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ÁLGEBRA
LINEAL Ingenierías
ÁLGEBRA II LM - PM
Unidad Nº 1 MATRICES.
DETERMINANTES
FCEyT - UNSE
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 1
1.- INTRODUCCIÓN
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS de GRUPO y de CUERPO Definición 1
Sea ∅≠G y sea * una operación en G. El par ( )∗ ,G es un grupo si y sólo si:
A1) * es una ley de composición interna en G. Es decir, * es una función con dominio en el producto cartesiano G x G y toma valores en G, en símbolos
( ) ba ba,
GGG∗
→×∗֏
:
A2) * es asociativa en G. En símbolos
( ) ( )c b ac b a G c b, a, ∗∗=∗∗∈∀ ;
A3) Existe un elemento neutro e ∈∈∈∈ G respecto de la ley * . En símbolos
a ae eaGae =∗=∗∈∀∈∃ ; :G
A4) Para cada elemento a ∈∈∈∈ G existe un elemento inverso a’ ∈∈∈∈ G respecto a la ley * . En símbolos
eaaaaGaGa ' ' : ' ; =∗=∗∈∃∈∀
Notas
1. La estructura algebraica de grupo ha sido definida en forma axiomática.
2. El axioma A1) suele escribirse de la siguiente manera
∀ a, b ∈ G ; a * b ∈ G 3. El axioma A1) indica que el conjunto G es “cerrado” con respecto a la ley *. También suele
decirse que el conjunto G es “estable” respecto a la operación *.
4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.
5. Diremos simplemente “sea G un grupo” cuando la ley * esté sobreentendida.
6. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la suma, diremos que G es un grupo aditivo. En esta situación el elemento neutro aditivo se llama “elemento nulo” o simplemente “cero” y suele representarse con 0; y dado a ∈ G al inverso aditivo de a, denominado “opuesto de a”, se denota con –a.
7. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la multiplicación, diremos que G es un grupo multiplicativo. En esta situación el elemento neutro multiplicativo se le llama “unidad” y suele
representarse con 1; y dado a ∈ G al inverso multiplicativo de a, denominado “recíproco de a”, se denota con a -1.
Ejemplos de grupos:
Grupos aditivos
� (Z, +) El conjunto de los números enteros con la suma de números enteros.
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Unidad 1 2
� (Q, +) El conjunto de los números racionales con la suma de números racionales.
� (R, +) El conjunto de los números reales con la suma de números reales.
� (C, +) El conjunto de los números complejos con la suma de números complejos.
� (R2, +) El conjunto de los pares ordenados de números reales (o vectores del plano cartesiano) con la suma de pares ordenados definida por
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)
Aquí, el cero es el par (0, 0) y el opuesto de (x1, y1) es -(x1, y1) = (-x1, -y1).
� (Rn, +) El conjunto de las n-uplas ordenadas de números reales con la suma de n-uplas (con n ∈∈∈∈ N) definida por
(a1, a2, …, an) + (b1, b2, …, bn) = (a1+ b1, a2+ b2, … , an+ bn)
Donde, el cero es la n-upla (0, 0, … , 0) y el opuesto de (a1, a2, …, an) es
- (a1, a2, …, an) = (-a1, -a2, …, -an)
� (Z3, +). Donde Z3 ={0,1,2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3 y la suma está definida por la siguiente tabla
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Grupos multiplicativos
� (Q – {0}, .) El conjunto de los números racionales no nulos con la multiplicación de números racionales no nulos.
� (R – {0}, .) El conjunto de los números reales no nulos con la multiplicación de números reales no nulos.
� (C – {(0, 0)}, .) El conjunto de los números complejos no nulos con la multiplicación de números complejos no nulos.
� (Z3 – {0 }, .) Donde Z3 – {0 } = {1,2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3, distintas de la clase del cero, y la multiplicación está definida por la siguiente tabla
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Unidad 1 3
.
1
2
1
1
2
2
2
1
No son grupos: � El conjunto N de los números naturales con la suma de números naturales.
� El conjunto Z de los enteros con la diferencia de números enteros.
� El conjunto R de los números reales con el producto de números reales.
Definición 2
Sea ( )∗ ,G un grupo. El grupo G es conmutativo(o abeliano) si la ley de composición interna * es conmutativa. Es decir, a bb G: a a, b ∗=∗∈∀
Ejemplos de grupo conmutativo(o abelinano) (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Rn, +), (Z3, +)
(Q – {0}, .), (R – {0}, .), (C – {0}, .), (Z3 – {0 }, .) PROPIEDADES Sea ( ),*G un grupo.
Proposición 1
El grupo G admite un único elemento neutro. Proposición 2
El inverso de cada elemento de G es único. Proposición 3
El inverso del inverso de cada elemento a de G es a, esto es ( ) aa ' ' = . Proposición 4
Cualesquiera sean a, b ∈ G, el inverso del elemento a * b es b’* a’. Es decir
( ) ' ' ' : , abbaGba ∗=∗∈∀ . Proposición 5 Cada elemento del conjunto G es cancelable o regular. Esto es, cualesquiera sean a, b, c ∈ G se verifica (a * b = a * c ⇒ b = c ) ∧ (b * a = c * a ⇒ b = c )
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Unidad 1 4
Proposición 6 Cualesquiera sean a, b, c ∈ G, las siguientes ecuaciones en la variable x admiten solución única en G
a * x = b ⇒ x = a’* b x * a = c ⇒ x = c* a’ Nota Las demostraciones de las proposiciones anteriores quedan para el alumno. Definición 3
Sea F ≠ ∅ y “+”, “.” dos operaciones en F. La terna (F, +, .) es un cuerpo si y sólo si:
Ax1) (F, +) es grupo abeliano. Esto es
� + es una ley de composición interna en F ∀ a, b ∈ F ; a + b ∈ F � + es asociativa
( ) ( )cbacbaFcba ++=++∈∀ :,,
� Existe elemento neutro aditivo en F aaaFaF =+=+∈∀∈∃ 00 ; :0
� Cada elemento de F admite opuesto en F 0)()(: , =+−=−+∈−∃∈∀ aaaaFaFa
� + es conmutativa
abbaFba +=+∈∀ : ,
Ax2) (F-{0}, .) es grupo abeliano. Esto es
� . es una ley de composición interna
∀ a, b ∈ F - {0}; ab ∈ F- {0} � . es asociativa
( ) ( )bcacabFcba =−∈∀ :}0{,,
� Existe elemento neutro multiplicativo en F- {0} aaaFaF ==−∈∀−∈∃ 11 };0{ :}0{1
� Cada elemento de F-{0} admite recíproco en F-{0}
111 :}0{1 };0{ =−=−−∈−∃−∈∀ aaaaFaFa .
� . es conmutativa
baabFba =−∈∀ };0{ ,
Ax3) La multiplicación es distributiva respecto de la suma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda
� (a + b) c = ac + bc � a(b + c) = ab + ac
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Unidad 1 5
Ejemplos de cuerpos
( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅+ ,, ,,, ,,, CRQ , ( )⋅+,,Z p con p primo
No son cuerpos
( ), , , ⋅+Z (Z4, +, .) Definición 4
Sea (F, +, .) un cuerpo.
a) Sean a y b ∈ F , se define la resta a – b = a + (– b )
b) Sean a y b ∈ F y a ≠ 0. Se define la división
a
b = a-1b
PROPIEDADES
Proposición 1
Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces 0 00 , ==∈∀ aaFa Demostración
0 es elemento neutro aditivo
por distributividad de ( .) respecto a ( )
0 es elemento neutro aditivo
por Propiedad cance
0 (0 0)
0 0 0
0 0 0 0
0 0
a a
a a a
a a a
a
+
= += +
+ = += lativa en el grupo ( , )F +
) ,( grupo elen acancelativ Propiedadpor
aditivo neutro elemento es 0
)( a respecto .) ( de vidaddistributipor
aditivo neutro elemento es 0
00
0000
000
)00(0
+
+
=+=++=+=
Fa
aaa
aaa
aa
Proposición 2
Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces )( )( )( ; , abbabaFba −=−=−∈∀
Demostración
i) ( )[ ]
[ ]
0 0)()(
0 0)(
==+−=+−==−+=−+
bbaaabba
bbaabaab
luego )()( abba −=− ii)
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Unidad 1 6
[ ][ ]
00)()(
00)()(
==+−=+−==−+=−+
abbaabba
abbabaab
luego )( )( abba −=−
Proposición 3 Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces abbaFba =−−∈∀ ))((:,
Demostración
[ ] [ ] ababbaba =−−=−−=−− )()())(( Proposición 4 Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces acabcbaFcba −=−∈∀ )(:,,
Demostración
[ ] [ ] acabababcaabcbacba −=−+=−+=−+=− )()()()( Proposición 5
Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces ( )000 ; , =∨=⇒=∈∀ yxyxFyx Demostración Hay que probar que: 000 =⇒≠∧= yxxy
Sea entonces 00 ≠∧= xxy (*)
Como Fxx ∈∧≠ 0 y (F-{0}, .) es un grupo abeliano, x admite inverso multiplicativo, esto es:
1: 111 ==∈ −−− xxxxFx
En la igualdad (*) multiplicando en ambos miembros por 1−x , luego aplicamos Proposición 1 de cuerpo, asociatividad, axioma de inverso y axioma de elemento unidad.
( )1 1
1
0
0
1 0
0
x xy x
x x y
y
y
− −
−
=
=
==
Q.E.D. Nota La propiedad precedente indica que todo cuerpo F carece de divisores de cero. Proposición 6 Si (F, +, .) es un cuerpo, entonces vale la ley cancelativa del producto para elementos no nulos de F. Demostración
Se debe probar que, ∀x, y, z ∈ F ; ( yxzyzxz =⇒≠∧= 0 )
Sea entonces
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Unidad 1 7
0≠∧= zyzxz (1)
Como Fzz ∈∃≠ −1 ,0 , en (1) se multiplica en ambos miembros por el inverso de z
yx
yx
zzyzzx
zyzzxz
==
−=−
−=−
11
)1()1(
1)(1)(
Proposición 7
Si (F, +, .) es un cuerpo y 0y , ≠∈ aFba , entonces la ecuación de primer grado en la variable x bax= , admite solución única en F
Demostración
Partimos de la ecuación
1
)(
)(
1
1
11
11
bax
bax
baxaa
baaxa
bax
−
−
−−
−−
=
=
=
=
=
Luego, 1bax −= es la solución de la ecuación dada y la unicidad de la solución se debe a que a admite un único inverso y la multiplicación es una ley de composición interna en F.
Q.E.D. Proposición 8 El recíproco (inverso multiplicativo) del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco. Esto es ∀ a ∈ F- {0} ; (- a)-1 = - (a-1), Demostración Queda para el alumno. 2. MATRICES Definición 1 Sean m y n dos números naturales cualesquiera distintos. Una matriz A de tipo mxn con elementos de un conjunto F es una ordenación de mn elementos del conjunto F, dispuestos en m filas y n columnas.
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Unidad 1 8
=
mnamjam
am
a
inaijai
ai
a
na
jaaa
na
jaaa
A
……
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
……
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
……
……
21
21
222221
111211
Notas • Trabajaremos con matrices cuyos elementos pertenecen a un cuerpo como por ejemplo: Q
(Racionales), R (Reales), C (Complejos), Z2 (Clases residuales módulo 2), etc. • El conjunto de las matrices de m filas y n columnas con elementos de un cuerpo F se denota con
mxnF .
• Escribiremos mxnFA∈ para indicar que la matriz A es de tipo mxn y tiene elementos del cuerpo F.
Ejemplos
53
20121
11160
043/231
xA R∈
−−−−
= ; 34
110
100
011
101
xB 2Z∈
= ; 32
102
431 xD R∈
−= ;
13
3
0
2/1
xE Q∈
= ; 23
19
320
18
xi
ii
F C∈
+−
= ; [ ] 31 021 G xR∈=
Definición 2 Una matriz A de orden n con elementos de un conjunto F, es una ordenación de n2 elementos del conjunto F, dispuestos en n filas y n columnas.
=
nnanjan
an
a
inaijai
ai
a
na
jaaa
na
jaaa
A
……
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
……
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
……
……
21
21
222221
111211
Notas
• Trabajaremos con matrices cuyos elementos pertenecen a un cuerpo como por ejemplo: Q (Racionales), R (Reales), C (Complejos), Z2 (Clases residuales módulo 2), etc.
• El conjunto de las matrices de orden n con elementos de un cuerpo F, se denota con nxnF . Este
conjunto es un caso particular del conjunto mxnF cuando m = n.
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Unidad 1 9
• Escribiremos nxnFA∈ para indicar que la matriz A es de orden n y tiene elementos del cuerpo F.
Ejemplos
33
603
07/12
101xH R∈
−
−= ;
2243
1 xii
iJ C∈
+−
= ; 44
22971
3/2620
2/1107
1475,032
xL Q∈
−−−−
−
=
Notas • Una matriz es rectangular si el número de filas es distinto al número de columnas. • Una matriz es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas • Una matriz real es aquella cuyos elementos son números reales. Una matriz compleja es la que
sus elementos números complejos.
Notaciones
Sea la matriz mxnFA∈ , (con m ≠ n ó m = n) dada por
=
mnamjam
am
a
inaijai
ai
a
na
jaaa
na
jaaa
A
……
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
……
⋮⋮⋮⋮⋮⋮
……
……
21
21
222221
111211
I. Cada fila de la matriz A suele representarse por una matriz del tipo 1xn denominado vector
fila. La fila i-ésima viene dada por
xnFin
aij
ai
ai
ai
fmi 121
;,...,1 ∈
==∀ …… ,
La matriz A puede representarse en término de sus m vectores filas ,..., , ...,,
2,
1 mf
ifff del
siguiente modo:
=
mf
if
f
f
A
⋮
⋮
2
1
II. Cada columna de la matriz A es común representarla por una matriz del tipo mx1, llamado
vector columna. La j-ésima columna de A está dada por
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Unidad 1 10
1
2
1
;,...,1 mx
mja
ija
ja
ja
Fjcnj ∈==∀
⋮
⋮
La matriz A puede representarse en término de sus n vectores columnas ,..., , ...,,2
,1 n
cj
ccc
mediante:
=n
cj
cccA ... ...21
III. Al elemento aij se le llama elemento genérico de la matriz A. Éste se emplea para denominar la forma en que se denotan los elementos de la matriz y permite escribirla en manera abreviada por,
nj
miijaA
≤≤≤≤
=1
1.
Cuando se conoce de antemano el número de filas y de columnas de la matriz simplemente escribiremos
= ijaA
IV. Si nxnFA∈ , los elementos a11, a22,…, ann, forman la diagonal principal de A. MATRICES ESPECIALES Matriz nula
Una matriz perteneciente al conjunto mxnF con m ≠ n ó m = n, que tiene todos los elementos
iguales a cero (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz nula. En símbolos:
= ijoO , con ,0=ijo mi ,...,1=∀ ∧ nj ,...,1=∀
Ejemplos
Matrices reales nulas son:
000
000, [ ]00 ,
0
0
0
,
00
00 ,
000
000
000,
0000
0000
0000
0000
,
Matriz unidad
Una matriz de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los escalares de la diagonal principal son unos (elemento neutro multiplicativo del cuerpo F) y los restantes elementos de la matriz son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F) se llama matriz unidad de orden n y se simboliza con In. En símbolos:
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Unidad 1 11
=jnI
iδ , siendo
≠==
jiji
ij si 0 si 1
δ .
Ejemplos
Matrices reales unidad son:
I3 =
100
010
001, I4 =
1000
0100
0010
0001
, I2 =
10
01
Matriz diagonal
Una matriz D de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), recibe el nombre de matriz diagonal. En símbolos:
nxnFijaA ∈=
es diagonal jiija ≠=⇔ si ,0 .
Ejemplos Las siguientes matrices reales son diagonales
100
010
001;
−
−
4000
0300
0010
0002 ;
00
00
Matriz triangular superior
Una matriz A de orden n con elementos del cuerpo F en la cual todos los elementos que están debajo de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz triangular superior. En símbolos
nxnFijaA ∈=
es triangular superior jiija >=⇔ si ,0 .
Ejemplos
−−
100
120
031,
−
−
4000
0300
0210
1012
,
00
00
Matriz triangular inferior
Una matriz A de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), se llama matriz triangular inferior. En símbolos
nxnFijaA ∈=
es triangular inferior jiija si ,0 <=⇔ .
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 12
Ejemplos
−
−
2/134
05/20
001,
−−+
−
4310
00021
000
0002
i
i
i ,
00
00
Observaciones � Todas las matrices diagonales son triangulares superior e inferior. � La matriz unidad y la matriz nula de orden n, son matrices diagonales, por lo tanto tienen la
propiedad de ser triangular superior y triangular inferior.
Matriz diagonal
Una matriz D de orden n con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F), recibe el nombre de matriz diagonal. En símbolos
nxnijA a F
= ∈ es diagonal jiija ≠=⇔ si ,0 .
Ejemplos Las siguientes matrices reales son diagonales
100
010
001;
−
−
4000
0300
0010
0002 ;
00
00
Matriz escalar
Una matriz E de orden � con elementos del cuerpo F en la que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal son ceros (elemento neutro aditivo del cuerpo F) y los elementos de la diagonal principal son todos iguales entre sí, recibe el nombre de matriz escalar. En símbolos
[ ] nn
ij FaA ×∈= es una matriz escalar si y sólo si ija =
≠=
jisi
jisi
0
λ
Ejemplos:
20
02
−−
−
100
010
001
1000
0100
0010
0001
000
000
000
Observaciones
� Todas las matrices diagonales son triangulares superior e inferior. � Todas las matrices escalares son diagonales y por lo tanto son triangulares superior e inferior. � La matriz unidad y la matriz nula de orden �, son matrices escalares, por lo tanto tienen la propiedad de ser
diagonales y en consecuencia son también triangulares superior e inferior.
IGUALDAD DE MATRICES
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 13
Definición 3 Sean m y n dos números naturales cualesquiera (con m ≠ n ó m = n) y F un cuerpo. Dos
matrices mxnFijaA ∈=
y mxnFijbB ∈=
son iguales si y sólo si sus elementos
correspondientes son iguales. En símbolos
njjmiiijbijaBAdef
≤≤∈∀∧≤≤∈∀=⇔= 1 ; 1 ; ; NN .
Ejemplos
En los siguientes ejemplos se puede observar que se satisface la Definición 3
a)
− 15,0
10=
)(2/1
1)0(
πcos
sen
b)
→
/2)(02
12/1
lim 0
πcosx
xsenx =
002
15,01
OPERACIONES CON MATRICES
I. SUMA DE MATRICES Definición 4
Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sean mxnFij
aA ∈
= y mxnFij
bB ∈
= . La
matriz mxnFij
cC ∈
= , es igual a la suma A + B si y sólo si
njjmiiFijbijaijc ≤≤∈∀∧≤≤∈∀∈+= 1 ; 1 ; ; NN
Observaciones
• Dos matrices se pueden sumar (o están conformes para la suma) si los elementos de ambas pertenecen al mismo cuerpo y si son del mismo tipo, o del mismo orden.
• Debido a la Definición 3, se dice que el conjunto mxnF “es cerrado para la suma de matrices”
Ejemplos a) Dadas las matrices
=
643
521A
−=
143
210B 32xR∈
La suma A + B es
=
−+
=+
786
711
143
210
643
521BA 32xR∈
b) Dadas las matrices
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 14
−=
52
2/11A
−=
41
2/13B 22xR∈
La suma A + B es:
−=
−+
−=+
13
04
41
2/13
52
2/11BA 22xR∈
Proposición 1
Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. El conjunto Fmxn con la suma de matrices, es un grupo conmutativo. Es decir:
i) mxnFBAmxnFBA ∈+∈∀ ;,
ii) mxnFCBA ∈∀ ,, ; (A + B) + C = A + (B + C)
iii) 0 : ; 0 0mxn mxnF A F A A A∃ ∈ ∀ ∈ + = + =
iv) ; / ( ) ( ) 0mxn mxnA F A F A A A A∀ ∈ ∃− ∈ + − = − + =
v) mxnFBA ∈∀ , : A + B = B + A
Observaciones
• El enunciado i) indica que la suma de matrices es una ley de composición interna en mxnF .
• El enunciado ii) indica que la suma de matrices es asociativa en mxnF .
• El elemento neutro 0 del enunciado iii) es la matriz nula de mxnF .
• En el enunciado iv) la matriz –A ∈ mxnF es la matriz opuesta de A y sus elementos son los opuestos de los elementos de la matriz A. Es decir:
Si A = [aij], la matriz opuesta de A es –A = [-aij]
• El enunciado v. expresa que la suma de matrices es conmutativa en mxnF .
II. PRODUCTO DE MATRICES
Definición 5
Sean m, p y n tres números naturales cualesquiera (no necesariamente distintos) y F un cuerpo.
Dadas las matrices mxpF
ijaA ∈
= y pxnF
ijbB ∈
= , el producto de A y B (que se
escribe AB), es una matriz mxnFij
cC ∈
= , cuyos elementos cij son los definidos por:
njjmiipj
bip
aj
bi
aj
bi
aijc ≤≤∈∀∧≤≤∈∀+++= 1 ; 1 ; , ...2211
NN
En forma abreviada se escribe:
kjbp
kik
aijc ∑=
=1
Observaciones
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 15
• El producto de dos matrices está definido si y sólo si ambas matrices están conformes para el producto, es decir, si los elementos de ambas pertenecen al mismo cuerpo y el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.
• Con frecuencia se escriben productos de matrices sin indicar el tipo u orden de los factores, en tal caso se entenderá que el producto está definido.
• En general, el producto de matrices no es conmutativo Ejemplos
a) Dadas las matrices
−=
01
43
21
A ∈ R3x2,
−=
10
21B ∈ R2x2
−−=
−+−+−−++−++
=
−
−=
21
23
01
)1.(02).1(0.01).1(
)1.(42.30.41.3
)1.(22.10.21.1
10
21
01
43
21
AB ∈ R3x2
Observe que las matrices A y B no están conformes para el producto BA. b) Dadas las matrices
−−
=30
12A ,
=
10
23B ∈ R2x2
Es claro que ambas matrices están conformes para los productos AB y BA
−=
30
3 6AB ∈ R2x2 y
−−
=30
9 6BA ∈ R2x2
Observe además que AB ≠ BA
Proposición 2
Si m, p, n son números naturales cualesquiera y F un cuerpo., entonces se verifican los siguientes enunciados.
i) Si mxpFA∈ , pxrFB∈ y rxnFC∈ , entonces (AB)C=A(BC)
ii) Si mxpFA∈ , pxnFB∈ y pxnFC∈ , entonces A(B+C)=AB+AC
iii) Si mxpFA∈ , mxpFB∈ y pxnFC ∈ , entonces (A+B)C=AC+BC
iv) Si mxnFA∈ , entonces
a) An
AI = , donde In es la matriz unidad de orden n.
b) AAm
I = , donde Im es la matriz unidad de orden m.
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Unidad 1 16
Proposición 3
Sea F un cuerpo. El conjunto Fnxn con el producto de matrices goza de las siguientes propiedades
i) nxnFABnxnFBA ∈∈∀ ;,
ii) nxnFCBA ∈∀ ,, ; (AB)C=A(BC)
iii) nxnFCBA ∈∀ ,, ; A(B+C)=AB+AC
iv) nxnFCBA ∈∀ ,, ; (A+B)C=AC+BC
v) ;nxnA F I A AI An n∀ ∈ = = , donde In es la matriz unidad de orden n.
III. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Definición 6
Sea m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sea la matriz mxnFijaA ∈=
y el escalar
Fr ∈ . El producto del escalar r por la matriz A es la matriz rA mxnF∈ definida por:
mxndef
FijraijarrA ∈==
Ejemplo
Si
−=75
10
31
A y r = 2, se tiene que
−=
−=1410
20
62
75
10
31
2rA
Proposición 4
Sea m, n ∈ N, con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Si Fsr ∈, y mxnFBA ∈, , entonces se verifica:
i) r(sA)= (rs)A
ii) r(A+B)= rA+rB
iii) (r+s)A= rA+sA
Proposición 5
Sean m, p y n tres números naturales cualesquiera (no necesariamente distintos) y F un cuerpo. Si
Fsr ∈, , mxpFA∈ y pxnFB ∈ , entonces A(rB) = (rA)B = r(AB)
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Unidad 1 17
IV. TRANSPOSICIÓN DE MATRICES Definición 7
Sean m, n ∈ N con m ≠ n ó m = n y F un cuerpo. Sea la matriz mxnFij
A a ∈
= . La matriz
transpuesta de A es la matriz At = nxmFij
b ∈
si y sólo si bij = aji, con 1 ≤ i ≤ n ∧ 1 ≤ j ≤ m.
Observación
En otra forma de expresar la matriz transpuesta de la matriz A es la siguiente
Si mxnFij
aA ∈
= , entonces la transpuesta de A es la matriz nxmFji
atA ∈
=
Ejemplos
a) Dada la matriz
−=75
10
31
A , la transpuesta de A es
−=
713
501tA .
b) Dada la matriz
−−
=203
312
421
A , la transpuesta de A es
−−=234
012
321tA .
Nota La transpuesta de una matriz A de tipo mxn (o de orden n) es la matriz At de tipo nxm (o de orden n) que resulta de intercambiar las filas de la matriz A por columnas. Proposición 6
Sea F un cuerpo.
i) Si mxnFA ∈ , entonces (At)t=A
ii) Si mxnFA ∈ y mxnFB ∈ , entonces (A + B)t = At + Bt
iii) Si mxpFA ∈ y pxnFB ∈ , entonces (AB)t = BtAt
iv) Si r ∈ F ∧ mxnFA ∈ , entonces (rA)t = rAt
Matriz Simétrica
Sea F un cuerpo. Sea una matriz nxnFij
aA ∈
= .
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Unidad 1 18
=ij
aA es una matriz simétrica
def
⇔ jiji
aij
a ∀∀= ,, .
Es decir que, una matriz nxnFij
aA ∈
= es simétrica si y sólo si tAA =
Ejemplos Las siguientes matrices son simétricas
−345
411
512
,
−−02
2
i
ii,
−−
−
0075
0263
7601
5311
Matriz Antisimétrica
Sea F un cuerpo. Sea una matriz nxnFij
aA ∈
= .
=ij
aA es una matriz antisimétrica def⇔ ji
jia
ija ∀∀−= ,, .
Es decir que, una matriz nxnFij
aA ∈
= es antisimétrica si y sólo si tAA −=
Observación
Es fácil mostrar que los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica son todos nulos. En efecto,
∀ i = 1, 2, …, n; aii = – aii ⇒ ∀ i = 1, 2, …, n; 2aii = 0 ⇒ ∀ i = 1, 2, …, n; aii = 0
Ejemplos
−−
−
045
401
510
,
+−−02
20
i
i
V. INVERSA DE UNA MATRIZ Definición 8
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Unidad 1 19
Sea F un cuerpo. Sea una matriz nxnFA∈ . La matriz A es inversible sí y sólo si existe una matriz
nxnFB∈ tal que n
IBAAB == . En símbolos,
nxnFA∈ es inversible ⇔ ∃ nxnFB∈ : n
IBAAB ==
Proposición 7 Sea F un cuerpo. Si nxnFA ∈ es inversible, entonces la matriz A admite una única inversa. Demostración
Como A es inversible por hipótesis, existe una matriz nxnFB∈ tal que n
IBAAB ==
Supongamos que A tiene también otra matriz inversa es decir, existe una matriz nxnFC ∈ tal que
nICAAC ==
Probaremos que B = C. En efecto
CCn
ICBAACBn
BIB)5()4()3()2()1(
)()( =====
Luego B=C. Por lo tanto si A es inversible, entonces admite una única inversa. Referencias: (1) In es la matriz unidad (elemento neutro multiplicativo en el producto de matrices). (2) Por hipótesis AC= In. (3) Por asociatividad del producto de matrices. (4) Por hipótesis BA= In. (5) In es la unidad para el producto de matrices.
Q.E.D. Notación
Si F es un cuerpo y si nxnFA∈ es inversible, representaremos a su única inversa con A-1. Ejemplo
Dada
−=
52
12 A , la inversa de A es
−
=−
6
1
6
112
1
125
1A
Observación
No toda matriz es inversible, como ocurre con la matriz
−−
1 1
11
Proposición 8
Si F es un cuerpo y si nxnFBA ∈, son matrices inversibles, entonces 111)( −−=− ABAB
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Unidad 1 20
Demostración
nIAAA
nAIA
nAIABBAABAB ===== −−−−−−− 1111111 )()())((
nIBBB
nIBB
nIBBAABABAB ===== −−−−−−− 1111111 )()())((
Luego la inversa de AB es 11 −− AB Q.E.D.
3. DETERMINANTES Función Determinante de Orden n Sea F un cuerpo y sea una matriz A de orden n con elementos en F, dada por
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
a a a aj n
a a a aj n
a a a a n nj nA F
a a a an n nj nn
× = ∈
… …
… …
… …
⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮
⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮
… …
La matriz A expresada en términos de sus columnas, se representa por
...1 2
n nA c c c c Fj n
×= ∈
… , donde
1
121,..., ;
aj
anjj n c F
j
anj
× ∀ = = ∈
⋮ , son las columnas de la matriz A.
Observación Trabajaremos con matrices expresadas en términos de sus columnas, para desarrollar el tema, por la simplicidad que ello representa y que podremos advertirlo de inmediato. Definición 1 La función:
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Unidad 1 21
:
( )
n nD F F
A D A
× →
֏
es una función determinante de orden n si y sólo si se verifican los siguientes axiomas:
I. ∀ j = 1, 2, …, n ; ˆ... ...1 2
D c c c c cj j n
+ =
j-ésima columna
ˆ... ... ... ...1 2 1 2
D c c c c D c c c cj n j n
= +
j-ésima columna j-ésima columna
II. ∀ j = 1, 2, …, n ; ... ...1 2
D c c r c cj n
= ... ...
1 2r D c c c c
j n
j-ésima columna j-ésima columna
III. Si j ≠ k ∧ kcc j = entonces
... ... ... 01 2
D c c c c cj k n
=
IV. ( ) 1D In=
Notas
1. Los Axiomas I. y II., indican que D es lineal respecto a cada columna, por lo que suele decirse que es una función n-lineal.
2. El Axioma III., nos dice que D es alternada. 3. El Axioma IV., indica que la matriz unidad tiene por imagen el escalar 1.
Definición 2 Sea una función determinante de orden n D: F nxn → F A ֏ D(A) Al escalar D(A) ∈ F, le llamaremos “el determinante de la matriz A” y le denotaremos con
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Unidad 1 22
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3( )
1 2
a a a aj n
a a a aj n
a a a aj nD A
a a a an n nj nn
=
… …
… …
… …
⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮
⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮
… …
Ejemplo de aplicación del Axioma I.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
=
1 2 0 3 1 2 0 1 2 3
4 5 2 4 4 5 2 4 5 4
7 8 10 1 7 8 10 7 8 1
+
+ = +
− −
Ejemplo de aplicación del Axioma II.
1 2 3 1 2 3.1 1 2 1
4 5 6 4 5 3.2 3 4 5 2
7 8 9 7 8 3.3 7 8 3
= =
Ejemplo de aplicación del Axioma III.
1 2 0 (0)
0 5 4 ( )
1 3 7 ( / 4)
1 1 6 ( )
cos
sen
tg
cos
π
− π
− − π
= 0
Ejemplo de aplicación del Axioma IV.
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
= 1
Proposición 1 (Sin demostración) Para cada n ∈ N, existe una única función determinante de orden n.
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Unidad 1 23
La Función Determinante de Orden 1 Proposición 2 Sea la función
[ ]
1 1
11 11 11
:
( )
D F F
defA a D A a a
× →
= = =֏
Entonces D es la función determinante de orden 1. Demostración (para el alumno) Ejemplo
3 3=
Notas
1. Es fácil demostrar que D1 es una función determinante de orden 1 ya que sólo basta mostrar que se verifican los axiomas de la Definición 1.
2. No se debe confundir un determinante de orden 1 con el valor absoluto de un número real. Para ello basta observar el siguientes determinante de una matriz de orden 1: 11 −=− , mientras que si se considera el valor
absoluto del número real -1 se tiene 11 =− .
Función Determinante de Orden 2 Proposición 3 Sea la función
2x2 : D F F→ tal que si 11 12
21 22
a aA
a a
=
∈ F2x2 , se define
11 1211 22 21 12
21 22
( ) defa a
D A a a a aa a
= = −
Entonces D es la función determinante de orden 2. Demostración (para el alumno) Ejemplos
• 1 2
4 6 23 4
= − =−
• 0 4
0 ( 12) 123 2
−= − − =
−
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Unidad 1 24
REGLA DE SARRUS PARA CALCULAR DETERMINANTES DE MATRICES DE ORDEN 3 Sea el siguiente determinante de una matriz de orden 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Se puede calcular este determinante empleando una suma algebraica de productos de elementos dada por
11 22 33 21 32 13 31 12 23 21 12 33 11 32 23 31 22 13
a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
Nota:
Se puede pensar que es complicado recordar esta suma algebraica de productos, pero ahora se expondrá un modo sencillo de lograrlo. Pasos para calcular el determinante de una matriz de orden 3 Paso 1. Se anotan las filas del determinante dado y debajo de ellas se repiten las dos primeras filas
232221131211
333231232221131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
Paso 2. Se suman los productos de los elementos ligados por las flechas rojas
232221131211
333231232221131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
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Unidad 1 25
Paso 3. Se suman los productos de los elementos ligados por las flechas verdes
232221131211
333231232221131211
aaaaaa
aaaaaaaaa
Paso 4. Al resultado obtenido en el paso 2 se le resta el obtenido en el paso 3. Ejemplo
Calcule el siguiente determinante de orden 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Esquema de los Pasos
654
321987
654
321
luego
1 2 3
4 5 6 1.5.9 4.8.3 7.2.6 (4.2.9 1.8.6 7.5.3) 0
7 8 9
= + + − + + =
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Para las siguientes Proposiciones consideraremos dada la función determinante de orden n (n ∈ N) D: F nxn → F A ֏ D(A), en donde F es un cuerpo.
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Unidad 1 26
Proposición 4
Si en una columna (fila) de una matriz todos los elementos son ceros, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.
Demostración Sea A ∈ F nxn. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que todos los elementos de la primera columna de la matriz A son ceros, es decir:
0 ... 12 1
0 ...22 2
... ... ... ...
0 . ..2
a an
a anA
a an nn
=
,
Si expresamos a la matriz A en término de sus columnas, esto es
...1 2
A c c c cj n
=
…
Entonces es claro que podemos expresar a la primera columna del siguiente modo
0 11 0 21 0 0
1 1
01
c c
n
α
α = = = α
⋮ ⋮,
con niFi
,...,1, 1
=∀∈α (es decir, los 1i
α son escalares cualesquiera del cuerpo F)
Calculemos el determinante de la matriz A
( ) ... ... 0 ... ... 1 2 1 2(1) (2)
0 ... ... 01 2(2)
D A D c c c c D c c c cj n j n
D c c c cj n
F
= = =
= =
∈���������������������������
Referencias: (1) Reemplazando c1. (2) Por Axioma II. de la Definición 1.
Q.E.D.
Proposición 5
El determinante de una matriz no varía, si a una columna (fila) se le suma un múltiplo escalar de otra columna (fila).
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Unidad 1 27
Demostración
Sea la matriz ... ... ...1 2
A c c c c cj k n
=
y sea r ∈ F.
A efectos de la demostración, se construye una matriz A’ con la siguiente propiedad: Todas las columnas de A’ son las columnas de A, excepto la j-ésima que se la obtiene mediante la
suma c rcj k+ (es decir la columna cj de A más r veces la columna ck de A). Así, resulta
' ... ... ...1 2
A c c c rc c cj k k n
= +
, con r F∈ .
Se probará que ( ') ( )D A D A= . En efecto
( )
( ') ... ... ...1 2 (1)
... ... ... ... ... ...1 2 1 2(1)
( )
D A D c c c rc c cj k k n
D c c c c c D c c rc c cj k n k k n
D A
= + =
= +
=�����������������������������������
( )( ) ... ... ... ( ) 0 ( ) 0 ( )1 2(2) (3)
D A rD c c c c c D A r D A D Ak k n
= + = + = + =
Por lo tanto, ( ') ( )D A D A=
Referencias
(1) Por Ax.1 de determinantes. (2) Por Ax.2 de determinantes. (3) Por Ax.3 de determinantes.
Q.E.D.
Proposición 6
Si A es una matriz de orden n y A ́es la matriz que resulta de intercambiar dos columnas (filas) de la matriz A, entonces el determinante de A ́es el opuesto del determinante de A. En símbolos
Si ... ... ...1 2
A c c c c cj k n
=
∈ F nxn y
' ... ... ...1 2
A c c c c ck j n
=
∈ F nxn,
entonces ( ') ( )D A D A=−
Demostración Con las columnas de A se construye la matriz
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Unidad 1 28
... ... ...1 2
B c c c c c c cj k j k n
= + +
.
Es claro que B tiene dos columnas iguales, por lo tanto por el Axioma III de la Definición 1, el determinante de B es cero, esto es D(B) = 0 (*) Por otra parte
( ) ... ... ...1 2
D B D c c c c c c cj k j k n
= + + =
( )(1)
(2)
... ... ... ... ... ...1 2 1 2
... ... ... ... ... ...1 2 1 2
0 ( ) ( ') 0 ( ) ( ')
D c c c c c D c c c c cj j n j k n
D c c c c c D c c c c ck j n k k n
D A D A D A D A
= + +
+ + =
= + + + = +
es decir ( ) ( ) ( ')D B D A D A= +
y como D(B) = 0, por (*), resulta
( ) ( ') 0D A D A+ = luego
( ') ( )D A D A=− Referencias: (1) Por Axioma I. de la Definición 1. (2) Por Axioma III. de la Definición 1.
Q.E.D.
Proposición 7
Si una columna (fila) de una matriz A, es combinación lineal de las restantes columnas de A, entonces D(A) = 0.
Demostración
Sea ... ...1 2 1 1
n nA c c c c c c Fj j j n
×= ∈ − +
y jc combinación lineal de las restantes columnas de A, es decir:
... ...1 1 2 2 1 1 1 1
c c c c c cj j j j j n n=α +α + +α +α + +α
− − + +.
Con lo que:
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 29
( ) ... ...1 2 1 1
D A D c c c c c cj j j n
= = − +
(1)... ... ... ...
1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1D c c c c c c c c c c
j j j j j n n j n = α +α + +α +α + +α = − − − + + +
(2)... ...
1 2 1 1 1 1
... ...1 2 1 2 2 1
...
D c c c c c cj j n
D c c c c c cj j n
= α + − +
+ α + − +
+ +
... ...1 2 1 1 1 1
... ...1 2 1 1 1 1
...
... ...1 2 1 1
D c c c c c cj j j j n
D c c c c c cj j j j n
D c c c c c cj n n j n
+ α + − − − +
+ α + − + + +
+ +
+ α = − +
(3)... ...
1 1 2 1 1 1
... ... ...2 1 2 1 2 1
... ...1 1 2 1 1 1
D c c c c c cj j n
D c c c c c cj j n
D c c c c c cj j j j n
= α + − +
+α + + − +
+α + − − − +
... ... ...1 1 2 1 1 1
... ...1 2 1 1
D c c c c c cj j j j n
D c c c c c cn j n j n
+α + + + − + +
+α = − +
0 0 ... 0 0 ... 0 01 2 1 1(4) j j n
= α + α + + α + α + + α =− +
Referencias: (1) Reemplazando cj. (2) Por Axioma I. de la Definición 1. (3) Por Axioma II. de la Definición 1. (4) Por Axioma III. de la Definición 1.
Q.E.D.
Proposición 8
Si A ∈ Fnxn , r F∈ y N∈n , entonces D(rA)= rn D(A) Demostración:
Sea ... ...1 2
A c c c cj n
=
.
Entonces:
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 30
(1) (2)
(2)
( ) ... ... ... ... 1 2 1 2
... ... ( )1 2
( )
D rA D r c c c c D rc rc rc rcj n j n
n nr D c c c c r D Aj n
D A
= = =
= =
=���������������������������
Referencias: (1) Por producto de un escalar por una matriz. (2) Por Axioma II. de la Definición 1.
Q.E.D.
Proposición 9
Si A y B son matrices de orden n entonces D(AB)= D(A) D(B). Proposición 10
El determinante de toda matriz de orden n coincide con el de su transpuesta. Es decir D(A)= D(At) . COFACTOR Definición 3
Sea n nA F ×∈ , dada por
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
a a a aj n
a a a aj n
Aa a a a
i i ij in
a a a an n nj nn
=
… …
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
El cofactor del elemento genérico a
ij es el escalar del cuerpo F que se obtiene por
( ) ( )( )1 /def
i jA D A i jij
+= − .
Es decir, es el producto de −1 elevado al exponente (i+j ), por el determinante de la matriz que resulta de eliminar de la matriz A, la fila “i” y la columna “j”. Ejemplo
Sea 1 2 0
1 3 4
5 0 1
A
= − −
.
Los cofactores de cada uno de sus elementos son:
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 31
• ( )3 41 11 3 0 3
11 0 1A += − = − =
• ( ) ( )1 41 21 1 20 19
12 5 1A
−+= − =− − + =−−
• ( )1 31 31 0 15 15
13 5 0A
−+= − = + =−
• ( ) ( )2 02 11 2 0 2
21 0 1A += − =− − =−
• ( )1 02 21 1 0 1
22 5 1A += − = − =
−
• ( ) ( )1 22 31 0 10 10
23 5 0A += − =− + −
−
• ( )2 03 11 8 0 8
31 3 4A += − = − =
• ( ) ( )1 03 21 4 0 4
32 1 4A += − =− − =−
−
• ( )1 23 31 3 2 5
33 1 3A += − = + =
−
Desarrollo del determinante de una matriz por medio de los cofactores de los elementos de una
fila o de una columna
Sea n nA F ×∈ , dada por
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
a a a aj n
a a a aj n
Aa a a a
i i ij in
a a a an n nj nn
=
… …
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
• Si elegimos la fila i:
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 32
( ) ...1 1 2 2
1
nD A a A a A a A a A
ij ij i i i i in inj
= = + + +∑=
• Si elegimos la columna j:
( ) ...1 1 2 2
1
nD A a A a A a A a A
ij ij j j j j nj nji= = + + +∑=
Ejemplo
Se desea calcular el determinante de la matriz
1 2 0
1 3 4
5 0 1
A
= − −
,
para ello se tendrán en cuenta los cofactores de los elementos calculados precedentemente. • Si se efectúa el desarrollo del determinante por la fila 3:
( ) 5 0 1 5.8 0.( 4) 1.5 3531 32 33
D A A A A=− + + =− + − + =−
• Si se efectúa el desarrollo del determinante por la columna 2:
( ) 2 3 0 2.( 19) 3.1 0.( 4) 35
12 22 32D A A A A= + + = − + + − =−
Proposición 11
I. Si una matriz es triangular inferior o superior, su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
II. El determinante de la matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Demostración (queda para el alumno) MATRIZ DE COFACTORES Definición 4
Sea n nA F ×∈ , dada por
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
a a a aj n
a a a aj n
Aa a a a
i i ij in
a a a an n nj nn
=
… …
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 33
La matriz de cofactores es la que resulta de sustituir en la matriz A cada elemento por su cofactor, esta es
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
A A A Aj n
A A A Aj n
A A A Ai i ij in
A A A An n mj nn
… …
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
Ejemplo
Utilizando los cofactores ya obtenidos de la matriz
1 2 0
1 3 4
5 0 1
A
= − −
, la matriz de cofactores es
3 19 15
2 1 10
8 4 5
− − −
MATRIZ ADJUNTA Definición 5
Sea n nA F ×∈ dada por
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
a a a aj n
a a a aj n
Aa a a a
i i ij in
a a a an n nj nn
=
… …
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …
La matriz adjunta de A, es la transpuesta de la matriz de cofactores, y se denota con Adj(A). Es decir
( )Adj A =
11 12 1 1 11 21 1 1
21 22 2 2 12 22 2 2
1 21 2
1 21 2
tA A A A A A A Aj n i nA A A A A A A Aj n i n
A A A AA A A A j j ij nji i ij in
A A A AA A A A n n in nnn n nj nn
=
… … … …
… … … …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …… …
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
… …… …
Ejemplo
Utilizando los cofactores ya encontrados de la matriz
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 34
1 2 0
1 3 4
5 0 1
A
= − −
, resulta que la matriz adjunta de A es
3 19 15 3 2 8
( ) 2 1 10 19 1 4
8 4 5 15 10 5
t
Adj A
− = − = − − − −
Proposición 12
Sea n nA F ×∈ . La suma de los productos de los elementos de una fila de la matriz A por los cofactores correspondientes a los elementos de otra fila es igual a cero (“0”).
Demostración:
Sea n nA F ×∈ , dada por . . .
1 1 1 2 1. . .
2 1 2 2 2
. . .1 2
. . .1 2
. . .1 2
a a an
a a an
a a ai i i nA
a a ar r r n
a a an n n n
=
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
.
y sea
...11 12 1
...21 22 2
...1 2'
...1 1 2 2
...1 2
a a an
a a an
a a a n ni i inA F
a a a a a ar i r i rn in
a a an n nn
×= ∈ + + +
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
.
por Proposición 2, se tiene que ( ) ( )'D A D A= .
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 35
Desarrollando el determinante del segundo miembro de la igualdad precedente, por medio de los cofactores de los elementos de la fila r, se tiene
( ) ( ) ( )
( )
( )1 2
' ...1 1 1 2 2 2
...1 1 1 1 2 2 2 2(1)
AA Arnr r
D A D A a a A a a A a a Ar i r r i r rn in rn
a A a A a A a A a A a Ar r i r r r i r rn rn in rn
== =
′ ′ ′= = + + + + + + =
= + + + + + + =
( ) ( )
( )
... ...1 1 2 2 1 1 2 2(2)
( )
( ) ...1 1 2 2
a A a A a A a A a A a Ar r r r rn rn i r i r in rn
D A
D A a A a A a Ai r i r in rn
= + + + + + + + =
=
= + + + +
�������������������������������
Luego ( ) ( )( ) ...1 1 2 2
D A D A a A a A a Ai r i r in rn
= + + + +
por lo tanto ... 0
1 1 2 2a A a A a Ai r i r in rn
+ + + = ,
ésta es la suma de los productos de los elementos de la fila “i”, por los cofactores de los elementos de la fila “r”. Referencias: (1) Por distributividad de (.) respecto de (+). (2) Por asociatividad de +.
Q.E.D.
Proposición 13
Propiedad de la adjunta de una matriz
Sea n nA F ×∈ , entonces
( ) ( ) ( )A Adj A Adj A A D A In
= =
Demostración
... ... 11 12 1 11 21 1
... ...21 22 2 12 22 2 ( )
. .. . ..1 2 1 2
a a a A A An n
a a a A A An nA Adj A
a a a A A An n nn n n nn
= =
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
=
++++++
++++++
++++++
=
....11
.. . 2
...211
1
....111
1
....111
... 22
....2121
12
....1121
1
....111
... 21
....2111
11
....1111
nnA
nna
nA
na
nA
nnaA
na
nA
nnaA
na
nnA
na
nAa
nA
naAa
nA
naAa
nnA
na
nAa
nA
naAa
nA
naAa
⋮⋱⋮⋮
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 36
(1) (2)
( ) 0 ... 0 1 0 ... 0
0 ( ) ... 0 0 1 ... 0( ) ( )
0 0 . .. ( ) 0 0 . .. 1
D A
D AD A D A I
n
D A
= = =
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Procediendo análogamente se llega a
( ) 0 ... 0 1 0 ... 0
0 ( ) ... 0 0 1 ... 0( ) ( ) ( )
0 0 . .. ( ) 0 0 . .. 1
D A
D AAdj A A D A D A I
n
D A
= = =
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
Referencias: (1) Por desarrollo del determinante de A por medio de cofactores. (2) Por Proposición 13.
Q.E.D. Teorema
La condición necesaria y suficiente para que una matriz n nA F ×∈ sea inversible es que su determinante sea distinto de cero. Simbólicamente:
n nA F ×∈ inversible ( ) 0≠⇔ AD Demostración
)⇒ Si A es inversible entonces ( ) 0D A ≠ .
Por definición se tiene que
n nA F ×∈ inversible 1 1 1:n nA F AA A A In
− × − −⇔∃ ∈ = = .
aplicando la función determinante a ambos miembros
( ) ( ) ( )1 1D AA D A A D In
− −= =
por Proposición 9 y por Axioma IV de la Definición 1
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1D A D A D A D A− −= =
Luego ( ) 0D A ≠ ya que el producto de dos escalares es 1, si ninguno de los factores es cero.
)⇐ Si ( ) 0≠AD entonces A es inversible.
por la propiedad de la adjunta de una matriz
( ) ( ) ( )A Adj A Adj A A D A I⋅ = ⋅ = .
Como por hipótesis ( ) 0D A ≠ , existe ( )1
D A
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 37
premultiplicando por ( )1
D A en los tres miembros:
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1( ) ( ) ( )
1 1 1( ) ( ) ( )
(1)
1 1( ) ( )
A Adj A Adj A A D A ID A D A D A
A Adj A Adj A A D A ID A D A D A
A Adj A Adj A A ID A D A
⋅ = ⋅ = ⇒
⇒ = = ⇒
⇒ = =
por lo tanto existe la matriz ( )1
( )Adj AD A
que conmuta en el producto con A y cuyo producto se
obtiene la matriz unidad.
Luego, por definición A es inversible con lo cual existe 1A− y es única por lo tanto
( )11 ( )A Adj A
D A− = .
Referencias: (1) Por propiedad del producto de escalar por matriz.
Q.E.D. Ejemplo
Sea 1 2 0
1 3 4
5 0 1
A
= − −
Utilizando los resultados obtenidos anteriormente:
3 2 8
( ) 19 1 4 ( ) 35
15 10 5
Adj A D A
= − − ∧ =− −
( )
3 2 8
35 35 353 2 81 1 19 1 41 ( ) 19 1 4
35 35 35 3515 10 5
3 2 1
7 7 7
A Adj AD A
− − − − = =− − − = − − − −
Álgebra II (LM-PM)-Álgebra Lineal (Ings.)-F.C.E. y T.-UNSE
Unidad 1 38
Proposición 14
Si A es una matriz inversible entonces el determinante de la inversa de A es igual al recíproco del determinante de la matriz A. Esto es
11( )( )
D AD A
− =
Demostración
Como A es inversible, entonces 1 1 1:A AA A A In
− − −∃ = =
por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(*)
11 1 11D AA D I D A D A D An D A
− − −= ⇒ = ⇒ =
Análogamente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(*)
11 1 11D A A D I D A D A D An D A
− − −= ⇒ = ⇒ =
luego
11( )( )
D AD A
− =
Referencias: (*) Por Proposición 9 y Axioma IV. de la Definición 1.
Q.E.D.