Características de los Sistemas de Ecuaciones Lineales-Variables elevadas a potencia 1, x1

-No se mezclan variables, Ej: 3xy-No hay relación entre #variables y #ecuaciones-Puede tener solución o no tenerla

Técnicas: -Sustitución-Combinaciones lineales: Multiplicar por 1/3 F2, después F2-F1Nota: siempre se deben seguir el mismo número de ecuaciones lineales con las que se empezó.

Y = f(x)Resolver un sistema de dos o tres incógnitas es equivalente a encontrar los puntos deintersección de las rectas o planos correspondientes.-Si no se intersecan o se intersecan en puntos distintos: no hay solución-Si se intersecan todas en 1 punto: 1 solución-Si se intersecan en puntos infinitos (si representan la misma recta o plano): hay infinitas soluciones

Tres incógnitasEn vez de ser rectas, son planos.

Resumen: Resolver sistemas equivale a encontrar intersecciones

Metodos de resolver matrices:-Multiplicación de una fila (ecuación) por un número real distinto de cero-Multiplicación de una fila por un número real distinto de cero y sumarla a otra fila.-Intercambio de dos filas Consejo: utilizar solo 1 de las 3 para llegar a la matriz escalonada reducida. Si se utiliza alguno de esos tres métodos, la otra matriz es equivalente.

Una matriz es escalonada si es nula (es decir, todas sus entradas son 0) o sicumple las siguientes condiciones-Si una fila posee algún coeficiente distinto de 0, el primero de estos coeficientes debe ser 1-El primer 1 de cualquier fila debe estar a la derecha del primer 1 de las filas anteriores (esdecir, las que están por encima de la fila)-Las filas que son nulas aparecen al final de la matriz

Una matriz es escalonada reducida si es escalonada y si por encima del primer uno de cadafila solo hay ceros.Si quiero hacer 0 un número, lo multiplico la fila de abajo por el opuesto del número que quiero eliminar y le sumo la fila del número a eliminar.Si quiero hacer 1, multiplico la misma fila por 1/(# a hacer 1). Usar igual signo.Consejo: si solo hay números, primero elegir los 1´s de la 1ra columna para hacer 0´s. Después uso los 2´s de la segunda columna.

Método de Gauss-Jordan:1-Dado un sistema de ecuaciones lineales encontrar la matriz aumentada (A | b) que

representa al sistema.2-Mediante la aplicación de operaciones elementales reducir la matriz aumentada a suforma escalonada reducida3-Una vez que se tiene su forma escalonada reducida se procede a reescribir la matrizescalonada reducida como un sistema de ecuaciones lineales para el cual se despejanlas incógnitas

Si en el sistema de ecuaciones:-Todas las incógnitas tienen solución: solución única.-Hay alguna afirmación falsa: no hay solución.-Hay más incógnitas que ecuaciones: infinitas soluciones. Ej: S = {(−5 − 2t, 2+3t, 3+2t, t) : t ∈ R}.

Rango de una matrizEl rango de una matriz A es el número de filas no nulas de la matriz escalonada reducida equivalente a A. El rango de una matriz aumentada (A | b) es el número de filas no nulas de la matriz aumentada escalonada reducida equivalente a (A | b).Si Rng(A) < Rng(A | b), no hay solución.Si Rng(A) = Rng(A | b) = m, hay solución única.Si Rng(A) = Rng(A | b) < m, hay infinitas soluciones y hay m − Rng(A) variables libres (parámetros) M=INCOGNITAS o #COLUMNAS.Para identificar los parámetros, se reescribe la matriz como un sistema de ecuaciones (usando x1,x2…). En la solución final, parámetros = t1,t2,t3….

Sistemas homogéneos: Ax = 0-Es consistente, posee 1 o infinitas soluciones.

Sistemas no homogéneos: Ax = b-Inconsistentes, posee 1 solución, infinitas soluciones o no hay solución.

Sistemas con uno o más parámetrosUno o más de los coeficientes que aparecen en el sistema de ecuaciones son desconocidos (hay que hacer casos posibles). PARAMETROS: a,b. INCOGNITAS: X,Y,Z.Pasos: se hace la ER, haciendo que queden a,b en la ULTIMA COLUMNA una operación fundamental de forma que se le pueda sacar un valor que lo anule. Ej: (a-2)b o (b-1)

Hago la ER y empiezo con los casos y les aplico la ERCasos:1- # que anule a y # que anule b-1/a si a no es 0

Propiedades de matrices:(A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + Aα(A + B) = αA + αB (α + β)A = αA + βA

Multiplicación de matrices: FILA X COLUMNA-AB ¥ BA.-AB = 0 no es igual a A = 0 o B = 0.-AB = AC no necesariamente B = C.-(A + B)2 no es igual a A2 + 2AB + B2.

Otra forma útil de representar los sistemas de ecuaciones es mediante la representación decolumnas del sistema. (v filas y x columnas)

TIPOS DE MATRICESMatriz TranspuestaCambio de filas por columnas.Rng(A) = Rng(AT) A + B)T = AT + BT (AB)T = BT AT

(AT)T = A(ta)T = TaT

Matriz identidad 1n: tiene 1 sobre toda la diagonal y 0 fuera de la diagonal. AI = IA = A

Matriz diagonal: sus únicas entradas no nulas se encuentran sobre la diagonal.

Matriz triangular: -Inferior: todos sus elementos no nulos están por debajo o sobre la diagonal.-Superior: todos sus elementos no nulos están por encima o sobre la diagonal.

Matriz simétrica: A = ATMatriz antisimétrica: A = −AT, solo puede tener entradas nulas sobre la diagonal

Matrices InvertiblesAB = BA = IB es la inversa de A: B-1 = APara calcular la matriz inversa se debe poner (A/ I) hasta que lleguemos a tener (I/A), ésta sería la A-1.Si los números de la triangular superior encima de la diagonal son diferentes de 0, es invertible.Si hay dos filas no es invertible.

Matrices ElementalesSon las resultantes de aplicarle alguna operación a la In

Determinante Matrices Cuadradas2 x 2 = ad – bc3 x 3 = a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg) (+,-,+ SUMA ALTERNADA)NOTA: El determinante que multiplica a cada coeficiente es el determinante de la matriz que queda después de eliminar la fila y la columna a la que pertenece el coeficiente.

n x n

- det A = 0 si: -Alguna fila/columna de A solo tiene ceros. –Hay dos filas/columnas iguales.-El determinante “factoriza” a lo largo de cada fila. Ej: (3,6,9) = 3 (1,2,3). Si se saca factor a varias filas se escribe por ejemplo: 2#filas

-Si se intercambian dos filas de A entonces el determinante cambia de signo.-Si se realiza una combinación lineal de filas (+,-..) el determinante no cambia -La función determinante es lineal en cada fila. Por ej: (0 + 0 1 + 1 1+8) = (0 1 1) + (0 1 8)-El determinante de la matriz identidad es 1- Si A es una matriz triangular (superior o inferior) el determinante de A es igual al producto de los coeficientes sobre la diagonal-Si Rng A < n, filas son LD y det A = 0-det A = det AT

-det(AB) = det(BA) = det A det B-det A-1 = 1/det A-Si A = B, det A = det B-Det Ax = +

-

Una matriz es invertible si det A es distinto de 0

Regla de Cramer-Separo A de B (matriz sin aumentar)-Saco det A- Uso fórmula: Cambio fila de x1, x2, x3, etc por B, saco su det y lo divido entre det A

Combinación lineal de los vectores Si me dan una serie de vectores y me piden si es C.l. de otro: integro los vectores en una matriz y el que es Cl va en el lugar de B y resuelvo usando gauss jordan. Si el sistema tiene solución única o solución infinita, entonces v sí es combinación lineal. Si es inconsistente, no es C.l

Si se tiene cualquier conjunto de vectores siempre se tiene que el vector nulo es combinación lineal de tales vectores.

SI det es diferente a 01. A es invertible y es l.d.2. Ax = b tiene solución única para todo b3. Ax = 0 tiene solución única4. Rng(A) = n5. A es equivalente a 1n6. A es un producto de matrices elementales7. det A ¥ 08. A tiene inversa derecha9. A tiene inversa izquierda10. Los vectores fila de A son linealmente independientes11. Los vectores columna de A son linealmente independientes12- Si sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, es l.d., si Ax = 0 tiene solución única, es l.i.13. Si tiene vector nulo, es l.d.

Consejos:

Si me dan un determinante = 0 y demostrar, hay que buscar forma de hacer filas o columas iguales.Si me dan a comparar dos determinantes, busco forma de eliminar sumas y restas

Matriz cuadrada no invertible tiene l.d. y ER igual a matriz identidad