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Preguntas Propuestas1
. . .
2
Álgebra
Potenciación en R
1. Sea x=6,23 · (10)23
Simplifique 2 3 7 2
7
4 2 1
2 1−( ) −
+
x x
x· ·
A) 49 B) 98 C) 1/49D) 2/49 E) 2/7
2. Si al reducir
( )( )...( )( )
( )
2 2 2 2
1 1
1
3+ + + +
+
+
n n n n
a a
n veces� ������ ������
+ +
+
3 3
2
1...
( )
an veces
� ����� �����
se obtiene 15
3
−
· an
calcule el valor de 12
−n
A) 1/16 B) 1/8 C) 8D) 16 E) 32
3. Sean x e y números reales mayores que la unidad, de modo que xy=yx ∧ xm=yn. Calcule
el valor de yx
A) mn B) m C) m/nD) n E) n/m
4. Indique el menor valor de m+n si se sabe que
x x
n
2 4 2215( )( )( ) =...
3 27
19
2 3m m m
( ) =
− −
A) 8 B) – 5 C) 4D) 2 E) 9
5. Dado el conjunto
S x x x= ∈ =
−
N1
12
indique el cardinal de S.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) más de 3
6. Luego de simplificar la expresión
x x x3 54
117 4( )
·
halle el exponente final de x.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/6D) 5/6 E) 1
7. Si al reducir 125 729 123 x ∧ x > 0 se obtiene
axb, indique el valor de a+b.
A) 18 B) 16 C) 20D) 15 E) 9
8. ¿Qué valor debe tomar m para que se verifique la igualdad
( , ) ( , ) , ?0 1 0 01 0 001 102− − =m m
A) 11/12 B) –11/15 C) 11/8D) 12/11 E) –11/12
UNMSM 2009 - I
Productos notables
9. Indique el valor de xx
44
21+
si se sabe que
xx
+ =1 2.
A) 0 B) 2 C) 4D) 1 E) 16
3
Álgebra10. Indique cuáles de las siguientes expresiones
son trinomio cuadrado perfecto.
I. 16a2+48a+36
II. 12 12 3 92 2a ab b+ +
III. x x2 14
− +
A) I ∧ IIB) I ∧ IIIC) solo IID) todasE) ninguna
11. Se define el operador
f n
n n
( ) = −
+ +
1 22
1 22
Determine el valor de f(0)+f(1)+f(2)
A) 11/2 B) 9/2 C) 7/2D) 9/4 E) 13/4
12. Dadas las igualdades
x y= + = −5 3 5 3;
calcule el valor de xyx y+
.
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8D) 1/16 E) 1
13. Respecto al número J.
J =+
++
++
++
23 1
23 5
25 7
27 9
A) J=3 – 3B) J es un número irracional.C) J es la de la forma a 2; a≠0.D) J es un número racional no entero.
E) J es un número entero.
14. Reduzca la expresión M.
M
a ba b
a ba b
a b
a b= +
−+ −
+
++( )
( )2
2 22
A) a ba b−+
B) ( )a ba b−−
2
C) a ba b+−
D) 1
E) a+b
15. Se sabe que m n+ = 33 y mn = 93 . Determine
el valor de m n3 3 1+( )−
A) –24 B) –12 C) –1/12D) –1/6 E) –1/18
16. Teniendo en cuenta que x verifica la igualdad x2 – 2x+4=0, halle el valor de x9.
A) –1024 B) –512 C) –1D) 2008 E) 2048
Miscelánea de problemas
17. Si 264=aa y 3 354
= ( )b b
halle 3a+2b.
A) 48 B) 96 C) 66D) 99 E) 44
UNMSM 2010 - II
. . .
4
Álgebra
18. Determine un valor de x que verifica la igual-dad 9x –12 · 3x=– 27
A) –1 B) –2 C) 2D) 3 E) – 4
19. Si se cumple que
a = + + +2 2 2 ...
b = 18 18 18
determine el valor numérico de
a b b a3 3
A) 2 B) 3 C) 12D) 6 E) 18
20. Sean x, y y z números negativos de modo que (x+y)2=z2+1 (x+y)2=y2+3 (z+y)2=x2+5 Entonces, ¿cuál es el valor de x+y+z?
A) – 3 B) − 3 C) – 5D) – 2 E) –1
21. Calcule el valor de
2 43
2
3
2−+
+ −−
x
x x
y
y y
si se sabe que x y= − ∧ = +3 1 3 13 3
A) 3 B) 9 C) 0D) 6 E) – 3
22. Simplifique la siguiente expresión.
(sen cos )( sen cos )
sen cos
α α α αα α
− +−1
3 3
Sugerencia: use productos notables.
A) sen2a+1
B) sen2a –1
C) sen3aD) cos3aE) sen2a+cos2a
23. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95, determine la suma de sus cuadrados.
A) 21 B) 20 C) 23D) 25 E) 24
24. Si se cumple que
(xy)2+(yz)2+(zx)2=xyz(x+y+z)
calcule la suma de las cifras de
x yz+
10
, considere {x; y; z} ⊂ R
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 10
Polinomios
25. Dada la expresión fxxx( ) =−+11, calcule el valor
de f f
f f
( ) ( )
( ( ))
·2 2
2
− .
A) –1/2 B) –2 C) –1D) 1/2 E) 2
26. Sea f una expresión matemática de modo que f(x)=f(x –1)+f(x – 2).
Calcule el valor de f(2) – f(0) si se sabe que f(1)=4.
A) –4 B) 1 C) 0D) 4 E) 2
27. Dados los polinomios f(x – 2)=x2+1 y h(x+1)=3x+1
calcule h(f(7))+h(– 5).
A) 227 B) –17 C) 193D) 28 E) 7
5
Álgebra28. En el binomio P(x)=nx3+3x+xn
se cumple que P(2)=4k donde k ∈ Z+. Determine la suma de coeficientes de dicho
polinomio.
A) 7 B) 5 C) 4D) 6 E) 8
29. En el polinomio P(x)=(2x+1)n+(3x+1)n
se cumple que la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente entonces, ¿cuál es el valor de n+3?
A) 4 B) 2 C) 3D) 7 E) 5
30. R y S son dos expresiones tales que
R(S(x)–1)=x y S(x+2)=2x+5
evalúe R(S(1,5)).
A) 1/2 B) 3/2 C) 2D) 5/2 E) 3
31. Dado el polinomio P(x+2)=ax2+bx – c, si P(x)=3x2 – 5x – 2, entonces, ¿cuál es el valor de abc?
A) 12 B) 6 C) 0D) – 8 E) –10
32. Dada la expresión matemática S(x2+1)=x2+x; x ≥ 0 halle S(x).
A) S(x)=x+1
B) S x xx( ) = + −1
C) S x xx( ) = − +1
D) S x xx( ) = + − +1 1
E) S x xx( ) = + − −1 1
División de polinomios
33. Dada la división exacta
ax bx cx
x
3 2
26
4
+ + −−
determine el valor de 4a+2b+c.
A) 6 B) 3 C) 4D) 5 E) 9
34. Calcule el resto de la siguiente división.
( )( )( )
x xx x+ + ++ +5 14 6
2013 2
A) – 9x –18B) 9x –18C) –10x+22D) – 9x+8E) 9x – 8
35. Dado el esquema de Horner
1 11 1 53 6
3 1 1
b jc
a e fh j
d k
− −
calcule el valor de (c+d+e)2012+(a+b)2 – (j+k)2
A) 20 B) 18 C) 26D) 24 E) 25
36. Calcule el resto de la siguiente división, si se sabe que no es lineal.
8 4 6 1
2 2 1
4 3 2 2
2x x x ax a
x x
+ − + + +− +
A) 26 B) 37 C) 16D) 17 E) 50
. . .
6
Álgebra
Claves
01 - D
02 - C
03 - C
04 - D
05 - C
06 - E
07 - B
08 - A
09 - C
10 - D
11 - B
12 - B
13 - E
14 - C
15 - D
16 - B
17 - C
18 - C
19 - D
20 - A
21 - D
22 - E
23 - A
24 - C
25 - B
26 - D
27 - A
28 - B
29 - E
30 - C
31 - C
32 - E
33 - B
34 - A
35 - E
36 - C
37 - D
38 - A
39 - E
40 - E
37. Dada la división
2 7 102 1
4 3 2x x ax bxx
+ − + ++
calcule el valor de a+b si se sabe que los co-eficientes del cociente son números impares consecutivos.
A) – 6 B) 32 C) 22D) 6 E) 1
38. Dado el polinomio
P x x xx( ) = + −( ) − +5 33 2 2 2 2 7 calcule el valor de P 2 1−( ).
A) 6
B) 3 2
C) − 2D) 4 E) 7
39. Calcule el residuo en la siguiente división al-gebraica.
( )2 54 12
4 2x xx+ ++
A) – 3 B) 0 C) x+1D) 7 E) 10
40. Si R(x) es el resto de la división
2 4 3
1
7 5 4 2
2x x x x
x
− + − +−
indique lo incorrecto
A) R(0)=3B) R(– x)=2x+3C) R(x)=2x+3D) R(–1)=5E) R(x)= – 2x+3