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Álgebra
ÁLGEBRA
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Sesión No. 8
Nombre: Derivadas e integrales
Contextualización
El cálculo diferencial e integral se desarrolla formalmente en el siglo xvii para
estudiar y modelar fenómenos en donde el movimiento y el cambio estuvieran
presentes. Su descubrimiento lo realizaron de manera simultanea, pero
independiente, el matemático alemán Gottfried Wilhem Von Leibniz y el
matemático británico Sir Isaac Newton. En esta sección estudiarás el concepto
de derivada como una medida de variación y cambio en fenómenos dinámicos.
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Introducción al Tema
El calculo es una ciencia que llego para reforzar los conocimientos de las
matemáticas y la ciencia de la medicina en muchos aspectos, pues con el
calculo integra y diferencial y el uso de sus integrales, se puede conocer la
velocidad de reproducción de algunos organismos los cuales se pueden ver
mediante el uso de graficacion o de solución de fórmulas que se crean para el
uso exclusivo de la medicina.
Si se conocen las formas de derivar y de integrar los elementos numéricos es
fácil determinar nuevas soluciones en campos en los que casi no se utiliza la
ciencia matemática por falta de información.
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Explicación
Definición de derivada
En los temas II y III estudiaste el concepto de función como herramienta para
representar fenómenos dinámicos, es decir, sistemas que cambian y
evolucionan a través del tiempo. En la gran mayoría de casos, es necesario
contar con una medida que permita determinar el ritmo al que se verifica dicha
evolución y cambio. Tal medida la constituye la derivada de una función. La
derivada de una función permite determinar la razón de cambio de un sistema
dinámico.
Aplicación de derivadas
La derivada es un poderoso instrumento matemático que tiene un amplio campo
de aplicación en la química, física, biología, ingeniería, finanzas, economía y ad-
ministración. Sus aplicaciones pueden conceptualizarse en dos interpretaciones:
una geométrica y otra física.
Interpretación geométrica
La derivada de una función permite determinar la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función f en el punto (a, f (a)), que se denota por f '(a)
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Interpretación física
Si el estado P de un sistema evoluciona en el tiempo a lo largo de una recta
coordenada de tal manera que en el tiempo t su coordenada es s(t), entonces su
velocidad en el instante a es s'(a).
Notación de derivadas
Existen diferentes formas para la representación de derivadas. Las principales
son las siguientes:
• Notación de Lagrange: f '(x), que se lee f prima de x.
• Notación de Cauchy: Dx
f, que se lee D sub x de f.
• Notación de Newton: x , que se lee x punto.
dy
• Notación de Leibniz: dx , que se lee a derivada de y con respecto de x ó dy
en dx.
La mayor parte de los textos emplean la notación de Lagrange o de Leibniz. En
el presente texto, empleamos la notación de ambos indistintamente.
Cálculo de derivadas
El cálculo de las derivadas se basa en la aplicación de reglas generales para la
derivación obtenidas a través de argumentaciones matemáticas formales, así
como en el manejo algebraico de funciones. El proceso de derivación (también
conocido cono diferenciación) puede resultar sumamente complejo, sin embargo,
en el presente texto nos enfocamos al cálculo de derivadas que pueden
obtenerse de forma directa aplicando la fórmula correspondiente.
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Fórmulas para el cálculo de derivadas
Sean u=f(x) y v=g(x) dos funciones y k una
constante, entonces se verifican las siguientes
reglas de derivación.
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Conclusión
El cálculo es una ciencia que sigue en crecimiento, sin importar el año en que se
creo o si es muy nueva o muy vieja, pues aun quedan muchas formas de
solucionar problemas que no se han encontrado, la complejidad de crear nuevas
ecuaciones para integrar o derivar se ve muchas veces en la forma de la
comprobación, pues también se tiene que determinar la forma de demostrar que
los resultados son correctos.
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Para aprender más
Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.
México: Trillas.
Leithold, L. (2003, 7a edición). El Cálculo. México: Oxford University Press.
Swokowski, E. (2003, 2a edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:
Grupo Editorial Iberoamericana.
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones: basándose en las fórmulas anteriores, encuentra el
resultado de las siguientes ecuaciones.
1)
2)
3)
4)
5)
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Bibliografía
Hasser, Norman B. (2002). Análisis Matemático. Curso de Introducción. Vol. 1.
México: Trillas.
Leithold, L. (2003, 7a edición). El Cálculo. México: Oxford University Press.
Swokowski, E. (2003, 2a edición). Cálculo con Geometría Analítica. México:
Grupo Editorial Iberoamericana.