AIEP Cuaderno de Aprendizaje Introducción a la Matemática 2012

Cuaderno de Aprendizaje

Introduccin a laMatemtica

Este CUADERNO DE APRENDIZAJE tiene como objetivo ser una ayuda para el logro de tus aprendizajes.

Este material, basado en el Programa del Mdulo, est estructurado de modo que oriente tu estudio y actividades prcticas.

Primeramente te encontrars con un APRENDIZAJE ESPERADO, el cual te seala el gran aprendizaje que debes alcanzar.

Luego, aparecen los CRITERIOS DE EVALUACIN; stos son los indicadores que te permiten demostrar que ya has aprendido.

Criterio 1.1.- Calcula expresiones aritmticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Nmeros Reales, utilizando calculadora cientfica.

CmoutilizarelCuadernodeAprendizaje:

A continuacin de cada Criterio, encontrars:- Dos preguntas de respuesta abierta con su desarrollo y solucin.- Una pregunta de seleccin mltiple con su solucin.

La idea es que aprendas a travs de las preguntas que se te ofrecen.

Algunas actividades pueden ser:- Preprate para tus pruebas segn los Criterios de Evaluacin; realiza ejercicios

de acuerdo a ellos. Ten presente que las evaluaciones de tus docentes se deben basar en estos Criterios. Si requieres ms explicacin sobre el significado de stos, pdesela sin problema a ellos.

- Determinar si llegaste a la respuesta correcta.- En caso de estar correcta la respuesta, verificar si el desarrollo que hiciste de la

pregunta coincide de un modo general con la solucin dada o tambin si existe otra alternativa igualmente correcta para llegar al resultado.

- En caso de no llegar al resultado correcto, ubica en el desarrollo de la pregunta propuesta, dnde estuvo el problema.

- Ejercita mucho.

Estimado Estudiante:

EjemplodeCriteriodeEvaluacin:

Esperamosqueestematerialseaunaporteparati.

Muchoxito!

Direccin de Desarrollo Curricular y EvaluacinVicerrectora Acadmica

CUADERNO DE APRENDIZAJE

MDULO: INTRODUCCIN A LA MATEMTICA

APRENDIZAJE ESPERADO:

1. Resuelven ejercicios numricos y problemas de aplicacin sencillos, aplicando la operatoria y propiedades de los nmeros reales, con ayuda de calculadora cientfica.

Criterio 1.1 .- Evala expresiones aritmticas dadas, utilizando reglas operatorias, propiedades y el orden de las operaciones en el conjunto de los Nmeros Reales, utilizando calculadora cientfica

1. Encuentre el valor que se obtiene al resolver la siguiente expresin ( )[ ] ( )[ ] 2:143798537 +++ (utilice calculadora para verificar el resultado).

Solucin:

( )[ ] ( )[ ] 2:143798537 +++

[ ] [ ] 7316887 +

[ ] [ ] 719167 +

719112 ++

Respuesta: 138

2. Encontrar el valor de; 3,14521,6

545,0

37

++ Exprese el resultado en forma

fraccionaria (utilice calculadora para verificar el resultado)

Solucin:

3,14521,6

545,0

37

++

45

90551

54

95

37

+

.

1013

72551

3625

37

++

Respuesta: 120959

3. Encuentre el valor de

+

27

43

81

73

52

A) 11201313

B) 11201302

C) 11201313

D) 11201302

Alternativa correcta: C

Solucin:

411

81

3529

+

3211

3529

Respuesta: 11201313

Criterio 1.2.-. Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los nmeros naturales

4. Una cadena de supermercados realiza un pedido de 3.000 kg de pan a una panificadora distribuidora. Primero le envan 854 kg, al da siguiente 12 kilos menos que la primera vez y dos das despus 156 kg ms que la primera vez. Cuntos kilgramos faltan por enviarle?

Solucin:

( ) ( )15685412854854 +++

Por lo tanto, faltan por enviarle:

294706.2000.3 = Kilos

5. Tres motocicletas giran alrededor de una pista, un corredor da la vuelta al circuito cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden A qu hora vuelven a coincidir nuevamente los tres motociclistas?

Solucin:

Debemos encontrar el mnimo comn mltiplo entre 12, 18 y 60

Mnimo comn mltiplo: 180 segundos = 3 minutos

Respuesta: Por lo tanto vuelven a coincidir a las 6:33

6. Para realizar una inauguracin de un monumento se dispone de un coctel de 48 porciones de bebestibles, 24 porciones de cctel calientes y 12 porciones de cctel fro. Se desea que cada invitado reciba la misma cantidad de bebida, ccteles calientes y ccteles fros Cul es el mayor nmero de personas que es posible atender en esta recepcin?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 12

Alternativa correcta: D

Solucin:

Los divisores de 48 son: { }48,24,16,12,8,6,4,3,2,1 Los divisores de 24 son: { }24,12,8,6,4,3,2,1 Los divisores de 12 son: { }12,,6,4,3,2,1 Por lo tanto el mximo comn divisor es: 12

Criterio 1.3.- Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los nmeros enteros

7. El dueo de una cadena de supermercados hace el siguiente resumen de la evolucin de sus finanzas a lo largo de un ao determinado:

Enero --Marzo: ganancias de 30.000.- dlares mensuales Abril --Julio: prdidas de 10.000.- dlares mensuales Agosto: prdida de 3.000.- dlares Septiembre Diciembre: ganancias de 25.000.- dlares mensuales

Cul fue el balance final de ao?

Solucin:

( ) ( ) ( ) 4000.25000.34000.103000.30 +++

Resultado: Ganancias por 000.147 dlares

8. En un estanque de combustible hay 800 litros de petrleo. Por la parte superior un tubo vierte en el estanque 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo salen 30 litros por minuto. Cuntos litros de petrleo habr en el estanque despus de 15 minutos de funcionamiento?

Solucin:

)1530(1525800 +

725450375800 =+

Resultado: 725 litros

9. Tenemos una bomba que extrae agua de un pozo a 975 metros de profundidad y lo eleva a un estanque que se encuentra a 48 metros de altura Qu nivel supera el agua?

A) 1.023 metros B) 1.100 metros C) 1.200 metros D) 1.350 metros

Alternativa correcta: A

Solucin: 023.197548)975(48 =+= metros.

Criterio 1.4.- Resuelve problemas de aplicacin utilizando reglas operatorias, propiedades y orden de las operaciones en los nmeros racionales

10. De una piscina inicialmente llena de agua se saca un da la cuarta parte y luego la tercera parte del agua que quedaba, finalmente hay 450 3m Determine la capacidad total de la piscina.

Solucin:

Inicialmente: 1 (lleno)

Primer da: se extrae 41

Segundo da: se extrae 41

411

31

=

Entonces: 21

41

411 = de la piscina queda finalmente

345021

m

31 mx

3900

21

450mx ==

Capacidad de la piscina: 3900 m

11. Un estanque se llena con 3.000 litros de agua. Un da se gast 61

del estanque y otro da 1.250 litros. Qu fraccin de agua queda en el estanque?

Solucin:

50061000.3 =

.750.1250.1500 ltrs=+

250.11750000.3 =

Por lo tanto queda: 125

000.3250.1

=

12. En una fbrica de textiles se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 horas. El proceso para maximizar la produccin es el siguiente: 3

1 del tiempo, se dedica a la fabricacin de camisas,

41 de la jornada para pantalones, 21 del tiempo que se ocupa para la fabricacin de camisas, se

utiliza para bordar los botones, 31 del tiempo destinado a pantalones, se usa para afinar detalles,

21

del tiempo utilizado para los bordar los botones, se destina para almorzar. El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. Cuntas horas se dedican a esta actividad?

A) Media hora B) Una hora C) Una hora y media D) Dos horas

Alternativa correcta: B

Solucin:

1211

121

121

61

41

31

=++++

Por lo tanto para actividades recreativas, se utiliza 121 hora112. =


2. Resuelven problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar correctamente con razones y proporciones, con ayuda de calculadora cientfica

Criterio 2.1 Identifica el concepto de razn e interpreta su valor en el contexto de casos

13. Una empresa importadora de verduras, export en Febrero del 2010, 5.200 cajas de tomates, para Marzo del 2010, ante las eventualidades del alza del combustible y variaciones en el cambio peso dlar, la exportacin se debe reducir a 1.300 cajas del producto. Determine la razn entre la importacin del mes de Febrero del 2010, en relacin a Marzo del 2010 e interprete el resultado

Solucin:

Se establece la razn entre ambas exportaciones: 14

300.1200.5

20102010

==

delMarzodelFebrero

Se concluye que la importacin en Febrero del 2010 es cuatro veces superior a la del mes de Marzo del 2010.

14. Se realiza un presupuesto de materiales para una obra, entre vigas de techumbre de 2 x 6 pulgadas, de pino corriente y pino oregn. Si la viga de pino corriente tiene un valor unitario de $7.550 y la viga de pino oregn $15.400, determine cuntas veces es mayor el valor del pino oregn respecto al pino corriente.

Solucin:

0397,2550.7400.15

= veces mayor

15. Dos compaas internacionales del rea informtica realizarn inversiones de 20 millones y 22,5 millones de dlares respectivamente, entonces la cantidad de veces que la segunda compaa supera a la primera en inversin es de:

A) AB 25,1= B) AB 15,1= C) AB 125,1= D) AB 889,0=


Solucin:

veces125,120

5,22=

Criterio 2.2 Resuelve problemas, aplicando teoremas y propiedades de las razones.

16. Una compaa realiza una inversin en el ao 2009 del orden de los 25 millones de pesos, inversin que supera 1,25 veces la realizada el ao anterior para la adquisicin de los mismos productos. Determine la inversin realizada el ao 2008.

Solucin:

pesosdemillonesx

x

aoInversinaoinversin

2025,1

25

25,125

25,120082009

==

=

=

17. La remuneracin de un trabajador este mes ha disminuido con respecto al mes anterior en la razn 3: 8. Si la remuneracin de este mes es de $456.430. Cul es el valor de la remuneracin correspondiente al mes anterior?

Solucin:

147.217.1$375,0

430.456

375,0430.45683430.456

=

=

=

==

x

x

x

xanteriormesingresoactualmesingreso

18. La produccin actual del diario La Primera es del orden de los 85,6 millones de pesos, pero ante una eventual recesin, la produccin se limitar a 53,4 millones de pesos. En cunto se ha reducido la produccin de acuerdo a esta informacin?

A) 0,6234 veces B) 1,603 veces C) 0,546 veces D) 0,3766 veces

Alternativa correcta: D

Solucin:

6234,06,854,53

=

3766,06234,01 =

Criterio 2.3 Calcula el trmino desconocido de una proporcin, aplicando propiedades y el teorema fundamental de las proporciones.

19. Cual es el valor de x en la proporcin, calcule:

x

18156

=

Solucin:

452706

15186

=

=

=

x

x

x

20. Cul es el valor de x en la proporcin, calcule:

9324338

38

43

432

43

:

44332

=

=

=

=

=

x

x

x

x

Solucin

x

21. El valor de x en la proporcin: x

51

7423

= es:

A) 8

105

B) 105

8

C) 74

D) 47

Alternativa Correcta: B

Solucin:

354

23

=x

1058

23

354

==x

Criterio 2.4: Resuelve problemas contextualizados aplicando teoremas y propiedades de las razones y proporciones.

22. En la bodega de la empresa de zapatillas Niki se entrega el siguiente recuento: La suma de las zapatillas de damas y varones es de 464 pares y la razn entre los mismos es de 3: 5 encuentre la cantidad de pares de zapatillas correspondientes a cada rubro.

Solucin:

paresVparesD

kk

kk

kVkV

kDkDVD

VD

290174

584648

46453

55

33

53

464

=

=

=

=

=+

==

==

=

=+

23. Las recomendaciones de higiene sealan que para que exista una adecuada desinfeccin se debe realizar con tres productos: A , B y C .Cuntos mililitros se requieren de cada producto, si se necesitan preparar en total 250 ml, en la relacin : A : B = 8 : 5 y B : C = 4 : 3?

Solucin:

95,556,7436,11973,325067

250152032

1515

2020

3232

15:20:32::1520

5354

2032

4548

250

===

=

=

=++

==

==

==

=

=

=

=

=

=++

CBAk

kkkk

kCkC

kBkB

kAkACBA

CBBA

CBA

24. Un agente de la bolsa de comercio puede invertir en tres tipos de acciones del tipo X ms dos acciones del tipo Z por un total de $478.000. Si las acciones del tipo X respecto de las del tipo Z estn en la razn 5: 2 Cunto pag por cada una de las acciones?

A) X=$330.000 Z= $148.000 B) X =$340.000 Z= $138.000 C) X =$300.000 Z= $178.000 D) X =$125.789 Z= $ 50.316

Alternativa: B

Solucin:

yexSean el precio unitario de las acciones tipo A y B respectivamente

25

000.47823

=

=+

yx

yx

Alternando medios, tenemos.

kyx ==25

Por lo tanto:

kyky

kxkx

22

55

==

==

Reemplazando x e y en funcin de k en 3x + 2y = 478.000 tenemos:

89,157.25000.478415

000.478)2(2)5(3

=

=+

=+

kkk

kk

Por lo tanto: x = $125.789 y = $50.316


3. Resuelven problemas de variacin proporcional, en el contexto de la especialidad y la vida cotidiana.

Criterio 2.5 Identifica variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas en fenmenos naturales, econmicos y/o sociales.

25. Establezca si las magnitudes de los siguientes ejercicios corresponden a una proporcionalidad directa o inversa

a. El nmero de bienes de un cierto tipo que compra y la cantidad que debe cancelar por los bienes

b. la velocidad de un avin y el tiempo que tarda en realizar un viaje

c. Si tiene $20.000 para adquirir libros, el nmero de libros que se pueden adquirir y el precio de los libros.

Solucin:

a. Directamente proporcional b. Inversamente proporcional c. Inversamente Proporcional

26. Se da la siguiente relacin entre el consumo de un bien (x) y su precio (y), si k es la constante de proporcionalidad Qu relacin existe entre el consumo del bien y el precio?

2yk

x =

Solucin:

El consumo es inversamente proporcional al cuadrado del precio

27. Se da la siguiente relacin entre los ingresos de una empresa de comida rpida (i), el nmero de productos vendidos diariamente (p) y el nmero de das que atienden aquellos lugares de comida rpida (d). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces,

dkpi = , entonces se da la siguiente relacin entre las variables

A) i es directamente proporcional con d e inversamente proporcional con p B) i es directamente proporcional con p con d C) i es directamente proporcional con p e inversamente proporcional con d D) i es inversamente proporcional con p y directamente proporcional con d

Alternativa: C

i es directamente proporcional con P e inversamente proporcional con D

CRITERIO 2.6 Plantea frmulas en base a problemas dados, aplicando conceptos de variaciones proporcionales directas, inversas y conjuntas.

28. El volumen V de una madera que produce un rbol de eucaliptus es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su dimetro d. Escriba algebraicamente la relacin.

Solucin:

2dhV =

29. En la elaboracin de un producto de limpieza, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrs, dependiendo de la cantidad del producto a elaborar, se recomiendan los siguientes volmenes de aguarrs:

Aguarrs (ml)( x) 165 330 495 660 825 990 Cera (gramos)(y) 82,5 165 247,5 330 412,5 495

a. Cul es la relacin de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad

b. Si se requieren 750 ml de aguarrs, determine la cantidad de cera necesaria (en gramos)

Solucin:

a. Relacin directamente proporcional.

2495990

5,412825

330660

5,247495

165330

5,82165

======

2=k

b. gramosxy

yx

3752

7502

2

===

=

30. Un control de calidad estipula que la presin (P) de un lquido en un envase de transporte convencional, debe ser inversamente proporcional al volumen (V) que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta (T). Si k es la constante de proporcionalidad, entonces, la relacin anterior queda expresada algebraicamente como:

A) TVkP =

B) V

TkP =

C) TVkP =

D) 2VTkP =


VTkP =

Criterio 2.7 Grafica e interpreta grficos de variaciones proporcionales, directas e inversas, relacionados con situaciones y fenmenos comerciales, econmicos, etc.

31. El siguiente grfico entrega el comportamiento de las variables N de latas adquiridas, versus el precio en pesos a cancelar por ellas.

a. Qu tipo de relacin existe entre las variables? b. Determine la constante de proporcionalidad c. Si usted compra 12 latas de bebidas Cul es el precio a cancelar?

Solucin:

a. Relacin directamente proporcional

b. 350................3050.1

2700

1350

====

c.

200.4$12350 ===

x

ykx

32. Se quieren transportar 1.200.000 Kg de chatarra. En un determinado tipo de camin caben 8.000 Kg Cuntos viajes tendr que hacer para transportar la chatarra? La informacin se entrega en la siguiente tabla.

N de camiones 1 2 3 5 6

N de viajes 150 75 50 30 25

a. Graficar la informacin anterior. b. Qu tipo de relacin existe entre las variables? c. Si se utilizaran 10 camiones Cuntos viajes tendra que realizar?

Solucin:

a.

b. Relacin inversamente proporcional

c,

156

150

==

=

camionesdeN

viajesdeNk

camionesdeN

N de viajes

020406080

100120140

1 2 3 4 5Nmero de camiones

N de

via

jes

33. En la figura 1, P y Q son dos magnitudes inversamente proporcionales. La expresin algebraica de tal relacin es:

A) QP 60= B) 90=QP

C) QP60

=

D) PQ 103=


Criterio 2.8 Resuelve problemas de proporcionalidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad.

34. En la construccin de un mall, 6 camiones transportan un total de 80.000 toneladas de material, empleando 6 horas de trabajo. Si se reduce a 4 la cantidad de camiones y la cantidad de material a transportar se duplica, determine el nuevo tiempo a utilizar que se deber emplear bajo estas nuevas condiciones.

Solucin:

horasx

x

x

hrsxtoneladascamionestrabajohrstoneladascamiones

18

316

000.160000.80

646

...............000.160....................4.6..............000.80....................6

=

=

=

Q

P

6 15

10

4

Figura 1

35. En una industria alimenticia operan 12 mquinas, las cuales trabajando 6 das a la semana, a diez horas diarias, producen 35 unidades de un cierto producto. Determine cuntas unidades se deben producir en 10 das si el nmero de mquinas se reduce a la cuarta parte y la cantidad de horas diarias de trabajo es de 8 horas

Solucin:

unidadesxx

x

x

x

unidadesxdiariashrsdasmquinasunidadesdiariashrsdasmquinas

1267,11

353

3358

10106

31235

................8...........10............335..............10...........6..........12

=

=

=

=

=

36. Los ingresos que obtiene un restaurante de comida china son directamente proporcionales al nmero de platos que venden diariamente, e inversamente proporcionales al nmero de das que atiende el restaurante. Si por la venta de 500 platos en 7 das reciben ingresos del orden de los $7.500.000. Determine el ingreso, si se venden 300 platos trabajando 5 das a la semana

A) $6.300.000 B) $8.928.571 C) $7.300.000 D) $6.500.000

Alternativa: A

Solucin:

000.300.6$000.500.15725

2125000.500.7

75

300500000.500.7

....$..........5...........300000.500.7...$..........7...........500

=

=

=

=

x

x

x

x

xdasplatosdasplatos


4. Resuelven problemas de aplicacin, utilizando frmulas y conceptos de porcentajes.

Criterio 2.9 : Calcula porcentajes de cantidades dadas

37. Calcular el 5,4% de 6.500

Solucin:

%4,5%100500.6

x

351100.351004,5

100500.6

=

=

=

x

x

x

El 5,4% de 6.500 es 351

38. Qu tanto por ciento es 2.940 de 8000?

Solucin:

%75,36000.294000.8

100940.2000.8

%940.2%100000.8

=

=

=

x

x

x

x

2.940 es el 36,75% de 8.000

39. De qu nmero 12 es el 25%?

A) 50 B) 70 C) 75 D) 48

Alternativa: D

Solucin:

48200.125

25100

12

%2512%100

=

=

=

x

x

x

x

Criterio 2.10 Aplica propiedades de los porcentajes en la resolucin de problemas.

40. Segn una encuesta socioeconmica, en la poblacin Adulto Mayor se verifica que:

El 60% son mujeres y el 40% hombres. El 15% de las mujeres y el 45% de los hombres estn econmicamente activos.

Segn estos datos, el % de la poblacin Adulto Mayor que est econmicamente activa es:

Solucin

27,045,040,015,060,0 =+ Por lo tanto el 27% de la poblacin Adulto Mayor es la que est econmicamente activa

41. En una investigacin realizada en un colegio mixto, sobre la cantidad de inasistencias entre hombres y mujeres, se entreg la siguiente informacin: De un da investigado, asiste el 80% de los alumnos, de los cuales slo 210 eran mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los alumnos de este colegio no son hombres.

a. Cuntas mujeres hay en el colegio? b. Cul es la cantidad total de alumnos?

Solucin:

bresx

bresxmujeresb

mujeresxmujeresx

mujeresa

hom70030

30070hom........%.........70

300........%.........30.

30070

100210%.100...........

%70............210.

=

=

=

=

Por lo tanto el total de alumnos es de 1.000 personas

42. Si gastara el 30% de mi dinero y recibiera una cantidad igual al 25% de lo que tengo, me quedara con $1.250 menos que ahora. Cunto dinero tengo?

A) $1.190 B) $1.313 C) $27.500 D) $25.000

Alternativa Correcta: D

Solucin:

Sea x la cantidad de dinero que tiene

000.25$250.105,0

250.125,130,1

=

=

=+

x

x

xxxx

Criterio 2.11 Resuelve problemas de comisin, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad.

43. Por una asesora realizada, Ud. recibe $750.000, los cuales son cancelados mediante boleta de honorarios, de lo que legalmente se le retiene un 10%, calcule la retencin.

Solucin:

44. En una tienda se liquidan pantalones por cambio de temporada. Si el primer da la rebaja es de un 20%, el segundo da la rebaja es de un 12% y el tercer da se descuenta $1.500 por cada pantaln, para quedar con un valor de $ 7.500. Determine el valor del pantaln antes de iniciar la liquidacin.

Solucin:

784.12$%100...................$

%80...................227.10$227.10$

%100...................$%88..................000.9$

000.9$500.1500.7

=

=

=+

x

x

x

x

El valor del pantaln antes de iniciar la liquidacin.es de $12.784

333.83$000.750333.833:tan333.833$

10090000.750

%100$%90000.750$

=

=

=

retienelesetoloPorx

x

x

45. A un trabajador, se le cancelan sus ingresos, en base a comisiones. En el mes de Marzo el 15% de sus comisiones fueron de $60.000, entonces su ingreso mensual fue de:

A) $500.000 B) $450.000 C) $400.000 D) $350.000

Alternativa Correcta: C

Solucin:

%100.............................$%15..............................000.60$

x

000.400$=x

Criterio: 2.12 Calcula tasa de incremento e ndices en la resolucin de problemas.

46. Si el kilo de carne costaba $8.000 en el mes de Septiembre del 2010, aumenta su valor a $8.570 en Octubre del 2010, calcular la tasa de incremento.

Solucin:

%13,7100000.8

000.8570.8=

=

47. El rendimiento sobre una inversin, se define como: 100xtotalActivo

netasUtilidades

Si una empresa tiene una utilidad neta de 36.000 unidades monetarias y un activo de 300.000 unidades monetarias, determine el porcentaje de rendimiento sobre la inversin.

Solucin:

Porcentaje de rendimiento: %12100000.300000.36

=x

48. EI IPC del mes de Septiembre fue de un 0,9% y en Octubre del mismo ao 1,1%, determine la variacin porcentual.

A) 15,4% B) 22,2% C) 23,45% D) 25,61%


Solucin:

%2,221009,0

9,01,1=

x


5. Operan con potencias, races y logaritmos, utilizando sus propiedades.

2.13.- Opera con potencias, utilizando sus propiedades

49. Realizar la siguiente operacin: ( ) ( ) ( ) = 49 222

Solucin: ( ) ( )( ) 642

226

39

=

50. Determinar el valor de: 12

813

411

Solucin:

12

825

45

258

54 2

625128

258

2516

=

51. El valor de 3

52

equivale a:

A) 125

8

B) 58

C)58

D) 125

8

Alternativa: D

Solucin: 125

852 3

=

2.14.- Opera con races utilizando sus propiedades

52. Simplificar la siguiente expresin: 1471275 +

Solucin:

3532532575 ===

0373235

=

=+

37349147323412

==

==

53. Racionalizar 35

3

Solucin:

( ) ( )

( ) ( )

23353

353353

353353

3535)35(3

3535

353

22

+=

+=

+=

+

+=

+

+

54. El valor de ( ) ( )523523 + es: A) 3 B) 20 C) -17 D) -20


Solucin:

( ) ( )17203

52322

=

2.15.- Resuelve expresiones numricas con logaritmos vulgares y naturales, utilizando sus propiedades.

55. Sabiendo que 4771,03log = , utilice las propiedades logartmicas para determinar el valor de: Log 81.

Solucin:

Como 4381= , entonces 43log81log =

9084,181log

4771,043log481log

=

=

=

56. Las ventas de un producto, vienen dadas por la siguiente expresin bxmV += )(ln . Si sabemos que 184,19 == bm , y x representa la produccin del producto. Determine las ventas, si se producen 200 unidades.

Solucin:

menteaproximadaunidadesVVV

12118)298317367,5(4,19

18)200(ln4,19

=

+=

+=

57. El valor de :10log 5 es

A) 1,43068 B) 1,00000 C) 2,30259 D) 0,69897

Alternativa Correcta: A

Solucin:

43068,15log

10log=

2.16.- Resuelve expresiones y problemas de aplicacin utilizando potencias, races y logaritmos.

58. Qu cantidad de dinero, gasta una persona despus de siete semanas, si gasta siete euros diarios?

Solucin:

3437777 3 == Euros diarios

59. Se tiene una pizarra cuadrada de 1.204 2cm Cunto mide cada lado de la pizarra?

.32

024.1

024.1 2

2

cma

a

a

aA

=

=

=

=

60. El valor de n en la expresin :0245,1log

)220251,00245,1log(1 esn =

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12


Solucin:

10)9(1

0245,1log804249,0log1

=

=

=

n

n

n


6. Operan correctamente con lgebra elemental, con apoyo de calculadora cientfica.

2.17.- Realiza operaciones bsicas con polinomios: Adicin, Sustraccin, Productos

61. Sumar los siguientes polinomios:

52623

52853252

3

24

3

234

++=

+=

+=

++=

xxSxxxR

xxQxxxxP

Solucin:

5262352853252

3

24

3

234

++

+

+

++

xx

xxx

xx

xxxx

32193 234 ++++ xxxx

62. Reduzca la siguiente expresin: ( ) )7578(93 232 ++++ xxxxxx Solucin:

102

757893

23

232

+

+++++

xxx

xxxxxx

63. Al efectuar el producto de ( ) ( )xx 3253 + , se obtiene. A) 615 2 + xx

B) 615 2 ++ xx C) 615 2 + xx D) 615 2 + xx


Solucin:

Multiplicando trmino a trmino: ( ) ( )xx 3253 + 2151096 xxx +=

2.18 Desarrolla productos notables: cuadrado de binomio y producto de una suma por su diferencia.

64. Desarrollar ( )22 23 yx + , utilizando cuadrado de un binomio Solucin:

( ) 22422 412923 yyxxyx ++=+

65. Desarrollar ( ) ( )nmnm 2222 22 + , utilizando suma por su diferencia

Solucin:

( ) ( ) ( ) ( ) 2422222 44222222 nmnmnmnm ==+

65. Al desarrollar ( )223 2st se obtiene:

A) 4326 22 stst + B) 4326 44 stst + C) 4326 24 stst + D) 46 4st


Solucin:

4326

222323

44

)2(22)(

stst

sstt

+

+

2.19 Factoriza expresiones algebraicas

66. Factorizar las siguientes expresiones:

.

2

22

251

41

.

165649.

nb

yxyxa

+

Solucin:

( )

+

+

nn

nb

yx

yxyxa

51

21

51

21

51

21

.

)47()4(4727.

22

2

22

67. Factorizar las siguientes expresiones:

3124.802.

224

2

+++

+

yyybppa

Solucin:

( ) ( )

( ) ( )143)3()3(4

3124.108.

22

222

224

++

+++

+++

+

yy

yyy

yyybppa

68. Al Factorizar la expresin 2323 23 +++ aaa resulta:

A) ( ) ( )123 2 ++ aa B) ( ) 223 aa + C) ( ) ( )212 ++ aa D) ( ) ( )31 + aa


Solucin:

( ) ( )( ) )1(23

23232323

2

2

23

++

+++

+++

aa

aaa

aaa

2.20 Resuelve problemas de aplicacin, utilizando operaciones bsicas, productos notables y factorizaciones.

69. Los costos de una empresa corresponden a la expresin ( )1023 2 + xx pesos, y los ingresos de la misma representan la expresin )3()3( + xx pesos. Determinar la frmula que da cuenta de la utilidad de esta empresa.

Solucin:

( ) ( )

12210239

)1023(33

2

22

2

+=

+=

++=

xxUxxxU

xxxxU

70. Se inicio una empresa con un aporte de capital total de ( )10832 xx dlares, si la empresa est integrada por ( )12x socios. Determine la cantidad de dinero que aporto cada uno de los socios.

Solucin:

( ) ( )

( ) dlaresxrecibesociocadatoloPor

x

xx

x

xx

9tan

)12(129

1210832

+

+=

71. Una persona invierte ( )18352 234 +++ xxxx pesos en el armado de computadores. Si con este capital debe cubrir un pago de ( )102 4 +x pesos, por sueldo a los trabajadores, y con el resto pagar ( )25x pesos en la compra de productos informticos. Entonces la cantidad de dinero que le quedar despus de realizar las operaciones indicadas es de:

A) 462452 234 +++ xxxx B) 46185 23 + xxx C) 46185 23 ++ xxx D) 46185 23 + xxx


Solucin: ( ) ( )[ ]( ) [ ]

46185251020218352

251020218352)2510(20218352

23

24234

24234

24234

++

++++

++++++

++++++

xxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx


7. Resuelven, con ayuda de calculadora cientfica, problemas sencillos relacionados con el rea econmica, comercial, tecnolgica, etc., que impliquen operar correctamente con ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de dos ecuaciones lineales y ecuaciones logartmicas y exponenciales.

2.21 Resuelve ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.

72. Un vendedor comisionista recibe un sueldo base de $ 144.000 y una comisin del 5% por las ventas que realice. Qu cantidad en dinero debe vender para obtener un ingreso de $ 200.000?

Solucin:

000.120.1$05,0000.56000.5605,0

000.20005,0000.144

=

=

=

=+

x

x

x

x

Por lo tanto debe vender $1.120.000

73. Se distribuyen 48.000 euros por concepto de utilidades entre dos socios, de modo que la parte del que recibe menos equivale a los 7

5 de la parte del socio que recibe ms. Determinar qu

cantidad recibe cada socio.

Solucin: Sea x : socio que recibe ms dinero ( )x000.48 : Socio que recibe menor cantidad de dinero

( )

000.20000.28

12000.33657000.336

75000.48

=

=

=

=

=

yx

x

xx

xx

74. En una hostal de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, entonces el nmero de habitaciones del segundo piso son:

A) 32 B) 16 C) 40 D) 20


Solucin: x : Habitaciones primer piso y : Habitaciones segundo piso

32216483

482

=

=

=

=+

x

x

x

xx

2.22.- Resuelve ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.

75. La longitud de una casa excede a su ancho en cuatro metros. Si cada dimensin se aumenta en cuatro metros, el rea ser el doble. Hallar las dimensiones de la casa.

Solucin:

:x Largo de la casa :4x Ancho de la casa :4+x Largo de la casa aumentado en 4 metros

xx =+ 44 : Ancho de la casa aumentado en 4 metros

( ) xxxx 44 2 = rea original de la casa

( ) xxxx 44 2 +=+ rea de la casa una vez que se han aumentado sus dimensiones en 4

metros ( )

( )

120

012012

0482824424

2

2

22

22

=

=

=

=

=

=+

=+

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

xxxx

Por lo tanto el largo de la casa es de 12 metros y el ancho 8 metros

anchoxolrea arg=

76. Un jardn rectangular de 50 metros de largo por 34 metros de ancho est rodeado por un camino de arena uniforme. Determine el ancho del camino si se sabe que su rea es de 540 2m .

Solucin:

( )

453013542

4054016845403450234)250(

21

2

2

==

=+

=+

=++

xx

xx

pordividiendoxxxx

El ancho del camino mide 3 metros

77. Para cercar una finca rectangular de 750 2m se han utilizado 110 metros de cerca, entonces las dimensiones de la finca son: (ver dibujo)

A) 20 y 25 metros B) 15 y 20 metros C) 5 y 10 metros D) 30 y 35 metros


Solucin:

( )

3530075055

75055

21

2

==

=+

=

xx

xx

xx

2.23 Resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incgnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral.

78 Una persona tiene un depsito de 2.000 dlares en dos bancos. Uno le paga un inters de un 6% anual y el otro 8%. Si gan un total de 144 dlares de intereses durante un ao. Cunto deposit en cada banco?

Solucin:

14408,006,0000.2=+

=+

yxyx

Multiplicando la primera ecuacin por 06,0 obtenemos

14408,006,012006,006,0

=+

=+

yxyx

Sumando ambas ecuaciones

800200.1

2402,0

=

=

=

x

yy

Por lo tanto deposit 800 dlares al 6% y 1.200 dlares al 8%

79. Entre las 7:00 y 9:00 de la maana, el metro transporta 1.000 personas. Si los escolares cancelan $160 por el pasaje y los adultos $580 por el pasaje y el ingreso total obtenido en ese horario es de $496.000 Cuntos escolares y cuantos adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y 9:00 de la maana?

Solucin:

Sea x la cantidad de escolares e y la cantidad de adultos

000.496580160000.1

=+

=+

yxyx

Multiplicando la primera ecuacin por 160 tenemos.

000.496580160000.160160160

=+

=

yxyx

Sumando ambas ecuaciones

200800

000.336420

=

=

=

x

yy

Por lo tanto 200 escolares y 800 adultos utilizaron el metro entre las 7:00 y las 9:00 de la maana.

80. Una pizzera tiene dos tipos de pizza: margarita, que tiene un valor de 4 euros, y cuatro quesos, la cual vale 6 euros. Una noche vendieron 74 pizzas y se recaudaron 388 euros, entonces el nmero de pizzas cuatro quesos vendidas es de:

A) 28 B) 40 C) 46 D) 50


Solucin:

Sean x : Cantidad de pizzas margarita y : Cantidad de pizzas cuatro quesos

3886474=+

=+

yxyx

Resolviendo sistema de ecuaciones, tenemos:

4628

=

=

yx

EL nmero de pizzas cuatro quesos vendidas es de 46.

2.24 Resuelve ecuaciones exponenciales y logartmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral

81. Un equipo de ftbol considera que la cantidad de dlares x que gana semanalmente en publicidad en y unidades de su producto (camisetas, gorros, etc) est dada por

=

xy

500400ln200 . Calcular la cantidad de unidades que se deben vender para que la

ganancia publicitaria sea de 139 dlares.

Solucin:

51,20139500

400ln200

=

=

y

y

Por lo tanto se deben vender aproximadamente 21 unidades, para que el ganancia publicitaria sea de 139 dlares

82. El nivel de agua de un pueblo se reduce de acuerdo a la relacin teN 016,0000.1 = ,

donde t se mide en aos y N en millones de litros. Calcular la cantidad de agua que debe quedar cuando haya trascurridos 20 aos, y cuantos aos deben transcurrir para que la cantidad de agua se reduzca a la mitad.

Solucin:

aos

et

e

litroseN

eN

t

t

32,43016,0

5,0ln

ln016,05,0ln

ln/000.1500

15,726000.1

1000

016,0

20016,0

016,0

=

=

=

==

=

Debe quedar 726,15 litro de agua despus de 20 aos, y deben transcurrir aproximadamente casi 44 aos para que el agua se reduzca a la mitad.

83. Se adquiere mobiliario por $300.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisicin. Su valor despus de t aos est dado por la frmula teV 2,0000.300 = . Cuntos aos aproximadamente deben transcurrir para que el mobiliario tenga un valor de $100.000?

A) 5,5 aos B) 4,8 aos C) 4,4 aos D) 3,9 aos


Solucin:

aost

et

e

e

t

t

5,52,0

333,0lnln2,0333,0ln

ln/333,0000.300000.100

2,0

2,0

==

=

=

=


8. Operan con funciones bsicas, relacionando su estudio con la resolucin de problemticas del mbito de la economa, los negocios, la tecnologa y otros fenmenos socioeconmicos, con ayuda de calculadora cientfica.

3.1.- Identifica el concepto de funcin, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente.

84. Dados los siguientes grficos, cul (es) representan una funcin:

Solucin:

El grfico I no representa una funcin, ya que dos elementos diferentes del dominio, tienen la misma imagen.

Los grficos II y III son funciones ya que todos los elementos del dominio tienen una imagen nica.

85. Hallar el dominio de las siguientes funciones definidas mediante las ecuaciones siguientes:

3)(.4

1)(.1)(. 22 +=

== xxfcx

xfbxxfa

Solucin:

a. Como la raz cuadrada de un nmero negativo no est definida, es necesario que 01x . El conjunto de los nmeros reales 1x satisface la desigualdad. As, el dominio de la funcin es el intervalo [ ),1

b. La nica restriccin sobre x es que 42 x debe ser distinta de cero, ya que no se permite la divisin entre cero; pero ( ) ( ) ( ) 2202242 ===+= xoxsixxx .As en este caso, el dominio de la funcin consta de los intervalos ( ) ( ) ( ) ,22,2,2, y

c. En este caso, cualquier nmero real satisface la ecuacin, de modo que el dominio de la funcin es el conjunto de todos los nmeros reales

86. Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

2)(. xxfa =

Solucin:

Si consideramos la funcin que a cada nmero le asocia su cuadrado, y = x2, su dominio ser todos los nmeros reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier nmero. Pero la variable dependiente y slo tomar valores mayores que 0, ya que el cuadrado de un nmero es siempre positivo .Por lo tanto el recorrido de la funcin son todos los nmeros reales positivos.

b. xxf 2)( =

Solucin:

El dominio de la funcin es el conjunto de todos los reales El recorrido de la funcin es el conjunto de los reales positivos

87. El dominio de la funcin 1)( 2 += xxf es:

A) ( ), B) ( ), C) ( ) , D) ( )1,


Solucin:

Como 2x es siempre positivo, el dominio de la funcin es ( ) ,

3.2 Calcula imgenes y pre-imgenes en funciones reales sencillas

88. Dada la funcin: 12)( 2 += xxxf Calcular.

( ) )(.)2(.1. afcfbfa

Solucin:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1212)(.1112812222.

21121112)1(.

22

2

2

+=+=

=++=+=

=+=+=

aaaaafcfbfa

89. Dada la funcin 25

+=

x

xy , calcular:

)(.)2(.)3(. 111 afcfbfa

Solucin:

( )

1251

25

25)1(25

5252

25

+=

+=

+=

+=

+=

+=

+=

x

xy

yy

x

yyxyxxy

xyxyxxy

x

xy

( )

125)(

31

12225)2(

5,513

325)3(

1

1

1

+=

=

+=

=

+=

a

aaf

f

f

90. Calcular )5(f , dada la funcin: =)(xf ( ) ( )321

+

xx

x

A) 61

B) 71

C) 72

D) 31


Solucin:

( )( ) 71

142

352515)5( ==+

=f

3.3 Representa grficamente funciones reales sencillas, en el plano cartesiano.

91. Graficar la funcin: 12 2 += xy

Solucin:

92. Graficar la funcin: 52 += xy

Solucin:

93. El siguiente grfico representa la funcin:

A) 3=x B) 3=x C) 3=y D) 3=y


Solucin:

El grfico corresponde a la funcin 3=y


9. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin lineal como modelo.

3.4 Identifica la funcin lineal y la caracteriza a travs de sus parmetros, ceros y grfica.

94. Dadas las siguientes funciones:

I. 32 = xy II. 232 += xxy III. 3xy = IV. 53 += xy

Cul(es) representa(n) funciones lineales?

Solucin:

Las funciones I y IV representan una funcin lineal, ya que ambas tienen la forma nmxy +=

95. Dada la siguiente funcin lineal 53 += xy , determine:

a. pendiente de la funcin lineal b. interseccin con el eje de las abscisas c. interseccin con el eje de las ordenadas d. Grfico de la funcin lineal

Solucin: a. La pendiente de la funcin lineal es 3

b. Interseccin con el eje de las abscisas (Hacemos y = 0)

3553

053

=

=

=+

x

x

x

c. interseccin con el eje de las ordenadas (Hacemos x = 0) 5=y

d. Grfico de la funcin lineal

96. Dada la funcin lineal 215)( += xxf podemos afirmar que.

A) Tiene pendiente positiva. .

B) Corta al eje de las abscisas en 5 C) Corta al eje de las ordenadas en 21

D) Corta al eje de las abscisas en 21


Solucin:

Es una funcin lineal con pendiente negativa -5, corta al eje de las abscisas en 101 y al eje de las

ordenadas en 21

3.5 Analiza e interpreta la pendiente e intercepto

97. 000.100.18273,55)( += xxC es la funcin de costo estimada para una empresa metalrgica para los aos 2000 - 2015. Donde C es el costo total en dlares por ao y x es la produccin de acero en toneladas por ao. Interprete la el valor de la pendiente

Solucin:

La pendiente 55,73 dlares, significa que si la produccin aumenta 1 tonelada, el costo aumenta en 55,73 dlares.

98. Calcular e interpretar la pendiente de la siguiente funcin lineal: 14,015,0 += pq , que representa la funcin estimada de demanda anual de arroz en un cierto pas para el perodo 2001- 2011.

Solucin:

La pendiente es 15,0 , lo que nos dice que si el precio aumenta en una unidad, entonces la cantidad demandada disminuye en 0,15 unidades

99. Dada la funcin de costo 000.2020)( += xxC , que corresponde a la fabricacin de un cierto bien en una empresa. En esta funcin 20.000 representa:

A) Costo variable B) Costo fijo C) Costo unitario D) Costo total


Solucin: El valor 20.000 representa el costo fijo del producto

3.6 Calcula ecuacin de la recta en sus formas principal y general.

100. Determinar la ecuacin de la recta en sus formas principal y general, que pasa por los puntos )4,5()2,3( 21 PyP =

Solucin:

( )112

121 xx

xx

yyyy

=

( )335242

+=+ xy

( )332 =+ xy

932 =+ xy

113 = xy Ecuacin de la recta en su forma principal

0113 = yx

101. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto )3,1( =P , siendo su pendiente 2, en sus formas principal y general.

generalformasuenrectaladeecuacinyx

principalformasuenrectaladeecuacinxyxyxy

012

12223

)1(23

=

=

+=+

+=+

102. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos )3,2()7,4( y viene dada por:

A) 135 = xy B) 135 = xy C) 135 += xy D) 135 += xy


Solucin:

( )

1352057

)4(574

42737

+=

+=+

=+

+=+

xyxyxy

xy

3.7 Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin lineal como modelo.

103. Encuentre la expresin lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 estufas ingresaron 4.500 euros, y por la venta de 15 estufas del mismo tipo el ingreso fue de 2.000 euros.

Solucin:

( ) )000.2,15(500.4,40 21 == PP

( )( )

500100000.4100500.4

40100500.4

404015

500.4000.2500.4

+=

=

=

=

xyxyxy

xy

104. Dadas las ecuaciones de oferta (O) y demanda (D) de un artculo xpOxpD 2:;28: == +1 Determinar el precio p (pesos) y la cantidad x (en unidades)

de equilibrio del mercado

9327

1228

=

=

+=

x

x

xx

19928

28

=

=

=

pp

xp

Por lo tanto la cantidad en equilibrio es de 9 unidades y el precio $19

105. Un supermercado recibe 25 dlares por cada unidad de produccin vendida de una marca de licores. Sus costos variables por unidad son de 15 dlares y un costo fijo de 1.200 dlares Cul es el nivel de utilidad si se producen y venden 200 unidades?

A) 600 dlares B) 800 dlares C) 900 dlares D) 950 dlares

Solucin:

dlaresUxxU

xxxUxxIxxC

800)200(200.110)(

)200.115(25)(25)(

200.115)(

=

=

+=

=

+=


10. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin cuadrtica como modelo.

3.8 Representa grficamente funciones cuadrticas indicando sus elementos caractersticos.

106. Dada la funcin cuadrtica 322 ++= xxy . Graficar, indicando sus elementos caractersticos

Solucin:

Interseccin de la parbola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)

132

422

1242032

1/032

21

2

2

==

=

+=

=

=++

xx

x

x

xx

xx

Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos ( )0,3)0,1( y

Interseccin de la parbola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)

3=y

Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto )3,0(

Determinacin del vrtice de la parbola:

( )4,14

412;

22

=

=

V

V

Grfico:

107. Graficar la funcin: 442 + xx

Interseccin de la parbola con respecto al eje de las x (hacemos y = 0)

222

042

16164044

21

2

==

=

=

=+

xx

x

x

xx

Por lo tanto intersecta al eje de las x en los puntos )0,2(

Interseccin de la parbola con respecto al eje de las y (Hacemos x = 0)

4=y

Por lo tanto intersecta al eje de las y en el punto )4,0(

Determinacin del vrtice de la parbola:

( )0,24

1616;

24

=

=

V

V

Grfico:

108. El siguiente grfico corresponde a una parbola, cuya ecuacin es:

A) 322 += xxy B) 322 ++= xxy C) 322 2 ++= xxy D) 322 2 += xxy


3.9 Utiliza los elementos caractersticos de una funcin cuadrtica para interpretar su comportamiento.

109. La ganancia trimestral de una empresa (en miles de dlares) est dada por 307

31)( 2 ++= xxxG , interprete los parmetros a, b y c

Solucin:

La funcin ganancia, es una funcin cuadrtica y, por tanto su grfica es una parbola. Adems, el coeficiente 2x es 03

1 b y corta al eje de las ordenadas (eje y) en 30.

110. Dada la funcin de ganancia del problema anterior 30731)( 2 ++= xxxG .Interprete el

valor del vrtice de la parbola.

Solucin:

La abscisa del vrtice de la parbola es 5,10221

32

72

==

=

a

b

La ordenada correspondiente es 75,664

267302217

221

31

221 2

==+

+

=

f

La parbola abre hacia arriba, por lo tanto su vrtice es el punto ms alto sobre la parbola, por lo que la ordenada del vrtice proporciona el valor mximo de la ganancia trimestral Esto significa que la mxima ganancia trimestral es de 66.750 dlares, este valor se presenta cuando la empresa gasta 10.500 dlares trimestrales en publicidad.

111. Dada la funcin cuadrtica 252)( 2 += xxxf , entonces

A) La parbola abre hacia arriba B) La parbola tiene un valor mnimo C) La parbola se desplaza hacia la izquierda D) La parbola en 0=x , es 2


Solucin: La parbola abre hacia abajo )(

3.10 Aplica mtodos grfico y analtico para resolver ecuaciones de segundo grado.

112. Desarrolle de manera grfica y analtica el comportamiento de la siguiente ecuacin cuadrtica: 07164 2 =+ xx

Solucin:

5,021

5,3278

12168

112256162

4

2

1

2

==

==

=

=

=

x

x

x

x

a

acbbx

113. Desarrolle de manera grfica y analtica el comportamiento de la siguiente ecuacin cuadrtica:( ) 92 2 =x

Solucin:

( )

152

642

3642

20164054944

92

21

2

2

2

==

=

=

+=

=

=+

=

xx

x

x

x

xx

xx

x

114. Utilizando el discriminante, la ecuacin cuadrtica 0432 2 =+ xx , tiene:

A) Dos races reales iguales B) Dos races reales diferentes C) La ecuacin no tiene soluciones reales D) Nada se puede afirmar


Solucin:

23329

42

==

= cab

Como el discriminante es negativo, la ecuacin no tiene soluciones reales

3.11 Utiliza la funcin cuadrtica para modelar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la especialidad.

115. El costo promedio por unidad (en dlares) al producir x unidades de un bien es 20002,006,020)( xxxC += Qu nmero de unidades producidas minimizaran el costo

promedio? Cual es el correspondiente costo mnimo por unidad?

Solucin:

unidadesa

b 1500004,006,0

2==

150 unidades minimizaran el costo promedio

2)150(0002,015006,020)150( +=C

dlaresC 5,15)150( = , es el costo mnimo por unidad

116. El costo de producir x artculos al da est dado en dlares por: 21,0480)( xxxC ++= . Si cada artculo puede venderse en 10 dlares, determine el punto de equilibrio.

Solucin:

21,0480)( xxxC ++=

xxI 10)( =

Punto de equilibrio:

xxx 101,0480 2 =++

08061,0 2 =+ xx

Resolviendo la ecuacin de segundo grado, obtenemos:

2040 21 == xx

117. El ingreso mensual (en dlares) obtenido por vender x unidades de un producto est dado por: 2025,04)( xxxI = Determine el nmero de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso.

A) 160 unidades B) 80 unidades C) 40 unidades D) 20 unidades


Solucin:

unidadesa

b 8005,04

2=

=


11. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la funcin exponencial y logartmica como modelo.

3.12 Identifica la funcin exponencial de la forma y = xba , y la caracterizan a travs de sus parmetros, ceros y grfica, cuando

10 b .

118. Dada la funcin xy 2= , identifique el tipo de funcin y caractercela a travs de sus parmetros, ceros y grfica

Solucin:

Es una funcin exponencial, ya que es de la forma xbay = . Su dominio es ( ) , , su imagen es ( ),0 . Su grfica pasa por el punto ( )1,0 , es una curva continua sin saltos. Como

1>b , la funcin crece de izquierda a derecha

119. Dada la funcin x

y

=

21

caractercela a travs de sus parmetros, ceros y grfica

Solucin:

Su dominio es ( ) , , su imagen es ( ),0 . Su grfica pasa por el punto ( )1,0 es una curva continua sin saltos, como 1e , esto implica que 110

3.13 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial.

121. La demanda semanal de una nueva lnea de refrigeradores, t meses despus de introducido al mercado est dada por la siguiente expresin: 0500.1000.2)( 05,0 >= tetD t Cul es la demanda del producto despus de dos aos?

Solucin:

oresrefrigeradDeD

548.1)24(500.1000.2)24( 2405,0

=

=

122. Si el valor de los bienes races se incrementan a razn del 10% por ao, entonces despus de t aos, el valor de una casa comprada en P pesos, est dada por tPtv 1,1)( = . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el ao 2004. Cul ser su precio en el ao 2011?

Solucin:

684.948.77)7(1,1000.000.40)7( 7

=

=

v

v

123. El ingreso I (en dlares) de un cierto producto como funcin de la demanda x, viene dado por la expresin:

25150)(x

exxI

= , si se venden 50 unidades del producto, entonces, el ingreso es de:

A) 55.417,92 dlares B) 1015,01 dlares C) 2030,35 dlares D) 1050,32 dlares


Solucin:

dlaresIeI

01,1015)50(50150)50( 25

50

=

=

3.14 Identifica la funcin logartmica de la forma y = xba log+ , y la caracterizan a travs de sus parmetros, ceros y grfica.

124. Dada la funcin xy log= identifique el tipo de funcin y caractercela a travs de sus parmetros, ceros y grfica

Solucin:

Funcin logaritmo con dominio ),0( , su imagen. ),( .Su grfica es una curva continua que pasa por el punto ( )0,1 , la cual crece de izquierda a derecha.

125. Dado el grfico logartmico, caractercelo a travs de sus parmetros, ceros y grficas

Solucin:

.

La grfica corresponde a una funcin creciente, por otro lado la curva se acerca indefinidamente al eje y en la medida que x se acerca a cero, es una curva continua que pasa por el punto ( )0,1

126. Dados los siguientes grficos. Cul de ellos representa una funcin logartmica?

I II III IV

A) Grfico I B) Grfico II C) Grfico III D) Grfico IV


Solucin:

El grfico I corresponde a funcin exponencial creciente, el grfico II es la funcin 132

=

x

xy , el

grfico III es una funcin exponencial decreciente y el grfico IV corresponde a una funcin logartmica

3.15 Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo exponencial y logartmico

127. Se adquiere un horno industrial en $ 450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisicin. Su valor despus de t aos est dado por la frmula: teV 2,0000.450 = En cunto tiempo la mquina tendr un valor de $200.000?

Solucin:

aost

t

et

naturalaritmoaplicandoe

e

e

t

t

t

1,42,0

44444,0lnln2,044444,0ln

log44444,0000.450000.200

000.450000.200

2,0

2,0

2,0

=

=

=

=

=

=

128. La temperatura de una taza de caf t minutos despus de ser servida est dada por t

eT 0446,04021 += donde T se mide en grados Celsius.

a. Cul es la temperatura del caf al ser servido? b. Cundo estar el caf lo suficientemente fro para poder beberlo (aproximadamente 50 Celsius)

Solucin:

CelciusTeTeTa

6140214021.

0

0044,0

=

+=

+=

21,70446,0725,0ln

ln0446,0725,0lnlog725,0

4029

4029402150.

0446,0

0446,0

0446,0

0446,0

==

=

=

=

=

+=

t

et

naturalaritmoaplicandoe

e

e

eb

t

t

t

t

Por lo tanto el caf estar lo suficientemente fro dentro de 7,21 minutos

129. La poblacin actual de Chile (ao 2010) es de 17 millones de habitantes, si la tasa de crecimiento es de un 1,1% anual, entonces, suponiendo la misma tasa de crecimiento, la poblacin actual se duplicara dentro de:

A) 59,24 aos B) 60,54 aos C) 61,25 aos D) 63,36 aos


Solucin:

n

if iPP )1( +=

fP Poblacin final

iP Poblacin inicial

i Tasa de crecimiento

n Nmero de perodos

36,63011,1log2log

011,1log2loglog011,12

011,11734

)011,01(1734

=

=

=

=

=

+=

n

n

n

aritmoAplicandon

n

n

La poblacin se duplicar dentro de 63,36 aos

Elab

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Carg

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2.2.

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2.3.

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2.5.

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2.6.

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ones

pr

opo

rcio

na

les

dire

ctas

, in

vers

as y

con

junta

s.

2.7.

- G

rafic

a e

in

terp

reta

gr

fico

s de

va

riaci

one

s pr

opo

rcio

na

les,

dire

cta

s e

in

vers

as, re

lacio

na

dos

con

si

tua

cio

nes

y

fenm

enos

com

erc

iale

s, ec

onm

icos

, e

tc.

2.8.

- R

esu

elve

pr

oble

ma

s de

pr

opo

rcio

na

lida

d re

laci

ona

dos

con

la

vida

co

tidia

na

y

con

la

e

spe

cial

ida

d.

Varia

cin

pr

opo

rcio

nal

:

Varia

cin

di

rect

a Va

riaci

n In

vers

a

Varia

cin

Co

njun

ta

-G

rfic

os de

la

pr

opo

rcio

na

lidad

di

rect

a e

in

vers

a.

Inte

rpre

taci

n gr

fica

-Re

solu

cin

de

pr

oble

ma

s de

va

riaci

n co

njun

tare

laci

on

ados

co

n la

vid

a co

tidia

na

y co

n la

espe

cia

lida

d.

4. R

esu

elve

n pr

oble

ma

s de

ap

lica

cin

,

utili

zando

f

rmu

las

y co

nce

ptos

de

porc

enta

jes.

2.9.

- Ca

lcula

po

rcen

tajes

de

ca

ntid

ade

s da

das.

2.10

.- Ap

lica

pr

opi

eda

des

de lo

s po

rcen

tajes

e

n la

re

solu

cin

de

pro

ble

ma

s.

2.11

.- R

esuel

ve pr

oble

ma

s de

co

misi

n, de

scu

ento

s y

reca

rgo

s,

rela

cion

ado

s co

n la

es

pecia

lida

d.

2.12

.- Ca

lcula

ta

sa de

in

crem

ento

e

n

dice

s e

n la

re

solu

cin

de

pro

ble

ma

s.

-Ta

nto

po

r ci

ento

Pro

ble

ma

s de

a

plic

aci

n:

-R

eca

rgo

s y

desc

ue

nto

s - Co

misi

one

s

-Ta

sas

e n

dice

s

5. O

pera

n co

n po

tenci

as, ra

ce

s y

loga

ritm

os,

u

tiliza

ndo

su

s pr

opi

eda

des.

2.13

.- O

pera

co

n po

ten

cia

s, u

tiliza

ndo

su

s pr

opi

edade

s.

2.14

.- O

pera

co

n ra

ce

s utili

zan

do su

s pr

opi

eda

des.

2.15

.- R

esuel

ve e

xpre

sio

nes

nu

mr

ica

s co

n lo

garit

mo

s vu

lgare

s y

na

tura

les,

utili

zan

do su

s pr

opi

eda

des.

2.16

.- R

esuel

ve e

xpre

sio

nes

y

prob

lem

as

de a

plic

aci

n u

tiliza

ndo

pote

ncia

s, ra

ces

y

loga

ritm

os.

-Po

tencia

s:

Ope

rato

ria

Prop

ieda

des

Fun

dam

enta

les

Pote

nci

as de

e

xpo

ne

nte

fra

ccio

na

rio o

decim

al.

Pote

nci

as de

e

xpo

ne

nte

ne

gativ

o

-Ra

ces

:

Ope

rato

ria

Prop

ieda

des

Fun

dam

enta

les

Rac

es de

n

dice

fra

ccio

na

rio o

decim

al.

Elab

or

: D

iego

Pu

mar

ino

Carg

o:

Inge

nie

ro Ci

vil

Indu

stria

l. Es

peci

alist

a T

cnic

o

Fech

a:en

ero de

201

0

Val

id

Tcn

icam

ente

: A

lfred

o Ta

la

Carg

o:

Coord

inad

or

Nac

ion

al de

Cie

nci

as B

sicas

Fech

a: en

ero de

201

0

Val

id

Peda

ggi

cam

ente

: Pa

tric

io A

lca

no

Carg

o:

Enca

rgad

o Pr

oye

cto

y

Dise

o Cu

rric

ula

r

Fech

a: en

ero de

201

0

-Lo

garit

mo

s:

Defin

icin

de

lo

garit

mo

Sist

em

as

de lo

garit

mo

s: Lo

garit

mo

s vu

lgar

es

y na

tura

les

Prop

ieda

des

de lo

s lo

garit

mo

s O

pera

toria

co

n lo

garit

mo

s.

6. O

pera

n co

rre

cta

me

nte

co

n l

gebr

a e

lem

en

tal,

con

a

poyo

de

ca

lcula

dora

cien

tfic

a.

2.17

.- R

ealiz

a o

pera

cion

es b

sica

s co

n po

lino

mio

s: Ad

ici

n,

Sust

racc

in, Pr

odu

ctos

.

2.18

.- D

esar

rolla

pr

odu

cto

s n

ota

ble

s: cu

adra

do de

bi

no

mio

y

pr

oduct

o de

un

a su

ma

por

su di

fere

ncia

.

2.19

.- Fa

cto

riza

e

xpre

sio

ne

s al

gebr

aic

as.

2.20

.- R

esuel

ve pr

oble

ma

s de

a

plic

aci

n, u

tiliza

ndo

o

pera

cion

es

bsic

as, pr

odu

ctos

n

ota

ble

s y

fact

oriz

acio

nes

.

Trm

ino

s se

me

jante

s -O

pera

cion

es b

sica

s co

n po

lino

mio

s -Pr

odu

cto

s n

ota

ble

s:

Cua

dra

do de

bi

no

mio

Sum

a po

r su

di

fere

ncia

-Fa

cto

riza

cin

:

Polin

om

io co

n t

rmin

os

com

un

es

Prod

uct

o de

do

s bi

no

mio

s co

n u

n t

rmin

o co

mn

Dife

renci

a de

do

s cu

adr

ado

s

Trin

om

io qu

e e

s u

n cu

adr

ado

pe

rfect

o

7. R

esu

elve

n, co

n a

yuda

de

calcu

lado

ra cie

ntf

ica, pr

oble

ma

s se

ncillo

s re

laci

ona

dos

con e

l re

a

eco

nm

ica, co

me

rcia

l, te

cno

lgi

ca,

etc

., qu

e im

pliq

ue

n o

pera

r co

rrec

tam

en

te co

n ec

uac

ion

es de

prim

er

y se

gundo

gr

ado

, si

stem

as

de

dos

ecu

acio

nes

lin

ea

les

y e

cua

cion

es

loga

rtm

ica

s y

exp

one

nci

ale

s

2.21

.- R

esuel

ve ec

uac

ion

es

de pr

ime

r gr

ado

, o

rien

tan

do su

e

studi

o a

situ

acio

nes

re

ale

s de

la

e

spe

cial

idad

y

el m

un

do la

bora

l. 2.

22.- R

esuel

ve ec

uac

ion

es

de se

gun

do gr

ado

orie

nta

ndo

su

e

studi

o

a si

tuac

ion

es

rea

les

de la

es

peci

alid

ad

y e

l mu

ndo

la

bora

l. 2.

23.- R

esu

elve

si

ste

ma

s de

e

cuac

ion

es de

pr

ime

r gr

ado

co

n do

s

inc

gnita

s, o

rien

tan

do su

es

tudi

o a

si

tuac

ion

es

de la

es

peci

alid

ad

y e

l m

un

do la

bora

l. 2.

24.- R

esu

elve

ec

uac

iones

ex

pon

en

cia

les

y lo

gart

mica

s, or

ienta

ndo

su es

tudi

o a

si

tuac

ion

es

de la

e

spec

ialid

ad

y e

l mu

ndo

la

bora

l.

Ecu

aci

n de

pr

ime

r gr

ado

: Re

solu

cin

y

reso

luci

n de

pr

obl

ema

s

Ecu

acio

ne

s de

se

gun

do gr

ado

: R

eso

luci

n y

reso

luci

n de

pr

obl

em

as

-Si

stem

as

de e

cua

cione

s de

pr

ime

r gr

ado

co

n

dos

inc

gnita

s: Re

solu

cin

, gr

afic

aci

n y

reso

luci

n de

pr

obl

em

as.

-Ec

uac

ion

es e

xpo

ne

nci

ale

s: Re

solu

cin

y

reso

luci

n de

pr

obl

em

as.

-Ec

uac

ion

es lo

gart

mica

s: Re

solu

cin

y

reso

luci

n de

pr

obl

em

as.

3 Un

ida

d: La

s fu

nc

ion

es re

ale

s co

mo

m

ode

los

de

sc

ript

ivo

s

Du

rac

in

: 30

ho

ras

peda

ggi

cas

APRE

NDI

ZAJE

ES

PER

ADO

CR

ITER

IOS

DE EV

ALU

ACI

N CO

NTE

NID

OS

8. O

pera

n co

n fu

nci

on

es b

sica

s,

rela

cion

an

do su

es

tudi

o co

n la

reso

luci

n de

pr

obl

em

tic

as de

l m

bito

de la

e

con

om

a, lo

s n

ego

cios,

la

tecn

olo

ga

y

otro

s fe

nm

en

os

soci

oec

onm

ico

s, co

n a

yuda

de

3.1.

- Id

en

tifica

e

l co

nce

pto

de fu

nci

n, su

do

min

io y

reco

rrid

o,

ope

rando

co

n la

nom

encl

atu

ra co

rres

pon

dien

te.

3.2.

- Ca

lcu

la im

ge

nes

y

coim

gen

es en

fu

nci

ones

re

ale

s se

nci

llas.

3.3.

- R

epre

sen

ta gr

fica

me

nte

fu

nci

ones

re

ale

s se

ncil

las,

e

n e

l pla

no

carte

sia

no

.

Con

cept

o de

fu

nci

n:

Dom

inio

y

Re

corr

ido

de la

fu

nci

n

Nom

en

cla

tura

fu

ncio

na

l -C

lcu

lo de

im

ge

nes

y

coim

gen

es de

fu

nci

one

s se

nci

llas.

Elab

or

: D

iego

Pu

mar

ino

Carg

o:

Inge

nie

ro Ci

vil

Indu

stria

l. Es

peci

alist

a T

cnic

o

Fech

a:en

ero de

201

0

Val

id

Tcn

icam

ente

: A

lfred

o Ta

la

Carg

o:

Coord

inad

or

Nac

ion

al de

Cie

nci

as B

sicas

Fech

a: en

ero de

201

0

Val

id

Peda

ggi

cam

ente

: Pa

tric

io A

lca

no

Carg

o:

Enca

rgad

o Pr

oye

cto

y

Dise

o Cu

rric

ula

r

Fech

a: en

ero de

201

0

calc

ula

dora

ci

en

tfica

.

-Re

pre

sen

taci

n gr

fica

.

9. R

esu

elv

en

pr

obl

ema

s de

la

vi

da

cotid

ian

a y

de la

e

spec

ialid

ad

apl

ican

do la

fu

nci

n lin

ea

l co

mo

mo

delo

.

3.4.

- Id

en

tific

a la

fu

nci

n lin

ea

l y la

ca

ract

eriz

a a

tra

vs

de su

s pa

rm

etro

s, ce

ros

y gr

fica

.

3.5.

- An

aliza

e

in

terp

reta

la

pe

ndi

en

te e

inte

rcep

to.

3.6.

- Ca

lcu

la ec

uac

in

de

la

re

cta

en

su

s fo

rma

s pr

incip

al y

ge

ne

ral.

3.7.

- R

esu

elv

e pr

obl

em

as

de la

vi

da co

tidia

na

y

de la

e

spec

ialid

ad

aplic

an

do la

fu

nci

n lin

ea

l co

mo

m

ode

lo.

-Fu

nci

n lin

ea

l: Ca

ract

ers

ticas

Ecu

aci

n re

pre

sen

tativ

a G

rfic

o Ap

lica

cio

ne

s

10. R

esu

elv

en

prob

lem

as

de la

vi

da

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AIEP Cuaderno de Aprendizaje Introducción a la Matemática 2012