Álbebra I: Unidad N°2

8/17/2019 Álbebra I: Unidad N°2

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Unidad Nº II: Conjuntos, Relaciones y Funciones

CONJUNTOS

Podríamos definir conjunto como cualquier colección de objetos, pero, eso sí, tendría que estar bien definidoya que debe saberse exactamente si un objeto no parte de esa colección. Cada uno de esos objetos recibe el nombre

de elemento del conjunto.

Por lo general, se utilizan letras mayúsculas para representar los conjuntos y letras minúsculas pararepresentar los elementos de los conjuntos.

Para expresar que un determinado elemento a es de un cierto conjunto A, decimos que el elemento a

pertenece al conjunto A, y escribimos Aa . Si por el contrario a no es de A, decimos que a no pertenece al

conjunto A, y escribimos Aa .

Un conjunto puede determinarse de dos maneras distintas: por extensión o por comprensión.

Diremos que un conjunto viene determinado por extensión cuando se enumeran todos y cada uno de loselementos que contiene. Ahora bien, podemos expresar todos esos elementos entre llaves o recurrir a los diagramas

de Venn, que consiste en representar los elementos a partir de puntos que quedan dentro de una curva planacerrada que representa el conjunto.

Ejemplo: es un conjunto dado por extensión, que se representa

gráficamente por el diagrama de Venn de la figura 1

Diremos que un conjunto viene determinado por comprensión cuando se expresan

una o más propiedades que verifican sus elementos y sólo ellos.

Ejemplo: El mismo conjunto A del ejemplo anterior podría determinarse por

comprensión de las siguientes maneras: 40/ x N x A , o bien 30/ x N x A , o bien

31/ x N x A

CARDINAL DE UN CONJUNTO: Es la cantidad de elementos que posee el conjunto. Lo simbolizamos con #

Por ejemplo el conjunto de la figura 1 posee tres elementos, es decir, # A = 3

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Universal : Llamamos conjunto Universal, al conjunto formado por todos los elementos de todos losconjuntos, con el que en ese momento se está trabajando. Lo simbolizamos conU

Conjunto Vacio: Llamamos conjunto Vacio al conjunto que no posee elementos. Lo simbolizamos

Conjunto Unitario: Llamamos conjunto Unitario aquel conjunto formado por

un solo elemento.

Complemento: Siendo U el conjunto Universal y A uno de sus subconjuntos.

Definimos el conjunto complemento de A, con respecto a U , como aquel formado

por todos los elementos que pertenecen a U pero no a A, y lo representamos:

A xU x A /

3,2,1 A

Figura 1

A



Prof. Ferreyra, Noelia Belen Página 2

Propiedades

1) U yU

2) A A

3) # AU A ##

4)

A A yU A A

5) Leyes de De Morgan: B A B A y B A B A

SUBCONJUNTOS

Decimos que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B cuando todo elemento de A también

pertenece a B, y se escribe B A . Por el contrario, si A no es una parte de B, escribiremos B A , que vendrá adecirnos que por lo menos uno de los elementos de A no pertenece a B.

En símbolos: B x A x B A

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales cuando contienen exactamente los mismos elementos, es decir,

si todo elemento de A es también de B y todo elemento de B también lo es de A. En caso contrario B A

En símbolos: A B B A B A

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión: Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado portodos los elementos que pertenecen a A o a B o ambos conjuntos.

Propiedades

Sean A y B dos conjuntos no vacios

1) Idempotencia: A A A

2) Conmutativa: A B B A

3) Asociativa: C B AC B A

4) B A B y B A A

B A x B x A x x B A / B A




B A A B

Intersección: Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen a ambos conjuntos.

B x A x x B A /

Propiedades

Sean A y B dos conjuntos no vacios

1)

Idempotencia: A A A

2) Conmutativa: A B B A

3) Asociativa: C B AC B A

4) B B A y A B A

5) B A B A

6) Distributiva de la unión respecto de la intersección: C A B AC B A

7) Distributiva de la intersección respecto de la unión: C A B AC B A

8) B A B A B A ####

Diferencia: Se llama diferencia entre un conjunto A y otro conjunto B al conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A x B x x A B B x A x x B A //

Diferencia Simétrica: Se llama diferencia simétrica entre dosconjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen a A o a B pero no a ambos.

B A x pero B x A x x B A /

A B B A B A B A B A

B A

B A




PAR ORDENADO

Sean A y B dos conjuntos no vacios (eventualmente iguales), llamaremos par ordenado de primera

componente a y segunda componente b al símbolo ba, .

Los pares ordenados ba, y ',' ba son iguales si y sólo si tienen respectivamente las mismas componentes.

''',', bbaababa

Ejemplo: 2,33,23,23,2

TERNA ORDENADA

Sean C B A ,, ; la terna cba ,, se llama terna ordenada, con C c Bb Aa ,,

n – UPLA ORDENADA

Dados n conjuntos n A A A ,...,, 21 ; se llama n-upla al ente nnn Aa Aa Aaaaa ,...,,/,...,, 221121

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos no vacios se llama producto cartesiano de A y B al conjunto cuyos elementos son to dos

los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B.

Bb Aaba B A /,

Ejemplo: 2,1 A 7,6,5 B

2,2;1,2;2,1;1,1

2,7;2,6;2,5;1,7;1,6;1,5

7,2;6,2;5,2;7,1;6,1;5,1

2

A A A

A B

B A

RELACIONES BINARIAS

Frecuentemente se establece una relación entre dos o más objetos. Si se vinculan dos elementos tendremos

una relación binaria.

Sean A y B conjuntos no vacios.

R es una relación de A en B B A R

Sea A . Diremos que:

R es una relación en A R es una relación de A en A, o sea que:2 A R A A R

Es evidente que el productocartesiano no es conmutativo.

Se demuestra que si el cardinalde A es m y el de B es n, entonces elcardinal de A por B es igual a mxn.




Sea R una relación cualquiera, esto significa que sus elementos son pares ordenados si ocurre que:

R y x , escribiremos xRy , diremos que

“x está relacionado con y”

“x es una pre-imagen de y por R”

“y es una imagen de x por R”

DOMINIO E IMAGEN

A una relación R de A en B se le asocian dos conjuntos:

i. Dominio

ii. Imagen

i. B yúna para xRy A x x R D lg/ ; o sea que R D es el conjunto formado por todos los

elementos de A que son primeras componentes de los pares ordenados de R.

ii. A xúna para xRy B y y R I lg/ ; o sea que R I es el conjunto formado por todos los

elementos de B que son segundas componentes de los pares ordenados de R.

INVERSA DE UNA RELACIÓN

A toda relación R de A en B le hacemos corresponder la relación 1 R de B en A definida de la siguiente manera.

R y x A B x y R ,/,1 ; 1 R se denomina inversa de la relación R

Se verifica que R D R I R I R D 11

FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A

tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinadosubconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función . Se designapor D, o bien Dom.




El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x).Luego y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Ejemplo:

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen

)(/ x f R x D

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes

D x x f r /)(

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nuevafunción que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor deg[f(x)].

Ejemplo:

Consideremos las siguientes funciones:

)4,2)(2,1)(0,0)(2,1)(4,2()( x f 4,2,0,2,42,1,0,1,2 r D

)13,4)(7,2)(1,0)(5,2)(11,4()( x g 13,7,1,5,114,2,0,2,4 r D

Como podemos observar )()( g D f r por lo tanto, podemos realizar la composición

)13,2)(7,1)(1,0)(5,1)(11,2()()( x f g x f g . Es fácil darse cuenta que la composición de

)( x g f no se puede realizar ya que )()( f D g r

PROPIEDADES

1) Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h

2) No es conmutativa. f o g ≠ g o f

3) El e lemento neutro es la función identidad, i(x) = x. f o i = i o f = f

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