Ajuste de Balances de Leyes Usando Lagrange

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

AJUSTE DE BALANCES DE LEYES USANDO LAGRANGE

1. CORRECCIÓN DE LEYES USANDO LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En el procesamiento de minerales se efectúan muestreos con diversos fines (determinar parámetros de la operación, eficiencia de equipos, detección y análisis de errores en los procesos, etc.). Existen equipos (Clasificadores, Hidroclasificadores, celdas de flotación, mesas gravimétricas, etc.) que pueden tomarse como un nodo en el cual puede haber varias alimentaciones y salidas.

Obtención de los flujos normalizados - Con los datos registrados a corregir (análisis químico- leyes).- Constituir las ecuaciones de Balance de Masa (Ecuaciones de Flujo, Ecuaciones de

Leyes).- Normalizar las ecuaciones anteriores (Dividiendo por el flujo A).- Constituir las ecuaciones de error con los flujos normalizados (∆Q).- Identificar la función f (∅ i) quien representa a los flujos normalizados.

Derivar parcialmente la función f (∅ i) por cada flujo normalizado e igualar a cero. Obteniéndose flujos normalizados corregidos y haciendo a la función, tomar un valor mínimo. (Inicio del hallazgo de todos los flujos normalizados).

2. OBTENCIÓN DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Calcular los errores ∆M debido a los flujos normalizados corregidos. Reemplazar los flujos normalizados corregidos hallados en el paso anterior.

FlujosA = F1 + F2

Leyes

LA(i) A=L1

(i)F1+L2(i)F2

Ahora dividimos a todo entre A

LA(i)AA

=L1

(i)F1

A+L2

(i)F2

A

F1

A=θ


LA❑=L1

❑θ❑+L2❑θ❑

1 = θ1 + θ2

Erro de flujo, al cual se debe regularizar

∆M=LA−(L1θ1+L2θ2)

∆M=LA−¿

∆M=LA−(L1−L1θ2+ L2θ2)

(LA−L1 )=ωA−1(i)

(L2−L1 )=ω2−1(i)

Calculo de flujos Normalizados

∑i=1

20

(∆Q(i ) )2=∑i=1

20

(ω¿¿ A−1(i)¿−ω2−1(i ) ∗θ2)

2¿¿

Donde:

f (θ1 )=∑i=1

20

(∆Q(i ))2=∑

i=1

20

(ω¿¿ A−1(i)¿−ω2−1(i) ∗θ2)

2¿¿

Derivamos f (θ1 ) respecto a θ2

∂ f (θ i)∂θ2

=0

(ωA−1−ω2−1θ2 ¿¿2

¿(ωA−1)

2−2 (ωA−1) (ω2−1 )θ2+(ω2−1θ2)2

θ2

−2 (ωA−1 ) (ω2−1 )+2¿

(ω2−1)2∗(θ2)−(ωA−1 ) (ω2−1 )=0

(ω2−1(i) )2∗[θ2 ]=(ωA−1

(i) )(ω2−1(i) )

1=θ1+θ2

θ1=1−θ2


Hallando los multiplicadores de Lagrange.

Calculo de Errores.

∆M=LA(i)−(L1

(i)θ1+L2(i)θ2)

∆M ( i)=∆LA( i)−(∆ L1

(i )θ1+∆L2(i) θ2 )

Función Langragiana

L ( x , λ )=f ( x )−( λ∗g ( x ) )

f ( x )=ΔLA2 +Δ L1

2+ΔL22

g ( x )=ΔM−ΔLA+( ΔL1θ1+Δ L2θ2 )

Derivando respecto a Delta

∂ L(x , λ)∂ λ

=0 ; ΔM−ΔLA+( ΔL1∗θ1+ΔL2∗θ2 )=0

Derivando respecto al ΔL

∂ L(x , λ)∂ Δ LA

=0 ;2 ΔLA+λ=0 ; Δ LA=−12

λ

∂ L(x , λ)∂ ΔL1

=0 ;2 ΔL1−λθ1=0 ; Δ L1=12λθ1

∂ L(x , λ)∂ ΔL2

=0 ;2 ΔL2−λθ2=0 ; Δ L2=12λθ2

Reemplazando ΔLA ,Δ L1 , Δ L2:

ΔM+ 12λ+( 1

2λθ1

2+ 12λθ2

2)=0

ΔM+(12+ 1

2θ1

2+ 12θ2

2)λ=0

Hallando los multiplicadores de Lagrange


λ(i)= −2 ΔM(i)

(1+θ12+θ2

2 )Correcciones de leyes

LAC(i) =LA−ΔLA

L1C(i) =L1−ΔL1

L2C(i) =L2−Δ L2

Correcciones de leyes

LAC(i) =LA−ΔLA

L1C(i) =L1−ΔL1

L2C(i) =L2−Δ L2

Corroborando las leyes corregidas.

ΔMC(i)=LAC

(i ) −(L1C(i) ∗θ1+L2C

(i) ∗θ2)

Tin Iron Silica Sulphur Arsenic TiO221.90 3.46 58.00 0.11 0.36 4.9117.96 2.50 8.65 0.08 0.19 3.663.94 0.96 49.35 0.03 0.17 1.25

Contenido Metalico

Tin Iron Silica Sulphur Arsenic TiO2

81.996 72.254 14.914 72.727 52.778 74.540

Recuperacion

BALANCE METALURGICO:

CALCULO PESOS (%) DE LA CONCENTRACION Y LA COLA:100=C+T

PesoFLUJO TMPD Tin Iron Silica Sulphur Arsenic TiO2

Cabeza 100 21.9 3.46 58 0.11 0.36 4.91Concentrado C 43 5.5 25.1 0.12 0.38 9.24Cola T 6.77 1.76 75.3 0.09 0.34 2.07

LEYES


(20.25)100=(35.17)C+(10.17)T

(−10,17)100=(−10.17)C+(−10.17)T(20.25)100=(35.17)C+(10.17)T

1028=25C

C=102825

C=41.12100=C+TT=100−C

T=100−41.12T=58.88

PESO ( C ) = 41.761 45.455 34.462 66.667 50.000 39.609T = 58.239 54.545 65.538 33.333 50.000 60.391

L = φ1 + φ2

A = F1 + F2La A = L1 F1 + L2 F2

APLICANDO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA CORRECCION DE LEYES:

φ1 = 0.3703φ2 = 0.6297

Ω(A-1) = -21.1 -2.04 32.9 -0.01 -0.02 -4.33Ω(2-1) = -36.23 -3.74 50.2 -0.03 -0.04 -7.17

Ω1 * Ω2 = 764.453 7.6296 1651.58 0.0003 0.0008 31.0461 2454.7098Ω(2-1)^2 = 1312.6129 13.9876 2520.04 0.0009 0.0016 51.4089 3898.0519

ΔM = 1.71502 0.31518 1.28769 0.00889 0.00519 0.18514λ = -2.23651 -0.41102 -1.67924 -0.01160 -0.00677 -0.24144

ΔA = 1.11825 0.20551 0.83962 0.00580 0.00338 0.12072ΔL1 = -0.41406 -0.07609 -0.31089 -0.00215 -0.00125 -0.04470ΔL2 = -0.70420 -0.12941 -0.52873 -0.00365 -0.00213 -0.07602

BALANCE METALURGICO CORREGIDO:

PESOFLUJO TMPD Tin Iron Silica Sulphur Arsenic TiO2Cabeza 100 20.7817 3.2545 57.1604 0.1042 0.3566 4.7893Concentrado 37.027 43.4141 5.5761 25.4109 0.1221 0.3813 9.2847Cola 62.973 7.4742 1.8894 75.8287 0.0937 0.3421 2.1460

LEYES

La recuperación

Recuperacion= CabezaConcentrado

∗100


Ratio=%peso concentrado%peso de lacabeza

Tin Iron Silica Sulphur Arsenic TiO220.782 3.254 57.160 0.104 0.357 4.78916.0750 2.0647 9.4090 0.0452 0.1412 3.43794.7067 1.1898 47.7514 0.0590 0.2154 1.3514

Contnido Metalico

RatioTin Iron Silica Sulphur Arsenic TiO2

77.3517 63.4408 16.4606 43.4037 39.5852 71.7826 2.70

Recuperacion

PESO ( C ) = 37.027 37.027 37.027 37.027 37.027 37.027T = 62.973 62.973 62.973 62.973 62.973 62.973

Comprobacion = 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Balance usando matrices:

1.000 1.000 100

43.414 7.474 2078.17

1.000 1.000Δ = = -35.94

43.414 7.474

100 1Δ 1 = = -1330.8

2078.17 7.47

1 100Δ 2 = = -2263.23142

43.4141 2078.1745

Finalmente hallando las constantes se obtiene:


Δ1/Δ = C = 37.027Δ2/Δ = T = 62.973

BALANCE METALÚRGICO DE TRES PRODUCTOS

% Cu % Pb % ZnAlimentacion 0.28 1.80 4.21Conc. Cobre 27.67 8.98 7.60Conc. Plomo 4.29 58.67 6.94Conc. Zinc 1.04 1.00 60.14

Relave 0.04 0.21 0.40

AX=BX=A ' B

|27.678.987.60

1

4.2958.676.94

1

1.041

60.141

0.040.210.41

|=| 28180421100

|100=Cu+Pb+Zn+T


28=27.67Cu+4.29 Pb+1.04Zn+0.04T18 0=8.98Cu+58.67 Pb+Zn+0.21T

421=7.60Cu+6.94 Pb+60.14 Zn+0.40T

HALLANDO LA DETERMINANTE:

|27.678.987.60

1

4.2958.676.94

1

1.041

60.141

0.040.210.41

|

DETERMINANTE PARA CADA PRODUCTO



%peso % Cu % Pb % ZnAlimentacion 100.00 0.28 1.80 4.21Conc. Cobre 0.25 27.67 8.98 7.60Conc. Plomo 2.60 4.29 58.67 6.94Conc. Zinc 6.06 1.04 1.00 60.14

Relave 91.09 0.04 0.21 0.40

0.28 1.8 4.210.07 0.02 0.020.11 1.53 0.180.06 0.06 3.650.04 0.19 0.36

contenido metalico

ratio100 100 100

24.63 1.24 0.45 401.2839.84 84.76 4.29 38.4522.52 3.37 86.61 16.4913.01 10.63 8.65

recuperacion


En el método propuesto se considera que existe una Entrada Principal, una Salida

Principal, “m” entradas secundarias y “n” salidas secundarias. Todas estas entradas y salidas están aplicadas a un nodo y se considera que en dicho nodo no existen procesos de reducción de tamaños.

Cada una de estas entradas y salidas mencionadas tiene una granulometría determinada que se puede representar por la siguiente tabla:

Los dos conceptos básicos de un balance metalúrgico son:

Nodo: Una ubicación específica dentro del proceso en torno al cual se establece las ecuaciones de balance del tipo:

Acumulación = Entrada – Salidas

Flujo: Es la cantidad de material involucrado en un nodo.

El algoritmo de ajuste para cualquier elemento i es tal que la función objetivo:

Sea mínima y cumpla con las restricciones de balances de masa del tipo:


Representa un número que se asocia a la calidad de la medición de un elemento determinado. Mientras mayor es el número mayor calidad tiene la medición.

Puesto que las restricciones son lineales, el problema de minimización se puede resolver por el método de multiplicadores de Lagrange, que consiste en:

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