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Agradezco a Cinvestav su apoyo económico en los últimos semestres de mis estudios, hecho que me ha permitido culminarlos.
A mi mamá, con todo mi amor de y por siempre... por el hermoso bagaje que me deja.
A mi papá por infundirme su fortaleza y brindarme su amor.
A mis hermanas por su cariño, su apoyo incondicional y su aliento.
Y a todos ellos por su comprensión ante mis deseos de superacióny por regalarme la posibilidad de elegir.
Agradezco a mi asesora, Dra. Rosa María Farfán Márquez
por la guía, estímulo, apoyo y comprensión que supo brindarme en todo momento.
Agradezco al Dr. Ricardo Cantoral Uriza por discutir conmigo ciertos aspectos de este trabajo, así como también, por los momentos en los que
compartió conmigo sus ideales y experiencia.
Agradezco al Dr. Francisco Cordero Osorio por el apoyo académico y personal que me brindara en esta etapa de formación.
Agradezco a mis compañeras y compañeros que compartieron mis deseos de formar parte de un grupo, sus reflexiones y apoyo en este período de formación y consolidación
de compromisos con nuestra disciplina.
Índice
Introducción Capítulo 1 El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas Imagen conceptual versus definición del concepto...............5
Proceso-Objeto. Teoría APOE...............................................11 Representaciones semióticas y articulación de registros......16 Dialéctica Herramienta-Objeto y Juego de contextos..........21 Obstáculos epistemológicos y actos de entendimiento........27 Pensamiento y lenguaje variacional.........................................31 A manera de conclusión............................................................38
Capítulo 2
Ingeniería Didáctica Ingeniería Didáctica y Situaciones Didácticas........................42 Contrato Didáctico.....................................................................52 Obstáculos epistemológicos y variables didácticas................57 Fases de la Ingeniería Didáctica................................................61
Análisis preliminar...............................................................62 Análisis a priori y diseño de la situación didáctica...........63 Experimentación.................................................................63 Análisis a posteriori y validación..........................................64
Capítulo 3
Acercamiento a un análisis epistemológico Epistemología histórica del concepto “logaritmo”...............70 Albores del concepto de función logaritmo...........................74 Nacimiento de los logaritmos...................................................80 Aportes al desarrollo del cálculo..............................................90 A manera de conclusión..........................................................127
Capítulo 4
Acercamiento a un análisis didáctico Presencia de los logaritmos en la currícula mexicana del siglo XIX....................................................142 Presencia de los logaritmos en el currículum actual....144 Enseñanza Media..............................................................146 Enseñanza Media Superior..............................................147 Enseñanza Superior..........................................................150 Presencia de la función logaritmo en los libros de texto........................................................154 Presencia de los logaritmos en los libros de texto de antaño
Siglo XVII................................................................156 Siglo XVIII..............................................................162 Siglo XIX.................................................................174
Presencia de los logaritmos en los libros de álgebra entre 1950-1970............................184 Presencia de los logaritmos en los libros de bachillerato de última generación.............187 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la primera mitad del siglo XX....................................190 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la segunda mitad del siglo XX...................................193 A manera de conclusión..................................................201
Capítulo 5
A manera de conclusión..............................................................................207 Bibliografía...................................................................................................... 219
Anexo
Opus Geometricum quadraturae circuli et sectioum coni. Saint
Vincent.
Discusión de la Causa del Peso. Huygens.
Further logarithmic calculatio. Newton.
Instituciones analíticas. Tercer libro. Del cálculo integral. Agnesi.
Introducción
Consideramos que la Matemática Educativa, como disciplina científica, posee
entre sus objetos de estudio al sistema didáctico, visto éste como la triada docente-
alumno-conocimiento y las interrelaciones acaecidas entre los mismos dentro de una
cultura y sociedad particulares. Adherimos a la línea de investigación que mira a la
matemática como una construcción humana y que se preocupa por diseñar
situaciones didácticas que favorezcan la apropiación de significados por parte de los
alumnos y por tanto del desarrollo del pensamiento matemático avanzado. Este
grupo de investigación, dentro del cual consideramos encuadrado este trabajo,
propone una mirada integral y por tanto sistémica de los fenómenos didácticos que
se abordan.
En el trabajo de Trujillo (1995) se reporta una cierta “dislexia” entre los
enfoques aritmético y funcional producida en la enseñanza de los logaritmos
mientras que, en este estudio, intentamos proporcionar elementos para explicar este
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
fenómeno así como también, sentar las bases para un posterior diseño de situación
didáctica que se preocupe por dotar de significado a tales nociones.
Así, hemos identificado nuestra problemática en torno a la enseñanza de los
logaritmos y consideramos que abordarla implica dar respuesta a preguntas tales
como, ¿cómo vive esta noción en la escuela de nuestros días? ¿qué elementos
permitieron su incorporación a la estructura matemática actual? ¿cómo fue su
devenir en objeto a ser enseñado en nuestras aulas? ¿qué significados y sentidos se
han diluido en tal proceso? ¿qué preguntas respondió en cada paradigma que los
incorporó? ¿qué concepciones se encuentran respecto a ellos?
La metodología que usaremos será una extensión de la ingeniería didáctica. En
este trabajo se presenta entonces, el análisis preliminar, primera fase de toda
ingeniería didáctica en el cual se intenta dar una visión del desarrollo de los
logaritmos centrándonos fundamentalmente en las dimensiones didáctica,
epistemológica y sociocultural del mismo, siendo esta última la que evidencia nuestro
acercamiento teórico y extensión de esta metodología. Consideramos necesario, para
ubicar nuestra problemática, analizar las distintas aportaciones realizadas por
diferentes grupos de investigación que se desenvuelven adoptando metáforas de
aprendizaje propias y reportar sus resultados tanto respecto a la apropiación por
parte de los alumnos del concepto función como de su enseñanza. Destinamos
nuestro primer capítulo a reflexionar sobre ellas con el propósito de captar la esencia
de cada acercamiento y de su visión respecto a la lectura de sus resultados intentando
asimismo evidenciar por qué adherimos al acercamiento sociocultural propio de
nuestro grupo de investigación.
Según establecimos, nos hemos valido de la ingeniería didáctica para realizar
nuestra investigación y por tanto en el segundo capítulo de este trabajo
desarrollamos ideas en torno a sus características profundizando en las teorías que la
ii
Introducción
sustentan, a saber , la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau y la teoría de
transposición didáctica de Yves Chevallard.
Siendo nuestra intención resignificar las nociones que son de nuestro interés, es
decir, los logaritmos, nos abocamos a la búsqueda de los interrogantes y debates que
éstos produjeron, de las controversias que suscitaron, de los ires y venires en su
desarrollo y consolidación en la estructura matemática, en definitiva, su devenir en
un saber validado social y culturalmente. Para ello, recurrimos a varios textos
originales y libros de historia intentando también enmarcar al desarrollo científico en
la sociedad de la época volcando nuestras impresiones e indagaciones en el tercer
capítulo, en tanto que el capítulo cuatro, refleja el desarrollo de la comunicación y
divulgación de las nociones relacionadas con los logaritmos desde su definición en el
siglo XVII, hasta nuestros días. Presentamos en él, nuestro análisis de los libros de
textos que consideramos representativos aunque no únicos, y de la currícula de los
sistemas educativos argentino y mexicano para conocer cómo vivieron y viven los
logaritmos en el discurso matemático escolar de distintas épocas.
En este trabajo hemos identificado tres etapas significativas en el desarrollo de
los logaritmos al considerar como eje central, la relación entre ellos y las
progresiones aritmética y geométrica, misma que sabemos no forma parte del
discurso matemático escolar. Proponemos así mismo, una analogía entre estas etapas
a las que denominamos los logaritmos como transformación, como modelizadores y como objetos
teóricos, y los momentos que una situación didáctica debe contemplar, a saber, acción,
formulación, validación e institucionalización. Es decir, nos apropiamos de un
constructo teórico particular para reformularlo y adecuarlo a nuestras necesidades e
intereses. Destinamos entonces, el quinto capítulo para reflexionar en torno a los
posibles diseños de situaciones didácticas que pueden sustentarse en nuestro trabajo
y, por ende, en nuestra hipótesis epistemológica dejando abierto a la discusión tal
tópico.
iii
Agradezco a Cinvestav su apoyo económico en los últimos semestres de mis estudios, hecho que me ha permitido culminarlos.
A mi mamá, con todo mi amor de y por siempre... por el hermoso bagaje que me deja.
A mi papá por infundirme su fortaleza y brindarme su amor.
A mis hermanas por su cariño, su apoyo incondicional y su aliento.
Y a todos ellos por su comprensión ante mis deseos de superacióny por regalarme la posibilidad de elegir.
Agradezco a mi asesora, Dra. Rosa María Farfán Márquez
por la guía, estímulo, apoyo y comprensión que supo brindarme en todo momento.
Agradezco al Dr. Ricardo Cantoral Uriza por discutir conmigo ciertos aspectos de este trabajo, así como también, por los momentos en los que
compartió conmigo sus ideales y experiencia.
Agradezco al Dr. Francisco Cordero Osorio por el apoyo académico y personal que me brindara en esta etapa de formación.
Agradezco a mis compañeras y compañeros que compartieron mis deseos de formar parte de un grupo, sus reflexiones y apoyo en este período de formación y consolidación
de compromisos con nuestra disciplina.
Índice
Introducción Capítulo 1 El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas Imagen conceptual versus definición del concepto...............5
Proceso-Objeto. Teoría APOE...............................................11 Representaciones semióticas y articulación de registros......16 Dialéctica Herramienta-Objeto y Juego de contextos..........21 Obstáculos epistemológicos y actos de entendimiento........27 Pensamiento y lenguaje variacional.........................................31 A manera de conclusión............................................................38
Capítulo 2
Ingeniería Didáctica Ingeniería Didáctica y Situaciones Didácticas........................42 Contrato Didáctico.....................................................................52 Obstáculos epistemológicos y variables didácticas................57 Fases de la Ingeniería Didáctica................................................61
Análisis preliminar...............................................................62 Análisis a priori y diseño de la situación didáctica...........63 Experimentación.................................................................63 Análisis a posteriori y validación..........................................64
Capítulo 3
Acercamiento a un análisis epistemológico Epistemología histórica del concepto “logaritmo”...............70 Albores del concepto de función logaritmo...........................74 Nacimiento de los logaritmos...................................................80 Aportes al desarrollo del cálculo..............................................90 A manera de conclusión..........................................................127
Capítulo 4
Acercamiento a un análisis didáctico Presencia de los logaritmos en la currícula mexicana del siglo XIX....................................................142 Presencia de los logaritmos en el currículum actual....144 Enseñanza Media..............................................................146 Enseñanza Media Superior..............................................147 Enseñanza Superior..........................................................150 Presencia de la función logaritmo en los libros de texto........................................................154 Presencia de los logaritmos en los libros de texto de antaño
Siglo XVII................................................................156 Siglo XVIII..............................................................162 Siglo XIX.................................................................174
Presencia de los logaritmos en los libros de álgebra entre 1950-1970............................184 Presencia de los logaritmos en los libros de bachillerato de última generación.............187 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la primera mitad del siglo XX....................................190 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la segunda mitad del siglo XX...................................193 A manera de conclusión..................................................201
Capítulo 5
A manera de conclusión..............................................................................207 Bibliografía...................................................................................................... 219
Anexo
Opus Geometricum quadraturae circuli et sectioum coni. Saint
Vincent.
Discusión de la Causa del Peso. Huygens.
Further logarithmic calculatio. Newton.
Instituciones analíticas. Tercer libro. Del cálculo integral. Agnesi.
Introducción
Consideramos que la Matemática Educativa, como disciplina científica, posee
entre sus objetos de estudio al sistema didáctico, visto éste como la triada docente-
alumno-conocimiento y las interrelaciones acaecidas entre los mismos dentro de una
cultura y sociedad particulares. Adherimos a la línea de investigación que mira a la
matemática como una construcción humana y que se preocupa por diseñar
situaciones didácticas que favorezcan la apropiación de significados por parte de los
alumnos y por tanto del desarrollo del pensamiento matemático avanzado. Este
grupo de investigación, dentro del cual consideramos encuadrado este trabajo,
propone una mirada integral y por tanto sistémica de los fenómenos didácticos que
se abordan.
En el trabajo de Trujillo (1995) se reporta una cierta “dislexia” entre los
enfoques aritmético y funcional producida en la enseñanza de los logaritmos
mientras que, en este estudio, intentamos proporcionar elementos para explicar este
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
fenómeno así como también, sentar las bases para un posterior diseño de situación
didáctica que se preocupe por dotar de significado a tales nociones.
Así, hemos identificado nuestra problemática en torno a la enseñanza de los
logaritmos y consideramos que abordarla implica dar respuesta a preguntas tales
como, ¿cómo vive esta noción en la escuela de nuestros días? ¿qué elementos
permitieron su incorporación a la estructura matemática actual? ¿cómo fue su
devenir en objeto a ser enseñado en nuestras aulas? ¿qué significados y sentidos se
han diluido en tal proceso? ¿qué preguntas respondió en cada paradigma que los
incorporó? ¿qué concepciones se encuentran respecto a ellos?
La metodología que usaremos será una extensión de la ingeniería didáctica. En
este trabajo se presenta entonces, el análisis preliminar, primera fase de toda
ingeniería didáctica en el cual se intenta dar una visión del desarrollo de los
logaritmos centrándonos fundamentalmente en las dimensiones didáctica,
epistemológica y sociocultural del mismo, siendo esta última la que evidencia nuestro
acercamiento teórico y extensión de esta metodología. Consideramos necesario, para
ubicar nuestra problemática, analizar las distintas aportaciones realizadas por
diferentes grupos de investigación que se desenvuelven adoptando metáforas de
aprendizaje propias y reportar sus resultados tanto respecto a la apropiación por
parte de los alumnos del concepto función como de su enseñanza. Destinamos
nuestro primer capítulo a reflexionar sobre ellas con el propósito de captar la esencia
de cada acercamiento y de su visión respecto a la lectura de sus resultados intentando
asimismo evidenciar por qué adherimos al acercamiento sociocultural propio de
nuestro grupo de investigación.
Según establecimos, nos hemos valido de la ingeniería didáctica para realizar
nuestra investigación y por tanto en el segundo capítulo de este trabajo
desarrollamos ideas en torno a sus características profundizando en las teorías que la
ii
Introducción
sustentan, a saber , la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau y la teoría de
transposición didáctica de Yves Chevallard.
Siendo nuestra intención resignificar las nociones que son de nuestro interés, es
decir, los logaritmos, nos abocamos a la búsqueda de los interrogantes y debates que
éstos produjeron, de las controversias que suscitaron, de los ires y venires en su
desarrollo y consolidación en la estructura matemática, en definitiva, su devenir en
un saber validado social y culturalmente. Para ello, recurrimos a varios textos
originales y libros de historia intentando también enmarcar al desarrollo científico en
la sociedad de la época volcando nuestras impresiones e indagaciones en el tercer
capítulo, en tanto que el capítulo cuatro, refleja el desarrollo de la comunicación y
divulgación de las nociones relacionadas con los logaritmos desde su definición en el
siglo XVII, hasta nuestros días. Presentamos en él, nuestro análisis de los libros de
textos que consideramos representativos aunque no únicos, y de la currícula de los
sistemas educativos argentino y mexicano para conocer cómo vivieron y viven los
logaritmos en el discurso matemático escolar de distintas épocas.
En este trabajo hemos identificado tres etapas significativas en el desarrollo de
los logaritmos al considerar como eje central, la relación entre ellos y las
progresiones aritmética y geométrica, misma que sabemos no forma parte del
discurso matemático escolar. Proponemos así mismo, una analogía entre estas etapas
a las que denominamos los logaritmos como transformación, como modelizadores y como objetos
teóricos, y los momentos que una situación didáctica debe contemplar, a saber, acción,
formulación, validación e institucionalización. Es decir, nos apropiamos de un
constructo teórico particular para reformularlo y adecuarlo a nuestras necesidades e
intereses. Destinamos entonces, el quinto capítulo para reflexionar en torno a los
posibles diseños de situaciones didácticas que pueden sustentarse en nuestro trabajo
y, por ende, en nuestra hipótesis epistemológica dejando abierto a la discusión tal
tópico.
iii
CAPÍTULO 1
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Consideramos que la Matemática Educativa acoge en su seno, al igual que sucede
en otras disciplinas, distintas escuelas de pensamiento y matices en la construcción
de significados respecto a comprender, aprehender y aprender un concepto
matemático. Sin embargo, considerando que el objeto de estudio de nuestra
disciplina es el sistema didáctico en sí mismo, con todas las dificultades que su
abordaje trae aparejado al tratarse de relaciones humanas inmersas en una cultura,
sociedad y tiempos específicos y particulares en torno a un saber, el matemático, las
aportaciones de cada una de ellas difiere acorde a sus referentes teóricos y culturales.
Discutiremos en este capítulo seis acercamientos que actualmente buscan dar
explicación al intrincado proceso de aprendizaje de saberes del pensamiento
matemático avanzado. En estas líneas de investigación enfocadas al estudio de la
didáctica del análisis, que se sustentan en distintas “metáforas de aprendizaje”,
reconocemos un tronco común, la idea de que el conocimiento no es una mera copia
de la realidad sino que se construye, es decir, se adhieren a la tesis piagetiana de la
epistemología genética respecto al desarrollo del pensamiento (Cantoral & Farfán,
1998).
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Estas investigaciones se alejan, en cierta medida, de concepciones adoptadas por
las teorías conductistas respecto a la linealidad de estímulo-respuesta para lograr
aprendizajes y de la visión del error como “el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o
del azar” (Brousseau, 1976). Percibimos también en ellas las ideas de estímulo–
respuesta pero aquí cobran vital importancia los esquemas que el individuo pone en
juego para actuar sobre la realidad. Esta interacción individuo-realidad hace que los
esquemas que el sujeto posee vayan cambiando y que utilice, a medida que adquiere
experiencia, herramientas más complejas y especializadas. Para Piaget, la inteligencia
atraviesa fases cualitativamente distintas, llamadas “estadios”, y el pasaje de unos a
otros implica la adquisición de esquemas y estructuras nuevos, consistiendo estos
últimos en una serie de elementos que, una vez que interactúan, producen resultados
diferentes a la adición de sus efectos si se los toma por separado.
Esta teoría sostiene que el individuo construye su conocimiento a medida que
interacciona con la realidad, involucrando en esta construcción distintos
procedimientos, siendo la asimilación y acomodación los que más se destacan. En el caso
de la asimilación, el individuo incorpora la nueva información haciéndola parte de su
conocimiento, lo cual no significa que la integre necesariamente a la que ya posee, en
tanto que la acomodación es el proceso mediante el cual se transforma la
información que ya se tenía en función de la nueva, ambos procesos son interactivos,
realizándose de manera dialéctica, es decir, necesitándose una a otra para el
desarrollo de la estructura cognitiva. El resultado final de la interacción entre los
procesos de asimilación y acomodación es la equilibración.
Por otra parte, para Vygotsky el conocimiento es un producto de la interacción
social y cultural, concibiendo al individuo como un ser eminentemente social, y al
conocimiento mismo como un producto social. Este pensador mantiene que todos
los procesos psicológicos superiores (comunicación, lenguaje, razonamiento, entre
2
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
otros.) se adquieren primero en un contexto social y luego se internalizan. En
palabras de Vygostky:
“Un proceso interpersonal queda transformado en uno intrapersonal. En el
desarrollo cultural del niño, toda función aparece dos veces: primero, a escala social, y
más tarde, a escala individual; primero entre personas (interpsicológica), y después, en
el interior del propio niño (intrapsicológica). Esto puede aplicarse igualmente a la
atención voluntaria, a la memoria lógica y a la formación de conceptos. Todas las
funciones psicológicas superiores se originan como relaciones entre seres humanos”
(citado en Carretero, 1993, p. 24)
Estas aportaciones teóricas de la psicología cognitiva, así como las de Ausubel
quien considera que aprender y comprender son sinónimos, es decir, que el
aprendizaje debe ser una actividad significativa para la persona que aprende,
actividad que recae en la existencia de relaciones entre el conocimiento nuevo y el
que ya posee el individuo; donde la incorporación de saberes requiere de
consistencia, pertinencia y de relaciones no arbitrarias con los que ya se poseen, dan
marco a las metáforas de aprendizaje de matemática que abordaremos en este
capítulo.
Es así que, de una u otra manera, percibimos estos constructos teóricos en los
perfiles de las distintas escuelas que vamos a considerar como representativas de los
avances e intereses de nuestra disciplina. Entra en juego en ellas, además de la
filosofía que se adopte para explicar el cómo se aprende, es decir, los mecanismos
puestos en juego entre el sujeto epistémico y el objeto a conocer, la mayor o menor
importancia que a lo social y cultural se le confiera y al análisis del devenir de una
noción en saber a enseñar, ya sea esto en el transcurso de la historia y desarrollo de la
cultura como dentro de la cultura particular del aula, así como también, el saber
3
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
matemático a ser enseñado en sí mismo. La hipótesis que estas escuelas manejan se
acercan a lo establecido por Bachelard (1938) e incorporado a la matemática
educativa por Brousseau (1976) respecto a que “conocemos contra un conocimiento anterior,
destruyendo los conocimientos mal hechos, sobrepasando aquello que, en el espíritu mismo, constituye
un obstáculo a la inteligencia”.
En particular nos interesa abordar la nnoocciióónn ddee ffuunncciióónn pues la importancia que
se le confiere en la Matemática de hoy, se ve reflejada en su status y presencia dentro
del currículum actual, tanto en el nivel medio superior como en el superior. Es
considerada fundamental y central en Cálculo y en otras ramas de la Matemática, así
como también esencial en diversas áreas de la ciencia. Las dificultades detectadas en
los alumnos para apropiarse y comprender el concepto de ffuunncciióónn han motivado
diversas investigaciones. Abordaremos en este trabajo algunas de ellas, tal como se
presenta en el siguiente esquema, dando una somera explicación de los tópicos que
consideramos fundamentales para la comprensión de cada una.
Pensamiento y lenguaje variacional
Articulación de Registros
Proceso - Objeto
Obstáculos Epistemológicos y Actos de Entendimiento
Dialéctica Herramienta - Objeto
Imagen y definición del concepto
4
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Imagen conceptual versus definición del concepto
Investigadores tales como Tall (1991; 1996) y Vinner (1992) consideran que se
debe realizar una distinción entre el modo en el que un sujeto piensa sobre un
concepto y la definición formal del mismo, es decir, distinguir entre matemática
como una actividad mental y matemática como un sistema formal. En este sentido,
evidencian la existencia de un conflicto entre la estructura de la matemática y los
procesos cognitivos para adquirir determinados conceptos. Pensar en matemática
como un sistema deductivo, que comienza con nociones primarias y axiomas, para
continuar con definiciones y pruebas lleva a proponer al estudiante,
pedagógicamente, el abordaje de una definición mediante ejemplos y maneras de
manipular y experimentar con la noción, lo cual dista de ser idóneo para evitar
conflictos cuando se trata de conceptos abstractos. Es evidente entonces, la
dificultad que involucra la transición hacia el pensamiento matemático avanzado, a
partir de la matemática básica, pues requiere reconstruir a través de deducciones
lógicas y definiciones formales un universo basado en la intuición y la experiencia.
Tall (1992) considera que, en general, aprender una nueva noción no borra la
anterior. El estudiante, en ciertos momentos, posee dos ideas simultáneamente, a las
que puede recurrir, y lo que está en juego es la “selección” (frecuentemente
inconsciente) de cual de ellas recuperar, siendo posible también las combinaciones
de ambas ideas, todo lo cual genera conflictos cognitivos. Esto es particularmente
evidente en la incursión en el pensamiento matemático avanzado, cuando la mente
posee imágenes conceptuales basadas en experiencias anteriores interactuando con
nuevas ideas basadas en definiciones y deducciones.
Este acercamiento teórico introduce el término ““iimmaaggeenn ddeell ccoonncceeppttoo”” (concept
image) para describir la estructura cognitiva que es asociada al concepto, la cual
5
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
incluye todas las imágenes mentales y las propiedades y procesos asociados con el
mismo. Es lo que evoca nuestra memoria, es una entidad no verbal asociada, en
nuestra mente, con el concepto. Puede ser una representación visual, una colección
de impresiones o experiencias, nociones intuitivas, ejemplos y no ejemplos, gráficos,
etc., relacionados con el concepto. Esta imagen del concepto se robustece con los
años a través de la experiencia y estímulos de diversos tipos no siendo su desarrollo
necesariamente coherente. En contrapartida, consideran que la ““ddeeffiinniicciióónn ddeell ccoonncceeppttoo””
(concept definition) es una descripción formal del mismo.
Es importante entonces distinguir entre el concepto matemático formal
especificado por una “definición del concepto” y la amplia, individual y subjetiva “imagen
del concepto”. Para este acercamiento teórico, apropiarse del significado de una noción
implica formar una imagen de la misma. Las personas recuerdan mejor los aspectos
visuales de un concepto que los aspectos analíticos del mismo. Aprender de
memoria una definición, no garantiza que se ha comprendido la noción a la que
alude. Las representaciones e imágenes mentales, impresiones y experiencias
asociadas con el concepto, pueden ser trasladadas a formas verbales. Por ejemplo,
cuando alguien escucha “función”, puede recordar la expresión y = f(x), o, visualizar
alguna gráfica, pensar en alguna función específica como seno o logaritmo, evocar
los diagramas de Venn, entre otros.
Algunos resultados obtenidos de las investigaciones llevadas a cabo para analizar
la apropiación del concepto de función, considerado uno de los mas complejos a ser
enseñado y aprendido debido a las diversas representaciones que admite y a las
variadas concepciones que giran a su alrededor, muestran la brecha entre las
definiciones dadas por los estudiantes y los criterios utilizados en las tareas de
reconocimiento de objetos funcionales o de clasificación de funciones y no
funciones, dadas en distintos registros. En general, dan cuenta de la concepción de
6
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
función organizada alrededor de prototipos comunes encontrados, de la asociación
entre ““ffuunncciióónn yy ffóórrmmuullaa”” o entre ““ffuunncciióónn yy ccuurrvvaa rreegguullaarr””, y no en torno a su definición.
Esto lleva a los alumnos a rechazar funciones o a admitir objetos no funcionales. Por
ejemplo, Vinner (1992) ha hallado que los estudiantes creen, respecto al concepto de
función, que:
La correspondencia que constituye la función debe ser establecida por una regla
con sus propias regularidades. No se considera una correspondencia arbitraria
como función.
Un cambio en la variable independiente debe sistemáticamente reflejarse en la
variable dependiente, por tanto una función constante no es tal, es decir:
( ) 2f x = forma algebraica no es función pues:
No depende de “x”. No hay variación.
forma gráfica no es función pues:
Un cambio en la variable
Independiente debe reflejarse en la variable dependiente.
Una función debe tener un término algebraico, una fórmula o una ecuación. Es
una manipulación realizada sobre la variable independiente para obtener la
variable dependiente. Luego, una correspondencia funcional definida por trozos
no es una función sino varias. Por ejemplo:
22 si 0( ) 1 si 0
x xf x x x+ >= − ≤
7
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
La función es identificada con una de sus representaciones gráficas o simbólicas,
es decir, como una curva en un sistema de coordenadas o como diagramas de
Venn, o como y = f(x)
Una regla de correspondencia que no tenga una regla algebraica es función sólo
si la comunidad de matemáticos la enuncia como tal.
La gráfica de una función debe ser regular, y sin cambios bruscos. Cambios
imprevistos en la gráfica indican que no es función. Por ejemplo, el siguiente
gráfico no es considerado como la representación de una función.
Una función es una correspondencia uno a uno.
Por su parte, Eisenberg (1983), reporta que los estudiantes pueden generar
soluciones cuando se les da la fórmula y pueden construir una tabla de
correspondencias como la siguiente:
( ) 7 3f w w= +
W 1 3 7
f(w) 10 24 52
Pero, si el problema es “cambiado” pidiéndosele al alumno que halle los valores
de para 1, 3, 7 la mayoría vuelve a calcular la tabla pese a tener los
valores de ( frente a ellos, desconociendo la noción de variable.
( ) 7 3f m m= +
, (w f ))w
8
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Para Eisenberg, comprender un concepto matemático básico implica haberlo
construido desde una base intuitiva y generalmente, durante el proceso de
enseñanza, el estudiante no logra dar sentido ni internalizar los conceptos, es decir,
éstos no se convierten en parte de ellos, no logrando adquirir un pensamiento
funcional, sino sólo una manipulación de mecanismos. Parece natural ver algunos
aspectos de la matemática general y de funciones en particular de manera gráfica. Sin
embargo, los estudiantes simplemente no tienen esta “imagen del concepto” de función.
Parecen tender a procesar la información y resolver ejercicios analíticamente, no
visualmente. Ejemplo de esta dicotomía entre el gráfico de una función y la función
en sí misma, es el caso presentado por la totalidad de los alumnos de cálculo
entrevistados respecto a hallar la inversa de una función conocido su gráfico y su
expresión analítica (Eisenberg, 1991). El 90% fue capaz de hacerlo en forma analítica
y el 55% de los mismos justificar su repuesta, en tanto que sólo el 30% “reflejó la
gráfica respecto a la recta y = x” dando indicios de su conocimiento de tal
mecanismo geométrico, pero ninguno de ellos fue capaz de justificar dicho proceso,
demostrando la existencia de un divorcio entre el concepto de función y su
interpretación visual.
Según Tall (1992), hay definiciones que oscurecen las imágenes conceptuales de
los alumnos. Por ejemplo, una función podría ser definida como un proceso
mediante el cual se asigna a cada elemento de un conjunto (dominio) un único
elemento de otro (rango). Ante esto, los estudiantes, en general, limitan estos
“elementos” a números, no considerando que puede tratarse de una correspondencia
entre conjuntos, funciones, matrices, n-uplas en un espacio n-dimensional, etc. Por
otra parte, considera conveniente que, en lugar de comenzar con la definición del
concepto, la cual puede contener palabras o nociones no familiares para el alumno,
se intente hallar una aproximación para construirla sobre conceptos que jueguen el
doble papel de ser inicialmente familiares para el estudiante y a su vez lo provean de
9
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
una base para el desarrollo matemático posterior, a lo que Tall denomina “raíces
cognitivas”.
Los resultados expuestos anteriormente dan pauta de que el cerebro humano no
es una entidad puramente lógica. La manera compleja en la que funciona está a
menudo en desacuerdo con la lógica de la matemática. El desarrollo de las imágenes
conceptuales y del razonamiento, como camino hacia la comprensión y aprendizaje
de las ideas matemáticas, no puede ser coherente durante todo el tiempo pues los
estímulos sensoriales excitan ciertos caminos neuronales e inhiben otros, pudiéndose
producir conflictos cognitivos entre partes inconsistentes de la imagen conceptual
construida por el sujeto (Vinner & Tall, 1981). Una aproximación pedagógica
ingenua, supone que, en el proceso de formación de un concepto, la definición se
hará cargo y formará la imagen conceptual del mismo.
( ) 2f x x= +
Concepto
FUNCIÓN
inconsistencias
Esquema en torno al aprendizaje del concepto de función =
Aprendizaje
Razonamiento
MÁS
del del
Un función y de la variable x es una relación entre pares de elementos de dos conjuntos numéricos A y B, tal que cada elemento x del primer conjunto A se le asigna un elemento y , y solamente uno del segundo conjunto B, según una regla definida
Sean A y B dos conjuntos, sea AxB su producto cartesiano. Un subconjunto f de AxB es una función si, cualesquiera sean (a,b) y (c,d) elementos de f. Si a = c entonces b = d
x f (x) 0 2 1 3
Parejas de baile
convicciones
conflictos Desarrollo cognitivo
Pre-concepciones
errores
D E F I N I C I Ó N
I M A G E N
10
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Proceso – Objeto. Teoría APOE
La teoría APOE, de naturaleza constructivista y cuyas siglas significan Acción,
Proceso, Objeto y Esquema se nutre de ideas piagetianas. Para Dubisnky:
“El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones
matemáticas problemáticas, reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo o
reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizando en esquemas con el
fin de manejar las situaciones” (Dubinsky, 1998).
Para comprender esta cita es necesario incursionar en sus concepciones
respecto a cada uno de los términos que componen este constructo teórico. Es así,
que una reacción a estímulos externos que el sujeto percibe y que le indican cómo
actuar es considerada una acción, la cual tiende a controlar al individuo. Una acción
implica entonces una repetición mental o manipulación física de objetos. Por
ejemplo, en el caso del concepto de función, que un alumno esté en esta etapa
significa que su concepción de función es estática, tendiendo a pensar un paso a la
vez, necesitando que tenga una única fórmula y siendo sólo capaz de evaluar en
puntos específicos o de manipular la fórmula.
Si un individuo es capaz de reflexionar sobre las acciones, es decir, ejecutar la
misma transformación anterior pero internamente, decimos que está a nivel de
proceso para ese concepto, por tanto, posee control sobre el mismo y puede hacer
consideraciones sin necesidad de ejecutarlo explícitamente. Decimos que cuando un
alumno puede reflexionar sobre el concepto, describirlo, invertir los pasos de la
transformación tiene, entonces, una concepción proceso de esa noción. Para el caso
de función significa tener una idea dinámica, poder pensarla como algo que recibe
una o más entradas y que regresa las salidas, tener la capacidad de hallar la inversa de
11
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
una función o, por ejemplo, de componer funciones, lo que implica ligar dos o más
procesos, sin mayores dificultades.
Así mismo, un individuo piensa un cierto proceso como objeto cuando es capaz
de reflexionar sobre las operaciones aplicadas a dicho proceso, toma conciencia de
él como un todo, percibe las transformaciones que puede realizarle y puede
construirlas. Decimos entonces que el proceso ha sido encapsulado en un objeto.
Éste a su vez, puede posteriormente volver a ser proceso, es decir desencapsularse,
para luego regresar a su estado inicial de objeto. En el caso de funciones este
encapsulamiento aparece cuando se piensa en la manipulación de funciones, ya sea
en operarlas, derivarlas o formar conjuntos con ellas, es decir, cuando se es capaz de
ejecutar acciones o procesos sobre las mismas.
Finalmente un esquema es un conjunto de acciones, procesos, objetos y otros
esquemas que el individuo posee sobre cierto concepto, en el cual existe coherencia,
es decir, que el individuo entiende y distingue explícitamente qué acciones, procesos
y objetos pertenecen a dicho esquema y cuales no.
OBJETO PROCESO internalización
encapsulación acción Coordinación
Reversibilidad
generalización
Construcción de un esquema (Dubinsky, 1992)
Es así que los objetos son construcciones que realiza el sujeto a partir de varias
experiencias las cuales pueden provenir de percepciones sensoriales, actividades
motoras, ideas, etc. Los procesos, en cambio, hacen referencia al conjunto de
12
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
mecanismos o actividades que el sujeto es capaz de utilizar, involucrando su
habilidad para manipularlos y transformarlos en su mente. Como resultado el
individuo es capaz de reflexionar sobre los procesos en sí mismos, combinarlos con
otros, revertirlos, etc.
La construcción de objetos y de procesos es una espiral pues unos son
utilizados para la construcción de los otros, es decir, los objetos son utilizados para
la obtención de nuevos procesos en tanto que la manipulación de éstos deriva en
nuevos objetos y así siguiendo. Estas construcciones involucran cinco etapas, a
saber, la internalización, la encapsulación, la coordinación, la reversibilidad y la
generalización.
La construcción de un proceso comienza con acciones sobre objetos los cuales
son organizados e internalizados como conocimientos de una totalidad coherente. Por
ejemplo, un estudiante puede conocer la definición de función como la
correspondencia entre dos conjuntos y utilizar este conocimiento para resolver el
problema de determinar puntos de una función. Necesitaría para ello, construir un
proceso mental en el cual use la fórmula dada para manipular objetos pertenecientes
al dominio y transformarlos en elementos del rango.
La etapa de encapsulación, en cambio, es difícil de observar y sólo puede ser
inferida. Requiere la manipulación de las nociones como si fueran objetos. Es
importante en cálculo pues se necesita manipular funciones, por ejemplo, derivarlas,
integrarlas, trabajar con familias de funciones paramétricas, etc., es decir, tratar a la
función como un objeto en sí misma. Cuando se toma uno o más procesos y se los
utiliza para construir nuevos procesos, desde una simple concatenación hasta lazos
de funciones estamos en la etapa de coordinación.
13
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
La reversibilidad juega un papel importante. Por ejemplo, en el caso de funciones
uno a uno y sobre, se han observado, (Dubinsky, 1991), dificultades en el
reconocimiento de ejemplos de las mismas. No se percibieron mayores problemas
en el tratamiento de las funciones “sobre” pues requiere evocar la definición de
función tal como se la conoce, en tanto que para reconocer y justificar el caso de
funciones “uno a uno” se necesita pensar en la definición en sentido inverso, esto
es, desde el rango hacia el dominio, involucrando un proceso en reversa cuya
explicación se dificulta.
Finalmente, cuando se es capaz de utilizar un esquema ya construido en nuevas
situaciones, diferentes de las anteriores se está en la etapa de generalización del
esquema. Por ejemplo, cuando un estudiante es capaz de utilizar sus ideas sobre
función como transformación de números de un conjunto a números de otro
mediante una regla definida, para resolver el problema de asignar proposiciones
“verdadero-falso” a cada número entero, ha generalizado su noción de función.
Algunos de los resultados de investigaciones llevadas a cabo bajo este paradigma
(Dubinsky, 1992) dan cuenta que los alumnos:
Asocian el concepto de función con un proceso calculatorio, es decir, con una
manipulación de variables.
Confunden el proceso de construir un conjunto de pares ordenados con la
función misma.
Consideran que una función debe ser definida por un algoritmo relativamente
simple, es decir, se rechaza la idea de una función definida arbitrariamente.
Requieren de una regla bien definida que puedan expresar mediante un gráfico o
fórmula.
Creen que gráficas discontinuas representan varias funciones.
14
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Generan gran dependencia con los símbolos algebraicos utilizados, es decir,
consideran que:
no es lo mismo que ( ) 2 1f x x= + ( ) 2 1f t t= +
Consideran que dos funciones no pueden ser iguales si están definidas por
distintas expresiones, aunque observen que dan los mismos valores para todo el
dominio.
Poseen, en general una concepción de función en tanto proceso por sobre la de
objeto, requiriéndose una concepción de función en tanto objeto que permita
que otro procedimiento actúe a su vez sobre él.
15
( ) 2 3f x x= +
(1) 2.1 3 5f = + =
'( ) 2f x =
1 1 3( )
2 2− = −f x x
Por tanto, concluyen que existen dificultades en el pasaje de la función vista
como ““pprroocceessoo”” y la función vista como ““eennttiiddaadd ccoonncceeppttuuaall uu oobbjjeettoo””,, siendo el tiempo y
la motivación factores importantes para lograr este pasaje. Para mayor información
sobre las investigaciones enmarcadas en este acercamiento teórico puede consultarse
la página web (http://trident.mcs.kent.edu/%7eedd/publications.html) en la cual se
encuentran varios artículos que en los últimos años ha producido el grupo RUMEC
y que dan cuenta de algunos interesantes resultados en la implementación de cursos
que utilizan el ciclo ACE (actividades con computadoras, en clase y teóricas)
respecto a este tema. El alumno puede reflexionar sobre el concepto, describirlo, invertir los pasos de la transformación. Es una concepción de función dinámica.
Función
concepción de función estática
El alumno es capaz deevaluar en puntos específicos o de manipular la fórmula.
el alumno reflexiona sobre lasoperaciones aplicadas a un procesoen particular, toma conciencia delproceso como un todo.
Esquema de las etapas para el caso de función
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Representaciones semióticas y articulación de registros
La formación del pensamiento científico, particularmente en matemática, está
íntimamente ligado al desarrollo de simbolismos específicos para representar a los
objetos y a sus relaciones, por tanto, el progreso de los conocimientos implica la
creación y el desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos.
Para encarar este hecho Duval (1999) desarrolla los conceptos de representación
semiótica y de articulación de registros. Delimita entonces que las representaciones
semióticas, como producciones constituidas por el empleo de símbolos, son relativas
a un sistema particular de signos (lenguaje, escritura algebraica, gráficos cartesianos,
etc.) las cuales pueden ser convertidas en representaciones “equivalentes” en otros
sistemas semióticos. Tales sistemas deben permitir el cumplimiento de las tres
actividades cognitivas inherentes a toda representación, es decir, la formación de
representaciones en un registro semiótico particular, así como las dos actividades
ligadas a la propiedad fundamental de toda representación semiótica, su
transformabilidad en otras representaciones que conserven todo el contenido de la
representación inicial o una parte del mismo. Esta última abarca tanto la
transformación de las representaciones de un objeto en un mismo registro,
denominado tratamiento, como de un registro a otro, la conversión.
La formación de representaciones en un registro semiótico particular, es decir, la
construcción de una marca o conjunto de marcas perceptibles e identificables como
una representación de alguna cosa en un sistema determinado, permite expresar una
representación mental o evocar un objeto. Esta actividad implica siempre una
selección en el conjunto de los caracteres y la utilización de signos para actualizar la
mirada de un objeto o para sustituir la visión del mismo. Por otra parte, requiere el
respeto de las reglas propias del sistema empleado, las llamadas “reglas de
conformidad”, las cuales definen un sistema de representación y, en consecuencia,
16
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
las unidades constitutivas de todas las representaciones posibles de un registro. Estas
reglas se refieren a:
La determinación de unidades elementales (símbolos, vocabulario, etc.)
Las combinaciones admisibles de las unidades elementales para formar unidades
de nivel superior (reglas de formación de un sistema formal, gramática de la
lengua, etc.)
Las condiciones para que una representación de orden superior sea una
producción pertinente y completa (reglas canónicas de un género literario, etc.)
Respecto a las dos actividades ligadas a la propiedad fundamental de toda
representación semiótica, su transformabilidad en otras representaciones,
hablaremos en primer término del tratamiento considerándolo como aquella actividad
cognitiva que transforma las representaciones de algún objeto en el mismo registro.
Es una transformación interna al registro de representación que se realiza de acuerdo
con las reglas propias al sistema, llamadas “reglas de expansión”, para obtener otras
representaciones que pueden constituir una ganancia de conocimientos en
comparación con las representaciones iniciales.
En segunda instancia, consideramos a la conversión como aquella actividad
cognitiva que consiste en transformar las representaciones producidas en un sistema
de representaciones a otro, de tal manera que éstas últimas permitan explicitar otras
significaciones relativas a aquello que es representado. Es, por tanto, una
transformación externa al registro de la representación inicial constituyéndose en la
actividad cognitiva menos espontánea y más difícil de adquirir para la mayoría de los
alumnos.
17
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
2( ) 2f x x x= + −
( ) ( 1)( 2 )f x x x= − +
RReepprreesseennttaacciióónn iiddeennttiiffiiccaabbllee (lenguaje específico):
Esquema de un registro de representación semiótica
Registro de representación
TTrraannssffoorrmmaacciióónn iinntteerrnnaa::
TTrraannssffoorrmmaacciióónn eexxtteerrnnaa::
La coordinación de los diferentes registros de representación ligados a la
objetivación o al tratamiento de los conocimientos, no se da espontáneamente,
incluso en el transcurso de una enseñanza que movilice esta diversidad de registros.
En general, los aprendizajes se quedan como una comprensión en un solo registro lo
cual no permite ninguna transferencia. Este encerramiento resulta de una falta de
congruencia entre las representaciones del mismo objeto que provienen de sistemas
semióticos diferentes. Generalmente el pasaje espontáneo de una representación a
otra conlleva tres condiciones: la correspondencia semántica entre las unidades
significativas que la constituyen; un mismo orden posible de aprehensión de estas
unidades en las dos representaciones y la conversión de una unidad significativa en la
representación inicial en una sola unidad significativa en la representación final.
En la enseñanza de matemática, el pasaje de un registro a otro o la movilización
simultánea de varios, son fenómenos frecuentes y naturales, pero nada evidentes
para los alumnos. Éstos no reconocen un mismo objeto a través de las
representaciones que pueden darse del mismo en diferentes sistemas semióticos.
Sólo una comprensión integrativa, es decir, una comprensión fundada en la
18
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
coordinación de los registros de representación que presupone la discriminación de
las unidades significativas de los registros, propicia tales posibilidades de
transferencia. Los objetos matemáticos tales como números, funciones, rectas, etc.
no deben ser confundidos con la representación que se les hace, es decir, con la
escritura decimal, símbolos, gráficas, etc. ya que no puede existir comprensión en
matemática si no se distingue un objeto de su representación. Es esencial entonces,
para la actividad matemática, poder movilizar varios registros en el curso de una
misma acción, o bien poder elegir un registro de otro. En la fase de aprendizaje, la
articulación de registros simbólicos juega un papel fundamental en la
conceptualización.
Es así que el análisis del desarrollo de los conocimientos y de los obstáculos en el
aprendizaje enfrenta tres fenómenos estrechamente ligados:
La diversificación de los registros de representación semiótica, pues cada registro
plantea preguntas específicas sobre aprendizaje las cuales son muy diferentes
entre sí.
La diferenciación entre representante y representado o al menos entre forma y
contenido de una representación semiótica.
La coordinación entre los diferentes registros de representación semiótica
disponibles, pues el conocimiento de las reglas de correspondencia entre dos
registros distintos no es suficiente para que puedan ser movilizados y utilizados
conjuntamente.
Según entendemos, lograr un aprendizaje en este acercamiento teórico podría
esquematizarse, para el caso de la función cuadrática, de la siguiente manera:
19
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Tratamiento de la representación (Transformación interna)
Marcan unidades significativas en cada registro Indican la conversión de la unidad significativa elegida
2( ) 2f x x x= + −
( ) ( 1)( 2)f x x x= − +
Registro gráfico Registro numérico
Registro del lenguaje natural
“El cuadrado de un número más el mismo número menos dos”
Registro algebraico
x f(x) -2 0 0 -2 1 0
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Formación de la representación
Conversión de la representación
Esquema de la articulación de registros semióticos para el caso de función cuadrática
Los trabajos en torno al aprendizaje del concepto de función son numerosos y
los resultados de estas investigaciones concordantes. Se han hallado no sólo
dificultades para articular los diferentes registros simbólicos y las representaciones en
cada uno de ellos de la noción de función, sino también, en la conversión de un
registro a otro y en el trabajo dentro de un mismo registro. Las investigaciones
señalan a los hábitos de la enseñanza tradicional como causas de las dificultades
cognitivas mencionadas, pues el gran predominio que en ella se otorga al registro
algebraico y el status infra-matemático asignado al registro gráfico, impiden al
estudiante lograr flexibilidad en el pasaje de uno a otro (Artigue, 1995).
La utilización de calculadoras graficadoras o de computadoras personales en la
enseñanza, debido a que permiten al alumno acceder a distintos registros de
representación por medio de ventanas múltiples, ha alentado la realización de
20
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
investigaciones orientadas al estudio de las dificultades y las posibilidades que
realmente ofrecen estas herramientas. Algunas evidencias sugieren que el uso de
calculadoras graficadoras ayuda a desarrollar una comprensión más global del
concepto de función pues permite visualizar sus gráficas y establecer relaciones entre
éstas y las funciones correspondientes. A su vez, los registros gráfico y numérico
adquieren un nuevo status, pues los alumnos comprenden que los problemas
algebraicos se pueden resolver gráfica o numéricamente tan bien como con la
manipulación algebraica (Mirón, 2000). Por otro lado, entre algunas concepciones
erróneas que se han reportado como producidas por el manejo de estas
herramientas, figuran la creencia que el rango de la ventana es el dominio de la
función o que siempre existe una asíntota en los puntos donde la función no está
definida, consideraciones éstas que alertan sobre la necesidad de asumir una postura
racional y crítica frente a la existencia de herramientas tecnológicas diseñadas y
factibles de ser incorporadas a la enseñanza (Penglase & Arnold, 1996).
Dialéctica Herramienta – Objeto y Juego de contextos
Douady (1986; 1995; 1996), mediante su constructo teórico “dialéctica herramienta-
objeto, y juegos de marcos o contextos” (cadres) propone un acercamiento a la comprensión
de las implicaciones y significados de aprender en situación escolar y a los factores
puestos en juego en tal situación. Su interés se centra en el aprendizaje en el aula,
poniendo el acento, por tanto, en el análisis de la microsociedad conformada por el
alumno, el docente y el saber matemático.
La dialéctica herramienta-objeto es un proceso cíclico que organiza los papeles
del profesor y del alumno, en el transcurso del cual los conceptos matemáticos
21
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
juegan alternativamente el papel de “herramienta” para resolver el problema y de
“objeto” al tomar un lugar en la construcción de un conocimiento organizado.
Es necesario, para comprender estas nociones, ahondar un poco en el
significado que se le confiere, fundamentalmente, a “un saber matemático” a
“aprender” y a “enseñar”. Así, se considera que un saber matemático responde a dos
aspectos, por un lado, la capacidad de disponer de ciertas nociones y teoremas
matemáticos para resolver problemas, e interpretar y plantear nuevos interrogantes o
situaciones. Esto conlleva la generación y establecimiento de relaciones entre las
nociones expresadas en la situación y movilizadas para la resolución de la misma. En
este sentido, las nociones o teoremas tienen un status de herramienta, inscritas en un
contexto bajo la acción y el control de un individuo o grupo en un momento dado.
Un alumno puede recurrir a una herramienta implícita o explícitamente. Lo hace de
manera implícita cuando pone en juego concepciones que le permiten utilizar un
procedimiento cuya justificación hace referencia a nociones que sabe formular o que
expresa únicamente en términos de acciones en un contexto particular, en tanto que
recurre a una herramienta explícita cuando emplea nociones que puede formular y
justificar su uso.
Por otro lado, el saber matemático implica el reconocimiento de nociones y
teoremas como integrantes de un cuerpo de conceptos científica y socialmente
reconocido, así como también, la formulación dentro del mismo de definiciones y el
enunciado y demostración de teoremas, adquiriendo en este momento el status de
objeto. Cobra importancia en esta instancia la descontextualización,
despersonalización y atemporalidad de las nociones, es decir, el formularlas de la
manera más general posible para integrarlas así al cuerpo de conocimientos
científicos ya establecido. Por tanto, un saber constituido en objeto, permite
22
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
organizar mejor alguna rama de la matemática o las ideas y concepciones que posea
un individuo o simplemente el hecho de su comunicación.
Decimos entonces que un concepto tiene el status de herramienta cuando
nuestro interés en él se centra en la utilidad que nos brinda para resolver un
problema, en tanto que deviene en objeto cuando lo entendemos como un ente
cultural insertado en una estructura más robusta, el saber erudito socialmente
validado.
Se considera que un individuo aprende mediante una actividad intelectual la cual
traerá aparejado la disponibilidad de un saber con su doble status de herramienta y
de objeto. En tanto que un profesor enseña cuando crea las condiciones que
producen, a la larga, en el alumno un saber. Se habla de una dialéctica herramienta–
objeto en el sentido que las nociones pueden ser abordadas, modificadas y trabajadas
en las situaciones propuestas a los alumnos derivando posteriormente en nuevos
conceptos que son, a su vez, susceptibles de ser abordados, modificados, trabajados
y generalizados en un interjuego dinámico y espiralado. Cobra importancia entonces
la expresión del problema en un determinado contexto, con toda la complejidad del
manejo del simbolismo que esto trae aparejado, y la posibilidad de ser traducido a
otro que posibilite y enriquezca su estudio. Se entiende que un contexto está
constituido por los objetos de una rama de la matemática, de las relaciones entre
ellos y de las imágenes mentales asociadas con los objetos y relaciones. Se
constituyen en contextos matemáticos, por tanto, el numérico, el gráfico, el
algebraico, el icónico, entre otros.
La posibilidad que el alumno interactúe con varios contextos, es decir, juegue
con un cambio de contexto en la resolución de un problema, ya sea este hecho
espontáneo o provocado por el profesor u otro alumno, facilita el abordaje del
23
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
problema, permite avanzar en la resolución del mismo y por tanto interviene en la
evolución de los conceptos implicados. La dialéctica herramienta-objeto produce
significados, en tanto que los juegos de contextos son fuente de desequilibrios y la
reequilibración de aprendizajes.
Un contexto es algo dinámico, en él la familiaridad y la experiencia pueden
conducir a conflictos entre lo que se espera y lo que se produce efectivamente y por
tanto a la génesis de nuevas imágenes o a su evolución. El cambio de contexto a su
vez, es un medio para obtener formulaciones y acercamientos diferentes a un
problema, permitiendo acceder y atacar desde otro ángulo las dificultades
encontradas y poner en acción otro tipo de herramientas. En un cambio de contexto
se pueden distinguir tres fases:
La transferencia e interpretación, pues los alumnos son enfrentados a un
problema formulado en un cierto contexto. Sus experiencias, habilidades, análisis
del enunciado los conduce a la traducción del mismo a otros contextos y a la
interpretación en éste de algunas cuestiones, poniendo en acción una
correspondencia entre contextos diferentes.
Las correspondencias imperfectas entre contextos debido a razones matemáticas
o a conocimientos insuficientes. La situación que se le proponga al alumno debe
ser fuente de desequilibrio.
La mejora de las correspondencias y progreso del conocimiento ya que el juego y
comunicación entre contextos es un factor de reequilibración.
Por último, se dice que un alumno ha adquirido un saber matemático cuando es
capaz de provocar su funcionamiento como herramienta explícita en la resolución de
24
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
un problema además de ser capaz de adaptarla cuando las condiciones habituales de
su empleo no son exactamente satisfechas para plantear cuestiones en torno al
problema.
Hallar la longitud de los lados de un rectángulo para que su área
sea la máxima posible ( ) (1 )A x x x= −
Las nociones de función cuadrática resultan “útiles” para resolver este problema
Es la noción de “máximo” que estamos construyendo,
es aquello que deseamos incorporar a la estructura de
conocimientos
Esquema herramienta – objeto para el caso de función
Una de las experiencias realizadas por Douady gira en torno de la manipulación
de expresiones algebraicas, esto es la factorización y desarrollo de funciones
polinómicas en el contexto analítico, el estudio de la representación gráfica y de sus
propiedades en el contexto gráfico, y por último, cálculos, operaciones y evaluación
de funciones en el marco numérico. El problema planteado en el contexto gráfico,
involucra a su vez varios contextos que los estudiantes tienen que poner en acción
para la resolución del mismo. Se categorizan las herramientas que se desean entren
en juego en conceptuales y tecnológicas. Entre las primeras, considera las nociones
subyacentes a las competencias que se presuponen como herramientas explícitas, por
ejemplo, expresar como producto de factores y otras de índole implícita como el
teorema “un producto de factores se anula si uno de los factores es cero”. Entre las
herramientas tecnológicas, se mencionan, tanto el método de trabajo (sustitución de
literales por valores en una expresión algebraica) como la calculadora como elemento
para la obtención de coordenadas de diferentes puntos.
25
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
La situación de aprendizaje1 que se propone dista de tratarse de una simple
aplicación de nociones o métodos conocidos, es decir, que con los conocimientos
que los estudiantes poseen no pueden solucionar completamente el problema. Por
ejemplo, una idea subyacente a la actividad propuesta en Douady (1995), es la de
función, la cual no es conocida aun por los alumnos, o puede suceder que el
estudiante disponga de esta noción en otro contexto pero tiene dificultades para
adaptarla al nuevo.
Por tanto, los objetos de enseñanza, aquello que se espera que el alumno aprenda
y retenga, son herramientas adaptadas a la resolución del problema propuesto, el cual
debe estar planteado en más de un contexto.
Los resultados de diversas investigaciones en este marco, alrededor del concepto
de función, dan cuenta de la existencia de dificultades para considerar a las funciones
como herramientas en el trabajo matemático y, de forma más notoria, para traducir
al contexto de funciones aquellos problemas que han sido planteados en otros
contextos matemáticos tales como el numérico, el geométrico, o externos a la
matemática y que requieren de tal traducción para ser resueltos.
( ) 2 1f x x= +
LLeenngguuaajjee nnuumméérriiccoo::
x f(x) 0 1 1 3
LLeenngguuaajjee ggrrááffiiccoo::
LLeenngguuaajjee aallggeebbrraaiiccoo::
Esquema de juego de contextos
26
1 Hace referencia no sólo al instrumento diseñado para propiciar el aprendizaje sino también a las interacciones que su aplicación en el aula provoca, por tanto a la gestión de las distintas variables.
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Obstáculos epistemológicos y actos de entendimiento
Sierspinska (1992), reflexiona sobre el significado de aprender y comprender un
concepto estableciendo que sólo cuando somos capaces de establecer lo que es y no
es un objeto, cuando hemos visto ejemplos y contraejemplos del mismo, cuando
podemos establecer relaciones y analogías con otros que nos son familiares, cuando
lo caracterizamos dentro de una teoría, es que podemos considerar que hemos
entendido algo acerca de ese objeto. Cobra importancia entonces, en el proceso de
aprendizaje y construcción de matemática, los “saltos” y discontinuidades, con sus
avances, retrocesos y estancamientos, siendo estos indicativos de cambios en la
manera de conocer y relacionar conceptos, dejándose de lado así, la concepción que,
sobre el progreso continuo y seguro facilitado por el docente, ha seguido la didáctica
tradicional. Podemos observar estos “saltos” de dos maneras complementarias: una
es contemplar nuestro viejo modo de conocer, observar qué cosas ponemos en
juego para aprender, es decir, mirar los obstáculos epistemológicos y la otra es, en
lugar de observar los errores del pasado, mirar hacia delante en términos de nuevas
maneras de aprender.
Para este acercamiento teórico, un “acto de entendimiento” implicará superar una
dificultad u obstáculo y esto se dará en la medida que formemos una imagen del
concepto. Poner atención en ambos actos, es decir, en superar un obstáculo y en
comprender, nos permitirá ir construyendo el significado de “comprender en
matemática”.
Por lo establecido anteriormente, cobran relevancia los “obstáculos epistemológicos”
pues son inherentes a los conceptos y no así a las particularidades de las maneras de
enseñar, y además, por ser propios de la construcción de una cultura y ser obstáculos
objetivos para nuevos modos de conocer.
27
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
En el surgimiento de los obstáculos epistemológicos se pueden distinguir tres
niveles: el primero inherente a las actitudes, creencias, convicciones, todas ellas
debidas a una visión particular del mundo, el segundo debido a los esquemas de
pensamiento, de abordar problemas, de interpretar situaciones, siendo aprendidos
por imitación y práctica en el proceso de socialización y educación; y por último
debido al conocimiento técnico, cuyo valor o validez se asienta en criterios mas
racionales de consistencia, aplicabilidad y tipo de relaciones con sistemas de
conocimiento socialmente calificados como científicos. Estos tres niveles no son
independientes, por ejemplo, nuestras creencias y conocimientos tiñen nuestros
esquemas de pensamiento pues nos dan tópicos o maneras de investigar y aprender
pero a la vez, son nuestros esquemas de pensamiento y su desarrollo los que nos
permiten cambiar nuestras creencias. Así mismo, nuestras creencias y esquemas
inconscientes de enseñanza, pueden actuar como obstáculos para el nivel técnico, es
decir, para la adquisición de conocimientos validados por la sociedad como
científicos. Sin embargo, podremos superar un obstáculo en la medida que seamos
capaces de tomar distancia de nuestras creencias y esquemas de pensamiento,
cuando veamos sus consecuencias y seamos capaces de considerar otros puntos de
vista. Estas consideraciones no quitan el que una creencia o esquema de
pensamiento pueda ser un facilitador del abordaje de cierto problema o a la hora de
interpretar una situación.
Vemos entonces, que este acercamiento hacia la comprensión en matemática
confiere relevancia al rol del obstáculo epistemológico, considerando que no debe
ser evitado en la práctica docente, sino enfrentado proporcionándole al alumno los
elementos necesarios para superarlo. Para aprender se debe ir en contra de lo que ya
se conoce, en contra de creencias y preconcepciones. Aparece así, como importante,
la idea de procesos de aprendizaje o cognitivos en forma espiralada y no circular.
28
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
Esquema obstáculo epistemológico/acto de entendimiento
Obstáculo Epistemológ co
cto de Entendimiento
Por su parte, Sierpinska (1992) considera que existen cuatro categorías en los
actos de entendimiento. El primero sería la identificación de un objeto entre otros. El
resultado de este acto es que algo que hasta entonces era una experiencia, aparece
como la principal imagen del objeto, percibido ahora como algo digno de nuestro
interés y estudio. Frecuentemente tenemos que darle un nombre o si ya lo tiene, el
mismo gana en nuestra mente el status de un término científico. La discriminación
entre dos objetos es otra de las categorías consideradas. Ésta trae aparejado nuestro
conocimiento de la existencia de dos objetos distintos, empezamos a notar no sólo
las diferencias entre ellos sino también sus propiedades relevantes. Por otro lado, la
generalización conduce al conocimiento de las posibilidades de extender el rango de
aplicaciones, algunas suposiciones resultan ser irrelevantes y se descubren nuevas
posibilidades de interpretación, en tanto que la síntesis es la percepción de ligas entre
hechos aislados, propiedades, relaciones, objetos, etc. que son organizados en un
todo consistente. Por último, Sierpinska considera que usar un concepto es una
condición necesaria para que ocurra un acto de entendimiento.
Bajo esta perspectiva del significado de aprender y comprender conceptos, y
enfocándonos particularmente en el de función, adquiere relevancia el conocimiento
y explicitación de las distintas concepciones que sobre función se encuentran en los
29
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
actores del sistema educativo, así como también detectar dificultades propias de su
desarrollo y devenir en un objeto a ser enseñado.
Pensar en el concepto “función” para algunos implicará evocar la definición
formal como una relación especial entre conjuntos de puntos, es decir, pensar en una
regla que asigna a elementos de un determinado conjunto un único elemento de
otro, habrá quienes recordarán una relación entre magnitudes que varían, otros en
cambio, imaginarán relaciones entre las coordenadas de puntos en un sistema de
coordenadas o en una expresión. Cada uno de estos acercamientos al concepto
involucra una concepción distinta, y por tanto una manera de pensarla diferente, en
el primer caso implicaría una correspondencia numérica, en el segundo un
acercamiento a concepciones de predicción y por último una imagen más estática de
asignación de puntos.
Por otra parte, para Sierpinska, los actos de entendimiento más relevantes para el
concepto de función consisten en la identificación de cambios observados a nuestro
alrededor como un problema práctico a resolver, así como también, el
reconocimiento de regularidades en las relaciones entre cambios como una manera
de estudiarlos. Ignorarlos como condiciones necesarias para el desarrollo de la
noción de función, conllevaría enfrentar un obstáculo epistemológico, relativo a la
filosofía de la matemática, respecto a considerar que los problemas prácticos no
conciernen a esta disciplina. Esto desconocería lo sucedido en la historia, pues las
funciones aparecieron como herramientas para predecir y describir fenómenos de la
naturaleza. Por otro lado, considera que el desarrollo de una fuerte creencia en el
poder de las operaciones formales con expresiones algebraicas y la creencia que sólo
las relaciones que pueden expresarse mediante una fórmula analítica son funciones
constituyen otro obstáculo. En tanto que, discriminar entre la función y las
herramientas analíticas utilizadas para describir una ley implicaría un acto de
30
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
entendimiento. Además, establece que la definición es una descripción del objeto
conocido a través de los sentidos. La definición no determina al objeto, sino el
objeto a la definición. Superar este obstáculo requeriría la capacidad de discriminar
entre una definición matemática y la descripción del objeto, es decir, hacer una
síntesis de la concepción general de función como objeto. Sierpinska realiza un
exhaustivo e interesante análisis de dificultades, obstáculos, quiebres en las
concepciones y cambios de paradigmas a lo largo de la historia y dentro del salón de
clases, para cuyo conocimiento se remite al lector al artículo (Sierpinska, 1992).
Pensamiento y lenguaje variacional
La línea de investigación desarrollada por (Cantoral & Farfán, 1998) denominada
“pensamiento y lenguaje variacional” se nutre y da sentido al acercamiento socio-
epistemológico que dichos investigadores conjuntamente con Cordero (1999)
proponen como paradigma dentro de la Matemática Educativa. Consideran
fundamental incorporar, en la investigación, los cuatro pilares en la construcción del
conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos
cognitivos que involucra y su transmisión mediante la enseñanza, con una
aproximación sistémica. Es por tanto una de sus inquietudes encarar la articulación
entre la investigación y las prácticas sociales que dan sentido a la matemática en el
aula.
Este acercamiento además de considerar y analizar los aportes de otras
disciplinas o escuelas de pensamiento en cuanto al significado de aprender, así como
también a las prácticas de enseñanza, es decir aquello relativo a los aspectos
cognitivos y didácticos, y a los del saber en sí, incorpora con claridad las prácticas
sociales de referencia y la construcción social del conocimiento en su deseo de
31
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
comprender, a cabalidad, las prácticas involucradas en un sistema didáctico sin dejar
de lado el análisis de la transmisión de los saberes como modos culturales inmersos
en un contexto social, es decir, despegándose de la visión que estudiar matemática
significa sólo apropiarse de nociones para acercarse a la idea de mirar a esta
disciplina como una práctica social, al hombre haciendo matemática en un tiempo,
una sociedad y cultura particulares.
En general sus trabajos no se enfocan en una noción matemática en particular,
sino en una visión mas global del proceso que la tiene como integrante, por ejemplo,
en el trabajo de Soto (1988) en el cual se explora la sensibilidad para enfrentarse a la
contradicción de un grupo de estudiantes, valiéndose de la correspondencia que
sostuvieron matemáticos como Euler, Bernoulli y Leibniz, alrededor de los
logaritmos de números negativos, se perciben confusiones y concepciones
particulares respecto a la noción de función, de entre las más significativas destacan:
la falta de sentido respecto tanto a la noción de dominio como a la de función
inversa, las que son utilizadas sin mayor reflexión. En el trabajo de Saldaña (1988) se
presenta un estudio sobre noción y concepto mediante la construcción histórica de la
Esquema de pensamiento y lenguaje variacional
Dimensión sociocultural
NNaattuurraalleezzaa eeppiisstteemmoollóóggiiccaa
PPllaannoo ccooggnniittiivvoo
MMooddooss ddee ttrraannssmmiissiióónn vvííaa llaa eennsseeññaannzzaa
32
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
determinación y cálculo de áreas y su vinculación con el concepto de integración,
prestando atención a la aparición de la constante de integración para la resolución de
integrales indefinidas, incursionándose también en el mismo, sobre la noción que
nos interesa analizar en este trabajo. Alanís (1996) y Ocampo (1992) constituyen
otros ejemplos de este acercamiento, en los cuales surge la necesidad de contemplar
la noción de función pese a que sus intereses están, para el primer caso, en el
rediseño de un curso de cálculo en el cual las nociones matemáticas sean vistas como
la herramientas que se requieren para abordar problemas y no sólo como objetos de
un saber ya constituido, buscando así, favorecer los aprendizajes deseados; en tanto
que, para el segundo, radican en las concepciones que poseen los profesores en
ejercicio sobre el concepto de límite y su aplicación en la comprensión de la derivada
atendiendo con particular interés el aspecto gráfico. Entre las conclusiones que
Ocampo reporta se encuentra evidencia de la pobreza en el manejo de funciones en
el contexto gráfico lo cual, según este investigador, da origen a la no generalización
del concepto de límite y de derivada. Alanís, en cambio, estructura su curso tomando
como eje la cinemática y en la aplicación de sus diseños de situaciones percibe, por
ejemplo, que no se reconoce que la gráfica de una función lineal es una recta pues no
les ha sido presentada desde la típica expresión . y mx b= +
Son varios los trabajos desarrollados por este grupo que nos aportan resultados
sobre el concepto de función. Particular interés tuvimos en los aportes de Melchor
Ceballos (1996) quien desarrolla una propuesta de acercamiento a esta noción a
partir de la proporción, y en los de Quiróz (1989) cuya propuesta didáctica se enfoca
en el desarrollo de un lenguaje gráfico para dotar de significado y propiciar la fluidez
entre los lenguajes gráfico y analítico. En este trabajo se abordan las dificultades ya
reportadas por Dreyfus & Eisenberg (1987) respecto a transformaciones tales como,
desde f(x) hallar f(x)+h, o f(x+h) o kf(x) o f(kx) entre otras, así como también, la
33
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
construcción de la gráfica de ciertas funciones desde otras dadas como prototipos,
tal el caso de f(x) = x, o de f(x) = ex.
Por su parte Rivera (1996) observa el efecto que produce en docentes el
proponer situaciones didácticas en un ambiente de calculadoras graficadoras,
respecto a su acercamiento a la matemática y a su enseñanza. Para ello toma la
resolución de desigualdades en las cuales el concepto de función se permea y permite
inferir lo distante que los docentes están de manipular con soltura el contexto
gráfico, así como también lo restringido de su universo gráfico. Así, varios son los
trabajos, de este corte, que aportan elementos para la caracterización de la
problemática de la enseñanza de funciones.
Para Farfán (1992), entre las causas que hacen de la función uno de los
conceptos matemáticos más difíciles de dominar y enseñar en la escuela, se
encuentran las diversas concepciones y las múltiples representaciones de ésta,
potenciadas por el hecho que la enseñanza tiende a sobrevalorar la algoritmización y
los métodos analíticos por encima del desarrollo de habilidades propias del
pensamiento matemático. Evidencia de ello se encuentra en (Melchor, 1996), donde
se reporta que los estudiantes están inhibidos de utilizar argumentos gráficos, como
herramienta auxiliar para resolver problemas, lo cual puede atribuirse al hecho de
que el manejo de la visualización gráfica no se considera en el discurso matemático escolar
del Nivel Medio Superior. Además, la apropiación del conocimiento no se lleva a
cabo, en general, a partir de la definición conceptual sino desde una severa acción
algorítmica propiciada por los docentes en el salón de clases. Por tanto se considera
que esta algoritmia se refleja como un obstáculo en la apropiación de conocimiento
en los estudiantes.
34
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
En el “raconto” de investigaciones presentadas en las Reuniones
Centroamericana y del Caribe sobre la formación de profesores e Investigación en
Matemática Educativa, realizadas entre 1986 y 1992, Farfán (1992) logra vislumbrar
dos vertientes en los proyectos que abordan el concepto de función: por un lado,
aquellos que se interesan por estudiar los mecanismos que operan la transferencia
entre los contextos gráficos/analíticos, en ambientes adhoc, tal el caso de (Quiróz,
1989) donde se presenta un curso de precálculo que propone transitar del lenguaje
algebraico al gráfico y viceversa; y por otro lado, aquellos que incursionan en el uso
de tecnología partiendo de las distintas representaciones y de su estudio. Sin
embargo, considera que en ambos enfoques se percibe una intencionalidad por
incorporar al discurso matemático escolar aquellos elementos que permitieron la
génesis de los conocimientos, aquellos que consolidaron su construcción y
transmisión, tales como la visualización, la predicción, el reconocimiento de
patrones, la analogía, la inducción entre otros, y que están ausentes en la didáctica
actual.
En este sentido, consideran relevante la adquisición y el manejo de un lenguaje
gráfico que fundamentalmente posibilite la transferencia entre contextos
virtualmente ajenos, logrando un pasaje fluido y una identificación de significantes
entre los lenguajes algebraico y gráfico.
Podemos finalmente, puntualizar varios de los resultados que, a lo largo de más
de diez años de existencia, este grupo ha producido en torno a la noción de función.
El concepto de función devino protagónico hasta que se le concibe como
fórmula y con ello la integración de dos dominios de representación: el álgebra y
la geometría. Su desarrollo se ha producido prácticamente a la par del humano ya
que se encuentra presente en las correspondencias entre cantidades trabajadas en
35
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
la antigüedad hasta los debates actuales, tanto en el ámbito de la comunidad de
matemáticos como en su incorporación y presencia en la currícula actual
(Cantoral & Farfán, 1998).
Su complejidad se refleja en las diversas concepciones y representaciones con las
que tratan los estudiantes y profesores.
La enseñanza sobrevalora los aspectos formales y algorítmicos ambos, en
general, desprovistos de significados para el estudiante, lo cual redunda en la
construcción de un universo restringido de formas gráficas y expresiones
analíticas en la cultura áulica y por tanto en los saberes de los estudiantes y
profesores. Se dejan de lado, por tanto, las argumentaciones visuales y los
enfoques numéricos, entre otras causas por no ser considerados como
procedimientos matemáticamente válidos.
Se requiere una concepción de función en tanto objeto que permita que otro
procedimiento actúe a su vez sobre él, añadiéndosele un manejo eficiente de
formas gráficas extenso y rico en significados.
Impera la concepción de función en tanto proceso por sobre la de objeto.
Aparece entonces el interrogante: ¿Qué significa operar un proceso? Esto
constituye un verdadero obstáculo para la apropiación de significados de
nociones más complejas del pensamiento matemático avanzado, tal como
derivadas, integrales, etc. para cuya construcción se requiere realizar acciones
sobre funciones, por lo que su status de objeto debe estar consolidado en el
estudiante.
36
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
La ausencia de transferencia entre los contextos gráfico y analítico, propiciado
por los modos de comunicación de conocimiento en la enseñanza, impide un
estudio cualitativo global por parte de los estudiantes.
Se perciben en estos resultados la visión sistémica que desarrolla este paradigma
pues en los puntos considerados observamos la presencia de aspectos socio-
culturales, cognitivos, didácticos y epistemológicos aunados para dotar de significado
a las dificultades y distintos acercamientos respecto a la noción de función.
En su tesis doctoral, Farfán (1993) afirma que, en general, las investigaciones en
este campo se han centrado en el sujeto epistémico soslayando en cierta medida la
relación dialéctica que se establece entre éste, el objeto de estudio, el ámbito en que
se produce la acción de conocer y el instrumento cognoscitivo, todo en su completa
significación epistemológica, en tanto que la línea de investigación tendida por este
grupo intenta mirar integralmente a estos elementos, reconociendo a su vez la
presencia de una identidad, producto de la inmersión en una práctica educativa en un
sistema educativo particular, de mecanismos funcionales en la construcción de
conceptos y procesos matemáticos entre las dimensiones social e individual, así
como entre ámbitos específicos de conocimiento. En resumen, para Farfán, la
aproximación socioepistemológica es un marco para la investigación y el desarrollo del currículum
que se apoya en la teoría de situaciones, profundiza el análisis del saber incorporando en su análisis
no sólo el origen conceptual o procedimental, sino su origen social. Una cierta razón de ser que es
factible descubrir si se examinan las prácticas de referencia y las formas de su aproximación en una
cultura2.
2 Conferencia dada en la Escuela de Medicina, México, Mayo-2000.
37
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
A manera de conclusión
Consideramos que lo expuesto hasta ahora ha permitido percibir las ideas base
de cada lineamiento, presentados desde y para comprender los distintos resultados
reportados por los mismos en torno a la noción de función, así como también nos
confiere una visión más amplia de la problemática que abordaremos en próximos
capítulos.
El lenguaje y las inquietudes de estos acercamientos, con diferentes matices y
acentos, giran en torno de comprender y dar respuesta, con una visión científica, a la
problemática surgida de la enseñanza y aprendizaje de saberes matemáticos, cuya
estructura lógico formal y la diversidad de sus contextos y lenguajes, así como
también las variadas concepciones lo convierten en una compleja tarea.
Encontramos coincidencias en cuanto a que aprender implica apropiarse de nuevas
nociones incorporándolas a las que ya se poseen, fuente esto de múltiples conflictos
cognitivos. Al respecto, vimos que para Tall y Vinner es motivo de inconsistencias y
no adecuaciones entre las imágenes y la definición del concepto, sin embargo
consideramos que este acercamiento se centra demasiado en el contenido y en
documentar experiencias educativas, siendo un ejemplo del paradigma “empírico-
analítico” y cuya epistemología se basa en la construcción del conocimiento en el
aula, esto es, la visión de un sujeto que aprende ante un objeto a ser enseñado.
Consideramos que para estos investigadores aprender es sinónimo de superar
inconsistencias y conflictos producidos por la distancia entre las imágenes del
concepto construidas como respuesta a estímulos de distintas naturaleza y las
definiciones formales y estructura lógica presentes tanto en la matemática erudita
como en la escolar. Dubinsky, por su parte, tampoco utiliza, como fuente de
información y entendimiento de ciertos obstáculos o dificultades persistentes en los
alumnos, aspectos socio-epistemológicos, es decir le confiere poca importancia a los
38
El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas
individuos, a las herramientas y al contexto sociocultural en el cual se lleva a cabo la
actividad humana, considerando que el individuo aprende en la medida que es capaz
de construir procesos y objetos, siendo por tanto central en este acercamiento la
adquisición de “esquemas”. En este sentido, otra línea de investigación que se
desarrolla bajo el ala de lo que se ha dado en llamar un “acercamiento socioepistemológico”,
que dirige Cordero (1999) se preocupa por el papel de las herramientas en la
construcción de significados.
Duval, en cambio centra su atención en que se aprende en la medida que se
abstrae el objeto de sus representaciones, proceso en el cual adquirir
representaciones semióticas y un pasaje fluido entre ellas se torna una actividad
importante. Douady habla de objetos, en un sentido sutilmente distinto al de
Dubinsky, y de herramientas como los posibles status que pueden tener las nociones
en un individuo. Al igual que Duval, considera importante el pasaje dinámico entre
contextos, lo que denomina “juego de contextos”, siendo a la vez fundamental el
proceso dialéctico entre los objetos y las herramientas en la construcción de
significados.
A su vez, Sierpinska habla de distintas categorías de obstáculos epistemológicos
construyendo desde ellos su percepción de lo que significa aprender, esto es,
mediante la superación de los mismos en lo que ha dado en llamar “actos de
entendimiento”, produciéndose esta dinámica de forma espiralada lo cual la aleja de la
didáctica tradicional que considera que el alumno aprende de manera llana y lineal,
en la medida que el docente le evita dificultades y obstáculos, facilitándole así el
aprendizaje.
Nos adherimos entonces al acercamiento socioepistemológico, en el cual
consideramos se atienden todos los aspectos inherentes al conocimiento matemático
39
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
y al sujeto que aprende. Es decir, incluye y estudia los diferentes planos de lo
cognitivo desde la perspectiva de la psicología social, trabajando las ideas de Piaget,
Vygostky, Bruner, entre otros, en tanto se considera que el conocimiento
matemático se construye interactuando con una realidad. Atiende el plano de lo
didáctico, encontrando sus fuentes en la Teoría de Situaciones Didácticas de
Brousseau y en la Transposición Didáctica de Chevallard, estudiando a su vez el
discurso matemático escolar y teniendo como fin último el impactar en el sistema
educativo, estableciendo nexos y puentes entre la investigación y la realidad áulica.
No pierde de vista que la matemática es un constructo sociocultural y las prácticas de
referencia que le dan origen y vida a esta disciplina, así como también incorpora con
mayor énfasis la componente epistemológica en sus investigaciones, como una
herramienta indispensable para la comprensión de los sucesos áulicos y como una
fuente de información respecto a las dificultades y modos de superación producidos
en el desarrollo de las nociones y conceptos matemáticos, así como también de
significados que, por los procesos de comunicación se diluyen o pierden en el
tiempo. Todo esto desde una perspectiva y análisis sistémico que le confiere una
visión global del sistema didáctico, considerando a éste integrado por docente,
alumno y saberes validados para ser enseñados, que confluyen en una realidad
particular inmersos en una cultura y tiempos específicos, lo que confiere matices a
las relaciones establecidas entre los mismos.
40
CAPÍTULO 2
Ingeniería Didáctica
Como estableciéramos en el capítulo anterior, adherimos al acercamiento
socioepistemológico como paradigma y marco para nuestro trabajo y utilizaremos la
ingeniería didáctica como metodología de nuestra investigación. En este trabajo, nos
interesa establecer consistentemente las pautas para un posterior diseño de situación
didáctica en torno a la dislexia en el aprendizaje de las noción de función logaritmo
producto de la no construcción de dicho concepto en el ámbito escolar. En otras
palabras nos estamos refiriendo a la ausencia de significado que la función logaritmo
presenta en los alumnos, debido al salto que se percibe entre su introducción a la
enseñanza como una potente herramienta facilitadora de operaciones en un
acercamiento netamente aritmético y su posterior aparición en la enseñanza superior
como una función definida mediante la integración de la hipérbola equilátera.
Destinamos entonces este capítulo a discutir las ideas que sustentan la
metodología elegida para nuestro trabajo. Para ello, incursionaremos someramente
en dos teorías que se erigen como principales referentes de la ingeniería didáctica, la
Teoría de Situaciones Didácticas desarrollada por Guy Brousseau y la Teoría de la
Transposición Didáctica debida a Yves Chevallard. Así mismo, reflexionaremos
sucintamente alrededor de las características propias de la ingeniería didáctica.
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Ingeniería Didáctica y Situaciones Didácticas
El término Ingeniería Didáctica, surge a principio de los años ’80, al seno de la
didáctica francesa de la matemática, debiendo su nombre a una analogía con el
trabajo del ingeniero pues no sólo se sustenta en resultados científicos, sino que
demanda la toma de decisiones y el control sobre los distintos componentes del
proceso.
Según Douady (1995), una ingeniería didáctica es un conjunto de secuencias de
clase, diseñadas, organizadas y articuladas coherentemente por un “profesor-
ingeniero”, para lograr el aprendizaje de cierto conocimiento en un grupo de
alumnos específico. Por tanto, considera que la ingeniería didáctica es, por un lado,
un “producto” que resulta de un análisis preliminar, donde se tienen en cuenta las
dimensiones cognitiva, didáctica y epistemológica del conocimiento a impartir y de
un análisis a priori en el cual se decide sobre qué variables didácticas son pertinentes y
sobre cuales se actuará, y por otro lado, un “proceso” en el cual el profesor
implementa el producto y realiza los ajustes y adaptaciones necesarias según la
dinámica de la clase lo exija. Nuestro grupo incorpora una cuarta componente, la
socio-cultural, en su búsqueda de un acercamiento sistémico a la construcción de
conocimientos, adoptando una visión socioepistemológica que las atraviesa y aúna.
Como ya expresáramos, dos son las teorías que dan sustento teórico a la
Ingeniería Didáctica, a saber, la teoría de transposición didáctica de Chevallard, y la teoría
de situaciones didácticas de Brousseau. Estas teorías surgen en una necesidad de crear
acercamientos teóricos menos simplistas que los proporcionados por otras
disciplinas como la pedagogía, la psicología, la sociología, la matemática misma,
integrando los aportes de todas ellas en un esfuerzo por crear explicaciones propias y
por tanto generar una disciplina que atienda la problemática particular que produce
42
Ingeniería Didáctica
el tratamiento de entes matemáticos en un ambiente áulico y los fenómenos
inherentes a esta actividad.
Surge entonces, la “didáctica de la matemática” como una disciplina científica,
cuyo objeto de estudio son los fenómenos ligados a la enseñanza de objetos
matemáticos vistos, en nuestro acercamiento, como productos culturales. La idea
última que guía este constructo es la de “intervenir” de manera racional en el sistema
educativo, controlando a priori el proceso y las variables puestas en juego, es decir,
conjeturando con sustento los efectos esperados y siendo dúctiles para efectuar los
cambios que sean pertinentes en tal procedimiento.
Por tanto, el objetivo de la didáctica de la matemática es explicar los fenómenos
didácticos debiendo para ello estudiar y entender la naturaleza de los sucesos
acaecidos en el salón de clases en torno a los saberes de nuestra disciplina. Se
constituye así, como fundamental, el estudio de los saberes puestos en juego y las
restricciones bajo las cuales esto tiene lugar.
Brousseau nos habla de una “génesis ficticia” de los saberes puestos en juego en el
aula con el propósito de facilitar su enseñanza, en la cual se aíslan las nociones y
propiedades de las actividades que les dieron origen, sentido, motivo y utilización.
Considera a su vez, la necesidad de retornar e incorporar en el discurso escolar, la
historia de los saberes, esto es, indagar sobre las dificultades y preguntas que
provocaron su aparición como conceptos necesarios y su evolución y uso en nuevos
problemas. No deseamos decir con esto que se incorpore el desarrollo histórico de
los conocimientos al salón de clase, sino que los saberes adquieran nuevos
significados o recuperen sus significantes iniciales, desde esta visión en la cual se los
adopta como entes socioculturales.
43
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Según Chevallard (1995), el conocimiento generado por la élite de matemáticos,
no llega al aula tal y como es producido, sino que sufre un proceso que ha
denominado transposición didáctica. Siguiendo sus ideas, el “saber erudito” pasa a ser
un “saber a enseñar”, luego de ser validado por una “nooesfera” que le confiere el status
de conocimiento a ser abordado en la escuela. No se trata de una elementarización
burda del conocimiento, ni de una mera simplificación del mismo, sino por el
contrario, el producto de los ajustes didácticos que lo hace diferir del conocimiento
de origen.
A su vez, para Cantoral (1995), la palabra transponer significa poner una cosa
más allá en un sitio distinto del lugar que ocupaba. Por tanto, el término
transposición didáctica implica “transponer” un saber al ámbito escolar. Sin
embargo, los objetos destinados para ser enseñados no pueden ser analizados como
simplificaciones de objetos más complejos producidos por la sociedad científica,
sino como el resultado de ajustes didácticos, de una construcción a propósito de su
destino, lo cual les hace diferir de los saberes de referencia.
Entendemos entonces que la transposición didáctica no es caprichosa ni
voluntaria, sino producto de las restricciones que la sociedad impone a las prácticas
educativas. La primera etapa de este proceso se produce cuando el científico pone a
consideración de sus pares los resultados obtenidos en su investigación. Esto le exige
hacerlo público, es decir, quitarle su sello personal, transformarlo en un saber a ser
“comunicado”, para lo cual debe dejarlo libre de los resabios de su creación, es decir,
de sus errores, de sus caminos truncados, de sus retrocesos, para volverlo un saber
cultural, por tanto, despersonalizado, descontextualizado y atemporal, esto es, que
pueda vivir en cualquier momento. Aparece así, lo que Chevallard ha dado en llamar
el “saber sabio o erudito”. Luego, cuando este saber público entra en la escuela a través
del profesor, comienza un proceso de re-personalización, re-contextualización y
44
Ingeniería Didáctica
temporalidad de los conocimientos, es decir, se le debe dotar de intencionalidad, de
una nueva naturaleza, de otro sentido y escenario en el cual ser entendido,
interpretado y validado por los estudiantes. Cabe luego el esfuerzo de los alumnos
para redespersonalizar, redescontextualizar y reatemporalizar los conocimientos
adquiridos para ser capaces de utilizarlos en otras circunstancias, viéndolos como
saberes culturales de su época.
Polo psicológico
Polo
ped
agóg
ico
SABER – CULTURA
Contrato didáctico
Transposición didáctica Polo epistemológico
Representaciones y concepciones
Saber a enseñar
alumno profesor
Representaciones y concepciones
Esquema del sistema didáctico
Por otro lado, Guy Brousseau, desarrolla su teoría de las situaciones didácticas
reformulando ciertas ideas generadas por Piaget, y que éste plasmara en su teoría de
la equilibración, respecto a la evolución y apropiación de conocimientos por parte de
un sujeto, es decir, para explicar los mecanismos puestos en juego en el aprendizaje
de una persona. Considera que un individuo aprende en la medida que construye o
resignifica un concepto incorporándolo a su estructura cognitiva, es decir, acepta que
45
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
un individuo se adapta, mediante los procesos de asimilación y acomodación, a un
medio que es factor de desequilibrios y dificultades, en su proceso de construcción
del conocimiento. Para él, ... “una noción aprendida no es utilizable sino en la medida en la
que ella es relacionada con otras, esas relaciones constituyen su significación, su etiqueta, su método
de activación. Empero, no es aprendida si no es utilizable y utilizada efectivamente, es decir, sólo si
es una solución de un problema. Tales problemas, junto con las restricciones a las que la noción
responde, constituyen la significación de la noción...” (Brousseau, 1983).
Piaget, cuestiona las concepciones sobre aprendizaje manejadas por las teorías
empiristas, tan difundidas entre los docentes y la sociedad en general, para las cuales
los conocimientos provienen de la experiencia externa o interna. En este
acercamiento el discurso del profesor se “imprime” en la mente del alumno, por
tanto es de vital importancia evitar los errores, cayéndose además, en un exagerado
uso de las presentaciones ostensivas como facilitadoras del aprendizaje.
Brousseau, por su parte, replantea las ideas piagetianas pues considera que
estudiar la génesis espontánea de los conocimientos no responde completamente a
los fenómenos acaecidos en el salón de clases, donde impera una génesis ficticia
provocada para la formación de los mismos. Se considera entonces, que el
conocimiento es una construcción personal, en tanto que el saber proviene de una
elaboración cultural, siendo motivo de interés la génesis, en cuanto a su historia, del
saber.
El aprendizaje, para el constructivismo, se produce en un régimen discontinuo,
de desequilibrios provocados por la confrontación entre su estructura mental y la
realidad exterior a la que se enfrenta, para cuya comprensión estas estructuras le son
insuficientes, obligando a la búsqueda de nuevas formas de organización. Pierden
vigencia entonces las ideas empiristas de presentar el conocimiento ya estructurado
46
Ingeniería Didáctica
en pequeñas dosis, cada vez mas difíciles y complejas, para que sean adquiridas de
manera progresiva y continua.
En palabras de Brousseau:
“el alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de
dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este
saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas que son la
prueba del aprendizaje” (Brousseau, 1986, p. 48).
Esta adaptación de la que nos habla en su teoría, corresponde a la actitud del
estudiante frente a la situación didáctica propuesta, es decir, “el conocimiento proviene en
buena parte del hecho que el alumno lo adquiera en su adaptación a las situaciones didácticas que le
son propuestas” (Brousseau, 1986, p. 67). En este sentido, aparece la idea de “devolución”
del profesor al alumno, esto es, “acto por el cual el profesor hace que el alumno acepte la
responsabilidad de una situación de aprendizaje (a-didáctica) o de un problema y acepte él mismo
las consecuencias de tal transferencia” (Brousseau, 1988, p. 325).
Consideramos que la devolución es la esencia del acto de comunicación entre
profesor y alumno frente a un objeto de conocimiento, produciéndose la misma en
ambos sentidos. Así, es el acto mediante el cual el profesor le “devuelve” al alumno
la responsabilidad de su propio aprendizaje, le delega la exploración, la búsqueda, la
necesidad de hallar respuestas y de avanzar de manera tal que esto sea aceptado
quizás sin ser percibido por el mismo. A su vez el alumno, al involucrarse con el
problema y confrontar con sus pares en el proceso de acercarse al objeto de estudio
“devuelve” al profesor el papel de mediador entro los saberes sociales y los
producidos en el aula, gestionándose así el proceso de aprendizaje de ambos.
47
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
El docente debe proponerle al alumno, una situación que le permita dotar al
conocimiento que se desea impartir, de un significado propio y plausible de serle útil
y de que reconozca su utilidad en la resolución de otro problema. La situación
planteada debe tener por objeto que el alumno interactúe con el saber, es decir, que
actúe, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que
intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura, que
tome los que le sean útiles (Lezama, 1999).
La situación que se le proponga al alumno debe ser tal que le permita adquirir los
conocimientos que pretendemos enseñar, siendo deseable que éstos aparezcan como
una respuesta personal a la pregunta formulada y que éste sea capaz de hacerlos
funcionar o de modificarlos respondiendo a las exigencias del medio y no a las del
profesor. Se debe partir de conocimientos matemáticos que el alumno ya maneje con
soltura, pero apartándose de ellos lo suficiente como para que no le permitan dar
una respuesta inmediata a la secuencia propuesta. A su vez, la secuencia, debe ser lo
suficientemente cercana a los conceptos puestos en juego, como para que pueda
realizar acciones sobre los objetos de conocimiento propuestos y donde llegue un
momento en el que se evidencie la ineficacia de los mismos para resolver el
problema planteado.
La situación debe ser fuente de aprendizaje y en ciertas ocasiones también
criterio de validación de las estrategias puestas en juego. El profesor debe diseñar y
proponer a los alumnos situaciones con las que ellos se puedan comprometer y
aceptar la responsabilidad de resolver el problema. Organizarlas de tal manera que el
conocimiento sea planteado como un objeto de enseñanza que pueda ser adquirido
por los alumnos mediante un proceso de confrontación y argumentación, bajo su
dirección. Es decir, las situaciones deben lograr que los alumnos entren en acción y
48
Ingeniería Didáctica
que el conocimiento aparezca como la solución óptima a la misma y que sea factible
que ellos la encuentren. El problema planteado debe propiciar que el alumno
explore, conjeture, argumente, reflexione permitiendo que sus ideas maduren y
evolucionen, es decir, provocar la aparición y uso de estrategias y recursos propios.
Se considera que el alumno se ha apropiado del conocimiento, cuando es capaz
de utilizarlo fuera del contexto de enseñanza, y en momentos donde no haya
indicación intencional, denominándose a éstos, “situaciones no-didácticas”. Brousseau,
en su teoría, define: situaciones no-didácticas, ya mencionadas como aquellas
carentes de intencionalidad para enseñar; “situaciones didácticas”, que son las que se
entablan entre profesor y alumnos alrededor del saber a enseñar, dentro del aula. En
ellas se exhibe la intención de enseñar y aprender, están regidas por el contrato
didáctico, es decir, por las obligaciones implícitas que se establecen entre los actores
del sistema didáctico, esto es, en la triada docente-alumno-conocimiento. Por último,
define “situaciones a-didácticas”, como aquellas en las cuales el profesor se aparta del
escenario dejando que el alumno viva esta situación como investigador de un
problema matemático, independiente del sistema educativo (Margolinas, 1993). El
alumno es consciente de que el problema que se le plantea tiene la intención de que
aprenda un determinado conocimiento, al que debe construir respondiendo a la
lógica interna de la situación propuesta por el docente.
A su vez, Brousseau, distingue diferentes tipos de situaciones a-didácticas, que
inducen a los alumnos a transitar por diversas etapas propias de la actividad
matemática: la acción, la formulación y la validación, así como la de
institucionalización definida tiempo después.
Situación a-didáctica de acción: es aquella donde el conocimiento que ya posee el
alumno le permite actuar sobre la situación. El conocimiento matemático está
49
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
presente bajo la forma de un modelo implícito el cual sugiere la toma de
decisiones o el uso de algoritmos. Existe un intercambio de información no
codificada.
Surgen nociones protomatemáticas, es decir,aquellas que son utilizadas sin ser conscientes deellas, no se las reconoce como objetos de estudioni como instrumentos útiles para el estudio deotros objetos.
alumno situación
Situación a-didáctica de formulación: es aquella donde el conocimiento se intercambia
con una o varias personas a través de mensajes escritos u orales. El conocimiento
aparece bajo la forma de lenguaje, el cual permite la producción de un mensaje, el
cual a su vez permite la generación de un modelo explícito.
Surgen nociones paramatemáticas, es decir, aquellasque son utilizadas conscientemente como instrumentosútiles para el estudio de otros objetos, sin serconsideradas como objetos de estudio en sí mismas
Alumno B Alumno A
50
Ingeniería Didáctica
Situación a-didáctica de validación: es aquella donde el conocimiento es utilizado para
convencer a otra persona. El conocimiento se presenta bajo la forma de una
teoría que permite construir proposiciones y juicios
Surgen nociones matemáticas, es decir,aquellos objetos de conocimiento construidos,susceptibles de ser enseñados y utilizados enaplicaciones prácticas. Son, por lo tanto,objeto de estudio en sí mismas.
Alumno B Alumno A
Situación de institucionalización: es aquella donde el conocimiento toma la forma de
conocimiento socialmente admitido. En ella se produce el reconocimiento del
objeto de enseñanza por parte del alumno y del aprendizaje del alumno por parte
del profesor, lo cual es un fenómeno social muy importante y una fase esencial
del proceso didáctico.
r
Alumno
51
Profeso
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Contrato Didáctico
Como hemos establecido, en este capítulo nos interesa estudiar y caracterizar los
fenómenos que acontecen en el aula en torno a un saber específico. Vimos que,
según Chevallard, el conocimiento que se introduce en el salón de clases se aparta
del saber erudito, creado y validado por la elite de académicos, lo suficiente como
para que sea considerado por la sociedad en general como digno de figurar en el
acervo escolar ya que se distancia de los saberes cotidianos, pero lo suficientemente
cercano al conocimiento de origen para no ser desconocido por los eruditos.
Ponderada por unos, criticada por otros, la transposición didáctica es inevitable, crea
un nuevo contexto y establece límites precisos sobre el conocimiento que interesa
dominar.
Es entonces el saber a enseñar el que ingresa en la escuela, en un ámbito social
específico donde confluyen a su vez profesores y alumnos, lo cual da lugar a
relaciones y conflictos, disfuncionamientos y contramarchas. Es, mediante
interacciones sociales que se recrea el saber y por tanto es pertinente analizarlas.
En la búsqueda por esclarecer las relaciones entre profesores y alumnos en el
ámbito escolar, retomamos la noción de “contrato pedagógico” establecida por Filloux
(1974, citado en Sarrazy, 1995). Con ella intentamos poner en evidencia la relación
oscilante establecida entre la posición seductora del profesor hacia el alumno (casi
mágica e irracional) y la racionalidad definida por el proyecto educativo,
considerando que, a su vez, determina los roles y el estatus de los profesores y
alumnos dentro de la estructura social. Este contrato pedagógico “... apunta a
reglamentar los cambios entre dos partes que toman, por un período limitado, un
sistema de derechos y de deberes recíprocos; supone el principio de un
consentimiento mutuo de las partes ya que se funda sobre el enunciado de reglas de
juego a las que cada uno debe libremente someterse...”
52
Ingeniería Didáctica
Brousseau (1988) retoma estas ideas, y construye su noción de contrato didáctico,
para explicar la relaciones de profesores y alumnos las cuales son condicionadas por
un proyecto social exterior a ambos que se les impone y que les da razón de ser. Sin
embargo, es específico de un saber, y difiere del contrato pedagógico en que es
perecedero, no estable como aquél, sino que evoluciona y se transforma a la par de
los conocimientos puestos en juego, por tanto se encuentra muy ligado a los
conceptos de medio (milieu) y de devolución, ambos ya presentados en este escrito.
Los roles de cada integrante del sistema didáctico están definidos. La
introducción de un saber, implica la construcción de situaciones de aprendizaje las
cuales exigen, en primer lugar, un análisis epistemológico para determinar las
condiciones propias de la significación de una noción matemática determinada. Los
conocimientos matemáticos tienen un estatus social establecido, y es competencia de
los alumnos apropiarse de estos saberes reconocidos por la sociedad o por grupos
sociales y utilizarlos para sí mismos. Por otra parte, el profesor de matemática tiene
una dimensión social que se impone, le compete a él lograr el buen aprendizaje de
cada alumno y asegurar la homogeneidad de la construcción de saberes y su
coherencia a nivel de toda la clase. La hipótesis constructivista sobre aprendizaje
evita recurrir a la imposición autoritaria de un saber, esta homogeneización sólo
puede, entonces, provenir de las interacciones sociales. Tal es así que, para la teoría
de situaciones, “el profesor debe entonces efectuar, no la comunicación de un conocimiento, sino la
devolución de un buen problema. Si esta devolución se opera, el alumno entra en el juego y si logra
ganar, el aprendizaje se produce” (Brousseau, 1986).
Esta dimensión social da al profesor una posición particular, es el eslabón entre
los saberes sociales y los saberes construidos en la clase. Es su responsabilidad
asegurar la regulación del funcionamiento y de las producciones intelectuales
individuales, sea por las intervenciones directas sea por la mediación de situaciones
53
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
específicas (Balacheff, 1988), en tanto que, es responsabilidad del alumno
comprometerse con el problema planteado, es decir, aceptar la invitación al juego
propuesto por la situación didáctica.
El alumno, en su calidad de jugador, no se interesará por un juego del cual ya
conozca todos los resultados, ni por uno en el cual no vislumbre ningún resultado
posible. La incertidumbre ligada a esta situación constituye una de las condiciones de
la devolución, y el interés en ella provendrá de su dominio y de poder anticipar los
resultados de una acción. Esta negociación de las reglas del juego permitirá
desarrollar el aprendizaje, y es el contrato didáctico quien la vuelve posible, ya que el
aprendizaje es definido como una adaptación a la situación, evidenciándose éste por
el hallazgo del alumno de la estrategia óptima, es decir, la menos costosa y la más
eficiente; por su control de la situación y la reducción de su incertidumbre. Cabe
entonces al profesor lograr que el alumno acepte el riesgo de buscar los medios para
construir su conocimiento y a la vez de absorber la angustia que tal riesgo trae
aparejado, así como también la producida por los errores y falencias en el camino
hacia el saber.
Las reglas de juego establecidas en estas relaciones sociales, teñidas por la
cultura, entre profesores y alumnos alrededor del saber a enseñar, son implícitas y
devienen importantes en sus rupturas, siendo en éstas que Brousseau considera que
se desarrolla el aprendizaje. El contrato debe garantizar la devolución, de no ser así,
se producen las rupturas y la búsqueda de nuevos contratos se torna importante. No
es único, sino que está íntimamente relacionado con la naturaleza del conocimiento
puesto en juego.
Una comunicación personal de Lezama referente a la falta de significación que
los alumnos presentan ante el concepto de función logaritmo, tema central de esta
54
Ingeniería Didáctica
tesis, nos permite dar cuenta de un ejemplo sobre ruptura de contrato didáctico.
Ante un listado de ejercicios similares cuyo objetivo era adquirir destreza y dominio
en la resolución de ecuaciones logarítmicas, los alumnos tropiezan con el siguiente
enunciado:
6 10log ( 1) log 1x x+ + =
Solucionan el primer obstáculo constituido por el “1”, procediendo de la
siguiente manera:
6 10log ( 1) log 10 logx x+ = − 10
no sin antes sostener una discusión respecto a cómo superar tal obstáculo. El
ejercicio se transforma ahora en:
6 110log ( 1) logxx
+ = 0
utilizando las relaciones y propiedades estudiadas y discutidas en clase, y realizando
las operaciones algebraicas correspondientes, logran arribar a la siguiente ecuación:
10log 6101x
x
+ =
para cuya solución se hallan indefensos, pues ignoran los algoritmos que se pueden
implementar para determinar los valores de la incógnita que satisfacen tal expresión.
Su comentario es: “el profesor se equivocó al darnos este ejercicio pues no lo
sabemos resolver, en lugar de logaritmo en base 6 debería haber puesto en base 10”.
55
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
La recreación de esta anécdota nos da pie a reflexionar sobre los comentarios
vertidos anteriormente respecto a contrato didáctico y sus reglas implícitas. Una de
las más características que se encuentran en la escuela es la idea que “todo problema
planteado por el profesor tiene solución y ésta debe ser la única posible”. Quebrar
esta regla, genera desconcierto en los alumnos, y por tanto argumentos en el sentido
de equívocos del docente. Sin embargo, este problema, probablemente mal copiado
por el docente responsable del curso, pone en evidencia a los alumnos las
limitaciones de los conocimientos que poseen hasta ese momento, y cuestionarse
quizás el profundizarlos.
Para Chevallard (citado en Sarrazy, 1995), el primer contrato es un contrato
social cuya fuente se sitúa en el proyecto social de enseñanza y si bien el origen de
esta contratación no existe jamás, el contrato aparece a través de los efectos que
engendra. Preexiste e instituye la relación didáctica para la reunión del profesor, el
alumno y el saber designándole a cada uno su rol. De esta manera, el contrato
didáctico define los derechos y deberes tanto de los alumnos como de los
profesores, y en esta división de tareas, reparte y limita las responsabilidades de cada
uno.
Producto de prácticas de enseñanza y aprendizaje, el contrato didáctico
evoluciona con ellas. Se modifica entonces con el progreso del conocimiento y con
la aparición de nuevas prácticas matemáticas. La negociación del contrato didáctico
en contra de las costumbres puede crear rupturas portadoras de sentido que revelen
ciertas reglas y sus relaciones con el saber. El modelo de contrato nos provee un
contexto para describir y explicar, a la vez, el carácter dinámico de las interacciones
sociales en la clase, sus relaciones con el saber y su estabilidad, su permanencia,
indispensable para el funcionamiento del sistema didáctico.
56
Ingeniería Didáctica
Obstáculos epistemológicos y variables didácticas
Consideramos central en la Teoría de Situaciones Didácticas la idea de evolución,
no sólo del alumno hacia el conocimiento del cual debe apropiarse, sino de la
situación en sí misma, del medio en el que tal fenómeno sucede. Es así, que la
situación didáctica es el escenario dinámico donde el alumno debe evolucionar,
actuar, jugar y no sólo ser un mero receptor de datos o del discurso del profesor. La
idea de medio como aquello que se coloca al alcance del alumno, ya sean objetos,
ideas, etc., que le permiten tratar con las consignas e intervenciones del profesor, con
las propuestas de sus compañeros y con el saber en sí, rompe el esquema de que sólo
se trata de una relación docente-alumno considerando, en su lugar, que entran en
juego las interacciones, la cultura, la institución, entre otros factores.
Una situación didáctica se produce cada vez que se puede caracterizar la
intención del profesor de enseñar un saber al alumno y los mecanismos socialmente
definidos que se ponen en juego. La idea es colocar al alumno en situación de
producir su propio conocimiento, luchando con los anteriores, en referencia al
problema propuesto y no a las intenciones del profesor. No se trata de que el
alumno descifre los códigos que el profesor pone en juego en el salón de clases, sino
de que asuma el problema como propio y por tanto genere un saber particular.
Esta construcción de conocimientos no está exenta de errores, contramarchas,
angustias, avances, caminos truncos, en donde juegan un papel importante no sólo
las situaciones diseñadas en torno al conocimiento, sino también las concepciones de
los alumnos, sus elecciones anteriores, los errores que la situación intenta evitar, las
formulaciones que ella propicia.
Brousseau, retomando las ideas de Bachelard, considera que: ... los errores no son
sólo efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar como se cree en las teorías empiristas o
57
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
conductistas, sino el efecto de un conocimiento anterior que, habiendo tenido su interés, éxito, se
revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos ni imprevisibles, se
constituyen como obstáculos ... (Brousseau, 1983, p.170).
Es decir, un obstáculo se manifiesta a través de los errores, los cuales no son
azarosos sino persistentes y reproducibles, siguen apareciendo incluso después de
trabajar sobre ellos intencionalmente en el salón de clases. Están íntimamente
ligados a maneras de conocer, a concepciones si no correctas al menos coherentes, a
conocimientos anteriores que han tenido éxito en ciertos dominios y cuya extensión
a otros es, a menudo, fuente de errores.
La superación de un obstáculo amerita trabajar sobre las interacciones repetidas,
reflexivas y dialécticas entre el alumno y el objeto de conocimiento. Por lo tanto, el
diseño de la situación que se proponga debe permitir y motivar esta dialéctica entre
el a priori y el a posteriori, entre el conocimiento y la acción, entre lo individual y lo
grupal, entre el alumno y sus pares, entre el profesor y el alumno, entre el profesor y
la clase, entre ellos y la situación.
La idea de obstáculo epistemológico tiende a sustentarse, en ciertos casos, en tres
categorías, a saber, como errores en la enseñanza; como insuficiencias en el sujeto
cognocente; y como intrínsecos al propio conocimiento. Por tanto, Brousseau (1983)
habla de sendos obstáculos de origen didáctico, ontogénico y epistemológico.
Podemos ejemplificar esta noción de obstáculo epistemológico mediante los
resultados de las investigaciones reportados por Confrey (1996) y Lezama (1999) en
torno a la comprensión de las funciones exponenciales. Ambos investigadores
coinciden en que la enseñanza de estructuras multiplicativas desde las aditivas y el
uso de las primeras para introducir la potenciación, se convierte en un obstáculo para
58
Ingeniería Didáctica
la apropiación y entendimiento de las funciones exponenciales por parte de los
alumnos. Por ejemplo, luego que los alumnos dominan la adición, se les enseña la
multiplicación, presentándola como una suma reiterada, es decir:
3+3+3+3+3 = “cinco veces tres” = 5 × 3
a su vez, se los introduce al concepto de “potenciación”, como una multiplicación
repetida, por ejemplo:
3×3×3×3×3 = “cinco veces tres” = 35
Vemos que, ante esta definición de la potenciación desde estructuras
multiplicativas, 35 significa multiplicar la “base” por sí misma tantas veces como
indique el “exponente”. Esta explicación tiene sentido para los alumnos en tanto se
trate de exponentes enteros y positivos, pues se puede traducir como “cinco veces el
tres”. Pero, ¿que significado podrán conferirle a 1
22 o 33 ? ¿Cómo calcular “media
vez el tres” o “raíz de dos veces tres”? Incluso, ¿qué sentido darle al cálculo de 20 o
de 21? ¿Qué significa multiplicar cero veces el dos o una vez el dos? Respuestas
persistentes y que se encuentran con facilidad giran en torno al 0 o al 2.
Claramente un algoritmo que les era familiar y útil, con el que tenían éxito, deja
de funcionarles al extender el dominio de validez de los exponentes. Otro tanto
sucede con los exponentes negativos, donde es frecuente encontrar respuestas del
tipo: , en la cual se percibe el uso de los procedimientos
anteriores sin dotarlos de mayor sentido.
3 ( 2)( 2)( 2) 82− = − − − = −
La superación de un obstáculo implica el diseño de acciones racionales que se
plasmen en una situación didáctica susceptible de evolucionar y de hacer evolucionar
59
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
al alumno mediante un proceso dialéctico que permita confrontar las concepciones
anteriores y recrear por tanto el nuevo conocimiento.
Se torna relevante, entonces, en el diseño de una situación la identificación de las
variables didácticas que se controlarán y de la gestión que sobre ellas se establecerá,
por ser éstas las que condicionan y organizan los aprendizajes de los alumnos.
Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el
maestro, y que afecta a la jerarquía de las estrategias de solución que pone en
funcionamiento el alumno (por el costo, por la validez, por la complejidad, etc.) (Brian,
1996, citado por Ruiz Higueras, 2000).
Contrato Didáctico
Control Gestión
Variable Didáctica
Acción Evolución
Situación Didáctica
Hipótesis de aprendizaje
ALUMNO
PROFESOR
SABER
Recreación del esquema de hipótesis de aprendizaje y gestión de variables didácticas (Ruiz Higueras, 2000)
60
Ingeniería Didáctica
Es importante entonces, bajo la luz de la teoría de situaciones didácticas, la
realización de diseños que, partiendo de los conocimientos que los alumnos
dominan, los inviten a interactuar con sus pares y su profesor en un medio regido
por las reglas implícitas del contrato didáctico, en torno a un saber específico, cuya
recreación y apropiación demanda la dialéctica entre los elementos mencionados.
Juega entonces un papel esencial la elección y gestión de variables didácticas, tarea a
cargo del profesor o del investigador, al igual que la identificación de los obstáculos
inherentes al conocimiento puesto en juego así como también la aceptación de la
responsabilidad de su propio aprendizaje por parte de cada alumno.
Fases de la Ingeniería Didáctica
La Ingeniería Didáctica es un instrumento metodológico para la enseñanza y para
la investigación, que nos brinda la posibilidad de desarrollar una acción racional
sobre el sistema educativo, pues intenta captar la complejidad del proceso de
enseñanza-aprendizaje en situación escolar. Como metodología de investigación, se
caracteriza fundamentalmente porque sus productos son construidos a partir de un
esquema experimental basado en las realizaciones didácticas en clase, es decir, sobre
la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza; y
también por que se ubica en los registros de los estudios de caso y cuya validación es
interna, es decir, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori
(Artigue, 1995).
Son cuatro las fases fundamentales que se distinguen en la elaboración de una
Ingeniería Didáctica, a saber:
61
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Análisis preliminar.
Diseño de la situación didáctica y su análisis a priori.
Experimentación.
Análisis a posteriori y validación.
Este trabajo se centrará en el análisis preliminar, precisando las hipótesis
epistemológicas necesarias para el diseño de una situación. Sin pretender ser
exhaustivos, expondremos brevemente las características de cada una de estas fases.
Análisis preliminar
En el análisis preliminar, luego de establecer los objetivos específicos de la
investigación, se analizan y determinan, desde una aproximación sistémica, todos y
cada uno de los actores del sistema didáctico y de las relaciones entre los mismos.
Para ello, se debe tomar en cuenta: el conocimiento matemático que se desarrolla en
la escuela así como su devenir en saber, esto en la denominada componente
epistemológica; las concepciones de los estudiantes, sus dificultades y los obstáculos que
deben enfrentar para apropiarse de las nociones puestas en juego por la secuencia
implementada, en la llamada componente cognitiva; la enseñanza tradicional y sus
efectos, es decir, cómo vive el contenido matemático al seno de la escuela, dentro de
la componente didáctica; y por último, la componente socio-cultural, que contempla la
construcción del conocimiento como una serie de prácticas sociales de referencia
compartidas por un grupo social.
62
Ingeniería Didáctica
Análisis a priori y diseño de la situación didáctica
En esta fase de la Ingeniería Didáctica se eligen las variables didácticas que se
controlarán y se define la forma en que las mismas serán gestionadas. También en
esta instancia se establecen las hipótesis de trabajo, es decir, qué se espera de la
interacción de los alumnos con la situación diseñada, qué avances se consideran
dentro de las expectativas, qué errores se perciben persistentes, qué mecanismos se
prevé serán utilizados, en fin, todo lo inherente a las hipótesis de trabajo y
expectativas del investigador. Es, en consecuencia, una fase tanto prescriptiva como
predictiva.
Una vez determinadas las variables didácticas y establecido el objetivo, es decir,
caracterizado el obstáculo que se desea confrontar, se pasa al diseño de la situación
didáctica en sí misma, la cual debe crear un medio propicio para que el alumno
acepte la “invitación” al juego, se sienta desafiado a apropiarse del saber puesto
sobre la mesa.
Experimentación
En esta etapa se procede a la “puesta en escena” de la situación diseñada, es
decir, se la implementa en condiciones controladas estrictamente por el investigador.
Los medios de perpetuar los sucesos que se desarrollen, para su posterior análisis
quedan bajo la responsabilidad y elección del investigador. Es importante el control
de las actividades y el registro de los sucesos, pues el conocimiento y caracterización
de los mismos redundará en la calidad y fidelidad de la siguiente etapa.
63
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.
Análisis a posteriori y validación
El análisis a posteriori consiste en una exhaustiva revisión de los sucesos
acaecidos durante la puesta en escena de la situación diseñada, es en esta etapa que se
confrontan las hipótesis definidas en el análisis a priori y se determina en qué medida
las expectativas fueron alcanzadas o cuanto se desvían los resultados de lo que se
esperaba.
De esta confrontación entre los análisis a priori y a posteriori surge la fase que
caracteriza a esta metodología de investigación, esto es, la validación de la misma.
Esta validación, a diferencia de otros acercamientos tales como los de carácter
cuantitativo para los cuales el éxito se mide en tanto el grupo experimental logra
mejores resultados que el grupo de control, es decir, entre los resultados externos a
la situación planteada en sí misma, en la Ingeniería Didáctica, la validación es interna,
pues se confrontan dos fases de la misma, lo esperado y lo que se obtuvo en
realidad, entre las conjeturas y expectativas que fueron explicitadas en el análisis a
priori y los resultados analizados y categorizados en el análisis a posteriori.
De las consideraciones realizadas, y del hecho que la validación de una
Ingeniería Didáctica surge de la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori, se
deducen dos aspectos relevantes de ésta, el estricto control que debe ejercerse en la
experimentación y la precisión del análisis preliminar. Es por ello que nos abocamos
a reportar el realizado para sentar las bases de la situación didáctica que se diseñará a
posteriori.
Nuestro grupo de investigación retoma, entre otras, las ideas desarrolladas por
Brousseau en sus indagaciones en la enseñanza primaria, llevándolas y
reformulándolas en el ámbito de la enseñanza superior. Surgen así, distintos trabajos
64
Ingeniería Didáctica
que reflejan nuestra preocupación por dar respuesta a las inquietudes, dificultades y
problemáticas propias de la práctica educativa planteadas por docentes e
instituciones. El deseo de impactar en el sistema de enseñanza, deviene en nuestra
constante preocupación por reflexionar e investigar sobre la matemática escolar,
intentando articular los resultados de nuestras investigaciones con la realidad que se
vive en el aula.
65
Capítulo 3
Acercamiento a un análisis epistemológico
Iniciamos en este capítulo el análisis preliminar, es decir, la fase de la ingeniería
didáctica que desarrollaremos en nuestro trabajo. Comenzamos con la dimensión
epistemológica, para continuar, en el siguiente capítulo, con el abordaje de la
dimensión didáctica. Consideramos que la importancia de ambas dimensiones recae
en la posibilidad de resignificar las nociones de interés, en este caso, de la función
logaritmo, en la búsqueda de los interrogantes y debates que produjo, de las
controversias que suscitó, de los ires y venires en su desarrollo y consolidación en la
estructura matemática, en definitiva, su devenir en un saber validado social y
culturalmente. Así mismo, nos interesa indagar sobre la manera en que su desarrollo
se ha plasmado en los textos escolares y en las currícula a través del tiempo, en este
sentido, deseamos observar la forma en la que se ha producido su comunicación, los
conceptos priorizados en cada momento, los que han perdido vigencia por
responder a paradigmas olvidados, en fin, dar evidencia de que la matemática es una
construcción humana que responde a necesidades de una sociedad que le marca y
delimita su campo, todo esto a través del estudio de la noción de logaritmo.
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
No cabe duda respecto a la importancia que la noción de logaritmos ha poseído
desde su origen hasta nuestros días; su evolución, su adaptabilidad a los distintos
paradigmas científicos que han ido entrecruzándose, reemplazándose, superándose,
ha permitido que arribe a nuestros días intacta, contando con un rincón propio en la
estructura matemática actual. Sin embargo, la complejidad de su definición, de las
nociones que involucra, hacen pertinente explorar su evolución, recabar información
respecto a los significados que se han perdido en el transcurso de la historia, en un
intento de proporcionar elementos para introducirla y desarrollarla en el aula de
forma más accesible para los alumnos y profesores, los cuales se encuentran por lo
general ante una noción con la que pueden operar, trabajar algorítmicamente, a la
que luego someten a derivación, integración, entre otras operaciones matemáticas,
sin haberla construido en su vida escolar. Pierde así su sentido, se convierte en una
caja negra destinada al olvido por su falta de significación y a generar angustia en la
mayoría de sus usuarios.
En este trabajo partimos de la premisa que la matemática es una construcción
humana, un producto social y cultural, consideramos que todo objeto matemático,
para consolidarse como tal, necesariamente pasa por varias etapas o momentos.
Comienza por ser utilizado sin mayor conciencia de su presencia, siendo
manipulado, extendido, formulado, dotado de representaciones y significados más
precisos hasta ser insertado en una teoría con características propias. En estas ideas,
las cuales surgen de pensar como aplicables al aprendizaje de la humanidad las
situaciones de aprendizaje desarrolladas por Brousseau en su teoría de las situaciones
didácticas, es que analizamos los datos recogidos en nuestra indagación
epistemológica.
Efectivamente, si tomamos como eje central en el desarrollo de los logaritmos,
las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas, que sustentaron su
68
Acercamiento a un análisis epistemológico
definición como objeto matemático facilitador de operaciones en el siglo XVII,
podemos distinguir tres grandes etapas en el devenir histórico de los logaritmos.
Podemos observar así, una primera etapa de los logaritmos como transformación,
definidos y enmarcados en el registro numérico en el cual, pese a que no habían sido
aun formalmente definidos, pues estamos refiriéndonos a siglos anteriores al XVII,
se explora esta relación en busca de extender el rango de los números y de facilitar
los cálculos que por la magnitud de las cifras involucradas demandaban tediosas
y complicadas operaciones. Es un momento de exploración de posibilidades, de uso
de lo que ya se conoce y de enfrentamiento con las limitaciones propias de las
herramientas matemáticas puestas en juego, es por tanto una etapa de acción si nos
valemos de la analogía propuesta.
Deviene luego una etapa de definición de la noción, de extensión y
caracterización de la misma en otros registros y contextos en donde la relación entre
las progresiones se torna fundamental. Así, se descubren las características de los
logaritmos en el contexto geométrico, esto es, su asociación con una curva que posee
subtangente constante. Se construye su gráfica la cual, como veremos, no fue
producto de la tabulación de sus valores. Se encuentra su cuadratura superando las
deficiencias del patrón hallado para la cuadratura de las funciones potencia cuando
se trata del exponente –1. Se los utiliza para describir fenómenos de la naturaleza
como la caída de cuerpos en medios resistentes o la propagación de las ondas
sonoras. Se logra su desarrollo en serie de potencias lo que posteriormente le
conferirá el status de función. Así, distinguimos a esta etapa como aquella de los
logaritmos como modelizadores en la cual se los identifica en cada lenguaje utilizado, se los
caracteriza en los distintos contextos conocidos y se establecen las relaciones entre
ellos.
69
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Por último, consideramos que con los esfuerzos por incorporarlos a la estructura
teórica siguiendo ideas de rigor y purismo matemático, de descontextualización y
abstracción, se los escinde de sus orígenes convirtiendo a los logaritmos en un objeto
teórico. Se les dota de una definición formal, lejana a la publicada por Napier como la
relación espacio-velocidad de dos puntos moviéndose con velocidad constante uno
y decreciente en progresión geométrica el otro. Se los incorpora en el cuerpo teórico
matemático como la inversa de la función exponencial, y como aquella función que
convierte un producto en una suma. Se conserva la esencia de los logaritmos, no así
su relación explícita con las progresiones y otras características que han desaparecido
del léxico escolar.
Entran en juego entonces, en esta visión sociocultural de la matemática a la que
adherimos, variables sociales y culturales, las que deberán fungir como cristales para
comprender los avances y retrocesos, los obstáculos y las maneras de superarlos, las
argumentaciones y los consensos en este aprendizaje de la humanidad,
particularmente en el desarrollo de los logaritmos.
Epistemología histórica del concepto “logaritmo”
La idea de los obstáculos epistemológicos debida a Gastón Bachelard (1938), e
introducida al campo de la didáctica de la matemática por Guy Brousseau en 1976, se
basa en la hipótesis que el conocimiento es dialécticamente construido desde y sobre
el conocimiento previo, incluso en contra del mismo, implicando que su
construcción no puede ser continua, lineal ni libre de errores. Esta afirmación
confronta las creencias de profesores, que inmersos en la enseñanza tradicional,
70
Acercamiento a un análisis epistemológico
basan su trabajo en la posibilidad de un aprendizaje continuo, donde el buen docente
es aquel que evita al estudiante dificultades y errores.
Las dificultades que se presentan, tanto en la apropiación de la noción de
función en general, como de logaritmo y exponencial en particular, pueden dotarse
de significado indagando sobre la génesis de tales conceptos, y en su devenir en
objetos de saber a ser enseñados; y a la vez, explorando las concepciones de los
profesores, su epistemología, pues conocer ambas vertientes, puede aportar datos
para comprender los obstáculos que se perciben en los estudiantes.
Sierpinska (1992), en un estudio sobre las dificultades para la comprensión del
concepto de función, distingue varios obstáculos epistemológicos, tres de los cuales,
a nuestro criterio, sustentan la problemática de la enseñanza de las nociones de
logaritmo y exponencial, a saber: la falta de relación entre la matemática y los
problemas prácticos; la concepción de función, estableciendo que una definición no
determina un objeto, sino al contrario; y las distintas representaciones de función.
Según Sierpinska, la identificación de los cambios observados a nuestro alrededor
como problemas prácticos a resolver y de las regularidades en las relaciones entre
cambios, como una manera de tratar con ellos, constituyen los más importantes
“actos de entendimiento” del concepto de función. Ignorarlos como condiciones
necesarias para el desarrollo de esta noción en los estudiantes, significa estar frente a
un obstáculo inherente a la concepción de matemática, a su filosofía, pues implica
considerar que a esta disciplina no le conciernen los problemas prácticos, lo cual
evidentemente acarreará connotaciones didácticas a la hora de introducir y
desarrollar este tema en el aula. Por otro lado, considera que se requiere cierta
cultura matemática para ver una definición como una descripción de un objeto
conocido mediante los sentidos o la percepción, pues la definición no determina al
71
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . objeto, sino que es éste el que determina la definición. Por tanto, extrae como
conclusión que la temprana introducción de la definición general de función no tiene
sentido, pues podría ser ignorada o mal interpretada por los alumnos.
Por último, considera que las distintas representaciones de este concepto trae
aparejados problemas de diversa índole. Actualmente, varias son las representaciones
de función que se utilizan en el aula, entre ellas las gráficas, las tablas y las
expresiones analíticas son las más frecuentes. Las tablas son consideradas la
representación más antigua de relaciones o mapeos. La identificación de éstas como
funciones constituye el obstáculo epistemológico identificado con el número trece,
“EO(f)13: (concepción de función). La función es una sucesión”, (Sierpinska, 1993, p. 49), una
de cuyas posibles consecuencias es la creencia de que los métodos de interpolación
proporcionan los valores exactos de la función en puntos intermedios. Así mismo, el
estudio de curvas juega un importante papel en la historia del concepto de función,
siendo muy útiles para el desarrollo de ideas de Cálculo en el siglo XVII. En un
principio las curvas no fueron interpretadas como gráficos de relaciones dadas, sino
como lugares geométricos de puntos o trayectoria de puntos que se mueven. Esto se
corresponde con algo que hallamos en los estudiantes, “EO(f)14: (concepción de
coordenadas). Las coordenadas de un punto son segmentos (no números)” (ibídem, p. 51) y
“EO(f)15: (concepción de gráfico de una función). El gráfico de una función es un modelo
geométrico de la relación funcional. No necesita ser fiel, podría contener puntos (x, y) tales que la
función no está definida en x” (ibídem, p. 52). Por otro lado, el obstáculo de identificar
una función con una expresión analítica ha estado presente en el desarrollo histórico
de este concepto, provocado por la inmaterialidad y abstracción de esta
representación.
Para Bachelard (1938), “la ciencia contemporánea está hecha de la investigación de
hechos verdaderos y de la síntesis de leyes verídicas. La veracidad o el decir la verdad, de la ciencia
72
Acercamiento a un análisis epistemológico
no reside en la reproducción fiel de alguna verdad inscrita desde siempre en las cosas o en el
intelecto”. En contra de otros filósofos de su época, considera que el progreso del
conocimiento en una ciencia no es sólo la acumulación, es decir, el aumento de
volumen de la misma, agrupando lo viejo con lo nuevo, sino la revisión permanente
de los contenidos y de sus profundizaciones y cancelaciones. En este sentido,
considera que... “Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta.
Nada es espontáneo. Nada está dado. Todo se construye.”...
Se podría considerar al desarrollo del saber científico y al desarrollo del saber
escolar como dos procesos que evolucionan de manera independiente. Sin embargo,
la transposición didáctica pone en evidencia la relación de dependencia entre ambos
saberes, y exige investigaciones históricas y epistemológicas. En este sentido, la
historia de la matemática permite pensar en una posible coherencia de los saberes
que van a enseñarse y tomar consciencia de las marchas y contramarchas acaecidas
en su conformación. Para ponerlas en evidencia indagamos, en distintas fuentes, el
desarrollo de los conceptos de logaritmo y de exponencial, con el fin de lograr una
comprensión cabal de los mismos.
Presentamos entonces, la revisión que realizáramos sobre el desarrollo de la
noción de logaritmos dividida y organizada de acuerdo a los problemas más
representativos de su evolución. Hemos considerado pertinente hacerlo en tres
partes: la primera, albores del concepto de función logaritmo, en donde pasamos revista a
cuestiones relacionadas con las etapas previas a su publicación en el siglo XVII; la
segunda, nacimiento de los logaritmos, donde desarrollamos conceptos inherentes a su
aparición formal como objeto matemático y por último, aportes que recibiera por la
aparición y desarrollo del Cálculo, todo esto en busca de evidenciar las reformulaciones
de las que fue objeto y a la vez de sus propias aportaciones al desarrollo de esta
última disciplina.
73
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Albores del concepto de función logaritmo
La génesis del concepto de función es una de las más interesantes de rastrear en
la historia, y muchas son las opiniones vertidas al respecto. Este concepto comienza
a gestarse en la antigüedad, aseveración amparada por tablas confeccionadas por los
babilonios (2000 años A.C). Encontramos, en ellas, correspondencias entre
cantidades aunque no pueda considerarse que, en esta época, se tuviera conciencia de
tal noción. En la Edad Media en cambio, se cuenta ya con ideas mas acabadas al
respecto, con representaciones gráficas y verbales, en tanto que sus expresiones
analíticas aparecen recién en el siglo XVII gracias a los aportes de Vieta y Descartes
entre otros. La definición que manejamos hoy en día, es atribuida a Dirichlet, por
algunos, y a Lobachevski por otros, en el siglo XIX, y para llegar a ella se necesitó el
aporte y las discusiones de muchos matemáticos, destacándose entre ellos los
hermanos Bernoulli y Euler, cuya concepción de función y continuidad aparece
frecuentemente entre los estudiantes de hoy (Youschkevitech, 1976).
Dando una hojeada a la historia, encontramos que los logaritmos y las
exponenciales han estado estrechamente vinculados, desde sus albores como
nociones matemáticas, surgidas a principios del siglo XVII; en el caso de los
logaritmos, de la mano de Napier, para facilitar los cálculos necesarios para el
desarrollo del comercio, la astronomía y la navegación. El desarrollo histórico de la
construcción de las funciones logaritmo y exponencial, ha estado plagado de
discusiones y argumentos dispares, donde las nociones de número y de exponentes
fueron centrales en éstas, así como también, ha enriquecido, con importantes
aportes, la construcción y consolidación del concepto mismo de función.
Hoy sabemos que la idea que subyace en la definición de logaritmo es la relación
entre una progresión aritmética y una geométrica y que, si bien Napier construye su
74
Acercamiento a un análisis epistemológico
teoría haciendo mención explícita al trabajo de Euclides, circunstancias favorables
para la aparición de esta relación pueden ser halladas con mucha antelación. Varios
historiadores consideran que Arquímedes (287 a 212 A. C.), uno de los más grandes
sabios griegos de la antigüedad, es el primero en prestar atención a las propiedades
de los números y volcar, como curiosidad, en su libro “Arénaire” la clásica relación,
que con notación actual sería: “si se consideran números y a de rango m y n
respectivamente, se constata que el número a ocupa el rango m+n”. Por otro
lado, Arquímedes también encara problemas tales como la determinación del área de
una vuelta de espiral o la cuadratura de la parábola mediante el “método de
exahusión”. Más adelante veremos cómo estas primitivas ideas son retomadas y
ampliadas por matemáticos tales como Saint Vincent, Fermat, Newton, Leibniz
entre otros, los cuales las utilizan para desarrollar las vinculaciones entre geometría y
álgebra logrando, en particular, relacionar la cuadratura de la hipérbola con la
función logaritmo.
ma n
m n+
El dominio romano que devino posteriormente, paralizó en cierta medida los
avances científicos en esta dirección debido, entre otros factores, a la poca ductilidad
aritmética de su sistema de numeración. Es recién en los siglos XIII y XIV, mediante
el contacto comercial con los árabes a través del Mediterráneo, que se produce un
considerable avance en el estudio de las propiedades numéricas, gracias a la
introducción y paulatina incorporación de la numeración decimal de posición
manejada por este pueblo.
Así, los contactos con el Oriente bizantino sostenidos desde principios del siglo
XIV, posibilitaron a Europa contactarse con expertos en la ciencia antigua, la cual
por más de diez siglos les había sido ajena. Son los árabes los que heredan e
incorporan a la suya, la cultura griega al conquistar la parte del imperio romano
correspondiente al Oriente Medio y al Norte de África, incorporando más tarde a
75
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . sus dominios el sur de España. Durante la Edad Media los árabes fueron el pueblo
más importante en el desarrollo de ciencias como: matemática, química, astronomía
y medicina.
Redescubiertos o simplemente vueltos a estudiar los clásicos griegos y latinos
ponen en vigencia la consideración del hombre y de su capacidad de conocer. La
contribución de la filología humanista fue particularmente importante pues
proporcionó, en ediciones críticas y traducciones muy cuidadas, los textos clásicos de
la antigua ciencia, ampliando así el cuadro que durante siglos se limitó a Aristóteles.
Junto a los contenidos, variaban la calidad y la influencia de los instrumentos de
difusión de los conocimientos. La imprenta, inventada alrededor del año 1447 en
Alemania, posibilitó la creación de bibliotecas en la mayoría de las cortes europeas,
contribuyendo a la formación y elaboración de nuevas ideas. Se convirtió en el canal
más importante para la formación de una clase “culta”, pues al lado de los textos
religiosos, los clásicos originales griegos y latinos obtuvieron una mayor
disponibilidad en cantidad, precisión y manejabilidad.
Sin embargo, este resurgimiento de la cultura antigua no se limitó al estudio y
revisión de los clásicos originales, sino que la lectura de los mismos fue realizada con
una mirada cuestionadora. Según Ruiz (1993) en el siglo XIII también se superó el
estatismo de las ideas griegas en cuanto a la descripción del movimiento. Se
comienza a hacerlo en términos de espacio-tiempo. Así, la teoría de la intensidad de las
formas y la cinemática, una de sus ramas, comienzan a desarrollarse tanto en
Inglaterra priorizando la cinemática-aritmética, como en Francia con Oresme,
tendiéndose aquí hacia la geometría. Cobran importancia entonces, las discusiones
alrededor de los distintos tipos de movimientos y a su descripción matemática,
76
Acercamiento a un análisis epistemológico
prestándose así, en el siglo XIV, mayor atención a la formulación matemática y
cuantitativa de las leyes del movimiento.
Según Sierpinska (1992), la mayor contribución de esta época a tal empresa la
realiza Thomas Bradwardine quien en su Treatise on Proportion revisa, con sumo
cuidado, las consideraciones realizadas con anterioridad y atribuidas a Aristóteles
sobre la naturaleza de las fuerzas que provocan el movimiento. Por otro lado,
considera que la idea básica de Aristóteles reposa en que la velocidad es proporcional
a la fuerza que la motiva e inversamente proporcional a la resistencia. Las
dificultades implícitas en esta teoría son relativas a que:
1. Si la fuerza es igual a la resistencia, entonces no habrá movimiento pero
según la teoría el movimiento debe ocurrir.
2. Si no existe resistencia, es decir, el movimiento ocurre en el vacío, entonces la
velocidad debería ser infinita.
Aristóteles fue consciente de estas limitaciones y las salva estableciendo
explícitamente que la velocidad es cero si la fuerza es igual a la resistencia y negando
la posibilidad de que el vacío exista.
Bradwardine retomó estas ideas sobre las causas del movimiento pero
considerando que la velocidad crece aritméticamente en tanto que la razón
fuerza/resistencia lo hace geométricamente. Establece así que, si u0 es la velocidad
correspondiente a una razón particular r de la fuerza de resistencia, entonces la razón
de r2 necesariamente producirá una velocidad de 2u0 y razones de r3, r4, r5, producirán
velocidades de 3u0, 4u0, 5u0 respectivamente.
77
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Observamos que con este razonamiento está estableciendo una relación
funcional de tipo logarítmica entre la velocidad y la fuerza, esto es, y
si bien, no podemos asegurar que Napier, Huygens o Newton conocieran este
trabajo de Bradwardine, los tres lo retoman y desarrollan siglos más tarde.
( ) ( )nf x nf x=
En los siglos XV y XVI pareciera no haberse introducido a la matemática ideas
brillantes, sin embargo se perfecciona el simbolismo algebraico y se consolida la
trigonometría como una rama particular, consecuencia directa del desarrollo de la
astronomía. Por otro lado, durante el siglo XVI, se percibe un gran esfuerzo por
apartarse del yugo eclesiástico y escolástico imperante, creándose una intensa e
independiente actividad científica que se refleja en la literatura de la época. Ejemplo
de ello lo constituyen manuscritos como Summa Arithmetica (1494), de Luca Pacioli,
conteniendo los conocimientos de esos días sobre álgebra, aritmética y trigonometría
o Le triparty en la science des nombres, de Chuquet (1484), así como también la difusión
de las obras de los antiguos sabios griegos mediante buenas traducciones y
recopilaciones. Estamos en pleno Renacimiento, en el “renacer de la cultura
antigua”. Es en este siglo en el cual dos geómetras incursionan en lo que
posteriormente Napier plasmaría en su teoría de logaritmos, ellos son Chuquet en
Francia y Stifel en Alemania.
Si bien se desconoce el medio científico en el que se desarrolló Chuquet, su obra
refleja un gran rigor científico, incluso superior al del siglo siguiente. Por ejemplo, en
su trabajo con radicales y números irracionales, se encuentran exploraciones con
exponentes fraccionarios y negativos. Realiza a su vez, un estudio sistemático de los
números y de sus propiedades, que lo conduce a hablar de progresiones geométricas
y aritméticas, y a reformular el enunciado de Arquímedes, ya que considera la serie
de términos de una progresión geométrica y establece “qui multiplie lung d’iceux par lung
des autres, et qui déouste les deux ordres esquelz sont situés les deux nombres ml’tipliez, il trouve le
78
Acercamiento a un análisis epistemológico
lieu ou doit estre situé le nombre venu de la multiplicacion”, que se podría traducir como, “en
una progresión geométrica, el producto de un número de rango n por el número de
rango m da el número de rango (m+n)” (Naux, 1966).
Por otro lado, Stifel (1486, 1567) publica en 1544, en Alemania, su tratado
“Arithmetica integra”, en la cual se evade de la rutina acostumbrada en la época para el
manejo de los números negativos. Considera:
Progresión aritmética: y una 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5− − − − −
+ =
Progresión geométrica: 1 1 1 1 1, , , , , 1, 2, 4, 8, 16, 3232 16 8 4 2
* =
extendiendo así, las ideas descubiertas por Arquímedes y Chuquet. En esta época ya
se manejaba que 2 cuando se relaciona la posición de los
exponentes con la de sus potencias correspondientes. Si bien su pensamiento de
geómetra le impide dar una explicación al valor analítico de los números negativos,
Stifel muestra que
3 5 4* 8=32+ = ⇒
1 1 1* =4 8 32
( 2) ( 3) 5 − + − = − ⇒ .
Vemos así que desde la antigüedad hasta el siglo XVI se desarrollan
paulatinamente y de acuerdo a las herramientas matemáticas e inquietudes que se
poseían, ideas vinculadas estrechamente con lo que Napier, tiempo después, da en
llamar logaritmos.
Las falencias y limitaciones del sistema de numeración para la descripción de
grandes cantidades y el modo de operar con ellas, comienza a hacerse cada vez más
importante y a generar investigaciones al respecto. Asimismo, el uso de la
79
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . matemática para tratar con fenómenos de la naturaleza, como el movimiento de
cuerpos, iniciados por Aristóteles sienta las primeras bases de la idea de función
como modelizadora, aunque aun no se poseyera conciencia de este concepto.
Las ideas desarrolladas hasta ahora en torno a las que consideramos vinculadas a
los logaritmos, están fundamentalmente dentro del registro numérico y en plena
confrontación entre número y magnitud, entre aritmética y geometría. Por otro lado,
el estudio de los fenómenos de la naturaleza comienza a generar preguntas respecto
a cómo predecir el comportamiento de distintos entes, problemática que perdurará
varios siglos y en la cual los logaritmos juegan un interesante papel.
Las inquietudes y adelantos de Arquímides en el tratamiento de números de gran
magnitud no hallan demasiado eco entre sus contemporáneos, quizás por estar
adelantadas a su época y no responder a una necesidad de su sociedad. Si bien sus
ideas se siguen desarrollando, hasta confluir en las actuales reglas para operar con
potencias de igual base, no es sino hasta fines del siglo XVI y principios del XVII,
donde una imperiosa necesidad de expansión tanto comercial como política
(dominar al nuevo mundo, por tanto desarrollar técnicas de navegación) propicia la
aparición de los logaritmos. Se hace evidente entonces, que no sólo las herramientas
matemáticas son necesarias para la aparición de un nuevo objeto matemático sino
también una necesidad de índole socio-cultural a la cual responder.
Nacimiento de los logaritmos
Según Hogben (1956), la expansión comercial y las técnicas de navegación del
siglo XV exigían cálculos matemáticos de gran envergadura, lo que obligó a los
Rechenmeister (profesores de aritmética) a realizar una labor descomunal, generando
80
Acercamiento a un análisis epistemológico
la necesidad de encontrar procedimientos menos complicados y laboriosos. En
Inglaterra y Holanda, la relación entre los artesanos, el mundo científico y las
compañías comerciales fue muy estrecha. En las primeras escuelas de navegación,
matemática, astronomía y técnicas náuticas se reunían alrededor de problemas como
la determinación de distancias. Los métodos del Cálculo fueron impulsados
fuertemente por dos invenciones de gran importancia, las fracciones decimales y los
logaritmos.
La búsqueda de procedimientos nuevos, más expeditivos que los anteriores, fue
una de las preocupaciones de los estudiosos del Renacimiento, fundamentalmente de
los astrónomos. Surgen en esta época varias tabulaciones, por ejemplo, el astrónomo
italiano Magini (1555-1617) de la Universidad de Bolonia, vuelca en tablas de doble
entrada, sus cálculos de la raíz cuadrada de los números del 1 al 11000, explicando
así mismo, los recursos para extraerlas, con el fin de aportar al estudio de los
triángulos rectángulos elementos fundamentales de la geometría plana; los
matemáticos alemanes por otro lado, construyen tablas trigonométricas de gran
precisión que requieren a su vez cálculos muy laboriosos.
Según Rei (1978), la incorporación dentro de la relación entre el hombre y la
naturaleza de un conjunto de reglas lógicas y de procedimientos experimentales
condujo al método científico. Los análisis conceptuales de la lógica aristotélica y la
geometría, renovada por el Humanismo mediante las traducciones de Euclides y
Arquímedes, contribuyeron a exacerbar el rigor formal y de razonamiento en el
empleo de dibujos y cálculos.
Al comenzar esta época, aun se están explorando y delineando las posibilidades
del sistema de numeración decimal. Entre los primeros en estudiar las fracciones
decimales encontramos a Stevin, quien las explica en su libro La Disme publicado en
81
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . 1585, en donde reconoce la importancia del punto decimal. No hay aun consenso
respecto a la escritura de los números y se considera que en este sentido, el
manuscrito Rabdologiae Seu Numerationis per virgulas libri duo, publicado en 1617 por
Napier, y el uso sistemático del punto decimal en sus tablas de logaritmos,
constituyen aportes fundamentales a la adopción y estabilización de la escritura de
números que conocemos actualmente.
En Inglaterra, durante los siglos XVI y XVII, se producen los primeros intentos
de liberar a la iglesia de la autoridad del Papa, desencadenándose así luchas religiosas
que ensangrentarán a toda Europa. Comienza también la edad de oro de
Shakespeare y por tanto del teatro inglés. La prosa, la poesía y el teatro se ocupan de
entretener al público con invenciones y crónicas muy expresivas convirtiéndose en
una especie de periodismo precoz que nos permite dilucidar aspectos de la sociedad
y cultura de la época isabelina. Se capta en ellos la coexistencia y fuertes tensiones
entre maneras de pensar completamente opuestas. Encontramos defensores del
idealismo que pensaban que la existencia es de naturaleza espiritual confrontados
con quienes se adherían al materialismo, es decir, aquellos que reducían todos los
fenómenos de la naturaleza a magnitudes físicas concretas. Se percibe una
mezcolanza entre el bien y el mal, entre la exquisitez y la vulgaridad, donde el palacio
y la taberna exaltan todo lo que pueden tener en común, en una época de grandes
diferencias económicas.
A principios del siglo XVII los autores coinciden en tener sentimientos
profundamente religiosos que no les impiden cultivar intereses laicos, amar la
imaginación barroca aunque sin reducirla a la ornamentación, interesarse por la
psicología y tender al mismo tiempo hacia la lógica, cultivar tanto el gusto
aristocrático como el de tendencia popular.
82
Acercamiento a un análisis epistemológico
La obra, de fondo religioso, se sirve de conquistas científicas para explorar el
carácter de la naturaleza del hombre, como se observa en la vida diaria. Aparece en
esta época la obra de Galileo (1564-1642) pudiéndoselo considerar el creador de la
prosa científica al escribir sobre astronomía, física y matemática valiéndose de un
gran rigor lógico y con admirable lucidez y justeza de lenguaje. Mérito suyo es el
haber introducido la metodología científica en sus escritos y a través de ellos, en toda
nuestra ciencia occidental.
En el período comprendido entre fines del siglo XVI y principios del XVII, se
produjeron profundas investigaciones astronómicas realizadas entre otros, por
Tycho Brahe (1546-1601), Kepler (1571-1630), Galileo Galilei que requirieron
elaborados cálculos involucrando funciones trigonométricas. Se hizo imperativo
entonces hallar procedimientos que acortaran la labor requerida para realizarlos.
Algo que ayudó y facilitó la tarea, fue el conocimiento y uso de la identidad llamada
“prosthapheresis” la cual establece que:
2 ( ) (senAsenB cos A B cos A B= − − + )
o la atribuida al astrónomo árabe Ebn-Jounis (980-1083):
( ) (12
senAcosB sen A B sen A B = + + − )
en las cuales observamos la transformación de un producto en una suma.
Es durante esta efervescencia social que Napier comienza a trabajar en sus
logaritmos (1594) dándolos a conocer veinte años después, en 1614, al publicar su
manuscrito intitulado: Mirifici Logarithmorum Cannonis Descriptio, trabajo que contiene
una tabla de logaritmos además de las reglas para la solución de triángulos planos y
esféricos, con el uso del “canon”. Por otro lado, póstumamente en 1619, se publica
su obra Mirifici Logarithmorum Cannonis Constructio, traducida como “Construcción del
83
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . maravilloso canon de logaritmos” y en la que se presenta una explicación del método
con el que se construyó la tabla así como las propiedades de la función logarítmica.
Su libro Mirifici Logarithmorum Cannonis Descriptio, o A description of the admirable
table of logarithms, si consideramos la traducción que realizara el inglés Edward Wright
en 1616, trata exclusivamente el estudio de los logaritmos y se divide en cinco
capítulos. En el primero, “Of the Definitions”, presenta los conceptos
fundamentales de su trabajo; en tanto que en el segundo, “Of the propositions of
logarithmes”, trabaja con proporciones y cómo los logaritmos las modifican; por
ejemplo, allí aparece la propiedad: “Si los senos guardan la relación cz hzez kz= ,
entonces la diferencia de sus logaritmos es igual”. En el tercer capítulo, “Containing
the description of the Table of Logarithmes, and of the seven columns thereof” y en
treinta y un párrafos que denomina “sections”, describe las tablas; en tanto que, en el
cuarto capítulo “On the use of the Table, and of the numbers thereof” y en el quinto
“Of the most ample use of the Logarithms, and ready practise by them”, enseña a
calcular los logaritmos de números que figuran o no en ella. Realiza esto en un
conciso y claro lenguaje y en sólo cincuenta y siete páginas.
Al final de este manuscrito, aparece la tabulación de sus logaritmos en siete
columnas, presentadas de la siguiente manera:
23 + | -
Senos Logaritmos Diferencias Logaritmos Senos
0 3 907 311 9 397 354 8 569 026 828 328 9 205 049 60
1 3 909 989 9 390 504 8 560 941 829 583 9 203 912 59
...
30 3 987 491 9 207 616 8 328 403 865 823 9 170 601 30
84
Acercamiento a un análisis epistemológico
Observamos que la primera columna corresponde a los minutos de arco; la
segunda a los senos de los ángulos calculados con siete cifras significativas, pues
considera al radio del círculo trigonométrico dividido en 107 unidades secundarias; la
tercera corresponde a los logaritmos, los cuales decrecen conforme a su definición;
en la cuarta columna aparecen las diferencias, que no son otra cosa que el logaritmo
de la tangente del ángulo considerado si ésta es positiva y de la cotangente si es
negativa, pues puede utilizarse la relación log( , en tanto
que la quinta columna corresponde a los senos de los ángulos complementarios, hoy
llamados cosenos de los mismos.
) log( ) log( )tg sen cosα α= − α
La construcción de esta tabla se realiza en cuatro etapas: la primera, es el cálculo
de los puntos de referencia; la segunda, la evaluación de los logaritmos en los
mismos; la tercera, el cálculo de los logaritmos en valores intermedios y finalmente la
cuarta es la determinación de los logaritmos en números fuera de la tabla. Pese a que
las nociones de coseno y tangente están ausentes de su discurso, el logaritmo de los
mismos puede extraerse de su tabla, tal como mencionáramos anteriormente.
Tanto Napier en Escocia, como Burgüi en Suiza, inventaron los logaritmos antes
que el uso de la actual notación exponencial se hubiera consolidado en el álgebra de
la época. No utilizaron la notación exponencial ni se familiarizaron con el concepto
de exponencial, el cual juega hoy un papel fundamental en el desarrollo de la teoría
logarítmica. Además, en esta época las funciones trigonométricas no eran
consideradas estrictamente como razones, sino que el seno, por ejemplo, era la
semicuerda de un círculo, en tanto que su radio era llamado sinus totus, y al cual
Napier escoge como 107, elección que redunda directamente en la cantidad de cifras
significativas de sus cálculos.
85
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
seno
Complemento del seno α
710r = unidaSinus totu
Napier basa sus explicaciones en dos c
mecánico del movimiento de puntos; y l
aritmética y geométrica. En efecto, define
exhaustivo estudio de relaciones entre las
ideando un modelo cinético que le permiti
los valores discretos que el proceso anterio
además, que estos conceptos surgen en el
geométrico y del físico para establecer sig
más tiempo para su construcción y no surg
la conocemos hoy en día. Sin embargo,
construida con valores aislados hacia una
acercamiento a la noción de “función logari
Es así que Napier ingeniosamente re
desplazamiento de un punto que se mu
recorriendo espacios iguales en tiempos
aritmética, en correspondencia con el mov
86
des s
onsideraciones: el concepto geométrico–
as relaciones existentes entre las series
y construye sus tablas a partir de un
series geométrica y aritmética asociadas,
era “hacer continua su tabla”, utilizando
r le proporcionaba. Podemos considerar
contexto aritmético pero con auxilio del
nificados. La noción de “base” requirió
e dentro de la teoría de Napier tal como
en la necesidad de extender la tabla
continua, podemos percibir el primer
tmo”.
curre a un modelo de la mecánica, el
eve con velocidad constante, es decir,
iguales, describiendo una progresión
imiento de otro punto, el cual se mueve
Acercamiento a un análisis epistemológico
con velocidad proporcional al desplazamiento, en progresión geométrica. En efecto,
en su libro Description of the admirable table of logarithmes with the most plentiful, easie, and,
ready comienza con dos definiciones que reflejan su apoyo en la física para describir y
definir esta noción.
Así estableciendo, como definición 1, que: A line is said to increase equally, when the
poynt describing the same, goeth forward equall spaces, in equall times or moments y como
corolario o consecuencia, que: therefore by this increasing, quantities equally differing, must
needes be produced, in times equally differing comienza su explicación de la construcción de
la tabla de logaritmos haciendo referencia a puntos que se mueven describiendo
distancias iguales en tiempos necesariamente iguales, aludiendo a móviles que se
desplazan a velocidad constante situación que puede ser descrita mediante una
progresión aritmética pues se refiere a cantidades creciendo con una misma razón.
Continúa, luego de una breve explicación de tales aseveraciones, con la
definición 2: A line is said to decreace proportionally into a shorter, when the poynt describing the
same in oequall times, cutteth off parts continually of the same proportion to the lines from which
they are cut off. Establece aquí, implícitamente, una progresión geométrica decreciente
de razón constante para describir el movimiento del punto el cual en tiempos iguales
alcanza una porción del espacio recorrido en el instante anterior.
Para visualizar esta correspondencia discreta entre las progresiones geométrica y
aritmética, podemos postular que dos partículas idénticas se desplazan
simultáneamente a lo largo de dos rectas paralelas, partiendo con la misma velocidad
inicial, una de ellas mantiene su velocidad constante, en tanto que la otra va
desacelerándose en proporción a la distancia no recorrida.
87
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
y C D E F G ... ∝
A
Z a x
Sinus totus c d e f g ...
En su construcción Napier toma el segmento aZ de longitud fija 107, y una recta
paralela A∝. En t = 0, ambos puntos están en a y A, respectivamente. El punto B, se
mueve sobre la recta A∝ a velocidad constante, en tanto que el punto b lo hace
sobre aZ de modo tal que su velocidad es proporcional a la distancia bZ. Asume que
la velocidad inicial de ambos es la misma, y que la velocidad del punto b decrece
hasta cero en Z. Si a un cierto tiempo el punto b está a una distancia x de Z, y el
punto B a una distancia y de A, Napier define , estableciendo entonces que: logy = x
“The logarithme therfore of any sine is a number very neerely expressing the line,
which increased equally in the meane time, whiles the line of the whole sine decreased
proportionally into that sine, both motions being equal-timed, and the beginning equally
swift” (Napier, 1614), es decir, “el logaritmo de un seno dado es aquel número que
se incrementa aritméticamente con velocidad constante e igual que aquella con la cual el
radio empieza a decrecer geométricamente, y en el mismo tiempo en que el radio decrece
hacia el seno dado” (Cantoral et al., 1983).
88
Acercamiento a un análisis epistemológico
Si denominamos “ ”, al sinus totus, que Napier define como 10υ 7, podemos
expresar la relación entre las series geométrica y aritmética, en notación moderna,
como:
21 1 1senos: , (1 ), (1 ) , ..., (1 ) ...logaritmos: 0, 1, 2, ..., ...
nn
υ υ υ υυ υ υ− − −
en directa correspondencia con la construcción de su modelo mecánico, si se asocian
las velocidades de los puntos en cada intervalo de tiempo con los senos, lo cual
muestra la directa concatenación entre su definición discreta y su modelo continuo.
En su manuscrito define: “los logaritmos son números que corresponden a números
proporcionales y tienen iguales diferencias”, considerando que los números proporcionales
corresponden a los términos de la progresión geométrica, en tanto que los de la
progresión aritmética son aquellos que tienen iguales diferencias. La idea que subyace
es la siguiente: la expresión 1(1 )nυ υ− se obtiene de multiplicar por n aplicaciones
sucesivas de la razón
υ
1 )υ−(1 , donde n, el logaritmo, indica “el número de razones”.
Cobra así sentido que Napier adoptara la palabra griega logaritmo, que significa logos =
razón y arithmos = número, es decir, número de razones y la palabra antilogarithme
para referirse al logaritmo del complemento de los arcosenos.
Así, como en el parágrafo anterior, consideramos que si bien los logaritmos no se
habían definido como tales, varias de las ideas que hoy sabemos los sustentan ya
habían cobrado vida, ya formaban parte de la estructura matemática aunque de
manera endeble, y fundamentalmente basados en lo numérico. Con Arquímedes
aparecen las primeras ideas en torno a la magnitud de los números y su relación con
la posición que ocupan; con Stifel y Chuquet se refina la relación entre las
progresiones aritméticas y geométricas desde una perspectiva aritmética. A principio
89
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . del siglo XVII, en cambio, el devenir histórico de los logaritmos se perfila hacia ideas
físicas y modelos de descripción de movimientos que tiñen y matizan las
producciones de la época. No se abandona el marco numérico, sino que se lo amplía
con ideas provenientes de la física, acercándose más a ideas de variación que estáticas
de asignación. Napier, no intenta describir el movimiento de un cuerpo sino que crea
su propio fenómeno para definir sus logaritmos. Quizás emula a Arquímedes, quien
según Bernal (1979), utilizaba modelos mecánicos para llegar a sus resultados
matemáticos, sin prejuicio de que los descartara después en la demostración.
A principios del siglo XVII la necesidad social de facilitar las operaciones con
magnitudes grandes debido a la expansión económica y comercial, así como a la
política reflejada en la necesidad de dominar técnicas náuticas para competir por el
nuevo mundo, confluyen con ideas matemáticas idóneas para tal fin dando origen a
un nuevo ente, los logaritmos. La familiaridad con la aritmética de la mayoría de los
comerciantes y personas vinculadas con el cálculo hizo que se buscara transformar
multiplicaciones y divisiones en sumas y restas, es decir, se robustece la aritmética.
Estas necesidades hallan eco en matemáticos como Napier y Burgui, los cuales por
separado, proponen un novedoso objeto matemático que por lo cercano a las ideas
manejadas hasta entonces como por su maleabilidad encuentran rápida aceptación
por parte de los matemáticos de este siglo, quienes prontamente comienzan a
reformularlos y a adecuarlos mejor a sus múltiples necesidades.
Aportes al desarrollo del Cálculo.
Para llegar a la noción de logaritmo que conocemos hoy en día, varios fueron los
matemáticos del siglo XVII que propusieron mejoras y cambios a las ideas originales
de Napier y Bürgi las que resumimos en la siguiente tabla.
90
Acercamiento a un análisis epistemológico
ARGUMENTO
BASE
COMENTARIOS
Napier (1614)
Ángulos y sus
senos, considerando 107 como “sinus
totus”
Este concepto es inaplicable en su
propuesta
El logaritmo se anula para 107
Bürgi (1620)
Ángulos y sus
senos, considerando 108 como “sinus
totus”
Este concepto es inaplicable en su
propuesta
El logaritmo se anula para 108
Napier-Briggs
(1617)
Números naturales
Adoptan el número 10
El logaritmo se anula para 1, en tanto que el logaritmo de
10 es igual a 1
Speidell (1619)
Los calcula a partir de los de Napier
utilizando: log ( ) 1 log ( )
x Speidellx Napier
== −
Adopta el número
10
Reformula los logaritmos de Napier transformándolos en los que hoy denominamos
“logaritmos naturales”
Halley (1695) Cotes (1714)
“Numeri Rationum
Exponentes”, o logaritmos de
razones
Cualquier sistema
de logaritmos difiere por un
factor constante de aquel elegido
como patrón
Consideran que: La medida de la razón es un número constante de
veces el logaritmo patrón de esa razón
91
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
A mediados del siglo XVII existe un manifiesto interés por explorar y
determinar tangentes, puntos singulares y áreas bajo las curvas, así como el trazado
de las mismas. Varios son los matemáticos que se interesan en estos tópicos, entre
ellos, Fermat, Descartes, Saint Vincent, Newton, Leibniz, Torricelli, Huygens,
quienes en sus investigaciones y discusiones reflejan las controversias de esta época,
en la cual creatividad, reforma y ruptura se contraponen a la permanencia de
métodos e ideas antiguas. El método arquimediano, de reducción al absurdo, de
exhausión, utilizados hasta entonces, y cuyos razonamientos se basan en la
geometría, comienzan a ser confrontados con métodos de corte algebraico, y series
infinitas. En esta época, donde se estaba gestando el Cálculo, los logaritmos y
exponenciales cobran importancia, pues admiten interpretaciones geométricas y
desarrollo en series infinitas, además, se los identifica como relaciones entre números
por tanto como funciones, todo lo cual contribuye a afianzar métodos e ideas que
incentivan el desarrollo histórico del Cálculo.
En esta época, la circulación de ideas estaba confinada a ciertos personajes
alrededor de los cuales se tejían redes de comunicación, a la correspondencia y a las
reuniones que se proponían en círculos selectos. Un ejemplo de animador social lo
constituye el padre Mersenne (1558-1648) quien estuvo relacionado con todos los
científicos europeos de su época mediante una nutrida correspondencia. La
necesidad de una comunicación más estable propicia la creación de las primeras
instituciones científicas, entre ellas, la Académia de los Liceos (1603) y el Gresham
College (1548) los cuales se convierten en centros de reunión de aquellos interesados
en el progreso del conocimiento. Se inicia así un período de organización de la
actividad científica en torno a las academias de corte netamente científico,
patrocinadas por las autoridades. Aparecen entes que se dedican a validar las nuevas
teorías, es decir, a reconocerlas oficialmente, lo cual también redunda en
colaboraciones más estrechas y estables entre los científicos así como también los
92
Acercamiento a un análisis epistemológico
primeros pleitos por plagio. Se crea entonces, en Londres, la Royal Society (1662); en
París, la Académie des Sciences (1666), ambas ligadas a la monarquía y preocupadas
tanto por problemas teóricos como por la navegación y la artillería. Más tarde surgen
la Academia de Berlín (1700) y la de San Petersburgo (1724) fundada por Pedro el
Grande todas éstas con la inquietud de propiciar la expansión del conocimiento
científico.
Muy pronto las Academias Científicas pasan a ocupar el centro de la sociedad de
eruditos pues, mediante publicaciones periódicas como el Journal des Savants en
Francia, el Transactions de la Royal Society y los Acta Eruditorum de Leipzig, se crea
una red de información, intercambio de ideas y comprobación de conocimientos. Es
en el siglo XVII que el saber racional sale de las academias y las cortes reales para
difundirse en la sociedad burguesa. La ciencia que se desarrolla en esta época se
sustenta en un método esencialmente matemático, lo cual propició un gran
desarrollo de la astronomía y la mecánica en detrimento de otras ciencias, siendo las
preocupaciones principales los problemas técnicos (minería, transporte, industrias,
etc.) convirtiéndose así en parte integrante de la sociedad y adquiriendo una
continuidad y status que ya no perderá.
El desarrollo autónomo de las matemáticas que culminó con la fusión del álgebra
y la geometría en la geometría analítica de Descartes, ponía a disposición de la
ciencia física, a falta de un instrumento como el cálculo infinitesimal, que será
elaborado más tarde, alrededor de 1650, un aparato de precisión numérica y gráfica
capaz de garantizar determinaciones rigurosas de las relaciones cuantitativas entre los
fenómenos.
El sustento teórico de los logaritmos fue ampliado durante el siglo XVII gracias a
la representación gráfica en coordenadas rectangulares y polares, de una variable, lo
93
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . cual abre camino hacia su comprensión. Aparecen entonces, la curva logarítmica, la
espiral logarítmica y la llamada hipérbola, la cual es especialmente importante en la
historia de los logaritmos. Así, en 1638, Descartes presenta la espiral logarítmica en
una carta a Mersenne, describiéndola como una curva que forma ángulos iguales con
todos los radios trazados desde el origen. Descartes al igual que Torricelli, quien la
reinventa tiempo después, no la asocia con los logaritmos.
Descartes, en su Géométrie (1639), enseña a trazar curvas a partir de su
expresión y a calcular la posición de la tangente en un punto cualquiera. Uno de sus
discípulos, De Beaune, plantea el problema de definir una curva por la relación entre
coordenadas y subtangentes. La respuesta atribuida a Descartes, no es otra que la
hoy conocida como curva logarítmica, pues la construcción que realiza es la
siguiente:
Se traza un eje AX, una recta AY
formando un ángulo de 45° con éste y
la curva ABM tal que la tangente BL en
un punto cualquiera B esté definida por
la relación:
BC NCL BI= ,
donde N es un tamaño dado.
Descartes no asocia esta curva con los logaritmos, su interés se centra en
determinar “symptômes” o características de ella, encontrando que admite una
asíntota y que la subtangente es constante, característica específica de los logaritmos.
Luego, el problema se transforma en hallar la cuadratura de esta curva, en la cual la
ordenada es a la subtangente como un segmento de línea dado es a la diferencia
94
Acercamiento a un análisis epistemológico
entre la ordenada y la abscisa. La respuesta a esto, la proporciona Leibniz en 1676,
quien la traduce a la ecuación w dwa dx= , y tomando constante e igual a b, obtiene dx
aw db= w
p
, es decir, las coordenadas proporcionales a sus incrementos y tales que, si
las x’s se incrementan en progresión aritmética, las w’s lo hacen en progresión
geométrica. Por tanto las x’s son los logaritmos de las w’s.
Comienza ahora un período en el que varios matemáticos investigan sobre la
determinación de áreas bajo ciertas curva y las exploraciones acerca de la cuadratura
de la hipérbola equilátera genera varios acercamientos al no encuadrarse en los
patrones que se iban hallando para otras curvas tales como las parábolas. Ya desde el
siglo XIV con Oresme, el problema de cómo hallar el área bajo una curva había
cobrado importancia debido a que las curvas representan las magnitudes de las
velocidades en el tiempo. El área bajo una curva representaba, entonces, el cambio
total en cuanto a la posición y por tanto se torna una herramienta importante en la
física matemática que comenzaba a desarrollarse. Sin embargo, las exploraciones
respecto a la cuadratura de la hipérbola equilátera no parecen originarse en ideas
físicas sino geométricas tal como la evidencian los trabajos de Fermat y Saint
Vincent que desarrollamos continuación.
Algunas exploraciones sobre cuadratura de curvas aparecen en el Treatrise on
Quadrature, que Fermat publica en 1658. Aquí explica su método y vuelca sus
resultados respecto a la cuadratura de parábolas de la forma e hipérbolas
del tipo , con excepción de la hipérbola rectangular. En realidad, su
método es una extensión de la aplicabilidad del método arquimediano a segmentos
infinitos, en este caso, la división del eje x en un número infinito de segmentos de
longitud finita, y su sustento se halla en el método de exhausión. Su ingenio le hace
qy kx=
p qx y k=
95
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . dividir el eje x con segmentos cuyas longitudes conforman una progresión
geométrica, y determina que la cuadratura de la parábola es directamente
transferible a las curvas de la forma con p y q enteros. Tomando p como
media proporcional de la división del eje llega al resultado general que el segmento
parabólico es al rectángulo que lo contiene, como
2y k= xpqy kx=
qp q+ . Luego, generaliza para las
hipérbolas: si x y entonces el área de la porción de hipérbola desde la
ordenada es al rectángulo como
p q k=
0y 0 0x y qp−q , resultado no aplicable a la hipérbola
pues en este caso y la expresión anterior quedaría como xy k= 1p q= = 10
lo cual
carece de sentido. (Mahoney, 1973). Si bien Fermat denomina a su método
“logarítmico”, no se percibe que esté asociando sus exploraciones con los
logaritmos, desconociendo quizás el trabajo de Saint Vincent al respecto.
Según Edwars (1937), la importancia de los logaritmos en el desarrollo histórico
del cálculo radica en el descubrimiento publicado en 1647 por el jesuita Gregorie
Saint Vincent, respecto a la vinculación entre la función logaritmo natural y la
hipérbola rectangular . 1xy =
Saint Vincent, retoma de cierta manera, las proposiciones sobre cuadraturas
desarrolladas siglos antes por Arquímedes y el axioma de Eudoxio, ambas en torno a
nociones de infinito y que contribuyen interesantemente al desarrollo del cálculo,
abriendo con ello un camino para otros matemáticos como Torricelli, Newton,
Huygens, Leibniz, contemporáneos a él, con la suficiente sensibilidad y perspicacia
como para valorar los resultados de su tratado, pese a la controversia que el mismo
despierta. Saint Vincent, demuestra ser un erudito de su época, conocedor de los
métodos desarrollados hasta entonces respecto a cuadraturas y curvaturas, así como
también de la obra sobre indivisibles de Cavalieri (1598-1647), y de la de Stevin
96
Acercamiento a un análisis epistemológico
alrededor de la determinación de ejes y centros de gravedad de sólidos utilizando
ideas de límite y de reducción al absurdo propuesta por Arquímedes.
Según Le Goff (1989), la obra de Saint Vincent sienta precedentes importantes
para el posterior desarrollo del cálculo, por ejemplo, declara su intención de
sistematizar el estudio del volumen de los sólidos, preparando el terreno para la
aparición de las integrales dobles, desarrolla ideas de convergencia de series, es decir,
respecto a la posibilidad de aproximar una suma infinita tanto como se desee. Así
mismo, declara su deseo de hallar la cuadratura del segmento de hipérbola con la
puesta en relación de dos progresiones, una geométrica y otra aritmética, sin
introducir la idea de logaritmo, lo cual será el aporte de su discípulo Sarasa en 1649 al
responder las objeciones de Mersenne. Saint Vincent desarrolla estas ideas en el libro
VI, proposición 109 estableciendo que:
“si les abscisses d’une hyperbole équilatere croissent en progression
géométrique, les aires des surfaces decoupées entre l’hyperbole et son asymptote
par les lignes ordonnées correspondantes, croissent en progression arithmétique”
(Le Goff, 1989, p. 199), es decir, logra establecer que “si las paralelas
de una asíntota son trazadas entre la hipérbola y la otra asíntota, de tal forma
que las áreas sucesivas de los cuadriláteros mixtilíneos así formados sean
iguales, entonces las longitudes de tales paralelas forman una progresión
geométrica” (Cantoral et al., 1983).
Una interpretación gráfica de tal aseveración en términos actuales sería como la
mostrada en el siguiente esquema:
97
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
ka
a Asíntota horizontal
Áreas iguales
Asi
ntot
a ve
rtic
al
Efectivamente, Saint Vincent demuestra la cuadratura del círculo y de la
hipérbola en su controvertido libro “Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum
coni”, escrito en 1630 y publicado en 1647. En él aparecen varias proposiciones que
aportan ideas nuevas y originales, tales como, “si las abscisas de una hipérbola
equilátera crecen en progresión geométrica, las áreas de las superficies determinadas
por las ordenadas correspondientes crecen en progresión aritmética”. Por tanto,
muestra que las medidas de las áreas de sectores bajo la hipérbola y sus abscisas
forman un sistema logarítmico.
Le Goff (1989) presenta varios extractos del libro original (ver anexo 1) de los
cuales reproducimos un párrafo del Livre VI, pág. 586, proposition CIX y pág. 597,
proposition CXXX (relation exponentielle et inverse entre progresions des abscisses et des segments
d´hyperbole) y recreamos la demostración propuesta por Saint Vincent.
98
Acercamiento a un análisis epistemológico
Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (1647)
Proposition CIX
Liber sextus: De Hyperbola, pars quarta (pag. 586)
Soient AB, BC, les asymptotes d’une hyperbole DEF: et divisons AC,
de façon que AG, AH, AI, AK, AC soient en proportion continue
[progression géométrique], et que soient posées [les lignes] GD, EH,
LI, MK, FC, paralléles á AB.
Je dis que les segments [d´hyperbole] HD, IE, KL, CM [i-e les
quadrilatéres mixtilignes HEDG, ILEH, KMLI & CFMK] sont
egaux [en aire].
Proposition CXXX
Liber sextus: De Hyperbola, pars quarta (pag. 597)
Soient AB, BC, les asymptotes d’une hyperbole: posons des paralléles á
une asymptote [ici á AB], DH, EI, FK,GL, CM découpant des segments
[d´hyperbole] egaux HE, IF, KG, LC.
Je dis que les lignes HD, IE, KF, LG, MC sont en progression continue
[géométrique].
99
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Una interpretación actual de tal consideración puede ser representada
gráficamente como lo muestra la siguiente figura:
Interpretación de las consideraciones de Saint Vincent
Curva logarítmica
Área igual a log(a)
Área igual a log(k)
Área igual a 2log(k)
a
Progresión geométrica k
2a ka
Progresión aritmética
Vemos entonces que Saint Vincent, en estas proposiciones, pone en evidencia la
relación exponencial que liga las abscisas con las áreas de segmentos de hipérbola, de
manera directa y recíproca.
Su demostración parte de considerar un arco de hipérbola equilátera cualquiera
y segmentos OA, OB, OC, ... que conforman una progresión geométrica. Las
ordenadas trazadas perpendicularmente al eje en A, B, C, ... determinan trapecios
mixtilíneos de igual área. Resulta entonces que las áreas de EABF, EACG, EADH,...
crecen en progresión aritmética, mientras que las abscisas OA, OB, OC, ... crecen en
progresión geométrica.
xy a=
100
Acercamiento a un análisis epistemológico
La constancia de las áreas de los rectángulos
inscritos, devienen de las propiedades de la
hipérbola. Para probarlo, se considera el último
de ellos (CDHI) y a k como la razón de la
progresión geométrica descrita por las abscisas.
Luego:
CD = OD - OC = ( OC - OC) = OC( -1)
HD = OD OC
k ka a
k=
I
E
p
F
N
G
H
OA MB R C S
y el área del rectángulo es:
( 1)CD.HD = OC( 1) OCa kak ck k
−− = = te
Por tanto, si las abscisas OA, OB, OC, ... crecen en progresión geométrica, las
áreas de los rectángulos sucesivos son iguales. Si se duplica el número de segmentos
entre los extremos, tal que OA, OM, OB, OR, OC, OS, OD, ... estén en progresión
geométrica, los rectángulos generados AMPQ, MBFN, ... , dos en cada trapecio
mixtilíneo, son iguales. Si se vuelve a duplicar el número de rectángulos inscritos en
estos trapecios, tomando medias proporcionales en los segmentos anteriores, las
áreas de ambos tienden a igualarse.
Saint Vincent menciona explícitamente que se basa en el Libro III de las Conics de
Apolonius para obtener la cuadratura de la hipérbola. Establece que: Primae
propositiones libri tertii Apollonii optime hic conveniunt et par eas segmentorum aequalitas
demonstrari potest in triangulis et quadrilateris de quibus ipse agit, es decir, considera que las
ideas de Apolonio se adecuan a esta situación en la cual se desea probar la igualdad
de segmentos utilizando triángulos y cuadriláteros.
101
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Si bien Saint Vincent no asocia sus resultados con las propiedades logarítmicas,
sienta bases importantes para el desarrollo de estas nociones en el marco
geométrico-gráfico, el cual, según Confrey (2000), en el siglo XVII era considerado
como la principal representación en matemática ya que tanto la aritmética como el
álgebra eran consideradas como las formas de lenguaje escrito para la discusión de la
verdad geométrica.
Las investigaciones que realiza Torricelli sobre este tema se pueden reducir a las
dos más importantes, el trazado y estudio de la curva logarítmica y al de la espiral
logarítmica. Su estudio de las curvas es metódico y comienza con el trazado de las
mismas, continúa con el estudio de las formas y con la relación entre áreas
curvilíneas y áreas de rectángulos de referencia, llegando al importante resultado de
que la subtangente de la curva logarítmica es de longitud constante.
El trazado de la curva lo realiza a la manera antigua, inspirándose en la
definición de logaritmos. Sobre un eje traza segmentos iguales (AM=MN=NP=...) y
donde las longitudes de AM, AN, AP, ... crecen en progresión aritmética. Por los
puntos A, M, N, P, ... levanta las perpendiculares al eje AD, ME, NF, ... que
decrecen en progresión geométrica. Esta construcción respeta las relaciones
fundamentales de las progresiones que definen a los logaritmos y pueden
establecerse las relaciones:
.log 0; log ; log ..AD ME AM NF AN= = =
102
Acercamiento a un análisis epistemológico
Esta curva es un arco logarítmico de ecuación
, pero recién en el siglo XVIII se le asocia
tal expresión. Torricelli utiliza las ideas de Euclides
para explicar la relación entre coordenadas, pues
ME = kAD; NF = kME= k
logx = y
2AD; PG = kNF= k3AD;
etc. y además, AM = MN = NP = ... por tanto
.PG ..NF= = =ME NFAD ME = k
CJG
F
E
D
A M N P T B
Concluye entonces, respecto a la curva, que es cóncava, que admite una rama
infinita que se aproxima asintóticamente al eje AB, por lo que le denomina
“hemyperbola” y que su subtangente es constante.
Vemos que Torricelli se aboca a estudiar las características de una curva logarítmica
pero en realidad explora la curva que hoy conocemos como exponencial, es decir, la
función inversa de la logarítmica. Eso se debe a que los matemáticos del siglo XVII
denominaban genéricamente curva logarítmica a aquellas que relacionan progresiones
aritméticas y geométricas, sin realizar la distinción que hoy utilizamos.
Iniciada por Saint Vincent y retomada por varios matemáticos, entre ellos
Fermat y Torricelli, la exploración de la cuadratura de la hipérbola da pie al hallazgo
y formulación de nuevas características de la función logaritmo en el campo de la
geometría. Los logaritmos se despegan entonces de sus orígenes aritméticos para
hallar cabida en otros registros en los cuales encuentra significados nuevos que los
enriquecen.
Por otro lado, observamos que la gráfica de la función logaritmo no fue
producto de la tabulación de sus valores, sino tema de múltiples exploraciones. De
esta manera, tanto la gráfica como la función logaritmo en sí, fueron objeto de
103
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . variados acercamientos y reformulaciones. La ductilidad de esta función respecto a
su desarrollo en serie de potencias dio cabida a desarrollos interesantes y aportó al
afianzamiento del cálculo.
Mengoli (1626-1685) es uno de los primeros en enriquecer los conocimientos de
logaritmos desde la perspectiva de las series, pues siendo un excelente conocedor de
las posibilidades de trabajar con sumas infinitas de fracciones, se aboca a estudiar
una nueva manera de definir los logaritmos, apartándose tanto de la definición
tradicional de Napier y Brigg como de las ideas geométricas que se habían
desarrollado hasta ese momento.
Según Naux (1966), Mengoli en su obra Geomtriae speciosae elementa (1659) le
confiere al logaritmo un nuevo significado, pues establece que utilizando solamente
conocimientos aritméticos se pueden definir, mediante series de fracciones, números
que cumplan con las propiedades de los logaritmos. Enuncia entonces, un teorema
de existencia pues considera que todo número a está dotado de un logaritmo
definido por la intervención directa de la cantidad a en la formación de su valor
numérico. Construye un modelo utilizando dos elementos fundamentales, a los que
denomina, hyperlogarithme (Hyl) e hypologarithme (hyl) de la siguiente manera:
1 1 1 1... ( )
1 2 11 1 1 1
... ( )1 2 1
an n n n na
an n n na na
Hyl
hyl
α
β
= + + + ++ + −
= + + + ++ + −
Todo término de la expresión a es más grande que su correspondiente en b, con
lo cual , además, nHyl a hyl a> n1 1 1 1(n n
aHyl a hyl an na n a
−− = − = ) cantidad que tiende
a cero cuando n tiende a infinito, por tanto observa que es posible intercalar un valor
104
Acercamiento a un análisis epistemológico
numérico entre estos valores, (implícitamente está considerando la completitud de
los números reales). Entonces, y haciendo tender n a infinito,
Mengoli establece que A es el logaritmo de a, y lo define de la siguiente manera:
nHyl a A hyl a> > n
“Porro, logarithmus illa est quantitas, ad quae tendunt hyperlogarithmi, cum semper deinceps
minuuntur et ad quam tendunt hypologarithmi, cum semper deinceps augientur; omni minor
hyperlogarithmo, omni major hypologarithmo”, cuya traducción versaría, el logaritmo es
aquella cantidad, hacia la cual tienden los hiperlogaritmos disminuyendo
continuamente unos después de los otros y los hipologaritmos en aumento sin cesar
unos después de los otros. Es entonces, el más grande de los hiperlogaritmos y el
más pequeño de los hipologaritmos.
Este desarrollo de Mengoli, demuestra su conocimiento de las discusiones
contemporáneas sobre la naturaleza del continuo y sobre convergencia, y permite
asimismo establecer una analogía con el área bajo la hipérbola equilátera.
Sea OA = 4, OB = 8, AM = MN = NP = PB = 1
D
C
B P M N A O
105
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
La suma del área de los rectángulos circunscritos es, utilizando notación
moderna, la cual no era propia de Mengoli, quien expresaba sus ideas
coloquialmente, es decir, con un reducido uso de símbolos:
4 4
4 4
1 1 1 1 S 24 5 6 71 1 1 1 S 25 6 7 8
S H
S h
= + + + ⇒ =
= + + + ⇒ =
4
4
yl
yl
y según la definición de Mengoli, el área ABCD es el logaritmo de 2.
Pese a la originalidad de estas ideas, las mismas no hayan eco en la sociedad
matemática y se desvanecen con el tiempo. Sin embargo, es quizás una de las
primeras veces en donde se evidencia que el logaritmo está en función del número.
Por otro lado, Mengoli se interesa en el estudio de la fisiología, centrando su
atención en hallar una ley para describir el sonido en su obra Speculationi di musica
(1670). En este campo propone asociar un fenómeno real y uno subjetivo mediante
un modelo que utiliza logaritmos, y en el cual involucra las vibraciones del tímpano
provocadas por el movimiento del aire, idea muy progresista para su época y que se
desarrolla varios siglos después. Comienza así otra etapa en el desarrollo de los
logaritmos, en la cual éstos son usados para modelar fenómenos de la naturaleza.
Tanto Huygens como Newton utilizan los logaritmos para describir, entre otros
fenómenos naturales, la caída de los cuerpos en medio resistentes. Vuelve a aparecer
así, pero tratado con herramientas matemáticas más desarrolladas y poderosas, lo
que siglos antes Arquímedes y luego Bradwardine intentaran modelizar al abordar el
estudio de la relación entre la velocidad de los cuerpos y las fuerzas que las causan.
106
Acercamiento a un análisis epistemológico
En este sentido, cabe mencionar los aportes de Huygens a la floreciente
disciplina de la física matemática quien, entre otros fenómenos como la propagación
de ondas, estudia la caída de un cuerpo, por su propio peso, en un medio que le
ofrece cierta resistencia. Sus investigaciones lo llevan a describir el movimiento del
cuerpo mediante una curva logarítmica y a estudiar características de las mismas. Los
utiliza asimismo, para modelar fenómenos de probabilidad y combinatoria y para
expresar sus exploraciones numéricas en torno a la relación entre presión
atmosférica y altura.
En el anexo 1 reproducimos parte del original de su Discours de la cause de la
pensateur publicada en su Traité de la Lumiére en 1690. Lo interesante de estas
exploraciones recae en el uso de los logaritmos como herramientas para la
modelización de fenómenos de la naturaleza, en este caso en particular, de la caída
de un cuerpo en un medio. Establece que la resistencia del aire o agua está en
relación con el cuadrado de la velocidad que éste adquiere, pero que si se supone que
la resistencia es como la velocidad del aire, la curva espacio-tiempo que se produce
es la curva logarítmica (ABC) pues al tomar segmentos iguales (FG, GD, etc.) sobre
su asíntota (DE), los puntos sobre la curva que quedan determinados siguen una
progresión geométrica, lo cual es una de las características propia de los logaritmos.
El gráfico que presenta Huygens en su tratado es el siguiente:
AQKD
G
F
OE
R NH
B
P
L MC
107
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Es decir, al tomar FG = GD los segmentos FB, GH y DA se hallan en
progresión geométrica, en palabras de Huygens: “proporcionalmente continuas”.
Considera entonces que la velocidad de un cuerpo aumenta continuamente,
acercándose a un valor, llamado velocidad terminal, que no puede ser sobrepasado y
al que se llega cuando el peso es igualado por la resistencia del medio, momento en
el cual la aceleración se anula y por tanto la velocidad se vuelve constante.
En quince ítems explora y detalla las características de la curva logarítmica.
Establece relaciones entre espacios comprendidos entre la curva, las asíntotas y las
ordenadas con distintos segmentos, llegando a comparar el área de un espacio
infinito con la de uno finito. Utiliza ideas geométricas en algunas de sus afirmaciones
en tanto que, para otras, pareciera sustentarse en el cálculo y en resultados anteriores,
tales como la cuadratura de la hipérbola establecida por Saint Vincent.
Newton, por su parte, también explora el movimiento de los cuerpos en medios
resistentes publicando los resultados de sus investigaciones en el libro Philosophie
Naturalis Principia Mathematica (1686) considerado su obra cumbre y uno de las más
influyentes en la ciencia moderna. En sus escritos e ideas se percibe una actitud
crítica hacia la geometría universal de Descartes en boga en esos años como
representación fundamental en matemáticas, sosteniendo que el álgebra y la
aritmética son las ciencias matemáticas básicas contraponiendo a la anterior una
mecánica universal, en la cual todo fenómeno observable puede ser referido a un
conjunto de cuerpos en movimiento según reglas precisas.
Kepler, Galileo, Huygens y Newton entre otros, se esfuerzan por someter a los
fenómenos de la naturaleza a las leyes de la matemática. Un claro ejemplo de ello se
encuentra en los Principia de Newton en los cuales, utilizando su cálculo, demuestra
que basta medir con precisión para hallar un factor causal. Para él, sabiendo trazar
108
Acercamiento a un análisis epistemológico
tangentes a las curvas, o hallar las áreas comprendidas entre ellas, es posible
adentrarse con la geometría en el mundo real y medir tiempos y espacios, masas y
velocidades, hasta llegar a una ecuación fundamental.
En el Libro II de los Principia, Newton desarrolla sus ideas y resultados respecto
al movimiento de los cuerpos en medios resistentes. Utiliza a lo largo de sus
proposiciones, lemas y teoremas que la velocidad y las fuerzas de resistencia o de
gravedad se relacionan mediante progresiones geométricas y aritméticas, por
ejemplo, establece que:
Si un cuerpo es resistido en la razón de su velocidad, y se mueve por su sola inercia a través de
un medio homogéneo, y los tiempos se toman iguales, las velocidades en el comienzo de cada uno de
los tiempos están en una progresión geométrica, y los espacios descritos en cada uno de los tiempos
son como las velocidades. (Proposición II. Teorema II)
Explora así, varias situaciones en las cuales juega con tiempos, velocidades,
espacios y fuerzas considerando que los espacios están relacionados con las áreas
bajo las curvas y por ser éstas, en la mayoría de los casos, hipérbolas equiláteras se
torna indispensable el uso de las tablas de logaritmos para determinarlas. Por tanto
no desarrolla ideas respecto a los logaritmos y sus características, sino que
claramente los utiliza en sus conjeturas. Las investigaciones que realiza sobre ellos no
las plasma en este libro sino en publicaciones anteriores, entre ellas, en una carta a
Leibniz de 1676 cuyo detalle presentamos más adelante y en un escrito encontrado
bajo el título Further logarithmic calculation fechado aproximadamente en 1667 donde
presenta ideas para calcular los logaritmos con tanta precisión como se requiera.
Observamos en esta época, mediados del siglo XVII, un cambio de enfoque
respecto a los logaritmos. Su importancia va más allá de la necesidad de facilitar
109
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . cálculos, problemática que les dio origen, y la cual los rebaja a un mero tratamiento
aritmético, para encaminarse ahora, con mayor interés, hacia las problemáticas
propias del cálculo integro-diferencial, mirados bajo una óptica más analítica, para la
cual fue relevante su desarrollo en serie logrado simultánea, aunque
independientemente, por Mercator y Newton.
Mercator describe, en su obra Logarithmotechnia de 1668, un procedimiento para
hallar la cuadratura de la hipérbola mediante series. Extiende el algoritmo de la
división aritmética a la algebraica, determinando que:
2 31 1 ...1
a a aa= − + − +
+
en donde no tiene en cuenta la existencia de resto, para luego integrar esta expresión,
es decir, aplicar ideas de sumatoria hallando que, en el intervalo 0 a 0.1 la suma es
0.095310181, siendo el valor exacto de 0.1
0 1da
a+∫ el número 0.095313179.
Observamos que con este nuevo método el número de cifras decimales exactas
puede extenderse tanto como se desee. Newton, por su parte, entre 1665-1666
desarrolla una teoría completa sobre series, con la que abarca también la obtención
de los logaritmos hiperbólicos, considerando que éstos son el resultado de calcular
áreas hiperbólicas.
En un artículo recogido por Whiteside (1968) que data de 1667, intitulado:
Further logaritmic calculations Newton presenta dos proposiciones para calcular el área
bajo una curva, específicamente de áreas hiperbólicas:
110
Acercamiento a un análisis epistemológico
Prop. 1.- Supposing ab=x ^ bc=y. If ye valor of y consist of simple termes, Multiply each
terme by x, & divide it by ye number of ye dimensions of x in that terme, & ye quote shall signify ye
area acb.
Prop. 2 If any terme in ye valor of y bee a compound terme Reduce it to simple ones by
Division or Extraction of Rootes or by Vieta’s Method of Resolving Affected Equations, as you
would doe in Decimall Numbers, & yn find ye Area by Prop 1st.
A diferencia de Mercator, que trabaja con el caso particular de la hipérbola
equilátera, Newton desarrolla su método utilizando la expresión más general de una
hipérbola, es decir, aayb x
=+
que al dividir en fracciones decimales es:
33 4 ...aa aa aa aa aay x xx
b x b bb b b= = − + − +
+x
y por tanto, mediante su teoría de fluxiones para la medida de áreas determina, en
notación moderna, que:
2 2 2 2 2
2 3 42 3 4 ...
2 3 4a dx a a a ax x x xb x b b b b
= − + − ++∫
asociando a esta expresión con el área hiperbólica abc y así,
2 3 4
2 3 4
1 1 1log( ) ...2 3 4
x x x xb xb b b b
+ = − + − + si a =1
Para calcular el área, utiliza dos series que podrían denotarse de la siguiente
manera:
111
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
( )
( )
2 1
0
2
1
1,2 1
1,2
i
i n
i
i n
m n mi
m n mi
α
β
+
≤ ≤
≤ ≤
= +
=
∑
∑
es decir, calcula los términos positivos de la serie mediante a y los negativos con b.
Por ejemplo, suponiendo que ad = 0.9 y ac = 1.1 siendo ab=bc=1, la suma de las
series a y b es el área dbfc y su diferencia el área bche.
En efecto, si x =0.1=be, hoy interpretaríamos este resultado como:
( ) ( )
2 3 4
3 2
1 1 1log(1.1) log(1 0.1) 0.1 0.1 0.1 0.1 ...2 3 41 1 1 0.1 0.1 ... 0.1 0.1 ...3 2 4
0.1, 0.1,n nα β
= + = − + − +
= + + − + +
= −
4
= área bche
112
Acercamiento a un análisis epistemológico
Del mismo modo:
( ) ( )
2 3 4
3 2 4
1 1 1log(0.9) log(1 0.1) ( 0.1) ( 0.1) ( 0.1) ( 0.1) ...2 3 4
1 1 1 0.1 0.1 ... 0.1 0.1 ...3 2 4
[ 0.1, 0.1, ]n nα β
= − = − − − + − − − +
= − + + − + +
= − +
= área dbfc Newton sólo escribe sus resultados:
área bche =0,09531,01798,04324,86004,39521,23280,76509,22206,05365,30864,41991,83
área dbfc = [-]0,10536,05156,57826,30122,75009,80839,31279,83061,20372,98327,40725,43
Posteriormente establece que las líneas ad, ae etc. son respecto a las áreas bcfd,
bche etc. como los números a sus logaritmos pues las líneas ad, ae, etc. crecen en
progresión geométrica y las superficies bcfd, bche, etc. crecen en progresión aritmética.
De esta manera calcula log(0.9) y log(1.1) tomando ad = 0.9 y ac = 1.1
respectivamente y, log(0.8) y log(1.2) al considerar ad = 0.8 y ac = 1.2, esto es para
x = 0.2. Pasa luego a calcular los logaritmos de 2, 3, 10, 100, 1000, 10000, etc. pues
hace observar que:
1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 22; 0.8 0.9 0.8 0.8 0.9 0.8
1.2 1.2 1.2 1.2 2 2 40.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.8 0.8
10 2 5; 100 10 10; 11 10 1.1
× × × ×= =
× × ×
× × × ×= =
× × × ×
= × = × = ×
113
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . utilizando entonces, aunque no lo explicita, las propiedades de los logaritmos, por
ejemplo:
log 2 = log 1.2 + log 1.2 + log 1.2 – log 0.8 – log 0.9
Da varios ejemplos de cómo calcular el logaritmo de números valiéndose del
conocimiento de otros para lo cual se las ingenia para factorizar cada número
convenientemente. Logra así dar aproximaciones de los logaritmos con 57 cifras
significativas.
Newton, retoma estas ideas en una carta dirigida a Leibniz el 24 de Octubre
de 1676, donde explica algunas nociones de su método de fluxiones y discute cómo
calcular logaritmos hiperbólicos partiendo de dos expresiones:
3 5 7
2 4 6 8
1 [log(1 ) log(1 )] ...2 31[log(1 ) log(1 )] ...2 2 4
x x xx x x
x x x xx x
+ − − = + + + +
+ + − = + + + +
5 7
6 8
En particular, encuentra que para las expresiones se convierten en: 0.1x =
1 [log1.1 log 0.9]2
− y 1 [log1.1 log 0.9]2
+
cuyo cálculo utilizando series es bastante sencillo. Prosigue con obteniendo
los logaritmos de 0.8 y de 1.2 mediante sus fórmulas y utilizándolos para calcular los
logaritmos de 2 y de 10 pues considera que:
0.2x =
114
Acercamiento a un análisis epistemológico
1.2 1.2 20.8 0.9
×=
× y 2 2 2 10
0.8× ×
=
lo cual le permite extender sus cálculos a números como 11, 9 etc. pues, por
ejemplo,
log11 log(1.1 10) log1.1 log10= × = + ;
log 9 log(0.9 10) log 0.9 log10 2 log 3= × = + =
Mediante este método calcula los logaritmos de 2 y de 10 con 57 cifras decimales
exactas.
Newton y Leibniz, piezas fundamentales en el desarrollo del cálculo
infinitesimal, utilizaban las relaciones log( ) dxx
=d x y log( )dx xx
=∫ adecuando sus
nuevas ideas a los conocimientos anteriores sobre logaritmos. Ambos exploraron las
propiedades de la geometría de las hipérbolas aplicándoles sus nuevas concepciones.
Tanto Newton como Wallis, en sus estudios de las cuadraturas, identifican a la
hipérbola equilátera como no cuadrable, es decir, una curva que no se ajustaba a las
expresiones que estaban construyendo para calcular el área bajo la misma,
determinando que en este caso el área es infinita.
Según Martínez (2000), entre las anotaciones que hiciera Newton sobre el
trabajo de Wallis se encuentra la siguiente proposición:
Proposición 1.- Supongamos que , bd (perpendicular a ab) y que
la naturaleza de la línea addc es tal que el valor de “y” consiste de fracciones donde
“x” puede ser numerador o denominador pero en ambos casos la dimensión [el
ab x= y=
115
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
exponente] de “x” no puede ser diversa [es decir, que tenga dimensión
entera].
c c
d d d
d &c a
a b b
Entonces si multiplicamos cada valor de “y” por “x” y dividimos cada término
por la dimensión de “x” más una unidad, el resultado significa el área abd de la
línea addc.
Por ejemplo: Si y = 1 , y = x o y = xx o x3 o x4 ... el área abd es 11x ,
o 2
xx o 3xxx o, 3
4xx , 4
5xx ... También si ay
b= , o axy
b= o
axxyb
= ... el área abd es axyb
= o axxyb
= o 3axy
b= ...
De la misma manera, si ayxx
= o 3
ayx
= o 4
ayx
= ... entonces
(( 1 )
a ayx x
−= =
−) , o
( 2 )ayxx
=−
... es el área abd (como otros han
demostrado) también si a yx= entonces
0
0 0a ax= es el área de abd, que es un
área infinita...
(Newton, 1665, citado en Martínez, 2000, p. 30)
116
Acercamiento a un análisis epistemológico
Por otro lado, Newton propone, para hallar la cuadratura de la hipérbola, el
siguiente procedimiento:
Sea nadm una Hipérbola, & cp = 1 = pa, pq = x, qd, qe, qf, qg, & c = y
&
d
e
f
g
a
n
b
c p q
m
3
3 4
11111 2
1 3 3
1 4 6 4 ... etc
y dqxy eq
x y qfx xx y qg
x xx x
x xx x x
= =+= =
+ = =
+ + = =
+ + +
+ + + +
Sus cuadraturas son, respectivamente:
3
3 4
3 4 5
3 4 5
,,
22 ,
2 33 3
2 3 44 6 4 ,
2 3 4 55 10 10 5 ,
2 3 4 5 6
xxxx
xx xx
xx x xx
xx x x xx
xx x x x xx
+
+ +
+ + +
+ + + +
+ + + + +6
como lo muestra la siguiente tabla:
117
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
=apqd =apqe =apqf =apqg
X 1 1 1 1 1 1 1 1
2xx -1 0 1 2 3 4 6 7
33x 1 0 0 1 3 6 15 21
44x -1 0 0 0 1 4 20 35
55x 1 0 0 0 0 1 15 35
66x -1 0 0 0 0 0 6 21
77x 1 0 0 0 0 0 1 7
Los primeros términos representan la cuadratura de la Hipérbola, esto es:
3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 1xx x x x x x x x xx − + − + − + − + −
10
0
(Newton, 1665, citado en Martínez, 2000, p. 33)
Vemos entonces, que Newton encara el estudio de los logaritmos sometiéndolos
a su método de fluxiones y reconociéndolos como herramientas útiles. Desarrolla,
por tanto, una forma sencilla de calcularlos con la precisión que se desee, la cual
dependerá del error que se cometa al calcular cada término de la serie y al sumarlos.
Realiza así, un cuidadoso estudio de los logaritmos derivado quizás de su necesidad
de medir con precisión, requisito necesario para sustentar las afirmaciones de su
Principia.
Ya en los manuscritos de Leibniz de 1675, en los cuales se observa el afán de
organizar ideas aunque para su comunicación utilizara en un lenguaje de difícil
comprensión y que requiriera del trabajo de otros matemáticos como los hermanos
Bernoulli o L’Hospital para hacerlos asequibles a la mayoría, aparece la idea de que la
118
Acercamiento a un análisis epistemológico
integral del recíproco de una variable es igual al logaritmo de la misma, en términos
modernos: 1 log( )yy=∫ . Newton, por su parte, analiza las hipérbolas equiláteras
desde su óptica de las fluxiones. Sin embargo, es Bernoulli quien generaliza estas
ideas estableciendo que ( , )log ( , )( , )
dF x yx yF x y
=d F , requiriéndose varios años para
hallar la deducción geométrica de esta expresión y de su inversa, es decir, su integral.
Tanto Leibniz como su alumno Bernoulli, comienzan a explorar la vinculación
entre los exponenciales con los logaritmos, esto en una época en la cual se empezaba
a pensar en la posibilidad de expresar los exponentes como variables, es decir,
aceptar como tales a cualquier número. Estas ideas encuentran antecedentes en los
trabajos de Oresme (1328-1382), quien propone el uso de exponentes para el
tratamiento de los irracionales ya conocidos desde los griegos. Sorprende además,
con sus ideas acerca de la posibilidad de representar variaciones mediante segmentos
lo cual es un importante aporte al desarrollo de la noción de función y tratamiento
de la variación. Las consideraciones respecto al uso de los exponentes, se
profundizan con Chuquet, como estableciéramos anteriormente. A su vez, Wallis en
su libro Arithmétique des infinis (1656) avanza sobre las ideas de exponentes,
proponiendo el uso de números positivos, negativos y fraccionarios. Comienza así a
aceptarse como natural que el exponente pueda ser cualquier número, por tanto
aparece al seno del álgebra las expresiones del tipo y . xa xx
Según Confrey (2000) si bien no fue Walllis el primero en utilizar los exponentes
fraccionarios, su obra es importante pues sus métodos empíricos inspiraron a
Newton para derivar su serie binomial general, la cual a su vez fue la principal
herramienta que Euler utilizó para explorar el mundo de las funciones continuas
incluyendo las exponenciales de base natural y las logarítmicas.
119
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Si bien Descartes introduce el simbolismo moderno para potencias de números
mediante una notación que es aceptada rápidamente por matemáticos de la época,
como Wallis y Newton quienes la extienden utilizando exponentes enteros positivos,
negativos y fraccionarios, la relación entre las funciones exponencial y logarítmica no
es palpable en esta época. Al respecto, podemos considerar que “la teoría de los
exponentes que involucra valores positivos, negativos y fraccionarios es explicada y usada en el
Analyse demontrée de C. Reyneau, París 1708. La unión de los conceptos de exponencial y
logaritmo tuvo lugar hasta el siglo XVIII”. (Cantoral et al., 1983). Efectivamente, en las
reflexiones de Euler en torno del concepto de función, éstas aparecen definidas
mediante la función inversa, tema sobre el que ahondaremos en el próximo capítulo.
La controversia respecto a aplicar el concepto de logaritmo a números negativos
y complejos aparece en los siglos XVII y XVIII, época en la cual la extensión de las
propiedades conocidas para determinado conjunto de números a otro, era hecha de
manera natural. Lo endeble de las concepciones que los matemáticos de esta época
manejaban respecto a los números negativos y complejos generó controversias entre
personajes de la talla de Bernoulli y Leibniz, en torno al significado de calcular su
logaritmo, las cuales quedaron plasmadas en la correspondencia mantenida por
ambos. El trabajo de Soto (1988) rescata estas discusiones y las pone a consideración
de un grupo de profesores mediante una serie de deducciones extraídas de las
mismas. Su manuscrito es un claro ejemplo de la importancia de conocer el devenir
en objeto de saber de cierta noción pues el mismo se repite y se percibe en las
discusiones de los profesores. Vemos entonces que, rastrear la génesis de las
nociones en la historia, nos arroja luz sobre los sucesos del aula, así como también el
estudio de las producciones de los alumnos y profesores nos pueden permitir
comprender mejor su devenir histórico.
120
Acercamiento a un análisis epistemológico
Por otro lado, cabe analizar las producciones del siglo XIX, para lo cual, hemos
elegido la obra de Cauchy, por ser uno de los matemáticos cuyas ideas ingresaron en
el discurso matemático escolar con mayor fuerza y las cuales persisten hasta nuestros
días, en detrimento de otras, como las de Lagrange, que sin ser menos eruditas o
rigurosas, no lograron permanecer en el ámbito escolar.
Cauchy (1789-1857), es quizás el fundador del análisis matemático moderno
pues tanto su rigor como su concepción de la matemática lo aleja de sus
predecesores. Se reconoce en su obra la influencia de las ideas de Euler, pero a su
vez un distanciamiento de ellas hacia un enfoque más analítico que algebraico. Su
Análisis Algebraico y su Lecciones sobre cálculo diferencial (1821) son libros dirigidos a los
alumnos de escuelas orientadas a la formación de técnicos para el Estado y para la
industria. Esta última es, quizás, la primer obra de análisis y en la cual se reflejan las
ideas de su autor respecto a dar más precisión a las teorías y a aportar restricciones más útiles
a las aseveraciones demasiado extendidas (Cauchy, 1994).
Cauchy, luego de una breve introducción, estructura su Curso de Análisis en dos
partes, la primera destinada al análisis algebraico desarrollado en once capítulos; y la
segunda al cálculo infinitesimal, estructurado en veinticuatro lecciones. A su vez,
cada capítulo o lección consta de varios parágrafos en los cuales desarrolla sus ideas
de manera muy esquemática, presentando para ello, el enunciado del teorema, su
demostración, los corolarios que se pretenden de él y alguna que otra vez,
resolviendo un problema. Se considera que la aportación más significativa de Cauchy
fue su definición de continuidad, la cual estructura su obra.
Al igual que Euler, inicia su trabajo definiendo el concepto de función,
estableciendo que:
121
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
... cuando las cantidades variables están de tal modo relacionadas entre sí que,
dado el valor de una de ellas, es posible concluir los valores de todas las demás,
expresamos ordinariamente estas diversas cantidades por medio de una de ellas, la cual
toma entonces el nombre de “variable independiente”, y a las otras cantidades
expresadas por medio de la variable las llamamos funciones de esta variable...
(Cauchy, 1994, p. 77)
Da también una clasificación de las mismas dividiéndolas primero en explícitas e
implícitas, y para ejemplificar estas categorías se vale de la función logaritmo de la
siguiente manera:
En la ecuación “y” es una función implícita de x, pero si llamamos
A la base del sistema de logaritmos que se consideran, la misma función, se vuelve
explícita mediante la resolución de la ecuación dada, y queda expresada de la siguiente
forma:
( )L y x=
xy A=
(Cauchy, 1994, p. 78).
A diferencia de Euler, divide a las funciones en simples, aquellas que resultan de
una sola operación efectuada sobre la variable y compuestas a las que se deducen de
una sola variable con ayuda de varias operaciones.
Al desarrollar sus ideas sobre continuidad, en el capítulo 2, establece que tanto
xa como son funciones continuas en la vecindad de una valor finito atribuido
a la variable x, si el valor se encuentra comprendido entre cero e infinito, en tanto
que, en estos últimos tomará valores singulares, es decir, y si
la base del logaritmo es menor que la unidad y al revés si la base es mayor que uno.
( )L x
(0)L = −∞ ( )L ∞ = ∞
122
Acercamiento a un análisis epistemológico
Continúa su presentación utilizando las funciones logaritmo y exponencial para
ejemplificar distintos teoremas, hasta que en el Capítulo V, titulado Determinación de las
funciones continuas de una sola variable adecuadas para verificar ciertas condiciones y en el
primer parágrafo del mismo, Búsqueda de una función continua formada de tal manera que
dos funciones semejantes de cantidades variables, al ser añadidas o multiplicadas entre ellas, dan
como suma o producto una función semejante a la suma o producto de esas variables, plantea el
problema de determinar una función continua de x, representada por (x )ϕ tal que
verifique para todo valor posible de x una de las siguientes ecuaciones:
( ) ( ) (( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x y x yx y x yxy x yxy x y
)ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
+ = +
+ =
= +
=
donde observamos que la cuarta expresión corresponde a la propiedad de los
sistemas logarítmicos. Efectivamente, enuncia:
Problema 3. Determinar la función ( )xϕ de tal manera que permanezca continua entre
dos límites positivos cualesquiera de la variable x, y que se tenga para todos los valores positivos de
las variables x, y :
( ) ( ) (xy x y )ϕ ϕ ϕ= +
Solución: Considera que si se designa por A un número cualquiera, y por L a la
característica de los logaritmos en el sistema de base A, se tendrá, para todos los
valores positivos de las variables x, y:
, Lx Lyx A y A= =
123
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . donde vuelve a aparecer las funciones exponencial y logarítmica como inversas una
de la otra, de modo que la ecuación dada se convierte en:
( ) ( ) (Lx Ly Lx LyA Aϕ ϕ ϕ+ = + )A
)A
)
Lx
utiliza ahora la regla de producto de potencias de igual base, sin aclarar nada al
respecto, es decir, dándolo por conocido.
Establece luego que, como las cantidades variables Lx y Ly admiten cualquier valor
positivo o negativo, resulta que se tendrá, para todos los valores reales posibles de las
variables x, y
( ) ( ) (x y x yA Aϕ ϕ ϕ+ = +
de donde concluye, utilizando la resolución del primer problema referente a la primera ecuación
presentada en este apartado, lo siguiente:
1( ) ( ) (xA x A x Aϕ ϕ ϕ= =
y en consecuencia
( ) ( )LxA Aϕ ϕ=
o lo que es lo mismo:
( ) ( )x aL xϕ =
donde a y A son constantes arbitrarias.
124
Acercamiento a un análisis epistemológico
Vemos en este problema una manera particular de definir los logaritmos, más
estructural y analítica que las anteriormente presentadas, con un enfoque más
riguroso y abstracto acorde con las ideas sobre matemáticas de su autor.
En los parágrafos siguientes continúa desarrollando sus ideas y utilizando los
logaritmos para ejemplificar las mismas. Se aboca a presentar el desarrollo en serie de
varias funciones y a determinar su convergencia, sometiendo a este estudio a las
funciones exponencial y logarítmica a partir del desarrollo de la expresión (1
en donde designa una cantidad cualquiera.
)x µ+
µ
En la segunda parte de su libro, desarrolla el Cálculo infinitesimal comenzando por
enseñar a derivar distintas funciones, a trabajar con indeterminaciones y cambios de
variables, a determinar máximos y mínimos, proceso en el cual encontramos
indefectiblemente a los logaritmos y exponenciales.
A partir de la Lección XXI, comienza a trabajar con integrales definidas, y en la
lección XXII, donde presenta Fórmulas para la determinación de los valores exactos o
aproximados de las integrales definidas, aparece la expresión:
0 0
limX
x
dx Xn lx x
α= =∫
estableciendo que esta ecuación debe limitarse únicamente al caso en el que las
cantidades x0 y X estén afectadas por el mismo signo (Cauchy, 1994, p. 297).
Observamos en el discurso de Cauchy ideas más estructuralistas para cuyo
desarrollo utiliza un leguaje simbólico pulido y estricto. En su libro están ausentes
vinculaciones de los temas desarrollados con la realidad, o con otras disciplinas
125
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . como la física. Se limita al estudio de la matemática en la forma más pura y rigurosa
que los cánones de su época le permitieron.
Nos interesó presentar una visión de su trabajo e ideas pues indudablemente fue
un matemático que abrió caminos, y cuyas concepciones prevalecieron y opacaron
las de otros científicos de su época, tal como Lagrange, cuya visión del Binomio de
Newton, tan importante en el sustento de las ideas de ambos, y de las derivadas, son
sutilmente diferentes y las cuales no han sido recogidas al seno del discurso
matemático escolar, el cual se rige por concepciones de Cauchy.
Observamos en la obra de Cauchy la ausencia absoluta de gráficos y de ideas
geométricas en torno a los logaritmos cuya exploración en siglos anteriores derivó en
la vinculación de la cuadratura de la hipérbola con la función logaritmo. El rigor y
purismo matemático presentado en la misma difiere sustancialmente de los del siglo
XVII, donde era fundamental que un concepto admitiera una representación
geométrica para ser validado como saber matemático.
Hemos observado cómo los logaritmos encontraron un lugar en cada registro, se
adecuaron a la aritmética en sus orígenes facilitando cálculos laboriosos al
transformar multiplicaciones en sumas y divisiones en restas. Sobrevivieron al
cálculo integro-diferencial hallando en la cuadratura de la hipérbola equilátera otra
manera de ser representados, se adecuaron y hallaron características propias en la
geometría al poseer una subtangente constante, adquirieron el estatus euleriano de
función al admitir ser desarrollados en series de potencias. Se convirtieron en una
herramienta importante para la descripción de fenómenos físicos permaneciendo
impávidos ante el nuevo paradigma de la ciencia “moderna” y lograron ser incluidos
en la estructura matemática de hoy al soportar una definición rigurosa y abstracta
que respeta sus características esenciales.
126
Acercamiento a un análisis epistemológico
Queda como tarea, para completar la visión global sobre el desarrollo de los
logaritmos, extender este trabajo hacia las ideas del siglo XX, y profundizar en otras
imprecisiones de las que adolece el mismo. Abarcar la profusión de ideas y su
desarrollo en torno a los logaritmos es un trabajo que supera las posibilidades de la
presente investigación aunque no los intereses de la misma.
A manera de conclusión
En este capítulo hemos presentado la exploración sobre el desarrollo de los
logaritmos. Lo hemos hecho de manera cronológica, sin expresar mayormente
nuestras opiniones, sólo a título informativo intentando evidenciar su evolución y
prestando atención a los hitos que consideramos más relevantes. Cabe ahora
reflexionar sobre estos datos, los cuales, si bien distan de ser exhaustivos, nos
proporcionan una idea bastante general del devenir de los logaritmos en saber
aceptado e incorporado a la estructura matemática.
Se permea de lo expuesto que los logaritmos fueron aceptados rápidamente por
la comunidad de eruditos, fueron acogidos y desarrollados por varios de ellos,
sometidos a nuevos métodos de análisis, a nuevas formulaciones, y su ductilidad les
permitió, quizás, llegar a nuestros días con un status importante dentro de la
estructura de conocimientos matemáticos.
Coincidimos con la visión actual que el conocimiento se construye, alejándonos
así de las ideas platónicas respecto a que un concepto se debe redescubrir pues ya
existe en el mundo de las ideas. Creemos en la riqueza de las exploraciones del
hombre en busca del conocimiento, de dar explicaciones a su entorno, a sus
127
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . inquietudes por dominar la información proveniente de la naturaleza, de su
interacción con ella y con sus semejantes. Admitimos su capacidad de generar
preguntas y de darles respuesta dentro de un paradigma particular, y de reformularlas
y mudarlas a otros, producto de la evolución continua, que quizás llegan a escindir a
las nociones de sus orígenes pero que las enriquecen y las robustecen, o quizás las
obligan a caer en el desuso o en el olvido, cuando esta transformación no es del todo
feliz o por no haber podido resistir los embates de las nuevas ideas y métodos de
análisis.
Coincidimos con Bachelard en cuanto que la ciencia, y para nosotros también la
matemática, no es un cúmulo de ideas que va aumentando su volumen con los
nuevos descubrimientos, sino que va reestructurándose, mutando, madurando,
sobreviviendo a rupturas y crisis que la fortalecen. Es decir, rastrear la evolución de
un concepto, dista de ser sólo la presentación cronológica de la misma, la cual no
deja de ser parcial, producto de las interpretaciones de historiadores, de la
posibilidad de que los originales no se pierdan o se destruyan por ideologías
contrarias o por accidente, donde se dé cuenta de su evolución hacia ideas más
abstractas, más distantes de las preguntas o necesidades que les dieron origen.
Enriquece la mirada observar el medio en el que se constituyó, su campo de validez,
sus reglas de uso, sus extensiones hacia otros campos, los aportes de sus usuarios. Se
debe intentar percibir etapas, en las que confluyan ideas y en donde los niveles de
reflexión muestren cierta coherencia interna, donde las deducciones y métodos sean
compatibles con la ideología y paradigma imperante en la misma, siendo sensibles a
los quiebres y rupturas que permiten evolucionar hacia otros períodos de equilibrio,
responder a otros cuestionamientos, adaptarse a otros paradigmas.
Así, consideramos que un objeto matemático se construye por abstracción y
reflexión, es decir, actuando sobre su naturaleza. Un concepto se crea, por tanto pasa
128
Acercamiento a un análisis epistemológico
por distintos estadios surgiendo como respuesta a una pregunta formulada dentro de
un contexto socio-cultural que le confiere razón de ser.
En el recorrido que efectuáramos por la historia de los logaritmos, hemos
intentado abarcar la mayoría, sino todas, las etapas y formulaciones a las que
estuvieron sujetos rastreando su presencia en la cultura, de la mano de varios
historiadores y de algunas obras originales. Partimos entonces, de la idea que toda
noción, en un primer momento, es utilizada sin ser explicitada, definida, sin tener
consciencia de ella. En el caso de función, correspondería al momento en el cual los
antiguos establecieron relaciones entre cantidades, las tabularon identificando
correspondencias, las manipularon sin poseer en realidad un pensamiento funcional
como lo concebimos hoy en día. Si pensamos en los logaritmos en particular, esta
etapa de acción por utilizar la terminología de la Teoría de Situaciones Didácticas y
establecer una analogía con sus ideas y el desarrollo de los conocimientos
matemáticos producidos por la humanidad, correspondería a la etapa que precede la
definición formal de Napier.
Consideramos que las ideas relacionadas con los logaritmos, tales como
manipular grandes números, facilitar cálculos, establecer correspondencias entre
progresiones numéricas, existen desde la antigüedad. Como mencionáramos, ya
Arquímedes sienta precedentes a la ley de los exponentes en su intento por extender
el rango de los números conocidos y hacer cálculos que superaban las posibilidades
del sistema numérico utilizado en sus días, en tanto que los esfuerzos de Stifel y
Chuquet por conferir sentido a la correspondencia entre las progresiones aritméticas
y geométricas, se constituyen en un primer intento de extender los exponentes a
todo número conocido y no limitarse a los naturales. Percibimos, también, las ideas
de Napier en las relaciones utilizadas por los astrónomos del siglo XVII como Tycho
Brahe y Kepler entre otros, los cuales utilizan la expresión denominada prosthapheresis
129
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . la que establece una correspondencia entre un producto y una suma de relaciones
trigonométricas, persiguiendo sólo facilitar los cálculos con números provenientes de
especulaciones astronómicas.
Podemos llamar entonces, a esta primera etapa donde nociones subyacentes a los
logaritmos comienzan a tener fuerza y a preparar el camino para la génesis de los
mismos, etapa de exploración algorítmica, esto en el sentido de búsqueda de algoritmos
que facilitasen el cálculo de cantidades, las cuales se habían vuelto inmanejables y
demandaban laboriosas operaciones. Es una época donde prolifera la construcción
de tablas como medios de registrar las operaciones ya conocidas, es decir, como
medios de ahorrar tiempo en tediosos cálculos tales como raíces cuadradas o
cúbicas, o en la evaluación de funciones trigonométricas; en la cual germina la idea
de utilizar transformaciones entre reales, estableciendo una correspondencia entre
operaciones, esto es, convirtiendo productos en sumas.
Distinguimos así, en el discurso matemático de la primera etapa, dos ideas que
más tarde confluyen en la definición de los logaritmos: por una lado, la relación entre
las progresiones aritmética y geométrica que se constituye en el eje central de la
misma, y por otro, el pasaje de una multiplicación, división o potencia, a una suma,
resta o multiplicación sencilla respectivamente, lo cual le confiere su razón de ser.
Bajo este contexto e inquietudes, en 1614, formalmente se publican las ideas de
Napier plasmadas en sus tablas y dándose a conocer, también, el método para
construirlas. Comienza así una etapa de tabulaciones y trasfondo numérico en la
utilización de los logaritmos. Su potencia como herramienta facilitadora de
operaciones los hace objeto de múltiples exploraciones y reformulaciones. Pese a la
continuidad de la tabla realizada por Napier, no se percibe un pensamiento funcional
en torno a los logaritmos. Es una etapa que podemos considerar numérica utilitaria,
130
Acercamiento a un análisis epistemológico
pues predomina su uso como herramienta de cálculo. Sus ideas, en un principio
limitadas a funciones trigonométricas y resolución de triángulos, se extienden a los
números naturales para luego asociarlos a distintas bases y por ende a la generación
de diferentes sistemas logarítmicos relacionados entre sí mediante constantes.
A nuestro parecer, las relaciones entre series aritméticas y geométricas se
convierten en el eje central del desarrollo de los logaritmos y nos permiten distinguir
a ésta como la primera etapa en la que miraremos a los logaritmos como
transformaciones numéricas.
Vemos que las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas se
encuentran presentes en las variadas exploraciones de los logaritmos en distintos
contextos y registros. Son el nudo de la definición de los logaritmos dada por Napier
a principios del siglo XVII; son las que permiten determinar la cuadratura de la
hipérbola lograda por Saint Vincet y su discípulo Sarrasa; las que posibilitaron la
descripción de fenómenos físicos tales como la caída de cuerpos en medios
resistentes realizadas por Newton y Huygens; las que evidenciaron que el desarrollo
en serie, utilizando el método de las fluxiones para la cuadratura de la hipérbola,
determinan una curva logarítmica; son también las que permiten reconocer la gráfica
de una curva como logarítmica; entre otras construcciones.
A este período de búsqueda y exploración de nuevos registros y simbología lo
plasmaremos pensando a los logaritmos como modelizadores, pues en esta etapa se los
utiliza tanto para describir fenómenos físicos como para unificar la estructura
matemática. Es una etapa en donde se abstraen características y propiedades, donde
se los identifica y por tanto define, donde se los manipula y consolida, donde se los
dota de un lenguaje y simbología particular.
131
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
En esta etapa la representación gráfica cobra importancia en las exploraciones del
siglo XVII dentro del cálculo. Se le confiere en este momento un enfoque más
geométrico, asociándolos a aquella curva de subtangente constante. No existe una
distinción clara entre las funciones exponenciales y logarítmicas, las cuales
genéricamente eran tratadas como “logarítmicas” o “logísticas”. Podríamos
considerar a esta etapa como gráfica-geométrica en la cual comienzan a explorarse las
cuadraturas de varias funciones, entre ellas la hipérbola, y a asociarse expresiones
analíticas con curvas. Cabe mencionar que la gráfica de la curva logarítmica o de la
espiral logarítmica no surge como la representación gráfica de los valores tabulados,
idea muy difundida en el discurso matemático escolar de nuestros días, sino como
respuesta a diferentes problemas y preguntas ligadas a la construcción y desarrollo de
un universo de formas gráficas, producto quizás de la inquietud por explorar las
ideas cartesianas de representación.
Las ideas de continuidad, de infinito, de asociación de áreas con segmentos, y de
cálculo de áreas, entre otras, nos llevan a considerar como siguiente etapa, la del
desarrollo en serie de potencias. En efecto, la relación entre la cuadratura de la
hipérbola y los logaritmos, mediante la identificación de propiedades inherentes a
estos últimos, en cuanto a la percepción de que, formando con las abscisas una
progresión geométrica, las áreas bajo una hipérbola, determinadas por las ordenadas
correspondientes, son iguales pone en evidencia la correspondencia con un sistema
logarítmico. Estas ideas se extienden y se logra asociar un número con su logaritmo,
esto es, se hace explícita la funcionalidad del logaritmo.
Hablamos entonces de una etapa de analiticidad pues se logra su formulación en
serie de potencias lo cual lo hace susceptible al análisis. Comienza a gestarse y
evidenciarse su status de función dentro del aparato matemático del siglo XVII.
132
Acercamiento a un análisis epistemológico
Con Euler quizás se inaugura una nueva etapa, en la cual se vincula claramente a
los logaritmos con la función exponencial, pese a que encontramos estas ideas en las
exploraciones de Leibniz y Bernoulli acerca de exponenciales. Se los instituye como
funciones inversas una de la otra y se los relaciona con el modelaje de fenómenos de
la naturaleza. Ambas funciones se erigen como fundamentales en el desarrollo de
nuevos entes matemáticos, como las ecuaciones diferenciales, las funciones
multivaluadas, las exploraciones de números complejos, entre otras. Podríamos
considerar a esta etapa como de simbolización en la cual se estabiliza el aparato
algorítmico-simbólico que permite trabajar de manera analítica, es decir, racional y
científica, gran variedad de problemas, la mayoría de ellos vinculados con la física y
la economía. Es una etapa en la cual se construyen maneras más económicas de
calcular los logaritmos y de construir las tablas, donde se las incorpora al campo
legítimo de las funciones analíticas, es decir, de aquellas que son plausibles de
expresarse con series de potencias. Adquiere entonces cierto status dentro de una
teoría, es aceptado por la comunidad erudita, se justifica su existencia, se los valida
socialmente.
Consideramos entonces, que la mayoría de las exploraciones del siglo XVII,
quizás el más prolífico en ideas y formulaciones en torno a las funciones logaritmo y
exponencial, giran alrededor de las relaciones entre las progresiones aritméticas y
geométricas, en tanto que la fuerza de la misma para conjeturar y determinar
relaciones de tipo logarítmico pierde vigencia en siglos posteriores, opacada por
otras ideas más acordes al regreso a la rigurosidad y purismo matemático que logra
su esplendor en el siglo XIX con Cauchy habiendo comenzado en el siglo XVIII con
Euler y su búsqueda de algebrizar los conceptos y de determinar la analiticidad de los
entes que se estaban desarrollando y utilizando. Se escinde así definitivamente a los
logaritmos de su origen como relaciones entre estas progresiones, se prioriza su
definición formal bajo dos aspectos, uno algebraico que relaciona la potencia de un
133
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . número con su logaritmo, y aquel que los presenta como la función inversa de la
exponencial, los cuales se mantienen hasta hoy en el discurso escolar provocándole
una falta de sentido y significación a esta poderosa herramienta del cálculo.
Ingresamos por último en una etapa de rigurosidad, de formalismo, en la cual se los
instituye como la antiderivada del recíproco de una función, así como también como
aquella función tal que , es decir, se los define desde un
enfoque analítico y estructural. Una época en la que se los escinde de sus orígenes
aritméticos, de las necesidades a las que dieron respuesta. Se los incorpora de manera
definitiva a la estructura matemática, aunque quizás en algunos momentos opacados
por las exponenciales, las cuales juegan un papel relevante en la descripción de
variados problemas vinculados con la realidad, así como también dentro del
abstracto aparato matemático para darle coherencia. Distinguimos a este período
como aquel en el que los logaritmos se incorporan definitivamente en el aparato
matemático, volviéndose un objeto matemático formalmente definido con un
espacio propio en la teoría matemática.
( ) ( ) (f xy f x f y= + )
Consideramos importante remarcar que en el desarrollo de las nociones
logaritmo y exponencial juega un importante papel, desde sus albores, la
comunicación de ideas y el prolífico intercambio académico propiciado por la
aparición de publicaciones como el Acta Eruditorum en Alemania, le Journal des Savants
en París, así como las memorias de las distintas casas de estudio que comienzan a
circular, tales como, la Académies des Sciences de Paris, de Berlin, de Saint-Petersbourg y de
Bologne. La confrontación de ideas, ya sea mediante su publicación o la comunicación
epistolar entre colegas muy desarrollada en esta época, confiere un marco social
especial al desarrollo de las mismas. Si bien no se inhiben los trabajos simultáneos,
ocultos hasta su publicación pulida y libre de “tachaduras”, ni se puede pensar en
trabajos cooperativos entre los eruditos de las distintas épocas, sí se propicia el
134
Acercamiento a un análisis epistemológico
rápido conocimiento de los trabajos, las preguntas que intentan responder, los
consensos respecto a simbología y definiciones. Es ésta, una etapa donde el
virtuosismo matemático comienza a ser difundido mediante aparatos simbólicos
cada vez más robustos.
Hemos dado así, un recorrido por el desarrollo de la noción logaritmo,
estableciendo distintas categorías valiéndonos de una reformulación de las ideas que
Brousseau estableciera en su teoría de las situaciones didácticas, mediante una
analogía que resulta interesante para observar los hechos desde una óptica, que si
bien fue desarrollada para explicar los fenómenos que acontecen en el proceso de
enseñanza-aprendizaje en el ámbito de la educación primaria, consideramos
adaptable para explicar los eventos culturales, es decir, al aprendizaje de la
humanidad.
En síntesis, bajo nuestra particular óptica hemos distinguido seis etapas en el
desarrollo de la noción de función logaritmo, a saber, la de exploración algorítmica, la
numérica utilitaria, la gráfico-geométrica, la de analiticidad, la de simbolización y la de
formalismo, en cada una de las cuales se responde a distintos cuestionamientos, se
utilizan diferentes herramientas, se incorporan nuevos elementos. A su vez, al
analizar estas etapas con un referente más global y desde una perspectiva más
general, establecimos tres momentos relevantes en el devenir de los logaritmos en un
objeto matemático validado social y culturalmente para ser incorporado en el
discurso matemático escolar. Percibimos así, un primer momento de los logaritmos
como transformaciones numéricas, con el cual enmarcamos las dos primeras etapas: la de
exploración algorítmica y la numérica utilitaria; un segundo momento de los logaritmos como
modelizadores donde incluimos las etapas: gráfica-numérica y de analiticidad; y por último
un tercer momento, los logaritmos como objetos teóricos, en el cual englobamos las dos
últimas etapas: la de simbolización y la de formalismo.
135
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .
Concluimos entonces, que los objetos matemáticos aparecen en tanto se actúe
sobre ellos, son una construcción sociocultural, por cuanto nacen al seno de una
comunidad específica, respondiendo a cuestionamientos particulares pero que se van
abstrayendo y escindiendo de sus orígenes para devenir en objetos universales,
despersonalizados y atemporales. Las discusiones, las confrontaciones, la
comunicación de los mismos hace que evolucionen, que adquieran status en una
estructura teórica en tanto sean aceptados y exista un consenso. Los logaritmos,
como toda producción humana, no está libre de estas consideraciones y creemos que
una pequeña muestra de ello ha sido presentada en este capítulo.
136
Capítulo 4
Acercamiento a un análisis didáctico
Como estableciéramos en el primer capítulo, la importancia que se le ha
conferido a la noción de función en la matemática actual, se ve reflejada en su
presencia dentro de la currícula, tanto de nivel medio superior como superior. En el
mismo analizamos numerosas investigaciones realizadas respecto a la enseñanza de
este concepto y a las dificultades que su apropiación, por parte de los alumnos, trae
aparejado. Pusimos en evidencia a su vez, la tendencia que se percibe hacia una
enseñanza centrada en el marco algebraico, que prioriza lo algorítmico y subvalora
otros registros; las consecuencias que esto acarrea; así como también su génesis y las
concepciones que desarrollan los estudiantes y profesores en su interacción con este
concepto, en los distintos acercamientos desarrollados en los últimos años.
A lo largo de nuestro trabajo, hemos analizado los problemas que surgen al
enfrentar el desafío de enseñar el concepto “función”, así como también los perfiles
de investigaciones aun en ciernes, que dan cabida a temas como al que nos
abocamos ahora y el cual se constituye en el centro de nuestro interés, esto es,
estudiar en particular, las funciones exponencial y logarítmica. Para ello, se requiere
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
indagar sobre cómo viven estos conceptos en el seno de la escuela, es decir, rastrear
su inclusión en la currícula y en los libros de texto. Es este trabajo, nos centraremos
sólo en los sistemas educativos de México y Argentina por considerar imprescindible
conocer a profundidad “nuestro” medio educativo para poder, a la larga, impactar
sobre él.
Asimismo consideramos que todo objeto de conocimiento que ingresa a la
escuela con un status de “saber a enseñar” trae aparejado una intencionalidad
didáctica, una reflexión sobre los fines que tal incorporación conlleva, así como
también, su incorporación al discurso matemático escolar y por tanto una
delimitación del saber producto de los tiempos institucionales, intereses sociales y
pautas culturales que imperan en esta microsociedad que representa la escuela en el
momento que tal incorporación se produce.
Chevallard (1991) nos habla, en su Teoría de Transposición Didáctica, de los
requisitos que comporta la incorporación al discurso escolar de un cierto
conocimiento, es decir, su preparación didáctica que este investigador ha dado en
llamar: la puesta en texto de saber. Menciona en primer lugar la desincretización del saber,
concepto ligado a la descontextualización del conocimiento, es decir, la desvinculación
con sus prácticas de referencia, con las preguntas que lo originaron, con el paradigma
que lo vio nacer, con la problemática que le otorgó su “sentido” completo y genuino.
Se produce así una división de la estructura teórica en campos de saber delimitados
que dan lugar a prácticas de aprendizaje especializadas. Se establece también, una
diferenciación entre los objetos que explícitamente conforman el discurso
matemático escolar, denominados por Chevallard nociones matemáticas y paramatemáticas
y aquellos saberes que siendo parte de las prácticas de enseñanza-aprendizaje
permanecen en el submundo de los implícitos pero que no son prescindibles para la
construcción del texto escolar, llamadas las nociones protomatemáticas.
138
Acercamiento a un análisis didáctico
En segundo lugar, se aboca a establecer la importancia de la despersonalización del
saber en cuanto a distanciamiento entre el saber y la persona para permitir una mejor
comunicación y entendimiento del mismo por parte de la comunidad destinataria.
En tercer lugar, menciona la programabilidad de la adquisición del saber refiriéndose
en este ítem a una secuenciación razonada de los saberes, la cual permita la
adquisición progresiva de los conocimientos puestos en juego. Involucra la
historicidad de los saberes escolares, esto es, la ordenación y encadenamiento de los
conocimientos, la posibilidad de distinguir un principio y un fin en la exposición de
los saberes, que evidentemente lo distancian de la verdadera génesis del mismo,
donde tal transparencia y secuenciación no es posible, al igual que lo diferencian del
proceso seguido para su aprendizaje.
En cuarto lugar, considera la publicidad del saber, preocupándose ahora por la
transmisión del conocimiento, por su comunicación, por la definición del saber a
transmitir tanto en extensión como en comprensión. Muy ligado a este ítem,
menciona en quinto lugar, el control social de los aprendizajes en virtud del paradigma
que, encontrándose en vigencia, rige las concepciones sobre “saber”, aprendizaje y
procedimientos de verificación que certifiquen los conocimientos.
Como surge de nuestra indagación epistemológica sobre la función logaritmo,
este concepto ha sido importante y reconocido como digno de ser transmitido y
conservado dentro del discurso matemático escolar desde sus orígenes. Su
permanencia en la currícula pese a la masiva incorporación de tecnología (dígase
calculadoras científicas y software matemáticos para computadoras personales) y el
impacto que esto trajo aparejado en tanto cambio de sentido, nos coloca en situación
de analizar y reestructurar el enfoque dado a esta noción, sin que por ello haya
perdido vigencia y pertinencia.
139
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Nos interesa ahora, observar grosso modo, la presencia de la función logarítmica
en sí y de ciertas nociones que consideramos ligadas y necesarias para su desarrollo y
comprensión en los planes de estudio de los niveles medio, medio superior y
superior. Así mismo, nos parece interesante incorporar la información recolectada
por Camacho (2000) respecto a la currícula que en el siglo XIX regía la formación de
los alumnos para luego abocarnos al análisis del discurso escolar reflejado en los
libros de texto, tanto en el de L’Hospital (1697) y Agnesi (1748), por ser unos de los
primeros libros de difusión de saberes, como en los de Euler, Vallejo, Lacroix y
Cauchy, representantes de los siglos XVIII y XIX, así como también en los manuales
actuales, con el afán de percibir enfoques y tratamientos del tema, lejos de ser
nuestro espíritu de confrontación, sino de recolección de información útil para la
formulación de nuestras hipótesis que darán sustento a un posterior diseño,
conscientes que los saberes responden a un contexto, a una cultura y momento
histórico específicos y por tanto, el sentido que se les confiere depende de la visión
imperante en la época.
Efectivamente, nuestra mirada a los textos escolares de distintas épocas y la
lectura que de ellos presentamos está empapada de las ideas que desarrolláramos en
el capítulo anterior dedicado a la componente epistemológica de nuestro análisis
preliminar. En él distinguimos tres etapas en la evolución del concepto de función
logarítmica, estableciendo un paralelismo con las ideas de Brousseau en cuanto a las
etapas de una situación didáctica. Consideramos que esas ideas se refuerzan con el
análisis que desarrollamos en este capítulo, en el cual, a diferencia del anterior donde
nuestra mirada se centró en libros “eruditos”, intentamos dar una visión de la puesta
de ese conocimiento en textos de saber.
Según Kuhn (1986), los científicos nunca aprenden conceptos, leyes ni teorías en
abstracto o por sí mismos sino que las encuentran en una unidad histórica y
140
Acercamiento a un análisis didáctico
pedagógicamente anterior, que las presenta con sus aplicaciones y a través de ellas.
Es decir, encuentran estas herramientas intelectuales en los libros de textos de donde
se nutrirán y formarán como científicos, tesis sostenida y profundizada por
Castañeda (2000), en cuyo trabajo encontramos pistas de la devolución hacia la
sociedad producida por los textos destinados a la enseñanza. Es doble entonces,
nuestro interés en observar el pasaje del saber erudito a los libros de texto utilizados
para su difusión, ya que por un lado, deseamos distinguir en ellos los paradigmas a
los que respondieron y la forma de comunicarlos y por otro, la influencia que, en los
nuevos eruditos, ellos poseyeron.
En nuestra exploración de los libros pensados desde la didáctica y para la
comunicación de saberes, vemos reflejada claramente la importancia de los
argumentos geométricos en los textos del siglo XVII, coincidiendo con las
concepciones de la época respecto a que la geometría era el lenguaje matemático por
excelencia, reconocido por la comunidad. Además, distinguimos en ellos los
argumentos desarrollados en la etapa que llamáramos los logaritmos como modelizadores,
en la cual este concepto estaba fuertemente ligado a la relación entre una progresión
aritmética y una geométrica, argumento que era esgrimido a la hora de analizar
curvas en el plano, fenómenos naturales, cuadraturas, etc. elemento que está
absolutamente fuera del discurso matemático escolar de nuestros días.
Distinguimos asimismo, las características propias de la tercera etapa, que
llamáramos los logaritmos como objeto teórico, en la cual claramente las ideas eulerianas y
la importancia del lenguaje algebraico comienzan a perfilarse y desplazar a la
geometría, afianzándose así ideas que perduran hasta nuestros días ya que los libros
de álgebra que tratan la noción de logaritmo, prácticamente reproducen el discurso
de Euler, en tanto que los libros de cálculo sustentan su presentación en la idea de
función inversa, la cual aparece tratada en los escritos del mismo autor.
141
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Las ideas de Cauchy, y su rigor y purismo, también se perciben e invaden el
tratamiento de estos temas en los libros de textos actuales, en los cuales los
logaritmos aparecen escindidos de las nociones que los generaron y de los
argumentos que tanto empuje y significaciones diferentes, y en distintos registros, les
confirieron. Por otra parte, pese a que en la currícula se propone el tratamiento de
varias de las nociones que podría dotar de mayor significado y sentido a los
logaritmos, las mismas aparecen desperdigadas, siguiendo un orden lógico de
complejidad creciente, pero sin nexo explícito entre ellas, dando indicios de la
compartamentalización y atomización de los conceptos tan presentes en el discurso
escolar.
Presencia de los logaritmos en la currícula mexicana del siglo XIX
Encontramos, en el trabajo de Camacho (2000) sobre la transculturación de
saberes, que la noción de función logarítmica formaba parte de los planes de estudio
en 1854, del Colegio San Ildefonso, dentro de los programas de las materias
aritmética y álgebra, incorporando, en el primer caso, las progresiones aritméticas y
geométricas y en el segundo los logaritmos en sí. El Compendio de matemáticas de J.
Vallejo, Los Elements d’Algebre de Lacroix y el Álgebre de Bourdon, eran los libros de
texto que se utilizaban en esta época.
Según Camacho, la evolución académica durante la regencia del imperio, se
manifiesta por la incorporación de varias asignaturas de neto corte enciclopedista
que rebasan al concepto de filosofía escolástica. En el plan de 1855 para la carrera de
Filosofía, encontramos el tema logaritmo entre los incorporados a la enseñanza de la
trigonometría. A criterio de este investigador, el currículum tuvo coherencia en
142
Acercamiento a un análisis didáctico
cuanto a los objetivos planteados durante esta época, no siendo fragmentado sino
percibiéndose una conexión fluida entre los temas matemáticos que permiten ir de
los conocimientos aritméticos y geométricos mínimos, pasando por el álgebra y la
trigonometría en sus diversas versiones, a los levantamientos topográficos de la
superficie de terrenos y a su diseño en planta.
Entre 1855 y 1866, la carrera de Filosofía tuvo un claro lineamiento hacia un
objetivo técnico, en tanto que con el advenimiento del positivismo y su visión de la
ciencia, el currículum tuvo un giro importante. Así, en 1867, con la creación de la
Escuela Nacional Preparatoria Barreda, y la reestructuración de los planes de
estudios desaparece, entre otros temas, el uso explícito de logaritmos en
trigonometría, apareciendo en cambio, materias como la mecánica racional en torno
a la cual gira la enseñanza de la matemática. Según Vallejo, se llama Mecánica a la
ciencia del movimiento y equilibrio de los cuerpos... La mecánica considerada solo teóricamente, se
caracteriza con el nombre de Mecánica racional, y tiene por objeto el determinar en general todas las
leyes del equilibrio y movimiento de los cuerpos... (Vallejo, 1849, p. 157, art. 255).1
Como sabemos, la currícula intenta responder a las necesidades de una
sociedad al preparar a sus estudiantes para insertarse en la misma, por tanto se la
somete a constantes reestructuraciones y cuestionamientos, se la adecua al paradigma
imperante en cada época. Si miramos en los planes de estudios actuales, la presencia
de los logaritmos da cuenta de la vigencia de este tema en el discurso matemático
escolar de nuestros días, apareciendo tanto en los programas de bachillerato como
universitarios, encontrándose también, en los últimos años de la enseñanza
secundaria, nociones generales de las progresiones aritmética y geométrica, temas
que profundizaremos en el siguiente parágrafo.
1 En la transcripción del original de Vallejo, se ha respetado estrictamente su estilo y ortografía.
143
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Presencia de los logaritmos en el currículum actual
Como ya estableciéramos, para desarrollar este tema, nos abocaremos a analizar
los planes de estudio de los tres niveles educativos que consideramos incluyen este
tema entre sus tópicos, a saber, los niveles medio (secundario), medio superior
(bachillerato) y superior (universitario).
Pretendemos entonces, identificar la inclusión de las nociones de logaritmo y de
exponencial, íntimamente vinculadas desde sus albores, en los programas
académicos con el fin de analizar su exposición progresiva, lógica y secuencial dentro
de los demás contenidos matemáticos desarrollados en los mismos. Para ello,
consultamos los planes de estudio y programas actualmente en vigencia tanto en
Argentina como en México en los niveles educativos ya mencionados. No
pretendemos con ello, realizar un exhaustivo análisis comparativo de estos sistemas
educativos, lo cual ameritaría un claro y profundo conocimiento de las idiosincrasias
y funcionamiento de tales sistemas, sino por el contrario, presentar un abanico de
enfoques y acercamientos a las nociones logaritmo y exponencial que enriquezcan
nuestra visión de tales temas permitiéndosenos detectar carencias o aciertos en los
mismos que pudieran proporcionarnos pautas de trabajo a la hora de diseñar una
situación didáctica y también detectar posibles falencias en la enseñanza de los
mismos que pudieran derivar en obstáculos de índole didáctica.
A manera de introducción a los sistemas educativos de ambos países
consideramos pertinente presentar un esquema de la estructura de los mismos para
poner en evidencia las coincidencias y lograr mayor transparencia al referirnos a las
distintas etapas de cada uno de ellos.
144
OBLIGATORIEDAD
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Univ. Tecnológica 1° 2° 3° 4° 5° 6° 1° 2° 3° Bachillerato
Normal Licenciatura
Lic. Universitaria Profesional Técnico
Preescolar Primaria Secundaria Institutos. Tecnológicos
Formación para el
trabajo
Mercado Laboral
Trayecto Técnico
Profesional
Tray
ecto
Téc
nico
Pr
ofes
iona
l
1° ciclo 2° ciclo 3° ciclo
Educación
Universitaria
Polimodal Inicial Educación General Básica Educación Superior
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
OBLIGATORIEDAD
Esquema de los sistemas
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Enseñanza Media
En México, el “Plan y programas de estudio para la Educación Básica Secundaria”
propuesto por la Secretaria de Educación Pública (SEP) en 1993 como “un medio para
mejorar la calidad de la educación, atendiendo a las necesidades básicas de aprendizaje
de los jóvenes mexicanos, que vivirán en una sociedad más compleja y demandante que
la actual”, inaugura la obligatoriedad de la enseñanza secundaria que eleva a nueve los
años de permanencia en el sistema educativo escolarizado. Las prioridades en la
organización del plan de estudios que se han establecido en el área de matemática se
refieren a la “ampliación y consolidación de los conocimientos y habilidades
matemáticas y las capacidades para aplicar la aritmética, el álgebra y la geometría en el
planteamiento y resolución de problemas de la actividad cotidiana y para entender y
organizar información cuantitativa”.
Bajo estas concepciones se propone que, en primer grado, se trabaje con los
números naturales y su escritura en sistemas posicionales con base distinta de 10. En
segundo grado, se profundice en potencias sucesivas, en potencias de 10 y en notación
científica o exponencial, en tanto que para tercer grado se sugiere introducir la raíz
cuadrada, el plano cartesiano y las funciones, así como también analizar crecimientos
aritméticos y exponenciales en el rubro de tratamiento de la información.
En Argentina, se promulga en 1993 la “Ley Federal de Educación” mediante la cual
se reestructura el sistema educativo de este país. Asciende ahora a diez años la
obligatoriedad de la enseñanza, manteniéndose así a los alumnos entre sus cinco y
catorce años dentro del sistema escolarizado. Entre las competencias educativas que se
desean desarrollar, vinculadas con el conocimiento científico-tecnológico, se puntualiza
la necesidad de que el alumno adquiera “esquemas de conocimiento que le permitan
ampliar su experiencia dentro de la esfera de lo cotidiano y acceder a sistemas de mayor
146
Acercamiento a un análisis didáctico
grado de integración a través de los procesos de pensamiento específicos dirigidos a la
resolución de problemas en los principales ámbitos y sectores de la realidad”.
Así, en el primer ciclo de la Educación General Básica (EGB) se propone trabajar
con el sistema de numeración posicional decimal: unidades de distinto orden (unidades,
decenas, centenas, etc.) y la utilización de este sistema para leer, escribir, comparar,
descomponer y componer numerales de hasta cuatro cifras, reconocimiento e
interpretación de patrones numéricos, confección de diagramas y tablas para
ejemplificar relaciones numéricas. En segundo ciclo, se introducen temas tales como:
sistemas de numeración posicionales y no posicionales, la construcción de sucesiones
numéricas según una regla dada, la noción de función y sus distintas representaciones.
En tercer ciclo, se continúa con el trabajo en el sistema de numeración posicional
decimal, introduciéndose la noción de “base”, la notación científica, la potenciación con
exponente entero y la regla de los exponentes, sucesiones numéricas proporcionales,
nociones de función y particularmente de función exponencial aplicada a distintas áreas
de conocimiento.
Vemos que en ambos sistemas educativos se van introduciendo nociones las cuales
van entrelazándose en conceptos más elaborados, tejiéndose así una red de saberes en
la cual sustentar las nuevas nociones. Sin embargo varias de ellas no se retoman al
introducir los logaritmos en el salón de clases.
Enseñanza Media Superior
Incursionando, un poco, en la historia de la currícula mexicana, Trujillo (1995)
reporta que, en ciertas escuelas de nivel medio superior, la enseñanza de matemática en
los años sesenta, estaba contemplada en un plan anual que se cubría en dos años.
Mediante éste, se proponía considerar temas relativos a álgebra, trigonometría,
147
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
geometría analítica y algunas fórmulas de derivadas, en tanto que, la enseñanza de los
logaritmos en sí, era exclusiva de escuelas de nivel medio, y se remonta más allá de esta
década. En los años setenta, en cambio, las escuelas de nivel medio superior comienzan
a implementar un plan anual de tres años, contemplándose la enseñanza de los
logaritmos, en primer y tercer año. Ya en los años ochenta, el plan se convierte en
semestral con la misma duración, mientras que el programa de matemática se encuentra
constituido de la siguiente manera:
Primer semestre: Aritmética y álgebra.
Segundo semestre: Geometría y trigonometría.
Tercer semestre: Geometría analítica y probabilidad.
Cuarto semestre: Cálculo diferencial.
Quinto semestre: Cálculo integral.
En este programa, el tema de logaritmo se trata en el segundo semestre, siendo su
contenido:
Definición de logaritmos para cualquier base.
Propiedades de los logaritmos.
Función exponencial. Gráficas y aplicaciones.
Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas reducibles a lineales con una
incógnita.
La enseñanza de los logaritmos se enfoca principalmente hacia la resolución de
problemas aritméticos que involucran multiplicación, división, potenciación y
148
Acercamiento a un análisis didáctico
radicación. Así mismo, se deja de lado su estudio como función, al igual que el de la
exponencial, observándose que no se aborda la esencia de estas nociones. Además, su
tratamiento como función aparece en el cuarto semestre, dentro del tema derivadas de
funciones trascendentales, sin dar cuenta del significado de estas funciones ni de su
construcción.
En Argentina, en cambio, la reestructuración establecida por la Ley Federal de
Educación repercute directamente en los contenidos mínimos que se exigen para este
nivel, denominado Polimodal. Se explicita en ella que “... la educación de los jóvenes
busca garantizar tres funciones básicas: la formación de los ciudadanos, la preparación
para proseguir estudios superiores y la formación para desempeñar actividades
laborales... Las sociedades demandan de los sistemas educativos una formación que
desarrolle y fortalezca en los estudiantes un mismo número de competencias
fundamentales, que les permitan actuar y aprender en los diversos ámbitos de
desempeño, enfrentando situaciones complejas, cambiantes e inciertas con
responsabilidad, espíritu crítico y solvencia práctica”...
Son cinco las modalidades que se derivan después de un año de formación común,
ellas son: la modalidad en Ciencias Naturales, en Economía y Gestión de las
Organizaciones, en Humanidades y Ciencias Sociales, en Producción de Bienes y
Servicios y por último en Comunicación, Artes y Diseño las cuales responden a la
necesidad de abrir espacios alternativos para contener los variados intereses de los
adolescentes y las necesidades del contexto social y productivo.
En este nivel, se espera que los contenidos de la Educación General Básica que
se recuperan sean profundizados y ampliados, ya sea para mejorar su organización, su
forma de comunicación o para su aplicación a nuevos temas o problemas; de manera
que el alumno pueda acceder a un mayor nivel de sistematización, integración y
abstracción en lo conceptual y metodológico. Se considera que para ello se deberá
149
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
poner énfasis tanto en la cohesión interna de esta disciplina como en su significatividad
y funcionalidad.
Respecto a la noción que nos interesa rastrear en los contenidos básicos de
matemática para el Polimodal encontramos propuesto, en el bloque de “Número y
funciones”, trabajar con operaciones de funciones elementales (suma, multiplicación,
composición), entre ellas, valor absoluto, potencial, exponencial, logarítmica y
trigonométricas. Representación de funciones inversas, modelización de fenómenos del
mundo real utilizando funciones, en tanto que en el bloque de “Álgebra y Geometría”
aparece la resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales, al igual que de
ecuaciones usando las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Es en este nivel en el cual se introducen explícitamente la noción de logaritmo y
exponencial, enfocándose ambas hacia lo aritmético pese a que se proponen ideas de
modelización de fenómenos. No se percibe un nexo con ideas trabajadas en la etapa
escolar anterior, tales como las relaciones entre progresiones aritméticas y geométricas,
tan significativas en la génesis de los logaritmos
Enseñanza Superior
En México, la Educación Superior puede ser universitaria, tecnológica o normal. Su
objetivo es formar profesionales capaces en las diversas áreas de la ciencia, tecnología,
cultura y docencia cuya preparación los habilite para insertarse en un mercado de
trabajo cada vez más complejo, diverso y cambiante.
150
Acercamiento a un análisis didáctico
Las Universidades se constituyen en públicas autónomas, públicas estatales,
instituciones dependientes del estado, privadas libres y privadas reconocidas por la
SEP. Existen 39 universidades de las cuales 34 son autónomas. A nivel licenciatura se
nuclean, según el criterio de la ANUIES2, en seis áreas: ciencias naturales y exactas,
educación y humanidades, ciencias agropecuarias, ciencias de la salud, ingeniería y
tecnología, ciencias sociales y administrativas.
La Educación Tecnológica está más orientada hacia el mercado laboral y al
desarrollo regional. Entre sus instituciones se encuentran: el Instituto Politécnico
Nacional, 119 institutos tecnológicos y 24 universidades tecnológicas.
La Educación Normal, en cambio, se dirige a la formación de profesores de
preescolar, primaria, secundaria, especial y educación física.
Según Alanís (1996), en la mayoría de las carreras universitarias el acercamiento a la
matemática es de carácter instrumental, como fin no como medio lo cual puede
percibirse en objetivos como: “proporcionar al alumno los conocimientos fundamentales del
cálculo diferencial e integral de una variable real que serán utilizados en la interpretación,
planteamiento y resolución de problemas específicos de su carrera”.
Para este investigador son dos los tipos de enseñanza del cálculo que se presentan
en las distintas instituciones, uno que busca la apropiación, por parte del alumno, de las
ideas fundamentales presentadas de manera formal y rigurosa y otra que tiende a
centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo.
2 Asociación Nacional de Universidades e Institutos de Educación Superior
151
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Un programa típico de esta materia es:
Conjuntos.
Números Reales.
Funciones.
Límite y continuidad de funciones.
Derivada y sus aplicaciones.
Integrales y sus aplicaciones.
Funciones Trigonométricas Inversas.
Funciones logarítmicas y exponenciales.
Técnicas de integración.
Formas indeterminadas.
Sucesiones y series.
En Argentina, el sistema educativo superior se constituye por universidades
estatales y privadas, de carácter autónomo. Persiguen, como objetivos principales, la
formación integral de los estudiantes en distintas disciplinas, la cual los capacite para
insertarse en un mundo laboral competitivo.
Las consideraciones que Alanís realiza para el sistema mexicano son adaptables al
sistema argentino. Un curso de cálculo típico también sigue el ordenamiento anterior,
pese a que actualmente en varias universidades se ha implementado el precálculo, para
introducir las primeras nociones de cálculo.
En un curso de precálculo se aborda el estudio de desigualdades, valor absoluto,
repaso del sistema numérico e intervalos. Se pasa luego a trabajar con ecuaciones
lineales y su representación gráfica, para luego incursionar en un acercamiento a la
noción de función lineal. El mismo enfoque se le da al tratamiento de la función
cuadrática. Se continúa con cónicas, para acercarlos a la geometría analítica.
152
Acercamiento a un análisis didáctico
Se presenta luego, el tema de funciones tratándose a las constantes, lineales,
racionales, logarítmicas, exponenciales, trabajando sus gráficas, dominios, y
comportamientos generales. Se estudian las funciones inversas y se presentan como
tales a la logarítmica y a la exponencial. Se cierra el programa con las funciones
trigonométricas.
Vemos que en ambos sistemas, la función logarítmica se presenta varias veces en
los programas, pero no es construida en el discurso escolar. Se los utiliza y se presentan
sus propiedades con otros usos, tal el caso de la derivación logarítmica.
Concluimos entonces, de esta somera exploración de los programas de estudio
universitarios, que la función logaritmo es tratada en los primeros semestres de ambos
sistemas, primero con un acercamiento rayando en lo numérico–gráfico para luego
aparecer como plausible de ser derivada, compuesta con otras funciones, es decir,
sometida a procesos diversos en su carácter de función inversible. Se la define,
posteriormente, formal y axiomáticamente, esto una vez introducida la integración para
luego volvérsela a someter a otros procesos.
Si bien se observa una secuencia y una delimitación de los saberes apareciendo
éstos de manera progresiva, construyéndose así, las bases para posteriores aprendizajes,
en el caso particular de los logaritmos no pareciera cumplirse pues su presentación
inicial, en el aula, generalmente no rescata nociones anteriores que podrían dotar de
mayor significado a los mismos. Se prioriza un enfoque algebraico-aritmético para pasar
luego a someterlos a operaciones sin haber sido realmente construidos como noción.
Aparece entonces una “dislexia” del discurso matemático escolar pues si bien alumnos
y maestros llegan a tener un buen dominio algorítmico, pocos comprenden la noción en
sí, su carácter funcional.
153
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Presencia de la función logaritmo en los libros de texto
Otro de los aspectos que se deben tener en cuenta en la componente didáctica se
refiere a los libros de texto. En ellos se refleja el enfoque dado a las nociones
consideradas aptas para ser enseñadas y, por ende, una parte de lo que denominamos
matemática escolar. El texto sigue un orden lógico que poco tiene que ver con los
problemas a los que se enfrentó el investigador, con los ires y venires en la construcción
de los conceptos, apareciendo éstos descontextualizados y distantes de los avatares de
su génesis (Farfán, 1995). Para ello, realizamos una somera revisión de algunos de los
más utilizados, con el fin de observar la manera en la que éstos abordan el tema que nos
preocupa. Nuestra intención es recabar información sobre la existencia de elementos
didácticos, ausentes en la currícula, que pudieran propiciar la construcción de las
nociones de función logaritmo y exponencial salvando la brecha entre el trato
aritmético y el funcional de las mismas.
Según Laborde, ...el estudio de los contenidos de enseñanza y de sus variaciones en el curso del
tiempo, de un manual a otro, permite poner en evidencia fenómenos didácticos vinculados a la
transposición de los saberes... (citado en Ruiz Higueras, 1998, p. 164)
Consideramos interesante entonces, rastrear la puesta en textos de saber a lo largo de la
historia tomando, para nuestro análisis, libros de tres siglos diferentes como
representativos de cada época. Así, analizamos en primer lugar, el de L’Hospital (fines
el siglo XVII), en segundo lugar, el de Agnesi (mediados del siglo XVIII), y dos de la
fecunda producción de Euler (finales del siglo XVIII), luego, los de Vallejo, Lacroix y
Cauchy, este último visto ya en el capítulo anterior, pertenecientes al siglo XIX y por
último varios manuales contemporáneos de distintas décadas.
El análisis que realizamos de los libros de siglos pasados, usados para difundir el
conocimiento, tiene la intencionalidad de detectar qué ideas perduran y podemos
reconocer en los libros de texto actuales y cuales han perdido vigencia intentando
154
Acercamiento a un análisis didáctico
descubrir los motivos de tal abandono y si es interesante o no su “rescate”. El que
realizamos en los libros de textos actuales, en cambio, tiene otro enfoque y categorías
de análisis. Al haber elegido los textos de manera intencional, no pretendemos extender
ni generalizar nuestras conclusiones a otros libros diferentes. La idea sólo consiste en
proporcionar información relativa a la enseñanza de logaritmos y exponenciales en
nuestros días, eligiéndose para ello los manuales que se consideran los más utilizados, y
por tanto representativos, en los sistemas educativos considerados.
Para este análisis de los contenidos de los libros de texto, hemos seguido las
categorías propuestas por Ruiz Higueras (1998), por tanto las variables analizadas han
sido las siguientes:
Modo de presentación de los conceptos teóricos, fundamentalmente observar si
éstos se presentan antes de los ejercicios y problemas los cuales quedan así
relegados a aplicaciones de los conceptos o si, por el contrario, se inicia el tema
planteando una serie de problemas para cuya solución se presentan los conceptos
como herramientas.
Definición presentada para las funciones logaritmo y exponencial, observándose
cual de ellas se introduce en primer término, si son construidas o sólo definidas por
extensión de conceptos anteriores.
Ejemplos propuestos, prestando atención a si son netamente matemáticos o se
introducen otros contextos que doten de otro tipo de sentido a estas funciones, por
ejemplo, como modeladoras de fenómenos de crecimiento.
155
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Secuenciación de los temas relacionados con la génesis de los logaritmos. Esto es
observar la presencia y vinculación con las progresiones aritméticas y geométricas,
con la hipérbola equilátera, etc.
Ejercicios propuestos, en cuanto a tipo, observando por ejemplo, si se trata de
ejercicios de índole aritmética, esto es, su uso como facilitador de operaciones, o
que requieran o no de calculadoras, o para modelizar fenómenos, o si se utiliza el
registro gráfico y con qué propósito y, por otro lado, la cantidad y distribución de
ellos.
El análisis de los libros antiguos es más somero, se mira en ellos la presentación del
tema y la secuenciación de los mismos, la ausencia absoluta de ejercicios hace
improcedente los demás ítems que se consideran para los manuales contemporáneos.
Presentamos a continuación este análisis, para reflejar finalmente en nuestras
conclusiones las ideas extraídas de esta revisión de “textos de saber”.
Presencia de la función logaritmo en los libros de texto de antaño.
Siglo XVII
En la sección anterior, donde rastreáramos la construcción de los logaritmos,
comentamos la tabla de éstos y la explicación de la forma de utilizar y aprovechar las
bondades de esta transformación que estableciera Napier, uno de sus creadores, en
“Mirifici Logarithmorum Cannonis Constructio, traducida como “Construcción del
maravilloso canon de los logaritmos” y en la que se presenta una explicación del
método con el que se construyó la tabla así como las propiedades de la función
logarítmica, y que hiciera su aparición a principios del siglo XVII.
156
Acercamiento a un análisis didáctico
Para nuestro trabajo, nos interesa observar la presentación y uso que se propone en
libros de texto de antaño, es decir, en aquellos escritos para la divulgación de los
conocimientos científicos de la época, que vieran la luz en los siglos siguientes.
El libro del Marqués de L´Hospital, aparece en 1696, ochenta años después de la
aparición de la primera publicación sobre logaritmos. En su “Analyse des infiniment petits.
Pour l´intelligence des lignes courbes” (Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio
de las líneas curvas) no encontramos una construcción de la curva logarítmica, sino que
la misma es considerada conocida y utilizada en ejemplos para desarrollar y evidenciar
la potencia de este “nuevo cálculo”.
L´Hospital organiza su libro en diez secciones en las cuales desarrolla el cálculo
diferencial, el cual según él, se distingue del análisis ordinario debido a que penetra
hasta el infinito, trabajando con diferencias infinitamente pequeñas y con las diferencias
de las diferencias sin hallar límite a ello. Considera que es una poderosa herramienta
para conocer los principios de todas las líneas curvas a las que toma como poligonales
de infinitos lados. El estudio de estos últimos permite obtener la curvatura que forman,
las tangentes a las curvas, sus perpendiculares, sus puntos de inflexión o de retorno, los
rayos que se reflejan, los que se rompen, etc.
Considera que la extensión del cálculo es inmensa, pues es apropiada tanto para las
curvas mecánicas como para las geométricas y surgen una infinidad de descubrimientos
sorprendentes en relación con las tangentes, con problemas de máximos y mínimos,
con los puntos de inflexión y de retorno de las curvas, con las evolutas, con las
cáusticas por reflexión o por refracción, etc. Cabe recordar que en esta época las curvas
se clasificaban, por un lado, en geométricas o algebraicas, aquellas cuyos puntos, según
Descartes, guardan cierta relación con todos los puntos de una línea recta, y para las
cuales era posible representar la relación establecida mediante alguna ecuación
157
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
algebraica, como por ejemplo una parábola, y por otro, en las denominadas mecánicas,
aquellas de naturaleza no geométrica, tal es el caso de la curva logarítmica.
En la sección 1, “Donde se dan las reglas del cálculo de las diferencias” destina la
proposición IV a “tomar la diferencia de una potencia cualquiera perfecta o imperfecta, de una
cantidad variable”... (L’Hospital, 1998, p. 33). Para establecer la regla general, considera
necesario explicar la analogía existente entre los exponentes, para lo cual presenta, a
modo de ejemplo, una progresión geométrica y la relaciona con una aritmética, de la
siguiente manera:
Progresión geométrica: 1, x, x2, x3, x4, x5, x6, x7, ... etc.
Progresión aritmética: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... etc.
Considera además, que se puede extender hacia números por debajo de la unidad
(en la progresión geométrica) y del cero (en la progresión aritmética), es decir,
2 3 4
1 1 1 1,1, , , , ,x ex x x x
tc
1, 0, -1, -2, -3, -4, etc.
No se detiene aquí sino que introduce términos entre los dados, determinando que
esta inclusión requiere introducir también un número adecuado en la progresión
aritmética. Así, x tendrá como exponente 12
; 3 x , 13
; ...; 5 4x , 45
; 7
1x
, 72
− ; ... etc.
Explica que esta asignación se debe a que, al ser x media geométrica entre 1 y x, debe
tomarse en correspondencia, en la progresión aritmética, 12
por ser la media aritmética
entre 0 y 1; 3 x es la primera de las dos medias geométricas que existen entre 1 y x, por
tanto, su correspondiente exponente debe ser 13
pues es la primera de las dos medias
aritméticas existentes entre 0 y 1.
158
Acercamiento a un análisis didáctico
Considera asimismo que, de la naturaleza de estas progresiones surgen las hoy
conocidas como reglas de los exponentes, es decir:
1° La suma de los exponentes de dos términos cualesquiera de la progresión geométrica será el
exponente del término que resulta del producto de ellos (L’Hospital, 1998, p. 35). Por ejemplo,
es el producto de por , etc. Análogamente, 3 4 7x + = x 3x 4x1 1 23 3 3x+= x es el producto de
13x
2x +
por sí mismo, es decir, su cuadrado y esto es, multiplicar por
por , esto es, hallar su cubo. Por tanto, resulta evidente que el doble, el triple, etc.,
del exponente de un término cualquiera de la progresión geométrica es el exponente del
cuadrado, del cubo, etc., de este término, por tanto, la mitad, la tercera parte, etc. del
exponente de un término cualquiera de la progresión geométrica será el exponente de la
raíz cuadrada, cúbica, etc., de ese término.
2 2 2 6x + + + = x 2x + 2x +
De igual manera considera que:
2° La resta de los exponentes de los términos cualquiera de la progresión geométrica será el
exponente del cociente de la división de estos términos (L’Hospital, 1998, p. 36).
Halla posteriormente las diferencias de las potencias distinguiendo entre perfectas
(exponente entero) e imperfectas (exponente fraccionario), generalizando sus resultados
en la Regla IV en la cual establece que la diferencia de una potencia cualquiera, perfecta o
imperfecta, de una cantidad variable es igual al producto del exponente de estas potencias por esta
misma cantidad elevada a una potencia menor en una unidad, y multiplicada por su diferencia.
(L’Hospital, 1998, p. 37). Finaliza estableciendo que si m representa un número entero o
quebrado, positivo o negativo y x una variable cualquiera, la diferencia de siempre
será, .
mx1mmx dx−
159
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Al tratarse de un libro sobre cálculo diferencial, no aparece en el mismo la regla
complementaria de ésta, la de integración, es decir, aquella que nos permite regresar a la
cantidad de origen conocida su diferencia. Nos resultó interesante la discusión sobre los
exponentes y la relación entre las progresiones aritmética y geométrica que propone en
este libro, aunque no vaya más allá, pues constituye una primera aproximación a las
ideas del logaritmo.
La curva logarítmica como tal, aparece en la sección 2, donde enseña a trazar
tangentes a curvas de las cuales se conoce su expresión analítica. En el caso que nos
interesa, aparece determinada desde otras dos curvas relacionadas entre sí, una de ellas
la hipérbola equilátera y otra una recta paralela a una de las asíntotas de esta última. No
construye la curva logarítmica, sólo la menciona como aquella cuya subtangente es
constante. Lo que sí presenta es la construcción de la tangente a esta curva, como caso
particular de un problema que resuelve en la proposición XII, (íbidem, pp.79-81).
El problema que plantea en dicha proposición es el siguiente:
&40.- Sean dos líneas cualesquiera BN y FQ . (fig.) que tengan por ejes las rectas BC y ED
que se intersecten en ángulos rectos en el punto A , y sea una línea curva LM tal que, habiendo sido
trazada a partir de uno cualquiera de sus puntos M las rectas MGQ y MPN, paralelas a AB y AE,
la relación de los espacios EGQF (el punto E es un punto fijo dado sobre la recta AE y la línea EF
es paralela a AC) y APND, y de las rectas AP, PM, PN y GQ, esté expresada por una ecuación
cualquiera. Se trata de trazar, a partir de un punto dado M sobre la curva LM, la tangente MT.
160
Acercamiento a un análisis didáctico
Denomina a AP = GM = x; PM = AG = y;
PN = u; CG = z; al espacio EGQF, s; al
espacio APND, t; y a las subtangentes dadas
PH = a y GK = b. Luego, considera que se
tendrá:
Pp = NS = MR = dx; Gg = Rm =OQ = -dy
y udxSN dua
= − = porque los triángulos
HPN y NSn son semejantes; además:
zdyOq dzb
= = − ,
en tanto que, NPpn = dt = u dx y QGgq = ds = -z dy, donde debe observarse que
los valores de Rm y Sn son negativos pues al crecer AP = x, disminuyen PM = y y
PN = u. Se desea determinar la razón entre dy y dx, y sustituyendo en la ecuación de la
curva dada, los valores por los hallados, se obtendrá una nueva ecuación que expresará
la razón dy a dx o de MP a PT.
En el ejemplo que propone, para analizar este resultado, considera que s = t ,
entonces ds = dt. Y en ydxMPdxPTdy dy
= = utiliza los valores hallados anteriormente,
para obtener que ydx yzdy u
= = −PT . Establece a su vez que si la curva FQ es una
hipérbola, tal que 2czy
= =GQ y la curva BD es una recta paralela a AB a una distancia
c, yzPT cu
= − = − , es decir, la subtangente permanece constante, entonces la curva LM
es la curva Logarítmica.
161
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Lo interesante en el ejemplo, que desarrolla L´Hospital, es que relaciona la
hipérbola y las asíntotas de ella con la curva logarítmica, así como también la igualdad
de las áreas bajo las curvas consideradas; todos éstos, elementos que hoy se utilizan en
la definición de la función logarítmica. Su demostración se sustenta en el marco
geométrico pues utiliza semejanza de triángulos y subtangentes constantes como
argumentos idóneos para tal fin. Esto responde a la importancia que la geometría
poseía en el discurso matemático del siglo XVII.
Asimismo, realiza un análisis similar al anterior para la espiral logarítmica, y más
adelante, utiliza la curva y la espiral logarítmica para ejemplificar el trazado de cáusticas
por reflexión y refracción, temas que no abordaremos en este trabajo.
Siglo XVIII
Nos abocamos ahora, a discutir el enfoque dado a la noción de logaritmo en libros
del siglo XVIII, tal como el de Agnesi, escrito, al igual que el de L’ Hospital, pensando
en facilitar la comprensión del Cálculo, disciplina que se encontraba en gestación, en
plena discusión y construcción en ese momento, lo cual convierte a ambos en
verdaderos pioneros de la difusión de esta disciplina. Así mismo, discutiremos más
adelante las aportaciones de Euler, quien a finales de este siglo realiza importantes
contribuciones al tema.
Tuvimos la oportunidad de acceder al libro titulado Instituzioni analitiche. Libro
Secondo. Del Calcolo Differenziale, y a parte del Libro Terzo. Del Calcolo Integrale, escrito por
Maria Agnesi y publicado en 1748. Resultó de nuestro interés la última parte del tercer
libro pues en ella se presenta una disquisición sobre los logaritmos y su construcción.
162
Acercamiento a un análisis didáctico
En el anexo se encuentra una copia de la versión original de la cual hemos extraído los
comentarios que realizamos a continuación.
Agnesi, acorde con las ideas imperantes en la época, no hace una distinción
explícita entre las funciones exponencial y logarítmica tal y como lo hacemos en la
actualidad, sino que, presenta la “curva Logarítmica” como aquella en la que las
coordenadas se hallan relacionadas por progresiones aritméticas y geométricas, es decir,
aquella en la cual las abscisas se hallan en progresión aritmética en tanto que las
ordenadas responden a una progresión geométrica. Esta definición corresponde
actualmente a la función exponencial, sin embargo, el tratamiento que propone para
este tema surge al problematizar la inconsistencia de la regla para integrar potencias en
el caso del exponente –1, pues esta regla determina que su sume una unidad al
exponente y se divida por la misma cantidad. Por tanto, en el caso de ax la integral
sería
1dx−
1 1 0
1 1 0ax ax− +
=− +
, lo cual es “infinito” y, según la autora, no puede conocerse. Establece
entonces que en estos casos, la regla falla y debe recurrirse a la curva llamada
“logarítmica” o a las series infinitas.
Comienza así, en la página 617 del Libro Terzo, a desarrollar las ideas acerca de los
logaritmos, proponiendo una manera de trazar la curva correspondiente. Se apoya para
ello en la relación que ya mencionáramos entre las progresiones aritmética y geométrica,
la cual desaparece en los libros actuales pese a haber jugado un importante papel en la
génesis de este concepto.
La primera construcción que presenta, sustentándose
en la Figura 1 que reproducimos, consiste en dividir la
recta AD en partes iguales (AB, BC, CD,... etc.) y levantar
por los puntos A, B, C, D, etc. las perpendiculares AE, BF,
1
163
Fig.
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
CG, DH, etc., tales que estando en progresión geométrica, los puntos E, F, G, H, etc.,
se encontrarán sobre la curva logarítmica.
Este procedimiento puede continuarse
dividiendo, indefinidamente y siempre en partes
iguales, los segmentos AB, BC, CD, etc. para obtener
infinitos puntos de la curva, como se muestra en la
Figura 2. Identifica el segmento CG como y,
considera que MO se encuentra infinitamente
próximo a él, es decir, a una distancia dx, y que la
diferencia entre las ordenadas es dy. Establece
además, que lo mismo sucede con los segmentos
DH, al que llama z, y PI cuya diferencia es dz. Fig. 2
Observa que, en las gráficas, las abscisas han sido construidas según una progresión
aritmética, en tanto que las ordenadas conforme a una progresión geométrica, por lo
que sus diferenciales guardan la misma proporción, es decir, dy y dy dzdz z y z
= ⇒ = ,
por tanto será constante la relación dy a y. Asume que dx es constante, por tanto
dy adydx dxy a y= ⇒ = es la expresión que representa la ecuación de la curva y,
además, que la subtangente es constante, siendo su valor a.
Propone inmediatamente después, una segunda manera de construir la curva
logarítmica (Fig. 3). Para ello, define la recta MH, la divide en partes iguales, MN, NB,
BK, etc. y toma un segmento cualquiera NI alzando por I una perpendicular (IO) a la
recta del tamaño que se desee. Traza el segmento NO el cual interseca a la
perpendicular al eje levantada desde A en C; luego, del punto B se construye BC y por
E levanta la perpendicular al eje que interseca a este segmento en D; continúa con este
proceso determinando en cada paso un punto de la curva logarítmica. Para hallar
164
Acercamiento a un análisis didáctico
puntos de la curva intermedios a los trazados, divide en mitades los segmentos MN,
NB, BK, etc. y procede de la misma manera. Finalmente establece que basta con
multiplicar a infinito las divisiones iguales de la recta MH, suponiéndolas infinitésimas y
en la misma proporción que MN, NB, etc. para obtener infinitos puntos que señalarán
a la curva logarítmica, para la cual la subtangente será constante.
Construye los arcos OC, CD, DP, etc. de
manera tal que sean tangentes a la curva, al igual que
las rectas trazadas NO, BC, KD, IP, etc. lo cual
produce que los triángulos OIN y CAN sean
semejantes, por tanto, que OI NICA NA
= ; otro tanto
ocurre con los triángulos CAB y DEB, en los cuales
Fig. 3
CA BADE BE
= , pero NI=BA y NA=BE por lo cual OI CACA DE
= y así sucesivamente.
Observa entonces, que en esta construcción, las abscisas se encuentran en
proporción aritmética en tanto que las ordenadas siguen una progresión geométrica, lo
cual corresponde a una de las propiedades de la curva logarítmica.
Establece posteriormente que la curva logarítmica es una curva mecánica que no
puede describirse geométricamente, y esta imposibilidad se corresponde con la de hallar
la cuadratura del espacio hiperbólico. Finalmente, auxiliándose de la Figura 4, establece
que ady lyy=∫ , esto surge de considerar que la subtangente es a y tomar la ordenada AD
igual a ella, la cual equivale a la unidad. Así mismo, AB = x, BC = y en tanto que la
ecuación de la curva logarítmica es ady dxy= , cuya integral es x.
165
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Además, x = AB y AB es el logaritmo de BC o sea el logaritmo de y.
Si se toma en la curva logarítmica la ordenada
BC = AH = y , se le agrega HK = b, luego se traza
KG paralela a la asíntota, se obtiene la ordenada
GE, paralela a AD, por tanto, GE = y+b y AE
= l (y+b). Se observa entonces que cualquiera sea
la ordenada considerada a la derecha de A, existirá
su logaritmo; si en cambio la ordenada es igual
AD, es decir, igual a la subtangente, el logaritmo Fig. 4
será cero, en tanto que, para una ordenada a la izquierda de AD, como ΩΛ , el
logaritmo será negativo, en este caso ; en tanto que para la ordenada cero, el
logaritmo será infinito.
AΩ
Resulta interesante el tratamiento que Agnesi le confiere a las curvas logarítmicas
pues los argumentos gráfico-geométricos que utiliza y la íntima relación que pone en
evidencia entre las progresiones geométricas y aritméticas están ausentes del discurso
matemático escolar de nuestros días. Además, introduce el tema problematizando sobre
la falencia o inconsistencia del patrón hallado para la cuadratura de curvas que
responden a la expresión xn , cuando n = -1. En este sentido, son dos los argumentos
que presenta, el primero más cercano al enfoque actual de trazado de curvas, donde
propone realizarlas hallando ciertos puntos para cuya determinación utiliza la relación
entre progresiones; y el segundo, mediante semejanza de triángulos. Agnesi no
menciona conceptos como base sino que lo hace en términos de subtangentes lo cual es
característico del siglo XVII, en el cual la geometría era una pieza importante, sino
fundamental, de la matemática.
166
Acercamiento a un análisis didáctico
Por su parte, Euler, uno de los más prolíficos matemáticos del siglo XVIII, a quien
se le atribuye, entre otros muchos aportes, el estudio y desarrollo de la noción de
función, en el prefacio de su libro Introductio in analysin infinitorum, publicado en 1748, y
que fuera traducido al francés en la época napoleónica (1797, versión que hemos
consultado), considera que el análisis matemático es la ciencia de las variables y de sus
funciones, el cual permite descubrir propiedades y encontrar sumas de series infinitas
con las cuales se puede expresar todo tipo de funciones, incluyendo las trascendentes,
como el logaritmo.
Divide su tratado en dos libros, dedicando el primero al Analyse pure y el segundo a
desarrollar cuestiones geométricas mediante el análisis infinitesimal. En el primer libro
encontramos los cinco primeros capítulos dedicados al concepto de función, desde la
definición de cantidades constantes y variables hasta una detallada clasificación de las
funciones. Dedica, en cambio, el capítulo VI al estudio des Quantités exponentielles & des
Logarithmes, y el VII a Du développement des Quantités exponentielles & logarithmiques en Séries,
ambos de nuestro interés.
En el prefacio establece que el estudio de las cantidades exponenciales, con
exponentes variables, provee una idea natural y fecunda de los logaritmos, donde es
fácil concluir sobre sus diferentes usos y lograr métodos expeditivos para construir
tablas de logaritmos. Considera además, que los logaritmos exigen un algoritmo
particular cuyo uso está muy extendido en todo el análisis. Encontramos, entonces, en
sus páginas una idea importante, la clara distinción entre las funciones exponencial y
logarítmica, considerándolas a su vez, una inversa de la otra, noción ausente en los
tratados analizados anteriormente en este trabajo.
167
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Así, en el primer libro, explica diversas nociones ligadas al concepto de función,
su resolución en factores y su desarrollo en series infinitas; introduce también la teoría
de Logaritmos, de arcos de círculos, senos, tangentes y varias cuestiones con el fin de
facilitar el estudio del Análisis infinitesimal.
Una de las primeras definiciones que encontramos es: Une fonction de quantité variable
est une expression analytique composée, de quelque maniere que ce soit, de cette même quantité & de
nombres, ou de quantités constantes. (Euler, 1797, p. 2), así como una detallada clasificación
de ellas, la cual puede sintetizarse en el siguiente esquema.
Multiforme Uniforme
FraccionariaEntera
Irracional Racional
Trascendente Algebraica
Función
Una definición que deviene interesante para nuestro trabajo es la que establece
respecto a funciones inversas al enunciar que: Si y est une fonction quelconque de z,
réciproquement z sera une fonction de y (Euler, 1797, p. 8), y aclarar que puede ocurrir que,
siendo y una función uniforme de z, esto es univaluada, z sea una función multiforme,
es decir en términos modernos, multivaluada. Por ejemplo, si entonces y
es una función triforme de z, esto es, por cada valor de z hay tres valores determinados
3y ayz bz= − z
168
Acercamiento a un análisis didáctico
para y, en tanto que z es una función biforme de y (dos valores de z por cada y). Esta
idea es la que rescata al definir logaritmos en el capítulo VI, definición que si bien
difiere de la que utilizamos en la actualidad, se corresponde con una de las formas de
definir la función logaritmo que contamos hoy en día.
Aparece entonces en este tratado, la idea de la función logaritmo como la inversa
de la función exponencial, así como también ejemplos de aplicación de estas nociones
ya que presenta varios problemas de crecimiento de población y de capital como forma
de evidenciar la potencia de su uso en la resolución de los mismos.
Comienza el capítulo VI, estableciendo que si bien el estudio de las funciones
trascendentes amerita el uso del análisis integral, abordará las funciones que se
presentan más frecuentemente, tales como las exponenciales y las logarítmicas, pues
éstas allanan el camino para la introducción de otras nociones. Así, desarrolla, en primer
lugar, las ideas acerca de la función exponencial, estableciendo que se pueden distinguir
dos casos, aquel donde lo único que varia es el exponente y aquel donde tanto el
exponente como la cantidad afectada por él son variables, es decir, a en el primer caso
y en el segundo.
z
zy
Se centra luego, en el estudio de la exponencial , donde a es una constante y z, el
exponente que se refiere a todos los números determinados, siendo evidente que si se
reemplaza z por números enteros positivos, se obtendrá para valores determinados
como , etc. en tanto que si se lo reemplaza por enteros negativos como
etc. devendrá en
za
za1 2 3 4 .; ; ; ;..a a a a
.; 3;..− za1; 2− − 2 3
1 1 1; ; ;..a a a
. etc. y para z =0 siempre se tendrá a .
Establece así mismo, que si se sustituye z por números fraccionarios, se obtendrán
radicales, como por ejemplo, para
0 1=
1 1 2 1 3; ; ; ; ;2 3 3 4 4
... etc. será za 3 23 4; ; ; ;a a a a a4 3 .;.. etc.
Al ser una función uniforme de z, cualquiera sea el exponente, se puede determinar, za
169
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
con mayor o menor dificultad, el valor de la exponencial. Por ejemplo, 7a
xa
será un
valor determinado comprendido entre y a . 2a
= =
3
3 ;...;
z
ly=
Presta atención luego, a los distintos valores que puede asignársele a la base, y
cómo repercute esto en los valores de la función, es decir, considera los casos de
incluso el caso de a negativo, lo cual produce cantidades
imaginarias. Establece posteriormente las reglas de los exponentes, es decir, considera
que si entonces, . Además, si v , entonces
y
1; 1; 1; 0;a a a a> < = =
zy a=
x zvy a +=
2 3;z z nyy a y a y a= nz =
x zv ay
−= .
En el parágrafo 102, define logaritmo como lo inverso a la exponencial, ya que
establece que dado el número a, se puede obtener para cada valor de z el de y, y
recíprocamente, dándole a y un valor positivo cualquiera, se conoce que existe un valor
de z tal que , y este valor de z será función de y, al que ordinariamente se
denomina LOGARITHME de y. Pasa posteriormente a definir el término Base como
aquella cantidad constante tal que, una vez elegida, el logaritmo de un número y no es
otra cosa que el exponente de la potencia a que hace a esta cantidad igual al número y.
En consecuencia, si a y , siendo el logaritmo designado con “l”. Aclara
a su vez que la base, aunque arbitraria, debe ser una cantidad mayor que la unidad, pues
sólo los números positivos pueden tener logaritmos reales. Enuncia varias
características de la curva logarítmica, pero no presenta la visualización de ella, establece
por ejemplo que, la curva es positiva para valores del exponente mayores que la unidad,
negativa para aquellos que se encuentran entre cero y uno, cero si z , en tanto que
los logaritmos de números negativos serán imaginarios.
za =
z z= ⇒
1=
y
170
Acercamiento a un análisis didáctico
En el parágrafo 104, presenta las propiedades de los logaritmos, estableciendo por
ejemplo que, ; y aclarando que dado el logaritmo de un número cualquiera, se
puede encontrar el logaritmo de otras potencias del mismo número. En este sentido, si
y , entonces lvy , haciendo la analogía con la regla de los
exponentes anteriormente establecida y dando ejemplos sobre la utilización de
logaritmos conocidos para calcular el de números cuyos factores son los números
dados. Por ejemplo, si conocemos el logaritmo de 3 y de 5, podemos hallar el logaritmo
de 15, pues 15= 3*5, entonces .
nly nly=
xly z= lv = x z lv ly= + = +
15 (3* 5)l l= 3 5l l= +
Trabaja luego con cambios de base, proponiendo la regla de tres para realizar el
pasaje de un sistema a otro y estableciendo que Il suit de-lá que les logarithmes de deux
nombres dans quelque systême que ce soit conservent le même rapport. (Euler, 1797, p. 77,
parágrafo 108).
Afirma que los logaritmos son de gran utilidad para abreviar cálculos numéricos, ya
que no sólo permiten conocer el logaritmo de cierto número, sino que también el
número que responde a un logaritmo dado, es decir, si suponemos que c d son
números cualesquiera, utilizando sus logaritmos se puede calcular, por ejemplo,
, , , , ,e f g h
3
ccd ef gh
,
pues el logaritmo de esta cantidad será: 1 122 3
lc ld le lf lg lh+ + − − −13
y buscar luego el
número al que responde. Así, las tablas de logaritmos son de gran utilidad sobre todo
para encontrar potencias y radicales complicados, sustituyéndolos por simples
operaciones de multiplicación y división. Destina seis páginas a otros tantos ejemplos
del uso de los logaritmos para resolver problemas de crecimientos de la población, de
inversiones, etc.
171
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
En el parágrafo 110, establece que cada logaritmo está compuesto por dos partes, la
primera, la parte entera, recibe el nombre de caractéristique, y la segunda, una fracción
decimal, (hoy denominada mantisa). Remarca que la característica es una unidad menor
que las cifras que posee el número dado, es decir, el número 78509 tendrá 4 como
característica, ya que está compuesto por 5 cifras. Así, los logaritmos de los números
que sólo difieren en la posición de la coma decimal, serán iguales excepto por la
característica. Por ejemplo, los logaritmos 4,9130187 y 6,9130187 pertenecen a los
números 81850 y 8185000 respectivamente, el 3,9130187 al número 8185 y el
0,9130187 al 8,185. Aclara, así mismo, que todas estas consideraciones se encuentran en
la Introducción a las Tablas de Logaritmos.
Por otra parte, Euler en su libro Elementos de Álgebra, (Elements of Algebra) publicado
en 1840, con notas de Bernoulli y Lagrange, presenta a la función logaritmo con el
enfoque que actualmente vemos en los libros tradicionales de Álgebra. Presenta su libro
dividido en dos partes, la primera destinada al análisis de cantidades determinadas y la
segunda al de cantidades indeterminadas. Desarrolla la noción de logaritmo en la
primera sección de la primera parte, a la que denomina Of the different methods of calculating
simple quantities, (en la traducción al inglés del mismo) haciéndolo luego de trabajar con
las operaciones que involucran números enteros, negativos y fraccionarios. Así, destina
el ítem XXI a Of logarithms in general, el XXII a Of the logarithmic Tables now in use, y el
XXIII a Of the method of expressing logarithms, esto luego de haber desarrollado ideas de
potencias, su cálculo y representación de potencias irracionales mediante exponentes
fraccionarios.
Es interesante observar cómo, en su texto, los logaritmos ya se encuentran
escindidos de su origen como relación entre progresiones, una aritmética y la otra
geométrica, pues estas nociones aparecen en la Sección III en la cual desarrolla razones
y proporciones.
172
Acercamiento a un análisis didáctico
La definición que presenta al iniciar el tratamiento de este tema es:
220- Resuming the equation a , we shall begin by remarking that, in the
doctrine of Logarithms, we assume for the root “a”, a certain number taken at pleasure,
and suppose this root to preserve invariably its assumed value. This being laid down, we
take the exponent “b” such, that the power a becomes equal to a given number “c”; in
which case this exponent “b” is said to be the “logarithm” of the number “c”.
b = c
b
(Euler, 1840)
en la cual reconocemos el discurso de los libros actuales de álgebra. Asimismo, todo el
desarrollo que estos últimos proponen, son una copia del enfoque dado por Euler en su
Elementos de Álgebra, y por tanto no lo desarrollaremos. Sin embargo, cabe mencionar
que, pese a que en varios ítems propone ejercicios para que el lector practique, en los
destinados al acercamiento al uso de los logaritmos no lo hace, a diferencia de los
actuales donde el número de ejercicios aritméticos es considerable.
Del análisis de estos libros, surge que en este siglo se produce un cambio
profundo de enfoque, comienzan a imperar las consideraciones de índole algebraico en
detrimento de las geométricas. Las nuevas herramientas que proporciona el desarrollo
del cálculo, y la exploración y generalización de varias de las nociones aparecidas con él,
propician el despegue de las ideas geométricas dando lugar a un nuevo paradigma,
sentado sobre lineamientos más rigurosos donde lo analítico deviene fundamental. En
el caso de los logaritmos se hace evidente el abandono de su construcción desde ideas
geométricas, tales como semejanza de triángulos, donde la noción de subtangente
constante es primordial, o desde ideas numéricas, donde la vinculación entre las
progresiones aritméticas y geométricas se hace indispensable. Se prioriza, quizás a partir
de las ideas eulerianas, una presentación analítica, más ligada a la idea y necesidad de dar
coherencia y continuidad a la teoría matemática que a los propósitos que le dieron
origen. Se extiende así su uso y se profundiza su significado, deviene importante su
173
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
desarrollo en serie de potencias pues esto garantiza su permanencia en la estructura
matemática, suerte con que otras curvas mecánicas no contaron, lo cual propició su
desaparición paulatina del discurso matemático.
Así, en la presentación y tratamiento tanto de la función logarítmica como de la
exponencial en los trabajos de Euler, percibimos la estructura que aun hoy
encontramos en los libros de texto.
Presencia de “logaritmos” en libros del siglo XIX
En el Compendio de Matemáticas puras y mixtas escrito por Don Mariano Vallejo,
publicado en 1849, y que según el autor se trata de una versión corregida y aumentada con
cuantos adelantos se han hecho hasta el día en dicha ciencia y en sus importantes aplicaciones,
encontramos que el segundo tomo versa sobre aritmética, álgebra, geometría, trigonometría
rectilínea, é idea general de la resolución de los triángulos esféricos, y geometría práctica, y un método
nuevo, sencillo general y seguro para encontrar las raices reales de las ecuaciones numéricas de todos los
grados, aun las que se resisten á cuantos medios y recursos ofrecen las matematicas3.
Se trata de un libro que, como anteriormente estableciéramos, fue elaborado para la
enseñanza de matemática en los colegios de América a mediados del siglo XIX y
utilizado en varios de los colegios más prestigiosos de esta época, tal como el Colegio
San Idelfonso.
Aparece, en el primer tomo de este Compendio, la definición de “potencia de una
cantidad” como el producto de multiplicar dicha cantidad por sí misma cierto número de veces”
3 En la transcripción del Compendio original de Vallejo, se ha respetado estrictamente el estilo y ortografía del autor.
174
Acercamiento a un análisis didáctico
(Vallejo, 1849, p. 23, art. 127), la cual perdura hasta nuestros días, pues la encontramos
en los textos actuales sin mayores modificaciones.
A su vez, en el segundo tomo, se establece que: ... se llama función á toda cantidad o
espresión, cuyo valor depende del de una variable. Así, en toda ecuacion indeterminada la variable del
primer miembro es funcion de la del segundo, y al contrario; y las ordenadas son funciones de las
abscisas, etc... (Vallejo, 1849, p. 57, art. 120). Considera además, que las funciones se dividen
en “reales” y “aparentes”. Se llaman reales aquellas en que para cada valor de la variable, resulta uno
nuevo para la función, tales como:
2 22 ; z a x z ax a x= + = + −
y se llaman aparentes a aquellas cuyo valor es constante, cualquiera sea el valor que tome la variable,
tales son: (ibídem, p. 57, art. 120), donde una de las mismas es un caso
particular de función exponencial.
0 ; 1xz x z= =
Percibimos en la definición de función que da Vallejo las ideas de Euler quien en el
prefacio de su obra Institutiones calculi differentialis (publicado en 1755) establece que: ... si
algunas cantidades dependen en tal forma de otras cantidades, que en caso de modificar a estas últimas
también las primeras sufren cambio, se dice que las primeras cantidades son funciones de las segundas.
Esta denominación es de naturaleza más amplia y abarca a todo método mediante el cual una cantidad
puede ser determinada por otras. En consecuencia si x denota a una cantidad variable, entonces todas
las cantidades que dependen de x en cualquier forma quedan determinadas por ella y se les denomina
funciones de ellas...” (Youschkevitech, 1976). En tanto que se aparta de las ideas eulerianas
al considerar como función a las constantes, las cuales para Euler no son funciones por
derecho propio, siendo sugestivo el nombre “aparentes” que les asigna Vallejo en su
libro, aludiendo quizás a las ideas de este gran matemático.
175
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
En el siguiente párrafo establece que las funciones también se dividen en “algebraicas” y
“trascendentes”; algebraicas son aquellas en que las variables están enlazadas con las constantes, solo
por adicion, sustraccion, multiplicacion, elevacion á potencia y estraccion de raices, sin entrar en ellas
líneas trigonométricas, logaritmos, ni otras espresiones que pronto daremos á conocer con el nombre de
“diferenciales”, pues cuando entran estas cantidades, las funciones se llaman trascendentes (ibídem, p.
58, art. 120).
Distinguimos en su clasificación la establecida un siglo antes por Leibniz quien
cambia la propuesta por Descartes, por una en la cual las curvas podían ser “mecánicas”
o “geométricas”, y cuya denominación llega hasta nuestros días mediante los libros de
texto, siguiendo asimismo las ideas que Euler desarrolla en su libro de análisis.
Vallejo continua su clasificación de funciones estableciendo que las funciones
algebraicas se dividen a su vez en irracionales o racionales, según contengan o no radicales,
y a las primeras en explícitas e implícitas, términos que utilizamos hoy en día pero con un
sentido más amplio. Distingue también las funciones quebradas de las enteras al
considerar si poseen o no exponentes negativos o divisores. También define las
funciones uniformes, biformes, triformes, ..., multiformes, según el número de valores que
adopte la función para cada uno de los valores de las variables.
La noción cuya presentación y desarrollo nos interesa observar en el libro de
Vallejo, es la función logaritmo, así como también los conceptos que se relacionan con
ella. Encontramos así, a lo largo de este escrito, un encadenamiento de conceptos
vinculados con los logaritmos hasta desembocar en su definición como la integral de la
hipérbola equilátera, aunque este autor no relaciona estos conceptos, quizás por el
hecho que presenta a las hipérbolas como lugares geométricos cuyas asíntotas son
rectas oblicuas y no los ejes coordenados. En efecto, la definición de hipérbola aparece
en la sección de cónicas al trabajar con las distintas posiciones que puede adoptar un
176
Acercamiento a un análisis didáctico
plano al intersectar a un cono, y se establece que la expresión analítica que le
corresponde es:
( ) ( )2
221cos
2
sen senz a
α α ζ
ζ
+= ± +x x
donde ζ es el ángulo de las generatrices del cono, es el ángulo de inclinación del
plano secante, ambos mayores que . El autor explicita que el doble signo manifiesta que
á cada abscisa corresponden dos ordenadas iguales y de signo contrario, ó lo que es lo mismo, que la
curva estiende igualmente hácia uno u otro lado del eje de las x (Vallejo, 1849, p. 53, art. 106).
α
π
En el artículo 124, presenta a las series como polinomios de infinitos términos por medio de
los cuales se espresa el valor de una cantidad que no le tiene cabal... considerando que se las ha
creado para facilitar el cálculo de funciones irracionales o trascendentes. En el siguiente
parágrafo define la series aritméticas como aquellas que restando cada término del que le
sigue, dan todos una misma diferencia. Los primeros ejemplos que presenta sobre este tema
se refieren al desarrollo en serie de expresiones del tipo , o aa x xα
aζ− +
utilizándolos
para explicar el método correspondiente, el cual consiste en igualar las expresiones
anteriores con el polinomio donde A, B, C, D, E,... son
coeficientes indeterminados. Luego de multiplicar ambos miembros por el
denominador, iguala los coeficientes correspondientes y los calcula. Reconocemos en
este método el paso previo del que actualmente utilizamos para hallar el desarrollo en
serie de potencias de la función logaritmo, ya que sólo resta integrar la expresión
obtenida. (ibídem, pp. 60-63, arts. 124-170).
2 3 4 ...A Bx Cx Dx Ex+ + + + +
177
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Luego de presentar el método de los límites y el cálculo de diferencias, definiendo a éstas
como , desarrolla el cálculo de diferenciales introduciéndolo como una
“portentosa” herramienta que tiene procedimientos directos y sencillos para, dada una funcion,
encontrar desde luego el límite de la relacion del incremento de la funcion con el de la variable, sin
necesidad de hallar anticipadamente ni el incremento de la funcion, ni la relacion de este incremento con
el de la variable (ibídem, p. 75, art. 149).
. .( )f x f x x f x∆ = ± ∆ − .
Presenta los recursos de este Cálculo apoyándose en las ideas de Lagrange, las
cuales paulatinamente fueron desapareciendo de la currícula escolar, al ser desplazadas
por las de Cauchy. Así, establece que dada una función z = f.x al sustituir x por x+ k,
siendo k una cantidad cualquiera, z se convierte en z’ = f.x + Ak + Bk2 + Ck3 + Dk4+
... donde A, B, C, D, ... son funciones de x independientes de k.
A su vez utiliza la notación de Leibniz para los diferenciales, esto es antepone una
“d” a la función, estableciendo que toda cantidad “dx” es cero y que sólo representa
una cantidad cuando se halla en relación con otra de tales cantidades, por ejemplo
dd
z Ax= . Calcula el diferencial de una suma y de un producto, para luego presentar de
manera implícita una de las propiedades de los logaritmos pues considera que, en el
artículo 159, si quisiéramos comparar la diferencial de una funcion con la misma funcion,
dividiríamos los dos miembros de la ecuacion d.ut = ud.t + td.u por la funcion primitiva ut y
tendríamos: d d. d.ut u t= +ut u t
. , para luego generalizar a cualquier número de factores.
(ibídem, p. 82, art. 159).
Es interesante observar cómo presenta la diferencial de la función z = ,
basándose en el resultado anterior y considerando n como entero positivo, z
será entonces el producto de n veces x por lo cual
nx
178
Acercamiento a un análisis didáctico
d d d d d d dn
n
.z .x .xxxxx... .x .x .x .x= = = + + + ...= nz x xxxxx... x x x x
d dn-1.z = nx
por ser n en número de factores.
Luego, quitando el denominador queda: . Pasa en seguida a tratar los
casos de exponentes fraccionarios y negativos, omitiendo el caso particular de n = -1 el
cual nos interesa en este trabajo por ser su primitiva, justamente, el logaritmo. (ibídem,
p. 84, art. 161).
.x
2 3x 2 k+ x
2 1 2 3× × ×
d d.x xloga a xloge
En el artículo 175 presenta el cálculo de las diferenciales de funciones
trascendentales, comenzando con la exponencial ax. Para desarrollarlo utiliza el binomio
de Newton y la sustitución a = 1 + c, encontrando que dd
x.z = ka.x
, donde
( ) ( )2 3a -1 a -1a -1k = - + - ...etc1 2 3
. Luego establece que el desarrollo en serie de potencias
de la función exponencial es:
k ka =1+ x + x + ... etc1 1
3
define el número e y ex utilizando los logaritmos, ya presentados en el tomo I, para
obtener el valor de k, es decir, partiendo de que ek = a ⇒ k log e = log a ⇒ logak =loge
con
lo cual concluye que:
.a =
Denota a los logaritmos de base e como l en lugar de ln como los conocemos
actualmente, aclarando que se trata del sistema de logaritmos neperianos y que son los
más utilizados en los cálculos, por lo que, en general, es conveniente que los sistemas
con otras bases se refieran a ellos. (ibídem, p. 97, art. 177).
179
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
En el parágrafo 178 (p. 97), se calcula, “fácilmente” según el autor, el diferencial de
la función logaritmo. Llama a la base a, al número z y al logaritmo x (en notación actual
x = logaz), y procede a hallar la diferencial de los dos miembros de z = ax
d d dd. d. d. dxx
.z .z .zz = ka x x = = log.z = logekz ka z
⇒ ⇒
por tanto, . . (actualmente (ln ))dzz d zz
=d l . Concluye, así, que: la diferencial del logaritmo
de un número es igual al producto del módulo4 por el cociente de la diferencial del número partida por el
mismo número, y si es en el sistema de Neper en que log.e=1, la diferencial del logaritmo de un número
es igual á la diferencial del número partida por el mismo número.
En el parágrafo 180 (p. 98) muestra la imposibilidad de desarrollar x en z, o del
logaritmo en potencias del número, estableciendo como alternativa la sustitución de z por 1+
u. En el parágrafo 182 (p. 99) expresa que la consideración de los logaritmos facilita mucho la
diferenciación de las funciones exponenciales, cuando son complicadas, presentando en el mismo el
método conocido hoy por derivación logarítmica.
Es en la página 131 que presenta el Cálculo Integral como aquel cuyo objeto es
determinar la función primitiva, dado el límite de la relación entre el incremento de la función y el de la
variable. Considera que hallar la primitiva consiste en determinar la función cuya
diferencial se conoce. Establece así, que: dm+1
m Ax.Ax x = +Cm+1∫ expresión que se
convierte en la indeterminación 00
cuando m = -1 por lo que se requiere utilizar la regla
196 que establece: para obtener el verdadero valor de una fracción que se convierte en 00
, cuando se
da á x un valor particular, es necesario diferenciar separadamente su numerador y su denominador,
180
Acercamiento a un análisis didáctico
hasta que se encuentre para uno ú otro un resultado que no se desvanezca; la funcion propuesta será
infinita en el primer caso, nula en el segundo, y tendrá un valor finito, si se hallan á un mismo tiempo
dos resultados que no se aniquilan. La cual no es otra que la conocida regla de L´Hospital.
Así, x xa - bx
se reducirá a l.a - l.b (en notación actual ln a – ln b) cuando x = 0. Luego
cuando m = -1, d.d A x.z = z = A(l.x - l.a)= Al.x +Cx
⇒ estableciendo finalmente que
siempre que el numerador de una fracción sea la diferencial del denominador, esta fracción tiene por
integral al logaritmo del denominador. (p. 137)
Concluye su presentación de los logaritmos explicando la utilización de la
integración por partes en forma reiterada cuando éstos figuran como integrandos.
Otro libro utilizado en la enseñanza de este siglo es Traité élémentaire de calcul
differential et de calcul integral Lacroix (1837), quien aclara que se encontrarán en él,
reflexiones sobre la manera de enseñar matemáticas. El desarrollo de temas es muy
similar al presentado en el de Vallejo por lo que sólo comentaremos algunos parágrafos
en los que el enfoque difiere. Una diferencia notable es que Lacroix utiliza ejemplos
numéricos para aclarar su discurso, herramienta ausente en el de Vallejo. Otro aspecto,
en que el primer autor se detiene, es en la construcción de curvas y en algunos
argumentos de tipo geométrico que no encontramos en el otro. Así, en el parágrafo 112
titulado: Exemple de l’Analyse d´une courbe. De courbes trascendantes, de la logarithmique (pp.
168-170) define la curva logarítmica como aquella cuyas ordenadas son los logaritmos
de las abscisas. Considera que la manera más fácil de construir esta curva es dividiendo
el eje de las abscisas en partes iguales para representar los números y tomar de las tablas
de logaritmos los valores correspondientes y llevarlos como ordenadas. Observamos en
esta propuesta del autor una marcada similitud con el discurso matemático escolar de
4 Llama módulo al valor de log e
181
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
nuestros días en cuanto al trazado de este tipo de curvas, pues enseñamos a determinar
en el plano algunos puntos extraídos de tablas de valores, unirlos para generar la curva.
Sin embargo el autor continua desarrollando ideas en torno a la gráfica de esta
curva pues considera que siguiendo este proceso, la curva graficada será y = lx .
Observa que ella, cuando x = 1 deviene en y = 0 que se traduce en el gráfico con el eje
AB y el punto E, por lo tanto AE es la unidad. La rama EX, que responde a abscisas
positivas más grandes que la unidad, es infinita ya que los logaritmos de estas abscisas
crecen siempre. En la parte AE, donde las abscisas son fracciones, las ordenadas son
negativas y aumentan a medida que estas fracciones disminuyen de tal suerte que la
rama EX tiene como asíntota, para la parte negativa, el eje de ordenadas AC, así la
curva logarítmica no se extiende a puntos de abscisas negativos porque sus logaritmos
son imaginarios.
Precisa después que dándole un cuarto de revolución a la figura, las abscisas
devienen en ordenadas o a x = ly donde a designa la base del sistema, resulta entonces
la ecuación y = ax en la cual los logaritmos son las abscisas. Considera luego que,
182
Acercamiento a un análisis didáctico
mediante las medias proporcionales se pueden tirar círculos para encontrar otros
puntos de la curva logarítmica cuyas abscisas:
1 3; ; 2 2
x x x= = =14
etc.
corresponden a las ordenadas:
11 342 2 .1 1.1; ; ;
1 1a a ay a a y a y a= = = = = = etc.
De esta manera se tendrá un procedimiento gráfico muy simple para trazar los puntos
de una curva logarítmica sin auxilio de las tablas.
A manera de recapitulación de este punto, podemos mencionar que en el segundo
tomo del Compendio de Vallejo, los logaritmos se presentan desde el desarrollo en serie
de potencias y como el resultado de una integral. En este Compendio las gráficas, que se
adosan al final de cada tomo, no representan a la función logaritmo, al igual que no se
menciona la relación existente entre las progresiones aritmética y geométrica. Al
término de esta investigación no pudimos acceder al primer tomo de este Compendio,
pero en el discurso del autor, percibimos que su presencia en él es similar a la que
actualmente presentan los libros de álgebra, esto es, como el exponente al que se debe
elevar cierto número para obtener otro especificado y sus propiedades. El libro de
Lacroix sigue el mismo lineamiento que este último, pero en su discurso incorpora
elementos para construir la curva logarítmica utilizando argumentos muy similares a los
que encontramos en lo libros de textos actuales.
183
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Consideramos que, tanto en el libro de Vallejo como en el de Lacroix, se percibe
una gran influencia del estilo euleriano en la presentación, confiriéndole un enfoque
analítico-algebraico privado de ideas geométricas. Al igual que Agnesi, introducen los
logaritmos problematizando sobre el patrón que siguen las integrales de expresiones
del tipo xn cuando n = -1 pero respondiéndolo desde el análisis, utilizando las ideas
sobre indeterminadas trabajadas por L´Hospital.
Presencia de “logaritmos” en libros de Álgebra entre 1950-1970
Trujillo, analiza varios libros de texto que son utilizados en el nivel medio superior.
Entre ellos, “Álgebra elemental” de Baldor; “Álgebra (intermedia)” de Lovaglia; “Álgebra y
trigonometría” de Barnett, “Aritmética y álgebra”, “Cálculo diferencial” ambos de Garza
Olvera; y “Álgebra” de Rees Spark. Luego de su revisión, comenta que ninguno de estos
libros aborda el aspecto numérico, es decir, ninguno da cuenta de cómo, a partir de
ciertos elementos matemáticos, se construye la función logaritmo. En general, la
presentan como la inversa de la función exponencial, justificándola a partir de una tabla,
producto de la tabulación de la función exponencial, para luego ser utilizada como un
concepto axiomático en aplicaciones como puede observarse en los libros que
contienen problemas de población de bacterias, interés compuesto, etc.
Por nuestra parte consideramos que en los libros de Álgebra para bachillerato
consultados y que pertenecen al período 1950-1970, tales como el de Res & Sparks
(1959), el Simmons (1948), el Baldor (1967) la noción de logaritmo aparece, en general,
luego de haberse presentado, a manera de repaso, las definiciones y propiedades de las
potencias con exponentes enteros. Se dedica un capítulo a “exponentes y radicales” donde
se extiende el tratamiento de potencias a exponentes enteros negativos y fraccionarios.
184
Acercamiento a un análisis didáctico
En el enfoque dado a los temas se percibe la concepción de los autores respecto al
aprendizaje como un proceso en el cual se deben evitar los obstáculos incrementando
las dificultades de manera gradual. Cada subtema se presenta con varios ejemplos y
ejercicios resueltos, además de gran cantidad de ejercicios aritméticos para ser resueltos
por el lector. Podríamos considerar que adhiere a las concepciones empiristas, donde el
trabajo del alumno consiste en seguir los pasos propuestos por los autores y en
ejercitarse con una profusión de ejercicios similares para apropiarse de la noción
planteada la cual debe ser descubierta mediante tales acciones.
Llama la atención que el capítulo destinado a logaritmos se encuentre antes de la
presentación de las nociones de progresiones aritmética y geométrica, excepto en
Baldor (1967) que si bien las presenta en el capítulo inmediato anterior, no las retoma ni
relaciona con los logaritmos. Se desconoce en ellos el importante papel que la relación
entre ambas progresiones tuvieron en la génesis del concepto de logaritmo.
Se lo presenta, en cambio, como la relación existente entre el exponente, la base y el
resultado de la operación. Así, encontramos como primera definición, por ejemplo:
“El logaritmo, para una base dada, de un número es el exponente que indica la
potencia a la que debe elevarse la base para obtener el número”. (Res & Sparks, 1959,
p. 299)
Simbólicamente, lo presentan como:
log Lb N L b N= ⇒ =
185
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
En estos libros se prioriza el estudio de los logaritmos de base 10, llamados “comunes
o de Briggs”. Aparecen entonces, términos como “característica” y “mantisa” los cuales van
desapareciendo del lenguaje escolar pues la incursión de las calculadoras científicas en el
aula, vuelve obsoleto el uso de las tablas y por ende los algoritmos inherentes a su uso,
tales como la interpolación y la suma de una unidad a la característica del logaritmo
cada vez que se desplaza el punto decimal un lugar hacia la derecha. Por ejemplo:
log3.271 0.5146
log32.71 1.5146
log0.03271 2 0.5146
=
=
= − +
De la lectura de estos libros de texto, surge la idea de la utilidad de los logaritmos en
el campo de las operaciones numéricas, presentándolas únicamente como potentes
herramientas facilitadoras de cálculos, ideas muy ligadas a la situación problemática que
les dio origen. Así, el tratamiento del tema está inmerso en el contexto aritmético
aunque se evade un poco del mismo al presentar gráficas de estas funciones trazadas a
partir de tablas desde las cuales se deducen varias propiedades de la que, de un párrafo
al siguiente, pasó a llamarse “función logaritmo”, entre ellas:
No definida para < 0x
Negativa si 0< y positiva si <1x 1x >
igual a 0 si 1x =
creciente
a mayor base, mayor proximidad al eje x
186
Acercamiento a un análisis didáctico
Las ideas de modelar fenómenos de la naturaleza con estas funciones está
totalmente ausente del discurso de los autores, los ejemplos y ejercicios o problemas
discutidos y presentados en ellos, son de tipo calculatorio, de aplicación directa de los
logaritmos como herramientas para facilitar cálculos engorrosos que con las actuales
calculadoras pierden sentido.
Es cuestionable entonces el uso de este material bibliográfico en la escuela actual,
sin embargo aun tienen vigencia, son varios los profesores que, habiéndose formado
con ellos, los siguen utilizando un sus clases desconociendo nuevas propuestas que
intentan incorporar otros elementos al discurso escolar, como respuesta a cambios de
estructura de los sistemas educativos y por ende, en el curriculum. La gran proliferación
de libros de texto aparecidos en los últimos cinco años, tanto en México como en
Argentina, da cuenta de ello, fundamentalmente en los niveles medio y medio superior.
Es pertinente entonces analizar algunas de estas propuestas.
Presencia de “logaritmos” en libros de bachillerato de última
generación
Dedicamos este apartado al análisis de uno de los libros de texto más utilizado
en el sistema educativo argentino en el cual se intenta responder a la nueva propuesta
curricular. Está destinado a alumnos de primer año de polimodal y en él se presenta por
vez primera la noción de logaritmos y exponenciales.
Se percibe de su lectura que intenta responder al enfoque propuesto para la
enseñanza de las matemáticas, pues la presenta como una ciencia para explorar y
“hacer”, para construir y razonar. Introduce los temas desde actividades de desafío,
187
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
problematizando a los alumnos e incentivándolos a profundizar sus conocimientos y a
descubrir otros, antes de desarrollar el tema en sí mismo.
El contenido se estructura en bloques temáticos, cuya ordenación (sistema
numérico, funciones, complejos, funciones lineales, polinómicas, trascendentes, temas
de geometría analítica y probabilidades) coincide en la mayoría de los libros propuestos
para este nivel.
El módulo siete se destina a las funciones trascendentes presentándose allí el
desarrollo de exponenciales, logaritmos y trigonométricas. Se introduce la función
exponencial en el módulo tres, cuando se presenta la noción de función, para retomarlo
y profundizarlo en este módulo.
Parte de tres actividades donde plantea la posibilidad de descubrir cómo modelizar
fenómenos tales como: el vuelo de una polilla que se acerca a la luz; el crecimiento de
un capital colocado a interés compuesto y las notas producidas por un instrumento
musical, esto es las ondas sonoras. En sus páginas encontramos un fluido pasaje entre
representaciones de distinta índole, pues utiliza el lenguaje coloquial para llegar al
analítico pasando por el icónico, el gráfico y el tabular.
El tratamiento de los logaritmos se presenta luego del desarrollo de la función
exponencial y el análisis de sus gráficas. Se encuentra dividido en dos secciones, en la
primera presentados desde un enfoque aritmético, la segunda desde uno funcional.
Encontramos que en la primera sección se los presenta mediante actividades de
búsqueda del exponente al cual se debe elevar cierto número para hallar otro. Utiliza,
para ello, ejemplos sencillos para concluir con la definición expresada en lenguaje
coloquial y simbólico. Propone luego actividades con la calculadora y someramente
establece el cambio de base como una operación factible de realizar con la misma. Han
188
Acercamiento a un análisis didáctico
desaparecido completamente actividades inherentes a interpolación, así como también
las palabras mantisa y característica con todas las propiedades que les son asignadas. Se
los reemplaza con exploraciones utilizando la calculadora en las cuales se pide
aproximar números que sobrepasan el rango de la misma.
En la segunda sección, bajo el título Función logarítmica se propone la construcción
de tablas, gráficas y su comparación. Se la define como inversa de la función
exponencial, aunque de manera implícita, proponiéndose asimismo discutir ambas
funciones comparando sus comportamientos.
No se percibe un pasaje claro y gradual entre una sección y la otra, sino más bien
un giro brusco sin mayores explicaciones. El quiebre entre ambos enfoques es evidente
y la utilización de la calculadora no pareciera aportar elementos para suavizarlo. Pese a
su introducción como modelizadora de fenómenos, en estos apartados su tratamiento
es netamente axiomático, donde se imponen varios resultados.
Observamos entonces un quiebre al modelo teoría práctica tan patente en los
libros de álgebra analizados anteriormente. Tampoco se percibe una relación directa
con elementos y nociones que fueron primordiales en su gestación, tales como las
progresiones geométricas y aritméticas. Las ideas desarrolladas en torno al carácter de
función son más intuitivas apoyándose en gráficas y tablas pues su presentación como
el área bajo la hipérbola equilátera amerita el conocimiento de procesos de integración
los cuales se escapan de este nivel.
189
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Presencia de “logaritmos” en libros clásicos de Cálculo, en la
primera mitad del siglo XX
Realizamos, también, una revisión de los libros de texto que son utilizados con
mayor regularidad en matemática superior, para observar en éstos la argumentación con
la que fundamentan la construcción de las funciones logaritmo y exponencial. Dos de
los libros más difundidos en el ámbito universitario, en los primeros años del siglo XX,
fueron el Cálculo diferencial de Granville (1990) y Elementos de cálculo infinitesimal de
Phillips (1945).
Comenzaremos por uno de los que más tiempo ha permanecido en vigencia, el
Cálculo diferencial de Granville. El tema que nos interesa se encuentra presente a lo largo
de todo el texto. Es trabajado de manera más detallada en la página 108, artículo 62,
bajo el título Funciones exponenciales y logarítmicas, pese a haber sido sometido a varios
procesos, tales como, el de derivación.
En su primer capítulo, Resumen de Fórmulas, el autor presenta las propiedades de los
logaritmos suponiéndolas ya conocidas por el lector. Los utiliza luego, en ejemplos de
funciones inversas y en la derivación de funciones trascendentes. Se define a e como
uno de los límites más importantes, demostrándolo de forma intuitiva a través de la
gráfica de 1
)xx+(1 y de la construcción de tablas. Inmediatamente después pasa a
definir los logaritmos naturales o neperianos como:
El logaritmo natural de un número N es el exponente x en la ecuación e , x = lnN x N=
estableciendo la relación entre los logaritmos naturales y los vulgares o de base 10 a la
vez que explicita la importancia de este tema.
190
Acercamiento a un análisis didáctico
Llegamos así, al apartado 62 en el que, luego de presentarse la función exponencial,
se define a los logaritmos como la función inversa de la misma, es decir, se establece
que si , entonces de donde, permutando x & y se obtiene
. Muestra, a continuación, la gráfica típica de la función logaritmo y algunas de
las propiedades de la misma, tales como:
...718.2 ; == eey x
x
yx ln=
y ln=
La función no está definida para valores negativos de x ni para . Es una
función creciente para todos los valores de , y es continua en todas sus partes ... El
eje de las y es una asíntota de la curva. (Granville, 1990)
0=x
0>x
Somete luego a la función logaritmo al proceso de derivación y luego enseña la
derivada logarítmica como forma de simplificar trabajo. Retoma su tratamiento formal
en la página 232 en la cual aparecen como el resultado de una integral inmediata, es
decir,
ln ln ln lndv v C v c cvv= + = + =∫
Sigue utilizándolos a lo largo de sus página en los ejemplos de los distintos temas
que va abordando, hasta llegar a su tratamiento como series en la página 442 en el
capítulo destinado a Desarrollo de funciones en series de potencias.
El tratamiento de los logaritmos que encontramos en Phillips (1945) es similar al
anterior. En su prefacio establece que se presentan los principios de mayor utilidad en las
aplicaciones a la Ciencia y a la Ingeniería limitándose por tanto a reunir aquellos temas
naturalmente asociados en los problemas. Comienza introduciendo el concepto de función
(como una relación entre variables) y de límite, continuando con temas relativos a
derivadas (aceleración, máximos y mínimos, funciones trascendentes, diferenciales, etc.)
para pasar luego al tratamiento de integrales, series y ecuaciones diferenciales.
191
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Después de trabajar con derivadas de funciones algebraicas y trigonométricas
introduce (en el parágrafo 41, p. 62) funciones exponenciales y logarítmicas dándole visos
algebraicos, es decir, estableciendo que:
... si a es una constante positiva, au se llama una función exponencial. Si u es
una fracción se sobreentiende que au es la raíz positiva.
Si y = au , entonces u se llama el logaritmo de y de base a...
(Phillips, 1945, p. 62)
Presenta luego, las fórmulas de derivadas de la función logaritmo utilizando sus
propiedades para demostrarlas. Retoma, en el capítulo X de Integración, la noción de
logaritmo para establecer que Úu-1du = Ú duu
=lnu+c (párrafo 70, p. 115) sin mayores
explicaciones. A partir de allí, aparece como herramienta útil en la resolución de
distintos problemas, tales como separación de variables, integración de fracciones
racionales, etc. Por otro lado, no aparece de manera explícita en el capítulo destinado a
integrales definidas, sólo en algunos ejercicios en los cuales no problematiza sobre la
discontinuidad en cero ni su significado para números negativos.
Luego de explorar varios ítems sobre integración se aboca a presentar series y
desarrollo en serie (Cap. XIX, pp. 295-320). En este capítulo los logaritmos son utilizados
para ejemplificar el desarrollo en serie de Maclaurin y de Taylor, así como también,
aunque someramente, para determinar el intervalo de convergencia de este tipo de
desarrollos y el error cometido al calcularlos.
Observamos que el desarrollo de las ideas en estos libros sigue un ordenamiento
lineal y secuencial, va de lo más fácil a lo más difícil, estando lo logaritmos presentes a
lo largo de todo su discurso. La presentación de los temas sigue el clásico esquema teoría
práctica. Podemos afirmar entonces, que el trato que estos libros le confieren a la
función logaritmo es axiomático y que la definen por medio de la función exponencial
192
Acercamiento a un análisis didáctico
sin dar cuenta de la construcción de ésta. En ambos libros, la falta de relación entre el
enfoque algebraico, con el que se los define por un lado, y del carácter de función
inversa de la exponencial por otro, con su profusa utilización para resolver problemas
tiene visos axiomáticos. No se percibe en ellos el uso de elementos gráficos o
geométricos que pudieran aportar mayor sentido a su definición, ni la relación entre
progresiones geométricas y aritméticas, típico de un enfoque post-euleriano y
enmarcados en un paradigma analítico-estructural. Se ha perdido también de vista que
su definición como integral es la curvatura de una hipérbola equilátera cuya fórmula se
escapa del patrón seguido por las funciones f(x)=x n al tratarse de n = -1.
Vemos entonces, que en este tipo de libro existe un empobrecimiento en el
tratamiento de las funciones logarítmicas pues en ellos se limita su presentación a una
definición axiomática y a su utilización sin mayores profundizaciones. Se opera con
ellos y sobre ellos, pudiéndose sólo percibir su potencialidad como herramienta de
cálculo en los problemas a los que permite solucionar.
Presencia de “logaritmos” en libros de Cálculo, en la segunda
mitad del siglo XX
Aunque, el Granville mantiene su vigencia en el ámbito de la educación superior,
los libros analizados en el parágrafo anterior paulatinamente se han visto reemplazados
por autores como Swokoswki, Purcell, Edward o Stewart. Éstos últimos presentan
varias reediciones y en ellas se percibe una paulatina incorporación de herramientas
tecnológicas. Un ejemplo de ello lo constituyen la tercera edición del Cálculo de Stewart
(1994), donde aparece un tímido uso de calculadoras, respecto a su última edición
Cálculo: Conceptos y contextos (1999), en donde se las incorpora con mayor energía.
193
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Así, en el prólogo de la tercera edición, Stewart establece que se pretende “ayudar
a los estudiantes a descubrir el Cálculo”, transmitir la utilidad del mismo y desarrollar su
habilidad técnica poniéndose énfasis en la comprensión de los temas. Explícitamente
menciona que se sigue una reformulación, para el Cálculo, de las ideas sobre resolución
de problemas de Polya, al formular estrategias y por medio de ilustraciones y ejemplos.
En este libro, se inicia el desarrollo de temas con un repaso de conceptos
básicos (números reales, funciones, etc.) y luego de trabajar sobre límites, derivadas e
integrales sin utilizar en ningún momento los logaritmos, se llega al capítulo 4 (pag.
279) donde en el subtema “integrales definidas” se utiliza, a modo de ilustración, la
cuadratura de la hipérbola equilátera calculando su valor aproximado por rectángulos y
sin mencionar a los logaritmos. El uso de los mismos comienza a aparecer en los
ejercicios al final de cada tema especificando que podrán resolverlos aquellos que hayan
cubierto el capítulo 6.
Efectivamente en este capítulo, Funciones inversas: función exponencial, función
logaritmo, funciones trigonométricas inversas, se desarrollan los conceptos inherentes a ellas,
explicitando que se trata de dos de las funciones más importantes de la matemática. Se
define la función logaritmo como inversa de la exponencial, luego de establecer que
y presentar las propiedades, gráficas, y derivadas de las
exponenciales. Por tanto, luego de definir función inversa y dar algunas propiedades,
aparecen las funciones logarítmicas (sección 6-4, p. 364) como “ ” . Se
presenta posteriormente, la gráfica de curvas logarítmicas de distintas bases y también
una en la que se relacionan las funciones exponenciales y logarítmicas como simétricas
respecto a la recta y = x. Se establecen las propiedades y comportamientos en cero e
infinito, y los logaritmos naturales explorando varios ejemplos.
lim ; x r
r xa a r
→= Q∈
xlog ya x y a= ⇔ =
194
Acercamiento a un análisis didáctico
Los ejercicios de esta sección son de corte aritmético ya que de 62, sólo en 3 se pide
demostrar propiedades y en 7 el uso de calculadoras, siendo 2 de ellos, problemas
extraídos de la física. En el parágrafo 6-5, derivadas de funciones logarítmicas se relacionan
los logaritmos con la hipérbola equilátera, estableciéndose que 1(ln )d xdx x
= y luego de
varios ejemplos se define que:
... si 1 1(ln ) lnd x dxdx x x
= ⇒ = +∫ x C lo cual completa la regla de integración para
funciones potencia 1
si 11
nn xx dx C n
n
+
= + ≠+∫ − ...
(Stewart, 1996)
Posteriormente, se generaliza este resultado para todo y se pasa a definir el
número e como un límite. Se cierra la sección con ejercicios netamente algorítmicos
donde se solicita calcular derivadas, rectas tangentes, trazar curvas, evaluar integrales,
etc.
1a ≠
En la sección 6-6 el logaritmo como una integral se establece que la función logaritmo
natural se define mediante 1
1ln ; 0x
x dt xt
= ∫ > aclarando que si x>1 se puede interpretar
como el área bajo la hipérbola 1x
. Se retoma la definición de función exponencial
presentándola ahora como la inversa de los logaritmos, para culminar el desarrollo de
estos temas con la sección 6-7 crecimiento y decrecimiento exponenciales donde se estudian
varios fenómenos naturales y económicos.
195
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
A partir de aquí, tanto los logaritmos como las exponenciales comienzan a ser
utilizadas en ejemplos y ejercicios propuestos para otros temas, incluso en el de
sucesiones y series (capítulo 10) donde se ejemplifica el desarrollo en series de
Maclaurin y de Taylor, así como también el cálculo de errores al evaluar funciones con
ellos.
Vemos en este libro, un primer acercamiento al uso de calculadoras,
fundamentalmente en las secciones de ejercicios, las que aparecen al final de cada
sección. Sin embargo, la incorporación de herramientas tecnológicas se torna más
evidente en la última edición del libro de Stewart, en la cual explicita que se enfocará en la
comprensión conceptual haciendo eco a la llamada reforma del cálculo.
En esta última edición (1999) se observa un importante cambio en el
ordenamiento de los contenidos, el cual no se percibe tanto en su enfoque. Destina el
capítulo 1 para funciones y modelos reforzando desde el principio las múltiples
representaciones de las funciones (verbal, numérica, visual y algebraica) y repasando
funciones estándares incluyendo la exponencial y la logaritmo. En la sección 1-7, se
presenta un análisis general de modelado, para introducir los modelos que a lo largo de
todo el libro se utilizarán.
Las funciones exponencial y logarítmicas son introducidas en este primer capítulo y
a partir de él, son utilizadas para ejemplificar distintos temas tales como derivadas y límites
(capítulo 2), integrales (capítulo 5), ecuaciones diferenciales (capítulo 7), secuencias finitas y series
(capítulo 8), etc.
196
Acercamiento a un análisis didáctico
El tratamiento de las funciones logaritmo y exponencial es similar al realizado en la
versión anterior, lo que difiere considerablemente es el tipo de ejemplos y ejercicios
propuestos. El uso de calculadoras gráficas o paquetes para PC como el Mathematica,
Maple o Derive, se enfoca a explorar y conjeturar, a trabajar con modelos separándose
del mero tratamiento algorítmico de otras ediciones.
En esta versión, y en la anterior, aparecen definidos tanto como funciones
inversa de la exponencial como cuadratura de la hipérbola, la diferencia estriba en que
la nueva versión los presenta en las primeras páginas y los utiliza para ejemplificar los
distintos temas para recién, en el capítulo 5 (p. 375), aparecer definidos dentro de una
tabla de integrales indefinidas como 1 lndx x Cx
= +∫ , lo cual se considera
consecuencia natural de la definición de la derivada de funciones logarítmicas (sección 3-7, p.
247), en donde se demuestra que 1(log )lna
d xdx x a
= .
Por otro lado, en libros como Purcell, Swokoswky, Finney, entre otros,
encontramos un enfoque distinto para la presentación de los logaritmos, ya que en ellos
se los define como la curvatura de la hipérbola y a la función exponencial como la
función inversa de la logarítmica. Pasamos a analizar ahora, el libro Cálculo: con geometría
analítica de Purcell (1987), tomándolo como representante de este enfoque.
En este libro los logaritmos no aparecen en el discurso sino hasta el capítulo 7,
funciones trascendentales, como sección 7-1: función logaritmo natural, y esto, luego de haber
trabajado con temas como: funciones y límites (capítulo 2), derivadas (capítulos 3 y 4) e
integrales (capítulos 5 y 6). Se presenta en esta sección, una gráfica de la hipérbola
equilátera y en un recuadro, luego de haber aclarado la necesidad de extender la clase de
funciones con las que se puede trabajar, la siguiente definición:
197
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
La función logaritmo natural, designada mediante ln, se define como :
1
1ln ; 0x
x dt xt
= >∫
Su dominio es el conjunto de los números reales positivos
(Purcell, 1987, p. 309)
Inmediatamente después, se define la derivada de logaritmo natural y las propiedades
de los logaritmos para cuya demostración utiliza la definición y las derivadas, para terminar
el parágrafo con derivación logarítmica.
Los ejercicios que presenta al final de esta sección son de corte algorítmico, a
excepción de unos pocos problemas que requieren un mayor análisis. Esta edición
presenta un gran uso del registro gráfico, sin embargo, el mismo es abandonado en el
tratamiento de los logaritmos. Los modelos, en cambio, tienen un lugar en la sección 7-
5, donde son abordados temas como crecimientos exponenciales, interés compuesto,
decaimiento radioactivo, entre otros. A partir de esta unidad, los logaritmos pasan a
formar parte del discurso matemático apareciendo en varios ejemplos de otros temas,
tales como, técnicas de integración (capítulo 8), series infinitas, (capítulo 11), etc.
Dejando de lado el análisis de textos utilizados para desarrollar la mayoría de los
programas de cálculo en carreras ingenieriles, consultamos el libro Cálculo Infinitesimal de
Michael Spivak (1992), que presenta un enfoque distinto del tema, para observar el
tratamiento de este tema en libros destinados a la formación de matemáticos. En este
texto, se introduce la función 10 con natural de la manera usual. Posteriormente, se
la extiende para racional, proponiendo varias definiciones con el objeto de preservar
la propiedad 10 . Sin embargo no se sugiere ninguna manera algebraica de
definir con irracional, y parafraseando al autor ‘esto se suele ignorar por
completo en álgebra elemental’.
x x
xx10 yxy +=10
xx10
198
Acercamiento a un análisis didáctico
Así mismo se proponen procedimientos más elaborados para hallar una función
que cumpla con la propiedad . Se introduce entonces, la
función logaritmo mediante la integral definida
)(xf )()()( yfxfyxf =+
1
lgx
x = ∫
x
dtt
para , y luego, la
función como la inversa de lgx. Aparece después, como definición,
para luego introducir para todo , y finalmente en donde
. (Spivak, 1992, p. 465)
0>x
lg(ae x
)exp(x )1exp(=e
xex =)exp( )a x =
0>a
Por otro lado (Bugrov, 1984, p. 99) define ax (a >0 y a π1) de la manera usual
cuando x es racional, en tanto que, cuando x es irracional utiliza una noción propia del
análisis matemático: la del supremo de un conjunto, y esto lo hace de la siguiente
manera:
racional y , sup ααα xaa x <¬= , siendo x irracional.
Así mismo, (Kudriávtsev, 1981, pp. 151-156), al extender la definición de la función
exponencial a todos los números reales, utiliza el concepto de límite de la siguiente
manera:
“Sea a>0 y x es un número real arbitrario, entonces
[ ]r
xr
x alima→
= donde r es cualquier racional.”
(Kudriávtsev, 1981, p. 152)
199
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Este autor, luego de analizar algunas propiedades, establece que, gracias a la
matemática elemental se conoce que la operación inversa a la elevación a una potencia y
que pone en correspondencia al número dado x>0 el número y tal que ay = x (a>0) se llama
determinación por logaritmo con base a.
Así, por definición alogx = x (a>0, a π 1) ; pasando luego a enunciar:
Definición 3: La función que pone en correspondencia a cada número x su
logaritmo logax con base a (a>0, a π1) si este logaritmo existe, se llama
función logarítmica y = logax
Teorema 4: La función y = logax, a>0, a π1, está definida para todo x >0
y sobre este conjunto es una función estrictamente monótona y continua. Ella
tiene las siguientes propiedades:
1.- loga x1x2 = loga x1 + logax2 , x1>0, x2>0
2.- loga xq = qloga x, x>0 , qŒ¬. (Kudriávtsev, 1981, p. 156)
En nuestra opinión, estas maneras de definir a las funciones logaritmo y
exponencial no proporcionan una idea concreta de las mismas. En conclusión, estas
definiciones corresponden a necesidades teóricas y no a necesidades de carácter
numérico o geométrico. Es evidente que este material didáctico, utilizado profusamente
en carreras ligadas a la ingeniería y a las físico-matemáticas presenta un enfoque
analítico, rayando en lo axiomático, pues no construye ninguna de las funciones de
interés en este trabajo. Consideramos que no se dan argumentos que puedan conferir
significado geométrico e incluso gráfico suficientes para dotar de mayor sentido a estas
nociones, sino que más bien se impone su uso debido a la bonanza de las características
de estas funciones. Se las utiliza en la ejemplificación de distintos temas como
200
Acercamiento a un análisis didáctico
derivadas, integrales, series, pero no se las construye, sólo se enseña a manipularlas
algorítmicamente.
A manera de conclusión
Hasta aquí, hemos mencionado, a grandes rasgos, la problemática de la enseñanza
de los logaritmos y exponenciales en distintos niveles escolares. Observamos que a
medida que se avanza en el sistema educativo, las nociones van adquiriendo mayor
complejidad, relacionándose y respondiendo a la programabilidad de los saberes
establecida por Chevallard, es decir, siguen una ordenación lineal y secuenciada. En una
primera instancia los logaritmos aparecen en la currícula del bachillerato enfocados a
problemas aritméticos sin dar cuenta de los elementos que permiten la construcción de
la función logaritmo, esto luego de haber sido trabajadas, en forma paulatina, nociones
que pueden ser utilizadas para tal fin. Por otro lado, en cursos más avanzados, se le
necesita como una función de la cual sólo se conoce su gráfica y no se repara en su
construcción, por tanto, los alumnos logran derivar sin conocer dicha función y aunque
deriven muchas veces y varias funciones logarítmicas, el concepto de esta función no
permanece ni se construye.
La noción de logaritmo aparece escindida de su significado original, de las
controversias y consensos que suscitó. Pareciera ser sólo una notación oscura carente
de sentido, que permite a los alumnos realizar cálculos y operar sin tener consciencia ni
significación sobre lo que se está haciendo. A su vez, consideramos que el tratamiento
de la función logarítmica en los libros de texto, no soluciona esta problemática, es decir,
no zanja la brecha entre el aspecto aritmético con que se la presenta, desde el inicio de
su enseñanza, y su uso como función. Se la presenta como una herramienta para
facilitar cálculos, inmersa en un enfoque absolutamente aritmético, que en la actualidad,
201
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
con el uso de las calculadoras en el aula y el tipo de ejercicios que se proponen,
pareciera carecer de sentido, haber perdido la razón de ser que le hiciera ver la luz en
pleno siglo XVII. Al ser retomado su estudio en materias más avanzadas dentro de la
estructura curricular del sistema superior, pierde su carácter instrumental para
convertirse en un objeto de estudio en sí mismo. Su presentación como inversa de la
función exponencial, a su vez, opaca su autonomía funcional y la introducción de la
definición formal como primitiva de la hipérbola equilátera la aleja de ser pensada como
una herramienta útil a la hora de, por ejemplo, modelar es decir, hallar un expresión que
describa fenómenos de crecimiento en una representación gráfica a escala logarítmica.
Vemos entonces que, la etapa en su desarrollo, que denomináramos logaritmos como
modelizadores y en la cual se cultivaran tantas representaciones y significados de los
mismos, no se explota en la escuela prevaleciendo en ella una presentación axiomática
de estos conceptos. La forma de tratar a las funciones logaritmo y exponencial que se
baraja en el aula de nuestros días, halla su sustento en la etapa de los logaritmos como
objetos teóricos, en la cual se la ha escindido completamente de sus orígenes.
La evolución de este concepto hacia el que conocemos actualmente estuvo plagado
de controversias y consensos, el enfoque y los conceptos que se priorizan en cada
momento, respondiendo al paradigma imperante, se hacen notorios en el análisis
presentado en esta sección y a los que presentamos someramente, a modo de
puntuario, en la siguiente Tabla.
202
ÉPOCA AUTOR CONCEPTO ENFOQUEPrimera Mitad del siglo XVII Napier Tablas de logaritmos Numérico Segunda Mitad del siglo XVII L´Hospital Subtangente constante
Áreas iguales bajo una hipérbola
Geométrico
Primera Mitad del siglo XVIII
Agnesi Falla del modelo para la cuadratura de funciones potencia
Progresiones aritméticas y geométricas. Subtangente Constante.
Geométrico
Inicio de analítico
Segunda Mitad del siglo XVIII
Euler Estatus de función.
Función inversa. Desarrollo en series
Analítico.
Primera Mitad del siglo XIX
Cauchy Vallejo
( * ) ( )f x y f x f= + ( y )
Primitiva de dxx
Desarrollo en serie
Analítico
Segunda Mitad del siglo XIX
Lacroix Primitiva de
dxx
Desarrollo en serie. Construir la gráfica desde la tabla.
Analítico
Baldor
Res & Sparks
Exponente al que se debe elevar una bMantisa y característica
Interpolación
Aritmético
Primera Mitad del siglo XX
Granville Spivak
Primitiva de dxx
Función inversa. ( * ) ( )y f x= + (f x f y )
Analítico
Estructural
Textos para
Bachillerato
Exponente al que se debe elevar una bFunción inversa y comparación de compor
Aritmético funcional intuitivo
Purcell - Finney Primitiva de
dxx
Exponencial es la función inversa de la log
Analítico
Segunda Mitad del siglo XX
Stewart
Edwart
Primitiva de dxx
Logarítmica es la función inversa de la exp
Analítico
Tabla: Esquema comparativo de conceptos y enfoques dados a la fu aritmo
ase.
ase. tamientos
arítmica
onencial
nción log
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Al leer los libros escogidos con un criterio un poco arbitrario, pues consultamos
aquellos que nos fue posible obtener para este trabajo, intentando que los mismos
fueran representativos de cada época abordada, surge como evidente la influencia de las
corrientes de pensamiento en cada una de ellas. La comunicación de saberes responde
pues, al paradigma imperante. De este modo, las nociones, pese a su
despersonalización, atemporalidad y descontextualización a las que son sometidas para
adquirir el status de socialmente admitidas, se ven teñidas de idiosincrasias e ideologías. Su
puesta en textos de saber las distancia de los avatares de su gestación. En la bibliografía
actual, nos encontramos con malas calcas de libros interesantes que hicieron escuela, tal
como los Elementos de Álgebra (1840) de Euler cuyo discurso se reproduce y llega hasta
nuestros días, o el de Cauchy, cuya rigurosidad aun influye en nuestra formación.
Se torna evidente entonces que, en el devenir de su enseñanza, han sido suprimidos
mecanismos y elementos matemáticos reduciéndose así, en general, el abordaje de este
tema a un conjunto de axiomas, lo que priva de elementos para la construcción de esta
noción al seno de la escuela.
En general, por ser el logaritmo y la exponencial, funciones inversas entre sí, sólo
se requiere definir una de las mismas, pues la definición de la otra surge de esta
relación. Esto trae aparejado que una de ellas adopte un papel intermediario. Adquiere
importancia entonces la construcción de una de las dos, es decir, generar estrategias que
establezcan la relación entre pares de números, su ubicación en el plano coordenado,
etc.
En nuestro análisis epistemológico, distinguimos etapas basándonos en una
analogía con la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, las cuales adquieren
matices más ricos con el material discutido en este capítulo. Observamos que los
momentos que denomináramos exploración algorítmica y numéricos utilitarios ambos en la
204
Acercamiento a un análisis didáctico etapa de los logaritmos como transformación, se ha ido diluyendo del discurso matemático
escolar. Su carácter de “facilitadora” de otros procesos ya no es tan evidente con la
irrupción de las calculadoras y erróneamente ha provocado que, para muchos, sus
propiedades y ventajas hayan devenido obsoletas. Se pierden también las exploraciones
y el enfoque geométrico, características de la etapa que llamáramos gráfica-numérica,
tan importante en el hallazgo de la cuadratura de la hipérbola lo cual ayudó a dar
consistencia al nuevo cálculo que se estaba gestando. En el aula de hoy, la ausencia de
conceptos geométricos como subtangente constante, caracterizadora de esta noción, y
la relación entre la igualdad de las áreas de los sectores bajo la hipérbola equilátera
establecidas utilizando progresiones geométricas en las abscisas, anulan elementos que
posibilitarían un acercamiento geométrico para la construcción de la gráfica de esta
función empobreciendo así su visión. Consideramos que esto coincide con la pérdida
de status de la geometría en la matemática erudita, lo cual repercutió directamente en la
comunicación de la misma, ante la economía de argumentos y escritura del registro
algebraico, además de la facilidad que proporciona para evaluar los conocimientos que
pudieran haber adquirido los alumnos. Así, la etapa de los logaritmos como modelizadores no
se palpa en las prácticas de enseñanza de hoy.
Creemos que el discurso matemático escolar de nuestros días refleja las ideas y
enfoques barajados en los momentos de analiticidad, simbolización y formalismo es decir,
aquellos que englobáramos en la etapa de los logaritmos como objeto teórico. Las ideas de
Euler, en cuanto a algebrizar la presentación de los logaritmos, se distinguen con
facilidad en los libros de álgebra y en aquellos utilizados para la introducción de este
concepto al aula. Las ideas de Cauchy, en cambio, se permean en la mayoría de los
libros de cálculo, sobre todo en los destinados a la formación de matemáticos, tales
como el Spivak.
Concluimos entonces que, mediante la mirada a los logaritmos y su presencia en
la currícula y en los libros de texto, hemos evidenciado la importancia de un análisis
205
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo epistemológico que nos permita comprender con mayor profundidad el tema estudiado
y rescatar significados que hayan desaparecido del discurso escolar y que eventualmente
pudieran proporcionar elementos para enriquecer la presencia y tratamiento de los
saberes en el aula, los cuales inevitablemente se van empobreciendo y cambiando su
epistemología tanto en el pasaje a saberes a enseñar como para responder al paradigma
imperante.
206
A MANERA DE CONCLUSIÓN
CAPÍTULO 5
La intención de este trabajo ha sido profundizar en la problemática de la
enseñanza del concepto de función y, en particular, en la función logaritmo desde
una perspectiva encuadrada en el enfoque socioepistemológico de la enseñanza de
las matemáticas. Considerar que éstas son un producto cultural, e interesarnos en
mirar al individuo y a la sociedad haciendo matemáticas, construyéndolas, nos llevó a
un rastreo de la noción logaritmo en el desarrollo de esta ciencia, incluso antes de
que esta noción fuera formalmente definida en el siglo XVII. Nuestro propósito fue
identificar hitos en su desarrollo, momentos relevantes, significados y sentidos que
pudieran haberse diluido y que pudieran proporcionar bases o elementos para un
posterior diseño de una situación didáctica. También nos derivó hacia una
exploración de las currícula de escuelas del nivel medio, medio superior y superior
así como de los libros más utilizados en las mismas para determinar qué elementos
se proponen para acercar a los alumnos a la función logaritmo y cuales están
ausentes del discurso matemático de nuestros días.
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Destinamos entonces este capítulo final de nuestra investigación a recapitular y
reflexionar sobre los elementos que han estado presentes a lo largo de la misma
intentando dar una visión integral de nuestros hallazgos y consideraciones.
Como estableciéramos desde nuestra introducción, la problemática que
abordamos en esta tesis fue la “dislexia” entre la presentación aritmética y funcional
de los logaritmos en el discurso matemático escolar, que reportara Trujillo (1995),
siendo nuestro interés sentar las bases para el diseño de una situación didáctica que
dote de significado a la función logaritmo en el ámbito escolar. Consideramos
necesario que este tipo de estudios aporte, entre otras cosas, conocimientos que
clarifiquen el significado de los objetos matemáticos abordados, su evolución y las
restricciones a las que hayan sido sometidos al pertenecer a un sistema didáctico
pues nuestro fin último es impactar en el sistema educativo y para ello se requiere
estudiar y comprender a profundidad uno de sus polos, el del saber que se pretende
enseñar, cómo se lo está abordando y qué consecuencias se están produciendo, sin
olvidar que se trata de una problemática compleja al ser una práctica humana.
Nuestra preocupación cobra sentido al observar el tratamiento escolar dado a
los mismos. Confrey (1996) y Lezama (1999) identifican, como un obstáculo
epistemológico, la enseñanza de estructuras multiplicativas desde las aditivas y el uso
de las primeras para introducir la potenciación a la hora de generalizar hacia el
carácter funcional de las exponenciales y de allí inferir relaciones con los logaritmos a
través de funciones inversas sin mayor detenimiento en ello. Así mismo, Sierpinska
(1992) cuestiona la presentación de las definiciones de los conceptos como su
esencia cuando debería ser el objeto el que determina la definición, observación que
consideramos muy vinculada con la problemática tratada en esta tesis pues el
abordaje de la funcionalidad de los logaritmos raya en lo axiomático, ya que a
208
A manera de conclusión
nuestro entender no existen elementos en el discurso escolar que suavicen el pasaje
de lo aritmético a lo analítico en el tratamiento de este concepto.
Por otro lado, de la exploración que realizara Trujillo respecto a la interconexión
entre la relación de las progresiones aritmética y geométrica y las nociones de los
logaritmos y exponenciales como funciones, surge la absoluta deficiencia de los
entrevistados, estudiantes recién egresados del nivel medio superior, para intuir tal
cosa. Si bien todos reconocen las progresiones aritmética y geométrica y logran
determinar el patrón de comportamiento de cada una de ellas, ninguno logra
establecer una relación entre ambas. Las respuestas reportadas giran en torno a que:
ambas forman parte de los números reales; o ambas son progresiones; o no hay una operación que
las vincule pues en una se suma y en la otra se multiplica. Se observa además, que esta falta
de vinculación entre las progresiones les inhibe generar argumentos en el contexto
gráfico, lo cual confirma que ven a ambos objetos como entes aislados y por tanto,
no dan indicios de un pensamiento funcional respecto a la relación entre las mismas,
no reconocen sus características logarítmicas.
Por otro lado, se encontraron las mismas dificultades en los profesores de nivel
medio superior entrevistados, sólo uno de tres reconoció las funciones logaritmo y
exponencial como la relación entre las progresiones propuestas, distinguiendo
explícitamente la base y graficando ambas funciones, aunque de manera
convencional, es decir, recordando la forma de las curvas exponencial y logarítmica
sin construirlas desde las progresiones dadas.
Las dificultades propias del abordaje de este tema se suman a las ya reportadas
respecto a la apropiación del concepto de función. En nuestro trabajo presentamos
algunas de las investigaciones más relevantes en torno a esta problemática, la cual ha
sido encarada por varias escuelas de pensamiento que se preocupan y debaten para
209
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo dar explicación científica a los problemas de la enseñanza superior. Discutimos sobre
la importancia que escolarmente se le confiere al registro algebraico en detrimento de
otros, como por ejemplo el gráfico o el numérico, lo cual repercute en un
empobrecimiento de las herramientas utilizables a la hora de apropiarse de un nuevo
concepto o enriquecer uno ya conocido.
Las distintas concepciones que docentes y alumnos logran construir en torno a
relaciones funcionales y las diferentes representaciones de las mismas, reportadas
como elementos que dificultan la apropiación de este concepto, contrastan con la
absoluta carencia de argumentos y representaciones a la hora de trabajar con
logaritmos. A éstos, se los presenta como el número al que se debe elevar la base
para obtener cierto número, relacionándose luego con la función exponencial,
mediante la inversa y con su definición dada en términos de una integral indefinida.
Dreyfus & Eisenberg (1983), reportan que ante el requerimiento de: Hallar la
segunda derivada de la función 5x la respuesta de la mayoría de los entrevistados fue:
( ) ( ) ( ) ( )2
2
15 5 ln5 5 5 ln5 5 ln5 ln5 55
x x x x x xd d ddx dx dx
= ⇒ = = +
en donde se evidencia el desconocimiento de “ln5” como una constante ya que
aplican la regla para derivar un producto de funciones, lo cual nos lleva a pensar en
la ausencia de significado de los conceptos fundamentales implicados en esta
pregunta, aquello de qué es variable y qué constante directamente relacionado con la
idea de los logaritmos como función.
Dubinsky (1991) por su parte, considera que comprender las funciones definidas
mediante integrales indefinidas, como en el caso de los logaritmos, constituye un
210
A manera de conclusión
buen ejemplo de encapsulación con internalización. Estimar el área bajo una curva
con sumas y pasaje al límite es, en su teoría APOE, un proceso. Los estudiantes que
parecen comprender esto, frecuentemente tienen dificultades con el próximo paso,
este es, entender que el producto encontrado es una función, algo que varía al
modificar el parámetro considerado. Por tanto, se requiere de procesos de “alto
nivel” para especificar una función dada por una integral indefinida lo cual puede
explicar la complejidad de este proceso y las dificultades que el mismo acarrea a los
estudiantes, conceptos éstos muy ligados a la comprensión y manejo del Teorema
Fundamental del Cálculo
La cuestión es entonces, ¿cómo generar significados o elementos que doten de
sentido a estas nociones?
Si pensamos que la matemática es una construcción humana, no exenta de ires y
venires, de nociones que se incorporan paulatinamente a una estructura formal,
luego de pasar por etapas de formulación y consenso, que son el resultado de
inquietudes socio-culturales dentro de un paradigma, y que la problemática planteada
surge específicamente en el ámbito de la matemática escolar, consideramos que la
ingeniería didáctica, como metodología de investigación, nos confirió los recursos
necesarios para intentar dar respuesta al interrogante que nos planteamos.
La ingeniería didáctica, como comentáramos con anterioridad en este texto, nos
invita a actuar como profesores ingenieros, es decir, a que una vez que identificamos
nuestro problema gestionemos su abordaje proponiendo alternativas didácticas
factibles de modificar hasta conseguir un producto que nos proporcione mayores
satisfacciones. Para tal fin requiere, como primera fase, indagar en los aspectos
propuestos para el análisis preliminar, objeto de nuestra tesis.
211
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
En el caso de los logaritmos, eje de este trabajo, consideramos que la
transposición didáctica, a la que inevitablemente todo concepto es sometido antes de
ser introducido al aula, ha destazado a los logaritmos, los ha convertido en objetos
útiles que deben ser manipulados con soltura sin necesidad de dotarlos de
significado. Como ya estableciéramos, toda transposición genera una nueva
epistemología del concepto, y en el caso de los logaritmos, ésta comienza a
producirse y reflejarse en los textos y en su tratamiento desde el siglo XVIII.
Podemos considerar un antes y un después de Euler y una reformulación de los
mismos con Cauchy tiempo después.
Efectivamente, en nuestra indagación epistemológica concluimos que se pueden
distinguir, bajo nuestra óptica, tres etapas en el desarrollo de los logaritmos si
tomamos como eje central la relación entre las progresiones aritmética y geométrica,
argumento utilizado por Napier para su primera definición.
Como primer momento, consideramos a los logaritmos como transformación, etapa
que se desarrolla antes de su definición formal y que se refleja en las distintas
exploraciones en torno a la formulación y extensión de las progresiones y en la
búsqueda de facilitar engorrosos cálculos producto de las necesidades sociales de la
navegación, artillería y astronomía. Se desarrollan fundamentalmente en el contexto
numérico comenzando con ideas intuitivas de transformar para facilitar operaciones
intentado regresar a la aritmética, es decir, utilizar sólo sumas y restas. Así, de la
confluencia de las primitivas formulaciones de las progresiones y de la relación entre
ambas surge la definición de los logaritmos. Los elementos matemáticos utilizados
son trabajados, en nuestras aulas, desde los niveles iniciales. La búsqueda de
patrones numéricos, la relación entre ellos, la economía de recursos para expresar
ideas matemáticas son abordados en las currícula y libros de texto actuales, pero no
relacionados y utilizados a la hora de introducir los logaritmos.
212
A manera de conclusión
Su exploración en otros contextos, producida principalmente en el siglo XVII,
nos lleva a considerar como segundo momento el de los logaritmos como modelizadores
pues en esta etapa se determinan sus características geométricas y por tanto logran
pertenecer al discurso matemático de principios del siglo XVII; se les dota de una
gráfica al adecuarlos al nuevo registro “algebraico-geométrico” que se estaba
desarrollando; logran completar un modelo matemático de la cuadratura de curvas
representativas de funciones potencia encontrando otro lenguaje para ser descritos
ingresando así en los avatares de un cálculo en plena gestación; permiten describir
fenómenos físicos y se descubren nuevas formas para calcularlos a partir de su
desarrollo en serie de potencias lo cual les abre las puertas para acceder al discurso
matemático del siglo XVIII y adquirir el status de función.
Todos estos argumentos y exploraciones que giran en torno a descubrir las
características logarítmicas en distintos contextos mediante el uso explícito de la
relación entre progresiones está absolutamente fuera del discurso matemático de
nuestros días. Aparece en los libros de difusión de conocimiento del siglo XVII, para
desaparecer completamente a partir de las ideas eulerianas y de su vinculación
definitiva con las funciones exponenciales mediante el concepto de función inversa.
Comienza así, un tercer momento que nosotros identificamos como la etapa de
los logaritmos como objetos teóricos, conceptos trabajados en la enseñanza actual y que los
encuentra escindidos de las argumentaciones dadas anteriormente, las cuales pueden
contribuir a dotarlos de un mayor sentido, apartándolos de su tratamiento actual que
los reduce a una aplicación algorítmica de sus propiedades apareciendo en el aula sin
ningún antecedente analítico que pudieran haber adquirido los estudiantes hasta ese
momento.
213
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Los libros de texto, en general, no rescatan argumentaciones geométricas
respondiendo quizás a la pérdida de status de esta rama de la matemática en el
discurso escolar. El argumento que prevalece en ellos es el de función inversa como
relación entre las funciones exponencial y logarítmica lo cual inhibe el verlas como
funciones por sí mismas, diluyendo un poco su autonomía funcional. La exacerbada
utilización de ejercicios en los que se propone explorar sus dotes como facilitadores
de operaciones, en su condición de transformación, y como la primitiva de una
integral, que nos deriva implícitamente a la comprensión del Teorema Fundamental
del Cálculo, refuerza el pensamiento algorítmico empobreciendo y fraccionando su
significado matemático.
Consideramos entonces, que la “dislexia” en el aprendizaje de la noción
logaritmo es producto de su enseñanza, de la priorización de una presentación
axiomática y de una exacerbada algoritmización en los dos momentos en que aparece
explícitamente en el discurso matemático escolar, esto es, en su primer acercamiento
como potente herramienta facilitadora de operaciones en los últimos semestres de
bachillerato; y en su reaparición, semestres después en la enseñanza superior, como
una función definida como la primitiva de la hipérbola equilátera, siendo requisito
para ello conocer el Teorema Fundamental del Cálculo. La ausencia en el discurso
matemático escolar de elementos que funjan como nexos entre ambos momentos da
pauta de la no construcción, en el ámbito escolar, de esta noción y por ende, de la
absoluta falta de significados en torno a ella que los alumnos pueden adquirir.
Para revertir esto, consideramos pertinente tomar en consideración las etapas,
que hemos propuesto, a la hora de pensar el diseño de una situación didáctica, que
como tal, presenta cuatro momentos: acción, formulación, validación e
institucionalización en busca de conferir un sentido amplio y de significación a las
nociones abordadas por la misma. Cabe reflexionar entonces, en la analogía
214
A manera de conclusión
propuesta entre estas etapas y las establecidas por nosotros en el devenir histórico de
los logaritmos hasta convertirse en objeto a ser estudiado en nuestros colegios. No
queremos decir con ello que el diseño debe abordar las tres etapas identificadas en
nuestro análisis epistemológico ni que la solución a la problemática abordada en esta
tesis, si tal existe, sea la de llevar la historia al aula y reproducir los pasos seguidos en
la conformación de la noción logaritmo tal y como la conocemos hoy en día. Por el
contrario, creemos que el diseño debe rescatar hitos y significados que se han hecho
evidentes en este trabajo atendiendo al punto en el que se enfoque el mismo.
Consideramos así que, es competencia del diseñador, de su particular análisis,
perspectiva y visión de los recursos que le puede aportar este trabajo, el delimitar el
abordaje de la noción logaritmo, los registros que comprometerá, las ideas que
pondrá en juego, pues conocer los avances y retrocesos acaecidos en su desarrollo
permite generar argumentos respecto a las destrezas necesarias para la apropiación
de esta noción.
Nos resulta evidente, luego de nuestro análisis didáctico, que en el nivel superior
el tratamiento de los logaritmos responde al momento de los logaritmos como objetos
teóricos pues son presentados en la mayoría de los libros de texto y en los salones de
clase como la inversa de la función exponencial o como 1
1 ; 0x
x dt xt
= ∫ln para ser
utilizados en la resolución de integrales o ecuaciones diferenciales entre otros temas.
Ambas presentaciones se vinculan con conceptos de difícil abordaje y comprensión
para los alumnos, por un lado, el de “función inversa” con su correspondiente carga
de significados en torno a, entre otros: “función”, “biyección”, “dominio”; y con el
“Teorema Fundamental del Cálculo” por otro lado, en el cual subyace que el
resultado de una integral es una función y no un número; pudiéndose aprovechar
entonces el trabajo con la noción logaritmo para dotar a su vez de mayor sentido a
estos conceptos, encararlos desde otros ángulos y perspectivas en el camino
>
215
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo espiralado hacia la construcción de conocimiento matemático si retomamos las ideas
de Sierpinska (1992) o si los utilizamos como herramientas en la construcción del
objeto “logaritmo” en una dialéctica propia y sutil, si pensamos en la metáfora de
Douady (1995).
Nuestra visión del devenir de los logaritmos como objetos de saber nos lleva a
proponer como hipótesis epistemológica, de construcción de conocimiento, la
incorporación en el diseño de las nociones de progresión aritmética y geométrica y
su fuerte vinculación con los logaritmos. Creemos que son elementos que pueden
resultar útiles, al igual que en el desarrollo histórico de los logaritmos, para facilitar el
pasaje desde las características aritméticas de esta noción hasta las funcionales
permitiendo la exploración en distintos registros y su correspondiente vinculación.
La complejidad de esta propuesta radica en el tránsito de lo discreto a lo continuo, lo
cual ameritaría una reflexión especial por tratarse de los obstáculos ya reportados por
Confrey (1996) y Lezama (1999) en el tratamiento de los exponentes continuos,
problemática abordada por Wallis en el siglo XVIII y que requiere mayor
profundización en nuestro análisis epistemológico, el cual realizaremos en
investigaciones posteriores. A su vez, se deben tener presente las dificultades
reportadas por Sierpinska (1992) respecto a la vinculación entre “sucesión” y
“función” los cuales suelen generar confusiones así como también los procesos de
interpolación utilizados para hacer continua una tabla.
Consideramos que también resultaría interesante extender las ideas trabajadas en
la ingeniería didáctica reportada en Lezama (1999) cuyo diseño gira en torno a la
construcción geométrica de la función 2x y que permitiera romper con concepciones
acerca de la imposibilidad de trazar puntos de la exponencial donde la variable
independiente no sea entera. En esta instancia se podrían rescatar conceptos
trabajados ya en el siglo XVIII por Agnesi vinculando la construcción geométrica de
216
A manera de conclusión
estos segmentos con las progresiones aritmética y geométrica. Así mismo, podría
pensarse como variable didáctica las limitaciones de las construcciones geométricas
las que podrían utilizarse para obligar al pasaje del registro gráfico-geométrico al
numérico, para regresar al gráfico y explorar la posibilidad de inducir el traslado al
algebraico, pensando que la vinculación entre registros y el tránsito entre ellos la dota
de mayor significado. Se involucraría aquí fuertemente la noción de “función
inversa”, lo cual requerirá de un tratamiento especial debido a la complejidad de tal
noción, así como también cuidar que los logaritmos no sean tomados como
subsidiarios de las exponenciales, como ciudadanos de segunda en el mundo
matemático, sin una identidad propia.
Otro elemento interesante y también ausente en las clases de matemática es el
quiebre en el patrón de cuadraturas para las funciones potencia y el desafío de
encontrar la cuadratura de la hipérbola equilátera, cuya exploración demandara que
varios de los más grandes matemáticos de todos los tiempos la encararan. Esta idea
admite el trabajo en varios registros, y también tomaría como eje la relación entre las
progresiones mencionadas. La complejidad radica en la vinculación entre áreas bajo
una curva y función además de los obstáculos mencionados con anterioridad.
Así, podríamos continuar reflexionando y proponiendo distintos elementos para
incorporar a un diseño explotando a conciencia nuestros resultados del análisis
preliminar. Sin embargo, desde nuestra perspectiva consideramos que son dos los
elementos fundamentales a tener en cuenta a la hora de realizar el diseño: la relación
entre las progresiones aritmética y geométrica, por un lado; y el quiebre en el patrón
de cuadraturas de las funciones potencia, por otro. Cabe señalar que, una ingeniería
didáctica se diseña bajo objetivos específicos que atienden a ciertas circunstancias
dadas, las que determinan las variable didácticas a elegir. Por tanto sólo hemos
217
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo esbozado algunas posibles rutas a seguir con el ánimo de mostrar cómo utilizaríamos
nuestros resultados en un posterior diseño.
Queda entonces la tarea o quizás el desafío de realizar el diseño y su puesta en
escena para continuar con las fases de la ingeniería didáctica, que como metodología
hemos implementado en este trabajo, y para dar una respuesta científica a esta
problemática que aporte elementos robustos al discurso matemático escolar de
nuestros días.
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Bibliografía
Acevedo, E. et al. (1979). La literatura a través de los tiempos (2 Tomos). Barcelona, España: Montaner & Simón. Agnesi, M. (1748). Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana. Libro Secondo del Calcolo Differenziale (2 tomos). Aguilar, P., Farfán R. M., Lezama, J., Moreno, J. (1997). Estudio didáctico de la función 2x. Rosa Ma. Farfán (Ed.), Actas de la undécima Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 19-23), Morelia, Michoacán, México. Alanís, J. A. (1996). La Predicción: un hilo conductor para el rediseño del discurso escolar del cálculo. Tesis de doctorado no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav–IPN, México. Artigue, M. (1995). Ingeniería Didáctica. En Pedro Gómez (Ed.), Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: Una empresa docente, Grupo Editorial Iberoamérica. Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. En Pedro Gómez (Ed.), Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: Una empresa docente, Grupo Editorial Iberoamérica. Ayoub, R. (1993, abril). Whats is a Napierian Logarithm? The American Mathematical Montlhy 100(4), 351-364.
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Bachelard, G. (1997). La formación del espíritu científico Contribución a un psicoanálisis del conocimiento objetivo. (J. Babini, Trad.) (21ª ed.). México: Siglo XXI. (Trabajo original publicado en 1938). Balacheff, N. (1988). Le contrat et la coutume: deux registres des interations didactiques. En C. Laborde (Ed.), Actes du premier colloque franco-allemand de didactique de mathémetique et de l’informatique (pp. 15-26). Francia: La Pensée Sauvage. Baldor, A. (1967). Álgebra elemental. México: Editorial Cultura mexicana, S. A. Barnett, R. (1987). Álgebra y trigonometría. (Segunda edición en español). México: Mc Graw Hill. Bernal, J. (1979). La ciencia en la historia. México: Universidad Autónoma de México, Nueva Imagen. Brian, J. & Chevalier, M. C. (1996). Les enjeux didactiques dans l’enseignement des Mathématiques. Paris: Hatier. Citado en Ruiz Higueras, L. (2000). Ingeniería didáctica. Construcción y análisis de situaciones de enseñanza aprendizaje. Apuntes no publicados. Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problemes en mathemátiques. Recherches en Didactique des Mathématiques 4(2), 165-198. Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques 7(2), 33-115. Brousseau, G. (1988). Le contrat didactique: le milieu. Recherches en Didactique des Mathématiques 9(3), 309-336. Brousseau, G. (1994). Los diferentes roles del maestro. En C. Parra & I. Saiz (Eds.), Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexión. Cap. IV, 65-94. Ed. Paidós Educador. Brugrov, Y. S.& Nikolski, S. M. (1984). Cálculo diferencial e integral. Moscú, URSS: Editorial Mir. Cajori, F. (1924). A history of elementary mathematics with hints on methods of teaching. (Copyright, 1896 y 1917). New York, EE. UU.: The Macmillan company. Edición revisada y ampliada. Camacho, A. (2000). Difusión de conocimientos matemáticos a los colegios mexicanos del siglo XIX. De la noción de cantidad al concepto de límite. Tesis doctoral no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav–IPN, México.
220
Bibliografía
Cantoral, R. & Farfán, R. M. (1998). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis. Épsilon. Revista de la S.A.E.M. “Thales” 42, 353-369. Cantoral, R. (1990). Categorías relativas a la apropiación de una base de significados propia del pensamiento físico para conceptos y procesos matemáticos de la teoría elemental de las funciones analíticas: Simbiosis y predación entre las nociones de “el Praediciere” y “lo Analítico”. Tesis doctoral no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN. México. Cantoral, R. (1994). Transposición didáctica y situaciones didácticas. Versión preliminar para el seminario de investigación en ingeniería didáctica Otoño 1994. México. Cantoral, R. (1995). Acerca de las contribuciones actuales de una didáctica de antaño: El caso de la serie de Taylor. Mathesis 11, 55-101. Cantoral, R., Farfán, R. M., Hitt, F. & Rigo, M. (1983). Historia de los conceptos de logaritmo y exponencial. México: Cinvestav–IPN, Sección de Matemática Educativa. Carlson, M. P. (1998). A Cross-Sectional Investigation of the Development of the Function Concept. Issues in Mathematics Education 7, 114-162. Carretero, M. (1993). Constructivismo y educación. Buenos Aires, Argentina: Aique. Castañeda, A. (2000). Estudio didáctico del punto de inflexión: Una aproximación socioepistemológica. Tesis de Maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Cauchy, A. L. (1994). Curso de Análisis (C. Álvarez, Trad.). México: Mathema. (Trabajo original publicado en 1823). Confrey, J. (1996). Splitting, covariation, and their role in the development of exponential functions. Journal for Research in mathematics education 26(1), 66-86. Confrey, J. & Dennis, D. (2000). La creación de los exponentes continuos: un estudio sobre los métodos y la epistemología de John Wallis. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Eduativa 3(1), 5-31. Cordero, F. (1999). La Matemática Educativa en una aproximación sociocultural a la mente. Memorias del VII Simposio Internacional de Educación Matemática (pp. 106-112). UPN. Ciudad de México, México: Grupo Editorial Iberoamérica. Chevallard, Y. (1995). La Transposición didáctica. Buenos Aires, Argentina: Aique.
221
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1998). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. México: Editorial SEP. Douady, R. (1986). Jeux de Cadres et Didactique outil-objeto. Recherches en Didactique de Mathematique 7(2), 5-31. Douady, R. (1995). La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con el conocimiento. En Pedro Gómez (Ed.), Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: Una empresa docente, Grupo Editorial Iberoamérica. Douady, R. (1996). Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en las matemáticas de Collége-Seconde. (P. Ferreiras-Soto, Trad.). En: Enseñanza de las matemáticas: relaciones entre saberes, programas y prácticas (pp. 241-256). Francia: Topiques éditions. Publicaciones de IREM. Dreyfus, T. & Eisenberg, T. (1983). The function concept in college students: Linearity, Smoothness and periodicity. Focus on learning problems in mathematics 5(3-4). 119-132. Dreyfus, T. & Eisenberg, T. (1987). On the deep structure of functions. Proceeding of the eleventh international conference for the psychology of mathematics education (pp. 190-196). Montreal: Université de Quebec, Montreal. Citado por Tall 1992. Dubinsky, E. (1991). Constructive aspects of reflexive abstraction in advanced mathematics. En L. P. Steffe (Ed.), Epistemological foundations of mathematical experience (pp. 159-202). New York, EE. UU.: Springer-Verlag. Dubinsky, E. (1992). The nature of the process conception of function. En E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of function. Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 85-106). EE. UU.: Mathematical Association of America. Volumen 25. Dubinsky, E. (1996). Aplicación de la perspectiva piagetiana a la educación matemática universitaria. Educación matemática 8(3), 24-41. Dubinsky, E. (1998). Una década de investigación en educación matemática sobre algunos temas de matemáticas avanzadas. En F. Cordero (Ed.), Serie: Antologías. Número 3. México: Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN. Dubinsky, E. (2000). De la investigación en matemática teórica a la investigación en matemática educativa: un viaje personal. Relime 3(1), 47-70.
222
Bibliografía
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. (M. Vega, Trad.). “Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels (1995). Colombia: Cali, Restrepo, Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática. Edwards, C. H. (1979). The Historical Development of the Calculus. New York, NY, EE. UU.: Springer-Verlang. Eisenberg, T. (1991). Functions and associated learning difficulties. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 3-21). New York: EE. UU.: Kluwer Academic Publishers. Euler, L. (1835). Introduction a l´analyse infinitésimale. París, Francia: L'Ecole Polytechnique. (Trabajo original publicado en 1748). Euler, L. (1984). Elements of Algebra. (John Hewlett , Trad.). EEUU: Springer-Verlag. (Trabajo original publicado en 1770, Vollständige Anleitung zur Algebra). Farfán R. M. (1997). Ingeniería didáctica: Un estudio de la variación y el cambio. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Farfán, R. M. (1993). Construcción de la noción de convergencia en ámbitos fenomenológicos vinculados a la ingeniería. Estudio de caso. Tesis doctoral no publicada. Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Farfán, R. M. (1995). Perspectivas y métodos de investigación en Matemática Educativa. En F. Cordero (Ed.), Serie de Antologías 2 (pp. 55-119). Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN. México. Farfán, R. M. (1992). ¿Matemática Educativa en el nivel superior? Seis años de investigación en la Reunión Centroamericana y del Caribe. En R. Cantoral, R. M. Farfán & C. Imaz (Eds.), Memorias de la Sexta Reunión Centroamericana y del Caribe sobre formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa (pp. 236-253). México. Vol 2, Sección de Plenarias. Finney, R. & Thomas, G. (1980). Calculus and analytical geometry. EE. U.: Reading, Ma: Addison Wesley. Gaarder, J. (1998). El mundo de Sofía. México: Patria-Siruela. Garza Olvera, B. (1990) Aritmética y álgebra. (Primera edición). México: D.G.E.T.I, S.E.P., S.E.I.T.
223
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Garza Olvera, B. (1990). Cálculo diferencial (Primera edición). México: D.G.E.T.I, S.E.P., S.E.I.T. Granville, W. A. (1990). Cálculo diferencial (Decimotercera edición). México: Limusa. Gridgeman, N. T. (1973). John Napier and the history of logarithms. A. Gelbart (Ed.), Scripta Mathematica. A Quartely Journal. New York. EE.UU.: Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University. Hogben, L. (1956). La matemática en la vida del hombre. México: Continental. Citado en Trujillo (1995). Huygens, C. (1690). Discours de la cause de la pesanteur. Reeditado por IREM de Dijon (abril- 1981) Etchegoyen, S., Fagale, E., Rodríguez, S., Avila, M. & Alonso, M. (2000). Matemática 1. Buenos Aires, Argentina: Kapeluz. Kudriávtsev, L. D. (1983). Curso de análisis matemático. Moscú, URSS: Editorial Mir. Kuhn, T. (1986). La estructura de las revoluciones científicas (Séptima Reimpresión). México: Fondo de Cultura Económica. L´Hospital, G. (1998). Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio de las líneas curvas (R. Cambray, Trad.). México: Mathema. (Trabajo original publicado en 1696). Lacroix, S. F. (1837). Traité élémentaire de calcul differential et de calcul integral. París, Francia: Bachelier: Imprimeur-Libraire. Le Goff, J. (1989). De la méthode dite d´exhaustion: Gregoire de Saint Vincent (1584-1667). En Irem de Besancon (Ed.), La démonstration mathématique dans l´Histoire. (pp. 197-220). Actas du 7mo Éme colloque Inter-Irem Épistemologie et histoire des mathématiques. Lezama, J. (1999). Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función exponencial. Tesis de Maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Lovaglia, F. (1972). Álgebra: an intermediate approach. (Primera edición en español). New York, EE. UU.: Harla & Row. Mahoney, M. S. (1973). The Mathematical Career of Pierre de Fermat. 1601-1665.
224
Bibliografía
Margolinas, C. (1993). De l’importance du vrai et du faux. Dans la classe de mathemátiques. París, Francia: La Pensée sauvage, Editions. Martínez, G. (2000). Hacia una explicación de los fenómenos didácticos. El caso de las convenciones en el tratamiento de los exponentes no naturales. Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Melchor Ceballos, T. (1996). El concepto de función y su relación con la proporción. Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Mirón, H. & Cantoral, R. (2000). Sobre el estatus de la noción de derivada.: De la epistemología de Joseph Louis Lagrange al diseño de una situación didáctica. Relime 3(3), 265- 292 Napier, J. (1614). A description of the admirable table of logarithms. London: Nicholas Okes (1616). Editie vertaald uit het Latijn door Edward Wright. Naux, Ch. (1966-1971). Histoire des Logarithmes. De Neper a Euler. (Tomo I y II). París, Francia: Librairie Scientifique et Technique. Newton, I. (1968). Further logarithmic calculation. En D. Whiteside (Ed.), The mathematical papers of Isaac Newton Vol 2. Cambridge, Gran Bretaña: University Press. (Trabajo original publicado en 1667). Newton, I. (1693). Principios matemáticos. (A. Escohotado & M. Saenz, Trad.). Barcelona, España: Altaya. (Trabajo original publicado en 1686) Ocampo, J. (1992). La dimensión gráfica de los conceptos de límite y derivadas: experiencia con profesores de matemáticas: Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Penglase, M. & Arnold, S. (1996). The graphics calculator in Mathematics Education: A critical review of recent research. Mathematics Education Research Journal 8(1), 58-90. Phillips, H. (1945). Cálculo infinitesimal. México: unión tipográfica hispanoamericana. Purcell, E., Varberg, D. (1987). Cálculo con Geometría Analítica (Cuarta edición). México: Prentice-Hall Hispanoamericana.
225
Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo
Quiróz, M. (1989). Instalación de un lenguaje gráfico en estudiantes que inician estudios universitarios. Un enfoque alternativo para la reconstrucción del discurso matemático escolar del Precálculo. Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Rees, P. & Spark, F. (1991). Álgebra (Amores, Trad.). (Décima edición). México: Mc. Graw Hill. (Trabajo original publicado en 1939). Rei, D. (1978). La revolución científica: Ciencia y sociedad en Europa entre los siglos XV y XVII. Barcelona, España: ICARIA. Rivera, A. (1996). Acerca de la relación entre el saber y los efectos de la tecnología. Una investigación con profesores sobre sus actitudes y creencias. Tesis de Maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav- IPN, México. Ruiz Higueras, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Tesis de doctorado publicada. Universidad de Jaén, Colección Juan Pérez de Moya, Jaén, España. Ruiz Higueras, L. (2000). Ingeniería Didáctica. Construcción y análisis de situaciones de enseñanza–aprendizaje. Apuntes no publicados del curso dictado en Relme XIV. Pananá. Saldaña, R. (1988). Del área a la integral: de la noción al concepto y de ahí a su definición (Ensayo histórico). Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México. Sarrazy, B. (1995). Le contrat didactique. Revue Française de Pédagogie. Didactique des sciences économiques et sociales 112, 85-118. Sierspinska, A. (1992). On understanding the notion of function. En E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of function. Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 25-58). EE. UU.: Mathematical Association of America. Volumen 25. Simmons, H. A. (1948). College Algebra. New York, EE. UU.: The Macmillan Company. Soto, E. M. (1988). Una experiencia de redescubrimiento en el aula: Acerca de los logaritmos de los números negativos y los orígenes de la variable compleja. Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México.
226
Bibliografía
Spivak, M. (1992). Calculus. (Segunda edición). Barcelona, España: Reverté. Stewart, J. (1994). Cálculo. México: Grupo Editorial Hiberoamérica. Stewart, J. (1999). Cálculo. Conceptos y contextos. México: Itenational Thomson Editores Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con Geometría Analítica (Segunda Edición). México: Marquette University. Tall, D. & Vinner, S. (1981) citado en Tall, D. (1991). The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 3-21). New York: EE. UU.: Kluwer Academic Publishers. Tall, D. (1991). The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. En D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp. 3-21). New York, EE. UU.: Kluwer Academic Publishers. Tall, D. (1992). The transition to advanced mathematics teaching and learning. En D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 495-511). New York: EE. UU.: Macmillan Publishing Company. Tall, D. (1996). Functions and calculus. En A. L. Bishop et al. (Eds.), International handbook of mathematics education (pp. 289-325). Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Trujillo, R. (1995). Problemática de la enseñanza de los logaritmos en el nivel medio superior. Un enfoque sistémico. Tesis de maestría no publicada. Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN. México. Vallejo, M. (1849). Compendio de Matemáticas Puras y Mixtas. (2° Tomo). París, Francia: Librería Rosa, Bouret y Cia. Imprenta de J. Clave. Vinner, S. (1992). The function Concept as a Prototype for problems in Mathematics Learning. En E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp.195-213). EE. UU.: Mathematical Association of America. Volumen 25. Youschkevitech, (1995). The concept of function up to the midde of the 19th century. (R. Farfán, trad.). En R. M. Farfán (Ed.), Antologías 1 (pp. 81-185). Área de Educación Superior, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN: México. (Reimpreso del Arch. Hist. Exact. Sci. 16, pp. 37-85, 1976).
227