Algebra Multilineal sobre RLeccion uno

algebra multilineal abstracta

por J.M. Marquez-BobadillaCUCEI

Universidad de Guadalajara

Algebra multilineal

-vector o 1-contra-tensor-covector o 1-forma o proyector o co-tensor de rango uno o 1-co-tensor-construccion pullback-dualidad de espacios vectoriales-transformaciones multilineales-transformaciones bilineales y formas cuadraticas-transformaciones trilineales-producto tensorial de transformaciones multilineales-producto tensorial de espacios vectoriales-tensores contravariantes, covariantes, mixtos-algebra tensorial-producto exterior de tensores-pfafianas, bi-vector, tri-vector-k-formas-algebra exterior (algebra de Grassmann)-enfasis cambios de bases y cambios de componentes

§ Espacio dual de un Rn

El espacio dual de Rn se define como el conjunto Rn∗ de los funcionales linealesRn → R. Resulta que Rn∗ tambien es una espacio vectorial.

El espacio dual se define como Rn∗ = Hom(Rn, R) es decir como el conjuntode las transformaciones lineales de Rn en su campo (cuerpo) de escalares R.

En el caso de que Rn este generado por la base {b1, b2, ..., bn} tendremos quecada funcion lineal Rn → R esta determinada por una matriz renglon

[a1, a2, ... , an] : Rn → R

que mapea vıa

v1

v2

...vn

7→ [a1, a2, ..., an]

v1

v2

...vn

= a1v

1 + a2v2 + · · ·+ anvn

es decir

v1

v2

...vn

va, bajo el mapeo [a1, a2, ..., an], al escalar asv

s (convencion de

Einstein-Penrose)

§ El pullback de un covector

Si tenemos una transformacion lineal L : Rn → Rm y tenemos un covector f :Rm → R entonces es posible inducir un covector Rn → R mediante la composicionf ◦ L

Rn Rm

R

//L

��f

''OOOOOOOOOOOOOOOO

L∗f

donde L∗f = f ◦ L.

Es decir L∗ : Rm∗ → Rn∗ que tambien es lineal.

Si L tiene matriz Lbk = Lskbs, entonces L∗βk = [L∗]s

kβs y [L∗]s

k = Lks

¿Que sucede si tenemos varias transformaciones lineales con respecto al pull-back?

Dejemos que los diagramas lo expliquen en si mismos:

Rn Rm Rl

R

//T

//S

��

f

$$JJJJJJJJJJJJJJJJJf · S

**TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

f · S · T

Rn Rl

R

//S · T

��

f

**TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

f · S · T

Si S∗f = f ·S entonces T ∗ ·S∗f = T ∗(f ·S) = f ·S ·T y (S ·T )∗f = f ·S ·Tpara cada f entonces:

(S · T )∗ = T ∗ · S∗

Esto indica que el operador de dualidad de transformaciones lineales es contravari-ante.

§§ ¿Como cambian de componentes de un covector cuando cam-biamos de bases en V ?

Si C : V → V es un cambio de bases en V dado por bi 7→ ci = Cbi = Csibs

entonces bi = (C−1)sici

De la construccion pullback deducimos que si las bases covarian con C lascorrespondientes bases duales

βi(bj) = δij

en V ∗ descrito en la base βi y

γi(cj) = δij

en V ∗ descrito en la base γi.

C : Vb → Vc entonces C∗ : V ∗γ → V ∗

β

Vamos a demostrar que

βi = (C>)siγs, (ΓB1)

Demostracion:

Supongamos que βi = Asiγs entonces

δij = βi(bj)

= Asiγs(bj)

= Asiγs((C−1)t

jct)

= Asi(C−1)t

jγs(ct)

= Asi(C−1)t

jδst

= Asi(C−1)s

j

δij = (A>)i

s(C−1)s

j

esta ultima lınea indica que [A]> = [C] por lo tanto [A] = [C]> y

βi = (C>)siγs

Si βi = (C>)siγs entonces tambien

γi = (C−>)siβs, (ΓB2)

Las relaciones (ΓB1), (ΓB2) seran utilizadas cuando consideremos el efecto delcambio de bases en un espacio vectorial y con respecto a otras construcciones vecto-riales llamadas producto tensorial de transformaciones lineales y producto tensorialde espcios vectoriales... en objetos

§§Espacio dual de un espacio vectorial abstracto

El espacio dual de V se define como el conjunto V ∗ de los funcionales linealesV → R. Resulta que V ∗ tambien es una espacio vectorial.

¿Cual es una base y la dimension de este espacio?

Considere las transformaciones (una para cada i)

βi : V → R

definida porX 7→ βi(X) = Xi,

donde X = Xsbs (convencion de la suma de Einstein).

Note que esta definicion permite asignar

βi(bj) = δij

para la correspondiente base {b1, b2, ..., bn}

Ası βi es una funcion lineal. En otras palabras, el funcional βi ”extrae” eli-esimo componente de X y cumple linealidad:

βi(aX) = aβi(X)

βi(X + Y ) = βi(X) + βi(Y )

para cualesquiera escalar a y vectores X, Y .

Los elementos de V ∗ tambien se llaman covectores.

Todo elemento f ∈ V ∗ se escribe ası ;

f = fsβs

donde los componentes satisfacen fs = f(bs)

Hemos visto que si f ∈ V ∗ entonces f : W → R, y si T : V → W podremos

construir VT◦f→ R.

Lo que tenemos es una asignacion W ∗ T∗

→ V ∗ dada por f 7→ T ∗(f) = T ◦ f .Ahora que si la matriz de T es [T ] = [T i

j entonces [T ∗] = [T ]>

§Multilinealidad

§§ Mapas bilineales

Una funcion bilineal queda especificada mediante una matriz: Si B : V ×V → Res un mapeo bilineal entonces existe una matriz [B] de n×n dimensiones que tienencomponentes Bij y con los cuales se determina la forma cuadratica:

B(v, w) = v>[B]w = [v1, ..., vn]

B11 B12 · · · B1n

B21 B22 · · · B2n

...Bn1 Bn2 · · · Bnn

w1

w2

...zn

= v1w1B11 + v1w2B12 + v1w3B13 + · · ·+ vnwnBnn

= vswtBst

Observemos que para una forma cuadratica B : Rn × Rn → R al evaluar enbasicos canonicos

B(ei, ej) = ei>[B]ej = Bij

§§ Para un mapa trilineal T : V × V × V → R tenemos

T (u, v, w) = usvtwrTstr

§§ Producto tensorial de transformaciones multilineales

Cuando tenemos un par de covectores f, g : V → R entonces es posible construirun mapeo bilineal mediante el artificio llamado producto tensorial

f ⊗ g(v, w) = f(v)g(w)

donde la expresion a la derecha es el usual producto de numeros reales. Tal cons-truccion es bilineal:

f ⊗ g(kv + lu, w) = f(kv + lu)g(w)= (kf(v) + lf(u))g(w)= kf(v)g(w) + lf(u)g(w)= kf ⊗ g(v, w) + lf ⊗ g(u, w)

y similarmente para f ⊗ g(v, kw + lu) = kf ⊗ g(v, w) + lf ⊗ g(v, u)

Sea bil(V ) = {B : V × V → R} el conjunto de todos las funciones bilinealesde V . Este es un espacio vectorial con las operaciones

• (B + C)(v, w) = B(v, w) + C(v, w)• k(B(v, w)) = kB(v, w)

donde B, C ∈ bil(V ) y k ∈ R

ArB

Con el producto tensorial de covectores duales basicos βi : V → R que satisfacenβi(bj) = δi

j, podemos construir mapas bilineales basicos con el producto tensorial

βi ⊗ βj

y cumplen

βi ⊗ βj(bk, bl) = βi(bk)βj (bl)= δi

kδjl

y que en argumentos arbitrarios

βi ⊗ βj(v, w) = βi(v)βj (v)= βi(vsbs)βj(wtbt)= vswtβi(bs)βj (bt)= vswtδi

kδjl

= viwj

Es posible demostrar que una base para bil(V ) es

{β1 ⊗ β1, β1 ⊗ β2, β1 ⊗ β3, ..., βi ⊗ βj , ..., βn ⊗ βn}

y entonces para un B arbitrario en bil(V ) tenemos

B = Bstβs ⊗ βt

y donde podemos ver que los componentes de esta combinacion lineal bi-indexadason

Bij = B(bi, bj)

Ası dimbil(V ) = n2

§§§ ¿Como cambian las componentes de una forma bilineal cuando variamos labase de V ?

Supongamos que VC→ V es un a cambio de base bi 7→ ci = Cbi = Cs

ibs

§§ ¿Como cambian de componentes de un mapeo bilineal cuandocambiamos de base en V ?

Sabemos que si C : V → V es un cambio de base

bi 7→ ci = Cbi = Csibs

entonces entre los componentes de un vector v = vsbs = vtct de estas dos basesse tiene

C−1vb = vc

donde

vb =

v1

...vn

y vc =

v1

...vn

Ahora

v>b [B]wb = ([C][C−1]vb)>[B][C][C−1]wb = ([C−1]vb)>[C]>[B][C][C−1]wb

entonces

v>b [B]wb = ([C−1]vb)>[C]>[B][C][C−1]wb = v>c [C>BC]wc

por lo que la matriz de la misma forma cuadratica -determinada por [B]- en la nuevabase es

[C>BC]

En terminos biindexados una tenemos

v>[B]w = vswtBst, (FC)

pero ct = Cstbs entonces

vµbµ = vtct = vtCstbs

que despues de reindexar s → µ implica

vµbµ = vtCµtbµ

entonces(vµ − vtCµ

t)bµ =→0

pero si los bµ son linealmente independientes entonces

vµ = vtCµt

que sustituyendo en (FC) arriba tenemos

v>b [B]wb = vswtBst

= vuCsuwrCt

rBst

= vuwrCsuCt

rBst

= vuwrCsuBstC

tr

= vuwr(C>)u

sBstC

tr

= vuwr[C>BC]ur

= v>c [C>BC]wc

§§ Las transformaciones trilineales son similarmente tratadas, por ejemplo

βi ⊗ βj ⊗ βk(v, w, u) = βi(v)βj (v)βk(u)= βi(vsbs)βj(wtbt)βk(urbr)= vswturβi(bs)βj(bt)βk(br)= vswtδi

kδjlδ

kr

= viwjur

El conjunto tril(V ) = {B : V × V × V → R} tambien es un espacio vectorial,generado por los βi ⊗ βj ⊗ βk con todas las combinaciones de i, j, k desde 1 hastadimV = n, por lo tanto dimtril(V ) = n3.

§ Producto tensorial de espacios vectoriales

Sean V, W dos espacios vectoriales sobre los reales R. Indicamos con

V = 〈{b1, ..., bn}〉

que el espacio V esta generado por los vectores basicos bi. En otras palabras; siX ∈ V entonces

X = Xsbs

es la combinacion lineal X = X1b1 + X2b2 + · · ·+ Xnbn.

Si W = 〈{d1, ..., dm}〉 es otro espacio vectorial, entonces definimos

V ⊗ W = 〈{b1 ⊗ d1, b1 ⊗ d2, ..., bn ⊗ dm, }〉,

esto implica que si B ∈ V ⊗ W entonces

B = Bstbs ⊗ dt

lo cual es la combinacion lineal bi-indexada:

B = B11b1 ⊗ d1 + B12b1 ⊗ d2 + · · ·+ Bnmbn ⊗ dm

Ejemplo: R2 ⊗ R3 es generado por el producto de sus bases

e1 =(

10

), e2 =

(01

)

para R2 y

ε1 =

100

, ε2 =

010

, ε3 =

001

para R3

e1 ⊗ ε1, e1 ⊗ ε2, e1 ⊗ ε3

e2 ⊗ ε1, e2 ⊗ ε2, e2 ⊗ ε3

respectivamente son:

(10

)⊗

(100

),

(10

)⊗

(010

),

(10

)⊗

(001

),

(01

)⊗

(100

),

(01

)⊗

(010

),

(01

)⊗

(001

)

Ası el espacio vectorial R2 ⊗ R3 = gen{ei ⊗ εj} donde i = 1, 2 y j = 1, 2, 3,por lo que si T ∈ R2 ⊗ R3 entonces

T = T µνeµ ⊗ εν

El espacioR2 ⊗ R3

es de dimension 6 y es naturalmente isomorfo a R6 generado por

E1 =

100000

, E2 =

010000

,E3 =

001000

, E4 =

000100

, E5 =

000010

, E6 =

000001

Y entonces un isomorfismo es:

e1 ⊗ ε1 7→ E1

e1 ⊗ ε2 7→ E2

e1 ⊗ ε3 7→ E3

e2 ⊗ ε1 7→ E4

e2 ⊗ ε2 7→ E5

e2 ⊗ ε3 7→ E6

que sin embargo no es el unico. Por ejemplo otro pudiera ser

e1 ⊗ ε1 7→ E1

e1 ⊗ ε2 7→ −E1 + E2

e1 ⊗ ε3 7→ E3 − 8E4

e2 ⊗ ε1 7→ E4

e2 ⊗ ε2 7→ 3E5 + E6

e2 ⊗ ε3 7→ E6

e1 ⊗ ε1 7→ E1 − 9E2 + 100E6

e1 ⊗ ε2 7→ E3 + 5E4 − E6

e1 ⊗ ε3 7→ E1 − E2 − E3 + 8E4 − E6

e2 ⊗ ε1 7→ E2 − E4 − E6

e2 ⊗ ε2 7→ E1 − 3E5 + E6

e2 ⊗ ε3 7→ E6

Los objetos en V ⊗ V se llaman tensor contravariante de rango 2 en V o bienun 2-contratensor.

Los objetos en V ∗ ⊗ V ∗ se llaman tensor covariante de rango 2 en V o bienun 2-cotensor.

Los objetos en V ∗ ⊗ V se llaman tensor mixto de rango 2 en V .

Los elementos basicos de V ∗ ⊗ V ∗ pueden ser visualizados como transforma-ciones bilineales

βi ⊗ βj : V × V → R

mediante la asignacion dada por

(X, Y ) 7→ βi ⊗ βj(X, Y ) = βi(X)βj (Y ) = XiY j

Similarmente los elementos basicos de V ⊗ V pueden ser considerados comomapas bilineales

bi ⊗ bj : V ∗ ⊗ V ∗ → R

mediante la asignacion

(f, g) 7→ bi ⊗ bj(f, g) = f(bi)g(bj) = figj

Un elemento basico de V ∗ ⊗ V se puede ver como un mapa bilineal

V × V ∗ → R

mediante la formula

(X, f) 7→ βi ⊗ bj(X, f) = βi(X)f(bj ) = Xifj

Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo, para cualesquieraescalares a, c ∈ R y vectores X, Y, Z ∈ V tenemos

βi ⊗ βj(aX + cY, Z) = aβi ⊗ βj(X, Z) + cβi ⊗ βj(Y, Z)

βi ⊗ βj(X, aY + cZ) = aβi ⊗ βj(X, Y ) + cβi ⊗ βj(X, Z)

que son respectivamente

(aXi + cY i)zj = aXiZj + cY iZj

Xi(aY j + cZj) = aXiY j + cXiZj

Toda transformacion bilineal V × V → R esta generada por los βi ⊗ βj pues siB : V × V → R es un mapeo bilineal arbitario, este se expresara como

B = Bstβs ⊗ βt

y denotaremos con T (2,0)V el espacio vectorial generado por los βi ⊗ βj , en otraspalabras

T (2,0)V = 〈{βi ⊗ βj}〉

§§ ¿Como cambian de componentes de un mapeo bilineal cuandocambiamos de base en V ?

Si B = Bstβs ⊗ βt y C : V → V es un cambio de bases bi 7→ Cbi = Cµ

ibµ obien bi = (C−1)µ

icµ entonces

B = Bstβs ⊗ βt

= Bst(C>)σµ(C>)ρ

νγσ ⊗ γρ

= (C>)σsBst(C>)ρ

tγσ ⊗ γρ

= (C>)σsBstC

tργ

σ ⊗ γρ

= Bσργσ ⊗ γρ

donde B = C>BC

Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales

T (3,0)V = 〈{βi ⊗ βj ⊗ βk}〉

donde βi ⊗ βj ⊗ βk(X, Y, Z) = XiY jZk es una construccion tri-lineal basica. Asıcualquier otro mapa trilineal T : V × V × V → R se escribe conforme a

T = Tstuβs ⊗ βt ⊗ βu

No es difıcil visualizar lo que hay en el espacio vectorial T (k,0)V y cual es unabase para el. ¿puede ud. decir cual es las dimension de cada uno de estos espaciosvectoriales?

§§ Espacios de co-tensores

T (0,0)V = RT (1,0)V = V ∗

T (2,0)V = V ∗ ⊗ V ∗ = bil(V )T (3,0)V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ = tril(V )T (4,0)V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗

.

.

§ Espacios de contra-tensores

T (0,1)V = VT (0,2)V = V ⊗ V = bil(V ∗)T (0,3)V = V ⊗ V ⊗ V = tril(V ∗)T (0,4)V = V ⊗ V ⊗ V ⊗ V..

§§ Espacios de tensores mixtos

T (1,1)V = V ∗ ⊗ V = hom(V )T (2,1)V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ VT (1,2)V = V ∗ ⊗ V ⊗ VT (2,2)V = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V...§§ El algebra tensorial

El algebra tensorial de un espacio V es un espacio vectorial de dimension infinitay esta definido como

TV =∞⊕

k=l=0

T (k,l)V

TV = T (0,0)V ⊕T (1,0)V ⊕T (0,1)V ⊕T (2,0)V ⊕T (1,1)V ⊕T 0,2V ⊕T (3,0)V ⊕T (2,1)V · · ·

Algebra de Grassmann

Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimetricas, esdecir transformaciones multilieales que cambian de signo cuando intercambiamos(transponemos) dos de sus argumentos. Por ejemplo un mapa bilineal B : V ×V →R es antisimetrico (o alternante) si satisface

B(X, Y ) = −B(Y, X)

un trilineal alternante cumple

T (X, Y, Z) = −T (Y, X, Z)= T (Y, Z, X)= −T (Z, Y, X)

La construccionβi ∧ βj = β ⊗ βj − βj ⊗ βi

define un operador bilineal antisimetrico basico y satisface

βi ∧ βj(X, Y ) = XiY j − XjY i

Otra notacion esβi ∧ βj = β[i ⊗ βj]

Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales –tambien llamadosbivectores o 2-formas– y los simbolizamos con

Λ2V = gen{β1 ∧ β2, β1 ∧ β3, ..., βn−1 ∧ βn}

esto implica que si B ∈ Λ2V entonces B = Bstβs ∧ βt

Observe que βi ∧ βi = 0 para cada i.

Observa que si dimV = 3 entonces

β1 ∧ β2, β1 ∧ β3, β2 ∧ β3

son los unicos bivectores basicos por lo tanto dimΛ2V =(32

)= 3

Ahora que si dimV = 4 entonces

β1 ∧ β2, β1 ∧ β3, β2 ∧ β3, β2 ∧ β4, β3 ∧ β4

son los unicos bivectores basicos por lo tanto dimΛ2V =(42

)= 6

Generailzando cuando dim V = n entonces

β1 ∧ β2, β1 ∧ β3, β2 ∧ β3, ..., βn−1 ∧ βn

son los unicos bivectores basicos por lo tanto dimΛ2V =(n2

)

El espacio vectorial ΛkV generado por los productos exteriores de k-covectoresbasicos

βi1 ∧ βi2 ∧ · · · ∧ βik

donde los indices cumplen i1 < i2 < · · · < ik, tiene dimension(nk

)i.e.

dim(ΛkV ) =(

dim V

k

)

El espacio ΛnV esta generado por la unica n-forma β1 ∧ β2 ∧ · · · ∧ βn por loque dim(ΛnV ) = 1.

§§ El algebra exterior

El espacio vectorial

ΛV = Λ0V ⊕ Λ1V ⊕ · · · ⊕ Λn−1V ⊕ ΛnV

junto con el producto exterior ∧ constituyen un algebra que recibe el nombre dealgebra de Grassmann (o algebra exterior) de V