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ALGEBRA PREEUNIVERSITARIA
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Sheraton Moon Hotel
UNIUNISemestralSemestral2 0 1 5
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
1Preguntas propuestas
Álgebra
2
Números complejos I
NIVEL BÁSICO
1. Se cumple w=1+2i+3i2+4i3+...+4ni4n – 1; n ≥ 34.
Determine Re( )Im( )
ww2
A) 2B) 1C) 1/2D) 1/4E) 4
2. Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F), luego de reducir
z iiiii
ii
= +−
− −
+ +−
++−
1
11
111
5 33 5
I. z es un complejo real II. z es un complejo imaginario puro III. |z|=2 IV. |z|=1
A) VFVFB) FVVFC) VFFVD) FVFVE) VFFF
3. Halle (a – b) si a bia i b
+ ++ +
11( )
es equivalente a un imaginario puro de módulo 2 (a; b ∈ R),
A) 1B) 2/9C) – 6/49D) 5/3E) 0
4. Determine el módulo de z.
zi i i
i i=
+ − +
+ −( )3 4 1 15 15
2 23 1 3
4
3 3·( ) ·(cos sen )
·
A) 235
B) 32
35
C) 32
35
D) 35
E) 12
53
5. Sea z ∈C, tal que |z|+3i=z – 2. Determine |4z+5|.
A) 13 B) 12 C) 14D) 10 E) 11
6. Si z ∈C de parte real no nula, calcule el valor de
z a z a
z b z ba b
+ − −+ − −
∈2 2
2 2| |
| | | |; ,
A) ab
B) ba
C) a ba+
D) a bb+ E) 1
NIVEL INTERMEDIO
7. Sea α = +1
2 2
i
Si además se cumple que a27+an –1=0, calcule un valor de n.
A) 30 B) 45 C) 37D) 58 E) 100
8. Si A z zz
z= ∈ −
= ∧ =
C / Im | |1
2 1 ,
entonces A es un conjunto
A) infinito.B) de tres elementos.C) de dos elementos.D) nulo.E) unitario.
Álgebra
3
9. Determine el argumento principal de z=(ab+ac; bc–a2)·(bc+ba; ac–b2)·(ac+bc; ab – c2)
A) 0 B) p C) p/2D) p/3 E) p/4
10. Si z=2[cos70+isen70]; |w|=3; |z+w|2=21. determine Re(wz).
A) 8 B) 3 C) 6D) 2 E) 4
11. Si z, w∈C/u z w= · ,
calcule el valor de
z wu
z wu
z w
+ − + + +
+2 2
| | | |
A) 3 B) 4 C) 1D) 2 E) 5
12. Si w2013=1; w≠1, evalúe
1
11
1
1
12 2013++
++ +
+w w w...
A) 1006 B) 2013
2 C) 1006i
D) 2013
2i E) 2013
13. Si a, b ∈C/|a – b|=|a|=|b|>0, halle el valor
de ab
ba
+
4 4
A) – 2 B) 1 C) – 1D) 1/2 E) 2
14. Al unir los afijos de los complejos z1=(– a, 0); z2=(0, – a)/a > 0; z3=(x, y) pertenece al primer cuadrante,
se genera un triángulo equilátero de lado 3. Determine y.
A) 6 2
2+
B) 2 12−
C) 34
6 2−[ ]
D) 6 22−
E) 3 2
2−
NIVEL AVANZADO
15. Si i = −1 y se tiene la igualdad
1
21
11+
= −
−+i
ii n
i n( )
( )( )
calcule el valor de n.
A) 1 B) 2 C) 3D) 5 E) 7
16. Si se cumple la identidad (1+x+x2)1000≡ a0+a1x+a2x2+...+a2000x2000
determine a0+a4+a8+...+a2000.
A) 3 5
4
100 + B)
3 14
100 − C)
3 14
100 +
D) 3 1
3
100 − E)
3 34
100+
17. Sea z=x+yi/z39=1; z≠1.
Determine Re(z+z2+z3+...z37).
A) − ++
12 2x
x y
B) − −+
12 2x
x y
C) 12 2
−+x
x y
D) x2+y2
E) 12 2
++x
x y
Álgebra
4
18. Sean z1; z2; z3 números complejos, tal que
z1+z2+z3=0 ∧ |z1|=|z2|=|z3|=1
determine z z z12
22
32+ + .
A) – 1 B) 0 C) 2
D) 1 E) 4
19. Determine el número de soluciones en
z
z
zz
z+ = =1 1;
con z=cosx+isenx; x∈[0; 2p⟩.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 4 E) 2
20. Sea a un número real positivo, tal que
zz
a z+ = ≠1
0; .
Determine el máximo y mínimo valor de |z|.
A) máx|z|=1; mín|z|=1/2
B) máx|z|=| |a a+
2; mín|z|=
| |a a−2
C) máx|z|=a a+ +2 9
2; mín|z|=
− + +a a2 92
D) máx|z|=− + +a a2 4
2; mín|z|=
a a+ +2 42
E) máx|z|=a a+ +2 4
2, mín|z|=
− + +a a2 42
Álgebra
5
Números complejos II
NIVEL BÁSICO
1. Si z es un número complejo, tal que
arg(z(1+i))=p6
y |zi|=8,
determine el número complejo z representado en su forma exponencial.
A) 8 12ei− π
B) 6 5ei− π
C) 5 4ei− π
D) 3e – ip E) 2 3ei− π
2. Al simplificar el número complejo
zi i
i i=
−( ) +( )
−( ) −( )1 3
4 1
5 7
6 8cos sen
cos sen
θ θ
θ θ se obtiene
A) ei2
117
3+
θ
B) 213
615
ei − +
π θ
C) 22
136
15e
iπ θ+
D) 1
E) ei− +
53
15π θ
3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-ciones.
I. ei711 1π
=
II. cos , ;θ θ πθ θ
= + ∀ ∈−e ei i
20 2
III. e eieiθ θ θ π= ∀ ∈
−sen , ;0 2
A) FVF B) FVV C) VVFD) VFV E) VVV
4. Indique una de las raíces cúbicas del número
complejo z i= −4 3 4 .
A) 211
9ei
π
B) 2
359e
iπ
C) 2
2318e
iπ
D) 22118e
iπ
E) 2
3911e
iπ
5. Si se sabe que 1, w, w2 son las raíces cúbicas de la unidad, determine el valor de la expresión
E ww ww
w
= [ ]
23
50
A) w+1 B) w2 C) wD) – 1 E) 1
6. Si M es un conjunto definido por
M z z i i= ∈ = + + −{ }C / 3 4 3 4 ,
además, M={a, b, c, d}. Calcule el valor de la expresión
A=|a|+|b|+|c|+|d|
A) 12 B) 5 C) 5
D) 4 E) 4 5
NIVEL INTERMEDIO
7. Dado el complejo
z=2m+(1 – m)i; m ∈R+
Calcule m si se sabe que el argumento princi-
pal de z(z – i) es 45º.
A) 4/5 B) 3/5 C) 5/3
D) 2/5 E) 1
8. Si |8+(z – 1)i|=1,
indique en qué cuadrante se encuentra el
complejo 54
cisπ
· z.
A) primeroB) segundo C) cuartoD) tercero E) ninguno
Álgebra
6
9. Al representar gráficamente en el plano de
Argand 1 35 − i una de las raíces se encuen-
tra en el tercer cuadrante, determine su ar-
gumento.
A) 2215p
B) 75p C)
1915p
D) 1815p
E) 1715p
10. Si w≠1 es una raíz enésima de la unidad, ¿a qué es equivalente la siguiente suma?
S=w+2w2+3w3+...+(n –1)wn–1
A) −
−( )n
w 1 2
B) n
w −1
C) n
w( )−1 2
D) 0
E) 1
11. Determine el área del polígono regular forma-do al unir los afijos de las raíces cuartas del complejo
z i= +1
A) 2 24 B) 3 2 C) 4 2
D) 4 24 E) 2
12. Dados los conjuntos
M={z ∈C/z=2+t(–1+i); t ∈[0; 1]}
N w w z z M= ∈ =
∈
C / · ,cis34π
encuentre en N el complejo de mayor argu-mento principal.
A) 2 B) 5 C) − 2
D) 6 E) 7
13. Efectúe
1 151 15
14+
−
= −
ii
icotcot
;
A) − +12
32
i
B) − −12
32
i
C) 12
32
+ i
D) 12
32
− i
E) 1
14. Sean 1, w1, w2, ..., w10.
los raíces de orden 11 de la unidad.
Determine
1 1 112
22
102−( ) −( ) −( )w w w...
A) 0 B) 1 C) 10
D) 11 E) 110
NIVEL AVANZADO
15. Si z=cos2q+isen2q, entonces calcule
11+−
zz
tanθ
A) icotqB) itan2q
C) i
D) icot2q
E) – 1
16. Se tiene z3+w 7=0; z5 · w11=1. Halle |w|.
A) 1/2 B) 2 C) 3D) 1 E) 1/4
Álgebra
7
17. Sea z un complejo cuyo argumento principal
es 511p. Determine el argumento principal de
z z
z z
−+
| |
| |.
A) p11
B) p4
C) 22p
D) p2
E) 0
18. Si A es un conjunto definido por
A={z – i/2Re(z)+3 Im(z) ≤ 4},
entonces la figura que mayor representa es
A)
7/37/2
Im
Re
B) – 7/3– 7/3
7/27/2
Im
Re
C) 7/3
– 7/2
Im
Re
D) – 2– 2
– 1– 1
Im
Re
E) – 2– 2
– 1– 1
Im
Re
19. Determine la gráfica que mejor representa
B zzz
= ∈+−
=
C / Re11
1
A)
Im
Re B)
Im
Re– 1 1
C)
Im
Re1/2
D)
Im
Re E)
Im
Re
20. Señale la figura que mejor representa la gráfica del conjunto
M z z
i
ww w= ∈ = −
( )∧ > ∧ ≤ ≤
C / | | arg2 1 0
3π
A) 1
1
–1
–1Im
Re
B) 1
1
–1
–1Im
Re
C)
1
1–1
–1
Im
Re
D) – π/6
Im
Re
E) π/6
–1 1
–1
Im
Re
Álgebra
8
Ecuaciones polinomiales I
NIVEL BÁSICO
1. Si a es una solución de la ecuación x x2 3 1 0− + = , determine a18+a6+1.
A) 1 B) – 1 C) 2D) 3 E) – 3
2. La ecuación polinomial (x – n)4(2x+3)P(x – P)2(5x – 1)n=0
admite 10 raíces cuya suma es 13110 Determine P/n.
A) – 1/4 B) 1/3 C) – 1/3D) 1/4 E) 1/5
3. Calcule el valor de n para que la siguiente ecuación de incógnita x no tenga solución.
(n2 – 3n+2)=(n2 –4n+3)x
A) 0 B) 2 C) 1D) 3 E) 5
4. Para {a, b, c}∈R+, resuelva en x
x aba b
x bcb c
x cac a
a b c−+
+−+
+−+
= + +
A) {0} B) {abc} C) {ab+bc+ac}D) 1 E) a+b+c
5. Sea la ecuación cuadrática x2 – (m – 2)x+2n=1, m, n ∈ Q.
de CS =+ +{ }a ba
a bb
; .
Calcule mn
++
11
A) 1/2 B) 1 C) 3/2D) 2 E) – 1
6. Dada la ecuación
2ax2+(3a – 1)x+(a+b)=0 Halle un valor de b para que exista un solo
valor de a que permita que las raíces de la ecuación sean iguales.
A) – 3/2 B) – 1 C) 0
D) 1/2 E) 1
7. Sea la ecuación polinomial x3+3x – 2=0 de raíces m, n, p. Calcule (m+n)3+(m+p)3+(p+n)3
A) 3 B) – 3 C) 6D) – 6 E) 12
8. Sean a, b, c, d, e raíces de x5+x2+1=0. Determine a5+b5+c5+d5+e5
A) 0 B) 5 C) 6D) – 5 E) – 6
NIVEL INTERMEDIO
9. Dada la ecuación polinomial x3 – x2+2x – 1=0 de raíces a, b, c determine
a
a
b
b
c
c
3
2
3
2
3
21 1 1( ) ( ) ( )−+
−+
−
A) 2 B) 2/3 C) 3D) 4 E) 3/2
10. Dada la ecuación en x
8m3x – 4n=n(36x – n+2), mn≠0, halle n2 – m2 para que tenga infinitas soluciones.
A) 10 B) 12 C) – 27D) 27 E) 31
11. Sea la ecuación cuadrática
x x x−( ) + +( ) = −3 7 2 10 5 62
Indique el módulo de una raíz.
A) 1 B) 2 C) – 2
D) 1 3
2+
E) 34
Álgebra
9
12. Si m > n > 0, entonces xm
m m n1 = + − y
xm
m m n2 =− − son raíces de la ecuación
A) mx2 – nx+m=0
B) mx2 + mx+n=0
C) mx2 – mx+n=0
D) nx2 – 2mx+m=0
E) nx2+2mx+m=0
13. Si las raíces de la ecuación
mx2 – (m+3)x+2m+1=0 (m≠0)
difieren en 2 unidades, determine el conjunto
de valores reales que puede admitir m.
A) {2; 3}
B) 911
1; −{ }C) −{ }9
111;
D) {1; 9}
E) 292
;{ }14. Sean x1, x2, x3 las raíces de la ecuación
x3 – 2nx2 – 72=0. Halle x1· x2 si x1+x2+2x3=5n, n∈R.
A) 36 B) 12 C) 14D) 24 E) 60
15. Sean {m, n, p} el conjunto solución de x3+x – 100=0.
Determine el valor de
m n
mn p mn
p m
pm n pm
n p
np m np
−( )
−( ) +−( )−( ) +
−( )−( )
2
2
2
2
2
24 4 4
A) 1 B) 3 C) 0D) 4 E) 3/2
16. Dada la ecuación polinomial
x3+x – 1=0 de raíces x1, x2, x3,
determine (2 – x1)(2 – x2)(2 – x3).
A) 10 B) 11 C) – 8D) 8 E) 9
NIVEL AVANZADO
17. Si la ecuación cuadrática
x xr r r2 8 1214
18 0+ +( ) + =·
tiene como conjunto solución al conjunto {a}; a ∈R, calcule el valor de 3– r·21– r/2·a
A) 1 B) 1/4 C) 0D) 1/2 E) 2
18. Sea la ecuación cuadrática
ax2+bx+b=0; a ≠ 0, ab > 0 de raíces r>s>0.
Determine rs
sr
ba
+ +
A) 0 B) 1 C) 4
D) 2 3 E) 4 3
19. Si Bnn
nn
=−−
++{ }2 1
12 3
1; es el conjunto solución
de ax2+2bx+4c=0, a≠0, calcule
L
b ac
a b c=
−
+ +( )
2
24
A) 16 B) 12 C) 4D) 8 E) 2
20. Sean a, b, c raíces de
x3 – 9x2+11x – 1=0 y S a b c= + + .
Calcule S4 – 18S2 – 8S.
A) 27 B) – 54 C) – 27D) – 37 E) – 47
Álgebra
10
Ecuaciones polinomiales II
NIVEL BÁSICO
1. Dada la ecuación polinomial. 2x4+ax3+bx2+cx – 4=0, {a, b, c, d} ⊂ Q y siendo a+i y 2 dos de sus raíces, calcule
a b cab bc ac
2 2 2 11
+ + ++ + +
A) 4 B) 5 C) 2/3
D) 1/2 E) 0
2. Dada la ecuación polinomial de coeficientes
racionales.
2x4+bx3+cx2+dx+e=0, tal que una raíz es
3 2+ . Determine e.
A) 2 B) 1 C) – 2
D) 1 E) 1/2
3. Si (2+i) es una raíz doble de la ecuación
x5+ax4+bx3+cx2+dx+25=0
de coeficientes reales, determine el valor de
a+b+c+d.
A) 17 B) 18 C) 19
D) – 18 E) – 17
4. Dada la ecuación bicuadrada
x4+(a+b – 1)x3+(b+c – 8)x+(a+c – 3)x+1=0
donde el número de raíces excede en 2 uni-
dades al número de soluciones, calcule un
valor de
5 2a b ca b c
· ·+ +
A) 8 B) 16 C) 1/8B) 1 E) – 8
5. Si x1, x2, x3, x4 son raíces de x4 – 2x2+3=0
calcule x x x x14
24
34
44+ + +
A) – 2 B) – 4 C) – 8
D) – 12 E) 0
6. Determine q, tal que las raíces de la ecuación
x4– 40x2+q=0
estén en progresión aritmética.
A) 125 B) 256 C) 48
D) 144 E) 128
7. Resuelva e indique las soluciones enteras de
x x
x x
x x2
2
23 1
2 6 5
3 1+ + =
+ ++ +
A) {– 4; – 2; 1; – 1}
B) {– 4; – 2; 1}
C) {– 1; 2}
D) {2; 1}
E) {– 1; – 2}
8. Indique el número de soluciones reales de
1
2
1
8
2
34 2 4 2 4x x x x x− ++
+ −=
−
A) 2 B) 4 C) 6D) 5 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
9. Dada la ecuación
2x4 – 4x3+cx2+dx+e=0
de coeficientes racionales.
Si dos de sus raíces son 1 2 1+ +; ,i
determine d+e.
A) – 12 B) – 6 C) – 10
D) 12 E) 0
Álgebra
11
10. Dada la ecuación
5 2 5 5 04 2x x+ + + = de raíces x1, x2, x3, x4.
Determine x x x x1 2 3 4+ + + .
A) 1 B) 4 C) 2
D) 1/4 E) 3
11. Halle el intervalo en que debe variar λ para
que la ecuación
x4+(1– λ)x2+2(λ – 3)=0
tenga solo dos raíces reales.
A) λ ∈ ⟨–∞; 2⟩
B) λ ∈ R – {5}
C) λ ∈ ⟨– 6; 7⟩
D) λ ∈ ⟨– ∞; 3⟩
E) λ ∈ ⟨0; 3⟩
12. Sea la ecuación x4 – 2x2+81=0 de raíces
x1, x2, x3, x4. Determine el área generada por
x1, x2, x3, x4 en el plano de Gauss.
A) 6 5 B) 4 5 C) 4
D) 8 5 E) 5
13. Si el número 1 3+ bn es solución real de la ecua-
ción x6 – 3x4+3x2 – 3=0, determine (bn+nb).
A) 2 B) 5 C) 13D) 8 E) 28
14. Luego de resolver
xx x
x xx
33
22
1 33 3
314+ + + + + =
se tiene que x0 es una solución.
Indique x
x0
0 1+
A) 1 B) – 1 C) 1/2
D) 3 E) – 3
15. Resuelva en R
x x x
x x xx
xx
xx
3 2
3 2
2 2
1
1
1 1
4+ + +− + −
+ =−
− +
e indique el número de soluciones.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
16. Determine la solución real de
x x
x
3
23
3 1
53
++
=
A) 43
B) 4 1
4 1
3
3+−
C) 2 1
2 1
3
3+−
D) 4 23 3+
E) 4 23 3−
NIVEL AVANZADO
17. Indique el número de soluciones de la siguien-
te ecuación fraccionaria
1
11
21
31
4 2x x x x−+
−+
−+
−=π
A) 2 B) 3 C) 4
D) 6 E) 8
Álgebra
12
18. Si las ecuaciones ax bx c
bx cx a
4 2
4 2
0
0
− − =
− − =
son equivalentes, calcule la mayor solución real. Considere que a; b; c ∈R.
A) 12
2 2 3+
B) 12
2 3−
C) 12
2 2 5+
D) 12
10 2 5−
E) 1 5+
19. El polinomio
P(x)=a8x8+a7x7+...+a0
tiene todas sus raíces reales positivas, tal que
a8=1, a7=– 4, a6=7.
Halle a0.
A) 1
26 B) 1
28 C) −
1
28
D) 28 E) 1
216
20. Sea S el conjunto de puntos (a; b) con a; b ∈ [0; 1],
tal que la ecuación x4+ax3 – bx2+ax+1=0
tiene al menos una raíz real. Determine el área de S.
A) 1 B) 1/2 C) 2D) 1/4 E) 1/6
Álgebra
13
Desigualdades
NIVEL BÁSICO
1. Sean los intervalos A=⟨– 1; 2] B=⟨0; 3]
C=⟨– 5; 3⟩ Determine el número de elementos enteros
en C – (A – B).
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 8
2. Si A; B son conjuntos definidos por
A x x x= ∈ < ↔ >{ }R / 1 0 y
B xx
A= ∈ ∈
Z /2
16 entonces el número de elementos de B es
A) 3 B) 4 C) 6D) 10 E) 15
3. Si a < b < 0, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I. ba
b2
<
II. a
a bba−
− > 0
III. Si a≠– b → a(a+b) > (a+b) · b
IV. aba
− >+1 1
A) VVVF B) VFVV C) FVVVD) VVFF E) FVVF
4. Si a∈⟨0; b⟩, halle el intervalo al cual pertenece la expresión
a
a b b
2
2 2 4−
A) ⟨– 2; 0⟩B) ⟨0; +∞⟩C) ⟨– ∞; 0⟩D) ⟨– 3; +∞⟩E) ⟨– ∞; – 1⟩
5. Determine la variación de la expresión
Ex
x xx=
+ +>
2
10
2;
A) ⟨0; 1] B) 023
; C) 1
32
;
D) 012
; E) ⟨1; 2]
6. Sean a; b; c números reales positivos. Determine el máximo valor de K si
( )( )( )a b b c a c
abcK
+ + +≥
A) 6 B) 9 C) 8D) 4 E) 12
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el menor número N, tal que se cumple
3 – x2 – x4 ≤ N; ∀ x ∈ R.
A) 16 B) 13/4 C) 9/4D) 4/13 E) 4/9
8. Si ∀ x ∈ R: (1+a+a2) ≤ K · (a4+a2+1),
luego el mínimo valor de K es
A) 34
B) 13
C) 43
D) 3 E) 2
3
9. Determine la variación de la expresión
M
x
x xx=
− +∈3
12 ; R
A) [– 1; 3] B) [– 2; 2] C) [– 1; 2]
D) [– 2; 3] E) [– 1; 1]
Álgebra
14
10. Dada la ecuación 4x4 – ax3+bx2 – cx+5=0
de raíces r1, r2, r3, r4 positivos, tal que
r r r r1 2 3 4
2 4 5 81+ + + =
halle la mayor raíz
A) 1/2 B) 1 C) 2D) 7/3 E) 5/4
11. Determine el máximo producto xy(72 – 3x – 4y); donde x, y > 0
A) 1100 B) 1260 C) 1200D) 1152 E) 1160
12. Determine el mínimo de
Ex x x
xx=
− +( )−
>8 12 12
2 112
2;
A) 4 B) 46427
4 C) 22764
4·
D) 3 3 43+ E) 1 43+
13. Sabiendo que 2p=a+b+c calcule el máximo valor de k, siendo a, b, c
lados de un triángulo que verifique p3 – 3abc ≥ k(p – a)(p – b)(p – c)
A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
14. Calcule el máximo de
L x y= + + +2 7 2 73 3
si x, y>0 / x+y=1.
A) 2 B) 23 C) 8D) 2 43· E) 4
15. Sea a+b=4; tal que a, b ∈R+0 .
Halle el menor valor de f donde
f a b= + + +2 29 16
A) 4 3 B) 2 13 C) 3 4 2+D) 65 E) 9
NIVEL AVANZADO
16. Indique el intervalo al cual pertenece
Ax xx
x= + ++
∈2 1
11 2si ; .
A) 032
; B)
75
32
; C)
32
73
;
D) [1; 2⟩ E) 32
; +∞
17. Encuentre el mínimo de
x
xx
x
xx
xx
x+
− +
−
+
+ +
>
1 12
1 10
66
6
33
3
;
A) 4 B) 2 C) 6D) 8 E) 9
18. Sea x un número real positivo, encuentre el máximo valor posible de
x xx
2 42 4+ − +
A) 2 2 B) 1 C) 1/2
D) 2 E) 2 2 2−
19. Determine el máximo valor de
Ax x
x xx=
−+ −
>4 2
6 32 11;
A) 1/2 B) 1/6 C) 2D) 1/3 E) 1/8
20. Indique la variación de la expresión
M x x x x= + + − − +2 21 1
si x ∈ R.
A) ⟨– 1; 1⟩ B) [– 1; 1] C) ⟨– 2; 2⟩
D) −13
13
; E) −12
12
;
Álgebra
15
Inecuaciones cuadráticas
NIVEL BÁSICO
1. Siendo a < b < 0, resuelva
xa
ba
xb
ab
+ ≥ +
A) ⟨– ∞; a+b⟩B) ⟨– a – b; +∞⟩C) ⟨a – b; +∞⟩D) ⟨ab; +∞⟩
E) 1
a b++ ∞;
2. Para {m, n, p} ⊂ R+ resuelva la inecuación en x
x mnp
x nmp
x pnm m n p
−+
−+
−> + +
21 1 1
A) ⟨m; +∞⟩
B) ⟨– ∞; m+n+p⟩
C) ⟨m+n+p, +∞⟩
D) ⟨m – n – p; +∞⟩
E) ⟨–∞, m – n – p⟩
3. La inecuación x x2 2 3 1 0− + < tiene como conjunto solución a
A) 3 1 3 1− +;
B) 2 1 2 1− +;
C) 3 2 3 2− +;
D) − 3 3;
E) 2 3 2 3− +;
4. Al resolver la inecuación cuadrática
ax2+bx+a2 > 2
se obtiene como conjunto solución al intervalo
1 2 1 2− +; . Determine a+b.
A) – 1 B) 2 C) – 2D) 1 E) 3
5. Determine la suma de valores de k, de modo
que la inecuación
x2 – kx+9 < 0 tenga CS=φ
A) 12 B) 6 C) 48
D) 0 E) 52
6. Si la ecuación cuadrática
(a – 2)x2 – 2ax+(a+3)=0
tiene raíces positivas, entonces
A) a < – 3 B) 2 < a ≤ 6 C) a > – 3
D) A ∪ B E) a < 6
7. Determine el intervalo del parámetro a, de
modo que la desigualdad ax2 – 2x+a ≤ 1 se
cumpla para todo x ∈ R
A) 1 5
21 5
2− +
;
B) ⟨– ∞; 0⟩
C) −∞−
;
1 52
D) 1 5
2+
+ ∞;
E) R − − +1 52
1 52
;
NIVEL INTERMEDIO
8. Se sabe que el conjunto solución de
bc axb c
ab cxa b
ac bxa c
a b c( ) ( ) ( )−+
+−
++
−+
> + +1 1 1
es m, + ∞ . Halle ma b
− −1 1
si {a, b, c} ⊂ R+.
A) 1/a B) 1/b C) 1/c
D) 1/d E) a
Álgebra
16
9. Dado el conjunto
S x t x t x t= ∈ − < − < <{ }R / sen ( ) ( );1 1 0
2π
calcule la suma de los cinco menores elemen-tos enteros de S.
A) 10 B) 18 C) 20
D) 23 E) 29
10. Dados los conjuntos
A x x xC = ∈ ≤ ∨ >{ }R / 5 8
B x x x x= ∈ + +( ) −( ) ≥{ }R / 2 23 7 9 0
Halle A ∩ B.
A) [5; 8⟩
B) [– 3; 3]
C) [– 3; 5⟩ ∪ ⟨8; +∞⟩
D) [8; +∞⟩
E) ⟨5; 8]
11. Respecto al conjunto A dado por
A x x x x= ∈ − < + ≤ +{ }R / ( )5 1 1 7 152 ,
indique la secuencia correcta de verdadero
(V) ó falso (F).
I. ∃ x ∈ A/1 – x > 0
II. A ∩ {1, 2, 6}=φ
III. Los elementos de A suman 20.
A) VFV B) FVF C) VFF
D) FFV E) FFF
12. Sabiendo que P(x) ≤ 0; ∀ x ∈⟨ – 8; 5] ∪ [7; +∞⟩
P x a x bx( ) ( ) /= − + + + +2 2 1 2
a ∨ b ∈ R; calcule 2a – b.
A) 0 B) 54 C) 48
D) 42 E) 36
13. Resuelva la siguiente inecuación en x.
x2+m2+n2+p2 > x(m+n+p); {m, n, p} ⊂ R+
A) R
B) R+
C) R–
D) φ
E) m n p2 2 2+ + + ∞ ;
14. Se tiene el conjunto
T t x x t x= ∈ ∀ ∈ − −( ) + ≥{ }R R/ : sen2 2 2 2 1 0
Si T ⊂ ⟨0, 2p]; calcule el cardinal del conjunto T.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 5
15. Dado el sistema de desigualdades
y x x
y x
− + − ≥− ≤
2 6 12 02 4
Determine el máximo valor de x+y.
A) 6 B) 7 C) 8D) 10 E) 9
NIVEL AVANZADO
16. En la siguiente inecuación x2 – ∆ x+∆ < 1 donde ∆ representa el discriminante del poli-
nomio cuadrático x2 – ∆ x+(∆ – 1), podemos afirmar que
I. es posible que CS=⟨0; 1⟩. II. es posible que CS=⟨1; 3⟩. III. siempre se cumple que CS ⊂ ⟨0; 3⟩. IV. Car(CS ∩ Z) > 1.
A) solo I
B) solo II
C) solo III
D) I y II
E) I, II y III
Álgebra
17
17. Dado el polinomio de coeficientes reales
P(x)=x3+ax2+bx+c
tal que sus tres raíces son reales positivas,
además, sea el polinomio Q(x)=x2 – 2x+3. Se
sabe que P(Q(x))=0 tiene todas sus raíces ima-
ginarias. Determine la variación de c.
A) −8 0;
B) − + ∞27;
C) −∞; 8
D) R
E) − + ∞8;
18. Dados los polinomios
f(x)=2x2+2x – 4
g(x)=x2 – x+2
encuentre el número de valores reales que
toma x para que f
gx
x
( )
( ) sea un número natural.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
19. Si a; b ∈ Z+, tal que
b b
a a
2
24
++
=
determine el número de (a, b) que sean solu-
ción de la ecuación.
A) 1
B) 2
C) 0
D) 4
E) infinitas
20. Dados los polinomios
f(x)=x3 – 3x2+5x – 17
g(x)=x3 – 3x2+5x+11
Si f(a)=0; g(b)=0; a ∧ b ∈R
calcule a+b.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 5 E) 2
Álgebra
18
Semestral UNINúmeros complejos I01 - C
02 - D
03 - A
04 - E
05 - B
06 - A
07 - C
08 - E
09 - A
10 - E
11 - C
12 - B
13 - C
14 - C
15 - B
16 - E
17 - B
18 - B
19 - B
20 - E
Números complejos II01 - A
02 - E
03 - E
04 - C
05 - C
06 - E
07 - B
08 - B
09 - E
10 - B
11 - A
12 - C
13 - B
14 - D
15 - C
16 - D
17 - D
18 - B
19 - C
20 - E
ecuacIoNes polINomIales I01 - B
02 - B
03 - D
04 - C
05 - D
06 - B
07 - C
08 - D
09 - C
10 - D
11 - B
12 - D
13 - C
14 - B
15 - C
16 - B
17 - A
18 - A
19 - A
20 - D
ecuacIoNes polINomIales II01 - B
02 - A
03 - D
04 - A
05 - B
06 - D
07 - E
08 - A
09 - B
10 - B
11 - D
12 - D
13 - D
14 - C
15 - B
16 - B
17 - C
18 - C
19 - B
20 - D
DesIgualDaDes
01 - A
02 - C
03 - E
04 - C
05 - B
06 - C
07 - B
08 - C
09 - A
10 - C
11 - D
12 - D
13 - B
14 - E
15 - E
16 - C
17 - C
18 - E
19 - B
20 - A
INecuacIoNes cuaDrátIcas
01 - B
02 - C
03 - C
04 - B
05 - D
06 - D
07 - C
08 - C
09 - C
10 - E
11 - C
12 - C
13 - A
14 - C
15 - C
16 - E
17 - A
18 - C
19 - C
20 - E
