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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Que es un algebra de Lie
Samuel TomasUniversidad Mayor de San Simon, UMSS
Coloquio matematico boliviano
21 de octubre 2013
Samuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie
Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Contenido
1 Grupo de Lie
2 que es una variedad suave ?
3 El Grupo general lineal
4 Algebra de lie
Samuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie
Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Grupo de lie
Sophus Lie (1842 - 1899)Matematico Noruego, trabajo enla teorıa de grupos continuos ylas ecuaciones diferencialesGrupo de lie
Grupo
Variedad diferenciable(suave)
operaciones suaves
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Grupo de lie
Sophus Lie (1842 - 1899)Matematico Noruego, trabajo enla teorıa de grupos continuos ylas ecuaciones diferencialesGrupo de lie
Grupo
Variedad diferenciable(suave)
operaciones suaves
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Grupo de lie
Sophus Lie (1842 - 1899)Matematico Noruego, trabajo enla teorıa de grupos continuos ylas ecuaciones diferencialesGrupo de lie
Grupo
Variedad diferenciable(suave)
operaciones suaves
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Grupo de lie
Sophus Lie (1842 - 1899)Matematico Noruego, trabajo enla teorıa de grupos continuos ylas ecuaciones diferencialesGrupo de lie
Grupo
Variedad diferenciable(suave)
operaciones suaves
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Grupo de lie
Sophus Lie (1842 - 1899)Matematico Noruego, trabajo enla teorıa de grupos continuos ylas ecuaciones diferencialesGrupo de lie
Grupo
Variedad diferenciable(suave)
operaciones suaves
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
Un grupo de lie es:
1 G es un grupo algebraico
2 G es una variedad diferenciable
3 la operacion α : GXG→ G definido como sigue :
(x, y)→ xy
es C∞
4 y la operacion β : G→ G definido como :
x→ x−1
es C∞
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
Un grupo de lie es:
1 G es un grupo algebraico
2 G es una variedad diferenciable
3 la operacion α : GXG→ G definido como sigue :
(x, y)→ xy
es C∞
4 y la operacion β : G→ G definido como :
x→ x−1
es C∞
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
Un grupo de lie es:
1 G es un grupo algebraico
2 G es una variedad diferenciable
3 la operacion α : GXG→ G definido como sigue :
(x, y)→ xy
es C∞
4 y la operacion β : G→ G definido como :
x→ x−1
es C∞
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
Un grupo de lie es:
1 G es un grupo algebraico
2 G es una variedad diferenciable
3 la operacion α : GXG→ G definido como sigue :
(x, y)→ xy
es C∞
4 y la operacion β : G→ G definido como :
x→ x−1
es C∞
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
Un grupo de lie es:
1 G es un grupo algebraico
2 G es una variedad diferenciable
3 la operacion α : GXG→ G definido como sigue :
(x, y)→ xy
es C∞
4 y la operacion β : G→ G definido como :
x→ x−1
es C∞
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El Grupo general linealAlgebra de lie
que es una variedad suave
pero <3 es tridimencionalSamuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie
Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Vivimos en un mundo tetra-dimensional, ?no es cierto?
Y ese mundo ?esta situado dentro de algun otro espacio? HAYQUE LIBERARSE DEL ESPACIO AMBIENTE No nos queda masremedio que definir algo nuevo, de manera que las curvas ysuperficies sean casos particulares. Es el concepto de VariedadDiferenciable.
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Geometria diferencial
En su forma mas elemental, el concepto de Geometrıa seconstruye sobre variedades diferenciables.
El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es eldado por la grafica de una funcion suave.
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Geometria diferencial
En su forma mas elemental, el concepto de Geometrıa seconstruye sobre variedades diferenciables.
El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es eldado por la grafica de una funcion suave.
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Geometria diferencial
En su forma mas elemental, el concepto de Geometrıa seconstruye sobre variedades diferenciables.
El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es eldado por la grafica de una funcion suave.
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Geometria diferencial
En su forma mas elemental, el concepto de Geometrıa seconstruye sobre variedades diferenciables.
El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es eldado por la grafica de una funcion suave.
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Si Ui ∩ Uj 6= ∅,entonces el cambio de coordenadas
ϕj ◦ ϕ−1i : ϕi(Ui ∩ Uj) ⊂ <n −→ ϕj(Ui ∩ Uj) ⊂ <n
es un difeomorfismo C∞ entre los abiertos ϕi(Ui ∩ Uj) yϕj(Ui ∩ Uj) de <n
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Ejemplo
El espacio euclideano (<n, id) id : <n → <n es una variedad suave
Ejemplo
Dado (gl(n,<),+, o) espacio vectorial de dimension n2, es unavariedad suave, basta con ver que gl(n,<) u <n2
,
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Ejemplo
la n-esfera en <n+1 Sn = {x ∈ <n+1| lim∑n+1
i=1 xi = 1} Sean = (0, ..., 0, 1) y s = (0, ..., 0,−1)
tomando Pn y Ps las proyecciones estereograficas, entonces Sn esuna variedad suave mediante (Sn − n, Pn) y (Sn − s, Ps)
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Ejemplos de Grupos de Lie
Ejemplo
El espacio euclideano <n es un grupo de Lie sobre la adicion devectores
Ejemplo
la circulo unitario S1 ⊂ C∗ es un grupo de lie, con lamultiplicacion inducida de C∗
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El Grupo general linealAlgebra de lie
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El Grupo general lineal
Ejemplo
Gl(n,<) es un grupo de lie sobre la multiplicacion de matrices
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El Grupo general linealAlgebra de lie
El Grupo general lineal
Definicion
Gl(n,<) = {A ∈ gl(n,<)|det(A) 6= 0}
1 GL(n,<) es una variedad suaveen efecto
det : gl(n,<)→ <
es una aplicacion continua,
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El Grupo general linealAlgebra de lie
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El Grupo general linealAlgebra de lie
notese quedet−1(< {0}) = GL(n,<)
donde la imagen inversa de un conjunto abierto bajo unaaplicacion continua es abiertoi.e. GL(n,<) es abierto. ademas
GL(n,<) ⊂ gl(n,<)
pero gl(n,<) es una variedad suave por lo tanto GL(n,<) es unavariedad suave
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Tambien GL(n,<) es un grupo, bajo la multiplicacion de matrices,tambien la aplicacion producto
α : GL(n,<)XGL(n,<)→ GL(n,<)
y la inversaβ : GL(n,<)→ GL(n,<)
son ssuaves en efecto, Sea A = (aij) B = (bij) matrices enGL(n,<)
α(A,B) = AB = lim
n∑k=1
aikbkj
donde α es una aplicacion polinomial por tanto es difereciableTambien β(A) = A−1 = ( 1
det(A))adj(A) polinomios en las entradas
de A y det(A) 6= 0 por tanto es diferenciable, por tanto GL(n,<)es grupo de lie.
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
g es un algebra de lie si:
1 g es un espacio vectorial
2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::
[X,Y ] = XY − Y X
3 es bilineal :
4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]
5 cumple la identidad de Jacoby
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
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Grupo de Lieque es una variedad suave ?
El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
g es un algebra de lie si:
1 g es un espacio vectorial
2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::
[X,Y ] = XY − Y X
3 es bilineal :
4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]
5 cumple la identidad de Jacoby
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
g es un algebra de lie si:
1 g es un espacio vectorial
2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::
[X,Y ] = XY − Y X
3 es bilineal :
4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]
5 cumple la identidad de Jacoby
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Definicion
g es un algebra de lie si:
1 g es un espacio vectorial
2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::
[X,Y ] = XY − Y X
3 es bilineal :
4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]
5 cumple la identidad de Jacoby
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
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Definicion
g es un algebra de lie si:
1 g es un espacio vectorial
2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::
[X,Y ] = XY − Y X
3 es bilineal :
4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]
5 cumple la identidad de Jacoby
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
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Definicion
g es un algebra de lie si:
1 g es un espacio vectorial
2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::
[X,Y ] = XY − Y X
3 es bilineal :
4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]
5 cumple la identidad de Jacoby
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0
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Sea el espacio vectorial gl(n,<) de todas las matrices cuadradascon entradas reales, ademas de esta estructura de espcio vectorialexiste una operacion de multiplicacion en este, conjunto con lassiguientes propiedades,
A(B + C) = AB +AC
(A+B)C = AC +BC
A(BC) = (AB)C
en general AB 6= BAla matriz identidad verifica IA = AI = A Se dice que gl(n,<) esun algebra asociativa no commutativa con elemento identidad eneste conjunto definimos una nueva operacion de la forma siguiente
[, ] : gl(n,<)Xgl(n,<)→ gl(n,<)
[A,B] = AB −BASamuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie
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El Grupo general linealAlgebra de lie
[, ] : gl(n,<)Xgl(n,<)→ gl(n,<)
[A,B] = AB −BA
por tanto (gl(n,<), [; ]) es un algebra de lie, con esta operacion dedos matrices,como veremos toda algebra de li de dimension finita se obtieneesencialmente de esta forma
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Teorema
Sea G un grupo de Lie y sea g el espacio vectorial de todos loscampos de vectores invariantes a izquierda, entonces
g es un espacio vectorial real y g u Te(G) vıa el isomorfismog → Te(G) dado por α(X) = Xe.
Los campos de vectores invariantes a izquierda sondiferenciables.
El corchete de dos campos invariantes a izquierda esinvariante a izquierda.
g es un algebra de Lie que identificamos con Te(G), el algebrade Lie de G
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Prueba
1. Es claro que g es un espacio vectorial real y que α es lineal;veamos que α(X) es inyectiva: Supongamos que α(X) = α(Y ),entonces para cada g ∈ G dlg(X(e)) = dlg(Y (e)), luego
X(g) = dlg(X(e)) = dlg(Y (e)) = Y (g)
Por lo tanto,X = Y . Veamos que α es subreyectiva: seax ∈ Te(G), definamos un campo de vectores invariantes a izquierdapor X(g) = dlg(x) para cada g ∈ G; entonces α(X) = x.2,3,4 ejercicio
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Ejemplo
El algebra de Lie gl(n;<) es el algebra de Lie del grupo de LieGL(n;<).
En efectoPor un lado, sabemos que gl(n;<) es un algebra de Lie; por otro,sabemos que el grupo de Lie GL(n;<) tiene su algebra de Lieg u Te(G) u espacio de campos invariantes a izquierda. Se quieredemostrar que g u gl(n;<). Sea X un campo de vectores de laforma
X(p) =∑i,j,k
xikakj∂
∂xij|p
continuar..........................
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El Grupo general linealAlgebra de lie
Calculemos el algebra de lie, del grupo de lie GL(n,<) para el cason = 2Sea (U,ϕ) un sistema de coordenadas en GL(2,<) conϕ : U → <4 definida por
ϕ(
(a bc d
)) = (a, b, c, d)
tomemos el vector e1 de <4 y definamos la curva integralγ : < → <4 por γ(t) = (t, 0, 0, 1). Sea φ = ϕ−1 ◦ γ entonces
φ(t) =
(t oo 1
)y
d
dt|0φ(t) =
(1 00 0
)Samuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie
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asi(1 00 0
)esta en el espacio tangente de GL(2,<) en TeGL(2,<).procediendo de la misma manera para e2, e3, e4obtenemos
TeGL(n,<) = Spam{(1 00 0
)(0 10 0
)(0 01 0
)(0 00 1
)}
= {(a bc d
)|a, b, c, d ∈ <} = gl(2,<)
por tanto el algebra de lie GL(2,<), gl(2,<) es isomorfo aTeGL(n,<)
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