algebra-130806225620-phpapp01

Horas alumnos-docente: 28Horas independientes: 28

Operacionesfundamentales

del lgebra

Bloque I

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lgebra I

Secuencia didctica

Entiende la importancia de los nmeros reales y las operaciones fundamentales del lgebra y aplica las propiedades de campo en la resolucin de problemas de la vida cotidiana.

Competencia desarrollada al finalizar el bloque

Identifica los tipos de nmeros que se aplican en las actividades cotidianas y las propiedades de campo de los nmeros reales. Distingue y aplica los algoritmos correspondientes de cada una de las operaciones bsicas del lgebra.

Competencias disciplinares bsicas

1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta

con modelos establecidos o situaciones reales.4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o

variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin.

5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos.

Competencias genricas

Atributos

Se autodetermina y cuida de s1.1

2.13.3

Se expresa y comunica4.14.5

Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Valora el arte como manifestacin de la belleza y expresin de ideas, sensaciones y emociones.Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. Maneja las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin para obtener informacin y expresar ideas.

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lgebra I

Conocer

Identifica qu es un conjunto y las operaciones de unin, interseccin y complemento de conjuntos.

Identifica los tipos de nmeros que se aplican en las actividades cotidianas.

Identifica las propiedades del campo de los nmeros reales.

Distingue los tipos y grado de expresiones algebraicas.

Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de polinomios.

Identifica los distintos productos notables.

Hacer

Clasifica los distintos tipos de nmeros que se utilizan en la vida diaria.

Aplica las propiedades de campo en las operaciones algebraicas.

Ejecuta sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas relacionadas a su entorno.

Utiliza los productos notables para simplificar la multiplicacin algebraica.

Ser

Asistencia puntual a clases.

Respeto al saln de clases, compaeros y maestros.

Trabajo colaborativo.

Entrega en tiempo y forma de actividades.

Reconoce y aprende de sus errores.

Valores:

Respeto.

Honestidad.

Tolerancia.

Piensa crtica y reflexivamente5.1

5.25.6

6.1

Aprende de forma autnoma.7.1

Trabaja en forma colaborativa.8.1

8.28.3

Cuadro de saberes

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.Ordena informacin de acuerdo con categoras, jerarquas y relaciones.Utiliza las Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin para procesar e interpretar informacin.Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos especficos.Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimiento.

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lgebra I

Indicadores de desempeo

Argumentaaqusubconjuntodelosnmerosrealesperteneceunnmerodado. Utilizalaspropiedadesdecampodelosnmerosrealesenlasoperacionesalgebraicas. Utilizalosalgoritmosdelasoperacionesdenmerosreales,enlasoperacionesalgebraicas. Utilizalasoperacionesbsicasdellgebraenlasolucindeproblemastericosoprcticosdesu

entorno. Resuelvedeformacolaborativaeindividuallosejerciciospropuestos. Compruebalassolucionesdelasoperacionesalgebraicasutilizandomedioscomputacionales.

Sugerencias de evidencias de aprendizaje

Presentaenformaimpresaoelectrnicaunportafoliodeevidencias(cartula,ndice,introduccin,mapa conceptual de los subconjuntos de los nmeros reales, un mapa mental de las propiedades de campo de los nmeros reales, conclusin, bibliografa) de manera individual.

Presentaen forma impresaoelectrnicaunproblemariodeoperacionesalgebraicasen formaindividual y en equipo.

Elaboraunalistadecotejodelasoperacionesalgebraicas. Realizaunapresentacinelectrnicaodramatizadaenfocadaalasoperacionesalgebraicas. Evaluacinparcialyfinal. Portafoliodeevidencias.

Evaluacin de los aprendizajes

- Evaluacin diagnstica

- Evaluacin formativa

Portafoliodeevidencias

Bitcoradelalumno

Listadecotejo

- Evaluacin

Actividadintegradora

Rbricas:Coevaluacin,MetaevaluacinyHeteroevaluacin

Examendebloque

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lgebra I

Evaluacin diagnsticaLa siguiente evaluacin tiene como finalidad detectar tus fortalezas y reas de oportunidad para abordar con xito este bloque.

Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

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lgebra I

u) Un da Pedro se comi la mitad de un pastel. Al da siguiente se comi una tercera parte del pastel y al da siguiente se comi la cuarta parte de lo que quedaba. Qu fraccin del pastel queda?

v) Escribe el nombre de la propiedad que establece que

w) El valor de en qu subconjunto de los nmeros reales est incluido.

Autoevaluacin actitudinalCmo te sentiste al desarrollar las preguntas de la evaluacin diagnstica?

Cules temas crees que tienes que repasar?

Elmaestroyelalumnodefinirnlasestrategiasquemsseadaptenalasnecesidades.Ejemplos:ABP;Proyectos, Anlisis o Estudios de casos, Aprendizaje in situ, Aprender sirviendo, Aprender utilizando las TIC, Simulacin, Investigar con tutora, Aprendizaje cooperativo, Reuniones de socializacin, estudio independiente, comunidades de dilogo, etctera.

Indicador

Resuelve algunos ejercicios, no llega al resultado final de los mismos y los procedimien-tos presentan deficiencias.

Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto

Resuelve 50% de los ejercicios correctamente y escribe su procedimiento en forma clara y ordenada.

Resuelve 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en forma clara, ordenada y sin faltas de ortografa.

Resuelve ms del 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en for-ma limpia, clara, ordenada y sin faltas de ortografa.

Cmo aprendo mejor?

Estrategias de aprendizaje que requieres para reafirmar los temas que tienesqueconsolidar:

Estrategias de enseanza1.2.3.

Estrategias de aprendizaje1.2.3.

Evaluacin

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lgebra I

Contenido- Divisin algebraica

- Productos notables

- Multiplicacin algebraica

- Leyes de los exponentes

- Suma y resta algebraica

- Terminologa algebraica

- Postulados de campo de los nmeros reales

- Subconjuntos de los nmeros reales

- Conjuntos y sus operaciones

Bloque I

Operaciones fundamentales del lgebra

Introduccin

En este bloque queremos brindarte un breve rescate de tus conocimien-tos que has generado desde tu educacin bsica hasta llegar a tus inicios del bachillerato universitario.

Una de las principales dificultades que enfrenta un estudiante con las Matemticas es la falta de vinculacin de los temas con problemas de la vida diaria, uno de los puntos que se aborda en esta gua es justamente que el alumno se d cuenta la gran aplicacin que tienen los temas de Matemticas para resolver una gran cantidad de situaciones a las que se enfrenta en la vida diaria.

Estas actividades que se tienen contempladas permiten generar una aplicacin de las principales operaciones de las ramas de las Matemticas, como la Aritmtica y el lgebra.

Esperamos que cambie tu percepcin del lgebra y puedas relacionar los conocimientos previos que tienes en relacin con la Aritmtica, ya que puedes darte cuenta que las letras representan nmeros. Dichos nmeros forman parte del conjunto de los nmeros reales y permiten la aplicacin de los postulados de orden. Dichas letras pueden representar monedas, billetes, objetos, etc.; por ejemplo, si compras 5 cuadernos, lo puedes re-presentar en lenguaje algebraico como 5 c y aplicarlo en la resolucin de alguna situacin.

Las actividades que se te presentan sirven para reforzar los conocimien-tos que tienes de la educacin bsica para encauzar hacia un nivel mayor en tus conocimientos matemticos que podrs aplicar en otras asignatu-ras de tu bachillerato.

18

lgebra I

Cul es el la superficie de la caja original?

Cul ser la superficie ?

Cul ser la superficie ?

En cul de las dos opciones se gastar ms cartn?

Cunto cartn se ahorrara?

Aplicacin del lgebra en situaciones cotidianas

Una fbrica elabora chocolates y debido al aumento de precios en el material para su elaboracin, decidi disminuir su costo de produccin. Para no dejar de producir un chocolate de buena calidad, decidi reducir el volumen ( ) del empaque del chocolate en un , as que la caja tendr un volumen de . La finalidad es usar menos cartn para la elaboracin del empaque. La caja tiene las siguientes dimensiones: de largo, de ancho y de grosor. Se desea conservar el grosor del empaque y lo que se desea reducir es el largo o el ancho.

Introduzcamos , y el ancho, largo y el grosor del empaque respectivamente.

El grupo de consultores de la empresa encontr dos opciones para reducir el volumen, la primera opcin es:

a) Reducir el largo en .

b) Reducir el ancho en .

La superficie (rea) de la caja puede ser expresada como . Entonces, las superficies de las cajas son:

, si se reduce el largo.

, si se reduce el ancho.

En pares realiza la siguiente actividad. Despus discutan la actividad con el resto del grupo.

Actividad 1Confianza

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lgebra I

1.1 Conjuntos y sus operaciones

Competencia especfica Identifica y aplica la notacin de conjuntos,

as como las operaciones de los mismos.

Empezaremos por ver un concepto que se encuentra en nuestra vida cotidiana y que usamos todos los das. Hablamos del conjunto de amigos, el conjunto de tus mensajes de correo electrnico, etc. El concepto de conjunto es la base en la que se fundamenta gran parte de las matemticas.

Conjunto: Es una coleccin de objetos (o elementos) bien definidos.

Para que un conjunto est bien definido debe ser claro si un objeto (o elemento) se encuentra o no en el conjunto. Los conjuntos se representan por letras mays-culas

Existen dos maneras de describir conjuntos.

1. Mtodo de listado (por extensin): Se escribe cada uno de sus elementos del conjunto entre llaves.

Ejemplo: es el conjunto de las vocales:

2. Mtodo de descripcin verbal (por comprensin): Se escribe un enunciado entre llaves que nos describa claramente cada uno de sus elementos, de la si-guiente forma:

Ejemplo: es el conjunto de las vocales:

El smbolo significa tal que . Este smbolo siempre tiene que ir en el mtodo descriptivo. En ocasiones en lugar de , se utiliza .

Para expresar que un elemento est o pertenece al conjunto se utiliza el sm-bolo .

Ejemplo: .

La teora moderna sobre conjuntos fue creada por el matemtico ruso George Cantor a finales del siglo XIX y a principios del XX. Pero se cree que las nociones respecto a los conjuntos se empezaron a utilizar en los siglos XVI y XVII.

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lgebra I

Para expresar que un elemento no est o no pertenece al conjunto se utiliza el smbolo .

Ejemplo: .

Se dice que dos conjuntos son iguales si cada elemento de un conjunto es elemen-to del otro y viceversa.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales:

SUBCONJUNTO Y SUBCONJUNTO PROPIO

A continuacin veremos dos conceptos importantes de la teora de conjuntos.

Ejemplo:

Sean y . Observa que . Ya que cada elemento de pertenece a .

Ejemplo:

Sean y . Observa que , ya que y y .

CONJUNTO VACO Y CONJUNTO UNIVERSO

Ejemplo:

Sea , ya que no hay ningn nmero primo que sea mayor que y a la vez sea mltiplo de (no sera primo porque se podra dividir entre ).

Observa que:

En particular dos conjuntos iguales son subconjuntos uno del otro.

Observa que:

es subconjunto de cualquier conjunto.

Subconjunto:

Se dice que es subconjunto de y se denota como . Si todo elemento de es un elemento de .

Subconjunto propio:

Se dice que es subconjunto propio de y se denota como . Si todo ele-mento de es un elemento de y adems existe un elemento de que no est en . Es decir, y tambin existe un elemento de que no pertenece a .

Conjunto vaco:

Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se denota por el smbolo . Tambin recibe el nombre de conjunto nulo.

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lgebra I

Ejemplo:

Encuentra todos los subconjuntos y subconjuntos propios del conjunto

Solucin.

Para esto analizamos la siguiente tabla:

Conjunto universal:

Es aquel conjunto que contiene todos los elementos que se van a analizar en alguna situacin especifica. Se representa por la letra .

Nmero de elementos del subconjunto Subconjunto

Cero elementos

Un elemento

Dos elementos

Todos los subconjuntos de .

Ahora, busquemos los subconjuntos propios, como debe haber algn elemento de que no est en el subconjunto para que pueda ser un subconjunto propio, de nuestra tabla tenemos que quitar al conjunto . As que los subconjuntos propios de son , y .

Ejemplo: Decir si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados:

a)

b)

Solucin

a) Observa que lo que tenemos que checar es que los elementos del conjunto que son el y el estn en el conjunto . De modo que es ver-

dadero.

b) Tenemos que ver que el conjunto sea un elemento del conjunto . Lo cual es cierto y, por tanto, es verdadero.

22

lgebra I

OPERACIONES DE CONJUNTOS

As como existen las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de n-meros (reales), tambin existen operaciones con los conjuntos. Dichas operacio-nes se describen en la siguiente tabla:

Operacin Definicin En Espaol Ejemplo

Union de conjuntos

Interseccin de conjuntos

Complemento de un conjunto

o

Complemento de dos

conjuntos

(complemento de respecto

de )

Para que un elemento est en la unin basta que est en alguno de

los dos conjuntos.

Para que un elemento est en la interseccin

tiene que estar en los dos conjuntos.

Para que un elemento est en debe estar en

el conjunto universal ( ) y no pertenecer al conjunto ( ). Es decir, son todos los elementos que le faltan a

para completar a .

Para que un elemento est en debe estar en el primer conjunto ( ) y ade-ms no debe pertenecer al

segundo conjunto ( ).

Sean y

Entonces:

Sean y

Entonces:

Sean y

Entonces:, donde es el conjunto universo.

Sean y

Entonces:

Observa que:

a) .

b) .

Ejemplo: Sea y

Encuentra , y .

Solucin

Como en la unin basta que el elemento est en alguno de los dos conjuntos se tiene que .

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lgebra I

En la interseccin se debe cumplir que el elemento debe estar en los dos conjun-tos; entonces,

Esto quiere decir que tiene que ser una rosa, pero adems debe ser una flor de color rojo; de modo que

Por ltimo veamos quin es por definicin debe estar en (debe ser una rosa), pero no debe estar en (no debe ser una flor de color rojo); es decir, debe ser una rosa pero no de color rojo, entonces ,

DIAGRAMAS DE VENN

Existe una manera de representar conjuntos, esta forma utiliza las figuras geom-tricas, por lo general se utiliza el rectngulo y el crculo. El rectngulo se utiliza para representar al conjunto universal ( ) y el crculo para representar a un con-junto. Veamos algunas representaciones; es decir, algunos diagramas de Venn.

Conjunto a representar Diagrama de Venn

Conjunto universal.

subconjunto de . ( ).

Un conjunto que es subconjunto del conjunto

universal. ( ).

Dos conjuntos ( ) subconjuntos del conjunto

universal ( ).

Tres conjuntos ( y ) subconjuntos del conjunto

universal .

24

lgebra I

Tambin se pueden representar las operaciones de conjuntos utilizando los diagramas de Venn. Analicemos el mtodo con los siguientes ejemplos:

Ejemplo: Representa el conjunto utilizando los diagramas de Venn.

Solucin.

Primero con lneas horizontales representemos uno de los conjuntos a intersectar y con lneas verticales el otro.

Despus, la regin buscada es la regin donde se encuentren lneas tanto hori-zontales o verticales (todo lo que contenga lneas), ya que un elemento est en la unin tiene que estar al menos en uno de los conjuntos. As que la regin que representa es:

De manera similar se hace para la interseccin, solo que la regin sera en donde se junten las lneas verticales y horizontales; es decir, la regin tiene que contener tanto lneas horizontales como verticales.

Ejemplo: Representa utilizando los diagramas de Venn.

Solucin.

Primero con lneas horizontales representemos uno de los conjuntos a unir y con lneas verticales el otro.

Entonces la regin que representa la interseccin es:

Ya que es la regin donde se traslapan las lneas.

Para el caso de tres conjunto se hace de manera similar.

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lgebra I

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 7.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Despus comenten con ayuda de su maestro los resultados con el resto del grupo.

Actividad 2

1. Decir si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados.

Justifica tu respuesta.

a)

b)

c)

2. Sea Encuentra:

a)

b)

3. Sean y . Encuentra:

a)

b)

4. Utiliza los diagramas de Venn para verificar las siguientes proposiciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5. Sea y

. Encuentra:

a)

b)

Laboriosidad

Responsabilidad

26

lgebra I

6. Sea el conjunto universo del cual es subconjunto. Encuentra el conjunto sealado en trminos de

a)

b)

7. Sabiendo que el nmero de elementos de son 15, el nmero de elementos de son 5 y el nmero de elementos de son 30. Determina cuntos elementos tiene . Sugerencia haz un diagrama de Venn.

8. Mediante un diagrama de Venn ilustra el siguiente conjunto .

9. En una ENMS de la Universidad de Guanajuato, de una muestra de 100 estudian-tes, se tiene que:

45 estudian Matemticas, 41 Ingls, 47 Historia, 18 solamente Matemticas e Historia, 17 solamente Ingls e Historia y 7 los tres cursos. Nadie estudia sola-mente Matemticas e Ingls.

a) Cuntos estudiantes estudian solamente Matemticas?

b) Cuntos estudiantes no estudian ninguno de los tres cursos?

10.Elabora un diagrama de Venn que nos represente el caso ms general para cua-tro conjuntos y . Cuntas regiones se formaron. (Sugerencia: empieza por analizar cuntas regiones se forman para el caso de uno, dos y tres conjun-tos).

11. Encuentra cuntos subconjuntos se pueden forman de un conjunto de cuatro elementos. Adems, da una frmula para saber cuntos subconjuntos tiene un conjunto de elementos.

27

lgebra I

TIC Para practicar en forma individual, consulta la plataforma blackboard.www.http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/tc5.htm#nivel_Ic

Autoevaluacin

12. Investiga algunas aplicaciones sobre los conjuntos.

13. Investiga a quin se le atribuye la introduccin de los conjuntos y explica en qu consiste sta.

14. Investiga qu significa que dos conjuntos son ajenos. Da un ejemplo.

Indicador

Resuelve algunos ejercicios, no llega al resultado final de los mismos y los procedimientos presentan deficiencias.

Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto


Resuelve 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en forma clara, ordenada y sin faltas de or-tografa.Resuelve ms del 80% de los ejercicios correctamente, es-cribe su procedimiento en forma limpia, clara, ordenada y sin faltas de ortografa.

28

lgebra I

1.2 Subconjuntos de los nmeros reales

Competencias especficas Reconoce e identifica los subconjuntos de

los nmeros reales, as como las distintas formas de representarlos en situaciones tericas o prcticas.

Clasifica los elementos de los subconjuntos de los nmeros reales.

LA BURGUESA DE LOS NMEROS REALES

No cabe duda que esto de las clases sociales est en todas partes, incluso hasta en las Matemticas.

Existen varias clases sociales en los nmeros, la primera es la clase de nmeros que utilizamos para contar, estos nmeros reciben el nombre de los nmeros na-turales y se representa por la letra .

.

Como en toda clase social, para que un individuo pertenezca a esa clase se debe cumplir con algunos requisitos. Notemos que al sumar dos nmeros naturales nos da otro nmero natural , . Pero al restar dos nmeros na-turales el resultado podra no ser un nmero natural, , entonces el no pertenece a esta clase. Por esta razn surge la clase social de nmeros que se llama nmeros enteros y se representa por la letra .

Al sumar y restar nmeros enteros nos vuelve a dar otro nmero entero. Pero al dividir dos nmeros enteros nos puede dar un nmero el cual podra no ser ente-

ro, por ejemplo Esto, da lugar a una clase muy distinguida la cual llamaremos

nmeros racionales ; es decir, un nmero racional es aquel que se puede expre-

sar en forma de fraccin.

.

Aprecia que los nmeros , y el son n-meros racionales porque se pueden expresar como una divisin de dos nmeros enteros de acuerdo al siguiente algoritmo:

El sistema de los nmeros reales tiene su inicio al menos en la antigua Babilonia (1800 a. C.). Su sistema de numeracin era muy similar al que utilizamos, su sistema se basaba en el 60, mientras que el nuestro se basa en el 10.

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lgebra I

Caso I) Parte decimal finita Caso II) Parte decimal infinita, pero peridica

Para este caso contamos los decimales que tiene el nmero. Y hacemos la divisin entre el nmero que se forma al recorrer el punto decimal hasta el final entre el uno agregndole la cantidad de ceros como sus decimales.

Ejemplo:

Tiene cuatro cifras decimales. Entonces:

Debemos ver cuntos nmeros se estn repitiendo (periodo). Despus, resolver la siguiente expresin

, donde es el nmero racional.

Despejamos y obtenemos la fraccin.

Ejemplo:

. Observemos que el periodo es , ya que es el nmero el que se repite; entonces

Siguiendo los algoritmos anteriores tenemos que y representan res-

pectivamente los nmeros , y el .

Esta es una caracterstica de los nmeros racionales: si un nmero tiene parte deci-mal finita o infinita pero peridica, se puede expresar en forma de fraccin; es decir, es un nmero racional. Algunos ejemplos de nmeros racionales:

Como es de esperarse hay nmeros que no se pueden expresar mediante una fraccin. Estos nmeros reciben el nombre de nmeros irracionales y se represen-tan por la letra . Los nmeros que tienen parte decimal infinita y no peridica, no se pueden expresar en forma de fraccin; es decir, son nmeros irracionales. Ejem-plos de nmeros irracionales:

Observemos que la clase de los nmeros est incluida a la clase de los .

La barra horizontal de las fracciones (de origen rabe) ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generaliz hasta el siglo XVI.

30

lgebra I

Tambin la clase de esta incluida a la clase de , ya que si es un nmero entero,

lo podemos expresar como . As que . De lo anterior concluimos que

La clase de los nmeros no pertenece a ninguna de las anteriores, pero todas las clases de nmeros pertenecen a una sola la clase de los nmeros reales, los nmeros reales se definen como la unin de los conjuntos y .

Diagrama de los nmeros reales:GLOSARIO

El smbolo significa que un elemento no pertenece a un conjunto.

El smbolo representa la unin entre conjuntos.

El smbolo significa sub-conjunto propio.

TIC Investiga en internet, si existen otras clases de nmeros, y cul es el conjunto de Cantor?.

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 7.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Despus compara tus resultados con el resto del grupo.

Actividad 3

1. Califica si es falso o verdadero cada expresin. Justifica tu respuesta.

a)

b)

c)

d)

Se cree que el smbolo para el cero por primera vez lo invent un hind, el cual se llam sunya. Los rabes lo llamaron sifr. Pero Ptolomeo de Alejandra comenz a utilizar el o (micron) que significa nada en griego.

Empata

Comunicacin

31

lgebra I

2. Escribe el nmero que corresponde a cada pregunta y clasifcalo (naturales, enteros, racionales e irracionales).

a) Nmero de alumnos del grupo es __________ __________

b) El promedio que obtuviste de secundaria fue de __________ __________

c) Tu estatura en metros es __________ __________

d) El precio de la gasolina por litro es __________ __________

e) Si el rea de un cuadrado es 2 unidades cuadradas, la longitud de cada lado corresponder a un valor de __________ __________. Toma en cuenta que la frmula del rea de un cuadrado es lado al cuadrado.

3. Considera el siguiente conjunto:

Escribe los elementos de los conjuntos que son:

a) Naturales

b) Enteros

c) Irracionales

d) Racionales

4. Redacta una situacin prctica en la que distingas cada uno de los subconjuntos de los nmeros reales.

a)

b)

c)

d)

5. Encuentra la fraccin que representa los nmeros racionales.

a)

b)

c)

d)

6. Con tus propias palabras define:

a) Nmero entero:

32

lgebra I

b) Nmero racional:

c) Nmero irracional:

7. Elabora un mapa conceptual sobre el conjunto de los nmeros reales.

Autoevaluacin

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



33

lgebra I

1.3 Postulados de campo de los nmeros reales

Competencias especficas Reconoce e identifica las propiedades

de los nmeros reales.

Utiliza las propiedades de los nmeros reales para realizar operaciones aritmticas.

EL CAMPO DE LOS NMEROS REALES

En los nmeros reales estn definidas las operaciones de suma, resta, multiplica-cin y divisin. Pero en realidad podemos considerar dos como las operaciones fundamentales: la adicin, la cual incluye a la suma y a la resta, y el producto, que involucra a la multiplicacin y divisin que ya conoces.

Estas dos operaciones tienen propiedades importantes que seguramente ya las has utilizado. Estas propiedades son la base para el lgebra. Analizaremos estas propiedades a continuacin.

3

-2.5

5

7

0.3

32

5

34

lgebra I

Nombre de la propiedad

Propiedades de la adicin Ejemplo En Espaol

Propiedad de cerradura para

la adicin

Propiedad conmutativa

para la adicin

Propiedad Asociativa para

la adicin

Existencia del neutro aditivo

Existencia del inverso aditivo

Si ; entonces

Y este

resultado es nico.

Si ; entonces

Sean , y ;

entonces y

Sea ; entonces,

Si ; entonces existe

, tal que

Sean y ; entonces . Y adems, es nico.

Sean y ; entonces

Sean , y ; entonces

Existe un nmero real nico denotado por el , tal que para todo

se tiene que

Para todo nmero , existe un nmero que de-notaremos por , el cual llamamos el inverso aditivo tal que

Si sumamos dos nmeros reales la suma vuelve a dar un nmero real nico.

Si sumamos dos nmeros, el orden de cmo los sumemos no altera el resultado de la suma.

Si asociamos los sumandos de una suma en varias formas el resultado no se altera.

Existe un nmero que llamamos el cero tal que si se suma con cualquier nmero real, este nmero no se altera. Adems no hay otro nmero que cumpla con esta propiedad ms que el cero.

Para todo nmero real , existe otro nmero

real llamado el inverso aditivo, que tiene la propiedad de que al sumarlo con ese nmero da por resultado el neutro aditivo; es decir, el nmero cero.

35

lgebra I


Propiedades de la multiplicacin Ejemplo En Espaol

Propiedad de cerradura para

el producto


para el producto

Propiedad asociativa para

el producto

Existencia del neutro

multiplicativo

Existencia del inverso

multiplicativo

Si ; entonces

. Y el

resultado es nico.

Si ; entonces

Sean , y ; entonces

y

Sea ;entonces

Si ; entonces

existe , tal que

Sean y ; entonces . Y adems, es nico.

Sean y ; entonces

Sean , y ; entonces

Existe un nmero real nico denotado por el , tal que para todo

se tiene que

Para todo nmero con existe un nmero que denotare-

mos por , el cual

llamamos el inverso multiplicativo tal que

Si multiplicamos dos nmeros reales el producto vuelve a dar un nmero real nico.

Si multiplicamos dos nmeros, el orden de cmo los multipliquemos no altera el producto.

Si asociamos factores de un producto de varias formas el resultado no se altera.

Existe un nmero que llamamos el uno tal que si se multiplica con cualquier nmero real, este nmero no se altera. Adems no hay otro nmero que cumpla con esta propiedad ms que el uno.

Para todo nmero real distinto de cero, existe otro nmero real

llamado el inverso

aditivo, que tiene la propiedad de que al multiplicarlos nos da por resultado el neutro multiplicativo; es decir, el uno.

36

lgebra I

Existe otra propiedad que relaciona a las dos operaciones fundamentales:


Propiedad de suma y multiplicacin Ejemplo

Propiedad distributiva

Sean , y ; entonces

Sean , y ; entonces

y

TIC Investiga en internet si existe algn otro conjunto de nmeros que forman un campo.

Cualquier conjunto que cumpla con las 11 propiedades anteriores, se dice que el conjunto forma un campo. De manera que los nmeros forman un campo.

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Y para finalizar con ayuda de tu maestro comenten los resultados con el resto del grupo.

Actividad 4

1. Relaciona ambas columnas.

a)

b)

c)

d)

2. Menciona la propiedad que se est utilizando y completa lo que falta.

e) Propiedad:

f) Propiedad:

3. Menciona si los nmeros enteros impares (positivos y negativos, incluyendo al cero) forman un campo. Justifica tu respuesta.

( ) Propiedad distributiva

( ) Es un campo

( ) Propiedad asociativa del producto

( ) Propiedad de cerradura del producto

Comunicacin

37

lgebra I

4. Distingue qu propiedad est asociada en las siguientes expresiones y aplica dicha propiedad.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5. Define con tus propias palabras las siguientes propiedades de los nmeros reales y escribe un ejemplo en cada una.

a) Propiedad conmutativa de la suma:

b) Propiedad asociativa de la multiplicacin:

c) Propiedad distributiva:

d) Propiedad de cerradura de la multiplicacin:

Autoevaluacin

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



38

lgebra I

1.4 Terminologa algebraica

Competencias especficas Identifica una expresin algebraica.

Identifica y clasifica los polinomios.

Reconoce la importancia de las propiedades de los nmeros reales, para la suma y resta de polinomios.

Realiza operaciones de suma y resta de polinomios.

Expresin algebraica

Una expresin algebraica es aqulla en la cual uno o ms nmeros o literales (smbolos o letras que representan nmeros) son combinados por medio de una suma, resta, multiplicacin y divisin.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

a)

b)

c)

Un monomio es la expresin algebraica ms simple que slo contiene un producto de un nmero real por una o ms literales (letras) que tienen exponentes positivos.

Un polinomio es una suma finita de monomios. En particular, una suma de dos mo-nomios se le conoce como binomio, una suma de tres monomios recibe el nombre de trinomio; es decir, los monomios, binomios y trinomios son casos particulares de polinomios.

Monomios

Binomios

Trinomios

Polinomios

Se cree que la palabra lgebra se deriv de un libro escrito por Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi llamado Hisak al-jabr walmuqabala.

39

lgebra I

En una expresin algebraica cada monomio junto con su signo recibe el nombre de trmino de la expresin.

Grado de un polinomio

Los polinomios se clasifican de acuerdo con su grado.

Si el polinomio tiene una sola variable, el grado del polinomio es el exponente ms grande de cualquiera de sus monomios (trminos) que lo forman.

Ejemplo: el grado del polinomio , es , ya que es el exponente ms grande.

El grado de una constante distinta del cero, tendra grado cero. Si el polinomio es la constante cero, se dice que este polinomio no tiene grado.

Si el polinomio tiene varias variables, el grado del polinomio puede ser respecto a una de las variables o referente al producto de sus variables. El grado del polino-mio referente al producto de varias variables queda establecido como la mayor suma de exponentes de sus monomios (trminos) que contengan alguna o todas las variables.

Ejemplo: Sea el polinomio de varias variables.

a) Cul es el grado del polinomio en las variables ?

Como lo queremos en las tres variables, sumemos en cada termino los expo-nentes de .

Trmino Grado

Como el ms grande es 9, el grado es 9.

b) Cul es el grado del polinomio en las variables ?

Trmino Grado

Como el ms grande es 5, el grado es 5.

40

lgebra I

c) Cul es el grado del polinomio en las variables ?

Trmino Grado

Como el ms grande es 9, su grado es 9.

d) Cul es el grado del polinomio en las variables ?

Trmino Grado

Como el ms grande es 3, su grado es 3.

Antes de ver la suma entre polinomios, necesitamos un concepto muy importante que es el de trminos semejantes.

Empezaremos con definir coeficiente numrico, el coeficiente numrico de un monomio (un trmino) es simplemente el nmero que est multiplicando a las variables (letras o smbolos).

Ejemplos:

Monomio Coeficiente numrico

Ahora s estamos listos para definir los trminos semejantes. Dos trminos se di-cen que son semejantes si tienen las mismas variables (smbolos o letras) con sus mismos exponentes. Es decir, los trminos slo pueden ser distintos en sus coefi-cientes numricos.

41

lgebra I

Trminos semejantes Trminos no semejantes

y y (ya que, aunque tienen las mismas

literales, los exponentes de la literal no son iguales).

y (ya que no coinciden en sus variables).

y (ya que no coinciden en sus variables).

y

y

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Junto con otro compaero, realicen los siguientes ejercicios. Despus con ayuda de su maestro discutan las respuestas con el resto del grupo.

Actividad 5

1. De la siguiente tabla completa lo que se te pide.

Expresin algebraica Nmero de trminos Grado en Grado en

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Dilogo

Empata

42

lgebra I

2. Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

a)

Monomio

Coeficiente numrico

a) c) b) d)

b) De los monomios anteriores, existen trminos semejantes?

c) Cules son?

3. Escribe un polinomio de una variable que tenga grado cinco y todos sus coefi-cientes numricos de cada trmino sean nmeros enteros.

4. Explica con tus propias palabras los siguientes conceptos y da un ejemplo.

a) Expresin algebraica:

b) Trmino semejante:

c) Coeficiente numrico:

d) Trinomio:

5. En las siguientes figuras se tiene la expresin del rea de las mismas. Identifica el coeficiente numrico de las mismas:

a)

b)

43

lgebra I

c)

6. Un derrame de petrleo en el Golfo de Mxico se desplaza de acuerdo con la siguiente expresin: ( es el tiempo en das).

a) Cuntos trminos tiene la expresin?

b) Qu tipo de expresin es?

c) Cul es el grado de la expresin?

d) Los coeficientes de cada trmino son:

Autoevaluacin

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



44

lgebra I

1.5 Suma y resta algebraica

Competencias especficas Reconoce la importancia de los las

propiedades de los nmeros reales, para la suma y resta de polinomios.

Realiza operaciones de suma y resta de polinomios.

Para sumar polinomios se utilizan la propiedad distributiva y la propiedad con-mutativa para la adicin de los nmeros reales. La propiedad conmutativa nos permite agrupar los trminos semejantes y la propiedad distributiva nos permite sumarlos. Es decir, slo se pueden sumar trminos semejantes.

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones de polinomios.

a)

b)

c)

Recuerda

a) Propiedad distributiva:

b) Propiedad conmutativa:

Resta de polinomios

Para restar polinomios, lo nico que tienes que recordar es que al polinomio que vamos a restar se le cambia de signo; es decir, a todos sus trminos que lo forman se les debe cambiar el signo, despus se hace de manera similar que una suma.

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones.

a)

Johann Widman, alrededor de 1489, public la aritmtica comercial Rechenung auff allen Kauffmanschafft, el cual es el trabajo ms antiguo en el que aparecen los signos + y -, utilizados al principio para indicar excesos y deficiencias.

45

lgebra I

Observa que

Para sumar o restar polinomios basta que agrupes los trminos semejantes y realices las sumas o restas (segn el caso) entre ellos.

Observa el inciso a) y b) de la resta de polinomios.

b)

TIC Para practicar en forma individual.http://ponce.inter.edu/cremc/ejleccion1.htm

Competencias a desarrollar: 2.1, 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Despus compara y discute tus resultados con otro compaero. Y para finalizar con la ayuda de tu maestro discutan las respuestas con el resto del grupo.

Actividad 6

1. Realiza las siguientes sumas o restas de polinomios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Confianza

46

lgebra I

i)

j)

k)

2. Determina una expresin polinomial para calcular el permetro de las siguientes figuras.

a) Rectngulo

b) Hexgono regular

3. Efecta las operaciones indicadas.

a) De , restar

b) Restar de

4. Efecta las operaciones siguientes.

a) +

b) _

Permetro:

Permetro:

47

lgebra I

5. Completa la siguiente tabla:

6. Completa la siguiente tabla:

Autoevaluacin

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



48

lgebra I

1.6 Leyes de los exponentes

Competencias especficas Identifica y reconoce una expresin

algebraica con exponentes enteros.

Diferencia las leyes de los exponentes enteros.

Utiliza las leyes de los exponentes enteros para simplificar expresiones algebraicas.

Para poder multiplicar polinomios requerimos de las leyes de los exponentes.

Primero recordemos el significado de potencia de un nmero; es decir, de , con .

y , donde

, de modo que

A la letra se le conoce como base y a la como su exponente.

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

Ahora, veamos la definicin de , con y .

Ejemplos:

a)

b)

c)

49

lgebra I

d)

Las siguientes leyes se obtienen fcilmente de la definicin. Son vlidas para todo y .

Ley Observacin Ejemplo

1.

2.

3.

4.

Observa que es una multiplicacin de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se suman.

Observa que es una divisin de potencias que tienen la misma base. En este caso los exponentes se restan. El exponente del nmero de arriba (numerador) se le resta el exponente del nmero de abajo (denominador).

Observa que es un exponente elevado a otro exponente. En este caso los exponentes se multiplican.

Observa que es una potencia de una multiplicacin.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

a)

b)

c)

a)

b)

c)

50

lgebra I

5. , con Observa que es una potencia de una divisin.

a)

b)

Ejemplos: Transforma a exponentes positivos y simplifica.

a)

Por la ley 5.

Por definicin de

TIC Observa el siguiente videohttp://www.youtube.com/watch?v=-8CEhrkH5aUmayo 2011.Investiga en internet qu leyes son verdaderas si el exponente fuera un nmero racional en lugar de un nmero entero.

b)


Propiedad asociativa

Por la ley 1.

Por definicin

51

lgebra I

c) Observa que

El inciso c) se puede resolver de varias formas. Se pudo haber elevado primero la potencia y al final haber realizado la divisin.

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Con ayuda de tu maestro formen equipos de tres personas, resuelvan los siguientes ejercicios. Posteriormente discutan los ejercicios con el resto del grupo.

Actividad 7

1. Encuentra el valor de la expresin en cada uno de los incisos. Expresa el resul-tado sin exponentes.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. Resuelve las operaciones, simplifica y expresa el resultado sin exponentes ne-gativos.

a)

Solidaridad

52

lgebra I

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

53

lgebra I

3. Escribe falso o verdadero, para todos nmeros reales y .

a)

b) , con

c) , con

d)

Autoevaluacin

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



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algebra-130806225620-phpapp01