Alg Electrica Feb10A

7/21/2019 Alg Electrica Feb10A

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Algebra. (I. Electrica). Febrero 2010. Tipo A.

Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.

Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a2, 3.

Ejercicio 1 SiAyB son matrices simetricas de ordenn, entonces: A) La matrizABes simetrica; B) Si AB =BAentonces AB es simetrica; C) Si AB es simetrica entoncesAB =BA; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 2 Los conjuntos U = {(x1, x2) R2 : x1+x2 = 1} y V = {(x1, x2) R

2 : x1 x2 = 0} verifican: A) Ambos son subespacios de R2; B) Solo Ues subespacio

de R2; C) SoloVes subespacio de R2; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 3 La aplicacion linealf: R3

R2

definida porf(x1, x2, x3) = (x1+ x2, 0)verifica: A) La dimension del nucleo defes 2; B) La dimension de la imagen de fes 2;C) Los subespacios imagen de f y nucleo de ftienen la misma dimension; D) Ningunade las anteriores.

Ejercicio 4 Es cierto: A) Si x es un vector propio asociado al valor propio 2 deuna matriz A regular, entonces x puede NO ser un vector propio de A1; B) La matriz

1 1

0 1 diagonaliza; C)

2 1

1 1 es una matriz de paso de

4 2

1 3; D) Ninguna de

las anteriores.

Ejercicio 5 SiA es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: A) El sistema definidopor los vectores columna es ortogonal; B) Se cumple queAes singular; C)A2 es la matrizidentidad; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 6 La forma cuadratica f(x,y,z ) = x2 +y2 +z2 +xy + xz+yz es: A)

Definida positiva; B) Semidefinida positiva; C) Indefinida; D) Ninguna de las anteriores.

Problema

a)(2ptos.) Calcular la factorizacionLUde la matrizA=

2 2 41 3 1

3 7 5

y utilizar dicha

factorizacion para resolver el sistema AX=

05

7

.

b)(2ptos.) El subespacio V de R3 esta generado por {(1, 1, 2)} y el subespacio U de R3

esta definido por las ecuaciones 2x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3= 0. Calcular la dimension deV + Uy justificar si U yV estan en suma directa.


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Soluciones: Algebra. (I. Electrica). Febrero 2010. Tipo A.Ejercicio 1 SiAyB son matrices simetricas de ordenn, entonces: A) La matrizAB

es simetrica; B) Si AB =BAentonces AB es simetrica; C) Si AB es simetrica entoncesAB =BA; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion 1 Una matriz A es simetrica si aij = aji para cada i = j. O de formaequivalente,A es simetrica, si su matriz traspuesta AT coincide con ella misma, es decir,

AT =A.Mediante ejemplos sencillos. Es posible eliminar alguna de las opciones. Veamos: se puede

comprobar que A =

1 22 2

y B =

0 00 1

son simetricas pero AB =

0 20 2

no

es simetrica yBA=

0 02 2

. Luego A) y B) son falsas. Por otro lado, como (AB)T =

BTAT se tiene que siAB = (AB)T (es decir, siAB es simetrica) entonces AB =BTAT =AB. LuegoC) es cierta.

Ejercicio 2 Los conjuntos U = {(x1, x2) R2 : x1+x2 = 1} y V = {(x1, x2) R

2 : x1 x2 = 0} verifican: A) Ambos son subespacios de R2; B) Solo Ues subespacio

de R2; C) SoloVes subespacio de R2; D) Ninguna de las anteriores.Solucion 2 El conjunto Uno es subespacio porque no contiene al elemento neutro

de R2 ((0, 0)). El subconjuntoVes subespacio de R2 porque(x1, x2) + (x1, x

2) V si

(x1, x2),(x1, x

2) V y, R.

Es cierta C).

Ejercicio 3 La aplicacion linealf: R3 R2 definida porf(x1, x2, x3) = (x1+ x2, 0)verifica: A) La dimension del nucleo defes 2; B) La dimension de la imagen de fes 2;C) Los subespacios imagen de f y nucleo de ftienen la misma dimension; D) Ningunade las anteriores.

Solucion 3 Por teora se tiene que dimNuc(f) + dim Im(f) = dim(R3) = 3. Dedonde se deduce que C) tiene que ser falsa. Por otro lado, el nucleo defes un subespaciode R3 definido por la ecuacion cartesiana x1 +x2 = 0, o de forma equivalente, porlas ecuaciones parametricas: x1 = , x2 = , x3 = siendo , R. Entonces ladimension del nucleo es 2 y la dimension de la imagen es 1.

Es cierta A).

Ejercicio 4 Es cierto: A) Si x es un vector propio asociado al valor propio 2 deuna matriz A regular, entonces x puede NO ser un vector propio de A1; B) La matriz

1 10 1

diagonaliza; C)

2 11 1

es una matriz de paso de

4 21 3

; D) Ninguna de

las anteriores.Solucion 4Si Ax= 2x, entonces x= 2A1x, es decir,A1x= 1

2x. Luego A) es falsa.

La matriz 1 10 1

no diagonaliza porque posee un valor propio 1 de multiplicidadalgebraica 2 y multiplicidad geometrica 1. La ecuacion cartesiana del subespacio devectores propios asociados al valor propio 1 es y= 0.

2


3/4

Por otro lado,

2 11 1

14 21 3

2 11 1

=

5 00 2

. Entonces, de acuerdo con

la pagina 122 del libro de teora,

2 11 1

es una matriz de paso de

4 21 3

.

Es cierta C).

Ejercicio 5 SiA es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: A) El sistema definidopor los vectores columna es ortogonal; B) Se cumple queAes singular; C)A2 es la matrizidentidad; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion 5 De acuerdo con la teora, ver documento matricesortogonales.pdf, A esortogonal si el sistema de vectores columna es ortonormal luego A) es cierto porque, sies ortonormal, en particular, es ortogonal. Ademas una matriz cuadrada es ortogonal siAt =A1 por lo tanto A es regular y B) y C) son falsas.

Es cierta A).El sistema de vectores columna es ortonormal, en particular, ortogonal.

Ejercicio 6 La forma cuadratica f(x,y,z ) = x2 +y2 +z2 +xy + xz+yz es: A)Definida positiva; B) Semidefinida positiva; C) Indefinida; D) Ninguna de las anteriores.

Solucion 6Se puede comprobar que el determinante de la matriz asociada 1 1/2 1/21/2 1 1/2

1/2 1/2 1

es3= 1/2> 0 y2= 3/4> 0 y2= 1> 0.

Es cierta A).

Problemaa)(2ptos.) Calcular la factorizacionLUde la matriz

A=

2 2 41 3 1

3 7 5

para resolver el sistemaAX= 057

.

Solucion a)Se trata de obtener Uuna matriz triangular superior mediante transformaciones ele-

mentales de reemplazo en la matriz A.Consideremos las siguientes transformaciones elementales de reemplazo:

2 2 41 3 1

3 7 5

F2F212F1

2 2 40 2 1

3 7 5

F3F332F1

2 2 40 2 1

0 10 1

F3F3+5F2

2 2 40 2 1

0 0 6

.

A cada una de las transformaciones elementales le corresponde una matriz elemental Ei

3


4/4

de tal forma queL= (E3E2E1)1 =E1

1 E1

2 E1

3 por lo tanto

L=

1 0 01/2 1 0

0 0 1

1 0 00 1 0

3/2 0 1

1 0 00 1 0

0 5 1

=

1 0 01/2 1 0

3/2 5 1

Para resolver el sistema AX = B se resuelve primero LY = B y a continuacionU X=Y. La ecuacion

LY =B ;

1 0 01/2 1 0

3/2 5 1

xy

z

=

05

7

tiene como solucionY =

0518

. Entonces

UX=

0518

; 2 2 40 2 1

0 0 6

xy

z

=

0518

y se obtiene que la solucion es X=

51

3

b)(2ptos.) El subespacio V de R3 esta generado por {(1, 1, 2)} y Uel subespacio de R3

esta definido por las ecuaciones 2x1+ x2+ x3= 0, x2+ x3= 0. Calcular la dimension deV + Uy justificar si U yV estan en suma directa.

Solucion b)Es facil comprobar que el subespacio V tiene dimension 1. Ademas, el subespacio

U tiene dimension 1. Veamos: a partir de las ecuaciones cartesianas de U se deduceque x3 = x2 y 2x1 = 0. Luego unas ecuaciones cartesianas equivalentes de U sonx1= 0, x3=x2 de donde se deduce que una base de U es{(0, 1,1)}.

Por otro lado, como (1, 1, 2) U(ya que no satisface las ecuaciones cartesianas que

definen U) se tiene queU V ={(0, 0, 0)}.

Del apartado anterior se tiene que U yV estan en suma directa. Es otras palabras, elsubespacioU+ Ves suma directa deUyV. Notese queU+ Ves un subespacio de R3 dedimension 2 ya quedimU+dimV =dim(U+V)+dim(UV),es decir, 2 =dim(U+V).

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