ R(T ).
Demostracion:
(=⇒) Supongamos que T : V → V es un proyector. Sea x ∈ R(T ). Entonces existe
v ∈ V tal que x = T (v). Luego, T (x) = T (T (v)) = (T ◦ T ) (v) = T (v) = x.
Como esto vale para cada x ∈ R(T ), vemos que T = I∣∣R(T ) .
(⇐=) Sea v ∈ V. Entonces T (v) ∈ R(T ) y, por hipotesis, T (T (v)) = T (v), es decir
(T ◦ T ) (v) = T (v). Como esto vale para cada v ∈ V, resulta que T ◦ T = T .
Proposicion 10.3
Sea V un K-espacio vectorial, y sea T : V → V un proyector. Ası, V = Ker(T )⊕R(T ).
106
Apendice
Demostracion:
Es claro que{~0}⊆ Ker(T )∩R(T ) puesto que al ser T proyector, T (~0) = ~0. Por otro
lado, sea x ∈ Ker(T )∩R(T ). Como x ∈ R(T ), T (x) = x pues al ser T proyector, por
la Proposicion 10.2, actua como la identidad en su rango. Pero x ∈ Ker(T ), de donde
T (x) = ~0. Luego, x = ~0. Esto prueba que Ker(T )∩R(T ) ⊆{~0}
. Consecuentemente,
de la doble inclusion, se deduce la igualdad Ker(T ) ∩R(T ) ={~0}
.
Ahora bien, comoKer(T ), R(T ) son subespacios de V,Ker(T )+R(T ) ⊆ V. Ademas,
dado v ∈ V, podemos escribirlo como v = (v − T (v))+T (v) donde v−T (v) ∈ Ker(T )
y T (v) ∈ R(T ) mostrando que V ⊆ Ker(T ) + R(T ). Por lo tanto, deducimos que
Ker(T ) +R(T ) = V.
Ası, V = Ker(T )⊕R(T ) pues Ker(T ) ∩R(T ) ={~0}
y Ker(T ) +R(T ) = V.
Proposicion 10.4
Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V tales que V = S⊕T . Entonces
existe un unico proyector T : V → V tal que R(T ) = S y Ker(T ) = T .
Demostracion:
Como V = S ⊕ T , para cada x ∈ V, por la Proposicion 10.1, existen unicos s ∈ S,
t ∈ T tales que x = s+t. Entonces, si T : V → V es un proyector tal que Ker(T ) = T
y R(T ) = S, se tiene que
T (x) = T (s+ t) = T (s) + T (t) = s+~0 = s
donde la penultima igualdad es consecuencia de la Proposicion 10.2 pues T es pro-
yector y s ∈ R(T ). Consideremos entonces la funcion T : V → V definida por:
T (x) = s si x = s+ t con s ∈ S, t ∈ T .
Observemos que T : V → V es una transformacion lineal. En efecto:
Sean x, x′ ∈ V tales que x = s+ t, x′ = s′ + t′ con s, s′ ∈ S, t, t′ ∈ T . Notemos que
T (x) = s y T (x′) = s′. Sea λ ∈ K. Luego,
λx+ x′ = λ (s+ t) +(s′ + t′
)=(λs+ s′
)+(λt+ t′
)
107
Apendice
con λs + s′ ∈ S y λt + t′ ∈ T ya que S, T son subespacios de V. Ası, para todo
x, x′ ∈ V y para todo λ ∈ R resulta que T (λx + x′) = λs + s′ = λT (x) + T (x′) lo
que prueba la linealidad de T .
Ademas, dado x ∈ V, existen unicos s ∈ S, t ∈ T tales que x = s + t con lo cual
T (x) = T (s+ t) = s y (T ◦ T )(x) = T (T (x)) = T (s) = T (s+ ~0) = s = T (x) lo que
muestra que T : V → V es un proyector.
Por otro lado, por definicion, es claro que R(T ) ⊆ S. Tambien, S ⊆ R(T ) pues dado
s ∈ S, como s = s + ~0, T (s) = T (s + ~0) = s con lo cual s ∈ R(T ). Esto demuestra
que R(T ) = S.
Ahora bien, si x ∈ Ker(T ) y x = s + t con s ∈ S, t ∈ T , entonces ~0 = T (x) = s,
mostrando que x = t ∈ T y ası, Ker(T ) ⊆ T . Por otra parte, si t ∈ T entonces
t = ~0 + t con ~0 ∈ S, t ∈ T y ası, T (t) = ~0 lo que prueba que T ⊆ Ker(T ). De esta
manera, Ker(T ) = T
Luego, la funcion T : V → V que hemos definido es un proyector con R(T ) = S
y Ker(T ) = T . Mas aun, la unicidad de la descomposicion vista en la Proposicion
10.1 nos asegura que la funcion hallada es la unica en tales condiciones.
Definicion:
Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V tales que V = S⊕T . Llamamos
proyeccion sobre S paralela a T al unico proyector PS//T : V → V tal que
R(PS//T
)= S y Ker
(PS//T
)= T .
Es relevante determinar bajo que condiciones podremos estudiar las proyecciones en
el algebra de operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert H. Para eso, las
representaremos como sigue:
Notacion
Sea H un espacio de Hilbert. Denotaremos P(H) al conjunto de proyecciones acotadas
en H. Es decir, P(H) ={P ∈ L(H) : P 2 = P
}.
Ademas, los resultados vistos anteriormente se pueden extender a espacios de Hilbert
en general dado que solo hacen uso de las propiedades algebraicas que les dota su estruc-
tura de K-espacio vectorial.
108
Apendice
De este modo, lo visto en las Proposiciones 10.2, 10.3 y 10.4, se despliega natural-
mente de la siguiente manera:
Proposicion 10.5
Sean H un espacio de Hilbert y P ∈ P(H). Entonces:
1 P actua como la identidad en su rango.
2 H = Ker(P )⊕R(P ).
3 P = PR(P )//Ker(P ).
Otras propiedades utiles de las proyecciones se agrupan en el siguiente resultado:
Proposicion 10.6
Sean P ∈ P(H) y Q := I − P ∈ Hom(H). Se verifican:
1 El operador Q := I − P ∈ P(H).
2 PQ = QP = O.
3 R(P ) = Ker(Q) v H y R(Q) = Ker(P ) v H.
Demostracion:
1 Dado que P es un proyector se tiene que:
Q2 = (I − P )(I − P ) = I2 − 2P + P 2 = I − 2P + P = I − P = Q.
Ası, Q es un proyector. Mas aun, como P ∈ L(H), Q ∈ L(H) puesto que:
‖Q‖L(H) = ‖I − P‖L(H) ≤ ‖I‖L(H) + ‖P‖L(H) = 1 + ‖P‖L(H) < +∞.
De esta manera, Q ∈ P(H).
2 Basta notar que P 2 = P puesto que:
PQ = P (I − P ) = P − P 2 = (I − P )P = QP = O.
3 Como P actua como la identidad en su rango, dado y ∈ R(P ) resulta que
Py = y. En consecuencia, Qy = (I − P )y = y − Py = ~0 con lo cual
109
Apendice
y ∈ Ker(Q). Ası, R(P ) ⊆ Ker(Q). Ademas, dado x ∈ Ker(Q) se tiene que
Qx = (I−P )x = x−Px = ~0. Luego x ∈ R(P ) pues Px = x. En consecuencia,
Ker(Q) ⊆ R(P ). De la doble inclusion se deduce la igualdad buscada. Asimis-
mo, como Q ∈ L(H) se verifica que Ker(Q) = Q−1({~0})
es un subespacio
cerrado de H, es decir, Ker(Q) = R(P ) v H.
Por otro lado, notemos que R(Q) ⊆ Ker(P ) pues, dado y ∈ R(Q), existe
x ∈ H tal que y = Qx con lo cual y ∈ Ker(P ) ya que Py = PQx = ~0. Analo-
gamente, dado x ∈ Ker(P ) se tiene que Px = ~0 por lo que x ∈ R(Q) pues
Qx = x. Ası, Ker(P ) ⊆ R(Q). De la doble inclusion se deduce la igualdad.
Tambien, como P ∈ L(H) resulta que Ker(P ) = P−1({~0})
es un subespacio
cerrado de H, es decir, Ker(P ) = R(Q) v H.
Segun mencionamos previamente, nos interesa determinar bajo que condiciones podre-
mos estudiar proyecciones en el algebra de operadores lineales acotados sobre un espacio
de Hilbert H. Como hemos visto, si S y T son subespacios de H tales que H = S ⊕T , te-
nemos bien definida la proyeccion sobre S paralela a T y es la unica transformacion lineal
idempotente PS//T : H → H tal que R(PS//T
)= S y Ker
(PS//T
)= T . Analicemos, por
ejemplo, cuando tal descomposicion produce un proyector acotado, es decir, las hipotesis
necesarias para que PS//T ∈ L(H).
Proposicion 10.7
Sea H un espacio de Hilbert y S, T v E subespacios de H tales que H = S ⊕ T .
Entonces PS//T ∈ P(H).
Demostracion:
La prueba de la Proposicion 10.4 nos asegura que PS//T es un proyector.
Sea (z, x) ∈ Gr(PS//T ). Luego, existe una sucesion {(zn, xn)}n∈N ⊆ Gr(PS//T ) tal
que (zn, xn)‖.‖H×H−−−−−→n→+∞
(z, x). Ası, zn‖.‖H−−−−−→n→+∞
z y xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
x. Como zn ∈ H = S ⊕T
y PS//T (zn) = xn entonces existe {yn}n∈N tal que zn = PS//T (zn) + yn = xn + yn.
Ahora bien, dado que {xn}n∈N es una sucesion en S tal que xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
x resulta
que x ∈ S = S. Ademas, {yn}n∈N = {zn − xn}n∈N es una sucesion en T tal que
110
Apendice
yn‖.‖H−−−−−→n→+∞
y con lo cual y ∈ T = T . Pero zn−xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
z−x. Ası, por unicidad del
lımite, y = z − x, es decir, z = x+ y con x ∈ S, y ∈ T . Por lo tanto, PS//T (z) = x.
De esta manera, (z, x) = (z, PS//T (z)) ∈ Gr(PS//T ). Esto ultimo muestra que
Gr(PS//T ) ⊆ Gr(PS//T ) y por ende, Gr(PS//T ) = Gr(PS//T ). De esta manera,
como PS//T ∈ Hom(H) y Gr(PS//T ) v H×H, por el Teorema del Grafico Cerrado,
PS//T ∈ L(H).
Finalmente, PS//T ∈ P(H) puesto que se trata de un proyector acotado sobre H.
10.1.2 Ortogonalidad en espacios de Hilbert
Como hemos visto, cada vez que podamos descomponer a un espacio de Hilbert H
como suma directa de dos subespacios cerrados, la proyeccion asociada a esa descomposicon
resulta ser acotada. A continuacion, estudiaremos el caso en el cual los subespacios, ademas
de cerrados, sean ortogonales.
Para eso, comenzaremos con algunas definiciones y resultados clasicos de ortogonalidad
en espacios de Hilbert.
Definicion:
Sea H un espacio de Hilbert.
1 Diremos que x, y ∈ H son ortogonales y lo escribimos x ⊥ y si 〈x, y〉 = 0.
2 Dado A ⊆ H, llamaremos ortogonal de A y lo simbolizamos A⊥ al conjunto
formado por los elementos de H que son ortogonales a cualquier elemento de
A, es decir A⊥ := {y ∈ H : x ⊥ y ∀ x ∈ A}.
3 Diremos que A,B ⊆ H son ortogonales y lo denotamos A ⊥ B si B ⊆ A⊥.
!
Observacion:
Sean H un espacio de Hilbert y A,B ⊆ H. Luego, si A ⊆ B entonces
B⊥ ⊆ A⊥. En efecto, dado x ∈ B⊥ se tiene que 〈x, b〉 = 0 ∀b ∈ B,
pero como A ⊆ B, en particular, 〈x, a〉 = 0 ∀a ∈ A, lo que nos
dice que x ∈ A⊥.
111
Apendice
Proposicion 10.8
Sea H un espacio de Hilbert y sea A ⊆ H un conjunto cualquiera. Entonces:
1 A⊥ es un subespacio cerrado de H.
2 Si S = span {A} entonces A⊥ = S⊥ =(S)⊥
.
Demostracion:
Sea H un espacio de Hilbert y sea A ⊆ H un conjunto cualquiera.
1 Definimos A⊥ := {x ∈ H : 〈x, a〉 = 0 ∀a ∈ A}. En primer lugar, notemos
que ~0 ∈ A⊥ puesto que⟨~0, a⟩
= 0 ·⟨~0, a⟩
= 0 para todo a ∈ A. Ademas,
dados x, y ∈ A⊥, λ ∈ K se tiene que x+ λy ∈ A⊥. En efecto:
〈x+ λy, a〉 = 〈x, a〉+ 〈λy, a〉 = 〈x, a〉+ λ 〈y, a〉 = 0 + 0 = 0 ∀a ∈ A.
De esta manera, A⊥ es un subespacio deH. Por otro lado, dado x ∈ A⊥, existe
una sucesion {xn}n∈N ⊆ A⊥ tal que xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
x. Sea z ∈ A. Consideremos
el funcional Φz : H → K definido por Φz(x) = 〈x, z〉. Notemos que Φz ∈ H∗
puesto que ‖Φz‖L(H,K) < +∞. En efecto:
‖Φz‖L(H,K) = sup‖x‖H=1
|Φz(x)| = sup‖x‖H=1
|〈x, z〉| ≤ sup‖x‖H=1
‖x‖H ‖z‖H = ‖z‖H < +∞.
Luego, Φz(xn)|.|−−−−−→
n→+∞Φz(x). Pero Φz(xn) = 〈xn, z〉 = 0 ∀n ∈ N ya que
z ∈ A. Ası, {Φz(xn)}n∈N no es otra sucesion que la nula. Luego, por unicidad
del lımite, Φz(x) = 0 con lo cual 〈x, z〉 = 0 ∀z ∈ A. En consecuencia,
x ∈ A⊥. Esto prueba que A⊥ ⊆ A⊥. Como ademas A⊥ ⊆ A⊥, se deduce la
igualdad. Por lo tanto, A⊥ es un subespacio cerrado de H.
2 Sea S = span {A} =
{∑a∈A
λa · a : a ∈ A
}.Como A ⊆ S ⊆ S resulta que
(S)⊥ ⊆ S⊥ ⊆ A⊥.
Ahora bien, dados x ∈ A⊥, z ∈ S se tiene que z =∑a∈A
λa · a y ademas,
〈x, a〉 = 0 ∀a ∈ A. Ası, 〈x, z〉 =
⟨x,∑a∈A
λa · a
⟩=∑a∈A
λa · 〈x, a〉 = 0. Luego,
como 〈x, z〉 = 0 ∀z ∈ S resulta que x ∈ S⊥. Esto muestra que A⊥ ⊆ S⊥.
Por otro lado, sean x ∈ S⊥, y ∈ S. Entonces 〈x, s〉 = 0 ∀s ∈ S y
112
Apendice
ademas, existe una sucesion {yn}n∈N ⊆ S tal que yn‖.‖H−−−−−→n→+∞
y. Ası, dado
x ∈ S⊥, consideremos Γx ∈ H∗ dado por Γx(z) = 〈x, z〉. De esta manera,
Γx(yn)|.|−−−−−→
n→+∞Γx(y). Pero Γx(yn) = 〈x, yn〉 = 0 ∀n ∈ N ya que x ∈ S⊥.
En consecuencia, {Γx(yn)}n∈N es la sucesion nula y, por unicidad del lımite,
Γx(y) = 〈x, y〉 = 0. Luego, 〈x, y〉 = 0 ∀y ∈ S con lo cual, x ∈ (S)⊥. Por lo
tanto, S⊥ ⊆ (S)⊥.
Finalmente, A⊥ ⊆ S⊥ ⊆ (S)⊥ con lo que se deduce la igualdad buscada.
!
Observacion:
Sea H un Espacio de Hilbert. Es claro que{~0}⊥⊆ H. Mas aun,
H ⊆{~0}⊥
puesto que dado x ∈ H,⟨x,~0⟩
= 0 ∀x ∈ H con lo cual
x ∈{~0}⊥
. En consecuencia se deduce que H ={~0}⊥
.
!
Observacion:
Sea H un Espacio de Hilbert. Luego,{~0}⊆ H⊥ ya que si z ∈
{~0}
entonces 〈z, x〉 = 0 ∀x ∈ H y de este modo, z ∈ H⊥. Ademas, si
x ∈ H⊥, 〈x, h〉 = 0 ∀h ∈ H. En particular, ‖x‖2H = 〈x, x〉 = 0 con
lo que x = ~0. Luego, H⊥ ⊆{~0}
. De la doble inclusion, se deduce
que H⊥ ={~0}
.
Esto sera de ayuda para probar los siguientes resultados.
Proposicion 10.9
Dado un Espacio de Hilbert H, sean A ⊆ H y S un subespacio de H. Se verifican:
1(S⊥)⊥
= S.
2(A⊥)⊥
= span {A}.
113
Apendice
Demostracion:
1 Sea S un subespacio de H.
Si S ={~0}
entonces(S⊥)⊥
=
({~0}⊥)⊥
= H⊥ ={~0}
= S = S. Ademas,
por Corolario 10.1, el resultado es valido en el caso en que S v H es un
subespacio no nulo de H. Por ultimo, sea S un subespacio cualquiera de H.
Como S ⊆ S entonces(S)⊥ ⊆ S⊥ con lo cual
(S⊥)⊥ ⊆ ((S)⊥)⊥ = S pues S
es un subespacio cerrado de H. Por otro lado, dado x ∈ S, existe una sucesion
{xn}n∈N ⊆ S tal que xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
x. Dado y ∈ S⊥, sea Φy ∈ L(H,K) definido
por Φy(z) = 〈z, y〉. De esta manera resulta que Φy(xn)|.|−−−−−→
n→+∞Φy(x) pero
Φy(xn) = 〈xn, y〉 = 0 ∀n ∈ N ya que y ∈ S⊥. Luego, {Φy(xn)}n∈N no es otra
sucesion que la nula. Ası, por unicidad del lımite, Φy(x) = 0 mostrando que
〈x, y〉 = 0 ∀y ∈ S⊥. En consecuencia, x ∈(S⊥)⊥
con lo cual S ⊆(S⊥)⊥
.
De la doble inclusion se deduce la igualdad buscada.
2 Basta usar (1) notando que A⊥ =(span {A}
)⊥y que ademas span {A} es
un subespacio cerrado de H.
Proposicion 10.10
Sea H un espacio de Hilbert. Sea S ⊆ H un subespacio de H. Entonces S es denso
en H si y solo si S⊥ ={~0}
.
Demostracion:
(⇐=) Por la Proposicion 10.9 resulta que S =(S⊥)⊥
={~0}⊥
= H con lo que S
es denso en H.
(=⇒) Usando que S⊥ es un subespacio cerrado de H y la Proposicion 10.9 resulta
que:
S⊥ = S⊥ =
((S⊥)⊥)⊥
= S⊥ = H⊥ ={~0}
pues S es denso en H.
114
Apendice
Proposicion 10.11
Sean S y T subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Se verifican:
1 (S + T )⊥ = S⊥ ∩ T ⊥.
2 (S ∩ T )⊥ = S⊥ + T ⊥.
Demostracion:
1 Sea z ∈ S⊥ ∩ T ⊥. Luego, 〈x, z〉 = 〈y, z〉 = 0 ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ T . Ası:
〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 = 0 + 0 = 0 ∀ x+ y ∈ S + T .
En consecuencia, z ∈ (S+T )⊥. De esta manera, S⊥∩T ⊥ ⊆ (S+T )⊥. Por otro
lado, supongamos que z ∈ (S + T )⊥. Luego, 〈x, z〉 = 0 para cada x ∈ S + T .
Ahora bien, para cada s ∈ S ⊆ S+T , 〈s, z〉 = 0 con lo cual z ∈ S⊥. Ademas,
z ∈ T ⊥ ya que para cada t ∈ T ⊆ S + T , 〈t, z〉 = 0. Luego, z ∈ S⊥ ∩ T ⊥.
Esto muestra que (S + T )⊥ ⊆ S⊥ ∩ T ⊥. De la doble inclusion se deduce la
igualdad.
2 Como S y T son subespacios cerrados de H resulta que S⊥⊥ = S y T ⊥⊥ = T .
Luego, por el ıtem anterior:
S ∩ T = S⊥⊥ ∩ T ⊥⊥ =(S⊥)⊥∩(T ⊥)⊥
=(S⊥ + T ⊥
)⊥.
De esta manera, por la Proposicion 10.9 resulta que:
(S ∩ T )⊥ =(S⊥ + T ⊥
)⊥⊥= span {S⊥ + T ⊥} = S⊥ + T ⊥.
Continuaremos con un resultado bien conocido en la literatura de espacios de Hilbert
donde es esencial la completitud de los mismos.
Teorema 10.1Sea H un espacio de Hilbert. Sea C ⊆ H convexo, cerrado y no vacıo. Dado x0 ∈ H,
existe un unico c0 ∈ C tal que d(x0, C) = ‖x0 − c0‖H, es decir, que minimiza la
distancia del conjunto convexo al punto.
115
Apendice
Demostracion:
Existencia: Supongamos que xo = ~0. Sea d := d(~0, C) = ınfc∈C‖c‖H. Ası, ∀ c ∈ C,
d ≤ ‖c‖H y existe una sucesion {cn}n∈N ⊆ C tal que ‖cn‖H|.|−−−−−→
n→+∞d. Ahora
bien, dados n,m ∈ N, sean cn, cm ∈ C. Por la regla del paralelogramo tenemos
que
‖cn − cm‖2H = 2 ·(‖cn‖2H + ‖cm‖2H
)− ‖cn + cm‖2H .
Dado que cn, cm ∈ C, cn+cm2 ∈ C pues C es conexo. Luego, 2d ≤ ‖cn − cm‖H
con lo cual −‖cn − cm‖2H ≤ −4d2. Ahora bien, ‖cn‖H|.|−−−−−→
n→+∞d entonces
‖cn‖2H|.|−−−−−→
n→+∞d2. Ası, dado ε2/4 > 0, existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0
entonces∣∣∣‖cn‖2H − d2∣∣∣ < ε2/4. De esta manera, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal
que si n,m ≥ n0 entonces:
‖cn − cm‖2H = 2 ·(‖cn‖2H + ‖cm‖2H
)− ‖cn + cm‖2H ≤ 4 ·
(d2 +
ε2
4
)− 4d2 = ε2
obteniendose que ‖cn − cm‖H < ε. Esto prueba que {cn}n∈N es una sucesion de
Cauchy. Ademas, por la completitud de H, existe c0 ∈ H tal que cn‖.‖H−−−−−→n→+∞
c0.
Luego, c0 ∈ C = C. Pero como ‖cn‖H|.|−−−−−→
n→+∞‖c0‖H, por la unicidad del lımite
se tiene que d = ‖c0‖H. Por lo tanto, existe c0 ∈ C tal que ‖c0‖H = d = d(~0, C).
Unicidad: Supongamos que existe b0 ∈ C tal que ‖b0‖H = d. Entonces
‖b0 − c0‖2H ≤ 0 pues:
‖b0 + c0‖2H ≥ 4d2 = 2 ‖b0‖2H + 2 ‖c0‖2H = ‖b0 + c0‖2H + ‖b0 − c0‖2H .
En consecuencia ‖b0 − c0‖2H = 0 con lo cual b0 = c0. Vemos entonces que si
x0 = ~0 ∈ H, existe un unico c0 ∈ C tal que d(x0, C) = ‖c0‖H.
Supongamos ahora que x0 ∈ H, x0 6= ~0. Dado C ⊆ H convexo, cerrado y no
vacıo, consideremos el conjunto C − x0 := {c− x0 ∈ H : c ∈ C} que conserva
las mismas propiedades. Luego, existe un unico c′0 ∈ C − x0 cumpliendo que
d(~0, C−x0) = ‖c′0‖H. De esta manera, existe un unico c0 ∈ C tal que c′0 = c0−x0con lo cual:
d(x0, C) = ınfc∈C‖c− x0‖H = ınf
c′∈C−x0
‖c′‖H = d(~0, C − x0)
= ‖c′0‖H = ‖c0 − x0‖H
= ‖x0 − c0‖H .
Finalmente, dados C ⊆ H convexo, cerrado y no vacıo y x0 ∈ H, existe un
unico c0 ∈ C tal que d(x0, C) = ‖x0 − c0‖H.
116
Apendice
El teorema anterior, como veremos en el proximo resultado, es particuarmente util
cuando el rol de conjunto convexo, cerrado y no vacıo lo cumple un subespacio cerrado de
un espacio de Hilbert.
Proposicion 10.12
Sea S v H un C−subespacio de H. Dado h ∈ H, siempre existe un unico s0 ∈ S tal
que d(h,S) = d(h, s0) = ‖h− s0‖H, y esta caracterizado por ser el unico vector tal
que s0 − h ⊥ S.
Demostracion:
Como S v H es un subespacio de H, es claro que S es cerrado, convexo y no vacıo.
Luego, por el Teorema 10.1, dado h ∈ H, siempre existe un unico s0 ∈ S tal que
d(h,S) = d(h, s0) = ‖h− s0‖H. Mas aun, dicho s0 ∈ S esta caracterizado por ser el
unico vector tal que s0 − h ⊥ S. En efecto:
(=⇒) Sea s0 ∈ S tal que d(h,S) = ‖h− s0‖H. Dados s ∈ S, λ ∈ K resulta que
s0 + λs ∈ S con lo cual ‖h− s0‖H = d(h,S) ≤ ‖h− (s0 + λs)‖H. Ası:
0 ≤ ‖h− (s0 + λs)‖2H − ‖h− s0‖2H
= ‖(h− s0)− λs)‖2H − ‖h− s0‖2H
= ‖h− s0‖2H − 2Re (〈h− s0, λs〉) + |λ|2 ‖s‖2H − ‖h− s0‖2H
= −2λRe (〈h− s0, s〉) + λ2 ‖s‖2H .
Sean a = ‖s‖2H, b = −2Re(〈h− s0, s〉) y p(x) = ax2 + bx. Notemos que
p(x) ∈ R [x], gr(p) = 2 y p(x) ≥ 0. En consecuencia, p(−b2a
)= −b2
4a ≥ 0 con
lo cual debe ser b = 0. Luego, Re(〈h− s0, s〉) = 0 ∀ s ∈ S. Ahora bien, para
algun θ ∈ [0, 2π) se tiene que:
〈h− s0, s〉 = |〈h− s0〉| · (cos θ + i sin θ) = |〈h− s0〉| eiθ.
De esta manera,
⟨h− s0, eiθs
⟩= e−iθ 〈h− s0, s〉 = e−iθ |〈h− s0, s〉| eiθ = |〈h− s0, s〉|.
Ası, |〈h− s0, s〉| = Re (|〈h− s0, s〉|) = Re(⟨h− s0, eiθs
⟩)= 0 pues eiθs ∈ S.
Por lo tanto, h− s0 ⊥ S ya que 〈h− s0, s〉 = 0 ∀s ∈ S.
117
Apendice
(⇐=) Sea s0 ∈ S tal que s0− h ⊥ S. Entonces, dado s ∈ S, h− s0 ⊥ s0− s. Luego,
por Pitagoras se tiene que:
‖h− s‖2H = ‖(h− s0) + (s0 − s)‖2H = ‖h− s0‖2H + ‖s0 − s‖2H ≥ ‖h− s0‖2H ∀s ∈ S
Ası, ‖h− s0‖H ≤ ‖h− s‖H para cada s ∈ S con lo que ‖h− s0‖H ≤ d(h,S).
Ademas, es claro por definicion que d(h,S) ≤ ‖h− s0‖H. De esta manera
s0 ∈ S minimiza la distancia de S a h, i.e. d(h,S) = ‖h− s0‖H.
La proposicion anterior nos permite definir un operador en P(H) con algunas propie-
dades interesantes como veremos en los proximos resultados.
Definicion:
SeaH un espacio de Hilbert. Dado un subespacio cerrado no nulo S v H, llamaremos
proyeccion ortogonal sobre S a la aplicacion PS : H −→ H definida por:
PS(x) = y ⇐⇒ y ∈ S es el unico tal que x− y ⊥ S.
Proposicion 10.13
Sea H un espacio de Hilbert. Dado un subespacio cerrado no nulo S v H, conside-
remos la aplicacion PS : H −→ H definida de la siguiente manera:
PS(x) = y ⇐⇒ y ∈ S es el unico tal que x− y ⊥ S.
Se verifican:
1 La diferencia x− PS(x) ∈ S⊥ ∀ x ∈ H.
2 H = S ⊕ S⊥.
3 PS(x) = x ∀ x ∈ S.
4 PS ∈ Hom(H).
5 R(PS) = S y Ker(PS) = S⊥.
6 PS ∈ P(H). Mas aun, ‖PS‖L(H) = 1.
7 H = R(PS)⊕Ker(PS). Mas aun, PS = PS//S⊥ .
118
Apendice
Demostracion:
1 Dado x ∈ H, por definicion, PS(x) ∈ S es el unico vector tal que x−PS(x) ⊥ S,
i.e. x− PS(x) ∈ S⊥.
2 Como S y S⊥ son subespacios de H resulta que{~0}⊆ S ∩S⊥ y S+S⊥ ⊆ H.
Ademas, dado x ∈ S∩S⊥ resulta que 〈x, s〉 = 0 para todo s ∈ S. En particular,
〈x, x〉 = ‖x‖2H = 0 con lo cual x = 0. Por lo tanto, S ∩ S⊥ ⊆{~0}
. Por otro
lado, para cada x ∈ H es claro que PS(x) ∈ S y, por el ıtem anterior, la
diferencia x− PS(x) ∈ S⊥. De esta manera, x ∈ S + S⊥ puesto que se puede
escribir x = PS(x) + (x− PS(x)). Ası, H ⊆ S +S⊥. Finalmente, H = S ⊕S⊥.
3 Dado x ∈ S resulta que la diferencia x − PS(x) ∈ S ∩ S⊥ ={~0}
. Luego,
PS(x) = x ∀ x ∈ S.
4 Sean x1, x2 ∈ H tales que PS(x1) = y1 y PS(x2) = y2. Luego, y1, y2 ∈ S son
los unicos que verifican x1−y1 ⊥ S, x2−y2 ⊥ S. De esta manera, x1 +x2 ∈ S
es el unico vector tal que (x1 + x2)− (y1 + y2) ⊥ S. En efecto:
〈(x1 + x2)− (y1 + y2), s〉 = 〈x1 − y1, s〉+ 〈x2 − y2, s〉 = 0 + 0 = 0 ∀s ∈ S.
En consecuencia,
PS(x1 + x2) = y1 + y2 = PS(x1) + PS(x2) ∀x1, x2 ∈ S.
Ademas, dados λ ∈ K, x1 ∈ H, el vector λ·y1 es el unico tal que λ·x1−λ·y1 ⊥ S
pues:
〈λ · x1 − λ · y1〉 = 〈λ · (x1 − y1), s〉 = λ · 〈x1 − y1, s〉 = λ · 0 = 0 ∀s ∈ S.
De este modo resulta que PS(λ · x1) = λ · y1 = λ · PS(x1).
Por lo tanto, PS ∈ Hom(H).
5 Por definicion, es claro que R(PS) ⊆ S. Ademas, por el ıtem (3), se verifica
que S ⊆ R(PS) pues dado x ∈ S, PS(x) = x con lo cual x ∈ R(PS). De la
doble inclusion, se deduce la igualdad R(PS) = S.
Por otro lado, Ker(PS) = S⊥ puesto que para todo x ∈ H se verifica:
x ∈ Ker(PS) ⇐⇒ PS(x) = ~0
⇐⇒ ~0 ∈ S es el unico tal que x−~0 ⊥ S
⇐⇒ x ⊥ S ⇐⇒ x ∈ S⊥.
119
Apendice
6 De los ıtems (3) y (5) resulta que PS(x) = x para todo x ∈ R(PS) = S con lo
cual PS actua como la identidad en su rango. Luego, por la Proposicion 10.2,
PS es un proyector. Por los ıtems (1) y (2), todo x ∈ H se escribe de manera
unica como x = PS(x) + (x− PS(x)) con PS(x) ∈ S y x − PS(x) ∈ S⊥. Ası,
PS(x) ⊥ x−PS(x). Luego, por Pitagoras, ‖x‖2H = ‖x− PS(x)‖2H+ ‖PS(x)‖2H.
En consecuencia, PS ∈ P(H) ya que ‖PS‖L(H) ≤ 1. En efecto:
‖PS‖L(H) = sup‖x‖H=1
‖PS(x)‖H ≤ sup‖x‖H=1
‖x‖H = 1.
Ademas, por los ıtems (3) y (4), ‖PS(z)‖H = ‖z‖H para cada z ∈ S. De esta
manera:
1 =
∥∥∥∥ z
‖z‖H
∥∥∥∥H
=
∥∥∥∥PS ( z
‖z‖H
)∥∥∥∥H≤ sup‖x‖H=1
‖PS(x)‖H = ‖PS‖L(H) .
Esto prueba que ‖PS‖L(H) = 1.
7 Por los ıtems (2) y (5) resulta que H = S ⊕ S⊥ = R(PS)⊕Ker(PS). De esta
manera, por la Proposicion 10.4, PS es el unico proyector con R(PS) = S y
Ker(PS) = S⊥. Es decir, PS = PS//S⊥ .
Corolario 10.1
Sea S v H un subespacio no nulo de H. Entonces(S⊥)⊥
= S.
Demostracion:
Es claro que S ⊆(S⊥)⊥
pues dado x ∈ S, x ⊥ S⊥ con lo cual x ∈(S⊥)⊥
. Ademas,
dado x ∈(S⊥)⊥
, como PS(x) ∈ S ⊆(S⊥)⊥
, x − PS(x) ∈ S⊥ ∩(S⊥)⊥
={~0}
con
lo cual x = PS(x) ∈ R(PS) = S. Ası,(S⊥)⊥ ⊆ S. De la doble inclusion se deduce
la igualdad buscada.
Corolario 10.2Sea S v H un subespacio no nulo de H. Entonces PS⊥ = I − PS .
120
Apendice
Demostracion:
Como S⊥ v H, esta bien definido el operador PS⊥ ∈ P(H). Mas aun, PS⊥ = PS⊥//S .
Ademas, por la Proposicion 10.6, I − PS ∈ P(H) con Ker(I − PS) = R(PS) = S y
R(I −PS) = Ker(PS) = S⊥. Ası, la unicidad vista en la Proposicion 10.4 garantiza
que PS⊥ = PS⊥//S = I − PS .
A continuacion, caracterizaremos dentro del conjunto de las proyecciones acotadas
sobre un espacio de Hilbert a la subclase formada por las proyecciones ortogonales.
Teorema 10.2
Sea H un Espacio de Hilbert. Dado P ∈ P(H), sea S = R(P ) v H. Son equivalentes:
1 P = PS .
2 Ker(P ) = S⊥.
3 ‖P‖L(H) = 1.
4 P ∈ L(H)+.
5 P ∈ A(H).
6 P es normal.
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Si P = PS entonces Ker(P ) = Ker(PS) = S⊥.
(2) =⇒ (1) Como Ker(P ) = S⊥ y R(P ) = S entonces
P = PR(P )//Ker(P ) = PS//S⊥ = PS .
(2) =⇒ (3) Dado h ∈ H, h = (h− P (h)) + P (h) con h − P (h) ⊥ P (h) puesto que
P ∈ P(H) y H = Ker(P )⊕R(P ) = S⊥ ⊕ S. Luego, por Pitagoras,
‖h‖2 = ‖h− P (h)‖2 + ‖P (h)‖2 .
En consecuencia,
‖P‖L(H) = sup‖h‖H=1
‖P (h)‖H ≤ sup‖h‖H=1
‖h‖H = 1.
121
Apendice
Ademas, como P ∈ P(H) es no nulo, ‖P‖L(H) 6= 0 con lo cual ‖P‖L(H) ≥ 1
puesto que ‖P‖L(H) =∥∥P 2
∥∥L(H)
≤ ‖P‖2L(H). Por lo tanto, ‖P‖L(H) = 1.
(3) =⇒ (2) Dado P ∈ P(H), sean Q := I−P ∈ P(H) yM = R(Q) = Ker(P ) v H.
Dado y ∈M resulta que Qy = (I − P )y = y − Py = y. Luego, para x ∈ H se
verifica que,
‖x−Qx‖H = ‖x− y + y −Qx‖H = ‖x− y +Qy −Qx‖H
= ‖(x− y)−Q(x− y)‖H = ‖P (x− y)‖H
≤ ‖P‖L(H) ‖x− y‖H = ‖x− y‖H .
Ası, ‖x−Qx‖H ≤ ınfy∈M
‖x− y‖H = d(x,M). Pero ademas, Qx ∈ M con lo
cual d(x,M) = ınfy∈M
‖x− y‖H ≤ ‖x−Qx‖H. Luego, d(x,M) = ‖x−Qx‖H.
Como la aplicacion PM : H −→ H esta definida por PM(x) = y ⇐⇒ y ∈ M
es el unico tal que d(x,M) = ‖x− y‖H resulta que PM = Q puesto que
PMx = Qx ∀x ∈ H. Ası, Ker(PM) = Ker(Q) =M⊥ y R(PM) = R(Q) =M.
Ademas, S = R(P ) = Ker(Q) =M⊥. Por lo tanto,
Ker(P ) = R(Q) =M =M =(M⊥
)⊥= S⊥.
(1) =⇒ (4) Dado x ∈ H, x = xS +xS⊥ . Luego P ∈ L(H)+ ya que para cada x ∈ H,
〈Px, x〉 = 〈PSx, x〉 = 〈xS , xS + xS⊥〉
= 〈xS , xS〉+ 〈xS , xS⊥〉 = ‖xS‖2H ≥ 0.
(4) =⇒ (5) =⇒ (6) Trivial.
(6) =⇒ (2) Si P es normal entonces Ker(P ) = Ker(P ∗) = R(P )⊥ = S⊥.
En virtud de lo anterior introducimos la siguiente simbologıa:
Notacion
Denotaremos Q(H) al conjunto de proyecciones ortogonales sobre un espacio de
Hilbert H. Es decir,
Q(H) = {P ∈ P(H) : P = P ∗}.
122
Apendice
Con el objetivo de dar una clasificacion de las proyecciones acotadas sobre un espacio
de Hilbert H, fijaremos el siguiente concepto:
Definicion:
Se dice que un operador P ∈ P(H) es una proyeccion oblicua si P ∈ P(H)\Q(H).
En conclusion, las proyecciones acotadas sobre un espacio de Hilbert H se dividen en
dos grandes grupos: las oblicuas y las ortogonales.
Sin embargo, como resulta mas fructıfero estudiar a las ortogonales, nos concentraremos
en estas para obtener otros resultados de interes.
10.1.3 Proyecciones Ortogonales
Seguidamente, mostraremos algunos lemas bien conocidos sobre proyecciones ortogo-
nales en espacios de Hilbert que fueron utilizados a lo largo de este trabajo.
Lema 10.1Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Luego, PM y PN conmutan sı y
solo sı PMPN es una proyeccion ortogonal. Mas aun PMPN = PM∩N .
Demostracion:
(=⇒) Sea P = PMPN = PNPM ∈ L(H). Entonces:
P 2 = PMPNPMPN = PMPNPNPM = PMP2NPM
= PMPNPM = PMPMPN = P 2MPN
= PMPN = P.
Ademas,
P ∗ = (PMPN )∗ = P ∗MP∗N = PNPM = PMPN = P.
De esta manera, por el Teorema 10.2, P = PR(P ) es una proyeccion ortogonal.
(⇐=) Si P = PMPN = PR(P ) es una proyeccion ortogonal entonces por el Teorema
10.2, P ∈ A(H). Luego:
PMPN = (PMPN )∗ = P ∗NP∗M = PNPM.
123
Apendice
En consecuencia, PM y PN conmutan.
Ademas resulta que R(P ) ⊆M∩N pues dado y ∈ R(P ), existe x ∈ H tal que
y = Px = PM(PNx) = PN (PMx) con lo cual y ∈ R(PM)∩R(PN ) =M∩N .
Por otro lado, si x ∈ M ∩ N entonces x = PMx = PNx. De esta manera,
x ∈ R(P ) puesto que Px = PMPNx = PM(PNx) = PMx = x. Por lo tanto,
M∩ N ⊆ R(P ). Ası, R(P ) = M∩ N v H pues M,N v H. Finalmente,
P = PMPN = PR(P ) = PM∩N .
Lema 10.2Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Son equivalentes:
1 PMPN = O.
2 PNPM = O.
3 M⊥ N .
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Basta notar que PNPM = P ∗NP∗M = (PMPN )∗ = O∗ = O.
(2) =⇒ (3) Dados x ∈M, y ∈ N se verifica:
〈x, y〉 = 〈PMx, PN y〉 = 〈PMx, P ∗N y〉 = 〈PN (PMx), y〉
= 〈PNPMx, y〉 = 〈0, y〉 = 0.
Por lo tanto, M y N son ortogonales.
(3) =⇒ (1) Como M⊥ N resulta que 〈PNx, PM(PNx)〉 = 0 con lo cual
‖PMPNx‖2 = 〈PMPNx, PMPNx〉 = 〈PNx, P ∗MPMPNx〉
=⟨PNx, P
2MPNx
⟩= 〈PNx, PMPNx〉
= 〈PNx, PM(PNx)〉 = 0.
En consecuencia, para cada x ∈ H, PMPNx = 0 con lo que PMPN = O.
124
Apendice
Lema 10.3Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Son equivalentes:
1 PMPN = PM.
2 PNPM = PM.
3 M⊆ N .
En particular, PM y PN conmutan con PM∩N y PMPM∩N = PM∩N = PNPM∩N .
Demostracion:
(1) =⇒ (2) Observar que PNPM = P ∗NP∗M = (PMPN )∗ = P ∗M = PM.
(2) =⇒ (3) Dado x ∈M, x = PMx = PN (PMx) con lo cual x ∈ R(PN ) = N .
En consecuencia, M⊆ N .
(3) =⇒ (1) Como M ⊆ N , dado x ∈ H, x − PNx ∈ N⊥ ⊆ M⊥ = Ker(PM) con
lo cual PMx− PMPNx = PM (I − PN )x = PM(x− PNx) = 0. Por lo tanto,
PMPN = PM.
Ademas por el Lema 10.1, PM y PM∩N conmutan pues como M∩N ⊆ M,
PMPM∩N = PM∩N es una proyeccion ortogonal. Analogamente, PN y PM∩N
conmutan ya que como M∩N ⊆ N , PNPM∩N = PM∩N es una proyeccion
ortogonal. Mas aun, PMPM∩N = PM∩N = PNPM∩N .
Lema 10.4Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Si PM y PN conmutan entonces
PM+N = PM + PN − PMPN . Consecuentemente, si M⊂ N⊥ entonces M+N es
cerrado y PM+N = PM + PN .
125
Apendice
Demostracion:
Sea Q = PM + PN − PMPN ∈ L(H). Entonces:
Q2 = (PM + PN − PMPN )(PM + PN − PMPN )
= P 2M + PMPN − P 2
MPN + PNPM + P 2N − PNPMPN − PMPNPM − PMP 2
N + (PMPN )2
= PM + PMPN − PMPN + PNPM + PN − PNPMPN − PMPNPM − PMPN + PMPN
= PM + PNPM + PN − PNPMPN − PMPNPM
= PM + PNPM + PN − P 2NPM − P 2
MPN
= PM + PNPM + PN − PNPM − PMPN
= PM + PN − PMPN = Q.
Ademas,
Q∗ = (PM + PN − PMPN )∗ = P ∗M + P ∗N − (PMPN )∗
= P ∗M + P ∗N − P ∗NP ∗M = PM + PN − PNPM
= PM + PN − PMPN = Q.
De esta manera, por el Teorema 10.2, Q = PR(Q) ∈ Q(H). Mas aun, observar que
R(Q) = R(PM + PN − PMPN ) ⊆ R(PN + PMPN⊥) ⊆ R(PN ) +R(PMPN⊥)
⊆ R(PM) +R(PN ) =M+N ⊆M+N .
Por otro lado, dado x ∈ M+N , existe una sucesion {xn}n∈N ⊆ M + N tal que
xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
x. Luego, para cada n ∈ N, existen yn ∈M, zn ∈ N tales que
xn = yn + zn. Ademas, como PM, PN ∈ L(H), PM(xn)‖.‖H−−−−−→n→+∞
PM(x) y
PN (xn)‖.‖H−−−−−→n→+∞
PN (x). De esta manera,
PM(xn) + PN (xn) = yn + zn = xn‖.‖H−−−−−→n→+∞
PM(x) + PN (x).
Ası, por unicidad del lımite, PM(x)+PN (x) = x. En consecuencia, x ∈ R(Q) puesto
que Qx = x. En efecto:
Qx = Q(PMx+ PNx) = Q (PMx) +Q (PNx)
= P 2Mx+ PNPMx− PMPNPMx+ PMPNx+ P 2
Nx− PMP 2Nx
= PMx+ PNPMx− P 2MPNx+ PMPNx+ PNx− PMPNx
= PMx+ PNPMx− PMPNx+ PMPNx+ PNx− PNPMx
= PMx+ PNx = x.
126
Apendice
Ası,M+N ⊆ R(Q) y, de la doble inclusion, se verifica la igualdad buscada. Final-
mente,
PM+N = PR(Q) = Q = PM + PN − PMPN .
Consecuentemente, si M⊂ N⊥ entonces M⊥ N . Luego, por el Lema 10.2,
PMPN = PNPM = O con lo cual PM y PN conmutan. Mas aun, PM+N = PM+PN .
Ahora bien, dado x ∈ M+N se verifica que x = PM+Nx = PMx + PNx con lo
cual x ∈M+N . Ası, M+N ⊆M+N por lo que M+N es cerrado.
Lema 10.5Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Son equivalentes:
1 PM conmuta con PN .
2 PM⊥ conmuta con PN .
3 PM conmuta con PN⊥ .
4 PM⊥ conmuta con PN⊥ .
5 M =M∩N +M∩N⊥.
Demostracion:
En primer lugar, advertir que por el Corolario 10.2 se verifica la siguiente identidad:
PM + PM⊥ = PN + PN⊥ = I.
Ahora bien:
(1) =⇒ (2) Basta observar que:
PM⊥PN = (I − PM)PN = PN − PMPN
= PN − PNPM = PN (I − PM) = PNPM⊥ .
En consecuencia, PM⊥ conmuta con PN .
127
Apendice
(2) =⇒ (3) Como PM⊥ y PN conmutan,
PMPN⊥ = (I − PM⊥) · (I − PN ) = I − PN − PM⊥ + PM⊥PN
= I − PN − PM⊥ + PNPM⊥ = (I − PN )− (I − PN )PM⊥
= (I − PN ) (I − PM⊥) = PN⊥PM.
Ası, PM conmuta con PN⊥ .
(3) =⇒ (4) Notar que:
PM⊥PN⊥ = (I − PM)PN⊥ = PN⊥ − PMPN⊥
= PN⊥ − PN⊥PM = PN⊥(I − PM) = PN⊥PM⊥ .
Por lo tanto, PM⊥ y PN⊥ conmutan.
(4) =⇒ (1) Como PM⊥ y PN⊥ conmutan se verifica que:
PMPN = (I − PM⊥) · (I − PN⊥) = I − PN⊥ − PM⊥ + PM⊥PN⊥
= I − PN⊥ − PM⊥ + PN⊥PM⊥ = I − PM⊥ − PN⊥ + PN⊥PM⊥
= (I − PM⊥)− PN⊥ (I − PM⊥) = (I − PN⊥) · (I − PM⊥) = PNPM.
De esta manera, PM y PN conmutan.
(1) =⇒ (5) Es claro que M∩N +M∩N⊥ ⊆ M. Por otro lado, como PM y PN
conmutan tambien lo hacen PM y PN⊥ . Ası, por el Lema 10.1, se tiene que:
PM∩N + PM∩N⊥ = PMPN + PMPN⊥ = PM(PN + PN⊥) = PM.
Luego, M⊆M∩N +M∩N⊥ puesto que dado x ∈M se verifica:
x = PMx = PM∩Nx+ PM∩N⊥x
con lo cual x ∈M∩N +M∩N⊥. De la doble inclusion se deduce la igualdad
buscada.
(5) =⇒ (1) En primer lugar, notar que M∩N ⊥M∩N⊥. Ası, por Lema 10.2,
PM∩NPM∩N⊥ = O = PM∩N⊥PM∩N .
128
Apendice
Ademas, dado que M∩N⊥ ⊆ (M∩N )⊥, por el Lema 10.4,
PM = PM∩N+M∩N⊥ = PM∩N + PM∩N⊥ .
De esta manera,
PNPM = PNPM∩N + PNPM∩N⊥ .
Ahora bien, por el Lema 10.3, PNPM∩N = PM∩N y como N ⊥ M ∩ N⊥,
por el Lema 10.2, PNPM∩N⊥ = O. En consecuencia, PNPM = PM∩N . Por lo
tanto, por el Lema 10.1, PM y PN conmutan.
129
Apendice
10.2 Inversas Generalizadas
En la teorıa de operadores sobre un espacio de Hilbert, la nocion de inversa generalizada
reemplaza la inversa de un operador en los casos en que este no sea un isomorfismo. Una
gran variedad de inversas generalizadas han sido desarrolladas en la literatura para resolver
distintos problemas. Una de ellas, la inversa de Moore Penrose, que goza de la propiedad
de su unicidad, esta relacionada con el problema de cuadrados mınimos.
A continuacion se estuadiaran algunas de sus propiedades, utiles para probar algunos
resultados de este trabajo.
Definicion:
Dado A ∈ L(H1,H2), se dice que B ∈ L(H2,H1) es inversa generalizada de A
si es solucion del siguiente sistema:AXA = A
XAX = X
En virtud de lo anterior introducimos la siguiente simbologıa:
Notacion
Dado A ∈ L(H1,H2), denotamos IG(A) al conjunto formado por sus inversas generali-
zadas. Es decir,
IG(A) = {B ∈ L(H2,H1) : ABA = A ∧ BAB = B}.
Teorema 10.3
Sea A ∈ L(H1,H2). Se verifican:
1 Si B ∈ IG(A) entonces AB y BA son proyectores con R(AB) = R(A) y
Ker(BA) = Ker(A).
2 Si R(A) es cerrado, dados P ∈ P(H2) y Q ∈ P(H1) con R(P ) = R(A) y
Ker(Q) = Ker(A), existe un unico operador B ∈ IG(A) tal que AB = P y
BA = Q.
3 A tiene rango cerrado sı y solo sı IG(A) 6= φ.
130
Apendice
Demostracion:
1 Como B ∈ IG(A) entonces ABA = A Y BAB = B. Luego, AB y BA son
proyectores puesto que:
(AB)2 = (AB)(AB) = ABAB = (ABA)B = AB.
(BA)2 = (BA)(BA) = BABA = (BAB)A = BA.
Mas aun, es claro que R(AB) ⊆ R(A). Ademas, R(A) = R(ABA) ⊆ R(AB)
con lo cual R(AB) = R(A). Por otra parte, Ker(A) = Ker(BA) ya que
Ker(A) ⊆ Ker(AB) ⊆ Ker(ABA) = Ker(A).
2 Existencia: Supongamos que R(A) es cerrado. Sean P ∈ P(H2) yQ ∈ P(H1)
tales que R(P ) = R(A) y Ker(Q) = Ker(A). Luego, por la Proposicion
10.3:
Ker(P )⊕R(P ) = Ker(P )⊕R(A) = H2.
Ker(Q)⊕R(Q) = Ker(A)⊕R(Q) = H1.
Consideremos el operador A∣∣R(Q) : R(Q) −→ R(A). Ahora bien, obser-
var que dado y ∈ R(A), existe x ∈ H1 tal que Ax = y donde x ∈ H1 se
escribe de manera unica como x = (x−Qx)+Qx con x−Qx ∈ Ker(A) y
Qx ∈ R(Q). De esta manera, y = Ax = A(x−Qx)+A(Qx) = A(Qx). En
consecuencia, dado y ∈ R(A), existe Qx ∈ R(Q) tal que y = A(Qx). Ası,
A∣∣R(Q) : R(Q) −→ R(A) es un epimorfismo. Ademas, dicho operador es
un monomorfismo puesto que
Ker(A∣∣R(Q)
)={x ∈ R(Q) : Ax = ~0
}= Ker(A) ∩R(Q) =
{~0}.
En consecuencia, A∣∣R(Q) : R(Q) −→ R(A) es un isomorfismo. Mas aun,
como A ∈ L(H1,H2) se tiene que A∣∣R(Q) ∈ L(R(Q), R(A)). En efecto:
∥∥A ∣∣R(Q)
∥∥L(R(Q),R(A))
= supx∈BR(Q)
‖Ax‖R(A)
≤ supx∈BH
‖Ax‖H2= ‖A‖L(H1,H2)
< +∞.
Por lo tanto, A∣∣R(Q) ∈ Gl(R(Q), R(A)). Sea Γ : R(A) −→ R(Q)
el inverso de dicho operador. Luego, como A∣∣R(Q) ◦ Γ = IR(A) y
131
Apendice
Γ ◦ A∣∣R(Q) = IR(Q), dados w ∈ R(A) y z ∈ R(Q), se verifica que
AΓw = w y ΓAz = z. Ademas, por el Teorema de la Funcion Inver-
sa, Γ ∈ L(R(A), R(Q)). Ahora bien, como cada x ∈ H2 se puede escribir
de manera unica como x = (x − Px) + Px donde x − Px ∈ Ker(P ) y
Px ∈ R(A), tiene sentido considerar el operador B ∈ Hom(H2,H1) da-
do por Bx = Γ(PR(A)//Ker(P )x
)= Γ(Px). Observar que B ∈ L(H2,H1)
pues ‖B‖L(H2,H1)≤ ‖Γ‖L(R(A),R(Q)) · ‖P‖L(H2)
< +∞. Tambien, dado
x ∈ H1, PAx = Ax puesto que Ax ∈ R(P ) = R(A) con lo cual:
ABAx = AB(Ax) = AΓ(PAx) = AΓ(Ax) = Ax.
Es decir que ABA = A. De igual modo, BAB = B ya que, dado y ∈ H2
se verifica:
BABy = BA(By) = BAΓ(Py) = B (AΓ(Py))
= B(Py) = Γ (P (Py)) = Γ(P 2y) = Γ(Py) = By.
Por lo tanto, B ∈ IG(A). Mas aun, AB = P pues, para cada y ∈ H2 se
obtiene que ABy = A(By) = AΓ(Py) = Py. De igual modo, BA = Q ya
que, dado x ∈ H1, que se escribe de manera unica como x = (x−Qx)+Qx
con x−Qx ∈ Ker(A) y Qx ∈ R(Q), se verifica:
BAx = B(Ax) = Γ(P (Ax)) = ΓAx
= ΓA(x−Qx) + ΓA(Qx) = ΓA(Qx) = Qx.
Unicidad: Supongamos que existe C ∈ IG(A) tal que AC = P y CA = Q.
De esta manera se cumple que C = B. En efecto:
C = CAC = C(AC) = CP = C(AB)
= (CA)B = QB = (BA)B = BAB = B.
Finalmente, si R(A) v H2, dados P ∈ P(H2) y Q ∈ P(H1) cumpliendo
que R(P ) = R(A) y Ker(Q) = Ker(A), existe un unico B ∈ IG(A) tal
que AB = P y BA = Q.
132
Apendice
3 Supongamos que R(A) es cerrado. Entonces, como A ∈ L(H1,H2) se verifi-
ca que Ker(A) ⊕ Ker(A)⊥ = H1 y R(A) ⊕ R(A)⊥ = H2. Ası, por la Pro-
posicion 10.7, PKer(A)⊥//Ker(A) ∈ P(H1) y PR(A)//R(A)⊥ ∈ P(H2). Ademas,
R(PR(A)//R(A)⊥
)= R(A) y Ker
(PKer(A)⊥//Ker(A)
)= Ker(A). Luego, por
el ıtem 2, existe un unico operador B ∈ IG(A) tal que AB = PR(A)//R(A)⊥ y
BA = PKer(A)⊥//Ker(A). Por lo tanto, IG(A) 6= φ. Recıprocamente, suponga-
mos que IG(A) 6= φ. Luego, existe B ∈ IG(A). Ası, por el ıtem 1 se tiene que
AB ∈ P(H2) con R(AB) = R(A). De esta manera, por la Proposicion 10.6,
R(A) = R(AB) = Ker(I −AB) v H2.
Corolario 10.3
Sea A ∈ L(H1,H2). Se verifican:
1 IG(A)∗ := {B∗ ∈ L(H1,H2) : B ∈ IG(A)} = IG(A∗).
2 R(A) es cerrado sı y solo sı R(A∗) es cerrado.
Demostracion:
1 Sea T ∈ IG(A∗). Luego, A∗TA∗ = A∗ y TA∗T = T con lo cual T ∗ ∈ IG(A)
pues AT ∗A = A y T ∗AT ∗ = T ∗. Ası, como (T ∗)∗ = T resulta que T ∈ IG(A)∗.
De esta manera, IG(A∗) ⊆ IG(A)∗. Por otro lado, si T ∈ IG(A)∗ entonces
existe U ∈ IG(A) tal que T = U∗. Como AUA = A y UAU = U se cumple
que A∗U∗A∗ = A∗ y U∗A∗U∗ = U∗ con lo cual resulta que A∗TA∗ = A∗ y
TA∗T = T , es decir que T ∈ IG(A∗). Esto muestra que IG(A)∗ ⊆ IG(A∗).
De la doble inclusion se deduce la igualdad.
2 Supongamos que R(A) es cerrado. Entonces, por el Teorema 10.3, existe un
operador B ∈ IG(A). Ası, B∗ ∈ IG(A∗) con lo cual IG(A∗) 6= φ. De esta
manera, por el Teorema 10.3, A∗ ∈ L(H2,H1) tiene rango cerrado. Recıpro-
camente, si R(A∗) es cerrado entonces R (A) = R ((A∗)∗) es cerrado.
El resultado anterior es la motivacion para introducir el siguiente concepto:
133
Apendice
!
Observacion:
Sea A ∈ L(H1,H2) un operador con rango cerrado. Entonces, se
cumple que Ker(A) ⊕Ker(A)⊥ = H1 y R(A) ⊕ R(A)⊥ = H2. En
consecuencia, por la Proposicion 10.7, PKer(A)⊥//Ker(A) ∈ P(H1) y
PR(A)//R(A)⊥ ∈ P(H2).
Mas aun, observar que Ker(PR(A)//R(A)⊥) = R(A)⊥ y
Ker(PKer(A)⊥//Ker(A)
)= Ker(A) = Ker(A)⊥⊥. Luego, por la
Proposicion 10.13, se tiene que PR(A)//R(A)⊥ = PR(A) ∈ Q(H2)
y PKer(A)⊥//Ker(A) = PKer(A)⊥ ∈ Q(H1). Luego, por el Teorema
10.3, existe un unico operador B ∈ IG(A) tal que AB = PR(A) y
BA = PKer(A)⊥ .
Definicion:
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Se llama pseudoinversa de Moore-
Penrose de A al unico operador A† ∈ IG(A) tal AA† = PR(A) y A†A = PKer(A)⊥ .
Proposicion 10.14
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Entonces, A† es la unica solucion en L(H2,H1)
del sistema:
AXA = A
XAX = X
(AX)∗ = AX
(XA)∗ = XA
Demostracion:
Como A† ∈ IG(A), es claro que AA†A = A y A†AA† = A†. Ademas, se cumple
que(AA†
)∗= P ∗R(A) = PR(A) = AA† y
(A†A
)∗= P ∗
Ker(A)⊥= PKer(A)⊥ = A†A.
Luego, A† ∈ L(H2,H1) es solucion del sistema. Ahora bien, supongamos que el
operador B ∈ L(H2,H1) es otra solucion del sistema. Luego, B ∈ IG(A) y, por el
Teorema 10.3, AB y BA son proyectores autoadjuntos cumpliendo R(AB) = R(A)
134
Apendice
y Ker(BA) = Ker(A). Ası, por el Teorema 10.2, AB = PR(A) y BA = PKer(A)⊥ .
En consecuencia,
B = BAB = (BA)B = PKer(A)⊥B =(A†A
)B
= A†(AB) = A†PR(A) = A†(AA†) = A†AA† = A†.
Proposicion 10.15
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Se verifican:
1 A† =(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A).
2 Ker(A†)
= R(A)⊥ y R(A†)
= Ker(A)⊥.
Demostracion:
1 Como R(A) v H, por la Proposicion 7.1, A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl (Ker(A)⊥, R(A)
)pues si Γ : R(A) −→ Ker(A)⊥ es su inverso i.e. Γ :=
(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 enton-
ces, por el Teorema de la Funcion Inversa, Γ ∈ L(R(A),Ker(A)⊥
). Ademas,
A∣∣∣Ker(A)⊥ ◦ Γ = IR(A) y Γ ◦ A
∣∣∣Ker(A)⊥ = IKer(A)⊥ por lo que para cada
w ∈ R(A) y z ∈ Ker(A)⊥, AΓw = w y ΓAz = z. Ahora bien, observar que
AΓPR(A) = PR(A) pues, para cada y ∈ H2 se verifica:
AΓPR(A)y = AΓ(PR(A)y
)= PR(A)y.
Ademas, como la escritura x =(x− PKer(A)⊥x
)+ PKer(A)⊥x es unica para
todo x ∈ H1 donde x−PKer(A)⊥x ∈ Ker(A) y PKer(A)⊥x ∈ Ker(A)⊥, resulta
que:
ΓPR(A)Ax = Γ(PR(A)Ax
)= Γ (Ax)
= ΓA(x− PKer(A)⊥x
)+ ΓAPKer(A)⊥x
= ΓAPKer(A)⊥x = ΓA(PKer(A)⊥x
)= PKer(A)⊥x.
Es decir que ΓPR(A)A = PKer(A)⊥ . De la misma manera, AΓPR(A)A = A
puesto que AΓPR(A)Ax = AΓPR(A)(Ax) = AΓ(Ax) = Ax para cada x ∈ H1.
135
Apendice
Tambien se verifica la igualdad ΓPR(A)AΓPR(A) = ΓPR(A) ya que, para cada
y ∈ H2,
ΓPR(A)AΓPR(A)y = ΓPR(A)AΓ(PR(A)y
)= ΓPR(A)
(PR(A)y
)= ΓP 2
R(A)y = ΓPR(A)y.
En consecuencia, ΓPR(A) es una inversa generalizada del operador A tal que
A(ΓPR(A)
)= PR(A) y
(ΓPR(A)
)A = PKer(A)⊥ . Luego, por la unicidad, debe
ser A† = ΓPR(A) =(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A).
2 Dado que A†A = PKer(A)⊥ y(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A) = A†, por el Teorema de
Douglas resulta que R(A†)
= Ker(A)⊥. En efecto:
Ker(A)⊥ = R(PKer(A)⊥
)⊆ R
(A†)⊆ R
((A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1) = Ker(A)⊥.
Ademas, si x ∈ Ker(A†) entonces A†x = ~0 por lo que PR(A)x = AA†x = ~0.
Luego, x ∈ Ker(PR(A)
)= R(A)⊥. Ası, Ker
(A†)⊆ R(A)⊥. Por otro lado, si
x ∈ R(A)⊥, PR(A)x = ~0 con lo cual A†x =(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A)x = ~0. De
este modo, x ∈ Ker(A†), lo que muestra que R(A)⊥ ⊆ Ker
(A†). De la doble
inclusion se deduce la igualdad buscada.
Proposicion 10.16
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Se verifican:
1 (A∗)† =(A†)∗
.
2(A†)†
= A.
Demostracion:
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado.
1 Como A† ∈ IG(A) entonces(A†)∗ ∈ IG(A∗). Ademas, dado que A†A ∈ A(H1)
y AA† ∈ A(H2) se tiene que A∗(A†)∗ ∈ A(H1) y
(A†)∗A∗ ∈ A(H2). De esta
136
Apendice
manera,(A†)∗ ∈ L(H1,H2) es la unica solucion del sistema:
A∗XA∗ = A∗
XA∗X = X
(A∗X)∗ = A∗X
(XA∗)∗ = XA∗
Ası, por la Proposicion 10.14, (A∗)† =(A†)∗
.
2 Por la Proposicion 10.14, A† ∈ L(H2,H1) es la solucion del sistema:
AXA = A
XAX = X
(AX)∗ = AX
(XA)∗ = XA
En consecuencia, A ∈ L(H1,H2) es solucion del sistema:
A†XA† = A†
XA†X = X
(A†X)∗ = A†X
(XA†)∗ = XA†
Luego, por la Proposicion 10.14,(A†)†
= A.
Proposicion 10.17
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Entonces,∥∥A†∥∥L(H2,H1)= mın
{‖B‖L(H2,H1)
: B ∈ IG(A)}
.
137
Apendice
Demostracion:
Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Luego, por el Teorema 10.3, IG(A) 6= φ.
Sea B ∈ IG(A). Entonmces, por la Proposicion 7.1, se cumple que el operador
A∣∣∣Ker(A)⊥ : Ker(A)⊥ −→ R(A) es un isomorfismo. Luego, dado y ∈ R(A), existe
un unico x ∈ Ker(A)⊥ tal que Ax = y. Ası, x = PKer(A)⊥x = A†Ax = A†y.
Tambien resulta que y = Ax = ABAx = ABy con lo cual A(By − x) = ~0, es decir,
By − x ∈ Ker(A). Luego, por Pitagoras,
‖By‖2H1= ‖x+ (By − x)‖2H1
= ‖x‖2H1+ ‖By − x‖2H1
≥ ‖x‖2H1=∥∥∥A†y∥∥∥2
H1
En consecuencia, para cada y ∈ R(A) se cumple que∥∥A†y∥∥H1
≤ ‖By‖H1. Por otro
lado, como R(A) v H2 entonces H2 = R(A)⊕R(A)⊥. Luego, dado z ∈ H2, existen
unicos y ∈ R(A), w ∈ R(A)⊥ tales que z = y + w. De este modo,∥∥∥A†z∥∥∥H1
=∥∥∥A†AA†z∥∥∥
H1
=∥∥∥A† (AA†z)∥∥∥
H1
=∥∥∥A†PR(A)z
∥∥∥H1
=∥∥∥A†y∥∥∥
H1
≤ ‖By‖H1≤ ‖B‖L(H2,H1)
‖y‖H2.
Ademas, si z ∈ BH2 , como ‖z‖2H2= ‖y‖2H2
+‖w‖2H2, resulta que ‖y‖H2
≤ ‖z‖H2= 1.
Por lo tanto, para todo B ∈ IG(A) se verifica:∥∥∥A†∥∥∥L(H2,H1)
= supz∈BH2
∥∥∥A†z∥∥∥H1
≤ ‖B‖L(H2,H1).
Mas aun, dado que A† ∈ IG(A) resulta que:∥∥A†∥∥L(H2,H1)= mın
{‖B‖L(H2,H1)
: B ∈ IG(A)}
.
138
Apendice
10.3 Modulo Mınimo Reducido
Esta subseccion estara destinada al estudio del modulo mınimo reducido, un parametro
que, entre otras cosas, nos ayudara a determinar facilmente cuando un operador acotado
sobre un espacio de Hilbert dado tiene rango cerrado.
Definicion:
Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo. Se llama modulo mınimo reducido de
A al valor
γ(A) := ınf{‖Ax‖H2
: x ∈ Ker(A)⊥ ∧ ‖x‖H1= 1}
.
A continuacion, mencionaremos una forma practica de calcular el modulo mınimo
reducido de operadores acotados e invertibles como ası tambien, daremos a conocer un
par de cotas de este parametro para el producto de dos operadores acotados sobre un
espacio de Hilbert dado, siendo uno de ellos invertible.
Proposicion 10.18
Sea A ∈ Gl(H1,H2). Se verifican:
1 γ(A) =∥∥A−1∥∥−1L(H2,H1)
.
2 Si B ∈ L(H3,H1) entonces γA · γ(B) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· γ(B).
Demostracion:
1 Supongamos que A ∈ Gl(H1,H2). Entonces Ker(A) ={~0}
con lo cual
Ker(A)⊥ = H1. De esta manera resulta que:
γ(A) = ınf{‖Ax‖H2
: ‖x‖H1= 1}
= ınf{‖y‖H2
:∥∥A−1y
∥∥H1
= 1}
= ınf
{‖y‖H2
‖A−1y‖H1
: y ∈ H2 \{~0}}
=
[sup
{(‖y‖H2
‖A−1y‖H1
)−1
: y ∈ H2 \{~0}}]−1
=
[sup
{∥∥A−1y∥∥H1
‖y‖H2
: y ∈ H2 \{~0}}]−1
=
sup
∥∥∥∥∥A−1
(y
‖y‖H2
)∥∥∥∥∥H1
: y ∈ H2 \{~0}−1
=[sup
{∥∥A−1z∥∥H1
: ‖z‖H2= 1}]−1
=∥∥A−1
∥∥−1
L(H2,H1).
139
Apendice
2 Es claro que Ker(B) ⊆ Ker(AB). Ademas, si ABx = ~0 entonces resulta que
Bx ∈ Ker(A) ={~0}
con lo cual x ∈ Ker(B) y Ker(AB) ⊆ Ker(B). De esta
manera, Ker(AB) = Ker(B). Ahora bien, como Ker(A)⊥ = H1, para cada
x ∈ H3,
γ(A) = ınf{‖Az‖H2
: ‖z‖H1= 1}≤
∥∥∥∥∥A(
Bx
‖Bx‖H1
)∥∥∥∥∥H2
=‖ABx‖H2
‖Bx‖H1
.
De esta manera, para cada x ∈ H3, se verifica:
γ(A) · ‖Bx‖H1≤ ‖ABx‖H2
≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖Bx‖H1
.
Por lo tanto, tomando ınfimo en Ker(AB)⊥ = Ker(B)⊥ sobre los vectores
unitarios, se obtiene:
γA · γ(B) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· γ(B).
Proposicion 10.19
Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo. Luego,
γ(A) > 0 sı y solo sı A tiene rango cerrado.
Demostracion:
Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo. Supongamos que γ(A) > 0. Sea y ∈ R(A).
Luego, existe una sucesion {yn}n∈N ⊆ R(A) tal que lımn−→+∞
yn = y. Dado que por
la Proposicion 7.1, el operador A∣∣∣Ker(A)⊥ : Ker(A)⊥ −→ R(A) es un isomorfismo,
para cada yn ∈ R(A) existe un unico xn ∈ Ker(A)⊥ tal que Axn = yn. De esta
manera, existe una sucesion {xn}n∈N ⊆ Ker(A)⊥ tal que lımn−→+∞
Axn = y. Observar
que para cada x ∈ Ker(A)⊥ \{~0}
se verifica:
γ(A) ≤
∥∥∥∥∥A(
x
‖x‖H1
)∥∥∥∥∥H2
=‖Ax‖H2
‖x‖H1
.
Luego, como γ(A) > 0, ‖x‖H1≤ γ(A)−1 ‖Ax‖H2
para cada x ∈ Ker(A)⊥. Ademas,
como {yn}n∈N es convergente resulta ser una sucecion de Cauchy. En consecuencia,
140
Apendice
dado γ(A)ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, si n,m ≥ n0 entonces:
‖xn − xm‖H1≤ γ(A)−1 ‖Axn −Axm‖H2
= γ(A)−1 ‖yn − ym‖H2< ε.
Esto muestra que {xn}n∈N ⊆ Ker(A)⊥ es una sucecion de Cauchy. Mas aun,
Ker(A)⊥ es completo pues Ker(A)⊥ v H1 resulta ser un espacio de Hilbert con
el producto interno inducido por H1. Por lo tanto, existe un unico x ∈ Ker(A)⊥
tal que lımn−→+∞
xn = x y, como A ∈ L(H1,H2), se cumple que lımn−→+∞
Axn = Ax.
Ası, por la unicidad del lımite, y = Ax por lo que y ∈ R(A). Entonces, se verifica
que R(A) ⊆ R(A) y, como es evidente que R(A) ⊆ R(A), de la doble inclusion, se
cumple la igualdad R(A) = R(A). Finalmente, R(A) es cerrado en H2.
Recıprocamente, supongamos que A tiene rango cerrado. Luego, por
la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa, el operador
A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl
(Ker(A)⊥, R(A)
). En consecuencia, existe λ > 0 de modo
que
∥∥∥∥(A ∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 y∥∥∥∥Ker(A)⊥
≤ λ · ‖y‖R(A). Ademas, observar que para cada
y ∈ R(A) existe un unico x ∈ Ker(A)⊥ tal que(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 y = x con lo cual
0 < ‖x‖Ker(A) ≤ λ · ‖Ax‖R(A). Es decir, 0 < 1λ · ‖x‖Ker(A)⊥ ≤ ‖Ax‖R(A) . Por lo
tanto,
γ(A) = ınf{‖Ax‖R(A) : x ∈ Ker(A)⊥ ∧ ‖x‖Ker(A)⊥ = 1
}≥ 1
λ> 0.
Proposicion 10.20
Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo con rango cerrado. Ası,
γ(A) =∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)
= γ(A∗).
Demostracion:
Como R(A) v H, por la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa,
A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl (Ker(A)⊥, R(A)
). Ademas, por la Proposicion 10.15, se verifica
que(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 = A†
∣∣R(A) pues, para cada z ∈ R(A),
A†∣∣R(A) z = A†z =
(A∣∣Ker(A)⊥
)−1PR(A)z =
(A∣∣Ker(A)⊥
)−1z.
141
Apendice
De esta manera, por la Proposicion 10.18,
γ(A∣∣Ker(A)⊥
)=∥∥∥(A ∣∣Ker(A)⊥
)−1∥∥∥−1L(R(A),Ker(A)⊥)
=∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥−1L(R(A),Ker(A)⊥)
.
Ahora bien, es evidente que∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥) ≤
∥∥A†∥∥L(H2,H1). En efecto:
∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥)
= supx∈BR(A)
∥∥A†x∥∥Ker(A)⊥
≤ supx∈BH2
∥∥A†x∥∥H1=∥∥A†∥∥L(H2,H1)
.
Por otro lado, como R(A) v H2 entonces H2 = R(A)⊕R(A)⊥. Luego, dado z ∈ H2,
existen unicos y ∈ R(A), w ∈ R(A)⊥ tales que z = y+w. De este modo, si z ∈ BH2 ,
como ‖z‖2H2= ‖y‖2H2
+ ‖w‖2H2, resulta que ‖y‖H2
≤ ‖z‖H2= 1. Ademas,
∥∥A†z∥∥H1=
∥∥A†AA†z∥∥H1=∥∥A†PR(A)z
∥∥H1
=∥∥A†y∥∥H1
=∥∥A† ∣∣R(A) y
∥∥Ker(A)⊥
≤∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥)
‖y‖R(A) .
≤∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥)
Por lo tanto,
∥∥A†∥∥L(H2,H1)= supz∈BH2
∥∥A†z∥∥H1≤∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥)
.
Ası, queda verificada la igualdad∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥)
=∥∥A†∥∥L(H2,H1)
. Mas
aun, como el operador A∣∣∣Ker(A)⊥ es inyectivo, Ker
(A∣∣∣Ker(A)⊥ )⊥ = Ker(A)⊥. En
consecuencia,
γ(A∣∣Ker(A)⊥
)= ınf
{∥∥A ∣∣Ker(A)⊥ w∥∥R(A)
: w ∈ Ker (A)⊥ ∧ ‖w‖Ker(A)⊥ = 1
}= ınf
{‖Aw‖H2
: w ∈ Ker (A)⊥ ∧ ‖w‖Ker(A)⊥ = 1
}= γ(A).
Combinando las identidades anteriores resulta:
γ(A) = γ(A∣∣Ker(A)⊥
)=∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥−1L(R(A),Ker(A)⊥)
=∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)
.
Finalmente, por la Proposicion 10.16,
γ(A∗) =∥∥∥(A∗)
†∥∥∥−1L(H2,H1)
=∥∥∥(A†)∗∥∥∥−1
L(H2,H1)=∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)
= γ(A).
En conclusion,
γ(A) =∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)
= γ(A∗).
142
Apendice
!
Observacion:
Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo con rango cerrado. Ası,
1
∥∥∥A ∣∣∣Ker(A)⊥ ∥∥∥L(Ker(A)⊥,R(A))= ‖A‖L(H1,H2)
.
2∥∥A† ∣∣R(A)
∥∥L(R(A),Ker(A)⊥) =
∥∥A†∥∥L(H2,H1).
143
Apendice
144
Agradecimientos
11 Agradecimientos
Finalmente, nos gustarıa expresar nuestra gratitud a las siguientes personas por su
incondicional ayuda y colaboracion en la escritura de estas notas:
A la Dra. Marıa Laura Arias, por fascilitarnos la presentacion de su exposicion como
ası tambien por sus valiosas sugerencias.
A la Dra. Julieta Ferrario, sin ella, la edicion de este trabajo no hubiera sido posible.
A los Dres. Mariano Ruız y Francisco Martınez Perıa, quienes colaboraron con pro-
vechosas ideas para demostrar algunos de los resultados aquı expuestos.
145
Agradecimientos
146
REFERENCIAS
Referencias
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