ALGEBRA 3° 3B

25 26COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria ALGEBRA3er Año Secundaria

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Reconoce y clasifica una ecuación algebraica desarrollando la percepción y acumulando experiencias que servirán de soporte para futuras formalizaciones.

Dado un conjunto de ecuaciones de primer grado, trabaja con actitud crítica y creativa situaciones problemáticas, utilizando una variedad de técnicas de cálculo y aplicando correctamente las propiedades que correspondan.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1767.La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones.

En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado, y demás ecuaciones polinomiales.

CONTENIDO TEÓRICO:

1. IGUALDAD

Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo =, que se lee igual.

A = B

2. ECUACIÓN

Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución).

OBSERVACIÓN:

Enunciado abierto; es toda expresión que contiene por lo menos una variable, que para determinados valores de su dominio se convierte en un enunciado verdadero o falso llamado proposición.Variable; es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera en un determinado conjunto llamado dominio.El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera.Ejemplo: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como raíz o solución a: x = 5/3.

Luego, su conjunto solución es:C.S.

=

3. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES

3.1. De acuerdo a la naturaleza de los términos de la ecuación:

Ecuación algebraica: se denomina algebraica, si ella se puede reducir de modo que su primer miembro sea un polinomio respecto a la incógnita y el segundo miembro cero. Las formas en que se presenta la ecuación algebraica son:

Racional: La incógnita no está afectada por el signo radical.

x4 – 17x2 + 16 = 0 Racional entera

= 5x2 + 1 Racional

fraccionaria

¡ ALGO PARA RECORDAR!

En el ejemplo anterior tener en cuenta su conjunto de valores admisibles (CVA) es decir:CVA = x – x / x = 0.

El hecho de haber establecido su conjunto de valores admisibles (C.V.A) no significa haber hallado su conjunto solución, sólo se le ha restringido ¡ CUIDADO!

Irracional: La incógnita aparece

afectada por radical. = 11.En el ejemplo anterior tener en cuenta su conjunto de valores admisibles (CVA) es decir:

CVA = x / x + 3 0 CVA = x / x -3Por lo expuesto se concluye que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero.

Ecuación Trascendente: Cuando presenta expresiones trascendentes. ax+7 = 2 ; cos(2x) = -1; log x + 1 = 0

3.2. De acuerdo a sus coeficientes:

Numéricas : P(x) = 2x2 – 3x + 7 = 0

(Los coeficientes son: 2, -3

y 7)

Literales : P(x) = ax2 + bx + c = 0

(Los coeficientes son: a, b y

c)

3.3. De acuerdo a su solución:

Cuando se plantea una ecuación, nos interesa saber si dicha ecuación tiene solución o no, si tiene solución se debe conocer si existe un número finito de soluciones o existen infinitas soluciones. Considerando lo antes mencionado, la siguientes clasificación está dada en función de las soluciones.

ECUACIONES CONSISTENTES 0 COMPATIBLES.- Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en:

Determinadas.- Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. x2 +5x +4=0 es determinada.

S3AL33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3AL33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

III

ECUACIONES DE PRIMER GRADO


Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un número ¡limitado de soluciones!

2x + 3 = 2x + 3 es indeterminada.

ECUACIONES INCONSISTENTES 0 INCOMPATIBLES.- Son aquellas que no tienen solución, también se les denomina absurdas o imposibles.

=-i ; 2x+1=2x+ 3

4. ECUACIONES EQUIVALENTESDos o más ecuaciones de las mismas variables son equivalentes, si y sólo sí poseen el mismo conjunto solución. Ejemplos:

Como los conjuntos solución son iguales, entonces P1 P2 son equivalentes.

5. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 0 LINEAL EN UNA VARIABLE

Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

P(x) = ax + b = 0

Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita. Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así:

ax = -b x =

5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA EN "X"

Toda ecuación algebraica con una incógnita, que pueda reducirse a la forma: ax + b = 0 está sometida a la siguiente discusión:

ax = -b x =

- Si: a 0, la ecuación es determinada.- Si: a = 0 , b = 0 la ecuación es

indeterminada.- Si: a = 0, b 0 la ecuación es

incompatible.

Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta determinar el valor de la incógnita.

Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o cuando se presenta un término radical; es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones. Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente:

a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero.

Ejemplo: Resuelve: (x +3) (x–2) = 4 (x–2)

Resolución:

Simplificando: (x-2) x - 2 = 0 Para no perder solución x = 2Luego, tendremos: x+3=4 x

=1

La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

b) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación.

Ejemplo: Resuelve:

Resolución:

Primero simplificamos (x-2), luego tendremos: x + 3 = 4 x = 1

Observación: Si hubiésemos trasladado (x–2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x = 2, que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas.

Ejemplo: Resuelve

Resolución:

Elevando al cuadrado:

x2 + 7 = x2 – 14x + 4914x = 42 x = 3Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación dada tendremos:

(No cumple), luego: x = 3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución:

Observación: Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser soluciones verdaderas.

d) Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

ObservaciónSi ambos miembros se suma o resta una función arbitraria, la ecuación resultante no necesariamente es equivalente a la inicial.



La ecuación: x2 – 12 = 2x + 3 tiene por raíces: x = 5 ; x = -3Sumando a los 2 miembros:

;

Obtenemos:

x2 – 12 + = 2x + 3 +

Para lo cual x = 5 no es solución.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de acuerdo a su forma:

a) ....................

b) ………………........

.c) ................

d) ..............

02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas en función de las soluciones.

a) .....................................

.......

b) 2x+5 = 2x+5 ..................................

c)

………….........................d) x(x-2) = (x-1)2

……….......................

e) 5x =

5x ............................................f) .................

......

03. Instrucción: Encierra en una circunferencia V (verdadero) o F (falso).

El conjunto de valores admisibles en una ecuación algebraica implica que la ecuación ha sido resuelta. V - F

En una ecuación polinomial sus coeficientes son números naturales. V - F

Una ecuación es una proposición matemática. V - F

Una ecuación compatible indeterminada tiene infinitas soluciones. V - F

04. Una ecuación compatible:

a) Tiene 2 incógnitasb) No tiene soluciónc) Tiene un número finito de

solucionesd) Tiene un número infinito de

solucionese) c y d

05. Toda ecuación lineal presenta:

a) 1 solución b) 2 soluciones c) 3 soluc.d) 4 soluc. e) N.A.

06. Se llama ecuación polinomial a la:

a)Ecuación algebraica racional entera

b)Ecuación algebraica racional fraccionariac)Ecuación trascendented)Ecuación irracionale)N.A.

07. Una ecuación se llama incompatible si:

a) Tiene infinitas solucionesb) Tiene 3 incógnitasc) Tiene un número finito de solucionesd) Es irracionale) No admite solución

08. Resolver:

a) 6 b) – 6 c) 6; – 6d)Indeterminado e) Incompatible

09. Resuelve: x–4+2

a) 6 b) – 6 c) 6; – 6d) Indeterminado e) Incompatible

10. Resolver: .

Marque lo correcto:

a) tiene una raíz b) tiene dos raícesc) tiene tres raíces d) Indeterminadoe) Incompatible

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01. Resolver:

Indique el número de sus raíces:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Incompatible

02. Resolver:

a) incompatible b) 0 c) 5d) 5; - 5 e) indeterminado

03. Resolver:

Indique la suma de sus raíces.

a) 0 b) 5 c) 6d) 7 e) 9

04. Resolver:

Indique:

a) 1 b) 2 c)3d) 4 e) 5

05. Resolver:

Indique: (7 + 2x)3 – x

a) 4 b) c) – 27

d) e) N.A.

06. Resolver:

a) 0 b) 3 c) 4



d) 2 e) 5

07. Dada la ecuación en x:

Dar el valor de verdad:I. La ecuación dada es lineal .II. La ecuación tiene infinitas

soluciones.III. La ecuación tiene solución

únicaIV. es solución de la

ecuación.V. La ecuación dada es ecuación

polinomial

a) FVFVV b) FVFVF c) VVVFFd) FFVVV e) VFVFV

08. Resolver:

a) 5 b) 5 ; -5 c) -5d) Indeterminado e)

Incompatible

09. Sea la ecuación en "x"

e indicar el valor de "a" para el cual la ecuación presenta infinitas soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e)0

11. Si .

El conjunto solución de la ecuación es:

a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2d) x 1 e) x 1

12. Compré cierto número de folletos de álgebra por 100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5 ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos folletos compré)

a) 4 b) 4 c) 20d) 25 e) 15

13. En un reloj se lee 8:48 cuando en realidad son 8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto: ¿a qué hora dará una lectura correcta?

a) 8:02 b) 8:00 c) 8:04d) 8:25 e) 9:11

14. El conjunto solución de:

es:

a) b) {3;-3} c) {4 ; -4}d) -{3;-3} e) N.A.

15. En la siguiente ecuación:

(x+1) + (x+2) + (x + 3) + ..... + (x + n) = n2 n es entero positivo, el valor de "x"

es:

a) b) c)

d) c)

TAREA DOMICILIARIA

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

01.

02.03.

03. x + 5 + 2

Encierre en una circunferencia cada una de las respuestas correctas:

04. Resolver:

a) 4 b) – 3 c) 3 d) 1 e) – 4

05. Resolver:

a) ½ b) – 1/3 c) 1/3d) –1/4 e) Es incompatible

06. Para que valor real del parámetro "n", la ecuación de primer grado en "x":

(2n – 1)x + 2 = nx – 3n2 será compatible y determinada.

a) n b) n +

c) 2 d) 3e) n - {1}

07. En la siguiente ecuación:

(x+1) + (x+2) + (x + 3) + ..... + (x + n) = n2

n es entero positivo, el valor de "x" es:

a) b) c)

d) c)

09. Halla el valor del parámetro "a" de modo que la ecuación

sea:

Compatible determinadoCompatible indeterminadoIncompatible




Dado un conjunto de Ecuaciones de segundo Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden.

COMENTARIO PREVIO:

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticos (ax2 + bx + c) así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2 con varias incógnitas. Los antiguos Babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia aunque el libro "La aritmética de Diofante" es de bastante más nivel y presenta muchas solución es sorprendente para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró a su vez, acogida en el mundo islámico en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio" (La palabra árabe "ál - jabru" que significa reducción es el origen de la palabra álgebra).En el siglo IX el matemático Al-Juarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones con ejemplos y demostraciones incluidas.CONTENIDO TEÓRICO:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

DEFINICIÓN.Se llama ecuación de segundo grado a toda ecuación que admite la siguiente forma:

axax22 + bx + c = 0, {a; b; c} + bx + c = 0, {a; b; c} R / a R / a 0 0

Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 raíces o soluciones (su incógnita “x” asume dos valores)

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.

A) Por Factorización

Este método se aplica únicamente si el trinomio:

ax2 + bx + c es factorizable, para lo cual se debe tener en cuenta la siguiente propiedad:

Si : m . n = 0 Si : m . n = 0 m = 0 m = 0 n= 0 n= 0

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

x2 – x–12=0

Resolución

Factoricemos al trinomio: x2 – x–12Según el criterio del aspa simple tendremos:

x2 – x – 12= (x-4) (x+3)

x -4x 3

Luego la ecuación dada será: (x - 4) (x + 3) = 0

Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas arriba; se tendrá:

x – 4 = 0 x + 3 = 0 x = 4 x = -3

Es decir el conjunto solución de la

ecuación:

x2 – x – 12= 0, es: C.S. = {4; -3}

B) Por la Fórmula de Carnot

Dada la ecuación : ax2 + bx + c = 0, sus raíces se obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi Carnot:

Donde las raíces son:

;

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación: x2 + 3x – 1=0

Resolución

De la ecuación se deduce que: a = 1b = 3 c = -1Reemplazando en la fórmula tenemos:

Efectuando y reduciendo:

Finalmente las raíces de la ecuación son:

;

En consecuencia el conjunto solución

es :

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN.

Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0, se tiene:

I) Sí: a 0 {b ; c} R , la ecuación es : Compatible Determinada.


ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


II) Sí: a = 0 b = 0 c = 0 , la ecuación es : Compatible Indeterminada.

III) Sí: a = 0 b = 0 c 0 , la ecuación es : Incompatible.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES.

A) DISCRIMINANTE ()

Llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula de Carnot :

= b2 – 4ac

De este modo la fórmula que da solución a una ecuación de 2do

grado queda así :

B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE

Observando la relación anterior, resulta previsible que el valor y/o signo del discriminante determinará la naturaleza de las raíces de una ecuación de 2do grado. Veamos los siguientes casos:

Primero: Si : > 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.

Si : = k2 (cuadrado perfecto)Siendo a, b c números racionales, las raíces de la ecuación serán reales racionales y diferentes. Pero

si k2, las raíces de la ecuación serán reales irracionales conjugadas y diferentes.

Segundo: Si : = 0

En este caso las raíces de la ecuación serán reales e iguales. Este caso se presenta cuando el trinomio “ax2 + bx + c” es un cuadrado perfecto.

Tercero: Si : < 0

En este caso las raíces de la ecuación serán imaginarias y conjugadas. Debe notarse que las raíces imaginarias y conjugadas siempre se presentan en parejas, siendo una la conjugada de la otra.

¡ Veamos los gráficos!

NOTA IMPORTANTE:

Gráfica (1) Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice “v” es un punto mínimo.

Gráfica (2)Pero cuando a < 0 la parábola se abre hacia abajo y el vértice “v” es un punto máximo.Luego en ambos gráficos cuando:

b2 – 4ac > 0 la parábola corta al eje x en dos puntos reales, que vienen a ser el conjunto solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0

En la gráfica (3):Cuando b2 – 4ac < 0, la parábola tiene su vértice en el eje “x”; la ecuación ax2

+bx+c=0 tiene como conjunto solución únicamente un solo elemento.

x1 = x2 = -

En la gráfica (4):Cuando b2 – 4ac<0, la parábola no toca ni cruza al eje “x”, entonces la ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene soluciones reales. Su conjunto solución en R es vacío (), pero si admite soluciones o raíces complejas.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES.

Para la ecuación: ax2 + bx + c = 0 / a 0, de raíces x1 x2, tenemos:

I) Suma de Raíces : s = x1 + x2 =

II) Producto de Raíces: p = x1 . x2

=

III)(x1 + x2 )2 - (x1 - x2 )2 = 4x1 . x2

RAÍCES PARTICULARESEn algunas ecuaciones las raíces se condicionan de tal modo que efectuando alguna operación elemental entre ellas, se podrá deducir alguna propiedad particular, como por ejemplo:

Raíces Simétricas: Si x1 x2 son raíces simétricas, se podrá establecer lo siguiente:

x1 = m x2 = -m x1 + x2 = 0

Raíces Recíprocas: Si x1 x2 son raíces recíprocas, se podrá establecer lo siguiente:

x1 = m x2 = x1 . x2 = 1

RAÍCES ESPECIALESLlamaremos así a las siguientes raíces:

Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 / a 0, si ésta presenta una raíz nula (x = 0), se cumplirá que: c = 0.

Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática;ax2 + bx + c = 0 / a 0, si ésta presenta una raíz unidad (x = 1), se cumplirá que: a + b + c = 0.

RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA.Considerando a x1 x2 como raíces de la ecuación tal que:

S = Suma de raícesP = Producto de raíces



Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se determina así:

xx22 – Sx + P = 0 – Sx + P = 0

PROPIEDADES IMPORTANTES.

A. De las Ecuaciones Equivalentes

Sean:a1 x2 + b1 x + c1 = 0 ...... (1)a2 x2 + b2 x + c2 = 0 ...... (2)

dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se cumplirá la siguiente relación:

PRÁCTICA DE CLASE

01.Resolver las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

02.Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:a) (x+1)(x+2) (x+3) = x (x+4)

(x+5)

b)

c)

d)

03. Completar:

a)2x2 - 7x - 3=0 = .......................b)7x2 - 11x - 14 = 0 S= ........................

c) x2 - 5x + 6 = 0

.............

d)2x2 + 7x + 1 = 0

..........e)2x2 + x - 1 = 0 (x1+1)(x2+1)= ......f) x2 + 2x - 1= 0 (x1+1)(x2+1)= .......

04.Relaciona correctamente:

I) x2 - 4 x+12=0A)Raíces reales iguales.II) x2 -2x -1=0 B)Raíc. reales diferentes.III) x2 - 2x+3=0 B) Raíces complejas.

a) I A - II B - III C d) I A - II C - III Bb) I C - II B - III A e) I C - II A - III Bc) I B - II C - III A

05.Calcular "m" para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática:

(m+1)x2 - (3m - 5)x + 2m - 5= 0

A)Suma de raíces es 5/2. m = ...........B)Producto de raíces es 9/4. m = ...........C)Raíces recíprocas. m = ...........

D)Raíces simétricas. m = ...........E)Una raíz es -2. m = ...........

06. Calcular "n" para cada uno de los siguientes casos, siendo la ecuación cuadrática:

(2n - 5)x2 + (3n - 5)x + n + 1 = 0

a) Raíces igualesb) Suma de las inversas de las raíces es -5/2c) Diferencia de raíces es 0,5d) Suma de los cuadrados de las raíces es 5/4

07.Formar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros para cada uno de los siguientes casos:

a) x1 = 7 x2 = 4b) x1 = 2/3 x2 = -3/5c) x1 = 3 - d) x1 = 4 + ie) x1 + x2 = -7 / 3 x1.x2 = 5 / 9

08. Indicar la mayor raíz de la ecuación:

x2 - 3x + 2,16 = 0

a) 1,2 b) 0,8 c) 1,8d) 0,3 e) 1,2

09. Si : x =

, puede decirse

que:

a) x= b) 0<x<1 c) x>2d) x=2 e) x es infinitamente grande

10. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:

I. x2 – x – 1 = 0 II. x2 – 2x + 3 = 0III. 3x2 + x – 2 = 0

No admite raíces reales.

a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) II y III e) I y II

11. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica de 2do

grado:

(m-2) x2 – (3m-8) x + m – 9 = 0

a) -2 b) -3 c) 2d) 3 e) -1

12. Calcular el valor de “m-2n” si la ecuación cuadrática: 5 (m + n + 18)x2 + 4(m - n) x + 3mn=0.

Es incompatible.

a) -9 b) -18 c) 9d) 18 e) -13


01. Si la ecuación: x2 – nx + 36 = 0, admite como raíces a : x1 x2, tal que:

; encontrar el valor de “n”.

a) 25 b) 18 c) 12d) 24 e) 15



02. Siendo: x1 x2 las raíces de la ecuación :5x2 – 23x + 11 = 0, el valor de:

; es:

a) b) c)

d) e)

03. ¿Para qué valores de “m” la ecuación: x2 - 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0, tendrá sus dos raíces iguales?

a) 5 ; 2 b) 1 ; -3/2 c) 4 ; -2d) 3 ; -1 e) 2 ; -10/9

04. La ecuación cuadrática cuyas raíces son :

2+ 2- , es:

a) x2 + 2x – 1= 0 b) x2 + 4x +2= 0c) 2x2 - 4x + 1= 0 d) x2 - 4x + 2= 0e) x2 - 8x + 2= 0

05. Si “” y “” son las raíces de la ecuación:x2 - 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: 2 y 2.

a) x2 +14x + 25=0 b) x2 +14x +15= 0c) x2 - 2x - 1= 0 d) x2 - 14x - 25= 0e) x2 - 14x + 25= 0

06.06. Calcula la mayor solución de la ecuación:(m-2) x2 – (2m-1) x + m – 1 = 0

Sabiendo que su discriminante es 25.

a) 3 b) 0,5 c) 2,5d) 1,5 e) N.A.

07. Calcular “m” para que la ecuación:6x2 + (2m + 3)x + m = 0; tenga sólo una raíz.

a) 3 b) 3/4 c) ½d) 3/2 e) 5/3

08. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 ; el valor de :

, es:

a) b2 - 4ac b) c)

d) e) b2 + 4ac

09. Si una raíz de la ecuación: ax2+bx+c=0, es el

cuádruplo de la otra, calcular: .

a) b) - c)

d) e)

10. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación :

, son

iguales?

a) b) c)

d) e)

TAREA DOMICILIARIA

01. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación: x2 –

(m+3)x + +1=0; se diferencian

en 2?

a) – b) c) -

d) e)

02. La ecuación de 2do

grado una de cuyas raíces es la fracción:

x = ; está dada

por:

a) 3x2 – 5 = 0 b) 5x2 – 3 = 0c) 3x2–x–5=0 d) 5x2 – x – 3=0e) 2x2 - 4 = 0

03. Determine la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación:

(a+1)x2+ax+1=0 ; tenga una sola solución si “a” es un número real y diferente de –1.

a) 12 b) 4 c) 4d) 5 e) 6

04. Sea: {x1 ; x2} el

conjunto solución de:

3x2 – x – 1 = 0. A continuación se establece que:

P(n) = ; calcular : P(2)

a) 7 b) c) 3

d) e)

05. Si la ecuación: x2 – 6x + n + 1 = 0 , admite como raíces a x1 x2 , tal que :

; encontrar el valor

de n :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

06. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: x2 - 8x + n = 0, es igual a 20?

a) 44 b) 11 c) 33d) 22 e) 17

07. ¿Para qué valor de “n” las raíces de la ecuación:

, son simétricas.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

08. Si las ecuaciones:



(2m+1) x2 – (3m-1) x + 2 = 0(n+2) x2 – (2n+1) x – 1 = 0

Son equivalentes. Calcula el valor de “m”.

a) -9 b) 6,5 c) 9d) –6,5 e) 14

09. ¿Qué valor debe agregarse a las raíces de:(a+b)x2 + (a-b)x + ab = 0; para que estas nuevas raíces sean raíces simétricas de otra ecuación cuadrática?

a) b) c)

d) e)


Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los números reales, respecto a la relación de orden entre ellos.

Sabe operar adecuadamente con intervalos.

Forma una base matemática para el estudio de las inecuaciones.

COMENTARIO PREVIO:

La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas, la congruencia de figuras geométricas y las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas son temas relacionados con la igualdad. A medida que avancemos en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que las desigualdades son tan importantes en las aplicaciones de la matemática como las ecuaciones. Una desigualdad está involucrada cuando estamos mas interesados en el tamaño aproximado de una cantidad que en su valor exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18 700 millas, queremos decir que:

18 650 d 18 750.

Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física; tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc. ... es completamente imposible, la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.

Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades entre números reales y enseguida desarrollaremos algunos conceptos y leyes fundamentales que conciernen a ellos.

CONTENIDO TEÓRICO:

RELACION DE ORDEN

Es una comparación que se establece entre dos elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales. El campo real es un CAMPO ORDENADO.Símbolos de la relación de orden:

DESIGUALDAD

Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades:

1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica para todos los valores reales que se asignen a sus variables.Ejemplos:

* x + 6 > x + 2 ; se verifica x R

* + 1 > 0 ; se verifica x R

2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas.Ejemplos:

* 2x – 3 > 5; se verifica x > 4* 3x – 2 x + 4; se verifica x

3

DEFINICIÓN DE < ; >

Dados a, b, c R se asevera:1. a b si y sólo si a – b es positivo.

Ejemplos:

7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real positivo.

– 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1es un número real positivo.

– 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6es un número real positivo.

De la definición también se concluye:

a > 0 si y sólo si a es positivo.a < 0 si y sólo si a es negativo.

DEFINICIÓN DE ≤ ; ≥

Dados a, b R se asevera:1. a ≤ b si y sólo si a b ó a = b

Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se denominan desigualdades. En particular, a b se llaman desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas.

TEOREMAS:TEOREMAS: Dados a, b, c, d R

1. Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0

2. Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 03. Sí a 0, entonces a.c <

b.c7. Sí a 

b.cLEY DE TRICOTOMIA


DESIGU


Para cualquier número real “a”, una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:

Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se puede establecer una de las tres relaciones.

PROPIEDADES

1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Sí b n b n

Aplicaciones:

x + 5 9 x 9 – 5 x 4 y – 11 5 y 5 + 11 y 16

2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad positiva, entonces el sentido de la desigualdad no se altera.

Si: a 0

Aplicaciones:

3 x > 75 x > x > 25

< 2 y < 2 (8) y < 16

3. Si a ambos miembros de una desigualdad se les multiplica o

divide por una misma cantidad negativa, entonces el sentido de la desigualdad se invierte.

Sí a 10 x< x< - 5

< 7 x>7 (-5) x > -35

4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si: a b ; c< d a – c > b – d

6. Si se multiplica miembro a miembro

desigualdades del mismo sentido y con todos sus miembros positivos, entonces se conserva el sentido de la desigualdad.

Si: 0 < a < b ; 0 < c < d ac b > 0 0 < c < d >

8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un mismo exponente impar entonces el sentido de la desigualdad se conserva.

Si a > b >

9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a un mismo exponente por entonces se conserva el sentido de la desigualdad siempre que ambos miembros sean positivos.

Si a0 b>0

RECTA NUMERICA REAL

Es una recta geométrica donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

INTERVALOS

Sea I un subconjunto de IR (I IR). Decimos que I es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos los número reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser finitos o ideales).Si I es un intervalo, puede ser: ACOTADO o NO ACOTADO



A. Intervalos Acotados

Son intervalos cuyos extremos son números reales (finitos) y a su vez serán:

1. Intervalo Cerrado

Si: x [a; b] a x bEn dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y “b”.

2. Intervalo Abierto

Si: x <a; b> a < x < bEn dicho intervalo no están incluidos los extremos “a” y “b”.

3. Intervalo Semi – abierto MixtoSemiabierto por la izquierda

Si: x <a; b] a < x bEn dicho intervalo sólo se incluye el extremo “b”.Semi-abierto por la derecha

Si x [a; b> a x x > a

2.

Si: x [a; +> x a

3.

Si: x <-; a> x < a

4.

Si: x <-; a] x a

5.

Si: x <-; +> x R

OBSERVACIONES IMPORTANTES

1. La notación , que se lee infinito no es un número real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que un intervalo es ilimitado por la derecha (+) o por la izquierda (– )

2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2 formas: <a; b> = ]a; b[ Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma: [a; b]

3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este siempre irá como ABIERTO.

[a; +> ; <a; +> ; <-; a] ; <-; -a>

4. Los intervalos son sumamente útiles:

a) Para expresar el conjunto solución de INECUACIONES. Ejemplo:

El conjunto solución de la inecuación:

2 +3x – 0 es el intervalo cerrado: x [1; 2]

b) Para expresar el dominio y rango de una relación y de una función de R en R.Ejemplo:

El dominio de la función f(x) es: x <0; 7] El rango de f(x) es: y <0; 4]

c) Para “ACOTAR”Ejemplo: Sí x <-2; 3] , ¿entre qué valores estará (x + 2)?Si:

OPERACIONES CON INTERVALOS

Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales de los números reales, podemos operar con ellos.Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:

A B = {x IR / x A x B}

A B = {x IR / x A x B}

A – B = {x IR / x A x B}

= {X IR / x IR x A}

Aplicación : Sean los conjuntos (intervalos)A = {x IR / x 5}

B = {x IR / - 8 x < 12}. Hallar:A B , A B , A – B , B – A , A’ , B’

ACOTACIONES

Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto



Definición 1: Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO SUPERIORMENTE si existe un número M, tal que:

Es decir:

M es cota superior S x M, x S

Ejemplos:

1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o cualquier número mayor que 3 es una cota superior del intervalo A.Ver el siguiente gráfico:

El número 3 es una cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3, x <-2,3>

El número 3,002 es cota superior del intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002 x <-2, 3>, etc. Todos los números mayores o iguales a 3 son cotas superiores.

2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una cota superior del intervalo [-1; 1/2]

Definición 2: Un subconjunto S no vacío de números reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe un número m, tal que:

Es decir:

m es cota inferior de S m x, x S

Ejemplos:

1) En un intervalo A = <-3,2], son cotas inferiores los números –3, -3.002; -3.5, -4, etc. Todos los números menores o iguales que –3 son COTAS INFERIORES.Pues:

-3 x, x <-3; 2]

-3.002 x x <-3; 2]

Definición 3: Un número se llama SUPREMO de un conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores.

Ejemplos:

1) En el intervalo: A = , el

supremo es 3.

2) En el intervalo: B = , el supremo es 5.

Definición 4: Un número se llama INFIMO de un conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores.

Ejemplos:

1) En el intervalo: A = , el ínfimo

es –1/2.2) En el intervalo: B = [5; > , el ínfimo es 5.

OBSERVACIONES:

A. El supremo y el ínfimo representan al máximo y mínimo valor que toma un conjunto, respectivamente.

B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo si está acotado superior e inferiormente.

Ejemplos:

El intervalo: A = <-2; 7> es ACOTADO.

El intervalo: B = <8; +> no es ACOTADO.

C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o no un elemento del conjunto.

TEOREMAS ADICIONALES

Sean a, b, c, d, x IR1. a IR: a2 02. 0 a b 0 c d 0 ac bd3. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)4. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b

0)

5.

6.

7. Si a y b tiene el mismo signo, entonces:

8.

9.

10.

11. a2 + b2 2ab; a, b IR12. a2 +b2 +c2 ab + ac + bc; a, b, c

IR13.

14.

15.



16. ; 0 a b; “m”

no es fracción propia positiva.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Marque verdadero (V) o falso (F):

I. 3 II. 0 0III. -1 < 0 IV. 3,14

a) FFVV b) VVVV c) FFVFd) VVVF e) FFFF

02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de la expresión:

a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 8/3

03.Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta afirmación acerca de siendo:

a) =1/4 b) 4 c) 1/8d) 1/4 e) < 1/2

03. Marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. ]a; b[ = {x R / a < x< b}II. ]m; n] = {x R / m < x n}III. [p; q] = {x R / p x q}IV. ]t; +[ = {x R / t < x}V. ]-; u] = {x R / x u}

a) VVVFF b) VVFVF c) VFVVFd) VVVV e) VVVFV

05. Si:] x; y[ ]a; b[, entonces es verdad que:

a) x a y b b) x a y bc) x a y > b d) x a y be) x a y b

06. Hallar el menor número racional “m” donde x [2; 4] satisface la desigualdad:

a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3d) -7 e) -6

07. Considere el polinomio P(x) = ax2+ bx + c donde:

I. a > 0 II. = b2 - 4ac < 0Entonces es cierto que:

a) ro R / P(ro )=0 b) ro R / P(ro )<0c) x R : P(x )>0 d) x R : P(x )>1e) x R / P(x ) 0

08. Dar el mayor número entero M que satisface la desigualdad: 2x2 - 4x +1 > 2M, x R

(Tal desigualdad la llamaremos absoluta)

a) 3 b) -2 c) 0d) 1 e) -1

09. Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x R se cumpla:

1 +6x - x2 M

a) 11 b) 9 c) 12d) 10 e) 0

10. Si: x2 - 6x + 8 < 0 y demás consideraremos:=x2- 6x + 8, entonces se puede afirmar que:

a) e cualquier real negativob) -1 < < 0 c) -1/2 <0 d) -1 < 0 e) -1 < 0

11. Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que pertenece, conociendo:

R; x

R

a) ]-; 2[ b) [1/4; +[ c) [2; -3[d) [1; +[ e) ]1/4; +[

12. Con respecto a la

desigualdad:

x14 - x9 +x4 - x +1 > 0

se puede afirmar que es verdadera cuando:

a) x < 0 únicamente b) 0 < x< 1

únicamente

c) x < 1 únicamente d) x es cualquier

real

e) x R - [0; 1]

13. x ]0; +[ se define F(x)

así:

I. F(x) 1/x

II. F(x) . F[F(x) +1/x] =1

Encuentre F(1) si además F(a) F(b)

cuando a b

a) 1 b) 1/2 c)No es único valord)No existe e) 2

14. Dado el conjunto:

Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y establecer si pertenecen o no al conjunto A.

15. Hallar el menor número “m” con la propiedad

Sea S


01. Sean los intervalos:

C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C

D

a) [-4; 4] b) ]4; 8[ c) ]-4;8]

d) [0;8] e) [-4; 8[

02. Si la unión de los intervalos:

p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11]

Es: [p + q; m [ ] p - q; n]



Calcular: “p + q + m + n”

a) -11 b) 11 c) 1d) -1 e) 0

03.Sean los intervalos:A = [-6; 5] B = ]-2; 9[Calcular la suma de los valores enteros de AB

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

04. Si la intersección de los intervalos:A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4]Es [a; b [ U ]c; d]. Calcula “a +b+c+d”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

05. Para los reales afirmamos:

I. Si a > 0 a2 > 0II. Si a 0III. (a + b)2 > 2 ab

Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Todas e) N.a.

07. Si: a < 0 < b, afirmamos

I. a2 > abII. a – b –1 < 1III. a–1 0 b) a > 0 y b < 0c) a > b d) ab > 0e) ab < 0

09. Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un número positivo, si x = m - 2

a) m > 2 b) m < 2 c) m > -2d) m 2 e) m < -2

10. Resolver:2x + 4 x +12

a) ]-; -8] b) ]-; -16] c) ]-; 8]d) [8; +[ e) [-8; +[

11. Resolver: (x - 5) (x - 2) (x + 3) (x + 1)

a) x 7 b) 7/11 x c) x 7/11d) x 7 e) N.A.

12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la desigualdad: 2x+3 <

. Tenga como solución ]3;

[

a) 6/13 b) 5/17 c) 19/14 d) -17/14 e) 9/13

13. Hallar el complemento del conjunto solución luego de resolver: (x - 5) (x - 3) (x - 4) (x - 3)

a) [3; +[ b) ]-; 3[ c) [4; +[d) ]-; 4[ e) ]-; -3[

14. Calcule el conjunto solución de la desigualdad:

a) [-60; +[ b) ]-60; +[ c) ]-; -60[d) ]-60; 0[ e) x

15. Resolver: 3x+4 2x+10 < 5x+8

a) [2/3; 6] b) c) IR d) ]2/3; 6] e) ]2/3;6[

TAREA DOMICILIARIA

01. Si la unión de los intervalos:

E = [-4; 5[F = ]-2; 5]Es: [a; b]. Calcular “ab”

a) -20 b) -10 c) 2 d) 8 e) 25

02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b; 2b]

Indicar M N

a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a] c) [-a; b]d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a]


M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]N = [-12; -1] U [1; 13]

Luego de calcular la intersección, indique un intervalo

a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3; 13]d) [-3; -1] e) [-9; 10]




A = ]-; [

B = [-3; 4[

C = ]-1; 3[ . Calcular: A B C

a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-

1;3[

d) ]3; 4[ e) [-3; -1[05. Para los números reales “a” y “b”.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

a) Si: a2 - b2 = 0 a = bb) Si: a2 - b2 = 0 a = -bc) Si: a2 - b2 = 0 a = b a = -bd) Si: a2 - b2 = 0 a = b = 0e) Si: a2 - b2 = 0 a = b a = -b

06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) 0 < x2 < x3 < 1

b) 0 < x3 < x2 < 1

c) 0 < 1-x < x < 1

d) 0 < x-1 < x < 1

e) 0 < 1-x < x < 1

07.Dados los números racionales U, V y W que satisfacen:

> W, entonces se cumple:

a) U > V + W b) U + V > W

c) > W + 1 d) U + W > V

e) V > U

08.Si: “x” es entero. ¿Qué valor no

puede tomar “x” en: ?

a) 1 b) -3 c) 0 d) -6 e) 11

09.Resolver: > 1 , Si a = 1 -

a) x > 1 + b) x>1-

c) x<1+

d) x < 1- e) x

10.Resolver el sistema: 2x+4 3x+6

5x-10

a) [-2; +[ b) [8; +[ c) [-8; +[d) e) [2; +[

11. Resuelve el sistema y marque el intervalo solución: 2 5-3x < 11

2 > -3-3x -7

a) b)

c) ]-2; 1]

d) e)

12.¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema:

5x - 6 > 3x-14

< x + 12

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

13. Resolver el sistema:

2(2x-3) < 5x-3/4

8x-5 <

y dar como respuesta la suma de todos los valores enteros de “x”

a) -11 b) -12 c) -13d) -14 e) -15

14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente sistema?

5x+4 > 10 6x-5 < 124x+3 > 8 7x-6 < 14

3x+2 > 6 8x-7 < 16

a) 14 b) 8 c) 4d) sólo 1 e) Ningún valor

SOLUCIONARIO

NºEjercicios

Propuestos01 02 03

01. B E E

02. D E B

03. B E C

04. D D C

05. A E A

06. C A C

07. B D D

08. E D E

09. D D B

10. D E B

11. B E

12. D D

13. A A

14. C E

15. A D

16.

17.

18.

19.

20.

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ALGEBRA 3° 3B