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Agujeros NegrosDiego Hernando Ramírez Melo

Historia de los Agujeros Negros

John Michell dejó registrada en una carta dirigida a Henry Cavendish, ilustre miembro de la Royal Societylondinense, la siguiente elucubración teórica:


“Si el semidiámetro de una esfera de la misma densidad que el Sol superara al del propio sol en una proporción de 500 a 1, un cuerpo que cayera desde una altura infinita hacia él adquiriría en su superficie una velocidad mayor que la de la luz y, en consecuencia, suponiendo que la luz fuera atraída por la misma fuerza en proporción a su vis inertiae, con otros cuerpos, toda la luz emitida desde dicho cuerpo se retraería en él debido al efecto de su propia gravedad”.


Michell expresaba así, en un lenguaje un tanto alambicado, la posibilidad de que existieran “estrellas oscuras” tales que la enorme magnitud de su masa las llevara a engullir su propia luz. Se sustentaba para ello en una hipótesis que enunciara Isaac Newton más de un siglo antes en su obra Opticks: la luz está compuesta por corpúsculos, partículas materiales.


Según Michell, al igual que un proyectil sin suficiente impulso caería de nuevo al suelo, la luz emitida desde una estrella con masa superior a un determinado valor crítico no lograría deshacerse del influjo del astro y no sería proyectada desde el mismo.


La primera edición de Exposition du Système du Monde (1796) de Pierre-Simon de Laplace contiene descripciones teóricas pioneras de las “estrellas oscuras”, o agujeros negros.


Las dos primeras ediciones de la Exposición del sistema del mundo de Laplace recogían la idea de las “estrellas oscuras” elaborada antes por Michell, con análogos argumentos. En las ediciones sucesivas, esta hipótesis desapareció del texto. Posiblemente, su censura tuvo que ver con el descrédito creciente de la teoría corpuscular de la luz que se acumuló a lo largo del siglo xix.

Determinación Clásica

• Suponiendo una equivalencia plena clásica (Newtoniana) entre la masa inercial definida con la fórmula (1) y la masa gravitacional definida mediante la ley de Newton para la atracción universal que establece una fuerza gravitacional como se relaciona en (2)

Ԧ𝐹𝑖 = 𝑚 Ԧ𝑎 (1)

𝐹𝑔 = −𝐺𝑀𝑚

𝑟2Ƹ𝑟 (2)


Al igualar las dos ecuaciones se tiene que:

Como 𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡= Ԧ𝑣 entonces:


Al evaluar todas las posiciones en las que estaría el cuerpo y sus respectivas velocidades:

Puesto que para la velocidad de escape estamos buscando las siguientes condiciones (para un tiempo infinitamente grande a una distancia infinitamente grande la velocidad del cuerpo debe ser igual a cero):

t → ∞ r(t) → ∞ v(t) → 0

Relatividad

Espacio y Tiempo a Espacio-Tiempo



Deducción de los Agujeros Negros (Relatividad)

La Solución de Schwarzschild.

• La solución original encontrada por Schwarzschild solo describe lo que ocurre en la región exterior del horizonte de evento. Pero no nos dice nada sobre lo que ocurre en el interior.

• Si en la métrica de Schwarzschild consideramos a un observador situado en el “infinito”, podemos ver que conforme r va tomando valores grandes el coeficiente de dt² va tomando el valor de -1.

La Solución de Schwarzschild.• ds² = (1 + 2GM/rc²) c²dt² - (1 + 2GM/rc²) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²)

• ds² = c²dt² - dr² - r²dθ² - r²sen²θ dφ²

• ds² = c²dt² - (dr² + r²dθ² + r²sen²θ dφ²)

• Para la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas Cartesianas rectangulares tenemos lo siguiente:

• x = r sen θ cos φ

• y = r sen θ sen φ

• z = r cos θ

• (dx)² + (dy)² + (dz)² = (dr)² + r²(dθ)² + r²sen²θ(dφ)²

• Con esto tenemos entonces lo siguiente:

• ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz²



• Haciendo ds² = 0 en la métrica de Schwarzschild, podemos estudiar el comportamiento de un rayo de luz cerca del horizonte de evento, tal y como será visto por un observador en reposo viendo lo que sucede desde el “infinito”.


• Podemos ver claramente que conforme r se aproxima a 2GM, dt/dr empieza a crecer aumentando hasta el infinito. Este es un efecto de dilatación del tiempo. Cualquier mensaje enviado por medio de una señal luminosa desde las afueras del horizonte de evento a un observador en reposo situado lejos del agujero negro será “estirado”.

Determinación Clásica mediante energías

𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑔

1

2𝑚𝑣2 =

𝐺𝑀𝑒𝑚

𝑟𝑒

𝑚𝑣2 =2𝐺𝑀𝑒𝑚

𝑟𝑒

𝒗 =𝟐𝑮𝑴𝒆

𝒓𝒆

Determinación del Radio de Schwarzschildmediante energías

𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑔1

2𝑚𝑣2 =

𝐺𝑀𝑒𝑚

𝑟𝑒

𝑚𝑣2 =2𝐺𝑀𝑒𝑚

𝑟𝑒


𝒓𝒆

𝐸𝑐 = 𝐸𝑝𝑔

1

2𝑚𝑐2 =

𝐺𝑀𝑒𝑚

𝑟𝑒

𝑚𝑐2 =2𝐺𝑀𝑒𝑚

𝑟𝑒

𝑟𝑒 =2𝐺𝑀𝑒

𝑐2𝑟𝑒 =

2𝐺𝑀𝑒

𝑣2

Determinación del Radio de Schwarzschildmediante energías


𝒓𝒆

𝑟𝑠 =2𝐺𝑀𝑒

𝑐2𝑟𝑒 =

2𝐺𝑀𝑒

𝑣2

𝒄 =𝟐𝑮𝑴𝒆

𝒓𝒔

Clásica Relatividad

Determinación del Radio de Schwarzschild

𝑟𝑒 =2𝐺𝑀𝑒

𝑐2

𝒄 =𝟐𝑮𝑴𝒆

𝒓𝒔Válido únicamente para un cuerpo sin rotación

Suponiendo la ley de gravitación universal de Newton como válida, y siendo la velocidad de escape de un cuerpo de la superficie de la Tierra igual a 11.2

kilómetros/seg, ¿cuál sería la velocidad de escape si de alguna manera pudiésemos comprimir a la Tierra a la mitad de su tamaño actual?


𝒓𝒆

Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg²Radio medio de la Tierra = R = 6,400 kilómetros

𝒗 = 𝟏𝟓, 𝟖 𝐊𝐦/𝐬Manteniendo la masa M constante y comprimiendo de alguna manera un cuerpo

esférico disminuyendo su radio, aumentará entonces la velocidad de escape requerida para que un objeto se pueda sustraer de la atracción gravitatoria del cuerpo.

Suponiendo la ley de gravitación universal de Newton como válida, ¿cuál tendría que ser el radio de un cuerpo esférico con una masa igual a la masa de la Tierra

para que la velocidad de escape requerida sea igual a la velocidad de la luz?

Tomando la velocidad de la luz del orden de 300’000,000 m/s

𝒓 = 𝟎, 𝟗 𝒄𝒎


𝑐2

¿Qué es un Agujero Negro?

• Un agujero negro lo podemos pensar como una cantidad de masa muy grande contenida en un solo punto, llamado comúnmente singularidad.


• A pesar de que los agujeros negros no son luminosos, su campo gravitacional es muy intenso. Encontrar un agujero negro aislado es muy difícil, sin embargo si se encuentra cerca de otros objetos es posible inducir su presencia debido a la atracción gravitacional que siente el otro objeto.


• A pesar de que la existencia de los agujeros negros se podía predecir a partir de la Relatividad General de Einstein, por muchos años los científicos se negaban a aceptar esta posibilidad, ya que la física que está presente dentro de un agujero negro debe ser muy diferente a la física que conocemos.


• Hasta la fecha la física en el interior de un agujero negro no se conoce; ya que para entender lo que pasa ahí dentro es necesario conocer las leyes que rigen la unión de la Relatividad General (escalas grandes) con la Mecánica Cuántica (escalas pequeñas).

¿Qué se requiere para que nuestra estrella

madre sea un Agujero Negro?

De acuerdo con la métrica de Schwarzschild, ¿cuál tendría que ser el radio de una estrella como el Sol para que la luz pueda escapar de su superficie?

Tomaremos el siguiente dato como válido:

Masa del Sol 𝑀⊙ = 1,99 ∗ 1030𝐾𝑔

Constante de Gravitación Universal

𝐺 = 6,674215 ∗ 10−11𝑚3

𝐾𝑔 ∗ 𝑠2


𝑐2 ⇒ 𝑟𝑠= 3 ∗ 103𝑚

∴ 𝑟𝑠 = 3 𝐾𝑚

Suponiendo que de alguna manera podamos comprimir al Sol para que tenga un radio de 3 kilómetros, ¿cuál será su densidad?

𝑀⊙ = 1,99 ∗ 1030𝐾𝑔

Como la densidad “ρ” idealizada, la podemos asumir como la razón de la masa sobre el volumen

𝜌 =𝑚

𝑉de la misma forma el volumen de una esfera 𝑉 =

4

3𝜋𝑟3

𝜌⊙ =1,99 ∗ 1030𝐾𝑔

1,13 ∗ 1011𝑚3

𝑉⊙ =4

3𝜋𝑟𝑠 ⇒ 𝑟𝑠= 3 ∗ 103𝑚 ∴ 𝑉⊙ = 1,13 ∗ 1011𝑚3

∴ 𝜌⊙ = 1,76 ∗ 1019𝐾𝑔

𝑚3

Para el caso de una estrella

• Al momento de perder el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la presión hidrostática, se genera un colapso por esta perdida, es así que al sintetizar Hierro (Fe) en el núcleo de la estrella por la estabilidad del mismo.

• Si la densidad de la estrella no es muy elevada, cuando es relativamente joven, esta colección de átomos y iones se comporta en cierta manera como un gas ideal cuya presión P y cuya temperatura T están relacionadas mediante la ley del gas ideal:

𝑃 = 𝑛𝑘𝑇


• Al continuar compactándose la estrella aumentando su densidad, se va alejando de su comportamiento como un gas ideal pero entra en acción otro efecto repulsivo de naturaleza puramente cuántica (como en Mecánica Cuántica). Los electrones del gas de la estrella obedecen el principio de exclusión de Pauli que nos dice que “dos electrones no pueden ocupar el mismo estado con todos sus números cuánticos iguales”


• Como consecuencia de este efecto existe una presión-repulsión adicional que se opone al colapso gravitacional de la estrella, una presión adicional ejercida por los electrones que se vuelve importante al ir aumentando la densidad de la estrella, a la cual se le conoce como presión de degeneración de los electrones


• Se requiere de una densidad en torno a los 106 g/cm³ (1000 kg/cm³). Si la densidad de la materia en una estrella se vuelve aproximadamente unos cinco millones de veces más grande que la densidad del agua, los electrones contribuyen con una presión adicional que es aproximadamente igual a:

𝑃 ≈ ℎ𝑐𝑛43

• Siendo h la constante de Planck, c la velocidad de la luz y n el número de electrones por unidad de volumen (a densidades más bajas la presión se vuelve proporcional a n5/3). Esta presión, siendo de naturaleza cuántica, no requiere de una temperatura alta, de modo tal que puede ser sostenida aún cuando la estrella continúa radiando energía.


𝑃 ≈ ℎ𝑐𝑛43

• Siendo h la constante de Planck, c la velocidad de la luz y n el número de electrones por unidad de volumen (a densidades más bajas la presión se vuelve proporcional a n5/3). Esta presión, siendo de naturaleza cuántica, no requiere de una temperatura alta, de modo tal que puede ser sostenida aún cuando la estrella continúa radiando energía.

Para el caso de una estrellaPara que una estrella pueda sostenerse en un estado de equilibrio resistiéndose a su colapso gravitacional, el requerimiento esencial de equilibrio hidrostático es que a cada radio r -medido desde el centro de la estrella- la fuerza de atracción gravitacional Newtoniana que tiende a compactarla sea contrabalanceada por una presión causada por el gas del que está formada la estrella, con la ecuación de equilibrio hidrostático para estrellas Newtonianas (no-relativistas):


Sin embargo, para una masa mayor a 1.3 veces la masa de nuestro Sol pero no mayor de cierto límite, al ser insuficiente la presión de degeneración de los electrones se vuelve cada vez más probable que las estrellas eventualmente continúen con su proceso de colapso de gravitacional hasta que la atracción de la gravedad hace que se contraigan a una estrella conocida como enana blanca del tamaño de la Tierra pero con una masa equivalente a la masa del Sol.


Sin embargo, existe un límite para una enana blanca, conocido como el límite de Chandrasekhar, el cual equivale a aproximadamente unas 1.44 masas solares, siendo esta la máxima masa posible de una estrella fría estable con la cual la degeneración de electrones en su interior (flechas rojas) apenas es capaz de contrarrestar la atracción de la gravedad (flechas negras):


Cuando estos eventos ocurren, las explosiones son visibles e inclusive pueden ser vistas en el cielo sin ayuda de instrumentos ópticos como estrellas con una luminosidad mucho mayor que la luminosidad de las estrellas circundantes.

Para el caso de una estrellaCuando una estrella explota convirtiéndose en una supernova arrojando hacia el espacio su capa exterior, esta explosión también proporciona un empuje esférico hacia el interior concentrando en el núcleo remanente de la estrella una cantidad de masa mucho mayor que la que había antes allí.


Tenemos nuevamente una situación inicial de equilibrio hidrostático. Sin embargo, la intensidad del campo gravitacional impide que podamos analizar este tipo de estrella bajo la mecánica clásica Newtoniana. Es necesario recurrir a las ecuaciones de campo de la Relatividad General para poder determinar lo que va a ocurrir de aquí en adelante.

para el caso de una masa esféricamente simétrica, tomando como punto de partida la ecuación de equilibrio hidrostático para estrellas relativistas:


Esta ecuación exacta que reemplaza a la ecuación Newtoniana, descrita por vez primera por el físico norteamericano Robert Oppenheimer y su alumno George Volkoff, es mejor conocida como la ecuación Oppenheimer-Volkoff.


El límite de Chandrasekhar, que es la masa máxima con la cual una estrella puede sostenerse en equilibrio en contra de su colapso gravitacional, podemos esperar que en la expresión relativista para el equilibrio hidroestático habrá también otro límite. Ese límite existe y es conocido como el límite Oppenheimer-Volkoff.

Para poder encuadrar mejor la teoría con las observaciones se modifica la ecuación de tal forma que:

𝑑𝑃(𝑟)

𝑑𝑟= −

𝐺

𝑟2𝜌 𝑟 +

𝑃(𝑟)

𝑐2𝑀 𝑟 + 4𝜋𝑟3

𝑃(𝑟)

𝑐21 −

2𝐺𝑀(𝑟)

𝑐2𝑟

−1

¿Qué se requiere para que nuestra estrella madre sea un Agujero Negro?

• Hasta la fecha la física en el interior de un agujero negro no se conoce; ya que para entender lo que pasa ahí dentro es necesario conocer las leyes que rigen la unión de la Relatividad General (escalas grandes) con la Mecánica Cuántica (escalas pequeñas).

¿Y si se mueve? O ¿Si tiene carga eléctrica? O ¿Ambas?

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